2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(16)角的概念及任意角的三角函数
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第3单元-三角函数、解三角形(理科)
6
理解 了解 掌握 理解 掌握
2011课标全国11 2011安徽9 2011山东6
2011浙江6 2011辽宁7 2011天津6 2011辽宁4
8
6
第三单元 │ 高考纵览
题 型 三角 函数 与 三角 恒等 变换 解三 角形
考点统计 任意角的三角函数、同 角三角函数、诱导公式 三角函数的图象与性质 和差的三角函数公式、 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理、 定义
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度 和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理，把求 解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理和余弦 定理加以解决，教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题 时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际应用问题的 本质所在．
图16－1
第16讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题1 角的概念的推广 ) )
(1)小于90° 的角是锐角；(
(2)第一象限的角一定不是负角．(
[答案] (1)错
(2)错
[解析] (1)小于90° 的角也可以是零角或负角；(2)第 一象限的角可以是负角，如α＝－300° 就是第一象限的 角．
第16讲 │ 问题思考
第三单元 │ 高考纵览 高考纵览
题 型
三角 函数 与 三角 恒等 变换 解三 角形
考点统计
任意角的三角函数、同 角三角函数、诱导公式 三角函数的图象与性质 和差的三角函数公式、 简单的三角恒等变换 正弦定理和余弦定理、 定义
考查 频度
8
考查 要求
了解
考例展示
2011课标全国5 2011山东3
高考数学一轮复习第三章第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数课时作业文(含解析)
高考数学一轮复习第三章第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数课时作业文（含解析）第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数1．(2013·河南调研)与－525°的终边相同的角可表示为( )A．525°－k·360°(k∈Z) B．165°＋k·360°(k∈Z)C．195°＋k·360°(k∈Z) D．－195°＋k·360°(k∈Z)解析：在α＝195°＋k·360°(k∈Z)中，令k＝－2得α＝－525°，故选C.答案：C2．若α是第二象限的角，则π－α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：π－α＝－α＋π，若α是第二象限角，则－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得π－α是第一象限角．故选A.答案：A3．(2013·福建模拟)下列三角函数值的符号判断错误的是( )A．sin 165°＞0 B．cos 280°＞0C．tan 170°＞0 D．tan 310°＜0解析：∵170°为第二象限角，∴tan 170°<0，选C.答案：C4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是( )A．2 3 B．±2 3 C．－2 2 D．－2 3解析：由cos α＝xx2＋4＝－32，解得x＝－2 3.答案：D5．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A．第二或第四象限B．第一或第三象限C．第二或第四象限或x轴上D．第一或第四象限或x轴上解析：依题意有cos θ≥0，tan θ≤0，即θ的终边在第四象限或x轴正半轴上．所以θ2在第二或第四象限或x轴上．答案：C6．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1B．4C．1或4 D．2或4解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r＋l＝6，12rl＝2.解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.答案：C7．给出下列命题：①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角必是锐角；③不相等的角终边一定不相同；④若β＝α＋k·720°(k∈Z)，则α和β终边相同；⑤点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．其中正确的是( )A．①② B．③④ C．②⑤ D．④⑤解析：①错误.90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角．②错误.390°的角是第一象限角，但它不是锐角．③错误.390°的角和30°的角不相等，但终边相同．④正确．由终边相同的角的概念可知正确．⑤正确．由已知得tan α＜0，cos α＜0，所以α为第二象限角．答案：D8．扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( )A．π B.5π4C.3π3D.239π2解析：因为120°＝2π3，所以扇形面积为12×2π3×(3)2＝π.故选A. 答案：A9．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为__________．解析：该点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，则α是第四象限角．所以角α的最小正值为11π6. 答案：11π610．若cos α＝－35，且 α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝______． 解析：∵sin 2α＝1－cos 2α，cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2， ∴sin α＝－45.∴tan α＝43. 答案：4311．已知点P(3r ，－4r)(r≠0)在角α的终边上，求sin α，cos α，tan α的值． 解析：因为x ＝3r ，y ＝－4r ，所以|OP |＝x 2＋y 2＝5|r |.(1)当r >0时，则|OP |＝5r ，sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43； (2)当r <0时，则|OP |＝－5r ，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43. 综上所述，sin α＝±45，cos α＝±35，tan α＝－43. 12．(2013·包头月考)已知角θ的终边上有一点M(3，m)，且sin θ＋cos θ＝－15，求m 的值．解析：r ＝32＋m 2＝m 2＋9，依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9， ∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15. 即m ＋3m 2＋9＝－15， 解得m ＝－4或m ＝－94， 经检验知m ＝－94不合题意，舍去．故m ＝－4.。
理科数学一轮复习跟踪练习17(任意角、弧度制及任意角的三角函数)
A.135°B.45°C.225°D.-225°2.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α= ()A.-B.-C.-D.-3.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}B.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}4.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P,则sin=()A.1B.C.-D.-5.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ()A. B. C.- D.-6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]7.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=.8.函数f(α)=-的定义域为.9.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sinα+sinβ=.10.若角α与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.11.已知扇形的周长为20 cm,当,它的圆心角的弧度数是多少时，它的面积最大最大值是多少？A.135°B.45°C.225°D.-225°答案.C因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.2.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α= ()A.-B.-C.-D.-=-,故选D.答案.D根据三角函数的定义,tan α==-3.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}B.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}答案.C4.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P,则sin=()A.1B.C.-D.-答案.B∵点P在单位圆上,∴y=±,∴α=+2kπ k∈Z或α=-+2kπ k∈Z.∴sin=cos α=cos=cos=.故选B.5.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ()A. B. C.- D.-答案.A将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的=,即为×2π=.6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]答案.A由cos α≤0 sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有-解得-2<a≤3.7.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=. 答案.因为角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,∴r=5,∴cos α==-,sin α==-,则cos α-sin α=-+=.8.函数f(α)=-的定义域为.答案.-(k∈Z)∵2cos α-1≥0 ∴cos α≥.由三角函数线画出角α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈-(k∈Z).9.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sinα+sinβ=.答案.0∵角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,∴P(1,2).∵角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,∴Q(1,-2).由三角函数的定义可知sin α=,sin β=-,∴sin α+sin β=-=0.10.若角α与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.答案.,,,由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0 2π]所以k=0,1,2,3,相应地有=,,,.11.已知扇形的周长为20 cm,当,它的圆心角的弧度数是多少时，它的面积最大最大值是多少？解答∵扇形的周长为20 cm,∴l+2r=20,即l=20-2r,∴扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,∴当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α==2(rad).。
备考高考数学一轮复习：16 任意角、弧度制及任意角的三角函数（解析版）
2020年高考数学一轮复习：16 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、单选题1.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非法半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.2.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.3.若角a=-4，则a的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若p(-，m)是角θ终边上的一点，且sinθ=，则m的值为（）A. B. 6 C. -或 D. -6或65.已知是角的终边上的点，则（）A. B. C. D.6.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（）A. B. C. D.7.设函数，若角的终边经过，则的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 48.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.9.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点，则等于A. B. C. D.10.在直角坐标系中，若角α的终边经过点P（sin，cos），则cos（+α）=（）A. B. ﹣ C. D. ﹣11.已知角终边上一点，则（）A. B. C. D.12.在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则（）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题13.角的终边经过点，则________.14.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则________．15.已知角终边上有一点,且，则________16.若角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，其终边经过点，________．17.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则________.三、解答题18.若点在角的终边上，求的值．19.已知角终边经过点，且，求，，.20.已知角的终边过点，且，求和的值.21.已知角θ的终边经过点P(-3a,4a）．(a≠0）（1）当a=1时，求sinθ-2cosθ的值：（2）若sinθ<0，求3tanθ+5cosθ的值22.在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点．（1）求、；（2）求．答案解析部分一、单选题1. D解析：角的终边与单位圆的交点为，所以，，于是．故答案为：D.【分析】由已知利用任意角的三角函数定义，得到与的值代入，即可得结果.2. D解析：任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，可得与角终边相同的角是，当时，，故答案为：D。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
课时作业一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6C [将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16. 即为－16×2π＝－π3.]2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．8A [设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎨⎧l ＝4r ＝1或⎩⎨⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.]3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12 D.12D [因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.]4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．]5．(2014·聊城模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4B [因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin (90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.]6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由已知得(sin θ－cos θ)2>1，1－2sin θcos θ>1， sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ， 所以角θ的终边在第二象限．] 二、填空题7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3， 即B (－1，3)． 答案 (－1，3)8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________．解析 因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限． 所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案 22或－22 －19．如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________．解析 由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限， 故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75. 答案 －75 三、解答题10．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解析 设圆的半径为r cm ， 弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．11．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形． (1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解析 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310.12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ， cos θ.解析 (1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝± 3.∵90°<α<180°，∴x<0，因此x＝－ 3.故r＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tan θ＝－1 x，又tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sin θ＝－22，cosθ＝22；当x＝－1时，sin θ＝－22，cosθ＝－22.。
2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第16讲角的概念及任意角的三角函数备用例题
第16讲 │ 备用例题
tancosθ>0， (2)由题知 tansinθ>0 0<cosθ<1， ∴ 0<sinθ<1
tancosθ<0， 或 tansinθ<0，
－1<cosθ<0， 或 －1<sinθ<0，
即 θ 在第一或第三象
第16讲 │ 角的概念及任意角的三角函数
第16讲 角的概念及任意角 的三角函数
第16讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1需对m分类讨论，是对探究点3的补充；例 2，补充角所在的象限与角的三角函数值的符号之间的关系．
第16讲 │ 备用例题
例 1 已知角 α 的终边过点 P(－4m,3m)(m≠0)， 则 2sinα＋cosα 的值为________．
2 [答案] ± 5
第16讲 │ 备用例题
[解析] 当 m>0 时，点 P 在第二象限，|OP|＝5m，则 2sinα 3m －4m 2 ＋cosα＝2× ＋ ＝ ； 5m 5m 5 当 m<0 时，点 P 在第四象限，|OP|＝－5m，则 3m －4m 2 2sinα＋cosα＝2× ＋ ＝－ . 5 －5m －5m
限； θ 若 θ 在第一象限，则 终边所在的范围如图①所示；若 θ 在 2 θ 第三象限，则 终边所在的范围如图②所示(见阴影部分，不含 2 边界)．
第16讲 │ 备用例题
第16讲 │ 备用例题
例2 解答下列问题：
(1)若 θ 在第四象限，试判断 sin(cosθ)· cห้องสมุดไป่ตู้s(sinθ)的符号； (2)若 tan(cosθ)· tan(sinθ)>0，试指出 θ 所在象限，并用图形 θ 表示出 终边所在的范围． 2
高考数学一轮复习第三章第1课时任意角、弧度制及任意角的三角函数课时作业理新人教版
第三章三角函数、解三角形第1课时任意角、弧度制及任意角的三角函数1. 任意角(1) 角的概念的推广①按旋转方向不同分为 ________ 、 ________ 、________ .②按终边位置不同分为 ________ 和 ________ .(2) 终边相同的角终边与角a相同的角可写成_2. 弧度与角度的互化(1) 1弧度的角长度等于 ________ 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.⑵角a的弧度数如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么角a的弧度数的绝对值是I a |=.(3) 角度与弧度的换算①1° = _______ rad;② 1rad = .(4) 扇形的弧长、面积公式设扇形的弧长为l ,圆心角大小为a (rad),半径为r,则l=r a ,扇形的面积为S=3. 任意角的三角函数(1) 定义：设角a的终边与单位圆交于____________ P(x, y),则sin a= ,COS a= ___________________________ ,tan a =1. ( 教材改编) 下列与系式中正确的是( ) .的终边相同的角的关2. (教材改编)若sin a<0且tan a>0,则a是().A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 已知角 a 的终边上一点A(2,2), 则 a 的大小为( ).4. (教材改编)已知角a 的终边经过点P(-X,-6), 且,则X的值为 ________ .5. _____________________________________________ 弧长为3 n ,圆心角为135°的扇形半径为,面积为______________________________________________ .♦一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.♦两个技巧(1) 在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r - -定是正值.(2) 在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧•♦三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角•(2) 角度制与弧度制可利用180°=n rad进行互化,在同一个式子中致,不可混用,不可写a=2k n +60°, k € Z.(3) 注意熟记0° ~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.♦四个公式(1) 与a终边相同的角度公式(2) 角的弧度数(弧长公式)(3) 扇形面积公式(4) 三角函数定义公式考点透析考向一角的概念及表示例1 (1)如果a是第三象限的角,那么-a ,2 a的终边落在何处？(2)写出终边在直线【审题视点】利用象限角及终边相同的角的表示方法求角【课堂记录】,采用的度量制度必须一上的角的集合【方法总结】⑴利用终边相同的角的集合S=｛卩| B=k n +a, k€ Z｝判断一个角卩所在的象限时,只需把这个角写成[0,2 n )范围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角a的象限.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角•1.若角e的终边与角的终边相同，求在[0,2 n )内终边与角的终边相同的角考向二三角函数的定义例 2 已知角0 的终边经过点P( -, m)( m工0) 且sin 0= ,试判断角0所在的象限，并求cos 0和tan 0 的值.【审题视点】根据三角函数定义求m，再求cos0 和tan 0.方法总结】1. 三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中,设P(x,y)是角 a 终边上任意一点,且|PO|=r ,则2. 定义法求三角函数值的两种情况⑴已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解•(2) 已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题•若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值•2.角 a 终边上一点F(4n)-3n)( 0),贝U 2sin a+cos a 的值为___________ .考向三弧度制的应用例3 已知半径为10的圆0中，弦AB的长为10.(1) 求弦AB所对的圆心角a的大小；(2) 求a所在的扇形弧长I及弧所在的弓形的面积S.【审题视点】△ AOB是等边三角形，/ AOB60°, S弓=S扇-S△ AOB【方法总结】(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r| a|,扇形面积公式：S=lr=r 2| a|,求弧长和扇形的面积•⑵应用上述公式时，要先把角统一用弧度制表示•利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.3. 已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大考向四三角函数线及应用例4在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围.并由此写出角a的集合：【审题视点】作出满足的角的终边，然后根据已知条件确定角a终边的范围【方法总结】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是(1) 用边界值写出角的终边位置；(2) 根据不等式(组)定出角的范围；(3) 求交集,找单位圆中公共的部分；(4) 写出角的关系式.4. 求函数y=lg(3 -4sin x)的定义域.1. （2014 •全国大纲）已知角a的终边经过点（-4,3）,则COS a等于（）.2.（2014 •全国新课标I ）若tan a>0,则（）.A. sin a>0B. cos a>0C. sin2 a >0D. cos2 a >0参考答案与解析1. (1)①正角负角零角②象限角轴线角(2) a +k • 360°( k€ Z)或 a +k • 2n ( k € Z)2. (1) 半径MP OM AT3. (1) y x (2)1. C2. C3. C4.5.4 6 n所以角-a的终边在第二象限所以角2a的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴上的角是⑵在（0, n）内终边在直线所以终边在直线上的角的集合为【例4】⑴作直线交单位圆于A B两点,连接OA 0B则OA与0B围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角a的终边的范围，故满足条件的角a 的集合为⑵作直线交单位圆于C D 两点琏接oc OD 则OC 与OD 围成的区域（图⑵中阴影部分）即为角a 终边的范围，故满足条件的角 a 的集合为变式训练224. (1) 因为3- 4sin 2x>0, 所以sin 2x<以利用三角函数线画出X满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）,(k € Z).经典考题真题体验（第4题）所以1. D 解析:根据题意,2. C 解析: 因为, 所以选C.。
人教A版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练27 任意角、弧度制及三角函数的概念 (2)
课时规范练27 任意角、弧度制及三角函数的概念基础巩固练1.概念是数学的重要组成部分,弄清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要.现有如下三个集合,A={钝角},B={第二象限角},C={小于180°的角},则下列说法正确的是( )A.A=BB.B=CC.A⊆BD.B⊆C2.(浙江丽水模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,若角α终边上有一点P(2,y),且sin α=-√55,则y=( )A.1B.-1C.±1D.23.(河南许昌模拟)已知扇形的半径为1,圆心角θ为30°,则扇形的面积为( )A.30B.π12C.π6D.π34.设α是第二象限角,P(x,1)为其终边上一点,且cos α=x3,则tan α=()A.-2√2B.-√22C.-√24D.-√285.角α的终边落在区间-3π,-5π2内,则角α的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(四川宜宾模拟)已知角α的终边上一点的坐标为(a,2),其中a是非零实数,则下列三角函数值恒为正的是( )A.cos αtan αB.sin αcos αC.sin αtan αD.tan α7.(河北邢台模拟)已知α∈[0,2π),点P(1,tan 2)是角α终边上一点,则α=()A.2+πB.2C.π-2D.2-π8.(浙江东阳中学模拟)集合α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )9.(浙江七彩阳光新高考联盟模拟)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为1 cm)的圆周上爬动,且两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁以π4rad/s 的速度爬行,黑蚂蚁以π12rad/s 的速度爬行,则2 s 后,两只蚂蚁之间的直线距离为( ) A.1 B.√2-√3 C.π3D.π610.(多选题)下列结论正确的是( ) A.-7π6是第三象限角B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2C.若α为锐角,则2α为钝角D.若角α的终边过点P(-3,4),则cos α=-3511.(湖南常德模拟)在0°~180°范围内,与-930°终边相同的角是 .12.已知扇形的圆心角为2π3,扇形的面积为3π,则该扇形的周长为 .13.设θ∈0,π2,且9θ的终边与θ的终边相同,则sin θ= .综合 提升练14.(多选题)(云南昆明模拟)如图,A,B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻,质点A 在(1,0)处,质点B 在第一象限,且∠AOB=π6.质点A 以π6rad/s 的角速度按顺时针方向运动,质点B 同时以π12rad/s 的角速度按逆时针方向运动,则( )A.经过1 s 后,扇形AOB 的面积为5π12B.经过2 s 后,劣弧AB⏜的长为2π3C.经过6 s 后,质点B 的坐标为-√32,12D.经过223s 后,质点A,B 在单位圆上第一次相遇15.(北京,14)若点A(cos θ,sin θ)关于y 轴对称的点为B (cos (θ+π6),sin (θ+π6)),写出θ的一个取值为 .创新 应用练16.(浙江稽阳联谊学校模拟)我国魏晋时期的数学家刘徽创造性地提出了“割圆术”,刘徽认为圆的内接正n 边形随着边数n 的无限增大,圆的内接正n 边形的周长就无限接近圆的周长,并由此求得圆周率π的近似值.如图,当n=6时,圆内接正六边形的周长为6r,故π≈6r2r ,即π≈3.运用“割圆术”的思想,下列估算正确的是( )A.n=12时,π≈12sin 15°B.n=12时,π≈6sin 15°C.n=12时,π≈12cos 15°D.n=12时,π≈24cos 15°17.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π,则其面积是( )+√3 B.2π+2√3A.2π3−√3 D.2π-2√3C.2π318.(浙江慈溪中学模拟)杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成,其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上,历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示,经测量,上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧,.若某几何体的侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心,且圆心角为2π3侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致,则该几何体的高为.课时规范练27 任意角、弧度制及三角函数的概念1.C 解析钝角是大于90°,且小于180°的角,一定是第二象限角,故A⊆B;第二象限角α的取值范围是90°+k·360°<α<180°+k·360°,k ∈Z,即第二象限角不一定小于180°,故A,B,D错误,C正确.2.B 解析由题意得sinα=√22+y2=-√55,解得y=-1.3.B 解析已知扇形圆心角θ为30°,即θ=π6,扇形的半径为1,所以扇形的面积S=12θr2=12×π6×1=π12.4.C 解析依题意有cosα=√1+x2=x3,且x<0,解得x=-2√2,所以tanα=1x =-√24.5.C 解析-3π的终边在x轴的非正半轴上,-5π2的终边在y轴的非正半轴上,故角α为第三象限角.6.A 解析因为角α的终边上一点的坐标为(a,2),且a是非零实数,可知角α是第一或第二象限角.结合选项,只有cosαtanα恒为正值.7.A 解析∵π2<2<π,∴tan2<0,∴P在第四象限内,∴α是第四象限角.又tanα=tan2=tan(π+2),α∈[0,2π),∴α=π+2.8.C 解析当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,n∈Z,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,n ∈Z,此时α表示的范围与π4+π≤α≤π2+π表示的范围一样.故选C. 9.A 解析如图所示,红蚂蚁以π4rad/s 的速度爬行,黑蚂蚁以π12rad/s 的速度爬行,则2s 后,红蚂蚁绕圆的角度为π2,到达B 处,黑蚂蚁绕圆的角度为π6,到达C 处,此时∠BOC=π2−π6=π3,即△BOC 为正三角形,故BC=OB=1.10.BD 解析因为-7π6=-2π+5π6,5π6是第二象限角,故-7π6是第二象限角,A 错误;圆心角为π3的扇形的弧长为π,则扇形的半径r=ππ3=3,故扇形面积为12×π×3=3π2,B 正确;若α为锐角,不妨取α=π6,则2α=π3也为锐角,C 错误;角α的终边过点P(-3,4),则|OP|=√(-3)2+42=5,则cosα=-35,D 正确.故选BD.11.150° 解析与-930°终边相同的角是-930°+k·360°,k∈Z,当k=3时,-930°+k·360°=150°,所以在0°~180°范围内,与-930°终边相同的角是150°.12.6+2π 解析设扇形的半径为R,所以扇形面积S=12×23πR 2=3π,可得R=3,所以该扇形的弧长l=23π×3=2π,所以周长为l+2R =6+2π.13.√22解析由题意9θ=θ+2kπ,k∈Z,则θ=kπ4∈0,π2,k ∈Z,所以k=1,θ=π4,故sinθ=√22.14.BD 解析对于A,由题意可知,经过1s 后,∠AOB=π6--π6+π12=5π12,此时扇形AOB 的面积为12α·r 2=12×5π12×12=5π24,故A 错误;对于B,经过2s 后,∠AOB=π6-2×-π6+2×π12=2π3,所以此时劣弧AB⏜的长为αr=2π3,故B 正确;对于C,经过6s 后,质点B 转过的角度为6×π12=π2,结合题意,此时质点B 为角π6+π2=2π3的终边与单位圆的交点,所以质点B 的坐标为-12,√32,故C错误;对于D,经过223s 后,质点B 转过的角度为223×π12=11π18,质点A 转过的角度为223×-π6=-11π9,因为11π18--11π9+π6=2π,所以经过223s 后,质点A,B在单位圆上第一次相遇,故D 正确.故选BD. 15.5π12满足θ=5π12+kπ,k∈Z 即可 解析∵A(cosθ,sinθ)与B cosθ+π6,sin θ+π6关于y 轴对称,∴{cos(θ+π6)=-cosθ,sin(θ+π6)=sinθ,即{cos(θ+π6)=cos (π-θ),sin(θ+π6)=sin (π-θ),∴θ+π6=π-θ+2kπ,k∈Z,则θ=5π12+kπ,k∈Z,当k=0时,θ=5π12.16.A 解析设圆的内接正十二边形被分成12个如图所示的等腰三角形,其顶角为30°,即∠AOB=30°,作OH ⊥AB 于点H,则H 为AB 的中点,且∠AOH=15°.因为OA=OB=r,在Rt △AOH 中,sin ∠AOH=AH OA,即sin15°=AH r,所以AH=rsin15°,则AB=2AH=2rsin15°,所以正十二边形的周长为L=12×2r×sin15°=24rsin15°,所以π≈L 2r=24rsin15°2r=12sin15°.17.D 解析如图,因为莱洛三角形的周长为2π,所以AB⏜,BC ⏜,AC ⏜的长度均为2π3.又因为∠ABC=π3,所以由扇形的弧长公式可得π3·AB=2π3,解得AB=2,同理BC=AC=2,于是每个扇形的面积均为12×2π3×2=2π3.(方法一)由于弓形AB 的面积为2π3−√34×22=2π3−√3,因此所求面积为3×2π3−√3+√34×22=2π-2√3,故选D.(方法二)依题意,所求面积为扇形ABC 面积的3倍减去三角形ABC 面积的2倍,因此所求面积为3×2π3-2×√34×22=2π-2√3,故选D.18.12√2解析一个圆锥的侧面展开图是半径为30,圆心角为2π3的扇形,设该圆锥的底面半径为r,高为h,所以2πr=2π3×30,可得r=10,因此,该圆锥的高为h=√302-102=20√2.一个圆锥的侧面展开图是半径为12,圆心角为2π3的扇形,设该圆锥的底面半径为r1,高为h1,所以2πr1=2π3×12,可得r1=4,因此,该圆锥的高为h1=√122-42=8√2.因此,若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致,则该几何体的高为20√2-8√2=12√2.。
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课时作业(十六) [第16讲 角的概念及任意角的三角函数]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．下列命题正确的是( )
A ．终边相同的角一定相等
B ．第一象限角都是锐角
C ．锐角都是第一象限角
D ．小于90°的角都是锐角
2．sin2·cos3·tan4的值( )
A ．小于0
B ．大于0
C ．等于0
D ．不存在
3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( )
A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
4．点P 从点(0,1)开始沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针第一次运动到点⎝⎛⎭⎫22
，－22时，转过的角是________弧度．
能力提升
5．下列说法正确的是( )
A ．第二象限的角比第一象限的角大
B ．若sin α＝12，则α＝π6
C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关
6．sin(－270°)＝( )
A ．－1
B ．0 C.12
D ．1 7．[2011·烟台联考] 若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
8．一段圆弧的长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( ) A.π3 B.2π3
C. 3
D. 2 9．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4
角的终边相同的角是________． 10．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35
，则x 的值为________． 11．已知扇形的面积为2 cm 2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________．
12．(13分)(1)确定tan (－3)cos8·tan5
的符号； (2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．
难点突破
13．(12分)如图K16－1所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针
方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6
弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长．
图K16－1
课时作业(十六)
【基础热身】
1．C [解析] 终边相同的角不一定相等，它们可以相差360°的整数倍；第一象限角不一定是锐角，例如390°是第一象限的角，但不是锐角；锐角一定是第一象限角；小于90°的角也可以是零角或负角，故选C.
2．A [解析] ∵π2<2<3<π<4<3π2
， ∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，
∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.
3．C [解析] 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧
2r ＋l ＝6，12rl ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝2，l ＝2. 从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22
＝1. 4．－34π [解析] 点P 转过的角的绝对值为34
π，顺时针旋转应为负角，所以转过的角是－34
π. 【能力提升】
5．D [解析] 排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A 错误；当sin α＝12时，也可能α＝5π6，所以B 错误；当三角形内角为π2
时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角．
6．D [解析] 方法一：∵－270°角的终边位于y 轴的非负半轴上，在其上任取一点(0，
y )，则r ＝y ，故sin(－270°)＝y r ＝y y
＝1. 方法二：sin(－270°)＝sin(－270°＋360°)＝sin90°＝1.
7．A [解析] 由题意，tan α＝3，又sin α<0，则α是第三象限角，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n 2＝10，n ＝3m <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 8．C [解析] 设圆半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R . ∴圆弧长为3R . ∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3R R
＝ 3. 9.2π5，9π10，7π5，19π10 [解析] 由已知θ＝2k π＋8π5
(k ∈Z )， ∴θ4＝k π2＋2π5
(k ∈Z )， 由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165
， ∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3，
∴与θ4终边相同的角依次为2π5，9π10，7π5，19π10
. 10．10 [解析] 根据题意知tan α＝－6x ＝－35
，所以x ＝10. 11．6 [解析] 设扇形的半径为R ，则12
R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1， ∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6.
12．[解答] (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，
∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，
∴原式大于0.
(2)若0<α<π2
，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α， ∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.
若α＝π2
，则sin α＋cos α＝1. 由已知0<m <1，故α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.
于是有sin α－cos α>0.
【难点突破】
13．[解答] 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间是t ，
则t ·π3
＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3
的位置， 则x C ＝4cos 4π3＝－2，y C ＝4sin 4π3
＝－23， 所以C 点的坐标为(－2，－23)，
P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83
π.。