空间向量在立体几何中的应用教案
教学单元设计：空间向量与立体几何
教学单元设计：空间向量与立体几何1. 单元概述1.1 单元目标本单元旨在通过空间向量与立体几何的研究，使学生掌握空间向量的基本概念、运算规则及其在立体几何中的应用。
通过本单元的研究，学生应能熟练运用空间向量解决立体几何中的相关问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。
1.2 单元内容本单元共包括以下几个主要内容：1. 空间向量的基本概念及表示方法2. 空间向量的线性运算3. 空间向量的数量积与夹角4. 空间向量的坐标运算5. 空间向量在立体几何中的应用2. 教学目标2.1 知识与技能1. 掌握空间向量的基本概念及其表示方法2. 掌握空间向量的线性运算规则3. 掌握空间向量的数量积与夹角计算4. 掌握空间向量的坐标运算方法5. 能够运用空间向量解决立体几何中的相关问题2.2 过程与方法1. 通过实例分析，培养学生的空间想象力2. 运用图形演示和数学证明，提高学生的问题解决能力3. 培养学生运用空间向量解决实际问题的能力2.3 情感态度与价值观1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情2. 培养学生克服困难的意志和团队协作精神3. 引导学生认识数学在实际生活中的应用价值3. 教学重点与难点3.1 教学重点1. 空间向量的基本概念及其表示方法2. 空间向量的线性运算规则3. 空间向量的数量积与夹角计算4. 空间向量的坐标运算方法5. 空间向量在立体几何中的应用3.2 教学难点1. 空间向量的数量积与夹角计算2. 空间向量的坐标运算方法3. 空间向量在立体几何中的应用4. 教学策略与方法4.1 教学策略1. 采用问题驱动的教学模式，引导学生主动探究2. 利用图形演示和数学证明，帮助学生直观理解3. 提供丰富的练题，巩固所学知识4. 注重个体差异，因材施教4.2 教学方法1. 讲授法：讲解空间向量的基本概念、运算规则及应用2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用空间向量解决问题3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力4. 练法：提供课后练，巩固所学知识5. 教学评价5.1 评价目标1. 学生对空间向量基本概念的理解程度2. 学生掌握空间向量运算规则的程度3. 学生运用空间向量解决立体几何问题的能力5.2 评价方法1. 课堂问答：检查学生对空间向量基本概念的理解2. 课后作业：检验学生对空间向量运算规则的掌握3. 小组项目：评估学生运用空间向量解决立体几何问题的能力4. 期末考试：全面考核学生在本单元的研究成果6. 教学计划6.1 课时安排本单元共需安排12课时，具体分配如下：1. 空间向量的基本概念及表示方法（2课时）2. 空间向量的线性运算（3课时）3. 空间向量的数量积与夹角（2课时）4. 空间向量的坐标运算（3课时）5. 空间向量在立体几何中的应用（2课时）6.2 教学活动安排1. 第1-2课时：介绍空间向量的基本概念及表示方法2. 第3-5课时：讲解空间向量的线性运算规则3. 第6-7课时：讲解空间向量的数量积与夹角计算4. 第8-10课时：讲解空间向量的坐标运算方法5. 第11-12课时：应用空间向量解决立体几何中的相关问题7. 教学资源1. 教材：选用权威、系统的数学教材，如《高等数学》等2. 辅助教材：提供相关的辅导书、教辅材料，以丰富教学内容3. 网络资源：利用网络平台，提供相关教学视频、课件、题等资源4. 几何画板：利用几何画板软件，直观演示空间向量的运算和立体几何问题8. 教学反思在教学过程中，教师应不断反思教学方法、教学内容和学生研究情况，根据实际情况调整教学策略，以提高教学效果。
空间向量在立体几何中的应用教学设计
空间向量在立体几何中的应用教学设计一、教学目标1.知识目标：了解空间向量的概念和性质，掌握空间向量的基本运算法则。
2.能力目标：能够应用空间向量的知识解决立体几何中的问题，如线段长度、向量共线、线段垂直等。
3.情感目标：培养学生的观察力和分析问题的能力，增强解决问题的自信心。
二、教学重点与难点1.教学重点：空间向量的概念和运算法则。
2.教学难点：将空间向量的知识应用到立体几何问题中。
三、教学准备白板、黑板笔、投影仪、屏幕、计算器等。
四、教学过程Step 1 引入1.教师出示两个立方体模型并提问：你们能用线段表示两个立方体顶点之间的距离吗？2.引出空间向量的概念，并与平面向量进行比较，说明二者的区别。
Step 2 理论讲解1.教师通过投影仪将空间向量的定义、表示和性质呈现给学生，学生做好笔记。
2.教师讲解空间向量的基本运算法则，例如加法、数乘和点乘，并通过具体的例题演示计算过程。
Step 3 实例分析1. 教师出示一道题目：“已知直线l: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$，过直线l上一点A(2,3,4)，作与直线垂直的平面，并找出平面与原点O(0,0,0)的距离。
”2.请学生先思考如何解决这个问题，然后汇报自己的解题思路。
3.教师引导学生运用空间向量的知识来解答问题，并逐步给予提示。
4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。
Step 4 拓展应用1.教师设计一道拓展题：“已知线段AB与线段CD的中点E重合，向量BD的坐标为(1,2,3)，向量CE的坐标为(4,5,6)，求向量AD的坐标。
”2.学生尝试解答，提出自己的解题思路。
3.教师引导学生应用向量共线的性质来解答问题，并逐步给予提示。
4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。
Step 5 总结与归纳1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结空间向量的基本性质和运算法则。
2.学生通过小组合作的方式归纳学习过程中的思考和解题方法。
空间向量与立体几何(整章教案)
空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位。
（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。
空间向量与立体几何教案
第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P 92 练习 Ⅳ. 教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业⒈课本P 106 1、2、⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？ 板书设计：§9.5 空间向量及其运算（一）一、平面向量复习 二、空间向量 三、例1⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结 ⒊运算律 ⒊运算律教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案第一章：空间向量基础1.1 空间向量的概念向量的定义向量的几何表示向量的坐标表示1.2 空间向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘1.3 空间向量的性质向量的模向量的方向向量的长度第二章：立体几何基本概念2.1 立体图形的定义立体图形的概念立体图形的分类2.2 立体图形的性质立体图形的大小立体图形的角度立体图形的对称性2.3 立体图形的计算立体图形的面积计算立体图形的体积计算第三章：空间向量与立体图形的交点3.1 空间直线与平面的交点直线与平面的交点公式直线与平面的交点求解方法3.2 空间直线与立体的交点直线与立方体的交点求解方法直线与圆柱的交点求解方法3.3 空间平面与立体的交点平面与立方体的交线求解方法平面与圆柱的交线求解方法第四章：空间向量与立体图形的投影4.1 空间向量的投影向量的正交投影向量的斜交投影4.2 立体图形的投影立方体的正交投影立方体的斜交投影4.3 空间向量与立体图形的投影关系向量投影与立体图形的关系投影变换与立体图形的不变性第五章：空间向量与立体图形的运动5.1 空间向量的运动向量的平移向量的旋转5.2 立体图形的运动立体图形的平移立体图形的旋转5.3 空间向量与立体图形的运动关系运动变换与空间向量的关系运动变换与立体图形的不变性第六章：空间向量在立体几何中的应用6.1 空间向量与立体图形的判定使用空间向量判断立体图形的位置关系使用空间向量判断立体图形的类型6.2 空间向量与立体图形的证明使用空间向量证明立体图形的全等使用空间向量证明立体图形的相似6.3 空间向量与立体图形的构造使用空间向量构造立体图形使用空间向量解决立体几何问题第七章：空间向量的线性运算与立体几何7.1 空间向量的线性组合空间向量的线性组合定义空间向量的线性组合运算7.2 空间向量的线性关系与立体几何使用空间向量的线性关系判定立体图形的位置关系使用空间向量的线性关系解决立体几何问题7.3 空间向量的基底与立体几何空间向量的基底定义使用空间向量的基底表示立体图形第八章：空间向量的内积与立体几何8.1 空间向量的内积定义空间向量的内积概念空间向量的内积运算8.2 空间向量的内积与立体图形的性质使用空间向量的内积判断立体图形的角度使用空间向量的内积解决立体几何问题8.3 空间向量的内积与立体图形的投影使用空间向量的内积解释立体图形的投影使用空间向量的内积解决立体几何问题第九章：空间向量的外积与立体几何9.1 空间向量的外积定义空间向量的外积概念空间向量的外积运算9.2 空间向量的外积与立体图形的性质使用空间向量的外积判断立体图形的位置关系使用空间向量的外积解决立体几何问题9.3 空间向量的外积与立体图形的构造使用空间向量的外积构造立体图形使用空间向量的外积解决立体几何问题第十章：空间向量在立体几何中的综合应用10.1 空间向量与立体图形的轨迹使用空间向量研究立体图形的轨迹使用空间向量解释立体图形的运动10.2 空间向量与立体几何的综合问题解决综合性的立体几何问题使用空间向量进行立体几何的综合分析10.3 空间向量与立体图形的应用案例分析实际案例中的空间向量与立体几何问题解决实际案例中的空间向量与立体几何问题重点解析空间向量的概念、几何表示和坐标表示空间向量的加法、减法和数乘运算空间向量的模、方向和长度的性质立体图形的定义、分类和性质立体图形的大小、角度和对称性立体图形的面积和体积计算空间直线与平面的交点求解方法空间直线与立体的交点求解方法空间平面与立体的交线求解方法空间向量的正交投影和斜交投影立体图形的正交投影和斜交投影空间向量与立体图形的关系投影变换与立体图形的不变性空间向量的平移和旋转立体图形的平移和旋转运动变换与空间向量的关系运动变换与立体图形的不变性空间向量判断立体图形的位置关系空间向量判断立体图形的类型空间向量证明立体图形的全等和相似空间向量构造立体图形空间向量解决立体几何问题空间向量的线性组合和运算空间向量的线性关系判定立体图形的位置关系空间向量的基底表示立体图形空间向量的内积的定义和运算空间向量的内积判断立体图形的角度空间向量的内积解释立体图形的投影空间向量的外积的定义和运算空间向量的外积判断立体图形的位置关系空间向量的外积构造立体图形空间向量研究立体图形的轨迹空间向量解释立体图形的运动解决综合性的立体几何问题使用空间向量进行立体几何的综合分析分析实际案例中的空间向量与立体几何问题解决实际案例中的空间向量与立体几何问题。
空间向量在立体几何中的应用教案(教师使用)
空间向量在立体几何中的应用（一）授课时间：2014年5月11日第7节课 授课班级：高二（9）班 授课教师：高志华教学目标 1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件； (2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法； 2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。
3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感， 从而激发学数学、用数学的热情。
教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。
教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。
教学方法启发式教学、讲练结合 教学媒体ppt 课件学法指导交流指导，渗透指导. 课型 新授课教学过程一、知识的复习与引人 自主学习1.若OP =x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量OP 的坐标，也叫点P 的坐标.2. 如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么b a ±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， a ⊥b ⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1的方向向量为1l ， 直线l 2的方向向量为2l ， 直线a 的方向向量为a ， 直线b 的方向向量为b .l 1⊥ l 21l ⊥2l ⇔l 1⊥αl 1⊥a ,l 1⊥b, ,a b αα⊂⊂，a ∩b=o ，[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。
空间向量在立体几何中的应用教案
空间向量在立体几何中的应用教案教案标题：空间向量在立体几何中的应用一、教学目标：1. 理解空间向量的概念和性质；2. 掌握空间向量的运算法则；3. 理解和掌握空间向量在立体几何中的应用。
二、教学内容：1. 空间向量的概念和性质；2. 空间向量的运算法则；3. 空间向量在立体几何中的应用。
三、教学过程：1. 知识导入通过复习二维向量的性质和运算法则，引入空间向量的概念。
2. 理论讲解讲解空间向量的概念、性质和运算法则，包括向量的加法、减法、数量积和向量积等。
3. 练习与讨论以几何问题为例，引导学生运用空间向量的知识解决相应的几何问题。
例如，通过向量积的应用求解三角形的面积、判断四边形是否是平行四边形等。
4. 实例分析选择一些典型的例题进行详细分析和讲解，帮助学生理解和巩固概念和运算法则。
例如，通过两条直线的法向量来判断直线的位置关系。
5. 拓展应用通过讨论一些拓展性和应用性的问题，帮助学生将空间向量的知识应用到更多的实际问题中。
例如，利用向量的数量积求解棱柱的体积，利用向量的向量积判断平面和直线的位置关系等。
6. 归纳总结对本节课所学内容进行总结和概括，帮助学生加深对空间向量的理解和掌握。
四、教学资源：1. 教科书和课外参考书；2. 相关的几何题目和练习题；3. 板书和投影仪等。
五、教学评价：1. 课堂讨论和提问，查看学生对空间向量的理解和应用能力；2. 批改学生的练习题和作业，评估学生的掌握程度；3. 考试或小测验，检验学生对空间向量知识的吸收和应用能力。
六、教学延伸：可以运用计算机软件或在线平台进行立体几何模拟和实践，帮助学生更加直观地理解和掌握空间向量的应用。
立体几何中的向量方法教案
立体几何中的向量方法教案教案标题：立体几何中的向量方法教案教案目标：1. 了解立体几何中的向量概念和基本性质。
2. 掌握运用向量方法解决立体几何问题的技巧和方法。
3. 培养学生的空间思维和几何推理能力。
教学重点：1. 向量的定义和性质。
2. 向量在立体几何中的应用。
3. 向量运算在解决立体几何问题中的作用。
教学难点：1. 运用向量方法解决立体几何问题。
2. 空间几何推理能力的培养。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算机、几何软件等。
2. 学生准备：教材、笔记本、几何工具等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一些立体几何图形，引起学生的兴趣。
2. 提问：你们对立体几何中的向量有什么了解？二、知识讲解（15分钟）1. 向量的定义和性质：a. 向量的表示方法。
b. 向量的加法和减法。
c. 向量的数量积和向量积。
2. 向量在立体几何中的应用：a. 向量的方向和模长在立体几何中的意义。
b. 利用向量表示线段、向量共线和垂直关系。
c. 利用向量表示平面和平行关系。
三、示例分析（20分钟）1. 结合具体的立体几何问题，演示如何运用向量方法解决问题。
2. 引导学生参与讨论，分析解题思路和方法。
四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 针对难点问题进行讲解和解答。
五、拓展应用（10分钟）1. 提供一些立体几何的拓展问题，要求学生运用向量方法解决。
2. 引导学生思考如何将向量方法应用到实际问题中。
六、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课所学的立体几何中的向量方法。
2. 学生分享对本节课的收获和感想。
教学延伸：1. 引导学生自主学习更多立体几何中的向量应用。
2. 布置作业，要求学生运用向量方法解决相关问题。
教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况和问题解决能力。
2. 批改学生的练习题和作业，评价他们的掌握程度。
教学资源：1. 教材：立体几何教材。
2. 投影仪、计算机、几何软件等。
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的距离问题(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
课时教学设计用空间向量研究距离一、教学内容点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离。
二、教学目标2.1课前预习目标复习空间两点间的距离公式，向量夹角公式，向量投影概念及求法。
2.2课时目标（1）通过利用投影向量，勾股定理能够得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。
（2）通过点到直线的距离公式、点到平面的距离公式能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题，发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。
2.3内容层次能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离。
能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用。
提升学生直观想象和数学运算核心素养。
三、教学重点与难点重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．难点：利用投影向量统一研究空间距离问题.四、教学过程设计前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系．除了上述平行、垂直这些特殊的位置关系外，立体几何中还经常需要研究距离、角度等度量问题．现在，我们仍然通过空间向量及其运算研究这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题．进一步体会空间向量解决立体几何的向量法法。
距离是欧氏几何中最基本的度量，回顾立体几何的学习，我们发现空间中点、直线、平面之间的距离问题包括：两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离等．距离是这些几何要素之间最短的路径，除两点间距离外，其他距离都需要用垂直刻画．问题1：你能把这些空间中的距离问题归类吗？师生活动：首先学生思考讨论，教师引导得到结果，点到直线的距离、两条平行线之间的距离可以归结为一类，因为两条平行线之间的距离可以转化为一直线上的点到另一条直线的距离问题；其次，点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离可以归结为点（或直线上的点，或一平面上的点）到平面的距离．所有的距离问题，都可以归结为两点间的距离．追问：如何用空间向量研究距离？师生活动：学生思考讨论，类比平面向量的知识，距离可以通过向量的模获得．例如，空间两点间的距离可以转化为空间向量的模的计算．教师可进一步点拨，除两点间的距离外，其他距离问题都需要通过垂直来刻画，投影向量和勾股定理势必在这些距离的计算中发挥重要作用．设计意图:明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题问题2：如图，在空间中任取一点O ，作OM =a ，ON =b .（1）怎样表示向量b 方向上的单位向量u ？（2）如何作出向量a 在向量b 方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量u表示向量a 在向量b 方向上的投影向量及投影向量的模？师生活动：学生回忆已学的概念、讨论交流．给出结果预设的答案（1）||bu =b ； （2）过点M 作1MM 垂直于直线ON ，垂足为1M ，向量1OM 即为向量a 在向量b 方向上的投影向量；（3）1=cos =cos |)|(OM θθ|a |u |u u =a |u a u ，即1=()OM a u u ，1||=||OM a u .设计意图:投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.问题3：已知直线l的单位方向向量u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离？师生活动：学生结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接AP，AQ.进而利用得到向量AP在直线直线l上的投影向量AQ，表示投影向量AQ，求||勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.预设的答案：如图，设AP =a ，则向量AP 在直线l 上的投影向量|cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠=a |u a |u |u a u u .在Rt AQP △中，由勾股定理，得222||||)PQ AP AQ =-=a a u .设计意图：学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.追问1：若AP 与直线l 垂直，点P 到直线l 2)a u 吗？师生活动：学生思考后作答，若AP 与直线l 垂直，则0=a u ，2)||||PA PQ ==a u .追问2：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P 以及直线l ，那么点A 应该如何确定？师生活动：学生思考后作答，点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点A 的变化而变化，故点A 可以是直线l 上的任意一点.追问3：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？师生活动：学生思考后作答，不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.设计意图：通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点P到直线l距离问题时，只需该点P和直线l上的任意一点A确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.师生活动：教师总结，要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点P到直线l距离问题时，只需直线l的方向向量及直线上l的任意一点A，这样得到参考向量AP或PA，再求得直线的单位方向向量带入公式即可.追问4：求点到直线距离的主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答，(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.问题4：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？2师生活动：教师引导学生分析，问题中条件是什么，如何利用条件实现问题转化，学生思考后作答，在其中一条直线上任取一点P，将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离.设计意图：根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.问题5：已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点比点到直线距P作出平面α的垂线l，交平面α于点Q.类离的研究过程，如何用向量AP表示QP？追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？ 师生活动：由学生回答法向量追问2:你能类比求点到直线的距离的方法，利用向量投影求出点到平面的距离吗？师生活动：学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点拨；学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面的距离的步骤第一步，确定平面α的法向量n ;第二步，选择“参考向量”AP ;第三步，确定“参考向量”AP 向法向量的n 的投影向量QP ;第四步，求投影向量QP 的模长，得到|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠=n n n n 设计意图 ：教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题6：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P以及平面α，那么点A应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点P在平面α内的投影以及垂线段？师生活动：学生思考后作答，点A可以是平面α内的任意一点.不需要找出点P 在平面α内的投影以及垂线段.教师讲授：求解点P到平面α距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面α的法向量及平面α内的任意一点A，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.设计意图：类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.追问：如果直线l与平面α平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？师生活动：学生思考后作答，先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.设计意图：通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题7：求点到平面的距离主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答， (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.(1)求点B 到直线1AC 的距离；(2)求直线FC 到平面1AEC 的距离.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点A 在直线1AC 上，因此，可以选择AB 作为参考向量.事实上，可以选择直线1AC 上的任意一点和F 确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量1AEC 不唯一.解：以1D 为原点， 11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,1)A ，(1,1,1)B ，(0,1,1)C ，1(0,1,0)C ，1(1,,0)2E ，1(1,,1)2F ，所以(0,1,0)AB =，1(1,1,1)AC =--,1(0,,1)2AE =-,11(1,,0)2EC =-,1(1,,0)2FC =-,1(0,,0)2AF =.（1） 取(0,1,0)AB ==a ，1133||1,1,1)AC AC ==--u ，则 21=a ，3⋅=a u ．所以，点B 到直线1AC 2)13=-=a u ． (2) 因为11(1,,0)2FC EC ==-，所以1//FC EC ，又FC ⊄面1AEC ，1EC ⊂面1AEC ，所以//FC 平面1AEC ，所以点F 到平面1AEC 的距离，即为直线FC 到平面1AEC 的距离．设平面1AEC 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩所以 2,.y z x z =⎧⎨=⎩取1z =，则1x =，2y =,所以，(1,2,1)=n 是平面1AEC 的一个法向量, 又因为1(0,,0)2AF=，所以点F到平面1AEC 的距离为 1|(0,,0)(1,2,1)|||||AF ⋅⋅==n n 即直线FC 到平面1AEC 的距离为6设计意图 ：通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问：求两种距离的步骤是怎样的？师生活动：学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.点P到直线l的距离：第一步：建系，在直线l上任取一点A (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量AP(或PA)”的坐标.第二步：依据图形先求出直线l的单位方向向量u.第三步：带入公式求解.点P到面α的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”AP；第二步：确定平面α的法向量n；第三步：带入公式求值.设计意图：总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 五、课堂检测与评价1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点A 到平面1B C 的距离等于_________；直线CD 到平面1AB 的距离等于________；平面1DA 到平面1CB 的距离等于__________．2．已知直线l 过定点(2,3,1)A ，且(0,1,1)=n 为其一个方向向量，则点()4,3,2P 到直线l 的距离为（ ） A ．322 B ．22 C ．102D ．2 3．已知平面α的一个法向量()2,2,1=--n ，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为（ ）A ．10B ．3C ．83D ．1034．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面1A DB 与平面11D CB 的距离．设计意图 ：作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.六、教学反思教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。
高中数学_3.2 空间向量在立体几何中的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
专题七 立体几何第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级行政班级 姓名 学号 面批时间课前自学案【考情分析】立体几何是高考的重点内容之一,从近几年高考试题来看,主要是考查线面位置关系的判断与证明;三是考查空间向量的应用,尤其空间向量法求空间角（特别是二面角）是考查的热点之一.主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围； (2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角． 【要点梳理】1．平行关系及垂直关系的转化2．空间角的求解(1)异面直线所成的角：若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ(0＜θ≤π2)，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.(2)线面角：设直线l 与平面α所成的角为θ(0≤θ≤π2)，直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则sin θ＝|cos 〈a ，μ〉|＝|a ·μ||a ||μ|. (3)二面角：设二面角大小为θ(0≤θ≤π)，两个面的法向量分别为μ和v ，则|cos θ|＝|cos 〈μ，v 〉|＝|μ·v ||μ||v |.易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，是线面角的正弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．编号012【课前自测】1.(2013年高考卷理 4）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )（A ） 512π （B ）3π （C ） 4π （D ） 6π2.(2009年高考卷理5)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课内探究案【考点突破】考点一：空间位置关系的判定例1.（1）(2013年高考广东卷理科6)设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α变式训练：(1) (2014年高考广东卷理 7）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是( )A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定(2)设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 考点二：空间位置关系的证明例2.（2013广东卷文）如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三图 4GEF ABCD图 5DGBFCAE棱锥A BCF -,其中22BC =.(1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.考点三：空间角的求解例3.(12理18）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ；（Ⅱ）求二面角F -BD -C 的余弦值.【当堂检测】1. 【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.3010D.22 2． 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为_____________.3. 【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥.（Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.专题七 立体几何编号第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级 行政班级 姓名 学号 面批时间课后拓展案A 组1. 【2014高考卷第17题】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点. （Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.2．【2014高考天津第17题】如图，在四棱锥PABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC；（Ⅰ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅰ）若F为棱PC上一点，满足BF AC，求二面角F AB P的余弦值．B组3.（2013年高考北京卷理科17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面AB C⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求1BDBC的值.4.【2014高考全国2第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，3求三棱锥E-ACD的体积.反思：这节课不满意的几点：(1) 题量的安排。
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、探究题型，掌握解法。
二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。
探究题型，掌握解法。
三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。
在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。
四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。
设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。
所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。
因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。
在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。
课题空间向量坐标法在立体几何解题中的应用一
利用空间向量坐标法解决立体几何问题，必须先建立空间直角坐标系，然后把向量通过坐标形式表示出来，而其他的则完全可以通过运用向量的有关知识使问题得到解决。因此，这种方法的关键在于能够选取适当的直线建立空间直角坐标系。能用这种方法解题的立体几何模型一般是具有较多垂直关系的正方体、长方体、直（正）棱柱、正棱锥或有一条侧棱垂直于底面的棱锥等。
例3．（专题复习（三）.例5）
如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，
点P、Q分别是ED和AC的中点，求：
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线角坐标系D—x y z，则
D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），
如图，建立空间直角坐标系G—x y z，则
G（0 , 0 ,0）,D（0, , 0）,B（ ,0, 0）,A（0,－ , 0），P（0，0, ）,
∴ =（ ,0, 0）， =（0, , ）， =（0,a,0），
∴ · =0， · =0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，即BG⊥AP，BG⊥AD，
∴BG⊥面PAD.
方法二：∵侧面PAD是正三角形，G是AD的中点，
因此，求两条异面直线a和b的距离，可不必通过先找出这两条异面直线的公垂线段，再求其公垂线段的长度求得。求两条异面直线a和b的距离，还有如下两种常见的思路：
思路一：求这两条异面直线中的一条直线(如a)上的某一点到过另一条直线(如b)且与这条直线(如a)平行的平面的距离；
思路二：先求直线a、b上方向向量 、 的法向量 和向量 (点A，B分别在异面直线a，b上)，再求向量 、 的单位法向量 ，最后代入式子| · |。
∴ · =0，即 ⊥ ，
∴BG⊥面PAD.
空间向量在立体几何中的应用说课资料
谢谢！
三、教学媒体设计
本节课需要借助多媒体设备，为了展示学生的解 题情况还需要实物投影仪器。
五、教学反思
• 学生对于向量方法解决几何问题有了进一步的理解和掌握 ，同时也基本掌握了解决这类问题的“三步曲”，绝大部 分学生能够独立动手完成。但也还有个别学生在确定点的 坐标的时候出错，有少部分的学生认为求解平面的法向量 一个很痛苦的事情，非常的容易求错。对于希望能够通过 这节课的教学来达到让学生理解运用向量的运算结果来解 释几何问题的这一个目标，已经初步形成了一个印象，在 下节课空间向量在立体几何中的运用（关于角的问题的研 究）将继续渗透。从而对于数形结合的数学思想有了一个 认识上的提高！在后期还要加强学生的过手练习，做到每 一个学生见到这类似的题目，都能会心一笑。
知识基本结束之后的一节课，本节课的核心内容就是利用空
间向量来解决立体几何中平行和垂直两个问题。其一般方法 是：先建立立体图形与空间向量的联系;进行空间向量运算;
由向量运算的代数结果解释几何结论。也就是整个教学过程
中所涉及到的“三步曲”。
（二）、学情分析
学生是课堂的主人，只有了解学生才能有针对性的教学。 高二、3班是一个理科普通班，很多学生立体几何的学习存在较 大的困难，而在动手方面也有一定的欠缺。要想提高学生的学 习能力，增强学生对本章节学习的信心，从而对数学的学习也 有一定的促进作用，要在学生的动手方面下功夫，同时在程序 化完成这类题目方面进行强调。让学生动起来是最为重要的一 点。
3
情感、态度和价值观：让学生感受空间向量作为工具解
决几何问题的乐趣和意义，从而激发学数学、用数学的热情。
（二）、教 学 重 难 点
重点
用空间向量解决平行和垂直问题的向量表现
《空间向量在立体几何中的应用》教学设计
《空间向量在立体几何中的应用》教学设计一。
教学目标 （一）知识与技能1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题。
(二）过程与方法1。
体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程； 2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程． （三）情感态度与价值观1。
通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想;2.培养学生向量的代数运算推理能力；3.培养学生理解、运用知识的能力． 二。
教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题．难点：用空间向量求二面角的余弦值．三.教学方法:情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四.教学用具：电脑、投影仪． 五。
教学设计 （一)新课导入1。
提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二）新课学习1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值。
（1)设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点,则12,l l.(2）设AB 是平面α的斜线,且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与平面αn 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线,则AB 与平面α。
（3）设12,n n 是二面角l αβ--的面,αβ就是二面角的平面角或补角的余弦值。
例1：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线'AC DE 与所成角的余弦值。
（2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角的余弦值（3）求平面'B EDF 与平面ABCD分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB ，AD,AA ´，建立空间直角坐标系A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标,然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.解：（1）如图建立坐标系,则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a 。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念，理解空间向量的几何表示和运算规则。
2. 培养学生运用空间向量解决立体几何问题的能力，提高空间想象和思维能力。
3. 通过对空间向量与立体几何的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。
二、教学内容1. 空间向量的基本概念及几何表示2. 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘、共线向量、平行向量）3. 空间向量的数量积（定义、性质、运算规则、几何意义）4. 空间向量的垂直与平行（垂直的判断、平行的判断、垂直与平行的应用）5. 空间向量在立体几何中的应用（线线、线面、面面间的位置关系）三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量与立体几何的基本概念、性质和运算规则。
2. 运用案例分析法，引导学生通过具体例子学会运用空间向量解决立体几何问题。
3. 利用多媒体技术，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。
4. 开展小组讨论与合作交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
四、教学环境1. 教室环境：宽敞、明亮，教学设备齐全，包括黑板、投影仪、计算机等。
2. 学习资源：教材、辅导资料、网络资源等。
3. 实践场地：学校机房、实验室等。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 考试成绩：定期进行测验，检验学生对空间向量与立体几何知识的掌握情况。
4. 实践能力：评估学生在实践活动中运用空间向量解决立体几何问题的能力。
5. 学生自评与互评：鼓励学生自我总结，互相交流学习经验，提高学习效果。
六、教学重点与难点教学重点：1. 空间向量的基本概念及几何表示。
2. 空间向量的线性运算规则。
3. 空间向量的数量积的定义和性质。
4. 空间向量的垂直与平行判断。
5. 空间向量在立体几何中的应用。
教学难点：1. 空间向量的数量积的运算规则。
立体几何与空间向量的教学设计单元
立体几何与空间向量的教学设计单元
1. 单元概述
1.1 单元目标
通过本单元的学习，学生应能够：
- 理解立体几何的基本概念，包括点、线、面、体等；
- 掌握空间向量的基本运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘；
- 能够运用立体几何与空间向量解决实际问题。
1.2 单元内容
本单元包括以下内容：
- 立体几何的基本概念；
- 空间向量的基本运算；
- 空间向量在立体几何中的应用。
2. 教学策略
2.1 教学方法
- 讲授法：用于讲解立体几何的基本概念和空间向量的基本运算；
- 实践操作法：用于让学生通过实际操作加深对立体几何和空间向量的理解；
- 问题解决法：用于引导学生运用立体几何和空间向量解决实际问题。
2.2 教学资源
- 教材：用于提供学习的理论知识；
- 计算机软件：用于辅助学生进行空间向量的实践操作；
- 实物模型：用于帮助学生直观地理解立体几何的概念。
3. 教学安排
3.1 教学时长
本单元的教学时长为20课时，其中：
- 立体几何的基本概念：5课时；
- 空间向量的基本运算：6课时；
- 空间向量在立体几何中的应用：9课时。
3.2 教学计划
请见下表：
4. 教学评价
本单元的教学评价将采用以下方式：
- 平时作业：30%；
- 课堂表现：30%；
- 期末考试：40%。
希望这份教学设计单元能够帮助你更好地进行教学活动。
如果有任何问题，请随时提问。
空间向量与立体几何 教案
空间向量与立体几何教案教案标题：空间向量与立体几何教案概述：本教案旨在帮助学生理解和应用空间向量与立体几何的概念和原理。
通过引导学生进行实际问题的解决，培养学生的空间想象力和几何思维能力。
教案内容涵盖了空间向量的基本概念、向量运算、向量的线性相关性以及立体几何中的平面与直线的方程等知识点。
教学目标：1. 理解空间向量的基本概念和性质；2. 掌握空间向量的运算法则；3. 理解向量的线性相关性及其几何意义；4. 掌握立体几何中平面与直线的方程求解方法；5. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 空间向量的基本概念和运算法则；2. 向量的线性相关性及其几何意义；3. 立体几何中平面与直线的方程求解方法。
教学难点：1. 向量的线性相关性及其几何意义的理解与应用；2. 立体几何中平面与直线的方程求解方法的掌握与运用。
教学准备：1. 教材：空间向量与立体几何相关章节；2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等；3. 学生练习册、作业本等。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）通过一个生活实例引入空间向量的概念，如飞机起飞、导弹发射等，让学生了解空间向量的应用背景和重要性。
Step 2：学习空间向量的基本概念和运算法则（15分钟）2.1 讲解空间向量的定义和表示方法；2.2 引导学生进行向量的加法、减法和数量乘法的运算练习；2.3 给出一些实际问题，让学生通过运算求解。
Step 3：理解向量的线性相关性及其几何意义（20分钟）3.1 讲解向量的线性相关性的定义和判定方法；3.2 引导学生进行线性相关性的判定和几何意义的分析；3.3 给出一些实际问题，让学生应用线性相关性解决问题。
Step 4：掌握立体几何中平面与直线的方程求解方法（25分钟）4.1 讲解平面与直线的方程的定义和求解方法；4.2 引导学生进行方程的求解练习；4.3 给出一些实际问题，让学生应用方程求解几何问题。
Step 5：综合应用与拓展（15分钟）给出一些综合性的应用题，让学生综合运用所学知识解决问题，并引导学生思考如何将所学知识应用到更复杂的几何问题中。
空间向量与立体几何(整章教案
空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示了解向量的概念，掌握向量的几何表示和代数表示。
学习向量的长度和方向，掌握向量的模和单位向量。
1.2 向量的运算学习向量的加法、减法和数乘运算。
掌握向量加法和减法的几何意义，理解数乘向量的意义。
1.3 向量的坐标表示学习空间直角坐标系，了解向量的坐标表示方法。
掌握向量坐标的加法和数乘运算，理解向量坐标的几何意义。
第二章：立体几何基础2.1 平面立体几何学习平面的基本性质，掌握平面方程和点到平面的距离公式。
学习直线与平面的位置关系，了解线面平行、线面相交和线面垂直的判定条件。
2.2 空间立体几何学习空间几何体的基本性质，包括点、线、面的位置关系。
掌握空间几何体的体积和表面积计算公式，了解空间几何体的对称性。
第三章：空间向量在立体几何中的应用3.1 空间向量与直线的位置关系学习利用空间向量判断直线与直线、直线与平面的位置关系。
掌握向量夹角的概念，学习利用向量夹角判断直线与直线的夹角。
3.2 空间向量与平面的位置关系学习利用空间向量判断平面与平面的位置关系。
掌握平面法向量的概念，学习利用平面法向量求解平面方程。
3.3 空间向量与空间几何体的位置关系学习利用空间向量判断空间几何体与空间几何体的位置关系。
掌握空间几何体的体积和表面积计算方法，学习利用空间向量求解空间几何体的体积和表面积。
第四章：空间向量的线性运算与立体几何4.1 空间向量的线性组合学习空间向量的线性组合，掌握线性组合的运算规律。
理解线性组合在立体几何中的应用，包括线性组合与空间几何体的关系。
4.2 空间向量的线性相关与线性无关学习空间向量的线性相关和线性无关的概念。
掌握判断空间向量线性相关和线性无关的方法，理解线性相关和线性无关在立体几何中的应用。
4.3 空间向量的基底与坐标表示学习空间向量的基底概念，掌握基底的选取方法。
学习空间向量的坐标表示方法，理解坐标表示在立体几何中的应用。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案教案：空间向量与立体几何一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握空间向量的基本概念和运算法则，并能够运用空间向量解决立体几何问题。
2.过程与方法目标：培养学生的观察能力和逻辑思维能力，通过实例分析和综合运用，激发学生对数学的兴趣和学习积极性。
3.情感态度目标：培养学生的合作学习精神，增强学生对数学的自信心和探究精神。
二、教学重点难点：1.教学重点：空间向量的概念、性质及运算法则。
2.教学难点：如何灵活应用空间向量解决立体几何问题。
三、教学方法：1.教师讲授与学生合作探究相结合的方法。
2.案例分析和综合运用的方法。
四、教学过程：第一节空间向量的概念和性质（40分钟）1.通过引入空间向量的概念，让学生了解空间向量的定义，并掌握向量的表示方法。
2.解释向量的性质，如向量的加法、数乘、共线和共面性质。
3.设计一些简单的例题进行讲解，引导学生掌握和理解空间向量的性质。
第二节空间向量的运算法则（40分钟）1.通过实例引导，让学生掌握向量的加法、减法、数量积和向量积的运算法则。
2.类比二维向量，在立体几何实例中引入空间向量运算，帮助学生理解和应用空间向量运算。
第三节空间向量在立体几何中的应用（40分钟）1.通过立体几何实例，引导学生运用空间向量解决立体几何问题。
2.给学生创设情境，让学生在小组合作的形式下，互相讨论和解决立体几何问题。
3.设计不同难度的立体几何问题，让学生进行综合运用，提高解决问题的能力。
第四节拓展课程与归纳总结（40分钟）1.设计拓展课程，引导学生发现和探究空间向量在其他学科中的应用，如物理、工程等领域。
2.巩固和总结空间向量的知识点，通过小测验和思维导图等方式，让学生检验和反思自己的学习效果。
五、教学资源准备：1.多媒体教学设备和教学课件。
2.各类立体几何教具和实物模型。
3.教科书及参考资料。
六、教学评价与反思：1.课堂提问与讨论，根据学生的回答和互动评价学生的理解和能力。
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空间向量在立体几何中的应用
教学目标:
（1）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（2）能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直
（3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程：
1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角
设分别为异面直线的方向向量，则
2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角
设是直线l 的方向向量，n
是平面的法向量，则
3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设
分别为平面
的法向量，则θ与
互补或相等，
注意：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。
（2）求出相关点的坐标。
（3）写出向量坐标。
（4）结合公式进行论证、计算。
（5）转化为几何结论。
例1：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1
2AB ，N 为AB 上一点，
AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （1）证明：CM ⊥SN ；
（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小.
分析：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标
系，如图。
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1
2,0)
（1）
111(1,1,),(,,0),
222
11
00
22
1
(II)(,1,0),
2
(,,)CMN 022,(2,1,2)
1021
-1-22|cos |=
22
32
SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=⎧-+=⎪⎪==-⎨⎪-+=⎪⎩<>=⨯
因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o
45角为
例2：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，
2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。
(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。
分析：本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
解：
,,//,,,,,,,.
ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面
A
E
F
B
C D
H
G
X
Y
Z
H HB GH HF
如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，
1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则
(1)
(0,0,1),
(0,0,1),////HF HF
GE HF HF ∴==∴⊂⊄∴ 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB
(2)
(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥ GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.
(3)
1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).
010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩
⎪⎩∴=-
1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）
2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).
00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩
⎪⎩∴=
2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）
1212121211
cos ,,2
||||22,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=
即二面角B-DE-C 为60。
例3：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC
上的点，2CF AB CE ==,
1::1:2:4AB AD AA = （1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （2）证明AF ⊥平面1A ED
（3）求二面角
1A ED F --的正弦值。
分析：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
解：（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴建立空间直角坐标系
（如图所示），设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1
(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫
⎪
⎝⎭
易得
10,,12EF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ ,1(0,2,4)A D =-
，于是1113cos ,5EF A D EF A D EF A D
==-
，
所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为3
5。
（2）证明：已知(1,2,1)AF = ,
131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭ 于是AF ·1EA =0，AF ·ED
=0.因此，
1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1
A ED
(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =
，则00u EF u ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,即1
02
102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩
不妨令X=1,可得
(1,21u →
=-）。
由（2）可知，AF →
为平面
1
A ED 的一个法向量。
于是
2cos
,==3
||AF AF |AF|
u u u →
→
→
→
→→∙，从而
5sin
,=
3AF u →→
所以二面角1
A -ED-F 的正弦值为5
3
本课小结：利用空间向量方法求线线角，线面角，二面角
巩固练习：
1，如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP=AB=2， BC=22，E ，F 分别是AD,PC 的中点. （Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF ；
（Ⅱ）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。
.
2. 某组合体由直三棱柱111C B A ABC -与正三棱锥ACD B -组成，如图所示，其中，
BC AB ⊥．它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为22+1，1，22+1．
（1）求直线1CA 与平面ACD 所成角的正弦；
（2）在线段1AC 上是否存在点P ，使⊥P B 1平面ACD ，若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．。