空间向量在立体几何中的应用教案

空间向量在立体几何中的应用

教学目标:

（1）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直

（3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程：

1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角

设分别为异面直线的方向向量，则

2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角

设是直线l 的方向向量，n

是平面的法向量，则

3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设

分别为平面

的法向量，则θ与

互补或相等，

注意：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。

例1：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1

2AB ，N 为AB 上一点，

AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （1）证明：CM ⊥SN ；

（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

分析：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标

系，如图。

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1

2,0)

（1）

111(1,1,),(,,0),

222

11

00

22

1

(II)(,1,0),

2

(,,)CMN 022,(2,1,2)

1021

-1-22|cos |=

22

32

SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=⎧-+=⎪⎪==-⎨⎪-+=⎪⎩<>=⨯

因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o

45角为

例2：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，

2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。

分析：本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解：

,,//,,,,,,,.

ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面

A

E

F

B

C D

H

G

X

Y

Z

H HB GH HF

如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，

1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则

(1)

(0,0,1),

(0,0,1),////HF HF

GE HF HF ∴==∴⊂⊄∴ 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB

(2)

(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥ GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.

(3)

1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).

010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩

⎪⎩∴=-

1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）

2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).

00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩

⎪⎩∴=

2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）

1212121211

cos ,,2

||||22,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=

即二面角B-DE-C 为60。

例3：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC

上的点，2CF AB CE ==,

1::1:2:4AB AD AA = （1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （2）证明AF ⊥平面1A ED

（3）求二面角

1A ED F --的正弦值。

分析：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。 解：（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴建立空间直角坐标系

（如图所示），设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1

(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫

⎪

⎝⎭

易得

10,,12EF ⎛⎫

= ⎪⎝⎭ ,1(0,2,4)A D =-

，于是1113cos ,5EF A D EF A D EF A D

==-

，

所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为3

5。

（2）证明：已知(1,2,1)AF = ,

131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪

⎝⎭ 于是AF ·1EA =0，AF ·ED

=0.因此，

1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1

A ED

(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =

，则00u EF u ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,即1

02

102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨

⎪-+=⎪⎩

不妨令X=1,可得

(1,21u →

=-）。由（2）可知，AF →

为平面

1

A ED 的一个法向量。 于是

2cos

,==3

||AF AF |AF|

u u u →

→

→

→

→→∙，从而

5sin

,=

3AF u →→