运筹学绪论要点
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结
运筹学是研究在有限资源条件下，如何最优化决策问题的学科。它是应用数学的一部分，主要包括线性规划、整数规划、图论等
方向。运筹学在工业、交通、军事、金融等各个领域有广泛的应用。
一、线性规划
线性规划是运筹学中应用最广泛的部分，也是最基础的部分。
线性规划是一种数学方法，用于确定线性函数的最大值或最小值。它被用来优化各种决策问题，例如成本最小化、收益最大化等。
如果一个问题可以通过不等式和等式来表示，同时还满足线性
条件，那么这个问题就可以用线性规划来解决。
二、整数规划
整数规划是指在优化问题中，变量需要满足整数限制的问题。
它是一个复杂的优化问题，通常需要使用分支定界法等高级算法
来解决。
整数规划在生产安排、设备选型等问题中有广泛应用。例如，
在工厂的生产调度中，每个任务的产量必须是整数，因此需要使
用整数规划来制定生产计划。
三、图论
图论是运筹学的一个重要分支，它是一种研究图形结构和它们
的互相关系的数学理论。在运筹学中，图论被用来解决一些最短
路径、最小花费等问题。
图论在计算机科学中也有广泛的应用。例如，它被用来分析互
联网的连接模式，制定数据传输的路径等。
四、决策分析
决策分析是指选择最优行动方案的过程，它使用决策分析方法
来权衡各种可行方案的利弊。这些方法包括概率分析、统计分析、风险分析等。
决策分析在金融、政府和企业管理等领域中有广泛的应用。例如，在股票投资中，决策分析被用来估计利润和风险，从而选择
最优的投资组合。
五、排队论
排队论是研究排队系统行为的学科，它被用来分析服务过程中
的等待时间、系统容量和服务能力等因素。排队论可以用来优化
运筹学必考知识点总结
运筹学必考知识点总结
在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、
方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。本文将对运筹学的一些必考
知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
1. 线性规划
线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。在线性
规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。考生需要
掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。
2. 整数规划
整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。整数规划在实际应用中有着广泛
的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。
3. 动态规划
动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。在动态规划中，问题被分解为多个
子问题，并且这些子问题之间存在重叠。考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方
程的建立以及动态规划算法的实现。
4. 网络流问题
网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。在
网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。
5. 效用理论
效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。
6. 排队论
排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。在排队论中，考生需要了解排
队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。
7. 多目标决策
多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。在多目标决策中，往往需要考虑到多个目
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法
1.基本概念
线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式
约束条件为等式（=）
约束条件的常数项非负（b j≥0）
决策变量非负（x j≥0）
3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对
最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析
目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析
对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
1.YRG运筹学 绪论
n\m
你出正面 你出反面
美女出正面
(+3，-3) (-2，+2)
美女出反面
(-2，+2) (+1，-1)
假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1-x， 3x + (-2)*(1-x)=(-2) * x + 1*( 1-x )
设美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y， -3y + 2( 1-y )= 2y + (-1) * ( 1-y )
你正在图书馆苦坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学 游戏。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么 我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”那么 该不该和这位姑娘玩这个游戏呢？这个游戏公平吗？ 每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡，一种是纯策略纳什均衡，也 就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚 得最多或亏得最少；或者是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策 略纳什均衡。
《运筹学》PPT 2013.9.10
YRG
一 绪论
一《运筹学》学科起源
《运筹学》起源于英国，跟雷达一样，是为了英国防空这一专门的军事需要 而提出的。 二次大战期间，英国对德国宣战。由于英国是一个岛国，英伦三岛上任何一 块陆地到海岸的距离都不超过70英里，这个距离，德国的轰炸战只需17分钟 就能飞到，因而防空就成了英国政府的首要任务。英军如何能够尽早的发现 敌机，使自己的防空战斗机有时间起飞、爬高并能在敌机深入到中心区之前 与迎击呢？
运筹学知识点
运筹学知识点：
绪论
1.运筹学的起源
2.运筹学的特点
第一章线性规划及单纯形法
1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负
5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量
6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系
7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解
8.用图解法只有解决两个变量的决策问题
9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题
13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
运筹学--第一讲概论
兰德（ RAND） 公司（ 美国） 的一项研究： 兰德 （ RAND ） 公司 （ 美国 ） 的一项研究 ： RAND （ Research And Development Company） Company） 1950年 月朝鲜战争爆发。不久， 1950年6月朝鲜战争爆发。不久，麦克阿素指 挥的以美国为首的“联合国军”在仁川登陆， 挥的以美国为首的“ 联合国军”在仁川登陆， 拦腰切断朝鲜人民军的后路， 拦腰切断朝鲜人民军的后路， 包围并重挫了 朝鲜人民军的主力。然后， 朝鲜人民军的主力 。然后 ，美国军队长驱北 逼近鸭绿江边。 上，逼近鸭绿江边。
丁谓挖沟
北宋年间，丁谓负责修复火毁的开封皇宫。 北宋年间，丁谓负责修复火毁的开封皇宫。他的施工方案 取土、运材、 是：取土、运材、除圾 1、取土 先将工程皇宫前的一条大街挖成一条大沟，将大 、 先将工程皇宫前的一条大街挖成一条大沟， 沟与汴水相通。使用挖出的土就地制砖； 沟与汴水相通。使用挖出的土就地制砖； 2、运材 令与汴水相连形成的河道承担繁重的运输任务； 、 令与汴水相连形成的河道承担繁重的运输任务； 3、除圾 修复工程完成后，实施大沟排水，并将原废 、 修复工程完成后，实施大沟排水， 回填，修复成原来的大街。 墟物 回填，修复成原来的大街。 丁谓将取材、运输及废墟物的处理用“一沟三用” 丁谓将取材、运输及废墟物的处理用“一沟三用”巧 妙地解决了。 妙地解决了。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结
运筹学是一门研究如何有效决策和优化资源分配的学科，它涵盖了
数学、统计学和计算机科学等多个学科的知识。在现代社会，运筹学
在各个领域都有广泛的应用，比如物流管理、生产调度、供应链优化等。本文将介绍一些运筹学的基本概念和应用。
1. 线性规划
线性规划是运筹学中最基础也是最常用的数学模型之一。它的目标
是在一组线性约束条件下，最大化或最小化线性目标函数。线性规划
可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。常见的线性规
划算法有单纯形法和内点法。
2. 整数规划
整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中决策变量被限制为整数。整数规划在许多实际问题中都有应用，比如货车路径优化、工人调度等。求解整数规划问题的方法包括分支定界法和割平面法。
3. 图论
图论是运筹学中的一个重要分支，它研究图的性质和图算法。图是
由节点和边组成的数学结构，可以用来表示网络、路径、流量等问题。常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流算法。
4. 排队论
排队论研究的是随机到达和随机服务的系统中的排队行为。它在交
通规划、电话网络、客户服务等领域有广泛的应用。常见的排队论模
型有M/M/1队列、M/M/c队列和M/G/1队列。排队论可以用来优化服
务水平、减少等待时间等。
5. 动态规划
动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它将问题分解为一系
列子问题，并通过递归的方式求解。动态规划常用于求解最优化问题，比如背包问题、旅行商问题等。它的核心思想是将问题转化为子问题
的最优解，并利用子问题的最优解求解原问题。
6. 模拟优化
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结
一、线性规划
线性规划是运筹学中最基础、最重要的一个分支。它的基本形式可以表示为：
Max cx
s.t. Ax ≤ b
x ≥ 0
其中，c是一个n维的列向量，x是一个n维的列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维的列向量。线性规划的目标是找到满足约束条件的x，使得目标函数cx取得最大值。而当目标是最小化cx时，则是最小化问题。线性规划问题有着很好的性质，它的最优解
一定存在且一定在可行域边界上。而且，很多非线性规划问题也可以通过线性化转化成线
性规划问题，因此线性规划具有广泛的适用范围。
二、整数规划
整数规划是线性规划的一个扩展，它在线性规划的基础上增加了对决策变量的整数取值限制。这样的问题往往更加接近实际情况。整数规划问题的一般形式可以表示为：
Max cx
s.t. Ax ≤ b
x ∈ Zn
整数规划问题的求解难度要比线性规划问题高很多。因为整数规划问题是NP-hard问题，
也就是说它没有多项式时间的算法可以解决。但是对于特定结构的整数规划问题，可以设
计专门的算法来求解。比如分枝定界法、动态规划等。整数规划问题在许多领域都有着广
泛的应用，比如生产调度、设备配置、网络设计等。
三、动态规划
动态规划是一种用来求解具有重叠子问题结构的最优化问题的方法。它的核心思想是将原
问题分解成一系列相互重叠的子问题，然后利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。
动态规划问题的一般形式可以表示为：
F(n) = max{F(n-1), F(n-2)+cn}
其中，F(n)是问题的最优解，cn是问题的参数，n是问题的规模。动态规划问题的求解是
运筹学(重点)
——基本可行解
令 x2=x4 =0，则 x3 =-1, x1=4，X=(4,0,-1,0)T ——非基本可行解
18
§1.2 线性规划问题的图解方法 －－－解的几何表示
图解法是直接在坐标系中作图来解线性规划 问题的一种方法，适合于求解两个变量或至多三 个变量的线性规划问题。
19
图解法举例 例1 maxZ=2x1+3x2
销地 产地 A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 10 8 5
29
模型 设 xij—第i产地到第j销地之间的调运量，则有
Min z = cij·xij
i=1 j=1 3 4
产 量 限 制
x11+x12+x13+x14=7
x21+x22+x23+x24=4 x31+x32+x33+x34=9
初始方案最优性检验改进方案
2.最小元素法
一、初始方案的确定
二、最优性检验
1.闭回路法
2.位势法
三、方案改进方法
在闭回路内改进。
28
典例：
某食品公司经营糖果业务，公司下设三个工厂A1、A2、 A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的生 产量、销售量及调运时的单位运输费用情况。问：如何调运 可使总费用最小？ 生产量：A1—7吨， A2 — 4吨， A3 — 9吨 销售量：B1 — 3吨，B2 — 6吨，B3 — 5吨，B4 — 6 吨
运筹学学习指导
运筹学学习指导
运筹学学习指导及习题集大纲
目录
第一部分运筹学学习指导
第1章绪论学习要点
第2章线性规划建模及单纯形法
2．1 学习要点及思考题
2．2 课后习题参考解答
第3章线性规划问题的对偶与灵敏度分析3．1 学习要点及思考题
3．2 课后习题参考解答
第4章运输问题
4．1 学习要点及思考题
4．2 课后习题参考解答
第5章动态规划
5．1 学习要点及思考题
5．2 课后习题参考解答
第6章排队论
6．1 学习要点及思考题
6．2 课后习题参考解答
第7章目标规划
7．1 学习要点及思考题
7．2 课后习题参考解答
第8章图与网络分析
8．1 学习要点及思考题
8．2 课后习题参考解答
第9章存贮论
9．1 学习要点及思考题
9．2 课后习题参考解答
第10章决策分析
10．1 学习要点及思考题
10．2 课后习题参考解答
第一部分运筹学学习指导
第1章绪论学习要点
1.1运筹学及其应用、发展
(1)、运筹学的英文通用名称为“Operations Research”简称OR，按照原意应译为运作研究或作战研究，是一门基础性的应用学科。运筹学主要研究系统最优化的问题，通过对建立的模型求解，为决策者进行决策提供科学依据。
(2)、运筹学在早期的应用主要在军事领域，二次大战后运筹学的应用转向民用。经过几十年的发展，运筹学的应用已经深入到社会、政治、经济、军事、科学、技术等各个领域，发挥了巨大作用。
(3)、运筹学的研究和应用越来越广泛和深入，美国前运筹学会主席邦特(S．Bonder)认为，运筹学应在三个领域发展：运筹学应用、运筹科学和运筹数学，他在建议着重发展前两者的同时，强调这三个领域应从整体上协调发展。
运筹学课程大纲
运筹学课程大纲
课程名称：运筹学/ Operational Research课程编号：241006课程属性:学科基础必修课
授课对象：各专业本科生总学时/学分：48/3开课学期：第3学期执笔人：
先修课程：线性代数编写日期：
一、课程概述
决策问题是企业管理者面临的重大问题，通过系统专业的学习可以提高决策者的定量决策能力。本课程是现代管理理论的重要组成局部，是管理类本科生标志性的专业基础课之一。课程以管理决策问题为实际背景，以数学模型为主要工具，核心内容是建立数学模型及其求解方法，目的是培养学生定量分析与决策能力。通过本课程的学习，使学生掌握和了解运筹学的基本思想、建模过程及其在工商管理中的应用，培养学生进行定量分析和定量决策的能力。
Decision making is a major problem facing managers, who can improve the quantitative decision making capacity through a system of professional learning. Being an important part of modern management theory, this course is one of the mark management undergraduate professional courses which taking management decision making for example, using mathematical models as the main tool, aiming at developing the students ability of quantitative analysis and decision-making by the mathematical model and its solving method, and enabling students understand the ideas of operational research, modeling and its application in business management, training students ability of quantitative analysis and decision-making.
运筹学的主要内容及如何学好运筹学
应考范围包括：线性规划、动态规划、整数与网络规划。具体考查要点详见本纲第二 部分。
三、评价目标
运筹学考试的目标在于考查学生运筹学的基本概念、基本理论和方法的掌握以及对实
际问题的分析、建立必要的数学模型和求解问题的能力。考生应能： 1. 正确理解运筹学中的基本概念和基本理论。 2. 正确分析实际问题并建立相应的数学模型。 3. 掌握求解运筹学中常见问题的方法。 4. 能正确的解释所求问题的计算结果。
第二章 硕士研究生入学考试《运筹学》
考试大纲 参考
第一部分 考试说明
一、考试性质
全国硕士研究生入学考试是为高等学校招收硕士研究生而设置的。其中运筹学是为管 理科学各专业考生设置的专业基础课程考试科目，属招生学校自行命题性质。其评分标准 是高等学校优秀本科生能达到的及格或及格以上水平，以保证被录取者具有坚实的运筹学 与管理科学基本理论和较强的分析实际问题的能力，有利于招生学校在专业上择优录取。
在管理、经济类本科专业，运筹学课程的地位越来越重要，但是有较
好针对性地进行《运筹学》教学需要在内容的选择、例题的安排等方面注 意专业知识的相关性。在学习方式上，本课程强调课上教学与课下自学相 结合的形式。学习《运筹学》要把重点放在分析、理解有关的概念、思路 上，不通过自己的分析理解很难掌握课程的核心内容。在学习过程中，提 倡学生应该多向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎 么做等。
运筹学引言-绪论
引言
二、本课程的基本要求
1.了解运筹学的发展 2.深刻理解运筹学整个过程的各个步骤 3.理解各部分的基本概念、基本原理，掌握这些方法的应用 4.掌握计算机处理方法环节(很重要)
引言
三、本课程与有关课程的联系
1.学习本课程要具备有一定的微积分、线性代数的知识以及 数理统计及其它管理方面的知识。
2.为了对变量较多的模型进行求解，必须具备计算机应用方 面的相关技能(EXCEL)。
▪ 决策与实施 只有实施方案后，研究成果才能有收获。
解的实施 实施最优解
运筹学方法的求解过程
管理者 信息收集
模型
反馈
结论 决策 执行 结果
五、运筹学的主要分支
▪ 线性规划
经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或 在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现。
决策变量 目标函数 约束条件 目标函数或约束条件均为线性时称为线性规划的模型。
4.中国 50年代中期，由钱学森、许国志等教授将运筹学由西方
引入中国，并结合我国特点进行推广。
二、运筹学的称谓
英文： Operations Research 缩写： OR
▪ 在日本译作“运用学”， ▪ 在香港、台湾译为“作业研究”， ▪ 我国学者从古语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”取“运
筹”二字，充分体现了这门学科运心筹谋、策略取胜的精 髓。译作“运筹学”。 ▪ Management Science 管理科学
运筹学概论目录
第一章绪论（2学时）
1.1运筹学起源
1.2运筹学的发展
1.3运筹学的应用
1.4运筹学的性质和特点
1.5运筹学的学习与研究方法
第二章线性规划及单纯型法
2.1线性规划问题及其模型（2学时）
2.2.1线性规划图解法
2.2.2 线性规划解的性质（2学时）
2.3单纯形法原理
习题课1 （2学时）
2.4单纯形法计算步骤（2学时）
习题课2 （2学时）
2.5.1单纯形法的进一步讨论（2学时）
习题课3 （2学时）
2.5.2单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法（2学时）2.6线性规划应用举例
2.7习题课4 （2学时）
第三章线性规划的对偶问题（2学时）
3.1对偶问题的提出
3.2原问题与对偶问题的数学模型
3.3原问题与对偶问题的对应关系
第四章运输问题（2学时）
4.1 运输问题
4.2 运输问题的表上作业法（2学时）
习题课5 （2学时）
第五章整数规划（2学时）
5.1 整数规划的数学模型及解的特点
5.2 分支定界法
习题课6 （2学时）
第六章图与网络
6.1 图的基本概念（2学时）
6.2 最优树问题
6.3 最短（通）路问题（2学时）
习题课7 （2学时）
第七章决策分析
7．1 决策系统（2学时）
7．2 确定型决策
7．3 不确定型决策
7．4 风险型决策
7.5 效用函数（2学时）
7.6 贝叶斯（Bayes）决策
习题课8 （2学时）
第八章储存论
8.1 存贮问题及其基本概念（2学时）8.2 确定型存贮模型
8.3 单周期的随机型存贮模型（2学时）
习题课9 （1学时）
总复习（2学时）
《管理运筹学》复习提纲
《管理运筹学》复习提纲
第一章绪论（P1-P9)
1.决策过程（解决问题的过程）
（1）认清问题。
（2）找出一些可供选择的方案。
（3）确定目标或评估方案的标准。
（4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等。
（5）选出一个最优的方案：决策。
（6）执行此方案：回到实践中。
（7）进行后评估：考察问题是否得到圆满解决。
其中：
（1）（2）（3）形成问题。
（4）（5）分析问题：定性分析与定量分析，构成决策
2.运筹学的分支：线性规划、整数线性规划、动态规划、图与网络模型、存储论、排队论、排序与统筹方法、决策分析、对策论、预测、目标规划，此外，还有多目标规划、随机规划、模糊规划等。
3.运筹学在工商管理中的应用
1）生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、
物料管理等，追求利润最大化和成本最小化。
2）库存管理：多种物资库存量的管理，某些设备的库存方式、库存量等
的确定。
3）运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度
以及建厂地址的选择等。
4）人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分
配，建立人才评价体系等。
5）市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。
6）财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。
此外，还有设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等。
3.学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则。
第二章线性规划的图解法(P10-P26)
1.一些典型的线性规划在管理上的应用
合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少；
运筹学基础知识讲解
资源限量 360 200 300
OR1
13
例题1建模
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg
2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360
设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
▪Churchman定义：运筹学是应用科学的方法、技术 和工具，来处理一个系统运行中的问题，使系统控制 得到最优的解决方法。
▪中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法， 对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹 安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有 效的管理。
OR1
6
1.4定性与定量
代数式maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ……… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xj ≥0 j=1,2,…,n
OR1
24
线性规划的标准型
n
和式：maxZ=∑cjxj
n
j=1
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该阶段运筹学研究和解决的问题，大部分都是些短期的 和战术性的问题。
3、二战之后的发展
❖ 正式的运筹研究组织成立，开始着重研究战略性的问 题。
第一章 线性规划及单纯形法
线性规划数学模型的标准化
>=0
变
<=0
量
无约束
b大于等于0
约 b小于等于0
束 小于等于号 条 等于号 件 大于等于号
目 Max z
标 Min z 函 加入变量的系数 数
不处理
取相反数
两非负数之差
不处理
两边乘以-1
加松弛变量
加人工变量
减去剩余变量，加上人 工变量
不处理
取相反数
1． 基阵 2． 基向量、非基向量、基变量、非基变量 3． 基解、基可行解、可行解
§2 图解法 一、图解法步骤：
以 x1 为横轴，x2 为纵轴，作出可行域
图示目标函数及 Z 增大的方向 确定最优解。
第一章 线性规划及单纯形法
绪论
一、运筹学的简史
1、运筹学的早期发展历史
❖1914年提出兰彻斯特（Lanchester）战斗方程。 ❖1917年丹麦工程师爱尔朗（Erlang）提出排队论 的部分著名公式、 ❖20世纪20年代，提出存储论的最优批量公式。
2、二战期间的运筹学发展
❖ 20世纪30年代，运筹学（Operational research）作为科 学名字出现。
运筹学
主讲：黄建华
everam@fzu.edu.cn
主讲老师简介
黄建华，博士、副教授。东南大学管理学硕士，大连理工 大学工学博士。
研究方向：复杂网络与复杂系统、供应链管理。 主持课题：（1）国家社科基金：干扰模拟与基于二维网络 视角的农产品供应链脆弱性研究；（2）教育部人文社科基金： 农产品供应链网络的抗毁性能研究-基于复杂网络理论的研究 视角；（3）福建省社科基金：区域农产品供应链的抗毁性能 及农业产业安全策略研究。 第一作者在系统工程理论与实践、系统管理学报、系统工 程、北京理工大学学报等国内外核心期刊发表学术论文20余 篇，其中EI收录5篇。
➢ 每一个问题都用一组决策变量表示某一方案， 一般这些变量的取值是非负。
➢ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一 组线性等式或不等式来表示。
➢ 都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量 的线性函数（称为目标函数）来表示。按照问 题的不同要求实现最大或者最小化。
课堂练习：
某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克 蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。现有五种饲料
2、图论与网络 3、排队论（随机服务系统理论） 4、存储论 5、对策论（竞赛论、博弈论） 6、决策论（多目标决策）
三、运筹学的工作步骤
1、提出和形成问题（目的、约束、可控变量）。 2、建立模型。 3、求解（利用各种数学方法或者计算机）。 4、解的检验。 5、解的控制。 6、解的实施。
第一章 线性规划及单纯形法
第一章 线性规划及单纯形法
三.标准型： max Z=1 c1 x +c2 x2 +…+cn xn
a 11 x +a 12 x2 +…a 1n xn1 =b
s.t.
a21 1 x +a22
x2 +…a2n
xn =b2
a n1 x +an2 x2 +…nan xn =bn
1x ,x2 …xn ≥0 bi≥0,i=1,…m
可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表 所示：
饲料 1
蛋白质 （克）
3
矿物质 （克）
1
维生素 (毫克)
0.5
价格 （元/千克）
0.2
2
2
0.5
1.0
0.7
3
1
0.2
0.2
0.4
4
6
2
2
0.3
5
18
0.5
0.8
0.8
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省 的选料方案。
第一章 线性规划及单纯形法
am1 1 x +am2 x2 +…amn xn ≤（≥，=）bm
1x ，x2 ，…xn ≥0
第一章 线性规划及单纯形法
n
即： max(min)z= C j x j j 1
s.t.
n
aij x j ≤bi
j 1
i=1,…m
x j ≥0,j=1,…n
第一章 线性规划及单纯形法
向量形式：max(min)Z=CX
❖ 60年代后，除了军事方面的研究，运筹学在工业、农 业、经济和社会问题等各领域都有广泛应用。
❖ 运筹学技术自身得到飞速发展，并且形成了许多分支。
二、运筹学的主要内容
1、数学规划
❖ 线性规划（1947年由丹捷格提出） ❖ 非线性规划 ❖ 整数规划 ❖ 目标规划（1961年由查恩斯、库伯提出） ❖ 动态规划（1951年由贝尔曼提出） ❖ 随机规划
松弛、剩余变量 0
人工变量
பைடு நூலகம்
-M
第一章 线性规划及单纯形法
四、线性规划问题的解： 1． 可行解、可行域 2． 最优解
1
线性规划解的情况：R(A)=r,R(A
①r1 ≠r,无解
1)=r
②r1 =r=m=n，唯一解
③r1 =r=m<n，无穷多解
④r1 =r<m<n，有多余方程，可归为③
第一章 线性规划及单纯形法
问题2：下料问题 问题3：配料问题 问题4：成批生产企业年度生产计划的按 月分配 问题5：连续投资问题
二、
数学模型：
第一章 线性规划及单纯形法
ｍax(min)z=1C1 x +C2 x2 +…+Cn xn
a 111x +a 12 x2 +…a 1n xn ≤（≥，1 =）b
s.t.
a21 1 x +a22 x2 +…a2n xn ≤（≥，=）2b
s.t.
n
p j x j ≤(=,≥)b
j 1
X≥0
T
X=(x1 ,x2 ,…xn )
C1=(c ,c2 …cn )
第一章 线性规划及单纯形法
P j =(a 1 j ,a2 j ,…amj )T
b=(b1 ,b2 ,…bm )T max(min)Z=CZ
矩阵形式：s.t. AX≤(≥,=)b Z≥0
§1 线性规划问题及其数学模型
一、问题的提出：
问题1：合理利用资源问题
12
例1：
2
产品一 产品二
12
设备
1
2
8台时
原材料A 4
0
16kg
原材料B 0
4
12kg
每件产 2元
3元
品利润
max z=2x1 +3x2
1 x +2x2 ≤8
s . t.
41x
≤16
4x2 ≤12
1 x ≥0,x2 ≥0
线性规划数学模型的三个条件（特征）