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【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析十四

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【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(理科)二轮复习模拟试题及答案解析五

【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(理科)二轮复习模拟试题及答案解析五

2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={x∈Z|x2﹣x﹣2≥0}，则A∩∁Z B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．[﹣2，2] C．[0，1] D．{0，1}2．复数z1，z2在复平面内对应的点的坐标分别为（0，2）（1，﹣1），z=，则复数z的实部与虚部之和为（）A．B．1+i C．1 D．23．将函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象与y=2的图象重合，则实数a的值为（）A．B．2 C．3 D．4．若实数x，y满足不等式组，则下列结论中正确的是（）A．2x﹣y≥0 B．2x﹣y≤3 C．x+y≤6 D．x+y＜25．函数f（x）=cos2x+sinxcosx，命题p：∃x0∈R，f（x0）=﹣1，命题q：∀x∈R，f（2π+x）=f（x），则下列命题中为假命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．∩p∧q D．∩p∨∩q6．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过圆x2+y2﹣4x+2y=0的圆心，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣=1 D．x2﹣=17．在读书月活动中，每人需要从5本社会科学类图书和4本自然科学类图书中任选若干本阅读，要求社会科学类图书比自然科学类图书多1本，则每个人的不同的选书方法有（）A．70 B．72 C．121 D．1408．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输出的a，b分别为17，23，则输入的S，T分别为（）A．S=40，T=120 B．S=40，T=126 C．S=42，T=126 D．S=42，T=130 9．若函数f（x）=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的某一个极大值点为某一个极小值点的2倍，则φ的取值为（）A．B．C．D．10．一个正方体两个平面分别截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．27 B．18 C．9 D．611．设E，F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF=45°，则•的最小值等于（）A．B．1 C．2（﹣1）D．﹣112．容器C的内、外壁分别为棱长为2a和2a+2的正方体，容器S的内、外壁分别为半径为r和r+1的球形，若两个容器的容积相同，则关于两个容器的体积V C和V S，下列说法正确的是（）A．存在满足条件的a，r，使得V C＜V SB．对任意满足条件的a，r，使得V C=V SC．对任意满足条件的a，r，使得V C＞V SD．存在唯一一组条件的a，r，使得V C=V S二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．甲、乙两个样本的数据如表所示，设其方差分别为S 和S，若S=S，则a=______ 甲 12 13 14 15 16 乙16 17 18 19a14．（x 2﹣x ﹣2）5的展开式中，x 3的系数等于______．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且满足a （1﹣cosB ）=bcosA ，c=3，S △ABC =2，则b=______．16．已知函数f （x ）=，若存在x 0，使得f（x 0）＜ax 0成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a n •a n+1=4S n ﹣1 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜．18．如表是2015年上半年我国CPI （物价指数）的数据． 区域CPI 时间全国 城市 农村2015年1月 100.8 100.8 100.6 2015年2月 101.4 101.5 101.2 2015年3月 101.4 101.4 101.2 2015年4月 101.5 101.6 101.3 2015年5月 101.2 101.3 101.0 2015年6月 101.5 101.4 101.2（Ⅰ）根据表格数据，从2015年2月至6月中任选一个月份，求该月份农村CPI 较上一个月增幅大于城市CPI 较上一个月增幅的概率（Ⅱ）根据表格数据，从2015年上半年六个月中任选两个月，当月全国CPI 大于101.4的月份数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 为矩形，PA ⊥PD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且AB=6，AD=4，PA=PD ，E 位PC 的中点 （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCD（Ⅱ）F 为底面ABCD 上一点，当EF ∥平面PAD 时，求EF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值．20．已知椭圆C；+=1（a＞b＞0）过点（0，2），且离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，若在直线x=3上存在点P使得线段PF2的垂直平分线与椭圆C有且只有一个公共点T，证明：F1，T，P三点共线．21．已知函数f（x）=的极大值为1（Ⅰ）求函数y=f（x）（x≥﹣1）的值域；（Ⅱ）若关于的方程a•e x﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根x1，x2，求证；x1+x2＞0．[选修4-1：几何证明选讲]22．AC是圆O的直径，BD是圆O在点C处的切线，AB、AD分别与圆O相交于E，F，EF与AC相交于M，N是CD中点，AC=4，BC=2，CD=8（Ⅰ）求AF的长；（Ⅱ）证明：MN平分∠CMF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C1经过点（2，3），求直线C1的普通方程；若圆C2经过点（2，2），求圆C2的普通方程；（Ⅱ）点P是圆C2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+a|x﹣2|，a∈R （Ⅰ）若函数f（x）存在最小值，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，有f（x）≥，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={x∈Z|x2﹣x﹣2≥0}，则A∩∁Z B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．[﹣2，2] C．[0，1] D．{0，1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B，从而求出∁Z B，进而求出其和A的交集即可．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={x∈Z|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≥2或x≤﹣1}，∴∁Z B={0，1}，∴A∩∁Z B={0，1}．故选：D．2．复数z1，z2在复平面内对应的点的坐标分别为（0，2）（1，﹣1），z=，则复数z的实部与虚部之和为（）A．B．1+i C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出z1=2i，z2=1﹣i，再根据共轭复数求出=1+i，根据复合的混合运算法则计算，即可判断答案．【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点的坐标分别为（0，2）（1，﹣1），∴z1=2i，z2=1﹣i，∴=1+i∴z==═1+i，∴复数z的实部与虚部之和1+1=2，故选：D．3．将函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象与y=2的图象重合，则实数a的值为（）A．B．2 C．3 D．【考点】函数的图象．【分析】函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=的图象，进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=的图象，故a=2﹣1=，故选：A．4．若实数x，y满足不等式组，则下列结论中正确的是（）A．2x﹣y≥0 B．2x﹣y≤3 C．x+y≤6 D．x+y＜2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，分别判断平面区域是否满足不等式对应的区域即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，A．平面区域不都在直线2x﹣y=0的下方，不满足条件．B．平面区域不都在直线2x﹣y=3的上方，不满足条件．C．平面区域不都在直线x+y=6的下方，满足条件．D．平面区域不都在直线x+y=2的下方，不满足条件．故选：C．5．函数f（x）=cos2x+sinxcosx，命题p：∃x0∈R，f（x0）=﹣1，命题q：∀x∈R，f（2π+x）=f（x），则下列命题中为假命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．∩p∧q D．∩p∨∩q【考点】复合命题的真假．【分析】利用倍角公式、和差化积可得：f（x）=+，即可判断出真假．由于函数f（x）的周期：T==π，可得：∀x∈R，f（2π+x）=f（x），即可判断出真假．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+，因此命题p是假命题．由于函数f（x）的周期：T==π，因此：∀x∈R，f（2π+x）=f（x），是真命题．∴p∧q是假命题．故选：B．6．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过圆x2+y2﹣4x+2y=0的圆心，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】根据条件建立方程关系求出a，b的值即可得到结论．【解答】解：设双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=，即bx ﹣ay=0，所以焦点到渐近线的距离d=，即b=2，圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=5，则圆心坐标为（2，﹣1），则y=﹣=﹣x经过点（2，﹣1），即﹣=﹣1，则a=4，则双曲线的标准方程为﹣=1，故选：A．7．在读书月活动中，每人需要从5本社会科学类图书和4本自然科学类图书中任选若干本阅读，要求社会科学类图书比自然科学类图书多1本，则每个人的不同的选书方法有（）A．70 B．72 C．121 D．140【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意，分类讨论，利用组合知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，分类讨论，可得①2本社会科学类图书和1本自然科学类图书，有C52C41=40种不同的选书方法；②3本社会科学类图书和2本自然科学类图书，有C53C42=60种不同的选书方法；③4本社会科学类图书和3本自然科学类图书，有C54C43=20种不同的选书方法；④5本社会科学类图书和4本自然科学类图书，有C55C44=1种不同的选书方法；共有40+60+20+1=121种．故选：C．8．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输出的a，b分别为17，23，则输入的S，T分别为（）A．S=40，T=120 B．S=40，T=126 C．S=42，T=126 D．S=42，T=130 【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输入S，T的值，当T≥2S，且T=2S能被2整除时，计算b=，a=S﹣b的值，由输出的a，b分别为17，23，即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输入S，T的值，当T≥2S，且T=2S能被2整除时，计算b=，a=S﹣b的值，若输出的a，b分别为17，23，则：17=S﹣23，解得：S=40，由b=，可得：23=，解得：T=126．故选：B．9．若函数f（x）=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的某一个极大值点为某一个极小值点的2倍，则φ的取值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的最值．【分析】根据极值点的定义和正弦函数的图象，求出函数f（x）的极大值点和极小值点，由条件列出方程，根据φ的范围求出φ的值．【解答】解：根据正弦函数的性质得，函数的极大值点和极小值点分别是f（x）取最大值和最小值时的x的值，由x+φ=得，，则极大值点是，由x+φ=得，，则极小值点是，由条件得，=2（），化简得，，∵0＜φ＜π，∴当4k′﹣2k=2时，φ=，故选：D．10．一个正方体两个平面分别截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．27 B．18 C．9 D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三由视图可得该几何体是棱长为3的正方体截去两个角所得的几何体，画出直观图由柱体、椎体的体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可得：该几何体是棱长为3的正方体截去两个角所得的几何体，其直观图如图所示：∴该几何体的体积V=3×3×3﹣2×（××3×3×3）=18，故选：B．11．设E，F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF=45°，则•的最小值等于（）A．B．1 C．2（﹣1）D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，设E（1，m），F（n，1），求得tan∠EAB=m，tan∠FAD=n，由两角和的正切公式可得tan（∠EAB+∠FAD）=1，即有m+n+mn=1，运用基本不等式可得mn≤（）2，解m+n的不等式即可得到所求最小值．【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，设E（1，m），F（n，1），tan∠EAB=m，tan∠FAD=n，且tan（∠EAB+∠FAD）=tan（90°﹣∠EAF）=tan45°=1，即有==1，即为m+n+mn=1，则•=（1，m）•（n，1）=m+n，由mn≤（）2，可得1=m+n+mn≤（m+n）+，解不等式可得m+n≥2（﹣1），当且仅当m=n时，•的最小值为2（﹣1），故选：C．12．容器C的内、外壁分别为棱长为2a和2a+2的正方体，容器S的内、外壁分别为半径为r和r+1的球形，若两个容器的容积相同，则关于两个容器的体积V C和V S，下列说法正确的是（）A．存在满足条件的a，r，使得V C＜V SB．对任意满足条件的a，r，使得V C=V SC．对任意满足条件的a，r，使得V C＞V SD．存在唯一一组条件的a，r，使得V C=V S【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用两个容器的容积相同，确定a与r的关系，再作差，即可得出结论．【解答】解：由题意，两个容器的容积相同，则（2a）3=πr3，∴a=r∵V S=π（r+1）3，V C=（2a+2）3，∴V S﹣V C=π（r+1）3﹣（2a+2）3=π（r+1）3﹣8（r+1）3=（4π﹣24）r2+（4π﹣24）r+﹣8＜0，∴对任意满足条件的a，r，使得V C＞V S．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．甲、乙两个样本的数据如表所示，设其方差分别为S和S，若S=S，则a= 15或20甲12 13 14 15 16乙16 17 18 19 a【考点】极差、方差与标准差．【分析】求出甲的方差，即得到乙的方差，求出乙的平均数，代入方差公式即可求出a的值．【解答】解：=14，=（4+1+0+1+4）=2，∴=2，而==14+，∴=[++++]=2，解得：a=15或20，故答案为：15或20．14．（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数等于120 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据（x2﹣x﹣2）5=（x﹣2）5•（x+1）5，把（x﹣2）5和（x+1）5，分别利用二项式定理展展开，可得x3的系数．【解答】解：（x2﹣x﹣2）5=（x﹣2）5•（x+1）5=[•x5+•x4•（﹣2）+•x3•（﹣2）2+•x2•（﹣2）3+•x•（﹣2）4+•（﹣2）5]•[•x5+•x4+•x3+•x2+•x+]，∴x3的系数等于•（﹣2）2（）+•（﹣2）3•+•（﹣2）4•+•（﹣2）5•=40﹣400+800﹣320=120，故答案为：120．15．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足a（1﹣cosB）=bcosA，c=3，S△ABC=2，则b= 4或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理、两角和的正弦公式等化简所求的式子，由正弦定理和条件求出a的值，利用三角形的面积公式求出sinB，由平方关系求出cosB，由余弦定理求出b的值．【解答】解：由正弦定理得，sinA（1﹣cosB）=sinBcosA，∴sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），∵A+B=π﹣C，∴sinA=sinC，即a=c=3，∵S△ABC==2，∴，解得sinB=，∴cosB==，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，当cosB=时，b2=9+9﹣2×=4，解得b=2，当cosB=﹣时，b2=9+9+2×=32，解得b=4，∴b=4或2，故答案为：4或2．16．已知函数f（x）=，若存在x0，使得f（x0）＜ax0成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】当a＞0时，直线y=ax与y=（x﹣1）3+1（x≥0）相切，设切点为（m，am），求得x＞0的函数的导数，解方程可得m．可得a的值，结合图象可得a的范围；再由a＜0，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：当a＞0时，直线y=ax与y=（x﹣1）3+1（x≥0）相切，设切点为（m，am），由y=（x﹣1）3+1的导数为y′=3（x﹣1）2，可得a=3（m﹣1）2，am=（m﹣1）3+1，解方程可得m=，a=．由图象可得a＞；当a＜0时，在x＜0时，不等式成立．综上可得a的范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0，a n•a n+1=4S n﹣1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）将n换为n﹣1，两式相减可得a n+1﹣a n﹣1=4，由{a n}为等差数列，可得公差d=a n﹣a n﹣1=2，再求首项可得1，运用等差数列的通项公式即可得到所求通项；（Ⅱ）求得b n==（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）a n•a n+1=4S n﹣1，将n换为n﹣1，可得a n﹣1•a n=4S n﹣1﹣1，两式相减可得，a n（a n+1﹣a n﹣1）=4a n，由a n≠0，可得a n+1﹣a n﹣1=4，{a n}为等差数列，可得（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）=4，即有公差d=a n﹣a n﹣1=2，当n=1时，a1•a2=4S1﹣1，即为a1（a1+2）=4a1﹣1，解得a1=1，可得数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）d =1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）证明：b n===（﹣），即有前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，故原不等式成立．18．如表是2015年上半年我国CPI（物价指数）的数据．区域CPI时间全国城市农村2015年1月100.8 100.8 100.6 2015年2月101.4 101.5 101.2 2015年3月101.4 101.4 101.2 2015年4月101.5 101.6 101.3 2015年5月101.2 101.3 101.0 2015年6月101.5 101.4 101.2（Ⅰ）根据表格数据，从2015年2月至6月中任选一个月份，求该月份农村CPI较上一个月增幅大于城市CPI较上一个月增幅的概率（Ⅱ）根据表格数据，从2015年上半年六个月中任选两个月，当月全国CPI大于101.4的月份数为X，求X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）分别求出2015年2月到6月，城市CPI较上一个月增幅和农村CPI较上一个月增幅，从而得到农村3月和6月的CPI较上个月增幅比城市要大，由此能求出从2015年2月至6月中任选一个月份，该月份农村CPI较上一个月增幅大于城市CPI较上一个月增幅的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）2015年2月到6月，城市CPI较上一个月增幅分别为0.7，﹣0.1，0.2，﹣0.3，0.1，2015年2月到6月，农村CPI较上一个月增幅分别为0.6，0，0.1，﹣0.3，0.2，其中农村3月和6月的CPI较上个月增幅比城市要大，设任选一个月份，“农村CPI较上个月增幅大于城市CPI较上一个月增幅”为事件A，则P（A）=．（2）∵六个月中有两个月全国CPI大于101.4，∴X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=6，AD=4，PA=PD，E位PC的中点（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD（Ⅱ）F为底面ABCD上一点，当EF∥平面PAD时，求EF与平面PBC所成角的正弦值的最大值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由面面垂直的性质得出CD⊥平面PAD，于是CD⊥PA，结合PA⊥PD得出PA⊥平面PCD，故而平面PAB⊥平面PCD；（II）取AB，CD的中点M，N，连结MN，EN，ME，则可证明平面MNE∥平面PAD，故而F点在线段MN上，取AD的中点O，连结OP，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，计算|cos＜，＞|的最大值即可．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA，又PD⊥PA，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．（II）取AB，CD的中点M，N，连结MN，EN，ME．∵E是PC的中点，四边形ABCD是矩形，∴EN∥PD，MN∥AD，∴平面MNE∥平面PAD，∵EF∥平面PAD，∴F在线段MN上．取AD的中点O，连结OP，∵PA=PD，∴PO⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．过O作x轴⊥AD，以O为原点，Ox，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：∵PA=PD，PA⊥PD，AD=4，∴PO=2，∴P（0，0，2），B（6，﹣2，0），C（6，2，0），E（3，1，1），设F（3，y0，0），则y0∈[﹣2，2]．∴=（0，1﹣y0，1），=（6，2，﹣2，），=（0，4，0）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令x=1，得=（1，0，3）．∴cos＜，＞==．∴当y0=1时，|cos＜，＞|取得最大值．∴EF与平面PBC所成角的正弦值的最大值为．20．已知椭圆C；+=1（a＞b＞0）过点（0，2），且离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，若在直线x=3上存在点P使得线段PF2的垂直平分线与椭圆C有且只有一个公共点T，证明：F1，T，P三点共线．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意可得：b=2，=，a2=b2+c2，联立解得即可得出椭圆C的方程．（II）由（I）可知：F2（1，0），且直线F2P的斜率存在，设其方程为：y=k（x﹣1），可得P（3，2k），设线段F2P的中点为D，则D（2，k）．对k分类讨论：当k=0时，线段F2P的垂直平分线方程为：x=2．不合题意，舍去．k≠0时，线段F2P的垂直平分线为：y=﹣（x﹣2）+k．与椭圆方程联立，利用相切的性质可得：△=0，解得k．可得T坐标．对k，分类讨论即可证明．【解答】解：（I）由题意可得：b=2，=，a2=b2+c2，联立解得b=2，a2=5，c=1．∴椭圆C的方程为：=1．证明：（II）由（I）可知：F2（1，0），且直线F2P的斜率存在，设其方程为：y=k（x﹣1），∴P（3，2k），设线段F2P的中点为D，则D（2，k），当k=0时，线段F2P的垂直平分线方程为：x=2．直线x=2与椭圆相交，不合题意，舍去．k≠0时，线段F2P的垂直平分线为：y=﹣（x﹣2）+k．联立，化为：x2﹣x+=0，（*）△=﹣4=﹣80k2=0，解得k=±1．（*）方程化为：9x2﹣30x+25=0，解得x T=，代入椭圆方程可得：y T=．当k=1时，F1（﹣1，0），T，P（3，2），∵=，=，∴=，∴F1，T，P三点共线．当k=﹣1时，F1（﹣1，0），T，P（3，﹣2），∵=﹣，=﹣，∴=，∴F1，T，P三点共线．综上可得：F1，T，P三点共线．21．已知函数f（x）=的极大值为1（Ⅰ）求函数y=f（x）（x≥﹣1）的值域；（Ⅱ）若关于的方程a•e x﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根x1，x2，求证；x1+x2＞0．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f（）=1，求出m的值，从而求出f（x）的单调区间，从而求出函数的值域即可；（Ⅱ）求出x1，x2异号，不妨设x1＞0，x2＜0，只需证明f（x2）＜f（﹣x2），令g（x）=f（x）﹣f（﹣x）=﹣e x（1﹣x），根据函数的单调性得到g（x）＜g（0），即f（x2）＜f（﹣x2），从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，f（x）有极大值，故m＞0，由f′（x）=0，解得：x=，∴f（）=1，即=1，解得：m=1，∴f′（x）=﹣，令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，∴f（x）max=f（0）=1，∴f（x）的值域是（﹣∞，1]；（Ⅱ）∵方程a•e x﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根x1，x2，∴a==，即f（x1）=f（x2），由（Ⅰ）得：f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，∴x1，x2异号，不妨设x1＞0，x2＜0，下面证明：f（x2）＜f（﹣x2），令g（x）=f（x）﹣f（﹣x）=﹣e x（1﹣x），显然g（0）=0，∴g′（x）=x•，令g′（x）＞0，解得：x＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∴g（x）＜g（0）=0，（x＜0），∴f（x）＜f（﹣x），（x＜0），∴f（x2）＜f（﹣x2），∴f（x1）=f（x2）＜f（﹣x2），∵x1＞0，﹣x2＞0，∴x1＞﹣x2，∴x1+x2＞0．[选修4-1：几何证明选讲]22．AC是圆O的直径，BD是圆O在点C处的切线，AB、AD分别与圆O相交于E，F，EF与AC相交于M，N是CD中点，AC=4，BC=2，CD=8（Ⅰ）求AF的长；（Ⅱ）证明：MN平分∠CMF．【考点】相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）连接CF，证明AC⊥CD，利用射影定理求AF的长；（Ⅱ）证明CF⊥MN，利用MC=MF，即可证明：MN平分∠CMF．【解答】（Ⅰ）解：连接CF，∵AC是圆O的直径，∴CF⊥AF，∵BD是圆O在点C处的切线，∴AC⊥CD．Rt△ACD中，AD==4，根据射影定理，AC2=AF•AD，∴AF；（Ⅱ）证明：∵AC=4，BC=2，CD=8，∠ACB=∠ACD=90°，∴△ACB∽△DCA，∴∠BAC+∠CAD=90°，∴EF是圆的直径，即M是圆心．∵N是CD中点，∴MN∥AD，∴CF⊥MN．∵MC=MF，∴MN平分∠CMF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C1经过点（2，3），求直线C1的普通方程；若圆C2经过点（2，2），求圆C2的普通方程；（Ⅱ）点P是圆C2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x﹣1）tanα+2，把点（2，3）代入，解得tanα，即可得出直线C1的普通方程．由圆C2：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α化为普通方程，把点（2，2）代入解得t2，即可得出圆C2的普通方程．（II）由题意可得：|OP|max=|OC2|+|t|，代入解得t即可得出．【解答】解：（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x ﹣1）tanα+2，∵直线C1经过点（2，3），∴3=tanα+2，解得tanα=1．∴直线C1的普通方程为y=x+1．圆C2：（α为参数），化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=t2，∵圆C2经过点（2，2），∴t2=1，∴圆C2的普通方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．圆心C2=（1，2），半径r=1．（II）由题意可得：|OP|max=|OC2|+|t|，∴4=+|t|，解得t=±（4﹣）．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+a|x﹣2|，a∈R（Ⅰ）若函数f（x）存在最小值，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈R，有f（x）≥，求a的值．【考点】全称命题；绝对值不等式的解法．【分析】（I）由题意可知：f（x）=，由于f（x）存在最小值，可得，解得a即可得出．（II）由（I）可知：a≥﹣1，因此，或，解得a即可得出．【解答】解：（I）由题意可知：f（x）=，∵f（x）存在最小值，∴，解得a≥﹣1．（II）由（I）可知：a≥﹣1，因此，或，解得a=．2016年9月20日。

【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学(理)高考模拟仿真试题及答案解析二

【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学(理)高考模拟仿真试题及答案解析二

2018届高三模拟考试数学理试题答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|||{〈=x x A ，|{x B =x 31log ＜0},则B A ⋂是A ．∅B ．（－1，1）C ．)21,0( D ．(0,1)【知识点】集合的运算【答案解析】A 解析：}1|{<=x x A {}11<<-=x x ，|{x B =x 31log ＜0}{}1>=x x ，所以B A ⋂=∅故选：A【思路点拨】解出不等式1<x 和0log 31<x 的解集，利用B A ⋂的定义即可解得结果。

2．若bi i ai -=+1)21(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则=+||bi aA ．i +21 B ．5C ．25 D ．45 【知识点】复数相等的充要条件；复数的模【答案解析】C 由已知得：bi i a -=+-12，所以1,21-=-=b a ，则i bi a --=+21， 所以=+||bi a 2545)1()21(2122==-+-=--i ， 故选：C【思路点拨】把给出的等式左边化简，整理后运用复数相等的充要条件求得a 和b 的值，然后利用求模公式计算．3．已知实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =--1的最大值为A ．5B ．4C ．12D ． 3- 【知识点】简单的线性规划【答案解析】B 解析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，如图：其中A （-1，-1），B （2，-1），C （21，21） 2z x y =--1可变形为：12--=z x y ，表示斜率为2，在y 轴上截距为1--z 的一组平行线，将直线l ：z=2x-y 进行平移，当直线经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ， 所以41)1(22max =---⨯=z ，故选：B【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=2x-y-1对应的直线进行平移，可得当x=2，y=-1时，z 取得最大值。

〖全国通用-名师推荐〗2018最新高考总复习数学(理)高考临考模拟训练试题及答案解析

〖全国通用-名师推荐〗2018最新高考总复习数学(理)高考临考模拟训练试题及答案解析

2018年高考数学临考模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，N={y|y=x2，x∈M}则集合M∩N非空子集的个数是（）A．0 B．1 C．3 D．42．设i是虚数单位，则复数Z=的共轭复数的虚部是（）A．B．﹣i C．D．﹣3．已知数列{x n}满足：x1=1，x n+1=﹣x n+，则数列{x n}的前21项的和为（）A．5 B．6 C．11 D．134．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣45．设等边△ABC边长为6，若，，则等于（）A．﹣6B．6C．﹣18 D．186．已知函数sinθ﹣cosθ=﹣2，则三角式sin2θ+cos2θ+3的值为（）A．B．C．﹣D．﹣7．在（x2+﹣4）3（x+3）的展开式中，常数项是（）A．﹣480 B．﹣240 C．480 D．2408．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．19．在0，1，2，3，4，5这六个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的五个数中随机地抽取一个数记为b，则所得两位数是偶数的概率P为（）A．B．C．D．10．正四棱柱的体积为8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（）A．4πB．C．12πD．12π11．已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1（a＞0）的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=x﹣4与圆O相交，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1] C．[1，+∞）D．（1，+∞）12．已知定义在R上函数f（x）的值域是（﹣∞，0]，并且函数f（x）单调，则方程f3（x）﹣3f（x）﹣1=0的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，则[a]等于．14．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为．15．已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），则满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角C所对的边长为c，△ABC的面积为S，且tan tan+（tan+tan）=1．（I）求△ABC的内角C的值；（II）求证：c2≥4S．18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax b（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸（mm）38 48 58 68 78 88质量（g）16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：75.3 24.6 18.3 101.4（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．19．在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，A1D1的中点．（1）证明：BD⊥A1C；（2）求AC与平面ABEF夹角的正弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0），直线x=（c是椭圆的焦距长的一半）交x轴于A点，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆的第一象限于P点，交AB于D点，若点D满足2=+（O为坐标原点）．（I）求椭圆的离心率；（II）若半焦距为3，过点A的直线l交椭圆于两点M、N，问在x轴上是否存在定点C使•为常数？若存在，求出C点的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x+m﹣lnx．（I）设x=1是函数f（x）的极值点，求证：e x﹣elnx≥e；（II）设x=x0是函数f（x）的极值点，且f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．（其中常数a满足alna=1）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．（I）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；（II）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（I）写出直线l的参数方程；（II）设l与圆x2+y2=2相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）．（I）当a=1时，试用函数单调性的定义，判断函数f（x）的单调性；（II）若x∈[3，+∞），关于x不等式x+≥|m﹣|+|m+|恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，N={y|y=x2，x∈M}则集合M∩N非空子集的个数是（）A．0 B．1 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【分析】列举出M中不等式的整数解确定出M，将M中元素代入N中计算求出y的值，确定出N，进而求出M与N的交集，即可作出判断．【解答】解：∵M={x|﹣2＜x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}={0，1，4}，∴M∩N={0，1}，则M∩N非空子集的个数是22﹣1=3，故选：C．2．设i是虚数单位，则复数Z=的共轭复数的虚部是（）A．B．﹣i C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的四则运算进行求解即可．【解答】解：Z====﹣+i，则复数Z=的共轭复数是﹣﹣i，则虚部是﹣，故选：C．3．已知数列{x n}满足：x1=1，x n+1=﹣x n+，则数列{x n}的前21项的和为（）A．5 B．6 C．11 D．13【考点】数列的求和．【分析】利用分组求和、递推关系即可得出．【解答】解：∵x n+1=﹣x n+，∴x n+1+x n=，则数列{x n}的前21项的和=x1+（x2+x3）+…+（x20+x21）=1+10×=6，故选：B．4．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件，的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步利用目标函数z=kx+y的最大值为12，判断目标函数经过的点，即可求出k的值．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：∵z=kx+y的最大值为12，即y=﹣kx+z在y轴上的截距是12，∴目标函数z=kx+y经过的交点A（4，4），∴12=4k+4；解得k=2．故选：A．5．设等边△ABC边长为6，若，，则等于（）A．﹣6B．6C．﹣18 D．18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意得出=（），=，运用数量积求解即可．【解答】解：∵等边△ABC边长为6，若，，∴=（），=，∴=（22）=（﹣36×6×）=﹣18，故答案为：C6．已知函数sinθ﹣cosθ=﹣2，则三角式sin2θ+cos2θ+3的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知结合辅助角公式求得θ，再由同角三角函数的基本关系式化简求得答案．【解答】解：∵sinθ﹣cosθ=﹣2，∴，则sin（）=﹣1，∴，则．∴，∴sin2θ+cos2θ+3==．故选：A．7．在（x2+﹣4）3（x+3）的展开式中，常数项是（）A．﹣480 B．﹣240 C．480 D．240【考点】二项式系数的性质．【分析】首先将第一个因数分解为二项式，然后发现常数项得到的可能情况即可．【解答】解：（x2+﹣4）3（x+3）=（x﹣）6（x+3），当取x+3中的3时，取常数项，为，此时的常数为﹣480；当取x+3的x时，取x﹣1，而其展开式不可能有这样的项，所以在（x2+﹣4）3（x+3）的展开式中，常数项是﹣480；故选A．8．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值，可得结论．【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形，此时V=×1×1×2=，1＞，故该几何体的体积不可能是1，故选：D9．在0，1，2，3，4，5这六个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的五个数中随机地抽取一个数记为b，则所得两位数是偶数的概率P为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】确定基本事件的情况，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，a有5种取法，b有5种取法，故共有5×5=25种；两位数是偶数，b取0，a有5种取法，b取2或4，a有4种取法，故共有5+2×4=13种，∴所得两位数是偶数的概率P=．故选：D．10．正四棱柱的体积为8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（）A．4πB．C．12πD．12π【考点】球内接多面体．【分析】通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径的最小值即可求出球的体积．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a2h=8．∵正四棱柱的体对角线即为球的直径，∴2r═≥=2∴r的最小值为，故该正四棱柱外接球体积的最小值为V=π（）3=4π．故选：A．11．已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1（a＞0）的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=x﹣4与圆O相交，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1] C．[1，+∞）D．（1，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据直线l：y=x﹣4与圆O相交，圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，圆的半径为．∵直线l：y=x﹣4与圆O相交，∴＜，∴＞，∴a2+1＞2，∴a2＞1∵a＞0，∴a＞1．故选：D12．已知定义在R上函数f（x）的值域是（﹣∞，0]，并且函数f（x）单调，则方程f3（x）﹣3f（x）﹣1=0的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数单调性的性质．【分析】令t=f（x），得到关于t的函数g（t），通过求导得到函数g（t）的大致图象，从而判断出所求方程解的个数．【解答】解：令t=f（x），则有t3﹣3t﹣1=0，令g（t）=t3﹣3t﹣1，g′（t）=3t2﹣3=3（t+1）（t﹣1），于是可得：g（t）的图象如下：，∴方程t3﹣3t﹣1=0有3个不同的解，其中2个解是负的，而函数f（x）的值域是（﹣∞，0]，并且函数f（x）单调，∴方程f3（x）﹣3f（x）﹣1=0有2个不同的实数解，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，则[a]等于 4 ．【考点】函数的值．【分析】由题意43=64，53=125，根据3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，即可得出结论．【解答】解：由题意43=64，53=125，∵3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，∴[a]=4．故答案为：4．14．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为 5 ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜20，S=21=2，k=2满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．15．已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点，由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，故|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，由|PF|+|PA|≥|FA|可得所求的最小值为|FA|﹣．利用两点间的距离公式求得|FA|，即可得到|最小值|FA|﹣的值．【解答】解：依题意可知焦点F（，0），准线x=﹣，延长PM交准线于H点，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，∴|PM|=|PH|﹣=|PF|﹣．∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，利用两点间的距离公式求得|FA|=5．则所求为|PM|+|PA|=5﹣=．故答案为：．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），则满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为10 ．【考点】数列的求和．【分析】由=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），可得S n=na n+1﹣n（n+1），利用递推关系可得：a n+1﹣a n=2．利用等差数列的通项公式及其求和公式可得a n，S n．代入a n S n≤2200化简整理即可得出．【解答】解：∵=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），∴S n=na n+1﹣n（n+1），∴n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）a n﹣（n﹣1）n，相减可得：a n+1﹣a n=2．∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n，S n==n（n+1）．∴a n S n≤2200化为：2n•n（n+1）≤2200，即n2（n+1）≤1100=102×11，∴n≤10．∴满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为10．故答案为：10．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角C所对的边长为c，△ABC的面积为S，且tan tan+（tan+tan）=1．（I）求△ABC的内角C的值；（II）求证：c2≥4S．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（I）利用正切的和差公式即可得出．（II）利用余弦定理、基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴，，即，∵A、B为△ABC内角，∴，即．于是．（II）证明：由用余弦定理，有，∵△ABC的面积，∴，于是．18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax b（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸（mm）38 48 58 68 78 88质量（g）16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：75.3 24.6 18.3 101.4（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）对y=ax b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，令v i=lnx i，u i=lny i得u=bv+lna，由最小二乘法求得系数及，即可求得y关于x的回归方程；（Ⅱ）由题意求得优等品的个数，求得随机变量ξ取值，分别求得P（ξ=0），P（ξ=1），P （ξ=2）及P（ξ=3），求得其分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对y=ax b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，令v i=lnx i，u i=lny i得u=bv+lna，由=，ln=1，=e，故所求回归方程为．（Ⅱ）由，x=58，68，78，即优等品有3件，ξ的可能取值是0，1，2，3，且，，，．其分布列为：ξ0 1 2 3P∴．19．在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，A1D1的中点．（1）证明：BD⊥A1C；（2）求AC与平面ABEF夹角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）通过证明BD⊥平面A1AC得出BD⊥A1C．（2）过C作CM⊥BE与M，则可证CM⊥平面ABEF，故而∠CAM为所求的角．利用三角形相似求出CM，从而得出线面角的正弦值．【解答】证明：（1）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD．∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又AC⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C．（2）过C作CM⊥BE于M，连结AM，∵AB⊥平面BCC1B1，MC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MC，又MC⊥BE，AB⊂平面ABEF，BE⊂平面ABEF，AB∩BE=B，∴CM⊥平面ABEF，∴∠CAM为直线AC与平面ABEF所成的角．由△BB1E∽△CMB得，即，解得CM=．∴sin∠CAM===．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0），直线x=（c是椭圆的焦距长的一半）交x轴于A点，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆的第一象限于P点，交AB于D点，若点D满足2=+（O为坐标原点）．（I）求椭圆的离心率；（II）若半焦距为3，过点A的直线l交椭圆于两点M、N，问在x轴上是否存在定点C使•为常数？若存在，求出C点的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意分别求得D、F和P点坐标，根据向量加法的坐标表示求得a和b的关系、由椭圆的性质a2=b2+c2及e=即可求得e；（II）由c=3，即可求得椭圆方程，并求得过点A的直线方程，代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由△＞0求得k的取值范围，利用韦达定理，表示出•，令•=u，（整理68+4n2﹣32n﹣4u）k2+n2﹣u﹣12=0，对任意k∈（﹣，）都成立，求得关于n和u的二元一次方程组，即可求得n的值，求得C点坐标．【解答】解：（I）由题意可知：A（，0），B（0，b），直线AB的方程是：，将x=c代入，得y=，∴D（0，），将x=c代入，得y=±（舍负），∴P （0，），∵2=+，∴2（0，）=（c ，0）+（0，），整理得：=，即a=2b ，∵a 2=b 2+c 2，∴e==，椭圆的离心率；（II ）当c=3时，椭圆的方程为：，过A （4，0）的直线方程为y=k （x ﹣4），将直线方程代入椭圆方程消去y ，整理得：（1+4k 2）x 2﹣32k 2x+64k 2﹣12=0， ∴△=（﹣32k 2）﹣4（1+4k 2）（64k 2﹣12）=﹣4（16k 2﹣12）＞0，解得：﹣＜k ＜，假设存在点C （n ，0），使得•为常数，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由韦达定理可知：x 1+x 2=，x 1•x 2=，•=（x 1﹣n ，y 1）•（x 2﹣n ，y 2），=（x 1﹣n ）•（x 2﹣n ）+y 1•y 2， =（x 1﹣n ）•（x 2﹣n ）+k 2（x 1﹣4）（x 2﹣4）， =（1+k 2）x 1•x 2﹣（n+4k 2）（x 1+x 2）+n 2+16k 2，=（1+k 2）×﹣（n+4k 2）×+n 2+16k 2=u ，整理得：（68+4n 2﹣32n ﹣4u ）k 2+n 2﹣u ﹣12=0，对任意k ∈（﹣，）都成立，∴，解得：，故在x轴上存在点（，0）使为常数．21．已知函数f（x）=e x+m﹣lnx．（I）设x=1是函数f（x）的极值点，求证：e x﹣elnx≥e；（II）设x=x0是函数f（x）的极值点，且f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．（其中常数a满足alna=1）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，利用x=1是函数f（x）的极值点，求出m，确定f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）=1，即可证明：e x﹣elnx≥e；（II）证明f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x）在x=x0处取得最小值，可得f（x）≥f（x0）=﹣lnx0=+x0+m，利用f（x）≥0恒成立，得出+x0+m≥0，进而得出x0≤a，即可求m的取值范围．【解答】（I）证明：∵f（x）=e x+m﹣lnx，∴f′（x）=e x+m﹣∵x=1是函数f（x）的极值点，∴f′（x）=e1+m﹣1=0，∴m=﹣1，∴f′（x）=e x﹣1﹣，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）=1，∴e x﹣1﹣lnx≥1，∴e x﹣elnx≥e；（II）解：f′（x）=e x+m﹣，设g（x）=e x+m﹣，则g′（x）=e x+m+＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∵x=x0是函数f（x）的极值点，∴x=x0是f′（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，∴=，∴x0+m=﹣lnx0，∵0＜x＜x0，f′（x）＜f′（x0）=0，x＞x0，f′（x）＞f′（x0）=0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x）在x=x0处取得最小值，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0=+x0+m，∵f（x）≥0恒成立，∴+x0+m≥0，∴+x0≥x0+lnx0，∴≥lnx0，∵alna=1，∴x0≤a，∴m=﹣x0﹣lnx0≥﹣a﹣lna．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．（I）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；（II）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？【考点】圆的切线的判定定理的证明；相似三角形的判定．【分析】（I）由AB=AC，可得∠ABC=∠C，再利用圆的性质可得∠C=∠D，即∠ABC=∠D．进而得到△ABE∽△ADB．利用相似三角形的性质即可得出．（II）直线FA与⊙O相切．分析如下：连接OA．由于BD为⊙O的直径，可得∠BAD=90°．利用勾股定理可得BD，于是BF=BO=AB．可得∠OAF=90°．即可证明．【解答】解：（I）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB．∴．AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12．∴．（II）直线FA与⊙O相切．理由如下：连接OA．∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°．∴．∵，∴BF=BO=AB．∴∠OAF=90°．∴直线FA与⊙O相切．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（I）写出直线l的参数方程；（II）设l与圆x2+y2=2相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系．【分析】（I）直线的参数方程为，化简即可得出．（II）把直线代入x2+y2=2化为：．利用根与系数的关系即可得出点P到A，B两点的距离之积．【解答】解：（I）直线的参数方程为，即．（II）把直线代入x2+y2=2．得，化为：．∴t1t2=3，∴点P到A，B两点的距离之积为3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）．（I）当a=1时，试用函数单调性的定义，判断函数f（x）的单调性；（II ）若x ∈[3，+∞），关于x 不等式x+≥|m ﹣|+|m+|恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=x+，利用函数单调性的定义进行证明判断即可．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论得到当x ∈[3，+∞），f （x ）=x+的最小值为f （3）=，然后将不等式恒成立进行转化，结合绝对值不等式的解法进行求解即可．【解答】（I ）解：当a=1时，f （x ）=x+，当x ＞0时，任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）=x 2+﹣x 1﹣=（x 2﹣x 1）+=（x 2﹣x 1）（1﹣），要确定此式的正负只要确定1﹣的正负即可．①当x 1、x 2∈（0，1）时，1﹣＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）＜0，为减函数，②当x 1、x 2∈（1，+∞）时，1﹣＞0，∴f （x 2）﹣f （x 1）＞0，为增函数．即函数f （x ）的单调递增区间为为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（II ）若x ∈[3，+∞），由（Ⅰ）知，函数f （x ）=x+的最小值为f （3）=3+=，于是不等式x+≥|m ﹣|+|m+|恒成立等价为≥|m ﹣|+|m+|恒成立∵|m ﹣|+|m+|≥|﹣m+m+|=，∴|m ﹣|+|m+|=，此﹣≤m ≤，即实数m 的取值范围是[﹣，]．2016年9月6日。

〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及答案解析十七

〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及答案解析十七

2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1．已知集合A={x|}，B={x||x﹣1|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1）∪[2，3）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪[2，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，则实数a 的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．3．若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在①处应填写的是（）A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤65．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3+a5+a7为（）A．3 B．5 C．8 D．97．若双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞）C．（1，] D．[）8．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表所示：方程根的个数方程根的个数f（x）﹣5=0 1 f（x）+4=0 3f（x）﹣3=0 3 f（x）+6=0 1f（x）=0 3若α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（）A．﹣6＜a＜﹣4 B．﹣4＜a＜0 C．0＜a＜3 D．3＜a＜59．经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．﹣C．﹣或﹣3 D．±10．若函数y=cos（ωx+）（ω＞0，x∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，则（）A．0＜ω＜ B．0＜ω＜ C．0＜ω＜D．0＜ω＜11．设曲线f（x）=在点P（x，f（x））处的切线在y轴上的截距为b，则当x∈（1，+∞）时，b的最小值为（）A．e B．C．D．12．已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题纸对应的位置上）13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．14．若△ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角A= ．15．假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为．16．正三棱锥P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于．三、解答题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=（1﹣a n）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=na n，求证：b1+b2+…+b n＜．18．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值．19．某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．20．如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，a，b∈E，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）若0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）是判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由．六、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|（I）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并写在答题纸上）1．已知集合A={x|}，B={x||x﹣1|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1）∪[2，3）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪[2，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】本题是求两个集合的交集的运算，本题中的集合是数集，解此类题一般要先对所涉及到的集合进行化简，然后再依据其在数轴上的位置求公共部分．【解答】解：对于B：|x﹣1|≤2，可得﹣2≤x﹣1≤2，即﹣1≤x≤3，可得B={x|﹣1≤x≤3}，对于A：，可得（x﹣2）（x﹣3）＞0，即x＜2或x＞3，集合A={x|x＜2或x＞3}，故A∩B=[﹣1，2），故选：B．【点评】本题考点是交集及其运算，考查依据数轴计算两个集合公共部分的能力，做此类题的步骤一般是：①对涉及到的两个集合化简；②在数轴上作出两个集合的图象；③由数轴上的位置给出其交集．2．若纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，则实数a 的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】直线与圆；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义可得a，再利用线性规划的有关知识即可得出a．【解答】解：（a+i）2=a2﹣1+2ai为纯虚数，∴，解得a=±1，∴纯虚数（a+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点为（0，±2），∵所对应的点在直线x﹣y+1=0的下方，应该满足x﹣y+1＞0，∴取（0，﹣2），∴a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、线性规划的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据直线平行的等价条件求出m，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log6m=﹣1得m=，若l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m=0或m=，则“log6m=﹣1”是“直线l1：x+2my﹣1=0与l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在①处应填写的是（）A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据条件，进行模拟运行，找到满足输出结果为的条件即可．【解答】解：第一次循环，i=1，满足条件，A==，i=2，第二次循环，i=2，满足条件，A=，i=3，第三次循环，i=3，满足条件，A=，i=4，第四次循环，i=4，满足条件，A==，i=5，此时i=5，不满足条件，程序终止，输出A=，即当i=1，2，3，4时，满足条件，当i=5时，不满足条件．则条件应该为i≤4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键．5．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论．【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，∴该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，∴该几何体的侧视图可能是C，故选：C．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．6．等差数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3+a5+a7为（）A．3 B．5 C．8 D．9【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，即得a5的值．再根据等差数列的性质求得a3+a5+a7的值．【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1=．令6﹣3r=0，r=2，故展开式的常数项为T3=．由题意可得，等比数列{a n}的第5项为展开式的常数项，即a5=，∴a3+a5+a7=3a5=5，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．等差数列的性质应用，属于中档题．7．若双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞）C．（1，] D．[）【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知得圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：圆x2+（y﹣）2=1的圆心（0，），半径r=1．∵双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线y=bx与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，化为b2≤2．∴e2=1+b2≤3，∵e＞1，∴1＜e≤，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，]．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆、双曲线的性质的简单运用．8．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），已知关于x的五个方程及其相异实根个数如下表所示：方程根的个数方程根的个数f（x）﹣5=0 1 f（x）+4=0 3f（x）﹣3=0 3 f（x）+6=0 1f（x）=0 3若α为关于f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（）A．﹣6＜a＜﹣4 B．﹣4＜a＜0 C．0＜a＜3 D．3＜a＜5【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；导数的综合应用．【分析】方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒则依据表格可画出其图象的大致形状，从而判断极大值的取值范围．【解答】解﹕方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕（1）当a为正时，如右：（2）当a为负时，如下：因极大值点a位于水平线y=3与y=5之间﹐所以其y坐标α（即极大值）的范围为3＜α＜5﹒故选：D﹒【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用，属于中档题．9．经过椭圆+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则•等于（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．﹣或﹣3D ．±【考点】椭圆的应用． 【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据韦达定理求得x 1•x 2和x 1+x 2的值，进而根据直线方程求得y 1y 2的值，最后根据向量的计算法则求得答案．【解答】解：由+y 2=1，得a 2=2，b 2=1，c 2=a 2﹣b 2=1，焦点为（±1，0）．直线l 不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y=x ﹣1．代入+y 2=1得x 2+2（x ﹣1）2﹣2=0，即3x 2﹣4x=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1•x 2=0，x 1+x 2=，y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=1﹣=﹣，•=x 1x 2+y 1y 2=0﹣=﹣．故选B【点评】本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．10．若函数y=cos （ωx+）（ω＞0，x ∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，则（ ）A ．0＜ω＜B ．0＜ω＜C ．0＜ω＜D ．0＜ω＜【考点】余弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】首先，化简函数解析式，得到y=﹣sin ωx ，然后，结合给定的区间，确定ω的临界值，最后确定其范围．【解答】解：∵y=cos （ωx+）=﹣sin ωx ， ∴y=﹣sin ωx ，当x=2π时，﹣sin （2πω）=，∴2πω=，∴ω=，∵函数y=cos （ωx+）（ω＞0，x ∈[0，2π]）的图象与直线y=无公共点，∴0，故选：C ．【点评】本题重点考查了诱导公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．11．设曲线f （x ）=在点P （x ，f （x ））处的切线在y 轴上的截距为b ，则当x ∈（1，+∞）时，b 的最小值为（ ）A ．eB ．C ．D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用．【分析】求出f （x ）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=，x ＞1．再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值．【解答】解：函数的导数f ′（x ）==，则点P（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=，则切线方程为Y﹣=（X﹣x），令X=0，则Y=•（﹣x）+，即b=•x+=，则b′===，当x＞1时，lnx＞0，由b′=＜0得1＜x＜e2，此时函数单调递减，由b′=＞0得x＞e2，此时函数单调递增，故当x=e2时，函数取得极小值同时也是最小值，此时b==，故选：D【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，主要考查运用导数判断单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．12．已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，==5.=1．由已知可得=0，，因此==﹣5，由于∈[0，π]，即可得出．【解答】解：如图所示，==5．=1．∵，∴=0，∵，∴=•=+==﹣=﹣5，∵∈[0，π]，∴∈[﹣5，5]．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的标准方程、向量三角形法则、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题纸对应的位置上）13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是 2 ．【考点】微积分基本定理．【专题】计算题．【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．14．若△ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角A= ．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA，根据三角形的面积公式S=bcsinA和题意求出tanA，根据A的范围和特殊角的三角函数值求出A的值．【解答】解：由余弦定理得，b2+c2﹣a2=2bccosA，因为S△ABC=（b2+c2﹣a2），所以bcsinA=×2bccosA，则sinA=cosA，即tanA=1，又0＜A＜π，则A=，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围．15．假设在10秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等第进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差大于3秒，手机就会不受到干扰，则手机不受到干扰的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤10，0≤y≤10．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤3．则该事件即为x﹣y=3和y﹣x=3在0≤x≤10，0≤y≤10的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域，而所有事件的集合即为正方型面积102=100，阴影部分的面积2×（10﹣3）2=49，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机不受到干扰的概率为．故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．16．正三棱锥P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】导数的综合应用；空间位置关系与距离．【分析】画出图形，设三棱锥的高PO=x，底面△ABC的AB边上的高CD=y，求出x，y的关系，推出体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最小值，即可求出高的值．【解答】解：根据题意，画出图形如下，其中，立体图形只画出了半球的底面．设三棱锥的高PO=x，底面△ABC的AB边上的高CD=3•OD=3y在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，则=，而PD=，即=，整理得x2y2=x2+4y2，所以 y2=，而三棱锥P ﹣ABC 的体积等于×底面△ABC 的面积×高PO ，即V=××AB ×CD ×PO=××2y ×3y ×x=y 2x=，对体积函数求导，得V ′=，令V ′=0，解得唯一正解 x=2，由该体积函数的几何意义可知 x=2为其体积最小值点，故三棱锥体积最小时V min =6，高为2．故答案为：2．【点评】本题考查几何体的内接球的问题，函数的导数的应用，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =（1﹣a n ）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =na n ，求证：b 1+b 2+…+b n ＜． 【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式． 【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n }是以为首项，为公比的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式； （2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．【解答】（1）解：∵S n =（1﹣a n ），∴n ≥2时，S n ﹣1=（1﹣a n ﹣1）．两式相减可得a n =（a n ﹣1﹣a n ），∴∵n=1时，a 1=S 1=（1﹣a 1），∴a 1=∴数列{a n }是以为首项，为公比的等比数列∴a n ==；（2）证明：b n =na n =n •令T n =b 1+b 2+…+b n ，即T n =1•+2•+…+n •∴T n =1•+2•+…+（n ﹣1）•+n •两式相减可得T n =1•+1•+1•+ (1)﹣n •=﹣n •=﹣n •∴T n =﹣•，∴T n ＜．【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的求和，考查不等式的证明，属于中档题．18．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值． （3）求AF 与平面BFC 所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）要证AC⊥平面BDEF，只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可，设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD为菱形得到AC⊥BD，则由线面垂直的判定定理得到答案；（2）由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出二面角A﹣FC﹣B的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；（3）求出向量的坐标，直接用向量与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO．因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为，则有，所以，取x=1，得．由图可知平面AFC的法向量为．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得=．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为；（3）解：，平面BFC的法向量，所以=．则．【点评】本题考查了直线和平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．19．某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160，170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频率为0.05，频数为2，由此能求出全体运动员总人数a，由成绩在[160，170）内的频率求出运动员人数，再减去甲队人数，能求出乙队人数b．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，全体队员中成绩在180cm以上的共有10人，其中成绩为“优秀”的有6人．由此能求出至少有1人成绩为“优秀”的条件下两人成绩均“优秀”的概率．（Ⅲ）由题设条随机变量X所有可能取值为0，1，2．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频率为0.005×10=0.05，所以全体运动员总人数a==40（人），乙队中成绩在[160，170）内的运动员人数b=40×0.3﹣3=9．（人）．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，乙队成绩在180cm以上的没有丢失，全体队员中成绩在180cm以上的共有10人，其中成绩为“优秀”的有6人．设至少有一人成绩“优秀”为事件A，两人成绩均“优秀”为事件B，则P（B|A）====．（Ⅲ）成绩“优秀”的运动员共6人，甲队4人，乙队2人．随机变量X所有可能取值为0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）===，∴X的分布列为：X 0 1 2P数学期望EX==．【点评】分布列是求出数学期望的前提，因而需写好分布列，而分布列关键是求出概率，当写完分布列，可以结合概率总和为1的特点检验分布列是否正确．20．如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，从而可得B（4，12），利用B在x2=2py （p＞0）上，可求抛物线E的方程；（2）由（1）知，，，设P（x0，y0），可得l：，与y=﹣1联立，求得取x0=2，x0=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y；（2）由（1）知，，设P（x0，y0），则x0≠0．l：即由得，∴取x0=2，此时P（2，1），Q（0，﹣1），以PQ为直径的圆为（x﹣1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，﹣1）取x0=1，此时P（1，），Q（﹣，﹣1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M3（0，1）或M4（0，﹣）故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下∵∴=2y0﹣2﹣2y0+2=0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，a，b∈E，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）若0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）f′（x）=﹣aln（x+1）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，解出即可．（2）由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，0≤x≤1．f′（x）﹣aln（x+1）+﹣1，令g（x）=f′（x），g′（x）=﹣．对a分类讨论，研究函数g（x）的单调性极值与最值，进而得出函数f（x）的极值与最值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣aln（x+1）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，∴1﹣b=0，解得b=1．（2）由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，0≤x≤1．f′（x）﹣aln（x+1）+﹣1，令g（x）=f′（x），g′（x）=+=﹣．①当a≤时，由于0≤x≤1，有g′（x）=﹣≥0，于是f′（x）在[0，1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）=0，而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有g′（x）=＜0，于是f′（x）在[0，1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递减．即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0；③当时，令m=min，当0≤x≤m时，g′（x）≤0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出∠ABC=∠BAE，从而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能够证明四边形ACBE为平行四边形．（2）由已知条件利用切割线定理求出EB=4，由此能够求出CF=．【解答】（1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．（2）解：∵AE与圆相切于点A，∴AE2=EB•（EB+BD），即62=EB•（EB+5），解得EB=4，根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，设CF=x，由BD∥AC，得，∴，解得x=，∴CF=．【点评】本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）是判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在求出两个交点间的距离；若不存在，说明理由．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用（1）的结论进一步联立方程组根据判别式和根和系数的关系，求出弦长．。

〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)全国统一考试猜题卷及答案解析

〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)全国统一考试猜题卷及答案解析

普通高等学校招生全国统一考试猜题卷（二）理科数学本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目，2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z==·( )A. -2+i B．i C．2-i D．-i：2．已知集合M= ，N=，则MUN=·( )A.[-2，4）B．（-2，4）C．(o，2) D．(o，2]3．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，…，1 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50入中，编号落人区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为·( ) A．12 B．13 C．14 D．154．已知命题p:函数y=ln(x2 +3)+的最小值是2；命题q：x>2是x>l的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是··( )A. p q B．￢p q C．￢p q D．p q5．已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1，的焦点的距离为p，则双曲线C2的离心率等于··( )A．B．C．D．6．的展开式中含x的正整数指数幂的项数是··( )A1 B．2 C．3 D．47．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是··( )A.若a2+a5>0, 则a1+a2>0B.若a1+a3<0, 则a1+a2<0C.若0<a1<a2，则a3>-D.若a1<0，则（a2-a1）（a4-a2）>08．如图，正四棱锥P-ABCD庇面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P-ABCD=，则球O的表面积是··( )A．4B．8C．12D．163 r+y-2≤0，9．变量x，y满足线性约束条件，目标函数z= k x-y仅在点(O，2)取得最小值，则k的取值范围是··( )A．k<-3 B．k>l C．-l<k<1 D．-3<k<l10．某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为·( )A．B．C．D．11.已知M是△ABC内一点（不含边界），且·=2，∠BAC=300，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为x，y，z，记f (x，y，z)=，则f(x，y，z)的最小值为·( )A. 26 B．32 C．36 D．4812.已知集合M=，若对于任意（x1，y1）∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“商高线”．给出下列四个集合：①M=；②M=；③M=；④M=．其中是“商高线”的序号是··( )A.①②B.②③C.①④D.②④绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试猜题卷（二）理科数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．答题前，考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共6页，请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.执行如图所示的程序框图，若输入x=0.1，则输出的m的值是__________________.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+m（m为常数），则f(-log35)的值为________________.15.关于函数f(x)=2(sinx—cos x) cosx的四个结论：P1: 最大值为；P2: 把函数f(x)=的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sinx一cosx)cosx的图象；P3: 单调递增区间为，k∈Z；P4: 图象的对称中心为，k∈z．其中正确的结论有_________个．16.已知数列{a n}满足a1=，a n-1-a n=(n≥2)，则该数列的通项公式为_________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A=，sin B=3sin c．（1）求tan C的值；（2）若a=，求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）某青少年研究中心为了统计某市青少年（18岁以下）201 5年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向，随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况，得到如下数据统计表（图①）：已知“超过2千元的青少年”与“不超过2千元的青少年”人数比恰好为2：3．（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（图②）．（2）该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向，从“压岁钱超过2千元的青少年”、“压岁钱不超过2千元的青少年”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设S为选取的3人中“压岁钱超过2千元的青少年”的人数，求ɛ的分布列和数学期望．（3）若以颇率估计概率，从该市青少年中随机抽取15人进行座谈，若15人中“压岁钱超过2千元的青少年”的人数为η，求η的期望．19.（本小题满分12分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，ED∥FB，ED⊥平面ABCD，AD=BD=2，BF=2DE=2(1)求证：AE⊥CF；(2)求二面角A-FC-E的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点，譬在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程5(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线L交椭圆C于A,B两点，求证：为定值，21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R)，g(x)满足gˊ(x)=（a∈R，x>0），且g(e)=a，e为自然对数的底数．(1)已知h(x)=e1--x f (x)，求h(x)在(1，h(1))处的切线方程；(2)若存在x∈[1，e]，使得g(x)≥一x2+（a+2）x成立，求a的取值范围；(3)设函数F(x)=，O为坐标原点，若对于y=F(x)在x≤一1时的图象上的任一点P，在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q，使得·，且PQ的中焦在y轴上，求a的取值范围，请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D．(1)求证：=；(2)若AC=3，求AP·AD的值．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，z轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：(a>0)，过点P（-4，-2）的直线L的参数方程为（t为参数），L与C分别交于点M，N.（1）写出C的直角坐标方程和L的普通方程；（2）若，，成等比数列，求a的值，24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=lx--1l+ lx+1l.（1）求不等式，f(x)≥3的解集；（2）若关于x的不等式，f（x）˃a2-x2 +2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．答案1.B 解析：解法一：z===i解法二：z==2.A 解析：M=，N=，M N=[-2，4）3.A解析：若采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8，则以后每组抽取的号码分别为28，48，68，88，108，…，所以编号落入区间[1，400]的有20人，编号落入区间[401，750]的有18人，所烈做问卷C的有12人．4.C解析：命题p为假命题，命题q为真命题，所以￢p q为真命题．5.C 解析：因为点A到抛物线C,的焦点的距离为p，所以点A到抛物线准线的距离为p，从而点A的坐标可以为（，±p），所以双曲线的渐近线方程为了y=±2x．所以=2，所以b2=4a2．又b2=c2 -a2，所以c2= 5a2．所以双曲线的离心率为6．B解析：的展开式中第r+1项为．（-）=(-1)r，当为正整数时，r=0或2，所以的展开式中含x的正整数指数幂的项数是2．7．C解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a2+a5>0，则a1十a2=(a2 - d)+(a5 - 3d)=(a2 +a5）-4d，由于d 的正负不确定，因而a1+a2的符号不确定，故选项A错误；若a1+a3<0，则a1 +a2=（a1+a3）-d，由于d的正负不确定，因而a1+a2的符号不确定，故选项B错误；若0<a1<a2，则a1>0,d>0,a2>0,a3>0,a4>0,所以=，a3>，故选项C正确；（a2–a1）（a4 - a2）=d(2d) =2d2，由于d有可能等于0，故选项D错误．8．D 解析：连接PO，由题意知，PO⊥底面ABCD，PO=R，S正方彤ABCD== 2R2．因为V P-ABC=，所以，解得R=2，所以球0的表面积是16．9．D解析：如图，作出不等式组表示的平面区域，由z= kx-y得y =kx-z，要使目标函数z=kr-y仅在点A(O，2)处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方，所以目标函数的斜率A满足-3<k<l．10．D解析：由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥，其中从点A出发的三条棱两两垂直，且AB=1，PC=，PB=a，BC=b，则PA2 +AC2 =a2—1 +b2 -1=6，即a2+b2 =8.所以(a+b)2 =8+2ab≤8+2，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时取等号，此时，PA=，AC=.所以该几何体的体积V=．11.C解析：由·=2．∠BAC=300得S△ABC=1，即x+y+z=1，f(xyz)==14+=14+4+6+12=36.当且仅当y=2x，z=3x，2z=3y，即x=，y=，z=时取等号12．D解析：如果对于函数图象上的任意一点M(x1，y1)，在其图象上都存在点N(x2，y2)使OM⊥ON，则函数图象上的点的集合为商高线．对于①，若取M(1，1)，则不存在这样的点；对于③，若取M(1，O)，则不存在这样的点．故选D．13. 0 解析：若输入x=0.1，则m=lg 0.1= -1，因为m<0,m= -1+1=0.所以输出的仇的值为0．14. -4解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=1+m=0，m= -1．f(-log35)=-f(log3 5)=- (3log35-1)=-4.15. 2 解析：因为f(x)=2sinx·cosx2cos2x=sin2x cos2x1=，所以其最大值为1，P1错误f(x)=的图像向右平移个单位后得到函数为f(x)==，P2错误由，k Z得函数f(x)的单调递增区间为，k Z，P3正确16. 解析：因为a n-1-a n=(n)，，..所以，，经检验，n=1时也适合此公式17. 解(1)因为A=，B+C=sin(-C)=3sinC·2分cosC+sinC=3 sinC·4分cosC=sinC，tanC=·6分(2)由，sinB=3sinC得b=3c·8分ΔABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cosA=9c2+c2-2×(3c) ×c×=7c2·10分因为a=，c=1，b=3ΔABC的面积为S=bsinA=·12分18. 解：(1)根据题意，有，解得·2分p=0.15，q=0.10(2)用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“压岁钱超过2千元的青少年”有10=4人，“压岁钱不超过2千元的青少年”有10=6人··5分故的可能取值为0，1，2，3P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=，P(=3)=·7分所以的分布列为：0 1 2 3P·10分(3)以频率估计概率，从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱超过2千元的青少年”的概率为，则η~B(15，)，所以随机变量η的期望为E(η)=15×=6·12分19. (1)证明：方法一：由题意知，在ΔAEF，AE=，EF=，AF=·1分AE2+EF2=AF2，AE⊥EF.·2分在ΔAEC中，AE=， EC=，AF=·3分AE2+EC2=AC2，AE⊥EC·4分又EF EC=E,AE⊥平面ECF·5分又平面ECFᴝFC，AE⊥FC.·6分方法二：因为四边形ABCD是菱形，AD=BD=2，AC⊥BD,AC=·1分因为ED⊥平面ABCD,BD=2，BF=2，DE=2，故可以O为坐标原点，以OA，OB所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析一

2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析一

高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B．C．D．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2x D．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数 C．奇函数D．偶函数8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．B．2 C．D．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A． B．C．（2，+∞）D．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x、y的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l 的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1，+∞），由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），则∁R（A∩B）=（﹣∞，1]，故选：A．点评：此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．解答：解：由（2+i）z=1+2i，得，∴，则z的共轭复数所对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：从两个方向判断：一个是看能否得到△ABC为钝角三角形，另一个看△ABC为钝角三角形能否得到，这样即可判断出“”是“△ABC是钝角三角形”的什么条件．解答：解：如图，（1）若，则cos＞0；∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；∴不一定得到；∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．故选A．点评：考查数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及钝角三角形的概念，充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值，由裂项法求和即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤9，S=，i=2满足条件i≤9，S=+，i=3…满足条件i≤9，S=++…+，i=10不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值．由于S=++…+=（1﹣+﹣+﹣…+﹣）=×（1+）=．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求数列的和，综合性较强，属于基本知识的考查．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B．C．D．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，通过零点分区间的方法，对x的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，再解即可．解答：解：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，则f（x）=，∴当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔﹣2x﹣1≤4，∴﹣≤x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，有3≤4恒成立，当x≥1时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔2x+1≤4，∴1≤x≤．综上所述，不等式|x+2|+|x﹣1|≤4的解集为[﹣，]．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可以通过对x的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数解决，也可以利用绝对值的几何意义解决，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2x D．考点：简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故选：C．点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数 C．奇函数D．偶函数考点：函数的周期性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可判断f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]=f（x）；从而说明周期是1即可．解答：解：由题意，f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=（x+1）﹣（[x]+1）=x﹣[x]=f（x）；故函数f（x）=x﹣[x]在R上为周期为1的周期函数，故选B．点评：本题考查了函数的周期性的判断，属于基础题．8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．B．2 C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：数形结合法；空间位置关系与距离．分析：根据题意，画出图形，求出该正方体的正视图面积的取值范围，定义ABCD选项判断即可．解答：解：根据题意，得；水平放置的正方体，如图所示；当正视图为正方形时，其面积最小=2；当正视图为对角面时，其面积最大为×=2．∴满足棱长为的正方体的正视图面积的范围为[2，2]．∴B、C、D都有可能，A中﹣1＜2，∴A不可能．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A． B．C．（2，+∞）D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到关于a，b，c 的不等式，求出离心率的范围．解答：解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF∵∠AEB是钝角，∴AF＞EF∵F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴AF=，∵EF=a+c∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0解得＞2或＜﹣1双曲线的离心率的范围是（2，+∞）故选：C．点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）和y=ax的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解答：解：作出函数y=|f（x）|的图象如图：若a＞0，则|f（x）|≥2ax，若a=0，则|f（x）|≥2ax，成立，若a＜0，则|f（x）|≥2ax，成立，综上a≤0，故选：A．点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x、y的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为﹣0.61 ．考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：本题考查回归直线方程的求法．依据所给条件可以求得、，因为点（，）满足回归直线的方程，所以将点的坐标代入即可得到a的值．解答：解：依题意可得，==3.5，==4.5，则a=﹣1.46=4.5﹣1.46×3.5=﹣0.61．故答案为：﹣0.61．点评：回归分析部分作为新课改新加内容，在高考中一直受到重视，从山东考题看，一般以选择题或填空题出现．本题给出了线性回归直线方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的a，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解答：解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点，∴≤，解得﹣1≤a≤3，∴在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为=故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．解答：解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：180点评：本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解答：解：||===，只考虑x＞0，则===，当且仅当=﹣时取等号．∴则的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，求出k得答案．解答：解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，及已知等式，利用平面向量的数量积运算法则求出cosA的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）根据已知等式求出a的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b+c，cosA的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，并判断其形状即可．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（cos2A，cos2），且•=1，∴•=cos2A+2cos2=2cos2A﹣1+1+cosA=2cos2A+cosA=1，∴cosA=或cosA=﹣1，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）由题意知a=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA），∴3=12﹣2bc（1+cos），∴bc=3，∴S△ABC=bcsinA=×3×=，由，得b=c=，∵a=，∴△ABC为等边三角形．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出第一次是3，第二次是2和第一次是2，第二次是3的概率相加即可；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，分别求出其概率值，列出分布列，求出数学期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是5”为事件A，则；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，，，，，．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P∴，故所求的数学期望为．点评：本题考查了离散型随机变量的分别列及其期望，熟练掌握公式是解题的关键，本题属于中档题．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，依题意有，解得：或（舍去），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1+（a2n+nb n）=1+S2n+（b1+2b2+…+nb n），令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；综合题．分析：（I）结合几何体中的线面关系证明线面垂直即AA1⊥面ABC，进而可得AA1⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．（II）建立坐标系求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的基本运算，求出两个向量的夹角再结合线面角的范围求出线面角即可．解答：解（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接ME，CE，则有ME与NC平行且相等．∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．（Ⅱ）以AB，AA1为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如设是平面ABN的一个法向量，则∴，令y=1∴设MN与面ABN所成角为θ则，化简得3λ2+5λ﹣2=0，λ=﹣2或由题意知λ＞0，∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，便于判断线面的位置关系以及建立坐标系通过向量法解决空间角、空间距离问题．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设C方程为，利用顶点恰好经过抛物线的准线，求出b，根据椭圆经过点，求出a，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程代入，利用韦达定理，结合斜率公式，即可探索k1，k2，k3之间的关系式．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，∵抛物线的准线，∴…（1分）由点在椭圆上，∴，∴a2=4…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在．∵F（﹣1，0），∴设直线AB的方程为y=k（x+1），代入，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得．…（6分）由题意知M（﹣4，﹣3k），…（8分）∵y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），代人k1，k2得，∴…（10分）=…（12分）∴k1+k2=2k3…（13分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答出．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ），先求出导函数，再分情况①当a≤0时②当0＜a＜1时③当a=1时④当a＞1时进行讨论（Ⅱ）（1）由题意得到即h（x）≥0恒成立，分离参数，利用导数函数最小值即可．（2）当时，，转化为，分别令x=m+1，m+2，…，m+n，利用放缩法，从而证得结论．解答：解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（1+a）x，定义域为{x|x＞0}，∴h′（x）=x+﹣（1+a）=，…（1分）①当a≤0时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1，令h′（x）＜0，∴0＜x＜1；②当0＜a＜1时，令h′（x）＞0，则x＞1或0＜x＜a，令h′（x）＜0，∴a＜x＜1；…（3分）③当a=1时，恒成立；④当a＞1时，令h′（x）＞0，则x＞a或0＜x＜1，令h′（x）＜0，∴1＜x＜a；…（4分）综上：当a≤0时，h（x）的增区间为（1，+∞），h（x）的减区间为（0，1）；当0＜a＜1时，h（x）的增区间为（0，a）和（1，+∞），h（x）的减区间为（a，1）；当a=1时，h（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞1时，h（x）的增区间为（0，1）和（a，+∞），h（x）的减区间为（1，a）．…（5分）（Ⅱ）（1）由题意，对任意x∈（0，+∞），f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．…（6分）由第（Ⅰ）知：∵，显然当a＞0时，h（1）＜0，此时对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）不能恒成立；…（8分）当a≤0时，，∴；综上：a的取值范围为．…（9分）（2）证明：由（1）知：当时，，…（10分）即lnx≤x2﹣x，当且仅当x=1时等号成立．当x＞1时，可以变换为，…（12分）在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，则有==∴不等式恒成立．…（14分）点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，渗透了分类讨论的思想，属于难题．。

『2018高考名师推荐-全国通用』高考总复习数学(理)第二次模拟考试试题及答案解析五

『2018高考名师推荐-全国通用』高考总复习数学(理)第二次模拟考试试题及答案解析五

2018年高三二模 数 学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4,5},{0,2,4},M N P M N === ，则P 的子集共有 （A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个（2）若,x y 满足0,1,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）23 （3）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的n 值为 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（4）在61()2x x-的展开式中，4x 的系数为 （A ）3- （B ）12- （C ）3（D ）6（5）设函数2()sin f x a x x =+，若(1)2f =，则(1)f -= （A ）2 （B ）-2 （C ）1（D ）0（6）多面体MN ABCD -的底面ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM 的长为（A ）3（B ）5（C ）6（D ）22（7）已知等差数列{}n a 满足*n a N ∈，且前10项和10290S =，则9a 的最大值为 （A ）29（B ）49（C ）50（D ）58（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价. 其标准如下表：用户类别分档电量（千瓦时/户.月）电价标准 （元/千瓦时） 试行阶梯电 价的用户一档1-240（含） 0.4883 二档 241-400（含） 0.5383 三档400以上0.7883北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的 用电量为 （A ）350千瓦时 （B ）300千瓦时（C ）250千瓦时（D ）200千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学(理)第二次模拟测试突破冲刺卷及答案解析

【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学(理)第二次模拟测试突破冲刺卷及答案解析

2018年二模突破冲刺交流试卷（03）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷选择题（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为 A .()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1-- D ． ()1,1-2. 已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=212x e e xB 则=⋂B AA.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．()e ,1- D ．()e ,23．随机变量~(0,1)N ξ，则()12P ξ≤≤=Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718（参考数据：()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-≤≤+=，(33)0.9974P μσξμσ-≤≤+=） 4．从9,8,7,6,5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数” =B “第二次取到的是奇数”，则 ()=A B P A.51 B ． 103C ．52 D ．215．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,57]C ．(30,32]D ．(28,57]6．已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2pp q a a +=，则{}n a 的前10项和10S = A. 31B. 62C. 170D. 10237． 已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）()31.21A f x x x =-- ()31.21B f x x x =+- ()31.21C f x x x =-+ ()31.21D f x x x =---8． 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上. 当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时， 三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于A.212a B. 214a开始输入xk =0x =2x +1k =k +1 x >115?.结束否是输出k正视方向图1图2C 1D 1B 1A 1CDABMQN O xyC.224a D. 234a9．若正数,a b 满足：121=+b a 则2112-+-b a 的最小值为（ ） A.2 B. 2 C. 22 D. 110．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为(1,2)-，点C 位于第一象限，AOC α∠=．若5BC =，则23sin cos 3cos 2222ααα+-= 25.5A - 5.5B - 5.5C 25.5D 11. 已知P B A ,,是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线PB PA ,的斜率乘积32=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率=eA . 25B ． 315C ． 210D ． 212.已知函数()()21ln ,2+==x x g e x f x，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则a b -的最小值为 A . 22ln 1+B ． 22ln 1- C ． 12-e D ．1-e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

〖全国通用-名师推荐〗2018最新高考总复习数学(理)高考模拟适应性训练试题及答案解析二

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2018年高考数学适应性试卷（理科）（B卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2n+1，n∈A}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，5} B．{1，2，3} C．{0，1} D．{1}2．设a∈R，a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则a=（）A．±1 B．﹣1 C．1 D．03．执行如图所示的程序框图，如果输入m=1，n=1，则输出的m的值为（）A．8 B．9 C．10 D．114．函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）=（）A．sin（2x﹣）B．sin（2x﹣）C．sin（4x+）D．sin（4x+）5．△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，M为AC的中点，则=（）A．﹣16 B．﹣9 C．9 D．166．已知，x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．B．C．1 D．27．为迎接全国文明城市考核组大检查，教育局拟派宣传科5名科室人员同时到3所学校督办迎检工作的落实情况，每校至少1人，最多2人，临行前科室人员甲要参加一个紧急会议不能同去，需要重新分工，则重新分工数比原定分工数减少了（）A．36种B．54种C．72种D．118种8．设x∈（0，），则“a∈（﹣∞，0）”是“log x＞x+a”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不成分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知函数f（x）=﹣xcosx（﹣π≤x≤π）的最大值M与最小值m的关系是（）A．M+m=4 B．M+m=3 C．M﹣m=4 D．M﹣m=310．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当取最大值时，e1，e2的值分别是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分）11．展开式中x3的系数为15，则实数m的值为．12．已知函数f（x）=，则f（ln）= ．13．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.42米后，水面宽为米．14．如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8，P是平面α内的一动点，使得直线CP，DP与平面α所成角相等，则三角形PAB面积的最大值为．15．已知有限集A={a1，a2，a3，…，a n}（n≥2，n∈N）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“创新集”，给出下列结论：①集合是“创新集”；②若集合{2，a2}是“创新集”，则a=；③若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“创新集”，则a1a2＞4；④若a1，a2∈N*“创新集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在数列{a n}中，a3=9，a6=18，且满足a n+2=2a n+1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数F（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且F（B）=0，求b的取值范围．18．一个盒子里装有8个小球，其中有红色小球4个，编号分别为1，2，3，4；白色小球4个，编号分别为2，3，4，5．从盒子中任取5个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）．（1）求取出的5个小球中，含有编号为3的小球的概率；（2）在取出的5个小球中，红色小球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=2，G是BC的中点．如图，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（Ⅰ）求证：BD⊥EG；（Ⅱ）求二面角D﹣BF﹣C的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设圆T：（x﹣2）2+y2=，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF的斜率．21．已知函数f（x）=e x+mx﹣1（m∈R）．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在正实数x0，使得f（x0）=x0lnx0，求m的最大值；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，且x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2n+1，n∈A}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3，5} B．{1，2，3} C．{0，1} D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】根据条件先求出集合B，利用集合的交集定义进行求解即可．【解答】解：B={x|x=2n+1，n∈A}={1，3，5}，则A∩B={1}，故选：D．2．设a∈R，a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则a=（）A．±1 B．﹣1 C．1 D．0【考点】复数的基本概念．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：由a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，∴，解得a=1．故选：C．3．执行如图所示的程序框图，如果输入m=1，n=1，则输出的m的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得：m=1，n=1不满足条件m≥8，执行循环体，m=3不满足条件m≥8，执行循环体，m=5不满足条件m≥8，执行循环体，m=7不满足条件m≥8，执行循环体，m=9满足条件m≥8，退出循环，输出m的值为9．故选：B．4．函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）=（）A．sin（2x﹣）B．sin（2x﹣）C．sin（4x+）D．sin（4x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得其振幅A及最小正周期T=π，继而可得ω；再由sin（2×+θ）=可求得θ，从而可得答案．【解答】解：由图知f（x）在x=π时取到最大值，且最小正周期T满足T=π+=，∴A=，T==π，ω=2；由sin（2×+θ）=，得：sin（+θ）=1，∴+θ=2kπ+，θ=2kπ﹣，k∈Z．∴f（x）=sin（2x﹣）．故选：B．5．△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，M为AC的中点，则=（）A．﹣16 B．﹣9 C．9 D．16【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据判断判断∴△ABC中是直角三角形，将△ABC，放入坐标系，求出对应点的坐标，利用向量数量积的定义进行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴△ABC中是直角三角形，将△ABC，放入坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（0，4），M（0，2），则=（3，0），=（﹣3，2），则=﹣3×3+2×0=﹣9，故选：B6．已知，x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，故选：C．7．为迎接全国文明城市考核组大检查，教育局拟派宣传科5名科室人员同时到3所学校督办迎检工作的落实情况，每校至少1人，最多2人，临行前科室人员甲要参加一个紧急会议不能同去，需要重新分工，则重新分工数比原定分工数减少了（）A．36种B．54种C．72种D．118种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先将5名工作人员分成3组：1，2，2，再分到3所学校，利用乘法原理，得到不同的安排方案；将4名工作人员分成3组：1，2，2，再分到3所学校，利用乘法原理，得到不同的安排方案，相减即可得到结论．【解答】解：根据题意，先将5名工作人员分成3组：1，2，2，共有=15种再分到3所学校，有A33=6种∴不同的安排方案共有15×6=90种将4名工作人员分成3组：1，1，2，共有C42=6种再分到3所学校，有A33=6种∴不同的安排方案共有6×6=36种∴重新分工数比原定分工数减少了90﹣36=54种．故选：B．8．设x∈（0，），则“a∈（﹣∞，0）”是“log x＞x+a”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不成分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x∈（0，），可得log x＞=1．又a∈（﹣∞，0），可得x+a．即可判断出结论．【解答】解：∵x∈（0，），∴log x＞=1．又a∈（﹣∞，0），∴x+a．∴a∈（﹣∞，0）”是“log x＞x+a”的充分条件，不是必要条件，例如a=0时．故选：A．9．已知函数f（x）=﹣xcosx（﹣π≤x≤π）的最大值M与最小值m的关系是（）A．M+m=4 B．M+m=3 C．M﹣m=4 D．M﹣m=3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先将函数f（x）变形，再设g（x）=﹣xcosx，由函数的奇偶性的定义，可得g（x）为奇函数，则g（x）的最值互为相反数，即可得到所求M，m的关系．【解答】解：∵f（x）=﹣xcosx=2﹣﹣xcosx=+﹣xcosx，令g（x）=﹣xcosx，由g（﹣x）=+xcos（﹣x）=+xcosx=﹣g（x），则g（x）是奇函数，设g（x）在[﹣π，π]的最大值为A与最小值为a，则A+a=0，即有M=+A，m=+a，则M+m=3+A+a=3．故选：B．10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当取最大值时，e1，e2的值分别是（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：=1（a ＞b ＞0），c=，=1，c=．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m ＞n ．利用定义可得：m+n=2a ，m ﹣n=2a 1，解得m ，n ．利用余弦定理可得：==，化简整理可得： =4，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为： =1（a ＞b ＞0），c=，=1，c=．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m ＞n ． 则m+n=2a ，m ﹣n=2a 1， ∴m=a+a 1，n=a ﹣a 1．==，化为： +﹣4c 2=（a+a 1）（a ﹣a 1）．∴﹣4c 2=0，∴=4，∴4≥，化为：≤，当且仅当e 1=，e 2=时取等号．故选：A ．二、填空题（每题5分，满分25分）11．展开式中x3的系数为15，则实数m的值为±1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：展开式中的通项公式：T r+1==m r，令6﹣=3，解得r=2．∴=15，即m2=1，解得m=±1．故答案为：±1．12．已知函数f（x）=，则f（ln）= ．【考点】函数的值．【分析】由分段函数得f（ln）=f（1+ln）=f（2+ln）=，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（ln）=f（1+ln）=f（2+ln）===．故答案为：．13．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.42米后，水面宽为 4.4 米．【考点】抛物线的应用．【分析】根据抛物线开口向下，建立直角坐标系如图所示．设抛物线标准方程为x2=﹣2py（p＞0），结合题意将点（2，﹣2）坐标代入解出p=1，从而得到该拱桥所在抛物线的标准方程，水面下降0.42米，纵坐标y=﹣2.42，代入方程，即可得出结论．【解答】解：以抛物线的轴为y轴，抛物线的顶点为原点，建立如图所求直角坐标系设抛物线的标准方程为x2=﹣2py（p＞0）∵抛物线经过点（2，﹣2）∴22=﹣2p•2，得p=1，即所求抛物线的标准方程为x2=﹣2y；水面下降0.42米，纵坐标y=﹣2.42，由x2=4.84得x=2.2，∴水面宽为4.4m．故答案为：4.4．14．如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8，P是平面α内的一动点，使得直线CP，DP与平面α所成角相等，则三角形PAB面积的最大值为12 ．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由面面垂直的性质可得AD⊥PA，BC⊥PB，由∠APD=∠BPC可知PB=2PA，作PM⊥AB，垂足为M，结合三角形的面积公式转化为一元二次函数进行求解即可．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2解得PA2=12﹣4t∴PM=∴S=×AB×PM=×6×=3=3≤12．即三角形面积的最大值为12．故答案为：1215．已知有限集A={a1，a2，a3，…，a n}（n≥2，n∈N）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“创新集”，给出下列结论：①集合是“创新集”；②若集合{2，a2}是“创新集”，则a=；③若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“创新集”，则a1a2＞4；④若a1，a2∈N*“创新集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是①③④．（填上你认为所有正确的结论序号）【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据已知中“创新集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案【解答】解：①∵（3+）（3﹣）=9﹣3=6=3++3﹣=6，满足新定义集合；故①是正确的；②若集合{2，a2}是“创新集”，则2+a2=2a2，解得a=；故a=错误；故②错误；③若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“创新集”，不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“创新集”A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“创新集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说“创新集”A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在数列{a n}中，a3=9，a6=18，且满足a n+2=2a n+1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）由a n+2=2a n+1﹣a n，∴a n+2+a n=2a n+1，∴{a n}为等差数列，设{a n}的首项为a1，公差为d，则，解之得，∴{a n}的通项公式为a n=3n．（2），=．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数F（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且F（B）=0，求b的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的图象与性质即可求出函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）根据三角函数的图象平移，得出函数F（x）的解析式，再利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的三边关系，即可求出b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin（2x﹣）﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin（x﹣）﹣1的图象，再向左平移个单位，得函数y=sin（x+﹣）﹣1的图象，所以函数F（x）=sin（x+）﹣1；又△ABC中，a+c=4，F（B）=0，所以，所以；由余弦定理可知，b2=a2+c2﹣2ac•cos=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac≥16﹣3•=4，当且仅当a=c=2时取“=”，所以b≥2；又b＜a+c=4，所以b的取值范围是[2，4）．18．一个盒子里装有8个小球，其中有红色小球4个，编号分别为1，2，3，4；白色小球4个，编号分别为2，3，4，5．从盒子中任取5个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）．（1）求取出的5个小球中，含有编号为3的小球的概率；（2）在取出的5个小球中，红色小球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“取出的5个小球中，含有编号为3的小球”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出取出的5个小球中，含有编号为3的小球的概率．（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“取出的5个小球中，含有编号为3的小球”为事件A，则所以，取出的5个小球中，含有编号为3的小球的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，，，，，所以随机变量X的分布列是：X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望．19．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=2，G是BC的中点．如图，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（Ⅰ）求证：BD⊥EG；（Ⅱ）求二面角D﹣BF﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，欲证BD⊥EG，只需证=0即可；（Ⅱ）先求出平面DEF的法向量，利用两平面的法向量求出两向量的夹角的余弦值，从而得到二面角D﹣BF﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，，∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E﹣xyz．∵EA=2，∴EB=2，又∵G为BC的中点，BC=4，∴BG=2．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），∴=（﹣2，2，2），=（2，2，0），∴=（﹣2，2，2）•（2，2，0）=0，∴BD⊥EG．…（Ⅱ）设平面DEF的法向量为=（x，y，z），∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0），∴，…=（﹣2，2，2），则，即，取x=3，y=2，z=1，∴∵AE⊥面BCF，∴面BCF一个法向量为，…则cos＜＞=，由于所求二面角D﹣BF﹣C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为﹣．…20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设圆T：（x﹣2）2+y2=，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF1F2的周长，得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由直线y=kx+1与圆T相切可知=，即32k2+36k+5=0，由根与系数关系得到k1+k2=﹣，k1k2=，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，利用斜率公式得到k EF．【解答】解：（Ⅰ）由题意，e===，可知a=4b，c=b，∵△PF1F2的周长是8+2，∴2a+2c=8+2，∴a=4，b=1，∴所求椭圆方程为+y2=1 …（Ⅱ）椭圆的上顶点为M（0，1），由题知过点M与圆T相切的直线有斜率，则设其方程为l：y=kx+1，由直线y=kx+1与圆T相切可知=，即32k2+36k+5=0，∴k1+k2=﹣，k1k2=，…由得（1+16k12）x2+32k1x=0，∴x E=﹣．同理x F=﹣…k EF====故直线EF的斜率为．…21．已知函数f（x）=e x+mx﹣1（m∈R）．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在正实数x0，使得f（x0）=x0lnx0，求m的最大值；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，且x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导对m分类讨论即可得出单调性．（II）由已知，关于x的方程有正根．令，利用研究其单调性极值与最值即可得出．（III）令F（x）=xe x﹣e x+1，可得F′（x）=xe x＞0．利用其单调性可得：．又由（I）知，m=﹣1时，f（x）=e x﹣x﹣1的最小值为f（0）=0，即e x﹣1＞x．可得x∈（0，+∞）时，g（x）＞0．综上，x∈（0，+∞）时，x＞g（x）＞0．由（I）知，当m≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，可得f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立．当m＜﹣1时，研究其单调性即可得出结论．【解答】解：（I）f'（x）=e x+m，①当m≥0时，对∀x∈R，有f'（x）＞0．此时f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．②当m＜0时，由f'（x）＞0，得x＞ln（﹣m）；由f'（x）＜0，得x＜ln（﹣m）．此时函数f（x）的增区间为（ln（﹣m），+∞），减区间为（﹣∞，ln（﹣m））．（II）由已知，关于x的方程有正根．令，则．由ϕ'（x）＞0，得0＜x＜1；由ϕ'（x）＜0，得x＞1．∴ϕ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，ϕmax（x）=ϕ（1）=1﹣e．∵关于x的方程有正根．∴m的最大值为1﹣e．（III）令F（x）=xe x﹣e x+1，则x＞0时，F′（x）=xe x＞0．∴F（x）在（0，+∞）上单调递增，x＞0时，F（x）=xe x﹣e x+1＞F（0）=0．故x∈（0，+∞）时，，即．又由（I）知，m=﹣1时，f（x）=e x﹣x﹣1的最小值为f（0）=0，即e x﹣1＞x．∴x∈（0，+∞）时，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0．综上，x∈（0，+∞）时，x＞g（x）＞0．由（I）知，当m≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立．当m＜﹣1时，f（x）在（0，ln（﹣m））上单调递减，在（ln（﹣m），+∞）上单调递增．当0＜x＜ln（﹣m）时，0＜g（x）＜x＜ln（﹣m），∴f（g（x））＞f（x），不满足题意．故实数m的取值范围是[﹣1，+∞）．2016年10月16日。

【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(理)高考模拟试题及答案解析十三

【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(理)高考模拟试题及答案解析十三

2018年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则AB =(A){0x x <或1}x ≥ (B) {12}x x <<(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A)223(B)283(C)323(D)3434．函数1,0,()2cos 1,20x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于 (A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π(D) 12π-5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)29 (C) 3(D) 236．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC 的中点，那么AD =(A)3 (B) 23(C) 3 (D) 67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：产品名称 A B C天12 13 14俯视图正视图32213产值（单位：万元）4722则每周最高产值是(A) 30(B) 40 (C) 47.5(D) 52.58．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是 (A) 4 (B) 33(C) 43(D) 8第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是 ．10．直线l 的斜率是1-，且过曲线22cos ,32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心，则直线l 的方程是 ．11．已知函数21()sin 23cos 2f x x x =+，则()f x 的最小正周期是 ；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6f π'= ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．开始0S =，1n =20n ≤输出S 结束是否1(1)S S n n =++1n n =+OPEDC BA13．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，PA 是⊙O 的切线，PB PA ⊥，24BE PE PD ===，则PA =_____，AC = ．14. 已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{1,2,3,4,5,6,7}A B =；②A B =∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么A =______； （ⅱ）有序集合对（A ，B ）的个数是______．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△B C D 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长．16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 底面ABC D ，BD AC ⊥于O ,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ； （Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥； （Ⅲ）设二面角1A BD M --的平面角为θ，当25cos 25θ=时，求CM 的长． A 班B 班0 1 2 39 1 0 73 4 1 1 62 5718.（本小题共13分）已知数列{}n a 满足110a =，1212,2,1log ,21n a n n n k a a n k --⎧==⎨-+=+⎩*(N )k ∈，其前n 项和为n S ．（Ⅰ）写出3a ，4a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求n S 的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．20.（本小题共13分）已知函数ln 1()ax f x x+=(0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；OMD 1C 1B 1A 1DCBA（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数 学（理科）参考答案选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCACADC一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．26 10．50x y +-= 11．π；1- 12．212213．4；52 14．{6}；32 注：第11，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 二、解答题：15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1sin 42BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=， 所以552sin =∠BCD ． 因为BCD ∠为锐角， 所以2255cos 1()55BCD ∠=-=． ……………………6分 （Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB ∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ． 因为222BC CD DB =+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形．因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1(91113202437)196+++++=， 由此估计A 班学生每周平均上网时间19小时；B 班样本数据的平均值为1(111221252736)226+++++=，由此估计B 班学生每周平均上网时间22小时． ……………………2分（Ⅱ）因为从A 班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是13，所以从A 班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为12124()()339P C =⨯=． ……………………5分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．252)0(26262324===C C C C P ξ， 7526)1(2626131324231214=+==C C C C C C C C P ξ， 7531)2(26261313121423242322=++==C C C C C C C C C C P ξ， 7511)3(2626231214131322=+==C C C C C C C C P ξ， 751)4(26262322===C C C C P ξ． ξ的分布列是：ξ0 1 2 3 4P2527526 7531 7511 7512263111150123425757575753E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BA B A 11是平行四边形．所以AB B A //11．因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ．因为平面 O B A 11平面ABCD l =，所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分 （Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．因为41=AA ，且24OC AO ==，所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．zyxABCDA 1B 1C 1D 1MO因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ．设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-，1(2,0,4)OA =-． 所以08081=++-=⋅OA DM ．所以1AO DM ⊥． ……………………8分 （Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x m =，又因为1(2,,4)AD b =-，1(2,,4)AB c =-，所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b ≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =． 设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--，(4,,)MB c h =--． 设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =，所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩．因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =-．又因为25cos 25θ=， 所以25cos ,25m n <>=，即21252255116hm nn mh -⋅==⨯+．解得3h =或76h =． 所以点(4,0,3)M 或7(4,0,)6M ．所以3CM =或76CM =． ……………………14分18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为110a =，所以110222a a ==，1032221log 1log 29a a =-+=-+=，942512a ==． ……………………3分（Ⅱ）当n 为奇数时，221221log 1log 21n a n n n a a a ---=-+=-+=-，即21n n a a --=-．所以{}n a 的奇数项成首项为110a =，公差为1-的等差数列． 所以当n 为奇数时，1121()(1)22n n na a --=+⋅-=． 当n 为偶数时，121(1)1122222n n n n a a ----===，所以 112*2,2,(N )21,2 1.2nn n k a k n n k -⎧=⎪=∈⎨-⎪=-⎩ ……………………10分（Ⅲ）因为偶数项11220n n a -=>，奇数项212n na -=为递减数列， 所以n S 取最大值时n 为偶数． 令2210k k a a -+≥(*N k ∈)， 即112121202kk --++≥． 所以11211kk -≥-．得11k ≤．所以n S 的最大值为1091022(2222)(1090)2102S =++++++++=．……………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距22c =，所以1c =． 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以33b c ==，222a b c =+=．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………………4分（Ⅱ）假设存在点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点．设00(,)P x y ，(,0)T t ，PM 的中点为S ．因为PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），且PTN ∠的平分线过S ，所以PTS STN PST ∠=∠=∠． 又因为S 为PM 的中点，所以12PT PS PM ==． 即220001()(0)42x t y x -+-=-．因为点P 在椭圆C 上，所以2203(1)4x y =-，代入上式可得 202(1)(1)0x t t -+-=． 因为对于任意的动点P ，PTN ∠的平分线都过S ， 所以此式对任意0(2,2)x ∈-都成立．所以21010t t -=⎧⎨-=⎩，解得1t =． 所以存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，此时定点T 的坐标为(1,0)． ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}x x >．因为ln 1()ax f x x +=， 所以2ln ()axf x x -'=．因为0a >，所以当()0f x '=时，1x a=．当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)a 上单调递增；当 1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1(,)a +∞上单调递减．所以当1x a=时，1()()f x f a a ==最大值． ……………………6分（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解． ……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）得ln 11x x +≤，变形得11ln x x-≤，当1x =等号成立．所以 11ln 22-<，231ln 32-<，……11ln 1k k k k --<-， 所以得到 当*N k ∈且2k ≥时，1111ln 234k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………10分 由（Ⅰ）得 ln 11x x+≤，变形得 ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以 33ln122<-， 44ln 133<-， 55ln 144<-， …… 11ln 1k k k k++<-， 所以得到 当*N k ∈且2k ≥时，11111ln2234k k +<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+． 又因为1ln ln 22k k +<， 所以当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k <+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析

2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．}的公差为d，解答：解：设等差数列{an∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x ﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，＞0得k2+ka﹣1＞0，由△2故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

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2018届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x||x+1|＜3，x∈R}，N={0，1，2}，则M∩N=( )A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣4＜x＜2} 2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为( )A．﹣3 B．0 C．3 D．123．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．﹣1008 B．﹣1007 C．1007 D．10084．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∀x∈R，都有2x≥2x”的否定为“∃x0∈R，使得2x≤2x0”D．“a=0”是“直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行”的充要条件5．如图，在△ABC中，∠ACB=30°，点D在BC上，AD=BD=1，AB=，则∠BAC=( )A．120°B．150°C．135°D．90°6．定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）=2f（x），已知x∈[﹣1，0]，f（x）=x2+x，当x∈[1，2]时，f（x）≤logm恒成立，则实数m的取值范围是( )A．m≤1 B．0＜m≤1 C．m≥1 D．0＜m≤27．若O是△ABC的重心，=﹣2，A=120°，则||的最小值为( ) A．B．C．D．8．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A1、A2分别为其左右顶点，过坐标原点且斜率为k（k≠0）的直线交双曲线C于P1、P2，则A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为( )A．8 B．2 C．6 D．4二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知+1=2i（i是虚数单位），则实数a=__________．10．在x（x+a）10的展开式中，x8的系数为15，则a=__________．11．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为__________．12．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．若AE=8，AB=10，则CE的长为__________．13．极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为__________．14．若函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，不等式|t﹣k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，k为非零常数，则实数x的取值范围为__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）解析式；（2）若f（x0）=（＜x0＜），求cos2x0的值．16．某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：星期先秦文化趣味数学国学网络技术星期二星期四根据上表：（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M、O为AB、AC的中点，且平面ADC ⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦角；（3）若E为BD上一点，满足OE⊥BD，求直线ME与平面CDM所成的角的正弦值．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，以原点O为圆心，b为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，P为椭圆C上的动点．（1）求椭圆的方程；（2）设M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ（≤λ＜1），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么函数．19．在等比数列{a n}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1++…+=a n（n∈N•），{b n}的前n项和为S n，求满足S n﹣1＞a n+b n的n的最小值．20．已知函数f（x）=x﹣+1+2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．①求实数a的取值范围；②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两点连线的斜率为k，求证：k﹣1＞a．二模试卷（理科）答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x||x+1|＜3，x∈R}，N={0，1，2}，则M∩N=( ) A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣4＜x＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．解答：解：由M中不等式变形得：﹣3＜x+1＜3，解得：﹣4＜x＜2，即M=（﹣4，2），∵N={0，1，2}，∴M∩N={0，1}，故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为( ) A．﹣3 B．0 C．3 D．12考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+3y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣6，3），代入目标函数得z=﹣6+3×3=﹣6+9=3．即z=x+3y的最小值为3．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．﹣1008 B．﹣1007 C．1007 D．1008考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣...（﹣1）n﹣1•n，根据当n=2015时，程序运行终止，得S=1﹣2+3+ (2014)解答：解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣…+（﹣1）n﹣1•n，∵当n=2015时，不满足条件k＜2015，程序运行终止，∴S=1﹣2+3﹣…﹣2014=﹣1007．故答案为：﹣1007．点评：本题考查了循环结构的程序框图，判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．4．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题“∀x∈R，都有2x≥2x”的否定为“∃x0∈R，使得2x≤2x0”D．“a=0”是“直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行”的充要条件考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：对于选项A：利用向量的共线的充要条件即可判断，对于选项B；根据复合命题的真假即可判断；对于选项C；根据命题的否定，即可判断；对于选项D；根据两直线的平行的充要条件即可判断．解答：解：对于选项A：若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=，且λ≠0，故A错误；对于选项B；若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误；对于选项C；命题“∀x∈R，都有2x≥2x”的否定为“∃x0∈R，使得2x＜2x0”，故C错误；对于选项D；直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行，则（a+1）a=2a2，且（﹣2a﹣1）（a+1）≠2×（﹣3），解得a=0，故D正确．故选：D．点评：本题考查了命题的真假的判断，涉及了向量，复合命题，命题的否定，两直线平行等知识，属于基础题．5．如图，在△ABC中，∠ACB=30°，点D在BC上，AD=BD=1，AB=，则∠BAC=( )A．120°B．150°C．135°D．90°考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：在△ABD中，由余弦定理可求得cos∠ADB=﹣．cos∠DAB=，从而可求∠ADB，∠DAB的值，即可求∠ADC．∠CAD，从而可求∠BAC=∠CAD+∠DAB的值．解答：解：∵在△ABD中，cos∠ADB===﹣．cos∠DAB===，∴∠ADB=120°，∠DAB=30°∴∠ADC=180°﹣∠ADB=60°．∴∠CAD=180°﹣∠ACB﹣∠ADC=90°∴∠BAC=∠CAD+∠DAB=90°+30°=120°．故选：A．点评：本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理的综合应用，属于基本知识的考查．6．定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）=2f（x），已知x∈[﹣1，0]，f（x）=x2+x，当x∈[1，2]时，f（x）≤logm恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．m≤1 B．0＜m≤1 C．m≥1 D．0＜m≤2考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：可先根据已知条件求出函数在区间[1，2]上的解析式，然后根据f（x）≤构造出关于m的不等式求解即可．解答：解：因为f（x+1）=2f（x），所以f（x）=2f（x﹣1）=4f（x﹣2）．设x∈[1，2]，则x﹣2∈[﹣1，0]．所以此时f（x）=4f（x﹣2）=4（x﹣2）2+4（x﹣2）=4[（x﹣）2﹣]，x∈[1，2]．易知f（x）max=f（1）=f（2）=0，所以要使当x∈[1，2]时，f（x）≤logm恒成立，只需即可．所以，因为y=log在定义域内是减函数．所以0＜m≤1．故选B．点评：本题考查了不等式恒成立问题的解决方法，一般转化为函数最值问题求解，此例要注意对条件“f（x+1）=2f（x）”的转化作用的体会．7．若O是△ABC的重心，=﹣2，A=120°，则||的最小值为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件容易得到，O是△ABC的重心，而重心是中线的交点，从而可得到（），从而可得到，由基本不等式即可得到，从而求得的最小值．解答：解：，A=120°；∴；O是△ABC的重心；∴；∴；∴；∴的最小值为．故选C．点评：考查数量积的计算公式及其运算，重心的定义，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式用于求最值，以及要求的范围先求范围的方法．8．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A1、A2分别为其左右顶点，过坐标原点且斜率为k（k≠0）的直线交双曲线C于P1、P2，则A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为( )A．8 B．2 C．6 D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点，利用斜率公式，结合离心率为，即可得出结论．解答：解：设P1（x，y），P2（m，n），则A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为==，∵离心率为，∴=，∴=2，∴=4，∴A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为4，故选：D．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知+1=2i（i是虚数单位），则实数a=5．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵+1=2i，∴ai+2﹣i=2i（2﹣i），2+（a﹣1）i=4i+2，∴a﹣1=4，可得a=5．故答案为：5．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10．在x（x+a）10的展开式中，x8的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由条件利用二项式展开式的通项公式，求得x8的系数为•a3=15，从而得到a的值．解答：解：由于在x（x+a）10的展开式中，由x8的系数为•a3=15，求得a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥的一部分，结合三视图中的数据，求出几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆锥的一部分，且底面是半径为2的圆面，高为2，∴该几何体的体积为：V几何体=×π•22×2=．故答案为：．点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，解题的根据是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．12．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．若AE=8，AB=10，则CE的长为1．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接OD，BC，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD ∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；解答：解：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE．又AE⊥DE，∴DE⊥OD．而OD为半径，∴DE是⊙O的切线；连接BC，交OD于G，AB是圆的直径，所以AC⊥BC，所以四边形CEDG是矩形，∵OD∥AE，O是AB中点，∴G是BC中点，∴CG=DE=BC=3，∴BG=3，OG=4，∴DG=1，所以CE=1；故答案为：1．点评：本题考查了圆周角定理以及切线的判断、矩形的判断等知识点；比较综合，但难度不大．13．极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．14．若函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，不等式|t﹣k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，k为非零常数，则实数x的取值范围为[，]．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：由|t﹣k|+|t+k|≥|（t﹣k）﹣（t+k）|=2|k|，（|t﹣k|+|t+k|）min=2|k|，|t﹣k|+|t+k|≥|k|f（x）对于任意t∈R恒成立转化为f（x）≤2 即|x﹣1|+|x﹣2|≤2，解绝对值不等式可得x的取值集合解答：解：∵f（x）=，∵|t﹣k|+|t+k|≥|（t﹣k）﹣（t+k）|=2|k|∴（|t﹣k|+|t+k|）min=2|k|问题转化为f（x）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2显然由得2＜x≤或得x＜1∴实数x的取值集合为[，]故答案为：[，]点评：本题考查了绝对值不等式的几何意义，不等式的恒成立转化为求解函数的最值问题是关键，属于中档题，三、解答题（共6小题，满分80分）15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）解析式；（2）若f（x0）=（＜x0＜），求cos2x0的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图象可知A，T，由周期公式可求ω，由sin（2×+φ）=1，又|φ|＜，可求φ，即可求得函数f（x）解析式．（2）由f（x0）=，可求sin（2x0+）=，又＜x0＜，则可求cos（2x0+），由两角差的余弦函数公式即可求值．解答：解：（1）由图象可知A=1，周期T=2（）=2×=π，所以ω==2，…3分sin（2×+φ）=1，又|φ|＜，则φ=．所以f（x）=sin（2x+）…6分（2）因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=，又＜x0＜，则2x0+＜π，可得：cos（2x0+）=﹣=﹣…9分所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=﹣=…12分点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．16．某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：星期先秦文化趣味数学国学网络技术星期二星期四根据上表：（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由图表可得星期二、星期四满座的概率，然后由对立事件及相互独立事件的概率得答案．（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．然后利用相互独立事件和互斥事件的概率求得概率，列出频率分布表，再由期望公式求得期望．解答：解：（1）设趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座为时间A，则P（A）=．（2）由题意可知ξ的所有取值为：0，1，2，3，4．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4P故ξ的期望为Eξ=0×．点评：本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．17．如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M、O为AB、AC的中点，且平面ADC ⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦角；（3）若E为BD上一点，满足OE⊥BD，求直线ME与平面CDM所成的角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结DO，利用线面垂直的判定定理即得结论；（2）分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面CDM 的法向量与平面ACD的法向量的夹角的余弦值的绝对值；（3）设，（0≤λ≤1），利用向量的加法法则及线段垂直的向量表示可得，利用向量数量积运算计算即可．解答：（1）证明：∵AB=4，AC=2，AD=2，∴AC⊥BC，AD⊥DC，则取AC中点O，连结DO，则DO⊥AC，∵平面ADC⊥平面ACB，DO⊂平面ADC，∴DO⊥平面ACB，∴DO⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD；（2）解：分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（，0，0），B（﹣，2，0），M（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，0，），=（，，0），=（，0，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），由，可得，令x=1，得=（1，﹣1，﹣1），又平面ACD的法向量为=（0，1，0），∴==，∴二面角A﹣CD﹣M的余弦角为；（3）解：由E点在棱BD上，设，（0≤λ≤1），故=（0，0，）+λ（﹣，2，﹣）=（﹣λ，2λ，（1﹣λ）），由OE⊥BD，得，即2λ+8λ﹣2（1﹣λ）=0，解得，∴=（﹣，2，﹣），=（0，﹣，）+（﹣，2，﹣）=（﹣，﹣4，5），平面CDM的法向量为=（1，﹣1，﹣1），设直线ME与平面CDM所成的角为θ，∴sinθ====．点评：本题考查线面垂直的判定定理，求二面角及线面角，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，以原点O为圆心，b为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，P为椭圆C上的动点．（1）求椭圆的方程；（2）设M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ（≤λ＜1），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么函数．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）圆的方程为：x2+y2=b2，圆心到直线x﹣y+2=0的距离d===b，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）设M（x，y），可设P（x，y′），x∈，由=λ（≤λ＜1），可得，而，代入化简整理可得：（3λ2﹣1）x2+3λ2y2=6，，对λ分类讨论即可得出．解答：解：（1）圆的方程为：x2+y2=b2，圆心到直线x﹣y+2=0的距离d===b，又，a2=b2+c2，解得，c=1．∴椭圆的方程为．（2）设M（x，y），可设P（x，y′），x∈，∵=λ（≤λ＜1），∴，而，∴，整理得（3λ2﹣1）x2+3λ2y2=6，，（i）当时，点M的轨迹方程为：y2=6，即y=，，其轨迹是两条平行直线；（ii）当时，点M的轨迹方程为：，∵0＜3λ3﹣1＜3λ2，∴轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆，满足的部分．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式公式、两点之间的距离公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．在等比数列{a n}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1++…+=a n（n∈N•），{b n}的前n项和为S n，求满足S n﹣1＞a n+b n的n的最小值．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过a3，a2+a4，a5成等差数列，可得q=2，进而可得结论；（2）通过b1++…+=a n（n∈N*），可得b n=，易得当n=1时不满足题意；当n≥2时利用错位相减法计算即可．解答：解：（1）设数列{a n}的公比为q，∵a3，a2+a4，a5成等差数列，∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（q+q3）=q2+q4，解q=2，又∵a1=1，∴a n=2n﹣1；（2）∵b1++…+=a n（n∈N*），∴当n=1时，b1=a1=1，当n≥2时，=a n﹣a n﹣1=2n﹣2，∴b n=n•2n﹣2，即b n=，∴当n=1时，S1=b1=1，∴S1﹣1=0，不满足S1﹣1＞a1+b1；当n≥2时S n=1+2×20+3×21+…+n×2n﹣2，∴2S n=2+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，两式相减得：﹣S n=1+21+…+2n﹣2﹣n×2n﹣1==（1﹣n）2n﹣1﹣1，∴S n=1+（n﹣1）2n﹣1．要使S n﹣1＞a n+b n，只需（n﹣1）2n﹣1＞2n﹣1+n×2n﹣2，解得n＞4，∴满足S n﹣1＞a n+b n的n的最小值为5．点评：本题考查等差数列、等比数列的概念及性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=x﹣+1+2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．①求实数a的取值范围；②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两点连线的斜率为k，求证：k﹣1＞a．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可；（2）求函数的导数，根据函数的导数和极值之间的关系，结合直线的斜率公式求解和证明即可．解答：解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=1+=，∵函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，∴f′（1）=2+2a=0，解得a=﹣1．∵f（1）=1=b，∴a+b=0．（2）①∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不等的正根，即x2+2ax+1=0有两个不等正根，令g（x）=x2+2ax+1，∵g（0）=1，∴，解得a＜﹣1，即实数a的取值范围（﹣∞，﹣1]；②由①知x1x2=1，x1＜1＜x2．x2﹣＞0，故==（1++）﹣1=，令h（x）=2lnx﹣x+，则h′（x）=，∴函数h（x）单调递减，h（x2）＜h（1）=0，∴2lnx2﹣x2+＜0，∴＜1，∵a＜﹣1，∴＞a，即．点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．。

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