CH1-1-2 随机事件与概率
随机事件及其概率知识点总结
随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母，，来表示随机事件. CBA4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.1．（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母来表示，中的??每一个元素都是一个基本事件，并且中包含了所有的基本事件. ?【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率nn次试验中是否出现，则称在次试验，观察某一事件在相同条件下进行了SAn A n?)(fA为事件事件出现的次数事件出现的频数；为事件出现的比例AAA An n 出现的频率. A2．2、概率f(A)稳的增加，对于给定的随机事件，如果随着试验次数事件发生的频率n AA n 定在某个常数上，则把这个常数称为事件的概率，简称为的概率，记作. )(AP AA3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，则我们称BAABB?AA?B）.（或（或称事件事件包含事件包含于事件），记作BBAA2、相等关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，并且如果BBAAB?AA?B，则我们称事件事件发生时，事件且与事件一定发生，即若AAB相等，记作. BAB?3、并事件如果某事件发生当且仅当事件或事件发生，则我们称该事件为事件与事件AAB，记作（或）. 的并事件（或和事件）B??ABAB3．4、交事件如果某事件发生当且仅当事件发生且事件也发生，则我们称该事件为事件ABA与事件的交事件（或积事件），记作（或）. BAA?B?B5、互斥事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），则我们称事??A?BBAAB?件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中都不会同时发BBAA生.6、对立事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），而事件与?A?B?ABB?AA事件的并事件为必然事件（即），则我们称事件与事件互B?A?B?B?ABA为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生. BA【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件包含事件BA类比集合包含集合；事件与事件相等类比集合与集合相等；事件AAABBAB与事件的并事件类比集合与集合的并集；事件与事件的交事件类比BBBAA集合与集合的交集……BA五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.4．2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件与事件互斥，那么；)B)?P(A?B)?P(AP(BA（2）有限多个互斥事件的概率之和AAA?A?L?AA发生”一般地，如果事件两两互斥，那么事件“，，…，nn1221AAA中至少有一个发生）的概率等于这，…，，个事件分别发生（指事件n n21P(A?A?L?A)?P(A)?P(A)?L?P(A).的概率之和，即nn2211【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件与而言，由于在一次试验中，事件与事件不会同时BABA发生，因此事件与事件互斥，并且，即事件或事件必有一个BB??AAB?A发生，所以对立事件与的并事件发生的概率等于事件发生的概率与ABBAA?事件发生的概率之和，且和为，即B1，或. )(B)?1??)?P(B)1PP(A(BP(P?)?(A?)?PA【注】上述这个公式为我们求事件的概率提供了一种方法，当我们直接)(AP A求有困难时，可以转化为先求其对立事件的概率，再运用公式)BP(P(A)B即可求出所要求的事件的概率. )AP()?AP()?1P(B A4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.5．六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在之间，即对于任一事件，都有. 1)??P(A01:0A2、必然事件的概率为，不可能事件的概率为. 013、若事件与事件互斥，则. )(B(A)?PP?P(AB)?BA4、两个对立事件的概率之和为，即若事件与事件对立，则. 1B)?(?AP()P BA16．。
随机事件及概率
随机事件及概率随机事件和概率是概率论中的重要概念，它们在生活中的应用广泛。
随机事件是指在一次试验中可能发生，也可能不发生的事件。
概率则是衡量某一随机事件发生的可能性大小。
一、随机事件随机事件是指在一次试验中可能发生，也可能不发生的事件。
试验是指根据一定规则进行的观察或者操作。
比如，掷一枚硬币的试验就是一个典型的例子。
在这个试验中，硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，因此，正面朝上和反面朝上就是两个可能发生的随机事件。
在概率论中，将一个试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间，用S表示。
而样本空间中的每一个元素都是一个基本事件，它是试验的一个可能结果。
在掷硬币的试验中，样本空间就是{正面，反面}，而正面和反面就是样本空间中的两个基本事件。
根据随机事件的性质，可以将随机事件分为互斥事件和不互斥事件。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而不互斥事件则是指两个事件可能同时发生。
在掷硬币的试验中，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为硬币不可能同时正面朝上和反面朝上；而正面朝上和出现头像的事件就是不互斥事件，因为硬币可能正面朝上同时出现头像。
二、概率概率是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
在概率论中，用P(A)表示事件A发生的概率。
根据概率的定义可以推导出概率的性质，即：1. 随机事件的概率大于等于0，即对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 样本空间的概率为1，即P(S)=1。
3. 若A和B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4. 若A和B是不互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
概率可以通过频率和几何两种方法来计算。
频率方法是指根据大量实验中某一事件发生的次数来估计概率大小。
比如，掷硬币的试验中，可以多次进行掷硬币的操作，然后统计正面和反面朝上的次数来估计正面朝上和反面朝上的概率。
几何方法是指通过样本空间的几何性质来计算概率大小。
概率之1-1_
第 1次
H
第 2次 H 注：在每次试验 中必有一个样本 点出现且仅有一 个样本点出现.
(H,H):
(H,T)： (T,H): (T,T)：
H
T T
T
H T
Ch1-1-24
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
练习：
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 答案：
1. {3, 4, 5, , 18}.
2. {10, 11, 12, }.
Ch1-1-28
说明： 1. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空间 也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.
记 N 正品, D 次品.
则 3 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }. 以上例子都属于有限样本空间。
Ch1-1-25
实例4 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
4 {0, 1, 2,}.
无限样本空间. 实例5 考察某地区 12月份的平
Ch1-1-10
然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说 最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局， 每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是 “5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。 在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30 个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币， 所以，他应分得45个金币。
Ch1-1-13
创立：1713年，雅各布-伯努利的《猜测术》出 版，是概率论成为数学中的一个独立分支的标志。 他建立了第一个极限定理，即伯努利大数定律。
《概率论与数理统计》课件ch1-1
A B
n
的交 —— ——
Ai
i 1
A1 , A2 ,, An , 的交
Ai
i 1
4. 差
A
Ch1-1-14
A B
— A 与B 的差
B
A B
A 发生且 B 不发生
Ch1-1-15
5. 互斥(互不相容)
AB — A 与B 互斥
A、
A 的对立(逆) A — A不发生
A A
A A
A
A
A A ,
A A
注意：概念“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”
Ch1-1-17
7. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An 两两互斥，且
A
i i 1
n
则称A1 , A2 ,, An 为完备事件组
或称A1 , A2 ,, An 为 的一个划分
Ai Ai 并的逆=逆的交
i 1 i 1
n
n
Ai Ai 交的逆=逆的并
i 1 i 1
n
n
Ch1-1-20
分配律
B A C
图 示
A (BC ) ( A B)( A C )
B A C
5. A
A A
A A A
Ch1-1-21
必然事件——全体样本点组成的事件, 每次试验必定发生. 不可能事件——不包含任何样本点的事 件, 每次试验必定不发生.
Ch1-1-9
例1-1-2 盒中有10个相同的球,分别编号
1,...,10.现从中任取一球.分析此试验的样本 空间及随机事件. = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A={所取球的标号为偶数} ={2,4,6,8,10} B={所取球的标号不大于3}={1,2,3}
1-2随机事件的概率
C k ( N 1)nk P(C ) n . N n
生日问题：求参加聚会的n个人至少有两个人生 日相同的概率pn . 若把n个人看作上面的n个球，而把 一年中的365天作为盒子，则N 365，所求的概率就 是1 P(B)，即
pn 1 365 364 … (365 n 1) 365 n . 下表给出了若干个n与pn的数值：
例 从有9件正品、3件次品的箱子中任取两次，每次取一件， 试分别以：
(1)有放回抽样法：即每次抽取的产品观察后放回； (2)不放回抽样法：即每次抽取产品观察后不放回． 两种抽样方式求事件
A={取得两件正品}， B={第一次取得正品，第二次取得次品}， C={取得一件正品一件次品} 的概率．
解 (1)采取有放回抽样 从箱子中任取两件产品，每次取一件，取法总数为122 ．
响. 求甲、乙两人能会面的概率.
解：设x, y分别为甲、乙两人到达的时刻，则
0 x T , 0 y T. 两 人 会 面 的 充 要 条 件 为 |x y| t ,
y
若以x, y表示平面上点的坐标，则所求的概率为
阴影部分面积 T 2
p
(T t )2
1 (1
• 事件的频率刻画了事件发生的频繁程度。 • 事件的频率越大，在一次试验中事件发生的可能性越大。 • 频率随试验的具体结果而定，一般不是确定的值。
频率的性质
非负性
规范性
事件 A, B互斥，则
可加性 可推广到有限个两两互斥事件的和事件
稳定性
某一定数
频率稳定性的实例
投一枚质地均匀的硬币,观察正面向上的次数
排列组合公式
全部的排列组合公式的推导基于下面两条原理：
概论与统计第一章 随机事件及概率
事件 C：“没有次品”
基本事件
事件 D： “有2个或3个次品”
包含2个基本事件:
整理课件
1.3 事件间的关系及运算 ❖ 引言
因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事 件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。
1、事件的包含与相等
属于 A 的 必然属于 B
** 事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B
试验E的任何事件A都可表示为其样本空间的子集。
样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}称为基本
事件，也是一种随机事件。否则，称为复合事件(由两个或两 个以上的基本事件构成的事件整)理。课件
事件发生：如果当且仅当样本点ω1,ω2,…,ωk有一个出 现时，事件A就发生。
用事件A中的样本点的全体来表示事件A，即 A={1， 2，…... k}
了数理统计的基本概念和方法，主要有参数估计、参数假设检验、
回归分析基本知识和原理，使学生对统计学原理的作用有一深刻的
了解。(Ch6----Ch9)
通过本课程的学习，使学生能全面理解、掌握概率论与数理统
计的思想与方法，掌握基本而常用的分析和计算方法，并能运用概
率论与数理统计的观点和方法来研究解决经济与管理中的实践问
题。
整理课件
第一章 随机事件及其概率
引言
确定性现象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生 的现象
随随机机现现象象：：在在一一定定条条件件下下可可能能发发生生也也可可能能不不发发生生的的现现象象
例 1 (1)太阳从东方升起 (2)边长为a的正方形的面积为a2 (3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球
整理课件
§1 随 机 事 件
1.1 随机试验与样本空间
《随机事件与概率》PPT课件
④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现；ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现；AB AC BC
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第一章 随机事件与概率
德莫根公式
第11页
A B A B; A B A B
n
n
Ai Ai ;
i 1
i 1
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
10 May 2019
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第一章 随机事件与概率
记号
Ω φ
AB
AB=φ
AB AB
AB
A
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件
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第一章 随机事件与概率
1.1.7 事件域
第17页
设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合
类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域
1. ΩF ;
2. 若 AF ，则 A F ;
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则 An F .
n 1
10 May 2019
P( A |B) = 1 P(A|B).
10 May 2019
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第一章 随机事件与概率
注意点
第32页
P(|B) = 1 ;
P(B|) 1 ;
P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.
10 May 2019
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第一章 随机事件与概率
条件概率的三大公式
2024高考数学随机事件与概率分布
2024高考数学随机事件与概率分布随机事件与概率分布是数学中重要的概念和工具，在2024年的高考数学考试中也将成为不可或缺的考点。
本文将对随机事件与概率分布进行详细的介绍和讨论。
一、随机事件的定义和性质1. 随机事件的定义随机事件是指在一次试验中发生或者不发生的事情。
试验是指具有确定性结果的随机现象，而随机事件则是试验结果的某种子集。
例如，在掷一枚硬币的试验中，出现正面和出现反面可以看作是两个随机事件。
2. 随机事件的性质随机事件具有以下性质：（1）必然事件：必然事件是指一定会发生的事件，它对应于样本空间中的全部样本点。
在抛一枚硬币的试验中，必然事件可以是出现正面或出现反面。
（2）不可能事件：不可能事件是指一定不会发生的事件，它对应于样本空间中的空集。
在抛一枚硬币的试验中，不可能事件可以是出现数字。
（3）对立事件：对立事件是指在一次试验中不能同时发生的两个事件。
例如，在掷一枚硬币的试验中，出现正面和出现反面是对立事件。
二、概率的基本概念和性质1. 概率的定义概率是对随机事件发生可能性的度量。
设S是一次试验的样本空间，A是S的一个事件，P(A)表示事件A发生的概率，通常用来衡量事件A在试验中出现的可能性大小。
2. 概率的性质概率具有以下性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1。
（2）若必然事件S的概率为1，那么对于任意事件A，有P(A) +P(A的对立事件) = 1。
（3）加法公式：对于任意两个互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
三、离散型随机变量与概率分布1. 随机变量的定义随机变量是指赋予每个样本点一个实数的函数。
它用于描述试验结果和对应的数字之间的关系。
2. 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量是指取有限个或可数个数值的随机变量。
概率分布则是离散型随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
例如，在一次掷骰子的试验中，骰子的点数可以是1、2、3、4、5或6，因此点数是一个离散型随机变量。
概率论-1-2随机事件间的关系及运算
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
容, 即
A B AB .
实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
基本事件，复合事件，必然事件， 不可能事件都是随机事件
学习了事件的运算及运算律，运算的 目的是什么？
用简单事件表示复合事件（复合事件分解 成简单事件）
(*)2. 概率论与集合
S 样本空间，必然事件
互为对立事件
二、随机事件间的关系及运算
事件是集合，就可以用集合间的关系和运 算来处理,我们结合 p4 图来学习：
设试验 E 的样本空间为S, 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 S 的子集.
二、随机事件间的关系及运算（续）
1. 包含关系 子事件 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以B=“产品不合格”包含A=“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
(2) 三个事件都出现;
(3)三个事件至少有一个出现;
(4) 不多于一个事件出现; (5) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (6) A, B, C 中恰好有两个出现.
解(1) ABC; (2) ABC; (3) A B C;
(4) ABC ABC ABC ABC;
(5) ( A B) C; (6) ABC ABC ABC.
复合事件—由若干个基本事件组合而成的事件.
随机事件的概率与计算知识点总结
随机事件的概率与计算知识点总结概率是数学中一个重要的分支，用于描述事件发生的可能性。
在我们日常生活中，随机事件无处不在，了解概率与计算知识点能够帮助我们更好地理解和分析各种事件的发生概率。
本文将对随机事件的概率与计算知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，在0到1之间取值，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件E，其概率记作P(E)。
2. 事件的排列与组合在考虑多种事件同时发生的情况下，我们需要了解事件的排列与组合。
排列是指考虑事件中元素的顺序，而组合则只考虑元素的选择与不考虑顺序。
在计算排列与组合中，我们可以使用阶乘、组合数学公式等方法来求解。
3. 加法法则加法法则用于计算多个事件中至少有一个事件发生的概率。
如果事件A和事件B是互斥事件（即两者不能同时发生），则它们的概率可通过简单相加得到：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 乘法法则乘法法则用于计算多个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B是相互独立事件（即一个事件的发生不影响另一个事件的发生），则它们的概率可通过简单相乘得到：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
5. 条件概率在一些情况下，事件的发生可能会受到其他事件的影响。
条件概率用于描述在给定其他事件发生的前提下，某个事件发生的概率。
条件概率可通过P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来计算，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是描述事件的后验概率与先验概率之间关系的数学公式。
它以事件的条件概率为基础，并利用贝叶斯公式来进行计算，即P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)，其中P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
7. 随机变量与概率分布随机变量是概率论中一个重要的概念，它可以用于描述随机事件的结果。
CH1-1~2模糊集的概念及其运算
超越它，精确性和有意义性就变成两个相互排斥的特性。” 扎德
11
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长
头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息------男人，而其他
信息------大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、
中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念
经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
12
三、研究方向及应用
理论上的研究方向
1、发展模糊集的理论和方法，建立 自身的理论体系； 2、将各个经典数学分支进行模糊化； 3、应用上将fuzzy集方法打入各个 学科专业领域。
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的 各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质 勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛 而又成功的应用.
22
到了20世纪90年代初, 市场上已经出现了大量 的模糊消费产品。在日本出现了“模糊”热, 家电产品中, 不带Fuzzy的产品几乎无人购买。 空调器、电冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器 中已广泛采用了模糊控制技术。我国也于20世 纪90年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机。 模糊数学于1976年传入我国后, 得到迅速发展。 1980年成立了模糊数学与模糊系统学会, 1981 年创办《模糊数学》(华中工学院)杂志, 1987 年创办《模糊系统学会》(国防科技大学)。中 国被公认为模糊数学研究的四大中心 (美国、 欧洲、日本、中国) 之一。
13
四、模糊数学发展历程
1. 模糊理论的萌芽(20世纪60年代) 对模糊性的讨论, 可以追溯得很早。20世纪的 大 哲 学 家 罗 素 (B.Russel) 在 1923 年 一 篇 题 为 《含糊性》(Vagueness) 的论文里专门论述过 我们今天称之为“模糊性”的问题(严格地说, 两者稍有区别), 并且明确指出: “认为模糊知 识必定是靠不住的, 这种看法是大错特错的。” 尽管罗素声名显赫, 但这篇发表在南半球哲学 杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含 糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要, 也不 是因为文章写得不深刻, 而是“时候未到”。
CH1-1事件与概率
又 P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7
P(B) P( A B) P( A) P( AB)
0.7 0.4 0 0.3
条件概率与独立性
例如:一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。
解： 样本空间 ={正正，正反，反正，反反}
事件 A表示至少有一次为正面，
件 A 发生的次数。当试验次数 n 很大时，如果频率
m n 稳定在某一数值 p 的附近摆动，并且随着试验
次数的增多，这种摆动的幅度愈来愈小，此时数值 p
称为随机事件 A 发生的概率，记作 P(A) p 。
可用Excel进行抛掷均匀硬币的实验：
RANDBETWEEN(-1000,1000)产生随机数，按所得 数的正负，分别计算频率，观察频率的稳定性。
样本空间为: {1,2 ,...,6}
"向上的点数大于3"记为事件 A {4 ,5 ,6}
"向上的点数小于2"记为事件 B {1}
"向上的点数小于0"记为事件 C { }=
"向上的点数小于10"记为事件 B {1,2 ,...,6}=
事件间的关系和运算
1.事件 B 包含事件 A ：
A 发生必然导致B 发生，
A A 1 k 1 a ab1 Aakb
a
a b
结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。
抽签原理
例 8.(投球问题) n 个球投到 N 个盒子中去（设盒子的 容量不限）试求恰有 n 个盒子各有一球的概率。
解：设 A 表示每个盒子至多有一个球，
样本空间中样本点的总数为N n ，
事件 A 所包含的样本点个数为 ANn .
第1章(3)1.2 随机事件及其概率(二)
§1.2 随机事件及其概率
1.2.3 事件的概率及性质
1. 频率与概率的统计定义
历史上一些概率统计学家的试验
试验者 德 摩根 蒲丰
K 皮尔逊 K 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn ( H )
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
§1.2 随机事件及其概率
1.2.3 事件的概率及性质
2. 概率的公理化定义 【定义1.5】 设是一随机试验的样本空间，对于该随 机试验的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A) ，称为 事件A的概率，如果集合函数P(.)满足下列公理：
(1) 非负性：对于每一个事件A，有P(A) 0；
(2) 规范性：对于必然事件 ，有P() = 1； (3) 可列可加性：设 A1,A2,… 是两两互不相容的事件， 即对于i j，AiAj = ，i，j = 1，2，…，则有
Ai Aj , i j , i , j 1,2,.
由概率的可列可加性得
k 1
P( A1 A2 An ) P ( Ak ) P ( Ak ) P ( Ak ) 0
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
1 i j k n
n1 P ( A A A ) ( 1 ) P( A1 A2 An ). i j k
§1.2 随机事件及其概率
1.2.3 事件的概率及性质
【例1.4】设事件A，B的概率分别为1/3，1/2．在下列二 种情况下分别求 P ( BA ) 的值： (1) A与B互不相容； (2) A B；
概率之1-1 概率论发展简史及随机事件(专衔本)
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
第一章随机事件及其概率总结
第一章随机事件及其概率总结随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象或结果。
在任何随机事件中，我们都可以通过概率来描述它发生的可能性。
概率是一个在0到1之间的数字，表示一些随机事件发生的可能性大小。
以下是关于随机事件及其概率的总结。
1.随机事件的分类随机事件可以分为两类：简单事件和复合事件。
简单事件是指只有一个结果的随机事件，而复合事件是指有多个结果的随机事件。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个简单事件；而抛两枚硬币的结果可以是两个正面、两个反面或一个正面一个反面，这就是一个复合事件。
2.样本空间样本空间是指一些随机事件所有可能结果的集合。
通过样本空间，我们可以计算概率。
例如，抛一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，抛两枚硬币的样本空间为{正正，正反，反正，反反}。
3.事件的概率事件的概率是指一些事件发生的可能性大小。
概率可以通过以下公式计算：概率=事件的可能数/样本空间的总数。
例如，抛一枚硬币出现正面的概率为1/2，即0.5；抛两枚硬币出现两个正面的概率为1/4，即0.254.组合事件的概率组合事件是指由两个或多个简单事件组成的事件。
组合事件的概率可以通过以下公式计算：概率=简单事件1的概率×简单事件2的概率×……×简单事件n的概率。
例如，从一副扑克牌中抽出一张红心和一张方块的概率为(26/52)×(13/51)=1/85.互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件。
对立事件是指一个事件的发生排除了另一个事件的发生。
互斥事件的概率可以通过简单事件的概率之和计算；对立事件的概率可以通过1减去事件的概率计算。
6.大数定律大数定律是指随着试验次数的增加，事件的相对频率趋近于事件的概率。
也就是说，如果一个事件的概率为p，那么在进行n次独立的重复试验后，事件发生的频率将会接近于np。
例如，抛1000次硬币，正面出现的频率将会接近于500次。
随机事件的概率问题
随机事件的概率问题随机事件的概率问题是概率论中的重要内容之一，它研究的是随机事件发生的可能性以及发生的频率。
在日常生活中，随机事件无处不在，比如掷骰子、抽卡片等。
了解随机事件的概率可以帮助我们做出准确的判断和决策。
本文将介绍随机事件的基本概念、概率的计算方法以及概率问题的应用举例。
一、随机事件的基本概念随机事件指在一定条件下能够发生或者不发生的事件。
比如掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能发生的事件。
为了描述一个随机事件，我们可以使用事件的符号，比如"A"表示掷硬币正面朝上的事件。
随机事件可以分为互斥事件和相对事件。
互斥事件指两个或多个事件不能同时发生的情况，如掷一枚骰子出现1点和出现2点就是互斥事件。
相对事件则指两个或多个事件可以同时发生的情况，如掷一个硬币既可能出现正面朝上，又可能出现反面朝上。
二、概率的计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用P(A)表示事件A的发生概率。
在概率论中，概率的计算方法有多种，比较常用的有古典概型、频率概率和条件概率。
1. 古典概型古典概型适用于所有可能的结果等概率出现的情况下，如掷一个骰子出现1~6点的概率。
在古典概型中，事件A的概率可以通过以下公式计算：P(A) = 可能发生的事件数 / 总的事件数2. 频率概率频率概率是通过统计事件A发生的次数与总实验次数之比来估计概率。
在频率概率中，事件A的概率可以通过以下公式计算： P(A) = 事件A发生的次数 / 总实验次数3. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
三、概率问题的应用举例概率问题的应用非常广泛，可以用于解决实际生活中的各种问题。
下面我们通过两个例子来说明概率问题的应用。
1. 抽奖概率问题假设有一个彩票抽奖活动，共有100张彩票，其中10张中奖。
浏览式复习ch1-2
小概率原理
小概率事件在一次试验中是几乎不会发生的。
古典概型
古典概型的随机试验要求满足下两条件： 有限性。只有有限多个不同的基本事件。 等可能性。每基本事件出现的可能性相等。
古典概率
在古典概型中，如果基本事件（样本点）的总 数为ｎ，事件Ａ所包含的基本事件（样本点）个 数为r(r≤n)，则定义事件Ａ的概率P(A)为r/n。即
解：设甲船到达码头的时刻是x，乙船到达码头的时
刻是y，显然0≤x,y≤24。
按题意，有y-x≤6,x-y≤8
例：投针问题
平面上画着一些平行线，它们之间的距离等 于a,向此平面任投长度为l(l<a)的针，试求此针 与任一平行线相交的概率。
解：设x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，
φ表示针与平行线的交角。如图
AB或A∩B。
3、事件的差 事件Ａ与事件Ｂ的差Ａ－Ｂ，是指Ａ发生，Ｂ不发生。 由定义 Ａ－Ｂ＝A∩B， A＝Ω－A
三、事件的运算法则
对于任意三个事件Ａ、Ｂ、Ｃ，满足下列运算：
1)、交换律 A∪B=B∪A AB=BA
2)、 结合律 (A∪B)∪C= A∪(B∪C)
(AB)C=A(BC)
3)、分配律 A (B∪C)= AB∪AC
事件域
由样本空间的一些子集构成的集合F，如果满 足如下条件：
1) F 2)如A F,则A F
3)如An F n 1,2, ,则 An F n1
则称F为一个事件域。 F中的元素称为随机事件，Ω为必然事件，Φ为 不可能事件
概率的公理化定义
定义在事件域F上的一个集合函数称为概率， 如果它满足如下三个条件：
1） 对任一事件Ａ有：0≤P(A)≤1 2） P(Ω)=1 3） 对两两互斥的事件A1，A2，…，An， …有
概论与统计ch1-2-1随机事件的概率
件 关 系
事件A与事件B相等
（
事件A与B至少有一个发生 (和，并) 事件A与事件B同时发生 (积，交)
文 氏 图
事件A的对立事件
(逆) ）
事件A发生而B不发生
(差)
事件A与B互不相容
(互斥)
样本空间的划分 (完备事件组)
若 1 Ai Aj ,i j,i, j 1,2, ,n
n
小测验 Tests
向指定目标射击三枪，分别用 A1、A2、A3 表示第一、第二、第三枪击中目标,试用它们 表示以下事件：
（1）只有第一枪击中； （2）至少有一枪击中； （3）至少有两枪击中； （4）三枪都未击中
Great minds think alike.
——英雄所见略同
答案
解 设 Ai 表示第 i 枪击中目标
第一章 随机事件及其概率
Chapter 1 Random Events and Probability
§ 1.2 随机事件的概率
Probability of Random Events
教学要求 1.理解概率的四 种定义
Requests
2.掌握概率的基本性质 3.会计算古典型、几何型概率
主要内容
Contents
在古典概型的随机试验中,
P( A) 1 P( A)
(√ )
AA , A A
例1 (掷硬币问题)
把一枚质地均匀的硬币连掷两次，设事件 A={出现两个反面}， B={出现两个面相同}
求 P( A),P(B)
A (BC) (A B)(A C)
A(B C) AB AC
4.对偶律: A B A B, AB A B
第一章 随机事件及其概率
Chapter 1 Random Events and Probability
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运用概率统计的有关方法。可以得到： 1) 前80回和后40回截然地分为两类； 2) 后40回依回目的先后又可分为几类。 由以上分析结果可以证实:
1)前80回和后40回不是出于同一个人的手笔；
2)前80回是否为曹雪芹所写? 通过用曹雪芹的另一著作，做类似的分析。结果 证实了用词手法完全相同，断定为曹雪芹一人手笔； 3)而后40回是否为高鹗写的?
一、随机现象与随机试验 1. 概率论的诞生
1654年，一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局，且谁先赢 c 局便算赢家，若在一赌 徒胜 a 局 ( a<c )，另一赌徒胜b局(b<c)时因故终止 赌博，问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡， 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题，于1654 年共同建 立了概率论的第一个基本概念
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实例4 从一批含有正品
其结果可能为: 正品 、次品.
和次品的产品中任意抽取
一个产品.
实例5 过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯.
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实例6 证券市场每天的开盘指数.
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实例7 出生的婴儿可 能是男,也可能是女. 实例8 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
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A1到A10这10个事件都是试验的直接结果， 试验的直接结果称为基本事件。 事件B，C，D，E，F等都不是试验的直接结 果，所以它们不是基本事件，而是由基本事件组
概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.
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说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这
4 {0, 1, 2,}.
例5 考察南京市12月份的平 均气温.
5 {t T1 t T2 }.
其中 t 为平均温度 .
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例6 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
6 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命。
例7 记录某城市120 急
救电话台一昼夜接
到的呼唤次数.
7 { 0, 1, 2,} .
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说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同，则对应的 样本空 间也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为
{ HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
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（6）概率统计在文学上的应用 从二十世纪30年代末，英国著名的统计学家Yule 把统计方法引入到文学词汇的研究以来，这个领域已 经取得不少进展，最有名的是Mosteller与Wallace在
60年代初对美国立国三大历史文献之一的《联邦主义
者》文集的研究。
Hale Waihona Puke 机动 前页 后页 返回机动 前页 后页 返回
四、小 结
1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; 随 (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 机 先明确试验的所有可能结果; 试 验 (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
例3
从一批产品中,依次任选三件,记录出
现正品与次品的情况.
记 N 正品 , D 次品 .
则 3 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }.
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例4 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{ 0, 1, 2, 3 } .
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说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间
{H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
A2＝｛①，②，④｝ A4＝｛①，③，④｝ A6＝｛①，④，⑤｝ A8＝｛②，③，⑤｝ A10＝｛③，④，⑤｝
上面都是试验的可能结果，所以它们都是事件。 B={恰有两个红球}, Ｃ={至少有两个红球}, Ｄ={球的编号≤4}, Ｅ={至少有一个红球}， Ｆ={恰有三个白球}。 上面这些也是试验的结果，所以它们也都是事件。 但仔细观察发现它们与上述的Ai是有差别的，差别 是什么呢？
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下面我们通过例子进一步阐述随机事件的概念
例8 一个口袋中装有形状完全相同的红球3个(编号 为 ①、②、③)和白球2个(编号为 ④、⑤)。现考察 任取三球中所含红、白球的情况。
试验 任取三球 考察三球中所含红、白球的情况 试验目的
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A1＝｛①，②，③｝ A3＝｛①，②，⑤｝ A5＝｛①，③，⑤｝ A7＝｛②，③，④｝ A9＝｛②，④，⑤｝
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3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
车人数. 4. 考察某地区 10 月
份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
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二、随机现象的统计规律性
人们通过长期的反复观察和实践发现，随机现象 在一次或几次试验中，表现出一种不确定性，但在 相同条件下进行大量重复试验时，随机现象却呈现 某种规律性。
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正、反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
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实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况。 结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子，观 察出现的点数。 1, 2, 3, 4, 5 或 6. 结果有可能为:
的年流量、最大洪峰，一个水库的实际年最大
储水量等。这些问题的研究对大坝及水电站的 建设具有极其重要的意义。
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（3）生物学、医学中有大量的随机现象。如 疾病的传播和诊断，现代遗传学和基因工程等问 题都要用概率论与数理统计的方法，并形成了 “生物统计”和“医学统计”两个边缘学科。 （4）随着现代农业的发展及防灾减灾的需要， 以往笼统的气象预报已不能适应目前经济的发展， 这是因为气象问题都是随机的。代之而起的是 “概率预报”和“统计预报”。统计预报在解决 长期天气预报方面获得很大成功，并在地震预报 中也找到了用武之地，日本最近已用概率统计方 法进行地震出现周期的预报研究。
投币试验
通常把随机现象的这种规律性称为随机现 象的统计规律性。概率论与数理统计就是研究 和发现随机现象统计规律性的数学学科之一。
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三、概率论与数理统计的若干重要应用
（1）在工农业生产和科学试验中，广泛存
在着对产品质量的估计、检验、控制等问题， 这些问题对企业管理者来说是非常重要的，它 们都属概率论与数理统计的应用范围。 （2）水文学中有许多随机现象。如一条河
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结论推翻了后40回是高鹗一人所写。 后40回的成书比较复杂，既有残稿也有外人笔 墨，不是高鹗一人所续。 以上这些结论在红学界引起轰动，这是成功运 用概率统计分析方法对《红楼梦》作者和成书过程 的新学说。 李贤平教授他们又把这类方法用于其他作家和作 品，结果证明统计方法的分辩能力是很强的。 此外，在自动控制、通讯、航海、航空、金融、 保险等方面概率论与数理统计都有着极其广泛的应 用。
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
模型等.
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所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
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课堂练习
写出下列随机试验的样本空间.
1、同时掷三颗骰子，记录三颗骰子之和。
2、生产产品直到得到10件正品，记录生产产品 的总件数。
答案
1. { 3, 4, 5, , 18}. 2. {10, 11, 12, }.
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2、随机事件的概念 1）基本概念
随机事件 随机试验 E 的样本空间 Ω 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件. 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点” “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.
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说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
2. 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析
数学期望.
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2、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生
的现象称为确定性现象. 实例
“太阳不会从西边升起”；
“水从高处流向低处”； “同性电荷必然互斥”；
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