函数三要素

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第8讲函数的三要素

第8讲函数的三要素函数的三要素是指函数的定义、函数的参数和函数的返回值。

这三个要素是函数的基本组成部分，决定了函数的行为和功能。

1.函数的定义：函数是一段封装了特定功能的代码块，用于实现特定的任务。

函数的定义包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。

函数名是用来唯一标识函数的名称，可以根据函数的功能来命名函数名，通常使用驼峰命名法。

参数列表是函数用来接收外部传入数据的部分。

参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。

返回类型是函数执行完任务后返回的数据类型。

返回类型可以是任意有效数据类型，可以是基本数据类型、数组、结构体等。

函数体是函数的具体实现逻辑。

函数体中包含了一组语句，用来实现函数的功能。

函数的定义示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例定义了一个函数名为add的函数，该函数有两个参数a和b，返回类型为int。

函数的功能是计算a和b的和，并将结果返回。

2.函数的参数：函数的参数是函数定义中的一部分，用来接收外部传入的数据。

函数的参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。

函数可以通过参数来获取外部传入的数据，并在函数体中使用这些数据进行计算或逻辑操作。

函数的参数可以分为两种类型：值传递和引用传递。

值传递是指将参数的值复制给函数内部的局部变量，函数内部对参数的修改不会影响外部变量的值。

引用传递是指将参数的地址传递给函数内部的指针变量，函数内部可以通过指针修改外部变量的值。

函数的参数示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例中的add函数有两个参数a和b，都是int类型的。

在函数体内，使用a和b进行计算，并将结果返回。

3.函数的返回值：函数的返回值是函数执行完任务后返回的数据。

函数可以根据实际需要选择是否返回值，以及返回的数据类型。

函数概念及三要素

函数概念及三要素1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．2．分段函数：在定义域内不同的区间上有不同的。

注：分段函数是个函数，而不是多个函数。

3．复合函数：若(),(),(,)y f u u g x x m n ==∈，那么[]()y f g x =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。

方法一：函数定义域的求法关注：分母、根号、指对数底数对数真数、tan 、零次方的底数例题：)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______方法二：求函数解析式的常用方法1、配凑法2、待定系数法3、换元法4、解方程组法例1、已知2(1)23f x x x -=--，则()f x = 。

例2、已知2(31)965f x x x +=-+，则()f x = 。

例3、已知()f x 是一次函数，且(1)(1)23f x f x x +--=+，则()f x = 。

例4、已知()2()32f x f x x +-=-，则()f x = 。

例5、已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且()()1f x g x x +=+，则()g x = 。

方法三：分段函数分段函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同，而分别用几个不同的式子来表示，这种函数就称之为分段函数.分段函数虽然有几个部分组成，但它表示的是一个函数.近几年高考考察的频率较高. 1．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．2. 已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（）（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1141 )1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（）（A ）]10,0[]2,( --∞ (B) ]1,0[]2,( --∞ （C ）]10,1[]2,( --∞ （D ）]10,1[)0,2[ -练习：1．函数()21x f x =-的定义域为（ A ）A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（） A ．（1，＋∞） B ．（2，＋∞） C ．（－∞，2） D ．]21(，3.函数y=2122--+-+x x x x的定义域是（）（A ）-21-≤≤x （B ）-21≤≤x（C ）x>2 （D ）x 1≠4. 函数x x y +-+=2)2(0的定义域为（）A.),2[+∞-B. [2,0)(0,)-+∞C. ),2(+∞-D. )2,(-∞5、若()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式为（） A 、21x + B 、21x - C 、23x - D 、27x +6．下列函数中，值域为[0,1]的是（）（A ）2y x =（B ）sin y x =（C ）211y x =+（D ）21y x -7、已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为（）A 、2)(x x f =B 、)1(1)(2≥+=x x x fC 、)1(22)(2≥+-=x x x x fD 、)1(2)(2≥-=x x x x f8、下列各函数解析式中，满足)(21)1(x f x f =+的是（） A 、 2x B 、21+x C 、 x -2 D 、x 21log 9.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤10、设()1f x x x =--，则1()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( ) A 、－21 B 、0 C 、21 D 、 1 11. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >-12．函数1y x=_____________． 13、若一次函数()y f x =在区间[]1,2-上的最大值为3，最小值为1，则()y f x =的解析式为_____________．14、若二次函数()y f x =过点(0,3),(1,4),(1,6)-，则()f x =_______________.15、函数[]2()23,2,0f x x x x =+-∈-的值域为。

高一数学：函数的三要素

函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。

【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。

（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。

【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。

第12讲函数三要素

x a
定义域(−∞, 0) ∪ (0, +∞) 奇偶性：奇函数单调性： { { 3、双撇函数函数 y=x− （a>0）
x a
(0, √a)单调递减；(√a, +∞)单调递增 (−∞, −√a)单调递增；(−√a, 0)单调递减
值域: (−∞, −2√a) ∪ (2√a, +∞)
定义域(−∞, 0) ∪ (0, +∞) 奇偶性：奇函数单调性：(−∞, 0)和(0, +∞)单调递增 { （4）根式单调性：形如 y = √f(x) + √g(x)，f(x)和 g(x)增减性相同有理化：例 y = √x − √x − 2 平方：例 y = √x − √5 − x 换元：例 y = x − √5 − x { 数形结合：例 y = √x 2 − 2x + 5 + √x 2 + 2x + 2 值域: R
��+�� 2 ��+�� 2
≤ − 2��时，最大值 f(m) > − 2��时，最大值 f(n)
��
��
�� 2 + �� + �� {换元 + 对勾、双撇函数【例 7】 �� + �� + �� = 2 {换元 + 对勾、双撇函数【例 7】 �� + �� + �� 2 + �� + �� 分离常数 + 对勾、双撇 �� = 2 { �� + �� + �� ∈ ��，判别式法 { 1、一次分式 y=

函数三要素分别是

函数三要素分别是
函数三要素分别是：定义域A、值域C和对应法则f。

一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x 是自变量，y是x的函数。

x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。

函数的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

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函数三要素

高中数学函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则。

每个要素里掌握的方向不一样。

定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些，下面一一介绍。

一、定义域1、具体函数定义域，主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。

(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。

(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义。

2、抽象函数的定义域，此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。

（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。

通俗一句话就是括号里的取值范围一样。

3、实际问题，既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求。

二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）。

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。

(4)消去法（构造方程组法）：已知f(x)与fx(1)或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。

三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数。

（2）反解法。

（3）配方法。

（4）不等式法。

（5）单调性法。

（6）换元法。

（7）数形结合法。

（8）导数法。

1.2函数三要素

1.2 函数的三要素1.2.1 函数的定义域1．对函数定义域的理解：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，是研究函数的重要内容.在给定函数的同时应该给定函数的定义域.如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x 的取值范围或使实际问题有意义的x 的取值范围.2．确定函数定义域的方法：（1）如果()x f 是整式，那么函数的定义域是实数集R ;（2）如果()x f 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;（3）如果()x f 是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合; （4）如果()x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各集合的交集;（5）实际问题中，定义域要满足实际问题有意义. 例1求下列函数的定义域：（1）373122+++-=x x y ；（2）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=.解：（1）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠+≥+-.073,022x x 解得R ∈x ，且37-≠x . 所以，函数的定义域为.37,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈x x x 且R（2）要使函数有意义，必须⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-.023,112,012,022x x x x x 解得221≤<x 且23,1≠≠x x .所以，函数的定义域为]2,23()23,1()1,21( .例2 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图1.2-1），若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数式，并求它的定义域.解：设x AB 2=，则CD 弧长为x π，于是22xx l AD π--=. ∴221222x x x l x y ππ+--⋅=lx x ++-=224π.由题意知⎪⎩⎪⎨⎧>-->,022,02x x l x π π+<<∴20l x . 所以，所求函数式为lx x y ++-=224π,其定义域为（π+2,0l）. 例3 已知函数54322++-=kx kx x y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.分析：本题已知函数的定义域为R ，说明函数恒有意义，也就是分母恒不为0. 解：由题意知0542≠++kx kx 的解集为R .当0=k 时，函数53254322-=++-=x kx kx x y 的定义域为R . 当0≠k 时，由()02042<-=∆k k ，解得450<<k .所以，所求k 的取值范围是.45,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡说明：给定定义域求参数的取值范围，要注意对二次项系数k 的讨论. 3．复合函数的定义域：（1）已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域：若()f x 的定义域为[],a b ，则函数[]()f g x 的定义域是使()a g x b ≤≤有意义的x 的集合，也就是不等式()b x g a ≤≤的解集.（2）已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域：若[()]f g x 的定义域为[],a b ，则函数()x g 在[]b a x ,∈上的取范围就是()f x 的定义域.例4 （1）已知函数()x f 的定义域为[]4,0，求函数()2xf 的定义域；（2）已知函数()12+x f 的定义域为[]3,1-，求函数()x f 的定义域；（3）已知函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，求函数)2(x f 的定义域.解：（1） ()x f 的定义域为[]4,0，C图1.2-1402≤≤∴x .解得22≤≤-x .所以，函数)(2x f 的定义域为[]2,2-.（2） ()12+x f 的定义域为[]3,1-，31≤≤-∴x ，7121≤+≤-∴x .所以，函数)(x f 的定义域为[]7,1-. （3）函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，12≥∴x ，122-≥-∴x ，即函数()x f 的定义域为),1[+∞-.12-≥∴x，即2-≥x . 所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛2x f 的定义域[)+∞-,2.方法提炼：由()x f y =的定义域，求复合函数()()x g f y =的定义域，实质上是已知中间变量()x g u =的值域，求自变量x 的取值范围.练习1： 1.函数()x x x y +-=1的定义域为(C)A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1} 2.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数()()12-=x x f x g 的定义域是(B) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1) 3.函数x xy lg 21+-=的定义域为__________.答案：[)2,11.2.2 函数的解析式求函数解析式的常用方法有：（1）由实际问题建立函数关系式；（2）对函数特征已明确的函数，一般可用待定系数法；（3）对“已知()()x h x g f =][，求()x f 的解析式”的问题，一般用换元法；（4）若给出函数方程，一般可用构造方程组解出函数法；（5）复合函数，一般可用代入法.例5 （1）已知()x f 是一次函数，且有()[]89+=x x f f ，求()x f ；（2）已知()x f 是二次函数，且()()()11,00++=+=x x f x f f ，求()x f . 解：（1）设()b ax x f +=.由题意，有()[]()()b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2.由已知，得892+=++x b ab x a .⎩⎨⎧=+=∴.8,92b ab a 解得⎩⎨⎧==,2,3b a 或⎩⎨⎧-=-=.4,3b a()23+=∴x x f 或()23--=x x f .（2）设()()02≠++=a c bx ax x f .由()00=f ，得0=c .∴()()02≠+=a bx ax x f .又由()()11++=+x x f x f ，得()()1122+++=+++x bx ax x b x a ，即()()11222+++=++++x b ax b a x b a ax .⎩⎨⎧=++=+∴.1,12b a b b a 解得.21==b a ().21212x x x f +=∴ 方法提炼：本题给出的函数是模型函数（如一次函数、二次函数等），求函数的解析式一般用待定系数法.例6 已知()x x x f21+=+，求()x f .解：方法一 (换元法) 令1+=x t ()1≥t ，则()21-=t x .()()()112122-=-+-=∴t t t t f .()()112≥-=∴x x x f .方法二（配凑法）由题意，有()x x x f21+=+()112-+=x .所以()12-=x x f . 又11≥+x ，()()112≥-=∴x x x f .方法提炼：形如()()()x h x g f =求()x f 一般使用换元法时，换元时一定要注意所换元的取值范围. 例7 （1）已知()()232+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式；（2）已知()x xf x f 3)1(2=+，求()x f 的解析式. 解：（1）（取反消元法）()()232+=-+x x f x f ， ① ∴()()232+-=+-x x f x f . ②由①,②，解之得().323+=x x f （2）（取倒消元法）()x xf x f 3)1(2=+， ①∴xx f x f 3)(2)1(=+. ②由①,②，消去)1(x f ，得().22xx x f -=方法提炼：“()()232+=-+x x f x f ”和“()x xf x f 3)1(2=+”是以函数为未知元的等式，叫做函数方程.一般可考虑构造方程组解出函数解析式.例8 设()x f 是R 上的函数，且满足()10=f ，并且对任意实数y x ,有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求()x f 的解析式.解：取y x =,则()()()120+--=x x x x f f . 而()10=f ,∴().12++=x x x f方法提炼：本题给出的是抽象函数,求函数的解析式一般用赋值法.练习2：1.已知2211)11(xx x x f +-=+-，则f (x )的解析式为(C) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 2.已知幂函数)(x f 的图象过点)3,3(，则)(x f 的解析式为．答案：21x y =3.已知二次函数()x f y =的最小值为4，且()()620==f f ，求()x f 的解析式. 答案：().6422+-=x x x f1.2.3 函数的值域与最值1．函数值域的理解：函数的值域是全体函数值所组成的集合.是函数的三要素之一，它由定义域和对应法则确定.2．确定函数值域的方法：（1）当函数()x f y =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数()x f y =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合；（3）当函数()x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及对应法则唯一确定；（4）当函数()x f y =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定. 3．常见函数的值域：（1）一次函数()0≠+=k b kx y 的值域为R .（2）二次函数()02≠++=a c bx ax y ：当0>a 时，值域为),44[2+∞-ab ac 当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞.（3）反比例函数()0≠=k xky 的值域为{}0,≠∈y y y R . 4．函数的最值：最大值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最大值.最小值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≥；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最小值.注意：（1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在I x ∈0，使得()M x f =0；（2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤（或()M x f ≤）.例9 求下列函数的值域:(1)xy 1=； (2)x y -=3. 解：（1）∵0x ≠，∴01≠x.所以，函数的值域是()()+∞∞-,00, . （2）∵0x ≥，3x 3,0x ≤-≤-∴. 所以，函数的值域是(]3,∞-.方法提炼：对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察法得到.如利用01≠x，0≥x 等. 例10 （1）求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域；（2）求函数2211xx x y +++=的值域. 解：（1）将函数配方，得()412+-=x y ..∵[]2,1-∈x ，由二次函数的性质可知：当x=1时，4min =y ，当1x -=时，8max =y . 所以，函数的值域是[4，8].（2）原函数可化为()()0112=-+-x y x y .当1≠y 时，R ∈x .由()()()011412≥----=∆y y ，解得2321≤≤y . 当1=y 时，解得0=x ，此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211. 所以，函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.方法提炼：（1）配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；（2）“二次型分式函数”可以转化为一元二次方程后用判别式法求值域.例11 求下列函数的值域：（1）1-+=x x y ；（2）82++-=x x y 的值域.解：（1）方法一：令t x =-1()0≥t ,则12+=t x .∴4321122+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=t t t y .又0t ≥，由二次函数的性质可知当0=t 时，1min =y ,当+∞→t 时，+∞→y . 所以，函数的值域为[)+∞,1.方法二：易知函数在定义域),1[+∞上单调递增.()11min ==∴f y .所以函数的值域为[)+∞,1.（2）方法一：82++-=x x y 可以看成数轴上的点()x P 到定点()2A ，()8-B 间的距离之和，如图1.2-2所示.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，1082==++-=AB x x y . 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，1082=>++-=AB x x y . 所以，函数的值域为[)+∞,10. 方法二：原函数可化为()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=.262),28(10,862x x x x x y当8-≤x 时，1062≥--x ，即10≥y ；当28<<-x 时，10=y ；当2≥x 时，1062≥+x ，即10≥y .图1.2-3 A B P图1.2-2图1.2-4所以，函数的值域为[)+∞,10.方法提炼：第（1）题方法一采用的换元法把一个函数变为简单函数后再求值域，对应二次函数的图象如图1.2-2所示；第（2）题函数解析式具有明显的几何意义，方法一采用的是数形结合法求值域；方法二采用的转化成分段函数后求值域，其对应分段函数的图象如图1.2-4所示.例12 已知函数()()R ∈++-=x a ax x x f 6242.（1）求函数的值域为),0[+∞时a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数()32+-=a a a f 的值域. 解：(1）∵函数的值域为),0[+∞,∴()0624162=+-=∆a a ，即0322=--a a 0.∴1-=a 或23=a . （2）对一切x ∈R ，函数值均非负, ∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0，即-1≤a≤23,∴a+3＞0. ∴()]23,1[,417)23()3(22-∈++=+-=a a a a a f . ∵二次函数()a f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴()419)23(min -==f a f ，()4)1(max =-=f a f . ∴()a f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419. 函数的最值与值域的关系：(1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值；(2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标；(3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区间时),最值是值域为闭区间时的端点值.练习3：1.函数xa x f =)(（0>a ，且1≠a ）在]2,1[上的最大值比最小值大2a，则a 的值为．答案：2321或2.设函数21)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n （n 是正整数），那么在)(x f 的值域中共有个整数．答案：22+n3.求函数y ＝3xx 2＋4的值域．答案：⎣⎡⎦⎤－34，34.习题1.2一、选择题1．（2008，全国）函数x x y +-=1的定义域为（D ）A ．{}1≤x xB ．{}0≥x xC ．{}01≤≥x x x 或D ．{}10≤≤x x 2．函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（ A ）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y3．已知函数()12-x f 的定义域为]3,3[-，则()x f 的定义域为（ C ）A ．[]2,2-B ．[]2,0C ．[]2,1-D ．]3,3[- 4．（2010，山东）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ A ） A.()0,+∞ B.)0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D.)1,+∞⎡⎣5．函数()log (1)[0,1]xa f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( B )A .41 B. 21C. 2D. 4 6．函数()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=1,0,423,0,1,622x x x x x f 的最大值为（ B ）A ．11B ．6C ．4D ．2117．用{}b a ,m in 表示b a ,两个数中的最小值，设(){}x x x f ,2m in 2-=,则()x f 的最大值为( C )A ．-2 B.-1 C.1 D.28．函数()x f 的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)．函数()()x f x x g ⋅=，那么函数g (x )的值域为(B)A ．[0,2]B ．[0，94]C ．[0，32] D ．[0,4]二、填空题9.已知二次函数()x f 的图象经过A(-1,3),B(0,1),C(2,3)三点,则()x f 的解析式为 .答案：()x f =x 2-x+110.已知()x f 是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则()x f =__________. 答案：1()33f x x =+. 11.函数962++-=x x y 在区间[]()3,<<b a b a 上有最大值9，最小值7-，则=a _______，（第8题）=b __________.答案：2-；012.（2011上海文14）设()x g 是定义在R 上，以1为周期的函数.若函数()()x g x x f +=在区间[]1,0上的值域为[]5,2-，则()x f 在区间[]3,0上的值域为________.答案：[]7,2-三、解答题13．求下述函数的定义域：（1）()()021122lg -+-+-=x x x x y ； (2)()()024534lg -++=x x x y . 解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-,01,012,022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<.1,43,2x x x所以-3＜x ＜2且x≠1. 所以，函数的定义域为（-3，1）∪(1,2). （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->.54,21,43x x x 所以，函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 14.已知函数()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求函数()()x f x f y 21-+=的值域. 解:令()x f u 21-=,则0≥u ,()()2121u x f -=. ()11212+--=∴u y . ()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83, ()94121832≤-≤∴u , 解得2131≤≤u . ()11212+--=u y 当2131≤≤u 时是关于u 的增函数,又31=u 时,97=y ; 21=u 时,87=y . ∴()()x f x f y 21-+=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97. 15.（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足()()x x f x f 32=-+，求()f x . 解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）.（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-. （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =.∴()27f x x =+.（4）()()x x f x f 32=-+ ①把①中的x 换成x -,得()()x x f x f 32-=+- ②①2⨯-②，得()x x f 93=,()x x f 3=∴.16.求下列函数的值域：（1）y =；（2）312x y x +=-；（3）y x =+ （4）|1||4|y x x =-++；（5）22221x x y x x -+=++；解：（1）设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =.又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2].（2）313(2)773222x x y x x x +-+===+---. ∵702x ≠-，∴7332x +≠-. ∴函数312x y x +=-的值域为{}3≠∈y y R . （3）设0t =≥，则21x t =-.∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤. ∴原函数值域为(,5]-∞. （4）23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩， ∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞.（5）∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R . 由22221x x y x x -+=++,得2(2)(1)20y x y x y -+++-=. （*） ①当20y -=，即2y =时，（*）即为300x +=.∴∈=0x R .②当20y -≠，即2y ≠时，∵R ∈x 时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴△22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥.∴15y ≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[1,5].。

1、函数的定义、表示及三要素(最新 )

1. 函数的定义设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x f y =，A x ∈.其中x 叫自变量，它的取值范围叫做函数的定义域；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()a f y =或a x y =，所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．☆ 函数的三要素：定义域、对应关系和值域;其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系一确定，则值域也就确定了.2. 映射设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()x f ，于是y =()x f ，x 称作y 的原象．映射f 也可以记为B A f →:，→x ()x f ，其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象()x f 构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作()A f ．3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．4．函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一一对应关系”．5．函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种．列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．图象法：对于函数()x f y =（A x ∈）定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数构成有序实数对()y x ,作为点P 的坐标，即P ()y x ,，则所有这些点的集合F 叫做函数()x f y =的图象，即{}(,)|(),F P x y y f x x A ==∈．这就是说，如果F 是函数()x f y =的图像，则图像上的任一点的坐标()y x ,都满足函数关系()x f y =；反之，满足函数关系()x f y =的点()y x ,都在图象F 上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．解析法：如果在函数()x f y =, A x ∈中，()x f 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）．6．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如⎩⎨⎧≤+>-=0,230,12x x x x y 、423-+=x y 等．7．求函数定义域：在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围．①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④0x y =，0≠x . 研究函数时常会用到区间的概念：定义名称符号数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 []b a ,{}b x a x << 开区间 ()b a ,{}b x a x <≤ 半开半闭区间 )[b a ,{}b x a x ≤<半开半闭区间](b a ,例题1：求下列函数的定义域（1）()43-=x xx f （2）()2x x f =（3）()2362+-=x x x f （4）()14--=x x x f☆ 如何判断两个函数是否为同一个函数：①看定义域是否相同，如果相同再看对应关系（解析式）是否一样.例题2：下列哪一组中的函数()x f 与()x g 相等？（1）()1-=x x f ， ()12-=xx x g （2）()2x x f =， ()()4x x g =（3）()2x x f = ， ()36x x g =例题3:画出下列函数的图象，并写出函数的定义域和值域.（1）x y 3= （2）xy 8=（3）54+-=x y （4）762+-=x x y例题4：已知函数()62-+=x x x f . （1）点（3，14）在()x f 的图象上吗？（2）当4=x 时，求()x f 的值；（3）当()2=x f 时，求x 的值.例题5：已知()12+=x x f ，则()()1-f f 的值等于（） A.2 B.3 C.4 D.5例题6:已知函数()x f 的定义域为()0,1-，则函数()12+x f 的定义域为（）A.()1,1-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.()0,1- D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21例题7:用区间表示下列数集：（1）{}=≥1x x （2）{}=≤<42x x （3）{}=≠->21x x x 且例题8:求下列函数的值域.（1）()1123≤≤-+=x x y ；（2）()x x f -+=42（3）x x y 422+--=例题9:已知函数()2211x x x f -+=.（1）求()x f 的定义域；（2）若()2=a f ，求a 的值；（3）求证：()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1求函数解析式(1) 配凑法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式，一般也可以用换元法；例题1：已知函数()x x x f 21+=+，求()x f ；例题2：已知函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ；(2) 换元法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式；例题3：已知()x x f 2sin cos 1=-，求()x f 的解析式.(3) 待定系数法求函数解析式:已知所求函数类型；例题4：已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ，求()x f .(4) 方程组法求函数解析式：已知()x f 和⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的关系式或者()x f 和()x f -的关系式.例题5：已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()112-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x f ，求()x f ；函数的单调性与最值1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.如果函数()x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值. 用定义法判断函数的单调性例题1：已知函数()12-=x x f []()6,2∈x ，求函数的最大值和最小值.例题2：用定义法判断函数()12++=x x x f 在区间)(∞+-,1上的单调性.函数单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有：（1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数；（2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数；（3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数；（4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.2x 1x 1x 2x函数的奇偶性一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.（偶函数的图象一定是关于对称）一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数.（奇函数的图象一定是关于对称）判断函数的奇偶性方法：1.不对称：函数()x f 为非奇非偶函数；2.对称例题8:判断下列函数的奇偶性.（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()xx x f 1+= （4）()21xx f = （5）()1122-+-=x x x f （6）()2433xx x f -+-=()x f y =求出定义域判断定义域是否关于原点对称 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧①()()x f x f =-，则()x f 为偶函数 ②()()x f x f -=-，则()x f 为奇函数③若以上两个式子都不满足，则()x f 为非奇非偶函数④若以上两个式子都满足，则()x f 既是奇函数又是偶函数函数。

函数的概念-三要素的求法(整理版)

函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1．函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.2.映射x y o x y o x y o xy o映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示；（2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x =++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型：一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

函数的三要素

函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。

函数的概念(定义域,值域,解析式)

讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。

3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数三要素

一、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。

2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。

3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。

4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。

例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。

1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。

3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

例3： 1）已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。

2）已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。

c语言函数三要素

c语言函数三要素C语言函数三要素C语言函数是程序中的基本组成单元，它由三个要素构成：函数名、参数列表和返回值类型。

下面将分别介绍这三个要素。

一、函数名函数名是C语言函数的标识符，用于唯一标识一个函数。

在定义一个函数时，必须给它取一个唯一的名字。

函数名应该具有描述性，能够清楚地表达出该函数所完成的任务。

在C语言中，函数名可以由字母、数字和下划线组成，但必须以字母或下划线开头。

同时，C语言对大小写敏感，因此大写字母和小写字母被视为不同的字符。

二、参数列表参数列表是指在调用一个函数时传递给该函数的数据。

参数列表可以为空，也可以包含多个参数。

每个参数由其类型和名称组成。

在定义一个函数时，需要指定其所需的参数类型和数量，并为每个参数指定一个名称。

在C语言中，参数类型可以是任何基本数据类型（如int、float等）或用户自定义数据类型（如结构体）。

同时，在定义一个函数时也可以使用省略号表示可变数量的参数。

三、返回值类型返回值类型指定了该函数执行完毕后所返回的数据类型。

如果该函数不需要返回任何数据，则返回值类型应该为void。

在C语言中，返回值类型可以是任何基本数据类型或用户自定义数据类型。

如果函数需要返回多个值，则可以使用结构体或指针作为返回值类型。

综上所述，C语言函数的三要素分别是函数名、参数列表和返回值类型。

在定义一个函数时，需要明确指定这三个要素，并保证它们的正确性和合理性。

下面给出一个示例代码，以说明如何定义一个C语言函数。

示例代码：#include <stdio.h>/* 定义一个求和函数 */int sum(int a, int b){return a + b;}int main(){int x = 10, y = 20;int result = sum(x, y);printf("The sum of %d and %d is %d\n", x, y, result);return 0;}在上述示例代码中，我们定义了一个名为sum的函数，该函数接受两个整数参数a和b，并返回它们的和。

函数头三要素

函数头三要素之特定函数1. 函数的定义函数是一段完成特定任务的独立代码块，可被重复调用以实现代码的复用性。

在编程中，函数是一种抽象的概念，它将一系列的操作封装在一起，接收输入参数并返回输出结果。

特定函数是指在函数定义中指定了返回值类型的函数。

在函数头三要素中，特定函数的定义需要包括函数名、参数和返回类型。

函数名通常是用字母和数字组成的标识符，用于在代码中引用该函数。

参数是函数的输入，可以是一个或多个值，用于传递给函数进行处理。

返回类型定义了函数返回的结果类型，可以是整型、浮点型、布尔型、字符串等。

2. 特定函数的用途特定函数的用途可以说是非常广泛的，几乎在任何编程任务中都会使用到函数。

下面列举了几个常见的特定函数的用途：2.1 数据处理和转换特定函数可以用来对数据进行处理和转换。

例如，一个函数可以将摄氏温度转换为华氏温度，或者将字符串转换为整数。

在数据分析和科学计算领域，特定函数常常用于数据清洗、转换和处理等操作，以便进行后续的分析和研究。

2.2 算法和数学计算特定函数可以实现各种算法和数学计算。

例如，开发一个计算平方根的函数、计算圆的面积的函数、实现排序算法的函数等。

这些函数可以在各种项目中使用，如科学计算、数据分析、游戏开发等。

2.3 数据结构操作特定函数可以用来对数据结构进行操作。

例如，对于数组或列表，可以编写特定函数来查找最大值、找到指定元素的位置、对其进行排序等操作。

对于树、图等复杂数据结构，特定函数可以实现插入、删除、查找等操作，方便进一步的数据处理和分析。

2.4 用户界面交互特定函数可以用于实现用户界面交互。

例如，开发一个图形界面程序时，可以编写特定函数来响应按钮点击、处理输入框中的文字、显示消息框等功能。

这些函数使程序与用户之间的交互变得简单、直观。

2.5 文件操作特定函数可以用于文件的读写操作。

例如，编写一个函数来读取文本文件内容并提取关键信息，或者编写一个函数将数据写入到文件中。

函数的概念三要素的求法

函数的概念三要素的求法函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

函数有许多不同的定义方式，但最常见和最基本的定义是：函数是一个集合，它把一个给定的输入（称为自变量）映射到一个特定的输出（称为因变量）。

函数在数学中有广泛的应用，在几乎所有的数学分支中都起着重要的作用。

一个函数通常用一个方程式或者一段描述来表示。

例如，y=f(x)表示了一个函数，其中y是x的函数，并且通过方程式y=f(x)可以计算出y的值。

这里的f表示函数的名称或者函数符号。

一个函数由三个要素组成，它们分别是定义域、值域和对应关系。

首先是定义域。

定义域是函数的自变量（一般用x表示）的所有可能取值的集合。

换句话说，定义域是使得函数有意义的自变量的值。

在实际问题中，定义域可以是各种各样的数集，例如实数集、整数集、有理数集等等。

有时候，由于特定的限制条件，定义域可能只是一个特定的子集，而不是整个数集。

需要注意的是，对于一些函数，定义域可能有一些特殊的限制，例如分母不能为零或者不能取负数等等。

其次是值域。

值域是函数的因变量（一般用y表示）的所有可能取值的集合。

换句话说，值域是函数所能达到的所有值的集合。

值域可以是实数集、整数集、有理数集等等，根据具体问题的要求而定。

需要注意的是，对于有些函数，值域可能有一些特殊的限制，例如函数值只能取正数或者只能取整数等等。

最后是对应关系。

对应关系指的是自变量和因变量之间的一一对应关系。

换句话说，对于定义域中的每一个自变量值，函数有唯一确定的因变量值与之对应。

这个对应关系可以用函数图像、函数表等方式表示，以形象直观地展示函数的特点。

需要注意的是，函数的对应关系是唯一的，不会有两个不同的自变量值对应同一个因变量值的情况发生。

在求解一个函数的三要素时，首先要确定函数的定义域。

根据具体的问题，分析自变量可能的取值范围，排除那些使得函数无意义的自变量值。

然后要确定函数的值域。

根据具体问题的要求，分析因变量可能的取值范围，找出函数所能达到的所有值。

函数的概念

f ( x)的最小值，则 a 的取值范围是_______；
2 ( x 1) , x 1 （变式）设函数 f ( x ) 4 x 1, x 1
则使得 f ( x ) 1 的自变量 x 的取值范围是 _______；
高斯函数：（高斯函数）[ x ] 表示不大于 x 的最大整数； {x} x [ x] 是一个值域为 [0,1) 的，周期为1的函数；（图像画黑板上）
注意：
（1）A中的每一个数都要参与对应，不能有剩余的数，B中的数则可以有剩余的；（2） A中的数与B中的数的对应关系只能是“一对一”或“多对一”，不能是“一对多”；
（3）函数的图像与直线 x a 至多有一个交点；
题型一：符合条件的函数个数；例1、集合 A {0,1, 2,3, 4} ，B {1,3, 4}，则：（1）从A到B可组成 _______个不同的函数；（2）从B到A可组成 _______个不同的函数；（3）从A到B可组成 _______个以B为值域的函数；（4）从A到B的函数中满足： f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) 的有___个；
| sin x cos x | sin x cos x （变式）若函数 f ( x) 2 f ( x ) 则的值域是_______；
2 sin( x ), 1 x 0, 例2、已知函数 f ( x) x1 e , x 0. 若 f (1) f (a) 2 ，则实数 a = _______；
2
总结：求复合函数的值域一般分两个步骤来进行，先求内函数值域即外函数定义域；然后求外函数值域即整个函数值域。
变式：例2、设M a, b, c, N 1,0,1 ，从M到N的函数满足f(a)+f(b)+f(c)=0，试确定这样的映射 f的个数；