对数函数的性质

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对数函数的性质

对数函数的性质
对数函数是幂函数的反函数，具有以下性质：
1. 一次函数性：对数函数是一次函数，包括可以用它的切线求倾斜度和利用它的单调性来求函数的最大值或最小值。

2. 增函数性：对数函数x＞0时在实数轴上单调递增，但任意的实数n 值的对数函数在实数轴上都是凸函数。

3. 平移和缩放性：对数函数的图形不受平移影响，向左平移a，其图像也向左平移a个单位；如果沿x轴缩放k倍，其图像也同时沿x轴缩放k倍。

4. 放缩性：对数函数可以沿y轴放缩，当改变函数中的常数参数时，其函数图形直接受到放缩的影响，如果把常数参数a改变为ka，那么其函数图形会沿y轴放大k倍。

5. 对称性：对数函数具有狭义的对称性，即射线y＝x与y轴上的点(0,a)是函数表达式x＝loga(y)的镜像。

6. 连续性：对数函数是连续函数，即其在域上是连续的，可以在实数轴上画出来。

7. 相似性：对数函数图形存在相似性，当变量a不变时，不论变量b 取何值，该函数的形状都不变，只有比例变化而已。

对数函数及其性质

2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质 (1)谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)(3)①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A ．，43，35，110B ，43，110，35C ．43，35，110D ．43，110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x；②把x替换为y，y替换为x；③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B．1 2xC．12log x D．2x－2解析：因为函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：A【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞) B．(1,9]C．(0,1) D．[9，＋∞)解析：∵ 0＜x≤2，∴1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1,9]．故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝log a x(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m＝n，这时先把对数式log a m＝n化为指数式的形式a n＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k n(k＞0，且k≠1)，则解得a＝k＞0．还可以直接写出1na m=，再利用指数幂的运算性质化简1nm．例如：解方程log a4＝－2，则a－2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a=±．又a＞0，所以12a=．当然，也可以直接写出124a-=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a---====．【例4－1】已知f(e x)＝x，则f(5)＝()A．e5B．5e C．ln 5D．log5e解析：(方法一)令t＝e x，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t，即f(x)＝ln x．所以f(5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， ∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ． ∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝log(1－x )；(2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y=．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数； ②求f (x )的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13． 7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1) ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1) ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况： (1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较． (4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log 31.9，log 32；(2)log 23，log 0.32；(3)log a π，log a 3.141．分析：(1)构造函数y ＝log 3x ，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，所以f (1.9)＜f (2)．所以log 31.9＜log 32． (2)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜log 0.31＝0，所以log 23＞log 0.32．(3)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数，则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有log a π＜log a 3.141．综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141．【例8－2】若a 2＞b ＞a ＞1，试比较log aa b ，log b ba，log b a ，log a b 的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b ＞a ＞1，∴0＜ab＜1． ∴log aab＜0，log a b ＞log a a ＝1，log b 1＜log b a ＜log b b ，即0＜log b a ＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2a b＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有 ①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)； ③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)． (2)常见的对数不等式有三种类型： ①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33xx x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32． (2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )的定义域是⎝⎛⎭⎫－∞，32．设u ＝3－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32， ∵u ＝3－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数，且y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数y ＝log 2(3－2x )在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数．∴函数y ＝log 2(3－2x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，32．【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )的单调区间．解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1． ∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数； (3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x ) ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称， ∴函数f (x )是奇函数． (3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值； (3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4 km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8 km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k )＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．..;.. (2)由于m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，令479.888ln479.8x=-，解得x≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。

对数函数的定义和基本性质

对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。

对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。

对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。

2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。

当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。

（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。

也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。

（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。

具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。

•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。

（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。

当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。

（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。

当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。

（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。

具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。

对数函数的性质与应用

Part Four
对数函数在实际问题中的应用案例
利用对数函数解决增长率问题
定义：对数函数是描述增长率问题的数学模型计算方法：利用对数函数计算增长率应用场景：人口增长、金融投资、生物种群增长等案例分析：以人口增长为例，利用对数函数计算人口增长率
利用对数函数解决复利问题
复利问题：在金融领域中，复利问题是一个常见的问题，涉及到本金、利率和时间等因素。
对数函数的单调性
单调递增：当底数大于1时，对数函数在其定义域内单调递增单调递减：当底数在(0,1)之间时，对数函数在其定义域内单调递减无界性：对数函数在其定义域内是无界的，即可以取到无穷大的值对数函数在其定义域内是连续的，没有间断点
对数函数的奇偶性
对数函数是奇函数对数函数的图像关于原点对称对数函数的定义域为正实数集对数函数的值域为全体实数
对数函数的周期性
定义：对数函数在其定义域内具有周期性，即对于任意正
整数k， log_a(x+k)=l
og_a(x)。
性质：对数函数的周期性是其重要的数学性质之一，它在解决实际问题中有着广泛
的应用。
应用：利用对数函数的周期性，可以简化对数运算，提高计算效率。
举例：例如，在计算复利、解决声学问题等方面，都可以利用对数函数的周期性来
电磁学：对数函数用于描述电磁波的传播特性
对数函数在金融领域的应用
计算复利评估风险资产定价股票和债券的收益率计算
对数函数在其他领域的应用
金融领域：对数函数用于计算复利、评估风险和制定投资策略
物理学：对数函数在声学、光学、电磁学等领域有广泛应用
化学：对数函数用于描述化学反应速率与反应物浓度的关系

对数函数及其性质

A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
解析 a＝log3π＞1，b＝12log23，则12＜b＜1，
c＝12log32＜12，
∴a＞b＞c.
跟踪训练 1 求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)；(2)y＝log12x；(3)y＝log71－13x；
(4)y＝ log3x.
解 (1)由 1－x>0 得 x<1，∴所求函数定义域为{x|x<1}； (2)由 log2x≠0，得 x≠1，又 x>0， ∴所求函数定义域为{x|x>0 且 x≠1}；
730 1
P
，都
有唯一确定的年代 t 与它对应，
2
所以，t 是 P 的函数.
问题 2
在问题
1
中，t＝ log 5
730 1
P就是一个对数函数，据此，
2
你能归纳出这类函数的定义吗？
答一般地，我们把函数 y＝loga x(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域为 x∈(0，＋∞)．
3
说明前者在(0，＋∞)上是增函数，后者在(0，＋∞)上是
减函数．
问题 3 你能根据函数 y＝log3x 及 y＝log1x 的性质，归纳出 3 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的性质吗？
答函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为 R，过定点(1,0)，当 a＞1 时，在(0，＋∞)上是增函数，当 0＜a＜1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
问题 3 判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？答对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析式右边的系数为 1，底数为大于 0 且不等于 1 的常数，真数仅有自变量 x 这三个条件，才是对数函数．如：y＝logax2； y＝loga(4－x) ；y＝2logax 都不是对数函数．

对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解

2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ⇔x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N .(2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN ＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)．②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立．在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. (3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解方法一原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．错解由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37.答案 log 372．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( ) A ．1 B ．lg5 C.1lg5 D ．1＋lg2答案 C解析原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞)答案 C解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( ) A ．lg7·lg5 B ．lg35 C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案2解析令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2. 8．log (2－1)(2＋1)＝________.答案－1 解析 log 2－1(2＋1)＝log2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1. 9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3，即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy 的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z ＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0. 即lg(c 2－b 2)－2lg a ＝0，故c 2－b 2＝a 2， ∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．2．2.1 对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．了解常用对数与自然对数的意义． 3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化．解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4. (2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值： (1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2. (4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)； (2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N ＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析方法一令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3. 5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52 D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100. 7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n的值为________．答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值 (1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x＝4， ∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝⎛⎭⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a xy ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( ) A ．log a x ＝－log a 1x B ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.分析利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1. (3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2 求下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y 等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析由指数式转化为对数式： x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13. 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005| ＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____．答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6 ∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1. 10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c.证明设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c ，即1a ＋2b ＝3c. 2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y ＝log a x 中，log a x 前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a >0，且a ≠1；(3)以10为底的对数函数为y ＝lg x ，以e 为底的对数函数为y ＝ln x . 2．对数函数的图象及性质：a >10<a <1图象性质函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)函数图象恒过定点(1，0)，即恒有log a 1＝0当x >1时，恒有y >0；当0<x <1时，恒有y <0当x >1时，恒有y <0；当0<x <1时，恒有y >0函数在定义域(0，＋∞)上为增函数函数在定义域(0，＋∞)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式 y ＝a x (a >0，且a ≠1)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)定义域 (－∞，＋∞) (0，＋∞) 值域(0，＋∞) (－∞，＋∞) 函数值变化情况a >1时，()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>011101x x x a x ； 0<a <1时，x ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>==><011101x x x a x a >1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==>>1001010x x x ； 0<a <1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==><1001010x x x 图象必过定点点(0,1)点(1,0)单调性a >1时，y ＝a x 是增函数；0<a <1时，y ＝a x 是减函数a >1时，y ＝log a x 是增函数； 0<a <1时，y ＝log a x 是减函数图象y ＝a x 的图象与y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律： (1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 范围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 范围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1；(2)y ＝11－log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．解 (1)要使函数有意义，必须{ 2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0，即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}；当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1， log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba <logb a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限内)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是________．分析利用函数单调性或利用数形结合求解．解析由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1； (2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0内恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减．又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值范围为2221⎪⎭⎫ ⎝⎛<a<1.点评原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)，若f (x )的值域是R ，求实数a 的取值范围．错解 ∵f (x )的值域是R ， ∴ax 2＋2x ＋1>0对x ∈R 恒成立，即{ a >0Δ<0⇔{ a >04－4a <0⇔a >1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R 与值域为R 的区别．正解函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的值域是R ⇔真数t ＝ax 2＋2x ＋1能取到所有的正数．当a ＝0时，只要x >－12，即可使真数t 取到所有的正数，符合要求；当a ≠0时，必须有{ a >0Δ≥0⇔{ a >04－4a ≥0⇔0<a ≤1. ∴f (x )的值域为R 时，实数a 的取值范围为[0,1]．本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(广东高考)已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}．故M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案 C2．(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b .答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1 ＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数答案 D解析已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析方法一若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：x －2 0 2 f (x )0.69411.44则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0，∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2，又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]；故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数，因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值范围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值．解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2，又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点(1,0)，即log a1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1a x的图象关于x轴对称3.反函数对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数y＝a x_(a>0且a≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3 C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析方法一因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系： (1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n. 答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝3log 2x ； (2)y ＝log 0.5(4x －3)； (3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51， ∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1.∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1， ∴4x －3≥1，x ≥1. 当0<a <1时，(*)可化为 log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)内是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值范围．分析此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解－1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值范围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎪⎨⎪⎧0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a ，解得⎩⎨⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。

对数函数及其性质

风险评估
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述化学反应速率与反应物浓度的关系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底的对数，以便进行计算和比较。

对数函数及其性质

2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质考纲定位重难突破1.理解对数函数的概念．2．掌握对数函数的性质．3．了解对数函数的简单应用.重点：对数函数的概念、图象及性质．难点：利用对数函数性质解题.[自主梳理]一、对数函数的概念函数y＝log a x(a＞0且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量．二、对数函数的图象和性质0＜a＜1a＞1图象定义域(0，＋∞)值域R性质(1)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(2)在(0，＋∞)上是减函数(2)在(0，＋∞)上是增函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x互为反函数．[双基自测]1．y＝lg(x－2)的定义域是________．2．y＝log2x的图象与y＝log12x的图象关于________对称．3．y＝log a x＋1的图象过定点________．4．已知对数函数过点(4,2)，则f(x)的解析式为________．探究一对数函数的概念[典例1]指出下列函数中哪些是对数函数？(1)y＝log a x2(a＞0且a≠1)；(2)y ＝log 2x －1； (3)y ＝2log 7x ；(4)y ＝log x a (x ＞0且x ≠1)； (5)y ＝log 5x .对数函数的判断：判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x .1．判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)； (2)y ＝log (x ＋1)x ； (3)y ＝log (－2)2x ； (4)y ＝log 2(x －3)； (5)y ＝3log 2x ＋1.探究二对数函数的图象[典例2] (1)函数y ＝2＋log a x 的图象过定点________； (2)函数y ＝log a (x －1)＋2的图象过定点________；求函数y ＝m ＋log a f (x )(a >0，且a ≠1)的图象过的定点时，只需令f (x )＝1求出x ，即得定点为(x ，m )．2．函数y ＝log a 2x －3x －1＋1过定点________．[典例3] 如图所示的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是对数函数y ＝log a x 的图象，而a ∈{12，13，3，π}，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应函数的底数依次是________．根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．3．当a>1时，函数y＝log a x和y＝(1－a)x的图象只能是()探究三与对数函数有关的定义域问题[典例4]求下列函数的定义域．(1)y＝lg(x－2)＋1x－3；(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；(3)y＝6－5x－x2 lg(x＋3).求对数函数定义域应注意的问题：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.4．求下列函数的定义域：(1)y＝1log 2x ；(2)y＝lg (x －3)； (3)y ＝log 2(16－4x )； (4)y ＝log (x －1)(3－x )．忽略对数函数的定义域而出错[典例] 设函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg 3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的表达式及定义域； (2)求f (x )的值域．[错解] (1)因为lg(lg y )＝lg 3x ＋lg(3－x )，所以lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，即lg y ＝3x (3－x )，所以f (x )＝103x (3－x )＝10239x x -＋ (x ∈R )． (2)令u ＝3x ·(3－x )＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274≤274，则函数f (x )＝10－3x 2＋9x的值域为(0,10274]．[正解] (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，3－x ＞0，lg y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞1.因为lg(lg y )＝lg 3x ＋lg(3－x )，所以lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，即lg y ＝3x ·(3－x )，所以f (x )＝103x (3－x )＝10239x x －＋，其中0＜x ＜3，即定义域为(0,3)．(2)令u ＝－3x 2＋9x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274，0＜x ＜3. 因为0＜－3x 2＋9x ≤274，所以1＜y ≤10274，所以f (x )的值域为(1,10274]． [随堂训练]1．已知函数y ＝f (x )定义域为[2,4]，则y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A ．(0，＋∞)B ．[1,2]C．[2,4] D．[4,16]2．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是________．3．函数f(x)＝log a(x＋2)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．。

对数函数的图像与性质

你能口答吗？
变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n
log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log2
0.8
log2 m ＞ log2 n 则
3
3
m ＜ n
你知道指数与对数的关系吗?
对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与之对应，把y看作自变量，x就是y的函数，但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的函数：即
y log2 x
这就是本节课要学习的：
（一）对数函数的定义
★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量，定义域是(0,＋∞)
对称性：y loga x 和 y log1 x 的图像关于y轴对称. a
例题讲解
例1 求下列函数的定义域
（1） y loga x2 （2）y loga (4 x) 解：（1）因为 x2 0, 即x 0,所以函数 y loga x2的定义域是
（-，0）（0，+）
（2）因为 4-x 0, 即x 4,所以函数 y loga (4 x)
∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
∴ log23.4< log28.5
• 例8：比较下列各组中，两个值的大小： • （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

对数函数及其性质

04
对数函数的应用
对数函数在数学中的应用
01
02
03
解决方程问题
对数函数在解高次方程或者复数方程时，可以用来简化运算过程，提高解题效率。
数值计算
对于一些需要大量计算的数学问题，如求指数、阶乘等，对数函数可以有效地减少计算量。
统计学
在统计学中，对数函数被广泛应用于正态分布、泊松分布等统计模型的计算和分析中。
函数形式
指数函数一般形如$y=a^x$，对数函数一般形如$y=log_a(x)$。
变化趋势
指数函数当底数大于1时，函数值随着自变量的增加而增加，当底数小于1时，函数值随着自变量的增加而减少；对数函数当底数大于1时，函数值随着自变量的增加而增加，当底数小于1时，函数值随着自变量的增加而减少。
对数函数与指数函数的转化关系
对数函数与指数函数的应用场景比较
指数函数
对数函数
描述增长或衰减现象，如人口增长、存款复利计算等。
在物理学、生物学、化学等自然科学中，描述物质的扩散、放射性衰变等过程；在社会科学领域，用于描述人口增长、经济发展等
。
06
对数函数的学习方法与建议
掌握对数函数的基本概念与性质
总结：对数函数是一种常见的数学函数，具有独特的性质和重要的应用价值。学习对数函数首先需要掌握其基本概念和性质，包括对数的定义、对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。
伸缩
对数函数图像也可以沿着x轴和y轴进行伸缩。例如，将函数$y = \log_{a}x$的x 轴伸缩$\lambda$倍得到$y = \log_{a}(\lambda x)$；将函数$y = \log_{a}x$ 的y轴伸缩$\mu$倍得到$y = \log_{a}x\mu$。

对数函数及其性质

2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念1定义：一般地;我们把函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1叫做对数函数;其中x 是自变量;函数的定义域是0;＋∞．2对数函数的特征：特征错误!判断一个函数是否为对数函数;只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数;而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数;其原因是不符合对数函数解析式的特点．例1－1函数fx ＝a 2－a ＋1log a ＋1x 是对数函数;则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1;解得a ＝0;1．又a ＋1＞0;且a ＋1≠1;∴a ＝1．答案：1例1－2下列函数中是对数函数的为__________．1y ＝loga ＞0;且a ≠1；2y ＝log 2x ＋2； 3y ＝8log 2x ＋1；4y ＝log x 6x ＞0;且x ≠1； 5y ＝log 6x ．解析：答案：52．对数函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1的图象与性质 1数．a ＞1时;函数单调递增；0＜a ＜1时;函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象;在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．23①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时;对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时;对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1;在第一象限内;自左向右;图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿;1;0点处把花扎; 若是底数小于1;左上穿点渐右下; 若是底数大于1;左下穿点渐右上; 绕点旋转底变化;顺时方向底变大;可用直线y ＝1来切;自左到右a 变大．例2如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a 43;35;110中取值;则相应曲线C 1;C 2;C 3;C 4的a 值依次为A ．;43;35;110B ;43;110;35C ．43;35;110D ．43;110;35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知;C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1;C 2;C 3;C 4;43;35;110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法 1方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”;在x 轴下方“底大图左”；2方法二：作直线y ＝1;它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数;由此判断各底数的大小．3．反函数1对数函数的反函数指数函数y ＝a x a ＞0;且a ≠1与对数函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1互为反函数． 2互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称． 3求已知函数的反函数;一般步骤如下： ①由y ＝fx 解出x ;即用y 表示出x ； ②把x 替换为y ;y 替换为x ；③根据y ＝fx 的值域;写出其反函数的定义域．例3－1若函数y＝fx是函数y＝a x a＞0;且a≠1的反函数;且f2＝1;则fx＝A．log2x B．1 2xC．12log x D．2x－2解析：因为函数y＝a x a＞0;且a≠1的反函数是fx＝log a x;又f2＝1;即log a2＝1;所以a＝2．故fx＝log2x．答案：A例3－2函数fx＝3x0＜x≤2的反函数的定义域为A．0;＋∞B．1;9C．0;1 D．9;＋∞解析：∵ 0＜x≤2;∴1＜3x≤9;即函数fx的值域为1;9．故函数fx的反函数的定义域为1;9．答案：B例3－3若函数y＝fx的反函数图象过点1;5;则函数y＝fx的图象必过点A．5;1 B．1;5 C．1;1 D．5;5解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称;而点1;5关于直线y＝x的对称点为5;1;所以函数y＝fx的图象必经过点5;1．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝log a xa＞0;且a≠1中仅含有一个常数a;则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式;这样的条件往往是已知fm＝n或图象过点m;n等等．通常利用待定系数法求解;设出对数函数的解析式fx＝log a xa＞0;且a≠1;利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时;常常遇到解方程;比如log a m＝n;这时先把对数式log a m＝n化为指数式的形式a n＝m;把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k n k＞0;且k≠1;则解得a＝k＞0．还可以直接写出1na m=;再利用指数幂的运算性质化简1nm．例如：解方程log a4＝－2;则a－2＝4;由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭;所以12a=±．又a＞0;所以12a=．当然;也可以直接写出124a-=;再利用指数幂的运算性质;得11212214(2)22a---====．例4－1已知f e x＝x;则f5＝A．e5B．5e C．ln 5D．log5e解析：方法一令t＝e x;则x＝ln t;所以ft＝ln t;即fx＝ln x．所以f5＝ln 5．方法二令e x＝5;则x＝ln 5;所以f5＝ln 5．答案：C例4－2已知对数函数fx的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭;试求f3的值．分析：设出函数fx的解析式;利用待定系数法即可求出．解：设fx＝log a xa＞0;且a≠1;∵对数函数fx的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭;∴11log299af⎛⎫==⎪⎝⎭．∴a2＝19．∴a＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴fx＝13log x．∴f 3＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．例4－3已知对数函数fx 的反函数的图象过点2;9;且fb ＝12;试求b 的值．解：设fx ＝log a xa ＞0;且a ≠1;则它的反函数为y ＝a x a ＞0;且a ≠1;由条件知a 2＝9＝32;从而a＝3．于是fx ＝log 3x ;则fb ＝log 3b ＝12;解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解 1对数函数的定义域为0;＋∞．2在求对数型函数的定义域时;要考虑到真数大于0;底数大于0;且不等于1．若底数和真数中都含有变量;或式子中含有分式、根式等;在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地;判断类似于y ＝log a fx 的定义域时;应首先保证fx ＞0．3求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零;如果在一个函数中数条并存;求交集．例5求下列函数的定义域．1y ＝log 51－x ；2y ＝log 2x －15x －4；3y =．分析：利用对数函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1的定义求解．解：1要使函数有意义;则1－x ＞0;解得x ＜1; 所以函数y ＝log 51－x 的定义域是{x |x ＜1}．2要使函数有意义;则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1;所以函数y ＝log 2x －15x －4的定义域是4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭1;＋∞．3要使函数有意义;则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1;所以函数y=的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解1充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．2对于形如y ＝log a fxa ＞0;且a ≠1的复合函数;其值域的求解步骤如下： ①分解成y ＝log a u ;u ＝fx 这两个函数； ②求fx 的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．3对于函数y ＝f log a xa ＞0;且a ≠1;可利用换元法;设log a x ＝t ;则函数ftt ∈R 的值域就是函数f log a xa ＞0;且a ≠1的值域．注意：1若对数函数的底数是含字母的代数式或单独一个字母;要考查其单调性;就必须对底数进行分类讨论．2求对数函数的值域时;一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时;有时需讨论参数的取值范围．例6－1求下列函数的值域：1y ＝log 2x 2＋4；2y ＝212log (32)x x ＋－．解：1∵x 2＋4≥4;∴log 2x 2＋4≥log 24＝2． ∴函数y ＝log 2x 2＋4的值域为2;＋∞．2设u ＝3＋2x －x 2;则u ＝－x －12＋4≤4．∵u ＞0;∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在0;＋∞上为减函数;∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为－2;＋∞．例6－2已知fx ＝2＋log 3x ;x ∈1;3;求y ＝fx 2＋fx 2的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝fx 2＋fx 2的定义域;然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数;利用一元二次函数求最值．解：∵fx ＝2＋log 3x ;x ∈1;3;∴y ＝fx 2＋fx 2＝log 3x 2＋6log 3x ＋6且定义域为1;3．令t ＝log 3xx ∈1;3．∵t ＝log 3x 在区间1;3上是增函数;∴0≤t ≤1．从而要求y ＝fx 2＋fx 2在区间1;3上的最大值;只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间0;1上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在－3;＋∞上是增函数;∴当t ＝1;即x ＝3时;y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知;当x ＝3时;y ＝fx 2＋fx 2的最大值为13． 7．对数函数的图象变换及定点问题1与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1过定点1;0;即对任意的a ＞0;且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a fxk ;b 均为常数;且k ≠0;令fx ＝1;解方程得x ＝m ;则该函数恒过定点m ;b ．方程fx ＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．2对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1错误!函数y ＝log a x ＋ba ＞0;且a ≠1 ②函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1错误!函数y ＝log a x ＋ba ＞0;且a ≠1 ③函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1错误!函数y ＝log a |x |a ＞0;且a ≠1 ④函数y ＝log a xa ＞0;且a ≠1错误!函数y ＝|log a x |a ＞0;且a ≠1例7－1若函数y ＝log a x ＋b ＋ca ＞0;且a ≠1的图象恒过定点3;2;则实数b ;c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点3;2;∴将3;2代入y ＝log a x ＋b ＋ca ＞0;且a ≠1;得2＝log a 3＋b ＋c ．又∵当a ＞0;且a ≠1时;log a 1＝0恒成立; ∴c ＝2．∴log a 3＋b ＝0． ∴b ＝－2．答案：－2;2例7－2作出函数y ＝|log 2x ＋1|＋2的图象．解：第一步作函数y ＝log 2x 的图象;如图①；第二步将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度;得函数y ＝log 2x ＋1的图象;如图②；第三步将函数y ＝log 2x ＋1在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换;得函数y ＝|log 2x ＋1|的图象;如图③；第四步将函数y ＝|log 2x ＋1|的图象;沿y 轴方向向上平移2个单位长度;便得到所求函数的图象;如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：1底数相同;真数不同．比较同底数是具体的数值的对数大小;构造对数函数;利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．2底数不同;真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时;可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象;再进行比较;也可以先用换底公式化为同底后;再进行比较．3底数不同;真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时;常借助中间量0;1进行比较．4对于多个对数式的大小比较;应先根据每个数的结构特征;以及它们与“0”和“1”的大小情况;进行分组;再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较;要注意对底数是否大于1进行分类讨论．例8－1比较下列各组中两个值的大小．1log31.9;log32；2log23;log0.32；3log aπ;log a3.141．分析：1构造函数y＝log3x;利用其单调性比较；2分别比较与0的大小；3分类讨论底数的取值范围．解：1因为函数y＝log3x在0;＋∞上是增函数;所以f1.9＜f2．所以log31.9＜log32．2因为log23＞log21＝0;log0.32＜log0.31＝0;所以log23＞log0.32．3当a＞1时;函数y＝log a x在定义域上是增函数;则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时;函数y＝log a x在定义域上是减函数;则有log aπ＜log a3.141．综上所得;当a＞1时;log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时;log aπ＜log a3.141．例8－2若a2＞b＞a＞1;试比较log a ab;log bba;log b a;log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1;∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0;log a b＞log a a＝1;log b1＜log b a＜log b b;即0＜log b a＜1．由于1＜ba＜b;∴0＜log bba＜1．由log b a－log bba＝2logbab;∵a 2＞b ＞1;∴2a b ＞1．∴2log b a b ＞0;即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式1根据对数函数的单调性;当a ＞0;且a ≠1时;有 ①log a fx ＝log a gx ⇔fx ＝gxfx ＞0;gx ＞0；②当a ＞1时;log a fx ＞log a gx ⇔fx ＞gxfx ＞0;gx ＞0； ③当0＜a ＜1时;log a fx ＞log a gx ⇔fx ＜gxfx ＞0;gx ＞0． 2常见的对数不等式有三种类型：①形如log a fx ＞log a gx 的不等式;借助函数y ＝log a x 的单调性求解;如果a 的取值不确定;需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a fx ＞b 的不等式;应将b 化为以a 为对数的对数式的形式;再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a fx ＞log b gx 的不等式;基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值;利用对数函数的单调性来脱去对数符号;同时应保证真数大于零;取交集作为不等式的解集．④形如f log a x ＞0的不等式;可用换元法令t ＝log a x ;先解ft ＞0;得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．例9－1解下列不等式：11177log log (4)x x >-；2log x 2x ＋1＞log x 3－x ．解：1由已知;得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．2当x ＞1时;有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时;有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33xx x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．例9－2若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1;求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1;∴－1＜2log 3a ＜1;即12log log log 3a a a a a <<．1∵当a ＞1时;y ＝log a x 为增函数;∴123a a <<．∴a ＞32;结合a ＞1;可知a ＞32． 2∵当0＜a ＜1时;y ＝log a x 为减函数;∴12>>3a a ．∴a ＜23;结合0＜a ＜1;知0＜a ＜23． ∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1;当底数未明确给出时;则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．2关于形如y ＝log a fx 一类函数的单调性;有以下结论：函数y ＝log a fx 的单调性与函数u ＝fxfx ＞0的单调性;当a ＞1时相同;当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 23－2x 的单调区间．分析：首先确定函数的定义域;函数y ＝log 23－2x 是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成;求其单调区间或值域时;应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手;并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0;解得函数y ＝log 23－2x 的定义域是错误!．设u ＝3－2x ;x ∈错误!;∵u ＝3－2x 在错误!上是减函数;且y ＝log 2u 在0;＋∞上单调递增; ∴函数y ＝log 23－2x 在错误!上是减函数． ∴函数y ＝log 23－2x 的单调减区间是错误!．例10－1求函数y ＝log a a －a x 的单调区间．解：1若a ＞1;则函数y ＝log a t 递增;且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0;即a x ＜a ;∴x ＜1．∴函数y ＝log a a －a x 在－∞;1上递减．2若0＜a ＜1;则函数y ＝log a t 递减;且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0;即a x ＜a ;∴x ＞1．∴函数y ＝log a a －a x 在1;＋∞上递减．综上所述;函数y ＝log a a －a x 在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a fx 的单调性的方法函数y ＝log a fx 可看成是y ＝log a u 与u ＝fx 两个简单函数复合而成的;由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是;在求复合函数的单调性时;首先要考虑函数的定义域;即“定义域优先”．例10－2已知fx ＝12log x 2－ax －a 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数;求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数fx 的递增区间;说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间;由于是对数函数;还需保证真数大于0．令ux ＝x 2－ax －a ;∵fx ＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数;∴ux 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数;且ux ＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：1求函数的定义域;当定义域关于原点不对称时;则此函数既不是奇函数也不是偶函数;当定义域关于原点对称时;判断f －x 与fx 或－fx 是否相等；2当f －x ＝fx 时;此函数是偶函数；当f －x ＝－fx 时;此函数是奇函数； 3当f －x ＝fx 且f －x ＝－fx 时;此函数既是奇函数又是偶函数；4当f －x ≠fx 且f －x ≠－fx 时;此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如;判断函数fx ＝log )a x x ∈R ;a ＞0;且a ≠1的奇偶性．解：∵f －x ＋fx ＝＝log )a x -＋log )a x ＝log a x 2＋1－x 2＝log a 1＝0; ∴f －x ＝－fx ．∴fx 为奇函数．例11已知函数fx ＝1log 1axx+-a ＞0;且a ≠1． 1求函数fx 的定义域； 2判断函数fx 的奇偶性；3求使fx ＞0的x 的取值范围．分析：对于第2问;依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第3问;利用函数的单调性去掉对数符号;解出不等式．解：1由11xx+-＞0;得－1＜x ＜1; 故函数fx 的定义域为－1;1． 2∵f －x ＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－fx ; 又由1知函数fx 的定义域关于原点对称;∴函数fx 是奇函数． 3当a ＞1时;由1log 1a x x +-＞0＝log a 1;得11xx+-＞1;解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时; 由1log 1ax x +-＞0＝log a 1;得0＜11xx+-＜1;解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时;x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时;x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}． 12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等;可以用对数函数模型来研究．此类题目;通常给出函数解析式模型;但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：1审题：弄清题意;分清条件和结论;抓住关键的词和量;理顺数量关系；2建模：将文字语言转化成数学语言;利用数学知识;求出函数解析式模型中参数的值； 3求模：求解函数模型;得到数学结论；4还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看;直接给定参数待定的函数模型时;利用待定系数法的思想;代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后;还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质;是解答此类问题的方法精髓．例12我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船;实现了中国历史上第一次的太空漫步;令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家其中;翟志刚完全出舱;刘伯明的头部和手部部分出舱．在不考虑空气阻力的条件下;假设火箭的最大速度y 单位：km/s 关于燃料重量x 单位：吨的函数关系式为y ＝k ln m ＋x －k ＋4ln 2k ≠0;其中m是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1m吨时;火箭的最大速度是4 km/s．1求y＝fx；2已知长征二号F型运载火箭的起飞重量是479.8吨箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料;火箭的最大速度为8 km/s;求装载的燃料重量e＝2.7;精确到0.1．解：1由题意得当x－1m时;y＝4;则4＝k ln m1m－k＋4ln 2;解得k＝8．所以y＝8ln m＋x－＋4ln 2;即y＝8ln m x m+．2由于m＋x＝479.8;则m＝479.8－x;令479.888ln479.8x=-;解得x≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。

对数函数及其性质

例4：实数k为何值时，方程 | log1 x 1 | k无解？
3
有惟一解？有两解？
例5：已知 loga

x
x2，对x
0,1 2
恒成立，
求a的范围。
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
图 y=ax
(0<a<1)
y y=ax (a>1)
1
象
o
x
(1)定义域： R
(2)值域： (0,+∞)
性 (3)过定点 (0,1)
(4)单调性
a>1时, 在R上是增函数；
质 0<a<1时,在R上是减函数
(5)奇偶性：非奇非偶
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
(2)log5 2
2 3
log 2
3
3 4
(3)log0.7 0.8 log1.1 0.9 1 .10.9
底数指数不一样或底数真数不一样通常借助中间量0和1
练习:解不等式： loga (x 4) loga (x 2), (a 0且a 1)
探究
在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量。如果用y表示x 则x是y的函数吗？
y
y=logax
(a>1)
o1
x y=logax (0<a<1)
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域： R
(3)过定点 (1,0)
(4)单调性
a>1时,在(0,+∞)是增函数； 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
(5)奇偶性：非奇非偶
例1 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log5 3 log3 5

对数函数与指数函数的基本概念与性质

对数函数与指数函数的基本概念与性质一、对数函数的基本概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，用来描述指数运算的反向过程。

对数函数的基本概念与性质如下：1. 对数的定义对于任意正数a（a>0）且a≠1，对数函数y=logₐx表示以a为底数，x为真数的对数，其中x是正数。

对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。

2. 对数的性质（1）对数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。

（2）对数的真数必须是正数，即x>0。

（3）对数函数的图像是一条曲线，称为对数曲线。

（4）对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于logₐ1=0。

（5）对数函数的图像在y轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于logₐa=1。

3. 对数函数的性质（1）对数函数的单调性：当0<a<1时，对数函数是递减的；当a>1时，对数函数是递增的。

（2）对数函数的奇偶性：当a>1时，对数函数是奇函数；当0<a<1时，对数函数是偶函数。

（3）对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即x>0。

（4）对数函数的值域：对数函数的值域是实数集。

二、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个固定的正数为底数，自变量为指数的函数。

指数函数的基本概念与性质如下：1. 指数的定义指数函数y=aˣ表示以a为底数，x为指数的指数函数，其中a是正数且a≠1，x是实数。

指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。

2. 指数的性质（1）指数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。

（2）指数函数的图像是一条曲线，称为指数曲线。

（3）指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于a⁰=1。

（4）指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于1ˣ=1。

3. 指数函数的性质（1）指数函数的单调性：当0<a<1时，指数函数是递减的；当a>1时，指数函数是递增的。

对数函数及其性质知识点

对数函数及其性质1.对数函数：一般地，把函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+∞)．2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解：（1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）；(2)底数：对数函数的底数a ＞0且a ≠1；（3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=log a x （a ＞0且a ≠1）中，log a x前面的系数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x ，否则不是对数函数.例如y=log a（x-1），y=2log a x ，y=log a x+21等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数. 指数函数和对数函数对照表名称指数函数对数函数一般形式 y=a x（a ＞0且a ≠1）y=log a x（a ＞0且a ≠1）定义域 R （0，＋∞）值域（0，＋∞）R函数值变化情况当1a >时，1010010x xx a x a x a x ⎧>>⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，，当01a <<时，0101010x xx a x a x a x ⎧<<>⎪==⎨⎪><⎩，，，，当1a >时，log 01log 01log 001a a a x x x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，，；当01a <<时，log 01log 01log 00 1.a a ax x x x x x <>⎧⎪==⎨⎪><<⎩，，，，，单调性当a ＞1时，y=a x是增函数；当0＜a ＜1时，y=a x是减函数．当a ＞1时，y=log a x是增函数；当0＜a ＜1时，y=log a x是减函数．图象y=a x（a ＞0且a ≠1）的图象与y=log a x（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称．当a ＞1时，当0＜a ＜1时，补充性质当a ＞1时，图象向上越靠近y 轴，底数越大；0＜a ＜1时，图象向上越靠近y 轴，底数越小．当a ＞1时，图象向右越靠近x 轴，底数越大；当0＜a ＜1时，图象向右越靠近x 轴，底数越小．3.反函数：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y) 就表示x是自变量y的函数。

高中数学-对数函数及其性质

一．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。

二．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。

同样：也分1>a 与10<<a 两种情况归纳，以x y 2log =（图1）与x y 21log =（图2）为例。

例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =；（2）)4(log x y a -=；（3）)9(log 2x y a -=．例2．作出下列函数的图象：（1）2log ||y x = （2）12|log (2)|y x =-．四、基础过关1、已知n m <<1，设()2log m a n =，2log m b n =，()m c n n log log =，则（） A ．c b a << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<2、方程()xx 34log 2=+实根的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．31 1 2x y = 2log y x = y x = （图1） 111()2x y = 12log y x =y x =（图2） (1,0)(1,0) 1x = 1x =log a y x =log a y x =3、已知函数()xx x f +-=11lg，若()b a f =，则()a f -等于（） A ．b B ．b 1 C ．b - D ．b 1-4、函数()86log 221+-=x x y 的单调递增区间是，单调递减区间是。

5、函数x y a log =，[]4,2∈x ，0>a 且1≠a ，又函数的最大值比最小值多1，则 =a 。

对数函数图像及性质

对数函数图像及性质对数函数是数学中一类重要的函数，可用于描述各种实际问题。

其图像表示的是一种数的幂函数 y=ax的反函数，称为“对数函数”，记做y=loga x。

一、定义定义：设a>0，a≠1，x>0。

定义函数y=logax（a>0），称之为“a 的对数函数”，其中x叫做“对数函数的底数”，y叫做“对数函数的指数”，底a叫做“对数函数的底”。

若a＝10，则简称为“常用对数函数”，记作y=logx。

二、三角函数与对数函数的关系1. 三角函数的原函数和反函数三角函数的原函数和反函数都可以用对数函数来表示，如：sin x=loga(y)，cos x=loga(y)，tan x=loga(y)（其中，a>0，a≠1，y>0）。

2. 三角函数的运算公式给出的三角函数的运算公式，也可以表示为对数函数的运算公式：sin(x+y)=loga [sin xsin y+cos xcos y]，cos(x+y)=loga [cos xcos y-sin xsin y]，tan(x+y)=loga [tan x+tan y]（其中，a>0，a≠1）。

三、对数函数图像分析对数函数的图像与其定义有密切的关系，其图像对于理解函数的性质和研究函数的特性至关重要。

1.数函数的本质先来表述函数的本质：函数y=logax，是由自然对数lnx的“基数换底”特性衍生出来的，所以又称“对数”。

其定义域为x>0，其值域则是所有实数集。

2.数函数图像的特点对数函数的图像具有以下特点：（1）它是单调函数，即图像以折线形式呈现，斜率由正变负；（2）x=1时，y=0；（3）当a>1时，x由０接近于+∞，y由-∞接近于+∞；（4）当a＜1时，x由+∞接近于０，y由+∞接近于-∞；（5）对于a＞1时，函数形式为单函数，也就是图像中只有一条直线；（6）对于a＜1时，函数形式为双函数，也就是图像中有两条直线。

对数函数及其性质

2
与 y log1 x 的图象.
3
2. 对数函数的图象：
通过列表、描点、连线作 y log1 x
2
与 y log1 x 的图象.
3
y
O
y log 1 xx
y log 1 x 3
2
3. 对数函数的性质：
a＞1
图象
0＜a＜1
性质
3. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
质
在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数
3. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)；值域：R
性过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数
性质
3. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
性质
3. 对数函数的性质：
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0, +∞)；值域：R
性质
3. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)；值域：R
性过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
3. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1

对数函数及其性质

4.2.2 对数函数及其性质知识点一、对数函数的定义一般地，形如x y a log =)10(≠>a a 且的函数叫做对数函数，其中x 是自变量．知识点二、对数函数的图象与性质知识点三、反函数一般的，函数)(x f y =)(A x ∈中，设它的值域为C ．我们根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数．这样的函数)(y x ϕ=)(C y ∈叫作函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1x f y -=．（1）一些常见的结论：①原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域； ②)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数，设)(x f y =的定义域是A ，值域是C ，则)()]([1C x x x f f ∈=-．③若点a (，)b 在函数数)(x f y =上，则点b (，)a 在它的反函数)(1x f y -=的图像上；④函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图像具有相同的单调性； ⑤只有具有严格单调性的函数才具有反函数．（2）互为反函数的两个函数的图像具有一下性质：①对称性：函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图像在同一坐标系中关于直线x y =对称； ②自反性：若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图像自身关于直线x y =对称．一、函数的概念与定义域例1、求下列函数的定义域：（1）)432(log )3(xx y -=+ （2）121log 8.0--=x x y（3）（4）)2(log 1|2|)(22x x x x f ---= （5）)(lg log 2x y = （6）)25(log 25.0x y -=例2、已知)(x f y =的定义域0[，]1，求函数)]3([log 21x f y -=的定义域．)78lg(2-+-=x x y【举一反三】设=)(x f lg x x -+22，则)2()2(xf x f +的定义域为．例3、已知0(11log )(>-+=a xxx f a，且)1≠a ．（1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围．二、对数函数的值域与最值例4、函数)13(log )(2+=x x f 的值域是（） A ．),0(+∞ B ．),0[+∞ C ．)1[∞+ D ．),1(+∞【举一反三】1、若函数()log (1)x a f x a x =++在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（） A ．41B ．21 C ．2 D ．42、当1>a 时，函数x x f a log )(=在区间]2,[a a 上的最大值和最小值之差是21，则a 的值为（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．43、求下列函数的值域（1）22log (3)y x =- （2）)2(log 231+-=x x y例5、已知x 满足不等式21log 321-≤≤-x ，求函数)2(log )4(log 22xx y ⋅=的最大值与最小值．【举一反三】已知x 满足20.50.52(log )7log 30x x ++≤ ，求函数22()(log )(log )24x xf x =的最值．例6、已知函数)32(log )(25.0+-=ax x x f ，解答下述问题（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；（5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围．三、对数值大小的比较例7、比较下列各组数中两个数的大小（1）4.3log 2与5.8log 2（2）0.5log 1.8，0.5log 2.1；（3）7log 6与6log 7（4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8【举一反三】1、已知c a b 5.05.05.0log log log <<，则（） A ．222b a c >> B ．222a b c >> C ．222c b a >>D ．222c a b >>2、若03log 3log >>b a ，则a ，b ，1 的大小关系为（） A ．b a <<1 B ．a b <<1 C ．10<<<b a D ．10<<<a b3、已知10<<a ，设3log 2log a a x +=，5log 21a y =，3log 21log a a z -=，则（） A ．z y x >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．y x z >>4、若1>>b a ，10<<c ，则（） A ．c c b a < B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <四、对数型复合函数的单调性与单调区间例8、已知（1）求的单调区间；（2）求的最大值，并求取得最大值时的的值．)32(log 24x x y -+=)(x f y x【举一反三】1、已知函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是．2、已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是. ．3、已知函数)(log 25.0a ax x y --=在区间-∞(，）31-上是增函数，则a 的取值范围是. ．五、对数函数的图像及应用例9、作出下列函数的图像（1）()2()log 1f x x =+（2）()2()|log 1|f x x =+（3）lg |1|y x =-（4）()lg 1y x =-例10、函数x x f 2log 1)(+=与x x g -=12)(在同一直角坐标系下的图象大致是（）【举一反三】若0(>-=-a a ka y x x 且)1≠a 在R 上是奇函数又是增函数，则)(log k x y a +=图象是（）例11、已知函数|lg |)(x x f =，若b a <<0，且)()(b f a f =则b a 2+的取值范围是（） A．)+∞ B．)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【举一反三】已知函数|lg |,010()16,102x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（） A ．1(，)10 B ．5(，)6 C ．10(，)12 D ．20(，)24六、反函数例12、若点1(，)2既在函数b ax x f +=)(的图像上，又在它的反函数图像上，求)(x f 的解析式．【举一反三】1、已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x x 的根，求21x x +的值．2、设)(1x f -是函数)1)((21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，且使1)(1>-x f 成立的取值范围．【课后巩固】一、选择题1．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若143log <a ，则a 的取值范围是（） A ．)43,0(B ．),43(+∞C ．)1,43(D ．)43,0(),1(+∞3．已知函数|lg |)(x x f =，b a <<0，且)()(b f a f >，则（） A ．1>ab B ．1<abC ．1=abD ．1)1)(1(>--b a4．设)11lg()(a xx f +-=是奇函数，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（） A ．1(-，)0B ．0(，)1C ．-∞(，)0D ．R5．若函数)(x f y =是函数x a y =0(>a 且)1≠a 的反函数，且1)2(=f ，则=)(x f （） A ．x 2logB ．x 21C ．x 21logD ．22-x6．若函数log ()a y x b =+0(>a 且)1≠a 的图象过两点)0,1(-和)1,0(，则（） A ．2==b a B ．2=a ，2=bC ．2=a ，1=bD ．2==b a7．函数y=lg （112-+x）的图像关于（） A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称8．已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（）9．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)710．已知函数满足，且当时，，则与函数的图象的交点个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题 11．使121log >a成立的a 的取值范围是． 12．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ． 13．函数)10(5)13(log 2≠>++-=a a x x y a 且过定点． 14．函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为． 15．已知12>>>a b a ，则b m a log =，a n b log =，abp blog =的大小关系是． 16．若函数()f x 是奇函数，且0x >时，()()lg 1f x x =+，则当0x <时，()f x = ．三、解答题17．讨论函数lg(1)lg(1)y x x =++-的奇偶性与单调性18．已知，求的值．))((R x x f y ∈=)1()1(-=+x f x f []1,1-∈x 2)(x x f =)(x f y =x y 5log =22log (4)log (1)log 5log (21)(01)a a a a x y xy a a +++=+->≠，且8log yx19．设0(>a 且)1≠a ，若函数)32(lg 2)(+-=x x a x f 有最大值，试解不等式0)75(log 2>+-x x a ．20．设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),（1）如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围；（2）如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围．21．已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，求函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域．22．已知函数()f x 满足()()2223log 0,16ax f x a a x-=>≠- （1）求()f x 的解析式（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性；（4）解不等式()()log 2a f x x ≥．。

对数函数及性质的研究报告

对数函数及性质的研究报告
对数函数是一种常见的数学函数，主要用来描述指数和底数之间的关系。

在研究对数函数时，可以从其定义、性质和应用三个方面进行探讨。

对数函数的定义：
对数函数是指将一个正数（实数）x作为自变量，得到一个实数y作为函数值，使得y等于以底数a（a>0且a≠1）为底，x 为真数的对数。

即 y = loga x。

其中，a被称为底数，x被称为真数，y被称为以a为底的x的对数。

对数函数的性质：
1. 定义域和值域：对数函数的定义域是(0, +∞)，值域是(-∞，+∞)。

2. 基本性质：loga 1 = 0，loga a = 1。

3. 对数函数的图像特点：对数函数的图像在(0,1)上是递减的，在(1,+∞)上是递增的，且通过点(1,0)。

4. 对数函数的性质：对数函数具有对数的唯一性、对数的分离性、对数的乘法法则和对数的除法法则等性质。

对数函数的应用：
1. 在数学中，对数函数常用于求解指数方程、指数不等式等问题。

2. 在物理学中，对数函数常用于描述线性衰减、频率倍增等现象。

3. 在经济学中，对数函数常用于描述复利计算、经济增长等问题。

综上，对数函数是数学中重要的函数之一，具有独特的定义、性质和应用。

通过对对数函数的研究，可以更加深入地理解指数和底数之间的关系，并应用于各个领域的问题求解。