九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件你会判定两个三角形相似吗素材北师大版剖析
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件重点解读判定三角形相似素材北师大版
判定三角形相似1．平行线型：在图1、图2中，若DE//BC ，则△ADE∽△ABC。
我们称这两种图形为平行线型的基本图形.更形象地说，图1是“A”型图，图2是“X”型图，它们的特点是对应边、对应角、对应顶点比较明显.例1 如图3，已知OM∶MP＝ON∶NR，试说明△PQR 为等腰三角形．解:本题中出现的比例式中有三条线段OM 、MP 、ON 构成一个不完整的平行线型相似三角形，因此，可通过N 作NS//MP 交OR 的延长线于S ，这样就构成图1的平行线型相似三角形，即△OMP∽△ONS，则NS ON MP OM =。
由已知得NR ON MP OM =，所以NRON NS ON =，故NS=NR 。
同理，由图2可判定△RNS∽△RQP，所以QPNS QR NR =。
故QR=QP ，所以△PQR 为等腰三角形。
2.相交线型：在图4、图5、图6中，若∠1=∠B，则△ADE∽△ABC。
我们称这三种图形为相交线型的基本图形.它们的特点是有一个公共角或等角。
例2 如图7，已知△ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 上的两点,且AD·AB=AE·AC，则ED⊥AB，为什么？解:由于△ABC 和△AED 有一对公共角∠A,且AD·AB=AE·AC ，即ABAE AC AD =，所以△ABC∽△AED.所以∠ADE=∠C=90°.因此ED⊥AB。
3．旋转型:在图8中，若∠1=∠2，∠B=∠D,则△ADE∽△ABC.我们称这种图形为旋转型的基本图形。
例3 如图9，已知∠BAD＝∠CAE＝∠ODC，则△ABC与△ADE相似吗？为什么？分析：本题的条件只有角之间的关系，所以可考虑运用“两角对应相等的两个三角形相似”来判定．解：因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．因为∠ODC＝∠CAE，∠DOC＝∠EO A，所以180°－（∠ODC＋∠DOC)＝180°－（∠CAE＋∠EOA），即∠C＝∠E．所以△ABC∽△ADE.小结:解决相似三角形问题，从识别图形的角度来看，就是要善于排除干扰、抓住本质，从复杂的图形中分解出上述基本图形.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
探索三角形的条件
《探索三角形相似的条件》说课稿各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的内容是：北师版九年级数学上册第四章《图形的相似》第四节《探索三角形相似的条件》的第一课时。
接下来我将从教材分析、学情分析、目标制定、评价设计、教学过程、设计理念六方面来简述我对本节课的理解。
一、教材分析本节课是探索三角形相似的条件的起始课，是本章的重点之一。
既是全等三角形研究的继续，也是学习测量和研究三角函数等知识的基础，另外在测量绘图和日常生活中有着广泛的应用。
因此本节课具有承前启后的联系和纽带作用二、学情分析从知识上说，学生已经学习了三角形的有关概念和三角形全等的有关知识，而上节课所学相似多边形，也为本节课所学做好了有力铺垫，但学生基础层次不齐，个体差异比较明显。
从能力上说，九年级学生初步建立了空间观念，具备一定的画图能力，具备了一定的合作与交流的能力。
但对知识深入理解不够，总结归纳的能力也有待提高。
困难预设：由于学生年龄特征，对几何图形的识别能力不是很强，如何找准相等的两组角将会成为学生学习的障碍。
三、目标制定一节好课，首先要解决的是要把学生带到哪里去的问题，所以我对课标中的要求做了详细的分解.《课程标准》中与本节课相关的描述有：了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。
会利用图形的相似解决一些简单的实际问题首先，我从认知层次的三个维度对课标进行了分解，请看大屏幕，这三个维度是知识分类、学科内涵、认知水平。
从认知角度进行分解：知识分类：相似三角形的概念、相似三角形的判定定理1.其次，依据行为动词，我又从能力层次将课标进行了再分解，请看大屏幕通过以上对目标的细化解读，确定本节课的教学目标如下1. 通过类比相似多边形的概念，准确描述相似三角形的概念2. 通过自主探索、合作交流等数学活动，能正确归纳出定理 个三角形相似”，会运用定理进行判断与计算3. 在探索、合作、交流的过程中，进一步体会类比、归纳等思想方法 重点：相似三角形判定定理1的探索及应用四、 评价设计：针对本节课的三个学习目标，我设计的评价任务如下： 评价任务一：课堂提问，说一说什么叫相似三角形 评价任务二：向同桌说出定理，并在练习本上独立完成例、习题的解答 评价任务三：能够积极主动参与探究、交流等活动。
北师大版九年级上册数学《探索三角形相似的条件》图形的相似课件教学说课
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，
截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
A
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC.
AB 4
A
E
D
B
C
解：∵AE=1.5，AC=2.
AE 3 , AC 4
AD 3 , AD AE .
AB 4 AB AC
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两
个三角形相似).
DE AD 3 . BC AB 4
∵BC=3，
∴DE=
3 BC 3 3 9 .
D
E
B
F
C
例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
A
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE，
13
E
O
∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， B ∴ ∠C= ∠E.
AC AB
，AD＝3
cm，AC＝6
cm，
BC＝8 cm，则DE的长为____4____cm.
4.如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)， 如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为
(-_1_,0_)_或__(_1_，__0_)__时，使得由点B、O、C组成的三角 形与△AOB相似(不包括全等)．
北师大版九年级数学上册 探索三角形相似的条件
BC B1C1
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
B
C
A1
B1
C1
总结归纳
判定三角形相似的方法： 如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别
算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最 长边与最长边对应，最短边与最短边对应 （注意：大对大，小对小，中对中）
练一练
1.如图,小方格的边长为1 ，△ ABC与△ A′B′C′相似吗?
A．∠BAD=∠C
B．∠B DA =∠B A C
C． BA BC BD BA
D． BA AC BD AD
【答案】D
【详解】解：A.∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
B.∵∠BDA=∠BAC，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
AB AD
BC DE
AC AE
.
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
A
解：∵
AB AD
BC DE
AC AE
,
B
∴△ABC∽△ADE ∴∠BAC=∠DAE.
D
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
C E
知识点四 黄金分割
A
C
B
AB AC
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1=
-1 2
5,
黄金比
AC BC =
AB AC
x2=
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。
在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。
本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。
1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。
- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。
2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。
以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。
- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。
3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。
黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。
- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。
- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。
4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。
当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。
常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。
- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。
九年级数学上册 第四章 相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定②课件 (新版)浙教版
知
,∠ABD＝40°.求∠C的度数.
解：在△ABD与△ACB中，∠A=∠A，
•由 AB2 AD AC,
•得
AB AD AC AB
•∴△ABD∽△ACB
•∴∠C=∠ABD=40°.
＝25cm,BC边上的高线长为20cm.小慧给出 一种裁纸方法:如图,将AB,AC分别五等分, 然后连结两边对应的点,并以这些连结线 为一边作矩形.剪下矩形纸条(图中阴影部 分)作为墙报镶边的材料.问:小慧的这种 方法能满足这版墙报镶边的需吗？请说明 理由.
C4
1 5
2 5
3 5
4 5
BC
2BC 2 25 50(cm) 48cm
谢谢大家
(两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似），
AD AO , 即 5 1，
BC BO
BC 2
BC 25 1（0 cm）
答：容器的内径BC为10cm.
1.已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB, AC上的点，
AD AE DB EC
.求证:△ADE∽△ABC.
•解：由已知可得
三角形相似还有下面的判定定理：
•两边对应成比例，且夹角相等的两个三 角形相似.
例2 图4 -19是用卡钳测量容器内径的示意图.现量得卡钳上A，D
解 两端点的距离为5㎝，AO DO 1 .求容器的内径BC.
BO CO 2
} AOD BOC
AO DO
△AOD∽△BOC
BO CO
AD DB AE EC
AD
AE
••即 又∵∠A=∠AAADB，
AC AE
北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件教学设计
-学生在完成练习后，对照答案进行自我检查，找出错误原因，及时修正。
-教师组织课堂小结，让学生复述相似三角形的判定方法和应用，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的审美观念，让学生体会相似三角形在几何图形中的美。
-教师引导学生通过几何画板或其他教具，观察相似三角形的特征，并总结规律。
-学生在小组内分享观察结果，讨论相似三角形的判定条件。
2.理论与实际结合：结合具体实例，让学生将相似三角形的性质应用于解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
-教师设计具有实际背景的问题，指导学生运用相似三角形的性质进行求解。
-学生通过自主探究和小组合作，解决实际问题，体验数学知识在生活中的应用。
-教师引导学生发现相似三角形在自然界和生活中的应用，如建筑、艺术等，激发学生对几何美的追求。
2.培养学生合作交流的意识，增强团队协作能力。
-在小组合作活动中，学生学会倾听他人意见，表达自己的观点，共同解决问题。
3.增强学生的自信心，激发学习数学的兴趣。
-教师及时给予学生鼓励和肯定，让学生在解决实际问题的过程中感受到成功的喜悦，提高学习积极性。
2.提出问题：向学生提问：“你们觉得这些图形之间有什么联系？”、“如何判断两个三角形是否相似？”等问题，激发学生的思考，为新课的学习做好铺垫。
3.回顾相关知识：简要回顾全等三角形的判定方法，为学生学习相似三角形的判定方法打下基础。
（二）讲授新知
在这一环节，我将系统地讲解相似三角形的定义、判定方法及其应用：
-设计开放性问题和实际应用题，评价学生对相似三角形知识掌握的深度和广度。
北师版九年级上册数学第4章 图形的相似 用边角关系判定两三角形相似
∴∠AFH≠∠AHF. ∴∠AFN≠∠HFG，故②错误． ∵△ANH≌△GNF，∴AN＝12AG＝1. ∵GM＝BC＝4，∴AAHN＝GAMG ＝2. 又∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA. ∴∠ANH＝∠GAM，∠AHN＝∠AMG.∴AK＝NK. ∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG.∴∠AHK＝∠HAK.
∴AK＝HK.∴AK＝HK＝NK. ∵△ANH≌△GNF，∴FN＝HN，∴FN＝2NK，故③正确． 易知四边形 ADMG 是矩形．∴DM＝AG＝2.
∵S△AFN＝12AN·FG＝12×1×2＝1，S△ADM＝12AD·DM＝12×4×2＝4， ∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正确． 故选 C.
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③ ④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( )
A．①和②相似B．①和③相似 C．①和④相似D．②和④相似
B
5．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是( ) A．△PAB∽△PCAB．△PAB∽△PDA C．△ABC∽△DBADC．△ABC∽△DCA
*10.(2019·广东)如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在
上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接
FH分别与AB，AM交于点N，K，给出下列结论：①△ANH≌△GNF；②
∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.
2．(中考·枣庄)如图，在△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6. 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角 形不．相．似．的是( C )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
你会判定两个三角形相似吗
相似三角形的判定方法可由全等三角形的判定方法类推，但比判定全等三角形更灵活，图形的变换也更复杂，为了帮助同学们更好地学好三角形相似的判定方法，现归纳如下.
三角形相似的判定方法一：两角对应相等的两个三角形相似.
说明：这种方法在运用时只需求出两个角对应相等，就可判定这两个三角形相似，推理时，关键是寻找对应角.一般地，在判定过程中要特别注意“公共角”、“对顶角”、“同角（或等角）、同角（或等角）的余角（或补角）”都是相等的.
例1 下列各组图形可能不相似的是（ ）
A.各有一个角是45°的等腰三角形
B.各有一个角是60°的等腰三角形
C.有一个锐角相等的两个直角三角形
D.各有一个角是95°的两个等腰三角形
分析：两个三角形是否相似，关键是看是否有两个角对应相等.A 中的45°角可能为顶角，也可能为底角，故A 中的两个等腰三角形可能不相似；B 中是有一个角为60°的等腰三角形，则该三角形为等边三角形，显然等边三角形都是相似三角形；C 中有一个锐角相等，则这样的直角三角形中的三个角就都相等，故C 中的两个三角形相似；D 中的95°只能为顶角，故这样的两个等腰三角形显然相似.
解：应选A.
点评：有两个角相等，那么这两个三角形相似，这是判定两个三角形相似最常用的方法.事实上，依据三角形的内角和是180°，第三个角也相等，故此判定条件是三个角对应相等，从而与相似三角形的定义衔接起来.
三角形相似的判定方法二：三边对应成比例的两个三角形相似.
说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SSS”定理.
例2 已知△ABC 的三边长分别为1，2，5，△DEF 的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC 是否与△DEF 相似.
分析：因为已知两个三角形的三边长，所以可考虑根据三边间的关系来判定是否相似. 解：因为10
52221
==，所以△ABC∽△DEF. 点评：已知两个三角形的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边对应
成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边；所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SAS”，要特别注意“夹角”的含义.
例3 如图1，已知△ABC 的边AC 上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC 的是（ ）
A.AB·CD=BD·BC
B.AC·CB=CA·CD
C.BC 2=AC·DC
D.BD 2=CD·DA
分析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C 是△ABC 与△BDC 的公共角，关键是找出角∠C 的两边对应成比例，即AC
CB CB CD =. 点评：此判定中的角必须是成比例两边的夹角，否则两个三角形不一定相似.如图2，易判定△ABC∽△A 1B 1C 1，而在△ABC 和△A 2B 2C 2中，虽然有2
222C B BC B A AC =，∠C=∠C 2=90°，但是△ABC 和△A 2B 2C 2并不相似.
小结：判定三角形相似，通常按下列思路分析：（1）若有一组角相等，可再找一组角相等或再找这组角的邻边对应成比例.（2）若已有两组边对应成比例，可再找其夹角相等或第三组边对应成比例.但要注意找准对应关系
.
A
C B 8 6 4 3 4
3 A 1
B 1
C 1
A 2
B 2
C 2 图2。