2012年广州七区联考高二数学(理)
[整理]2012年广东省高考理科数学试题含答案
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1．设i 为虚数单位，则复数56i i-= A ． 65i + B ．65i -C ．65i -+D ．65i -- 2．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．（-2,-4）B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(-6,-10)4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+ B．y = C ．y=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1y x x =+ 5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1- 6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A ． 49B ． 13C ． 29D ． 198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12 B ．1 C ． 32 D ． 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9-13题）9．不等式21x x +-≤的解集为_____．10． 261()x x+的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = ____．12．曲线33y x x =-+在点（1，3）处的切线方程为 ．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 ．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为)x t ty =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数和()x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈其中的最小正周期为10π（1）求ω的值；（2）设56516,0,,(5),(5)235617f f παβαπβπ⎡⎤∈+=--=⎢⎥⎣⎦，求cos()αβ+的值．17． （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；19． （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足11221,,n n n S a n N +*+=-+∈且123,5,a a a +成等差数列．（1） 求a 1的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．（3） 证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）设a ＜1，集合{}{}20,23(1)60A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B =（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012广东高考数学（理科）参考答案选择题答案：1-8： DCAAB CDC填空题答案： 9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 2011. 21n -12. 21y x =+ 13. 814. ()1,115. 解答题16.（1）15ω= （2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒= 162cos 17β=8c o s 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ== ∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ=== ()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ=== ∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯= 18.（1）∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥∵ PC BDE ⊥平面∴ PC BD ⊥∴ BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连OE∵ PC BDE ⊥平面∴ PC OE ⊥又∵ BO PAC ⊥平面∴ PC BO ⊥∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角∵ BD PAC ⊥平面∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形∴BO =在PAC ∆中，133OE PA OE OC AC =⇒=⇒= ∴ tan 3BO BEO OE∠== ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3 19.（1）在11221n n n S a ++=-+中令1n =得：212221S a =-+令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+又()21325a a a +=+解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132n n n a a n N *+=+∈对成立∴ ()11+232n n n n a a ++=+∴ 23n n n a +=∴ 32n n n a =-（3）（法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<- （法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅ 当2n ≥时，321112a a <⋅ 431112a a <⋅541112a a <⋅ ………11112n n a a -<⋅ 累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭ ∴212311*********...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭20.（1）由e =得223a b =，椭圆方程为22233x y b += 椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b<,max 3d ==得1b =（舍）∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y += （2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠ 当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12， 点O 到直线l距离2d == ∴222m n +=又∵2213m n += 解得：2231,22m n ==所以点M的坐标为,22222222⎛⎫⎛⎫⎛⎛---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或AOB ∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=--① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞ ② 当103a <≤，33330,44a a D ⎛⎛⎫+++=⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，D ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1 ② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤ ()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1.2.整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。
2012年高考数学广东卷含参考答案(理科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ðA ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA = ，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B y =C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答） 11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________． 12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的 参数方程分别为⎩⎨⎧==ty t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆上三点，且满足︒=∠30ABC ，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ，则PA= ．图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)6cos(2)(πω+=x x f （其中R x ∈>,0ω）的最小正周期为π10．（1） 求ω的值；（2） 设,56)355(,2,0,-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈παπβαf 1716)655(=-πβf ，求)cos(βα+的值． 17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N ∈，且123,5,a a a +成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3． （1） 求椭圆C 的方程（2） 在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B = ． （1） 求集合D （用区间表示）；（2） 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学A 卷参考答案一、选择题：1. D2. C3. A4. A5. B6. C7. D8. C 二、填空题：9.12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ 10. 20 11. 2n-1 12. y=2x+1 13. 814. （1，1） 15.三、解答题：16. 解：（1）由f(x)得： 其最小正周期（2）由（1）得：同理由：又17. 解：（1）由图得：（2）由图得：由题知：21105T w w ππ==⇒=15w ∴=0,w >又1()2cos()56f x x π=+515(5)2cos 53536f παπαπ⎡⎤⎛⎫∴+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦62cos 25πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭3sin 5α⇒=5168(5)cos 61717f βπβ-==得：,0,παβ⎡⎤∈⎢⎥4cos 5α∴==15sin 17β=cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-483151351751785=⨯-⨯=-()0.0060.0060.010.0540.006101x +++++⨯=0.018x ⇒=()()8090100.18901000.006100.06P X x P X ≤<==≤<=⨯=[)8090∴⨯在，的学生人数为：0.1850=9[)90100⨯在，的学生人数为：0.0650=30,1,2ξ=()()()2122993322212121212910,1,2222222C C C C P P P C C C ξξξ=========18. 解： （1）证明：（2）由（1）得：在矩形ABCD 中，如图所示建立直角坐标系，由（1）知，所以，二面角B-PC-A 的正切值为：3。
2012年广州二模理科数学(word版含答案)
试卷类型：B2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题。
每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12|z ||z |=，则实数a 的值为 A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．±2或0 2．设集合A={(x ，y)|2x+y=6}，B={(x ，y)|3x+2y=4}，满足C ⊆(A B)的集合C的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ． 4 B ．14 C ．14- D ．-4 4．已知等差数列{n a }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．405．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是A ．m l ⊥，l ∥α，l ∥βB ．m l ⊥，αβ=l ，m α⊂C ．m ∥l ，m α⊥，l β⊥D ．m ∥l ，l β⊥，m α⊂ 6．下列说法正确的是A ．函数1f (x )x=在其定义域上是减函数B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“210x R,x x ∃∈++>”的否定是“210x R,x x ∀∈++<”D ．给定命题p 、q ，若p ∧q 是真命题，则⌝p 是假命题 7．阅读图l 的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．已知实数a ，b 满足22430a b a +-+=，函数1f (x )a s i n xbc o s x =++的最大值记为(a,b )ϕ，则(a,b )ϕ的最小值为A ．1B ．2C ．31+D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 . 10．(12x x-)6展开式中的常数项是 (用数字作答). 11．已知不等式2|x |->1的解集与不等式20x ax b ++>的解集相等，则a b +的值为 。
2012年高考数学广东卷(理科)附答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【详解人】佛山市南海区石门中学 黄伟亮参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题01. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i --解析：D .56i65i i-=--. 02. 设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =（ ）A .UB .{}1,3,5C .{}3,5,6D .{}2,4,6解析：C .{}3,5,6U C M =.3.（向量）若向量()2,3BA = ，()4,7CA =，则BC = （ ）A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--解析：A .()2,4BC BA CA =-=--.4.（函数）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A .()ln 2y x =+B.y =C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+解析：A .()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数.5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1-解析：B .画出可行域，可知当代表直线过点A 时，取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值为11. 6.（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π解析：C .该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为23545V ππ=⨯⨯=，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=，所以体积为57π.7.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）A .49B .13C .29D .19解析：D .两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为51459=. 8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量a 、b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则= a b （ ）A .12B .1C .32D .52解析：C .⋅==⋅ a a b a b b b b 1cos 2k θ=，= b b a a 2cos 2k θ=，两式相乘，可得212cos 4k kθ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1k 、2k 都是正整数，于是2121cos 124k k θ<=<，即1224k k <<，所以123k k =.而0≥>a b ，所以13k =，21k =，于是32= a b . 二、填空题（一）必做题（9—13题）9.（不等式）不等式21x x +-≤的解集为__________________.解析：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差，画出数轴，先找出临界“21x x +-=的解为12x =-”，然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10.（二项式定理）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答）解析：20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1233k -=，解得3k =，所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.11.（数列）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.解析：21n -.设公差为d （0d >），则有()21214d d +=+-，解得2d =，所以21n a n =-. 12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.解析：210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=，所以切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=.13.（算法）执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为______.解析：8.第一次循环，()11221s =⨯⨯=，4i =，2k =；第二次循环，()12442s =⨯⨯=，6i =，3k =；第三次循环，()14683s =⨯⨯=，8i =，4k =.此时退出循环，输出s 的值为8.（二）选做题（14—15题）线1C 和14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨⎪⎩t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.解析：()1,1.法1：曲线1C 的普通方程是2y x =（0y ≥），曲线2C 的普通方程是222x y +=，联立解得11x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,1.法2：联立t θθ⎧=⎪22sin θθ=，即22cos 20θθ-=，解得cos θ=cos θ=（舍去），所以11t =⎧⎪，交点坐标为()1,1.15.（几何证明选讲）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=︒，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =__________.连接OA ，则60AOC ∠=︒，90OAP ∠=︒，因为1OA =，所以PA =三、解答题16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.解析：（Ⅰ）210T ππω==，所以15ω=.（Ⅱ）515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3sin 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4c 1s 5α，15sin 17β=，所以()4831513co s co s c o s s in s i51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.（Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中数学期望.成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的解析：（Ⅰ）由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=，解得0.018x =.（Ⅱ）分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====，()113921227916622C C P C ξ====，()20392123126622C C P C ξ====，所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.解析：（Ⅰ）因为PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.而PC PA P = ，PC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BD ⊥平面PAC ，而AC ⊂平面PAC ，所以BD AC ⊥，而ABCD 为矩形，所以ABCD 为正方形，于是2AB AD ==.z 轴，建立法1：以A 点为原点，AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、空间直角坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ，于是()0,2,0BC = ，()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，从而2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =- .所以二面角B PC A--的余弦值为cos ,⋅<>==121212n n n n n n ，于是二面角B P C --的正切值为3.法2：设AC 与BD 交于点O ，连接OE .因为PC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，所以PC OE ⊥，PC BE ⊥，于是O E ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ，所以OEB ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得OE PAOC PC=，而2A B A D ==，所以AC =OC =1PA =，所以3PC =，于是13PA OE OC PC =⨯=而OB =于是二面角B PC A --的正切值为3OB OE=.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 解析：（Ⅰ）由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩，解得11a =.（Ⅱ）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+（2n ≥），两式相减，可得122n n n n a a a +=--，即132n n n a a +=+，即()11232n n n n a a +++=+，所以数列{}2n n a +（2n ≥）是一个以24a +为首项，3为公比的等比数列.由1223a a =-可得，25a =，所以2293n n n a -+=⨯，即32n n n a =-（2n ≥），当1n =时，11a =，也满足该式子，所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-.（Ⅲ）因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=，所以1323n n n --≥，所以1113n n a -≤，于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- .点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题1211131123nn a a a ⎡⎤⎛⎫+++≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ，其前n 项和为()111n n b q T q-=-，希望能得到()1121111312nn b q a a a q -+++≤<- ，考虑到()11111n b q b q q-<--，所以令1312b q =-即可.由n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =，则11b =，于是113n n b -=，此时只需证明1113n n n b a -≤=就可以了.当然，q 的选取并不唯一，也可令12q =，此时134b =，132n n b +=，与选取13q =不同的地方在于，当1n =时，1n nb a >，当2n ≥时，1n n b a <，所以此时我们不能从第一项就开始放缩，应该保留前几项，之后的再放缩，下面给出其证法.当1n =时，11312a =<；当2n =时，121113152a a +=+<；当3n =时，12311111315192a a a ++=++<. 当4n ≥时，1n nb a <，所以 31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<- . 综上所述，命题获证.下面再给出1211132n a a a +++< 的两个证法. 法1：（数学归纳法） ①当1n =时，左边111a ==，右边32=，命题成立. ②假设当n k =（2k ≥，k ∈N ）时成立，即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立，我们首先证明不等式：1111132332i i i i++<⋅--（1i ≥，i ∈N ）. 要证1111132332i i i i++<⋅--，只需证1111132332i i i i +++<--⋅，只需证11132332i i i i +++->-⋅，只需证1232i i +->-⋅，只需证23->-，该式子明显成立，所以1111132332i i i i++<⋅--. 于是当1n k =+时，111211111113311323232332322k k ki ii i i i i i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑，所以命题在1n k =+时也成立.综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识. 法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供） 当1n =时，11312a =<显然成立.当2n =时，121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时，()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=- ，又因为()252221a =>⨯⨯-，所以()21n a n n >-（2n ≥），所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭（2n ≥），所以 123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ . 综上所述，命题获证.20.（解析几何）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）因为e =，所以2223c a =，于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ，则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭（b y b -≤≤）.当01b <<时，2PQ 在y b =-时取到最大值，且最大值为244b b ++，由2449b b ++=解得1b =，与假设01b <<不符合，舍去.当1b ≥时，2PQ 在1y =-时取到最大值，且最大值为236b +，由2369b +=解得21b =.于是23a =，椭圆C 的方程是2213x y +=. （Ⅱ）圆心到直线l 的距离为d =，弦长AB =，所以O A B ∆的面积为12S A B d =⋅=，于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点，所以2213m n +=，即2233m n =-，于是22221132d m n n==+-，而11n -≤≤，所以201n ≤≤，21323n ≤-≤，所以2113d ≤≤，于是当212d =时，2S 取到最大值14，此时S 取到最大值12，此时212n =，232m =.综上所述，椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 点评：此题与2012年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.（2012年南海区高三8月摸底考试）已知椭圆C 的两焦点为()11,0F -、()21,0F ，并且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O ：221x y +=，直线l ：1mx ny +=，证明：当点(),P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.21.（不等式、导数）（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B = . （Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解析：（Ⅰ）考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦，且1a <，所以可分以下三种情况： ①当113a <<时，0∆<，此时B =R ，()0,D A ==+∞.②当13a =时，0∆=，此时{}1B x x =≠，()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时，0∆>，此时()223160x a x a -++=有两根，设为1x 、2x ，且12x x <，则1x =2x ={}12B x x x x x =<>或.当103a <<时，()123102x x a +=+>，1230x x a =>，所以210x x >>，此时()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，1230x x a =≤，所以10x ≤，20x >，此时()2,D x =+∞.综上所述，当113a <<时，()0,D A ==+∞；当13a =时，()()0,11,D =+∞ ；当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，()2,D x =+∞.其中11x -，2x =（Ⅱ）()()26616f x x a x a '=-++，令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <，所以()0f x '=有两根1m a =和21m =，且12m m <.①当11a <<时，()0,D A ==+∞，此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =，列表可得所以()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a . ②当1a =时，()()0,11,D =+∞ ，此时()0f x '=在D 内只有一根11m a ==，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ③当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ，此时1201a x x <<<<（可用分析法证明），于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.④当0a ≤时，()2,D x =+∞，此时21x >，于是()f x '在D 内恒大于0，()f x 在D 内没有极值点. 综上所述，当113a <<时，()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a ；当103a <≤时，()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.当0a ≤时，()f x 在D 内没有极值点.。
2012学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案
秘密★启用前2012学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数 学（必修）本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，则UA =( ).A.∅B.{}1,3C.{}2,4,5D.{}1,2,3,4,52. 已知点P ()3,4-是角α终边上的一点，则tan α=( ). A.43- B.34- C.34 D.433. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为( ). A.2- B.2 C.12- D.124. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为( ).A.24B. 12C. 6D. 35. 如图1，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以A B 、、C D 、为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四 段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区 域M 的概率是( ).DCMA.2π B. 4πC. 14π-D.12π-6. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图2 所示，则该几何体的体积为( ).A. 16B. 13C. 12D. 17. 函数()2f x x x=-的零点所在的区间为( ).A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列 的前n 项和为( ). A.2(1)n n + B.12(1)n n +C.2(1)n n +D.21nn +9. 在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，则AC CD ⋅=( ). A. 4 B. 2 C.2- D.4-10. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使()f x M x ≤对一切实数x 恒成立，则称()f x 为有界泛函.有下面四个函数：①()1f x =； ②()2f x x =； ③()2sin f x x x =； ④()22xf x x x =++． 其中属于有界泛函的是( ).A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 已知幂函数()f x x α=的图象过点()2,2，则函数()f x 的定义域是 .12. 如图3给出的是计算111123S n=+++⋅⋅⋅+值的1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭图2BA图1一个程序框图，当程序结束时，n 的值为 .13. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,4,0A ，()2,0,3B ，()2,2,C z ，若90C ∠=，则z 的值为 ．14. 设实数,x y 满足32040x x y x y ⎧⎪-+⎨+-⎪⎩，，，≤≥≥ 则22x y +的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,1A ，()1,0C . （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.16.（本小题满分12分）已知函数()sin ,f x x x x =+∈R . （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．(本小题满分14分)对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,N p 及图中a 的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间[]12,15内的概率.18．(本小题满分14分)如图4所示，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 圆周上不同 于A 、B 的任意一点，P A ⊥平面ABC ，点E 是线段PB 的中点，点M 在AB 上，且MO ∥AC ． （1）求证：BC ⊥平面P AC ；（2）求证：平面EOM ∥平面P AC .19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a λ+=+⋅(*n ∈N ，λ为常数)，且1a ，22a +，3a 成等差数列． （1）求λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n b 满足 ，证明： ．23n n n a =+916n b ≤B图420.（本小题满分14分）设a 为常数，a ∈R ，函数()21f x x x a =+-+，x ∈R .（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的最小值.2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．其中第13题填对1个给3分，填对2个给5分．11． [0,)+∞ 12． 2012 13． 1-或4 14． []8,34三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程． 15．本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识．本小题满分12分． 解：（1）方法1：因为圆C 的圆心为(1,0)C ， 可设圆C 的标准方程为()2221x y r -+=．因为点()3,1A 在圆C 上， 所以()222311r -+=，即25r =．所以圆C 的标准方程为22(1)5x y -+=．方法2：因为点()3,1A 在圆C 上，所以圆C 的半径为r CA ===因为圆C 的圆心为(1,0)C ， 所以圆C 的标准方程为22(1)5x y -+=．（2）圆心C 到直线l 的距离为d ==因为>d r >，所以直线l 与圆C 相离．16．本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想．本小题满分12分．解：（1）()sin f x x x =+ 12sin 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以函数)(x f 的最小正周期是2π． （2）由（1）得，()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 因为635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以62sin 2sin 3335f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即3sin 5α=． 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以4cos 5α==． 所以22sin 22sin 2333f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos αα=34455=⨯⨯4825=．17．本小题主要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识．本小题满分14分． 解：（1）由分组[12,15)内的频数是2，频率是0.05，得20.05N=，所以40N =． 因为频数之和为40，所以104240n +++=，解得24n =．所以240.640n p N ===． 因为a 是对应分组[6,9)的频率与组距的商， 所以0.60.233p a ===． （2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15)内”为事件A ．这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有426+=人．记在区间[9,12)内的4人为1234,,,a a a a ，在区间[12,15)内的2人为12,b b ． 从这6人中任选2人的所有可能结果有：1213141112{,},{,},{,},{,},{,},a a a a a a a b a b23242122343132414212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，共15种．事件A 包含的结果有：11122122313241{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},a b a b a b a b a b a b a b4212{,},{,}a b b b ，共9种．所以所求概率为93()0.6155P A ===．18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．本小题满分14分．证明：（1）因为点C 是以AB 为直径的⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，所以90ACB ∠=，即BC ⊥AC ． 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥BC ．因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，ACP A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ．（2）因为点E 是线段PB 的中点，点O 是线段AB 的中点，所以EO ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，EO ⊄平面P AC ， 所以EO ∥平面P AC ．因为MO ∥AC ，AC ⊂平面P AC ，MO ⊄平面P AC ， 所以MO ∥平面P AC ．因为EO ⊂平面EOM ，MO ⊂平面EOM ，EO MO ＝O ， 所以平面EOM ∥平面P AC ．19．本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、 推理论证能力等．本小题满分14分．（1）解：因为11a =，12n n n a a λ+=+⋅(*n ∈N )，所以121212a a λλ=+⋅=+，232216a a λλ=+⋅=+． 因为1a ，22a +，3a 成等差数列，所以1322(2)a a a +=+，即262(32)λλ+=+， 解得2λ=．（2）解：由（1）得，2λ=，所以112n n n a a ++=+(*n ∈N )，所以12n n n a a --=（2n ≥）．当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-231222n=+++⋅⋅⋅+212(12)112n --=+-123n +=-． 又11a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为123n n a +=-(*n ∈N )． （3）证明：由（2）得，123n n a +=-，所以212n n n b +=．因为222212122(1)21(1)22222n n n n n n n n n n n b b ++++++-++--+-=-==， 当3n ≥时，()2120n --+<，所以当3n ≥时，10n n b b +-<，即1n n b b +<．又114b =<212b =<3916b =，所以3916n b b =≤(*n ∈N )．20．本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解能力、分类讨论思想等．本小题满分14分． 解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=，即对任意的x ∈R 都有()2211x x a x x a -+--+=+-+， 即对任意的x ∈R 都有x a x a +=-， 即对任意的x ∈R 都有()()22x a x a +=-， 即对任意的x ∈R 都有40ax =，所以0a =．（2）①当x a ≤时，()()2213124f x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若12a ≤，则函数()f x 在(],a -∞上单调递减． 所以函数()f x 在(],a -∞上的最小值为()21f a a =+． 若12a >，则函数()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增． 所以函数()f x 在(],a -∞上的最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ②当x a >时，()()2213124f x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若12a -≤，则函数()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增． 所以函数()f x 在[),a +∞上的最小值为1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 若12a >-，则函数()f x 在[),a +∞单调递增． 所以函数()f x 在[),a +∞上的最小值为()21f a a =+． 综上所述， 当12a -≤时，函数()f x 的最小值是34a -；当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +；当12a >时，函数()f x 的最小值是34a +．。
2012年广东省高考数学试卷（理科）答案与解析
A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i 考点：复数代数形式的乘除运算．系的扩充和复数．专题：数系的扩充和复数．分析：把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．，由此能求出结果．解答：解：===﹣6﹣5i．故选D．题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6} 考点：补集及其运算．合．专题：集合．分析：直接利用补集的定义求出C U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}，故选C．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．，向量，则A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）考点：平面向量的坐标运算．面向量及应用．专题：平面向量及应用．分析：由向量，向量，知，再由，能求出结果．，能求出结果．解答：解：∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3） =（﹣2，﹣4）． 故选A ． 点评： 本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算．题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算． 4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）上为增函数的是（ ）A ．y =ln （x+2） B ．C ．D ．考点： 对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．数的性质及应用． 分析： 利用对数函数的图象和性质可判断A 正确；利用幂函数的图象和性质可判断B 错误；利用指数函数的图象和性质可判断C 正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断D 的单调性单调性 解答： 解：A ，y=ln （x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A 正确；确；B ，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除B C ，在R 上为减函数；排除C D ，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D 故选故选 A 点评： 本题主要考查了常见函数的图象和性质，题主要考查了常见函数的图象和性质，特别是它们的单调性的判断，特别是它们的单调性的判断，特别是它们的单调性的判断，简单复合函数简单复合函数的单调性，属基础题的单调性，属基础题5．（5分）（2012•广东）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为（ ）A ． 12 B ． 11 C ． 3D ． ﹣1 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用．等式的解法及应用． 分析： 先画出线性约束条件表示的可行域，画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，在将目标函数赋予几何意义，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目数形结合即可得目标函数的最值标函数的最值：画出可行域如图阴影部分，解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）越大， 目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11 故选 B 故选点评：本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题识，数形结合的思想方法，属基础题6．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A．12πB．45πC．57πD．81π考点：由三视图求面积、体积．间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项可得到正确选项解答：解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C 点评： 本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求体积的运算，求体积的运算，7．（5分）（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．率与统计． 分析： 先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n ，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求 解答： 解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45 记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A ，则A 包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，P （A ）=故选D 点评： 本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、解题的关键是灵活利用简单的排列、解题的关键是灵活利用简单的排列、组组合的知识求解基本事件的个数合的知识求解基本事件的个数8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，则○=（ ）A ．B ．1 C ．D ．考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 空间向量及应用．间向量及应用． 分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n ≥m 且m 、n ∈z ．再由cos 2θ=，与的夹角θ∈（0，），可得cos 2θ∈（，1），即∈（，1），由此求得n=3，m=1，从而得到，从而得到 •== 的值．的值．解答：解：由题意可得解：由题意可得 •====．同理可得同理可得 •====．由于||≥||＞0，∴n ≥m 且 m 、n ∈z ． ∴cos 2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos 2θ∈（，1），即∈（，1）．故有故有 n=3，m=1，∴•==， 故选C ．点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n ≥m 且m 、n ∈z ，且∈（，1），是解题的关键，属于中档题．解题的关键，属于中档题．的解集为的解集为．考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 集合．合． 分析： 由题意，可先将不等式左边变形为分段函数的形式，然后再分三段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集 解答：解：∵|x+2|﹣|x|=∴x ≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；无解； 当﹣2＜x ＜0时，由2x+2≤1解得x ≤，即有﹣2＜x ≤；当x ≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，恒成立， 综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为点评： 本题考查绝对值不等式的解法，题考查绝对值不等式的解法，其常用解题策略即将其变为分段函数，其常用解题策略即将其变为分段函数，其常用解题策略即将其变为分段函数，分段求解不等分段求解不等式．式．10．（5分）（2012•广东）中x 3的系数为的系数为20 ．（用数字作答）（用数字作答）考点： 二项式定理． 专题： 排列组合．列组合．分析： 由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确定出x 3是展开式中的第几项，从而得出其系数出其系数 解答：解：由题意，的展开式的通项公式是Tr+1==x 12﹣3r令12﹣3r=3得r=3 所以中x 3的系数为=20 故答案为20 点评： 本题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，解答的关键是熟练掌握解答的关键是熟练掌握二项式的通项公式二项式的通项公式11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1，a 3=a 22﹣4，则a n = 2n ﹣1 ．考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列． 分析： 由题意，设公差为d ，代入，直接解出公式d ，再由等差数列的通项公式求出通项即可得到答案求出通项即可得到答案 解答： 解：由于等差数列{a n }满足a 1=1，，令公差为d 所以1+2d=（1+d ）2﹣4，解得d=±2 又递增的等差数列{a n }，可得d=2 所以a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1 故答案为：2n ﹣1． 点评： 本题考查等差数列的通项公式，题考查等差数列的通项公式，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，需要熟练需要熟练记忆公式．记忆公式．12．（5分）（2012•广东）曲线y=x 3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为）处的切线方程为2x ﹣y+1=0 ．考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用．数的概念及应用． 分析： 先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．化成一般式即可．解答： 解：y ʹ=3x 2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y ﹣3=2（x ﹣1）， 即2x ﹣y+1=0．故答案为：2x ﹣y+1=0． 点评： 本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．属于基础题．13．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出的s 的值为的值为 8 ．考点： 循环结构． 专题： 算法和程序框图．法和程序框图． 分析： 由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i ＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s 值．值． 解答： 解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4； 当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i ＜8”，退出循环，，退出循环，则输出的s=8 故答案为：8 点评： 本题主要考查的知识点是程序框图，题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，在写程序的运行结果时，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．14．（5分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1与C 2的参数方程分别为（t 为参数）和（θ为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为的交点坐标为 （1，1） ．考点： 抛物线的参数方程；圆的参数方程． 专题： 坐标系和参数方程．标系和参数方程．分析： 把曲线C 1与C 2的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线C 1与C 2的交点坐标．的交点坐标．解答： 解：在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1与C 2的普通方程分别为的普通方程分别为 y 2=x ，x 2+y 2=2．解方程组解方程组可得可得，故曲线C 1与C 2的交点坐标为（1，1），故答案为故答案为 （1，1）． 点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于中档题． ．考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆．线与圆．分析： 连接OA ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠得到∠AOC=60°．因为直线PA 与圆O 相切于点A ，且OA 是半径，得到△P AO 是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中数据可得PA=OAtan60°=．解答： 解：连接OA ，∵圆O 的圆周角∠ABC 对弧AC ，且∠ABC=30°， ∴圆心角∠AOC=60°．又∵直线P A 与圆O 相切于点A ，且OA 是半径，是半径， ∴OA ⊥PA ， ∴Rt △P AO 中，OA=1，∠AOC=60°， ∴PA=OAtan60°= 故答案为：点评： 本题给出圆周角的度数和圆的半径，题给出圆周角的度数和圆的半径，求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切线的性质，属于基础题．线的性质，属于基础题．（其中的值；（1）求ω的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．的值．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．角函数的求值；三角函数的图像与性质．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω==解出参数ω的值；值；（2）由题设条件，可先对，与进行化简，）的值． 求出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值．解答：解：（1）由题意，函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π所以ω==，即所以（2）因为，，分别代入得及∵∴∴点评：本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题．系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题．17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．的值；（1）求图中x的值；分）的的（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，（含90分）分以上（含人，该该2人中成绩在90分以上的数学期望．人数记为ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．率与统计．专题：概率与统计．分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．解答：解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018 （2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0，1，2 ∴点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面P AC；的正切值．（2）若P A=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．间位置关系与距离；空间角；立体几何．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出P A⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A 的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：解：（1）∵P A⊥平面ABCD ∴P A⊥BD ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥BD，又P A∩PC=P ∴BD⊥平面P AC （2）设AC与BD交点为O，连OE ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥平面BOE ∴PC⊥BE 的平面角∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面P AC ∴BD⊥AC ∴四边形ABCD为正方形，又P A=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3 ∴OC=在△P AC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3 点评： 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握要熟练掌握19．（14分）（2012•广东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =a n+1﹣2n+1+1，n ∈N *，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．成等差数列．（1）求a 1的值；的值； （2）求数列{a n }的通项公式；的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列．分析： （1）在2S n =a n+1﹣2n+1+1中，令分别令n=1，2，可求得a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13，又a 1，a 2+5，a 3成等差数列，从而可求得a 1； （2）由2S n =a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1①，a n+1=3a n +2n②，由①②可知{a n +2n}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求a n ；（3）（法一），由a n =3n ﹣2n =（3﹣2）（3n ﹣1+3n ﹣2×2+3n ﹣3×22+…+2n ﹣1）≥3n ﹣1可得≤，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；（法二）由a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n 可得，＜•，于是当n ≥2时，＜•，＜•，，…，＜•，累乘得：＜•，从而可证得+++…+＜．解答： 解：（1）在2S n =a n+1﹣2n+1+1中，中，令n=1得：2S 1=a 2﹣22+1，令n=2得：2S 2=a 3﹣23+1， 解得：a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13 又2（a 2+5）=a 1+a 3 解得a 1=1 （2）由2S n =a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1，又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，成立所以a n+1=3a n+2n对n∈N*成立∴a n+1+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，∴a n+2n=3n，∴a n=3n﹣2n；（法一）（3）（法一）∵a n=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1∴≤，∴+++…+≤1+++…+=＜；（法二）∵a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n，∴＜•，当n≥2时，＜•，＜•，，…＜•，累乘得：＜•，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，着重考查等比数列的求和，着重考查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．积；若不存在，请说明理由．圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．专圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．题：分析：（1）由得a 2=3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2=3b 2，求出椭圆上的点到点Q 的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M （m ，n ）存在，则有m 2+n 2＞1，求出|AB|，点O 到直线l 距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M 的坐标．的坐标．解答：解：（1）由得a 2=3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2=3b 2椭圆上的点到点Q 的距离=①当﹣b ≤﹣1时，即b ≥1，得b=1 ②当﹣b ＞﹣1时，即b ＜1，得b=1（舍）（舍）∴b=1 ∴椭圆方程为（2）假设M （m ，n ）存在，则有m 2+n 2＞1 ∵|AB|=，点O 到直线l 距离∴=∵m 2+n 2＞1 ∴0＜＜1，∴当且仅当，即m 2+n 2=2＞1时，S △AOB 取最大值，又∵解得：所以点M 的坐标为或或或，△AOB 的面积为．点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．三角形的面积是关键．考点： 利用导数研究函数的极值；交集及其运算；一元二次不等式的解法． 专题： 导数的综合应用．数的综合应用．分析： （1）根据方程2x 2﹣3（1+a ）x+6a=0的判别式讨论a 的范围，求出相应D 即可；即可；（2）由f ʹ（x ）=6x 2﹣6（1+a ）x+6a=0得x=1，a ，然后根据（1）中讨论的a 的取值范围分别求出函数极值即可．范围分别求出函数极值即可． 解答： 解：（1）记h （x ）=2x 2﹣3（1+a ）x+6a （a ＜1）△=9（1+a ）2﹣48a=（3a ﹣1）（3a ﹣9），当△＜0，即，D=（0，+∞），当，当a ≤0，．（2）由f ʹ（x ）=6x 2﹣6（1+a ）x+6a=0得x=1，a ， ①当，f （x ）在D 内有一个极大值点a ，有一个极小值点；，有一个极小值点； ②当，∵h （1）=2﹣3（1+a ）+6a=3a ﹣1≤0，h （a ）=2a 2﹣3（1+a ）a+6a=3a ﹣a 2＞0， ∴1∉D ，a ∈D ，∴f （x ）在D 内有一个极大值点a ． ③当a ≤0，则a ∉D ，又∵h （1）=2﹣3（1+a ）+6a=3a ﹣1＜0． ∴f （x ）在D 内有无极值点．内有无极值点． 点评： 本题主要考查了一元二次不等式的解法9，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2012年广东省广州二模试题(理数,全word)
试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）2012．4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或0 2．设集合()}{()}{,26,,324,A x y x y B x y x y =+==+=满足()C A B ⊆ 的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14 C ．14- D ．4- 4．已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．405. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ= ，m α⊂ C ．//m l ，m α⊥，l β⊥ D ．//m l ，l β⊥，m α⊂6．下列说法正确的是 A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数A B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，2x x ++D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题7．阅读图1的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知实数,a b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ， 则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户， 为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中等 收入家庭应抽取的户数是 .10．6⎛⎝展开式中的常数项是 （用数字作答）.11. 已知不等式21x ->的解集与不等式20x ax b ++>的解集相等,则a b +的值为 . 12．在平行四边形ABCD 中, 点E 是AD 的中点, BE 与AC 相交于点F ,若(,EF mAB nAD m n =+∈ R ), 则mn的值为 .13. 已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，OP =（点O 为坐标原点）， 点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时 针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标 为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是圆O 的直径，延长AB 至使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD 则ADBD的值为 .图4NM D CBAB 1C 1D 1A1图5侧（左）视图正（主）视图图3BA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1) 求A 和ω的值; (2) 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且4sin 5α=, 求()f α的值. 17．（本小题满分12分）如图3，,A B 两点之间有6条网线连接，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ. (1) 当6ξ≥时,则保证线路信息畅通,(2) 求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）.某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A BC D -（如图4）. 该建筑物的正视图和侧视图如图5, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. （1）求直线AM 与平面1111A B C D 所成角的正弦值； （2）求二面角A MN C --的余弦值； （3）求该建筑物的体积.19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ，直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的的离心率取得最大值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.20．（本小题满分14分） 已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，,求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，对任意(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，数列{}n a 满足11221,(21n n n a a a n a +==∈+N *). (1) 证明函数()f x 是奇函数; (2) 求数列(){}n f a 的通项公式;(3) 令12(nn a a a A n n+++=∈ N *), 证明:当2n ≥时,1112n ni i i i n a A ==--<∑∑.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．60 10．160- 11．1- 12．2- 13．⎤⎥⎣⎦14．23π⎛⎫⎪⎝⎭15说明：第14题的答案可以是22(3k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：16．（ 12分） (本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解:∵函数()f x 的图象的最高点坐标为5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴2A =. … 1分 依题意,得函数()f x 的周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，…… 2分∴22T πω==. …… 3分(2)解:由(1)得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. … 4分∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且4sin 5α=,∴3cos 5α==. …… 5分 ∴24sin 22sin cos 25ααα==, …… 7分 27cos 212sin 25αα=-=-.… 9分 ∴()2sin 23f παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭… 10分2sin 2cos cos 2sin 33ππαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭…… 11分=… 12分 17. （12分）(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1） 解: 从6条网线中随机任取三条网线共有3620C =种情况. ……… 1分∵1141236++=++=, ∴()1122361164C C P C ξ+===.…… 2分Q 1P 1QPO N M D CBA∵1242237++=++=∴()1122361174C C P C ξ+===.…… 3分∵1342248++=++=,∴()123613820C P C ξ+===.…… 4分∵2349++=, ∴()12361910C P C ξ===.……… 5分 ∴P ()()()()()66789P P P P ξξξξξ≥==+=+=+= 113134420104=+++=. 答: 线路信息畅通的概率为34.…… 6分 (2)解:ξ的取值为4,5,6,7,8,9.…… 7分 ∵1124++=, ∴()12361410C P C ξ===.… 8分∵1131225++=++=,∴()123613520C P C ξ+===. …… 9分∴ξ的的分布列为:…… 10分∴1311314567891020442010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ … 11分 6.5=.…… 12分 18.（14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)解法1：（1）作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，则MA O ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角. …… 1分 由于平面ABCD //平面1111ABCD ，故MAO ∠是直线AM 与平面1111A B C D 所成的角.… 2分作MP AB ⊥，垂足为P ，连接PO ， ∵AB ⊂平面ABCD ，∴MO AB ⊥. ∵,MO MP M MO =⊂ 平面MOP ，MP ⊂平面MOP ，∴AB ⊥平面MOP . …… 3分由题意知1,MO PO AP ===12,4AD AA ==，在R t △POM 中，PM 在R t △APM 中，AM R t △AOM 中，sin MO MAO AM ∠==∴直线AM 与平面1111A B C D …… 5分（2）延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ，由（1）知AB ⊥平面MOP ∵MQ ⊂平面MOP ， ∴AB ⊥MQ .∵//MN AB ，11∴,MN MP MN MQ ⊥⊥. …………… 6分∴PMQ ∠是二面角A MN C --的平面角. …… 7分在△PMQ中，2MQ MP PQ ===，∵2224MP MQ PQ +==， ∴90PMQ ︒∠=. ……… 8分∴二面角A MN C --的余弦值为0. … 9分（3）作1//NP MP 交AB 于点1P ，作1//NQ MQ 交CD 于点1Q ， 由题意知多面体MN ABCD -可分割为两个等体积的四棱锥M APQD -和 11N PBCQ -和一个直三棱柱11MPQ NPQ -. 四棱锥M APQD -的体积为113V AP AD MO = 1212133=⨯⨯⨯=， ………… 10分 直三棱柱11MPQ NPQ -的体积为2112222V MP MQ MN === ，…11分 ∴多面体MN ABCD -的体积为122V V V =+2102233=⨯+=. …………… 12分长方体1111ABCD A BC D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯= . ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. …………… 14分 解法2：（1）以点D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1D D 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -（如图），作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ， 作OP AB ⊥，垂足为P ，依题意知1MO OP AP ===，12,4AD AA ==,则()()0,0,0,2,0,0,D A ()()1,1,1,1,3,1M N ，()12,0,4A -. …………… 1分∴()1,1,1AM =-. … 2分∵1AA ⊥平面1111A B C D ， ∴平面1111A B C D 的一个法向量为()10,0,4AA =-.……… 3分设直线AM 与平面1111A B C D 所成角为θ，则sin θ=11AM AA AM AA == …… 4分 ∴直线AM 与平面1111A B C D.…………（2）由(1)知()()0,2,0,1,1,1MN DM ==,设平面ABNM 的法向量为1n (),,x y z =，由1n 0MN = ，1n 0AM = ，得0,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩令1x =，则1,0z y ==.∴平面ABNM 的一个法向量为1n ()1,0,1=. …… 6分设平面CDMN 的法向量为2n (),,x y z =，由2n 0DM = ，2n 0MN = ，得0,20.x y z y ++=⎧⎨=⎩令1x =，则1,0z y =-=. ∴平面CDMN 的一个法向量为2n ()1,0,1=-.… 7分 ∵1n 2n ()110110=⨯++⨯-=，∴平面ABNM ⊥平面CDMN .…… 8分∴二面角A MN C --的余弦值为0. ……… 9分 （3）如图将多面体MN ABCD -补成一个直三棱柱1ADQ BCQ -，依题意知1111AQ DQ BQ CQ MQ NQ ======，2AD =,14AA =, 多面体MN ABCD -的体积等于直三棱柱1ADQ BCQ -的体积减去两个等体积的三 棱锥M ADQ -和1N BCQ -的体积.∵2224AQ DQ AD +==，∴90AQD ︒∠=. ∴直三棱柱1ADQ BCQ -的体积为1114422V AQ DQ AB === ，……… 10分三棱锥M ADQ -的体积为2V =11111132323AQ DQ MQ =⨯= .…… 11分∴多面体MN ABCD -的体积为V =122102433V V -=-=. …… 12分长方体1111ABCD A BC D -的体积为3142432V AB CD AA ==⨯⨯= . … 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. …… 14分19. （14分）(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) （1）解法1：由22,4y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y ，得2840x x m --=. …… 1分 ∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共 ∴28440m ∆=+⨯=，解得4m =-. …… 3分 ∴直线l 的方程为24y x =-.…… 4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为()00,x y ， 由214y x =，得'12y x =， ∴直线l 的斜率0'012x x k y x ===. …… 1分 依题意得0122x =，解得04x =.… 2分把04x =代入抛物线2C 的方程，得04y =. ∵点()00,x y 在直线l 上，∴424m =⨯+，解得4m =-. …… 3分 ∴直线l （2）解法1：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F -. 设点()10,1F 关于直线l 的对称点为()'100,Fx y ， 则0000121,12 4.22y x y x -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩…… 7分解得004,1.x y =⎧⎨=-⎩∴点()'14,1F -. ……… 8分∴直线l 与直线'12:1F F y =-的交点为03,12P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C 的长轴长'12122a PF PF PF PF =+=+'1F ≥ 其中当点P 与点0P 重合时，上面不等式取等号. ∴2a ≥. ∴112e a =≤. 故当2a =时，max 12e =… 12分此时椭圆1C 的方程为22143y x +=，点P 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.… 14分解法2：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F - 5分设椭圆1C 的方程为()2222111y x a a a +=>-， … 6分 由222224,11y x y x aa =-⎧⎪⎨+=⎪-⎩消去y ，得()()()()22222541611160a x a x a a ---+--=.（*） … 7分 由()()()()222221614541160a a a a ⎡⎤∆=-----≥⎣⎦， …… 8分得425200a a -≥. ……… 9分 解得24a ≥.∴2a ≥. …………… 10分 ∴112e a =≤. …………… 11分 当2a =时，max12e =，此时椭圆1C 的方程为22143y x +=. …………… 12分把2a =代入方程（*），解得32x =，1y =-. …………… 13分 ∴点P 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. …………… 14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞. …………… 1分()2111ax x f x ax x x--'=-+=-. …………… 2分① 当0a =时，()1xf x x+'=，∵0,x > ∴()'0f x > ∴ 函数()f x 单调递增区间为()0,+∞. …………… 3分② 当0a ≠时，令()0f x '=得210ax x x---=， ∵0,x >∴210ax x --=. ∴14a ∆=+. （ⅰ）当0∆≤，即14a ≤-时，得210ax x --≤，故()0f x '≥， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞. …………… 4分 （ⅱ）当0∆>，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为1x =2x =. …………… 5分若104a -<<，则120,0x x <<，此时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>. ∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞， …………… 6分 若0a >，则120,0x x <>，此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0,f x '<∴函数()f x 的单调递增区间为0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.…………… 7分综上所述，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭； 当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间. ………… 8分（2）解：由(1)得当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；…………… 9分当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；则()f x 有极大值，其值为222221()ln 2f x x ax x =-+，其中212x a=. … 10分 而22210ax x --=，即2221ax x =+，∴2221()ln 2x f x x -=+. …………… 11分 设函数1()ln (0)2x h x x x -=+>，则'11()02h x x =+>， …………… 12分 则1()ln 2x h x x -=+在()0,+∞上为增函数.又(1)0h =，则()0h x >等价于1x >. ∴2()f x =221ln 2x x -+0>等价于21x >. …………… 13分 即在0a >时，方程210ax x --=的大根大于1，设2()1x ax x ϕ=--，由于()x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,1)-，对称 轴102x a=>，则只需(1)0ϕ<，即110a --<，解得2a <，而0a >， 故实数a 的取值范围为()0,2. ……………… 14分说明:若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分.1.1122a a =++()0,+∞是减函数，而112a +=时，2a =，故112a>的解集为()0,2，从而实数a 的取值范围为()0,2．2.直接解不等式112a>，而0a >，通过分类讨论得出实数a 的取值范围为()0,2.21. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：由于对任意(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭， 令0x y ==，得()()()00000100f f f f -⎛⎫-==⎪-⨯⎝⎭，解得()00f =. …………… 1分 令0x =，得()()()0010y f f y f f y y ⎛⎫--==- ⎪-⨯⎝⎭，∵()00f =，∴()()0f y f y -=-，即()()f y f y -=-. …………… 2分 ∴函数()f x 是奇函数. …………… 3分 （2）解：先用数学归纳法证明01n a <<.① 当1n =时，112a =，得101a <<, 结论成立. ② 假设n k =时, 结论成立, 即01k a <<, 当1n k =+时, 由于01k a <<, 12201kk ka a a +=>+,又1222121k kk kk a a a a a +=<==+. ∴101k a +<<.即1n k =+时, 结论也成立.由①②知对任意n ∈N *, 01n a <<. …………… 4分 求数列(){}n f a 的通项公式提供下面两种方法.法1:()()()12211n n n n n n n a a a f a f f a a a +⎛⎫--⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()()n n f a f a =--.…………… 5分 ∵函数()f x 是奇函数， ∴()()n n f a f a -=-.∴()1n f a +()2n f a =. …………… 6分 ∴数列(){}n f a 是首项为()1112f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，公比为2的等比数列. ∴数列(){}n f a 的通项公式为()12n n f a -=. …………… 7分法2: ∵()()1111n n n n n n a a f a f a f a a +++⎛⎫--=⎪-⎝⎭…………… 5分22221211n n n n n a a a f a a ⎛⎫- ⎪+ ⎪= ⎪- ⎪+⎝⎭321n n n a a f a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭ =()n f a , ∴()1n f a +()2n f a =. …………… 6分 ∴数列(){}n f a 是首项为()1112f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，公比为2的等比数列. ∴数列(){}n f a 的通项公式为()12n n f a -=. …………… 7分（3）证法1：由（2）知01n a <<，∵1221nn n n na a a a a +-=-+()22101n n n a a a -=>+， ∴1n n a a +>. …………… 8分∴111,1(22n a a n =<<∈N *，且2)n ≥ ∴10(,2n m a a n m <-<∈N *,且)n m >. …………… 9分当2k ≥且k ∈ N *时,12kk k k a a a a A a k+++-=-()()()121k k k k a a a a a a k--+-++-= …………… 10分12k k -<…………… 11分 1122k =-12<.∴102k k a A <-<. …………… 12分∵110a A -=, ∴当2n ≥时,11102n niii i n a A ==-<-<∑∑. …………… 13分 ∴当2n ≥时,1112nni i i i n a A ==--<∑∑. …………… 14分 证法2：由（2）知01n a <<，∵1221nn n n na a a a a +-=-+()22101n n n a a a -=>+， ∴1n n a a +>. …………… 8分∴111,1(22n a a n =<<∈N *，且2)n ≥ ∴1(,2n m a a n m -<∈N *). …………… 9分下面用数学归纳法证明不等式1112n ni i i i n a A ==--<∑∑成立. ①当2n =时，左边1212121122a a a a a a a +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭111222<⨯<=右边. ∴2n =时，不等式成立. …………… 10分 ②假设(2,n k k k =≥∈N *)时，不等式成立，即1112k ki i i i k a A ==--<∑∑， 则1n k =+时， 左边=1111k k i i i i a A ++==-∑∑1211111k kk i k i i i a a a a a A k ++==+++=+--+∑∑ …………… 11分()()1121111k kk k i i i i k a a a a a A k +==+-+++⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑()()()111211111kki i k k k k i i a A a a a a a a k +++==≤-+-+-++-+∑∑ ………… 12分 ()111211121k k k k k a a a a a a k +++-<+-+-++-+ 1111121222k k -⎛⎫<++++ ⎪+⎝⎭ 11212k k k -=+⨯+ ()1112221k k -=+-+ 1122k -<+ ()112k +-==右边. …………… 13分∴1n k =+时，不等式也成立. 由①②知，当2n ≥时,1112n ni ii i n a A==--<∑∑成立. …………… 14分 证法3：由（2）知()011,2,3,,k a k n <<= ，故对11k n ≤≤-，有 110,0kniii i k ak an k ==+<<<<-∑∑. …………… 8分由于对任意0,0x y >>，有{}max ,x y x y -<，其中{}max ,x y 表示x 与y 的较大值. 于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑ …………… 9分11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ …………… 10分()111max ,n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1(1,2,3,,1)kk n n=-=- . …………… 11分 故111n nni in i i i i a AnA A ===-=-∑∑∑()()()121n n n n A A A A A A -=-+-++- …… 12分121n n n n A A A A A A -≤-+-++- 121111n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………… 13分 ()()12311n n n++++-=--()()121n n n n -=--12n -=. …………… 14分。
2012年广东省高考理科数学试题(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC = A ．（-2,-4）B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(-6,-10)4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+ B．y = C ．y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D ．1y x x =+5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A ．49 B ． 13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12 B ．1C ．32 D ． 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．不等式21x x +-≤的解集为_____． 10． 261()x x+的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = ____． 12．曲线33y x x =-+在点（1，3）处的切线方程为 ．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 ． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为)x tty =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数和()x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈其中的最小正周期为10π（1）求ω的值；（2）设56516,0,,(5),(5)235617f f παβαπβπ⎡⎤∈+=--=⎢⎥⎣⎦，求cos()αβ+的值．17． （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ． （1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；19． （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足11221,,n n n S a n N +*+=-+∈且123,5,a a a +成等差数列． （1） 求a 1的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式． （3） 证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）设a ＜1，集合{}{}20,23(1)60A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B =（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012广东高考数学（理科）参考答案选择题答案：1-8： DCAAB CDC 填空题答案：9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦10. 20 11. 21n - 12. 21y x =+ 13. 8 14. ()1,115.解答题16.（1）15ω=（2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒=162cos 17β=8c o s 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ==∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ===()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ===∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯= 18.（1）∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连OE∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC OE ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形 ∴BO =在PAC ∆中，13OE PA OE OC AC =⇒=⇒=∴ tan 3BOBEO OE∠== ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为319.（1）在11221n n n S a ++=-+中 令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+ 又()21325a a a +=+ 解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得 12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N *+=+∈对成立 ∴ ()11+232n n n n a a ++=+ ∴ 23n n n a += ∴ 32n n n a =- （3）（法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴11112n n a a +<⋅ 当2n ≥时，321112a a <⋅ 431112a a <⋅541112a a <⋅ ………11112n n a a -<⋅累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅⎪⎝⎭∴212311111111173...1 (5252552)n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭ 20. （1）由e =223a b =，椭圆方程为22233x y b += 椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b <,max 3d ==得1b =（舍） ∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y +=（2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠ 当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12，点O 到直线l距离2d ==∴222m n +=又∵2213m n += 解得：2231,22m n ==所以点M的坐标为22222222⎛⎫⎛⎛⎛---- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或AOB ∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a aa a ∆=+-=-- ① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞② 当103a <≤，D ⎛⎫=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，D ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点 ③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-< ∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1. 整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。
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2012学年第二学期期末教学质量监测试卷
高二数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分150分．考试用时120分钟． 注意事项:
1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定
的位置上．
2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：343
V R =
π球 第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分, 满分40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的．
1．设复数z 满足(1i)2-z =，其中i 为虚数单位，则复数=z ( ) A ．1i +
B ．1i -
C ．22i +
D ．22i -
2．下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( )
①所有的二次函数都有零点;②2
,(1)
11x x ∀∈-+≥R ;③有的直线斜率不存在.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3. 若随机变量ξ的概率分布如下表所示，则表中t 的值为（ ）
A ．1
B ．
13
C ．
16
D ．
12
4. 定积分
20
(1)d x x x +⎰
的值为（ ）
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A ．6
B ．
203
C ．12
D ．
143
5．已知抛物线
22 (0)y px p => 上有一点(4,)M y ，它到焦点F 的距离为5，则
OMF ∆的面积（O 为原点）为（ ）
A ．1
B
C ．2 D
．
6．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°
，12||F F =则双曲线的离心率为( ) A
.
B
.
3
C
.
3
D
.
2
7．已知函数
2y ax bx c =++经过点(1,1)，且在点(2,1)-处的切线方程为3y x =-，则
,,a b c 的值分别是（ ）
A . 3,11,9-
B . 11,3,9-
C . 9,11,3-
D . 9,3,11-
8．某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有（ ） A ．20种
B ．30种
C ．42种
D ．56种
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．在2
1()x x
-的展开式中常数项的值为 ．
10．已知随机变量X 服从正态分布(, 9)N a ，且(3)0.5P X ≤=，则实数a 的值
为 ．
11. 半径为r 的圆面积2
()S r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0,)+∞上的变量，则
2()2r r ππ'=--- ①，
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+∞上的变量，请写出类似于①式子： ②
②式可用语言叙述为 ．
12．设2()2
x f x x =
+，若*
111,()()n n x x f x n N +==∈，则猜想n x = ． 13．如果{,,}a b c 是 一个单位正交基底，则||++=a b c ．
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14．某企业生产某种产品，固定成本为20000元，每生产1件产品，成本增加100元，已
知总收益R （元）与年产量x （件）的关系是
21400(0400)()2
80000(400)
x x x R x x ⎧
-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，则总利润最大时，年产量是 件 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分） 已知函数2()4ln(1)f x x x =-+．
（1）求函数()f x 的单调区间; （2）求()f x 的极值.
16.（本小题满分12分）
如图1，已知C 的坐标为(3,3)，过点C 的直线CA 与x 轴交与点A ，过点C 的直线CB 与y 轴交与点
B ，且两直线的斜率之积为4，设点M 是线段AB 的
中点，求点M 的轨迹方程.
17．（本小题满分14分）
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------① sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②
由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③
令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A B
αβ+-=
= 代入③得 sin sin 2sin cos 22
A B A B
A B +-+=． 类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式， 证明: cos cos 2sin
sin 22
A B A B A B +--=-; 图1
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18．（本小题满分14分）
有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，从中挑出4杯称为一次试验，如果能将甲种酒全部挑出来，算作试验成功一次。
某人随机地去挑，求： （1）试验一次就成功的概率是多少？ （2）恰好在第三次试验成功的概率是多少？
（3）当试验成功的期望值是2时，需要进行多少次相互独立试验？
19．（本小题满分14分）
如图2，在直棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，11AC BC AA ===，延长AC 至D ，使AC CD =，连结11,,,BD B D CD C D ． （1）求证：11AC B D ⊥；
（2）求六面体111BB A ADC -的体积．
（3）求平面11B C D 与平面ABC 所成锐二面角的正切值．
20．（本题满分14分）
已知椭圆E :22
221(0)x y a b b a
+=>>
长轴长是短轴长的
倍，且经过点
)A ．直线x t =与 椭圆E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若圆C 与y 轴相交，求实数t 的取值范围；
（3）设(,)Q x y 是圆C 上的动点，当t 变化时，求x 的最大值．
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C 2
图。