安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第20讲不等式性质及证明教案

点评：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力。该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值。
题型4：不等式证明的应用
例7．已知函数f(x)=x + x ，数列｜x ｜(x ＞0)的第一项x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在 处的切线与经过（0，0）和（x ,f(x )）两点的直线平行（如图）
.
求证：当n 时，(Ⅰ)x （Ⅱ） 。
证明：（I）因为
所以曲线 在 处的切线斜率
因为过 和 两点的直线斜率是
所以 .
（II）因为函数 当 时单调递增，
而 ，
所以 ，即
因此
又因为 令 则
因为 所以
因此 故
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。
例8．已知a＞0，函数f（x）＝ax－bx2。
定理3：若 ，则 。
说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；
（2）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；
（3）定理3的逆命题也成立；
（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。
定理3推论：若 。
说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。
∴ ≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2 ．
（Ⅱ）证明：必要性：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1 －1≤f（x），据此可以推出－1≤f（1），
即a－b≥－1，∴a≥b－1；
对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1 f（x）≤1，因为b＞1，可以推出f（ ）≤1，即a· －1≤1，∴a≤2 ；
∴b－1≤a≤2 ．
得：x+y+2 ≤a2(x+y)，即2 ≤(a2－1)(x+y)，①
∴x，y＞0，∴x+y≥2 ，②
当且仅当x=y时，②中有等号成立。
比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，
∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是 。
解法二：设
∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，
∴ ≤1， 的最大值是1。
（Ⅲ）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］：
f（x）＝ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1；
f（x）≤1 f（1）≤1 a－b≤1，即a≤b＋1，
a≤b＋1 f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。
所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b＋1．
解析：（1）答案：A；∵a>b，c>d，∴a+c>b+d；
（2）答案：B
解析：∵b<0，∴－b>0，∴a－b>a，又∵a－b<0，a<0，∴ 。
故 不成立。
∵a<b<0，∴|a|>|b|，∴ 故 不成立。由此可选B。
另外，A中 成立.C与D中（a+ ）2>（b+ ）2成立。
其证明如下：∵a<b<0， <0，∴a+ <b+ <0，∴|a+ |>|b+ |，
22.解：原式 （x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。
当a=a2时，a=0或a=1，x∈ ，当a＜a2时，a＞1或a＜0，a＜x＜a2，
当a＞a2时0＜a＜1，a2＜x＜a，
∴当a＜0时a＜x＜a2，当0＜a＜1时，a2＜x＜a，当a＞1时，a＜x＜a2，当a=0或a=1时，x∈ 。
点评：此题考查不等式的证明及分类讨论思想。
例4．（1）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（ ）
A.18B.6C.2 D.2
（2）若a＞b＞1，P＝ ，Q＝ （lga＋lgb），R＝lg（ ），则（ ）
A.R＜P＜QB.P＜Q＜R
C.Q＜P＜RD.P＜R＜Q
解析：（1）答案：B；3a+3b≥2 =6，当且仅当a=b=1时取等号。故3a+3b的最小值是6；
从而可知，u的最大值为 ，
又由已知，得a≥u，∴a的最小值为 ，
解法三：∵y＞0，
∴原不等式可化为 +1≤a ，
设 =tanθ，θ∈(0， )。
∴tanθ+1≤a ，即tanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθ= sin(θ+ )，③
又∵sin(θ+ )的最大值为1(此时θ= )。
由③式可知a的最小值为 。
3．常用的证明不等式的方法
（1）比较法
比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。
（2）综合法
利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。
综合法证明不等式的逻辑关系是： ，及从已知条件 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 。
（3）分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
证法一： (分析综合法）
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，
即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤ 或ab≥8
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，从而得证。
证法二： (均值代换法)
设a= +t1，b= +t2。
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|等式的性质
比较两实数大小的方法——求差比较法
；
；
。
定理1：若 ，则 ；若 ，则 ．即 。
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。
定理2：若 ，且 ，则 。
说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。
预测2017年的高考命题趋势：
1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；
2．利用基本不等式解决像函数 的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。
教学准备
（A） （B） （C） （D）
（2）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
解析：（1）答案：A；显然 ，但无法判断 与 的大小；
（2）运用排除法，C选项 ，当a－b<0时不成立，运用公式一定要注意公式成立的条件，如果 ，如果a,b是正数，那么
点评：本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
故（a+ ）2>（b+ ）2。
点评：本题考查不等式的基本性质。
题型2：基本不等式
例3． “a＞b＞0”是“ab＜ ”的（ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
解析：A； 中参数的取值不只是指可以取非负数。均值不等式满足 。
点评：该题考察了基本不等式中的易错点。
例2．（1）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）
A.a+c>b+dB.a－c>b－dC.ac>bdD.
（2）若a<b<0，则下列结论中正确的命题是（ ）
A 和 均不能成立
B. 和 均不能成立
C.不等式 和（a+ ）2>（b+ ）2均不能成立
D.不等式 和（a+ ）2>（b+ ）2均不能成立
（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；
（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。
典例解析
题型1：考查不等式性质的题目
例1．（1）如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）
不等式性质及证明
教学目标
1．不等关系
通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2．基本不等式：（a,b≥0）
①探索并了解基本不等式的证明过程；
②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
命题走向
不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。
（2）答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴ （lga＋lgb）＞ ，即Q＞P，