高一数学期末试卷及答案
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若角的终边上有一点，则的值是（ ）. A ．B ．C ．D ．2.设向量，，，，，若，则的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知集合，则=A ．B ．C ．D ．4.已知lg2≈0.3010，且a = 2×8×5的位数是M ，则M 为( )． A ．20 B ．19 C ．21 D ．225.在中，已知向量，则的面积等于（ ） A ． B ．C ．D ．6.已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取数名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为( ) A ．10 B ．9C．8D．79.在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）A．19 B．-14 C．-18 D．-1910.已知函数的一部分图象如图所示，如果，则（）A． B． C． D．11.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记的最小值为的最大值为,则( )A． B． C．16 D．-1612.若,则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．13.已知下列说法正确的是（A．B．C．D．14.设f:x→y=2x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（）A．A={1，2，4，8，16}B．A={0，1，2，log23}C．A{0,1,2,log23}D．不存在满足条件的集合15.已知函数，且，则等于（）A． B． C． D．16.已知数列满足（）A． B． C． D．17.已知满足，则直线必过定点( ) A ．B ．C ．D ．18.满足M ｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1，a 2}的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419.一名射击运动员射击10次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为（ ）10 10 10 9 10 8 8 10 10 8 A ．B ．C ．D ．20.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题 21.已知都是定义域内的非奇非偶函数，而是偶函数，写出满足条件的一组函数，______________；________________； 22.求满足＞的x 的取值集合是 ．23.已知幂函数满足，则24.25.函数的定义域是 .26.二面角α﹣l ﹣β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥l 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥l 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱l 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 ．27.根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的值在各象限的符号（用“＋”或“－”）填入括号（填错任何一个将不给分）。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知向量（）A．（8，1） B． C． D．2.若函数在给定区间上，存在正数，使得对于任意，有，且，则称为上的级类增函数，则以下命题正确的是（）A．函数是（1，+∞）上的1级类增函数B．函数是（1，+∞）上的1级类增函数C．若函数为[1，+∞）上的级类增函数，则实数的取值范围为D．若函数为上的级类增函数，则实数的最小值为23.下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件4.已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围为( )A． B． C． D．5.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数6.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于（）A． B． C． D．7.在中，，，其的面积等于，则等于（）A． B．1 C． D．8.已知角的终边过点且，则的值为（）A．－ B． C．－ D．9.直线与圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定10.对于，，下列命题中，正确命题的个数是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则A． B． C． D．11.函数的定义域是：( )A． B． C．∪ D．∪12.函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．13.、函数的图象为C：①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C；以上三个论断中，正确论断的个数是（）A．0 B．1个 C．2个 D．3个14.（2009•安徽）i是虚数单位，i（1+i）等于（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i15.下列说法中，正确的是（）A．任何一个集合必有两个子集B．若C．任何集合必有一个真子集D．若为全集，16.若函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．17.．一等腰三角形的周长是20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为A．B．C．D．18.给定两个长度均为的平面向量和,它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示，若+，其中,,则的最大值是（）A． B． C． D．19.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （）A． B． C． D．220.若，，则的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题21.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在到这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为____________22.已知等差数列的前项和为，若，且，，三点共线（该直线不过点），则=_____________．23.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为、，若2asinB＝b，则角A等于________．24.将函数f(x)=sin(wx+j)(w>0)的图象向左平移个单位，若所得的图象与原图象重合，则w的最小值是_________．25.若|a+b|=|a-b|，则a与b的夹角为_______________.26. .27.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，算出A、B两点的距离为 m.28.已知一个容量为80的样本，把它分为6组，第三组到第六组的频数分别为10，12，14，20，第一组的频率为0.2，那么第一组的频数是________；第二组的频率是_______。
高一数学期末考试试题及答案doc
高一数学期末考试试题及答案doc一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 椭圆答案：B2. 函数f(x)=2x^2-4x+3的零点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=-1答案：A3. 集合{1,2,3}与集合{2,3,4}的交集是：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B4. 如果一个角是直角三角形的一个锐角的两倍，那么这个角是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+4x-2在x=1处的导数值是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 + n(n-1)/2C. a_n = a_1 + n^2D. a_n = a_1 + n答案：A7. 圆的面积公式是：A. A = πrB. A = πr^2C. A = 2πrD. A = 4πr^2答案：B8. 以下哪个选项是复数的模？A. |z| = √(a^2 + b^2)B. |z| = a + biC. |z| = a - biD. |z| = a * bi答案：A9. 以下哪个选项是向量的点积？A. a·b = |a||b|cosθB. a·b = |a||b|sinθC. a·b = |a||b|tanθD. a·b = |a||b|secθ答案：A10. 以下哪个选项是三角恒等式？A. sin^2x + cos^2x = 1B. sin^2x - cos^2x = 1C. sin^2x - cos^2x = 0D. sin^2x + cos^2x = 0答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 如果一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么它的公差是______。
2024北京房山区高一(下)期末数学试题及答案
2024北京房山高一（下）期末数 学本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. “点A 在直线l 上，l 在平面α内”用数学符号表示为（ ） A. ∈A l ，l α∈ B. A l ⊂，l ⊂αC. A l ⊂，l α∈D. ∈A l ，l ⊂α2. 一个球的表面积为16π，则该球的半径为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 43. 在ABC 中，=60B ∠︒，45C ∠=︒，AC =，那么AB 等于（ ）C. 2D.4. 在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 平行于同一条直线的两个平面平行B. 平行于同一个平面的两条直线平行C. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D. 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行5. 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A.3B.C.3D. 6. 已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量c =（ ）A. 52a b +B. 52a b −C. 25a b +D. 25a b −7. 已知平面α，β，直线l ⊂α，则“//l β”是“//αβ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 如图，在三棱锥A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，4AB CD ==，E ，F ，G 分别是AC ，AD ，BC 的中点，则过E ，F ，G 三点的平面截三棱锥A BCD −所得截面的面积为（ ）B. 2C. D. 49. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上（即30BAC ∠=︒）．行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D 相对公路所在平面的高度DC =（ ）.A.B. 100mC. D.10. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在面对角线AC 上运动，下列四个命题中错误．．的是（ ）A. 1//D P 平面11A BCB. 平面1PDB 平面11A BCC. 三棱锥11A BPC −的体积不变D. 1D P BD ⊥第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 已知长方体1111ABCD A B C D −的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线1AC 的长为______． 12. 如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，角α终边上一点P 到O 的距离为r ，则点P 的坐标为______．（用α和r 表示）13. 已知向量()3,4a =，0a b ⋅=，且1b =，则向量b 的坐标为______．14. 已知m ，n 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①m n ⊥；②n α∥；③m α⊥．以其中两个论断作为条件，余下的论断作为结论，写出一个真命题：______．15. 命题p ：在ABC 中，若cos sin A B =，则ABC 是直角三角形．能说明命题p 为假命题的一组角为A =______，B =______．16. 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形，正八面体由八个全等的等边三角形围成，呈现了对称美．下面给出四个结论：①//CF 平面ABE ； ②平面AEC ⊥平面BDE ；③过点E 存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等；④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的3． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1AA 的中点．（1）求证：1AC BD ⊥； （2）求证：1//A C 平面BDE ．18. 在ABC 中，2220b c a bc +−−=． （1）求角A 的大小；（2）若3a =，b =B 的大小；（3）若3a =，求ABC 面积的最大值．19. 如图，在ABC 中，D 是BC 上的点AB =4BD =，π3C =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求证：ABC 是直角三角形； （2）求ACD 的周长．条件①：AD =3AC =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20. 如图，在三棱锥−P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，1PA AB BC ===，PC =点M 为AC 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面P AB ；（2）线段PC 上是否存在点N ，使得PC ⊥平面BMN ?若存在，求PNPC的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在四棱锥P ABCD −中， ABCD 为梯形，//AB DC ．（1）在侧面PAB 内是否存在直线与DC 平行？如果存在，作出直线并给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）在图中作出平面PAB与平面PCD的交线，并给出证明；（3）在侧面PBC内是否存在直线与AD平行？说明理由．参考答案第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】D【分析】由点线面的位置关系及其表示即可得解.【详解】“点A 在直线l 上，l 在平面α内”用数学符号表示为∈A l ，l ⊂α.故选：D. 2. 【答案】B【分析】直接由球的表面积公式列方程即可求解. 【详解】设所求半径为R ，则24π16πR =，解得2R =. 故选：B. 3. 【答案】C【分析】在ABC 中，由正弦定理求解即可. 【详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC ABB C=，所以sin 60sin 45AB=，解得2AB =. 故选：C . 4. 【答案】C【分析】在正方体1111ABCD A B C D −中，通过举反例可判断A ，B ，D ；假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行推出矛盾即可判断C .【详解】平行于同一条直线的两个平面不一定平行，如在正方体1111ABCD A B C D −中，//AB 平面1111DCBA ，//AB 平面11CDD C ，平面1111A B C D 平面1111CDD C D C =，故A 错误；平行于同一个平面的两条直线不一定平行，如在正方体1111ABCD A B C D −，//AB 平面1111DCBA ，//BC 平面1111DCBA ，AB BC B ⋂=，故B 错误；根据空间平行直线的传递性，如果过直线外一点有两条直线与已知直线平行，那么这两条直线平行，与过一点矛盾，故C 正确；如在正方体1111ABCD A B C D −，//AB 平面1111DCBA ，//BC 平面1111DCBA ， 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行错误，故D 错误. 故选：C . 5. 【答案】A【分析】计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积．【详解】正四棱锥的底面积为224⨯==因此，该正四棱锥的体积为1433=． 故选：A ． 6. 【答案】A【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出向量a ，b ，c ，然后根据平面向量基本定理求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则(1,0),(2,1)(3,0)(1,1)a OA b BC ====−=−，(3,3)(0,1)(3,2)c DE ==−=，因为a ，b 不共线，所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数(,)x y ，使c xa yb =+， 所以(3,2)(1,0)(1,1)(,)x y x y y =+−=−，所以32x y y −=⎧⎨=⎩，得5,2x y ==，所以52c a b =+. 故选：A7. 【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若l ⊂α且//l β得不到//αβ，此时α与β可能相交，故充分性不成立，若//αβ又l ⊂α，则//l β，故必要性成立，所以“//l β”是“//αβ”的必要而不充分条件. 故选：B 8. 【答案】D【分析】取BD 的中点H ，连接GH ，FH ，可得截面EFHG ，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为边长为2的正方形，可得截面的面积. 【详解】如图所示，可取BD 的中点H ，连接GH ，FH ， 由GH 为BCD △的中位线，可得//GH CD ，12GH CD =， 又//EF CD ，12EF CD =，所以EF GH =，且//EF GH ，可得四边形EFHG 为平行四边形，截面EFHG 为所求截面. 因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥，又//EG AB ，//EF CD ，可得EFEG ⊥，则截面EFHG 为矩形；又4AB CD ==，可得截面EFHG 为边长为2的正方形，其面积为4. 故选：D.9. 【答案】C【分析】先由正弦定理解得BC =，再解直角三角形即可得解.【详解】由题意,105,18010530301807455BAC C ACB BA ︒︒︒=︒∠=︒−︒−︒=︒∠=∠=−，而300AB =，由正弦定理可得sin sin AB BCACB BAC=∠∠122BC=，解得BC =， 注意到30,90DBC DCB ∠=︒∠=︒，从而tan DC BC DBC =⋅∠==. 故选：C. 10. 【答案】D【分析】证明平面1//AD C 平面11A BC 后可判断A ，证明1DB ⊥平面11A BC 后可判断B ，由//AC 平面11A BC 可判断C ，取P 是AC 与BD 交点时可判断D ．【详解】A ．连接111111,,,,AD CD A B BC AC ，如图，正方体中由1AA 与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ，所以11//AC AC ，又AC ⊄平面11A BC ，11A C ⊂平面11A BC ，所以//AC 平面11A BC ，同理1//AD 平面11A BC ，1ACAD A =，1,AC AD ⊂平面1AD C ，所以平面1//AD C 平面11A BC ，1D P ⊂平面1AD C ，所以1//D P 平面11A BC ，A 正确；B ．连接11,BD B D ，正方体中1DD ⊥平面1111DCBA ，11AC ⊂平面1111DCBA ，所以111DD AC ⊥， 又正方形1111DCBA 中，1111AC B D ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ，而1DB ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥1DB ，同理11A B DB ⊥，1111A C A B A =，111,AC A B ⊂平面11A BC ，所以1DB ⊥平面11A BC ，而1DB ⊂平面1PDB ，所以平面1PDB 平面11A BC ，B 正确；C ．由A 的证明知//AC 平面11A BC ，P AC ∈，P 到平面11A BC 的距离不变，因此三棱锥11P A BC −体积不变，即三棱锥11A BPC −的体积不变，C 正确；D ．当P 是AC 与BD 交点时，矩形11BDD B 中，1D P 和BD 显然不垂直，D 错． 故选：D ．第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 【答案】3【分析】根据长方体的对角线长公式计算．【详解】长方体的对角线长为13AC == 故答案为：312. 【答案】()cos ,sin r r αα【分析】由三角函数的定义列方程即可求解.【详解】由题意点P 在第二象限，设它的坐标为(),x y ，那么由三角函数定义有：sin ,cos y x r rαα==， 解得cos ,sin x r y r αα==，即点P 的坐标为()cos ,sin r r αα. 故答案为：()cos ,sin r r αα. 13. 【答案】43,55⎛⎫−⎪⎝⎭或43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】设向量b 的坐标为(),x y ，由向量数量积的坐标公式、模的计算公式列式即可求解.【详解】设向量b 的坐标为(),x y，由题意3401x y +=⎧=，解得4535x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， 所以向量b 的坐标为43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭或者43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭. 故答案为：43,55⎛⎫−⎪⎝⎭或43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭. 14. 【答案】若n α∥，m α⊥,则m n ⊥（答案不唯一．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥也可以） 【分析】用其中两个为条件，推出第三个为结论.根据线面关系的定理证明即可. 【详解】若②n α∥；③m α⊥,则①m n ⊥. 证明：若n α∥,则面α内存在直线l ，使得l n ∥.由于m α⊥，且l ⊂α，则m l ⊥，又l n ∥，则m n ⊥.若③m α⊥，①m n ⊥．则②n α∥.证明：若m α⊥，m n ⊥，则α内必存在一条直线与α外直线n 平行，即n α∥.若①m n ⊥；②n α∥；则③m α⊥.（不成立）举反例说明：如图下底面α的长方体模型，m n ⊥，n α∥，但是//m α.故答案为：若n α∥，m α⊥,则m n ⊥（答案不唯一.若m α⊥，m n ⊥．则n α∥也可以）.15. 【答案】 ①. π6（答案不唯一） ②. 2π3（答案不唯一）【分析】首先假设cos sin 02A B ==>，得出,A B 的可能值，只需满足ABC 不是直角三角形即可.【详解】设cos sin 02A B ==>，因为(),0,πA B ∈，所以π6A =，π3B =或2ππ32B =>， 若π6A =，2π3B =，显然π6C =， 所以能说明命题p 为假命题的一组角为π6A =，2π3B =； 若15,105,60A B C ===，则cos15sin105=，故15,105A B ==也满足题意； 故答案为：π6，2π3（答案不唯一）. 16. 【答案】①②④【分析】根据线面平行的判定定理判断①；根据二面角相关知识判断②；根据线面角相关知识并结合图形特点进而判断③；根据题意找出正方体的棱长，结合相似三角形从而判断④.【详解】对于①，根据正八面体性质可知，//AE CF ，又AE ⊂平面ABE ，CF ⊄平面ABE ，所以//CF 平面ABE ，故①正确.对于②，如下图所示，设平面ABCD 的中心为O ，由对称性可知OE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OE BD ⊥，又AC BD ⊥，AC OE O =，,AC OE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ，又BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACE ，故②正确；对于③，直线,AC BD 与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点E ，则过点E 至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误.对于④，如下图所示，取,AB BC 中点,M N ，,ABE BEC △△的中心,P Q ，连接,,,AC MN EM EN ，则PQ 即正方体的一条棱，设该正八面体棱长为a ，则AC =，122MN AC a ==，根据23EP EQ EM EN ==，PEQ MEN =∠∠，得PEQ MEN △∽△，所以233PQ MN a ==，即以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的3，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：关键是找出正方体的棱长，结合相似三角形的相关知识即可顺利得解.三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面1ACA ，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出1//OE AC ，结合线面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D −中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，而1A C ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；【小问2详解】如图所示，连接OE ，因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ， 而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，从而1//A C 平面BDE .18. 【答案】（1）π3A =（2）π6B =（3【分析】（1）直接由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理结合大边对大角即可求解；（3）由余弦定理确定bc 的最大值，结合三角形面积公式即可求解.【小问1详解】因为2220b c a bc +−−=，所以222b c a bc +−=， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +−===， 因为()0,πA ∈，所以π3A =； 【小问2详解】若3a b =>=1）可知sin sin a b A B=，sin B =，解得1sin 2B =， 因为π03B A <<=，所以π6B =； 【小问3详解】若3a =，注意到π3A =， 所以由余弦定理有2222cos a b c bc A =+−，即2292b c bc bc bc bc =+−≥−=，等号成立当且仅当3==b c ，所以ABC 面积1sin 244ABC S bc A ==≤，等号成立当且仅当3==b c ，所以ABC . 19. 【答案】（1）证明见解析（2）5+【分析】（1）选①由余弦定理可求π6B =，即可证明；选②由正弦定理可求π6B =，即可证明； （2）选①在Rt ABC △中求得3AC =，再求CD 即可求解；选②在Rt ABC △中求BC ，在ACD 中，由余弦定理可求AD ，即可求解.【小问1详解】选①：在ABD △中，由余弦定理得222cos22AB BD AD B AB BD +−===⋅， 所以π6B =，所以ππ2A B C =−−=，所以ABC 是直角三角形；选②：在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC AB B C=，所以3πsin sin 3B =，所以1sin 2B =， 因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6B =， 所以ππ2A B C =−−=， 所以ABC 是直角三角形；【小问2详解】选①：在Rt ABC △中，tan AC B AB=，所以33AC ==，所以6BC ==， 所以642CD BC BD =−=−=，所以ACD 的周长为5AD AC CD ++=+选②：在Rt ABC △中，6BC ==，所以642CD BC BD =−=−=，在ACD 中，由余弦定理22212cos 9423272AD AC CD AC CD C =+−⋅⋅=+−⨯⨯⨯=，所以AD =，所以ACD 的周长为5AD AC CD ++=+20. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，23PN PC = 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证；（2）过点M 作MN PC ⊥垂足为F ，根据线面垂直的判定可证PC ⊥平面BMN ，然后根据平面几何知识求出CN =，进而求出PN =即可得. 【小问1详解】因为平面PAC ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，PA AC ⊥，平面PAC平面ABC AC =， 所以PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又1P C A P ==，，PA AC ⊥，所以AC ==又1AB BC ==，所以222AC AB BC =+，所以AB BC ⊥，又PA BC ⊥，,PA AB 是平面PAB 内的两条相交直线，所以BC ⊥平面PAB ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB【小问2详解】存在，当23PN PC =时，PC ⊥平面BMN ， 过点M 作MN PC ⊥垂足为F ，由（1）知PA ⊥平面ABC ，MB ⊂平面ABC ，所以PA MB ⊥，又点M 为AC 的中点，1AB BC ==，所以MB AC ⊥，PA MB ⊥，,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以MB ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以MB PC ⊥，MN PC ⊥，,MB MN 是平面BMN 内的两条相交直线，所以PC ⊥平面BMN ，由已知得sin PA MN PCA PC MC ∠====，又122MC AC ==，MN =⇒=3CN ==，所以33PN PC CN =−=−=，所以23PN PC =， 故当23PN PC =时，PC ⊥平面BMN ， 21. 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 （3）答案见解析【分析】（1）取,PA PB 中点分别为,E F ，连接EF ，结合中位线定理以及平行线的传递性即可得证； （2）由点线面的位置关系作出图形，并直接证明即可；（3）由直线与平面的位置关系直接证明即可.【小问1详解】如图所示：取,PA PB 中点分别为,E F ，连接EF ，则在侧面PAB 内存在直线EF 与DC 平行，证明如下：因为,PA PB 中点分别为,E F ，所以//,EF AB EF ⊂平面PAB ， 又因为//AB CD ，所以//EF CD ，所以在侧面PAB 内存在直线EF 与DC 平行；【小问2详解】如图所示：过点P 作直线l 平行于CD ，则平面PAB 与平面PCD 的交线即为l ，证明如下：因为//l CD ，P l ∈，P ∈平面PCD ，所以l ⊂平面PCD ， 而//AB CD ，所以//AB l ，且注意到P l ∈，P ∈平面PAB ，所以l ⊂平面PAB ，所以平面PCD平面=PAB l ；【小问3详解】在侧面PBC 内不存在直线与AD 平行证明如下：如图所示：过点B 作//BM AD ，交CD 于点M ，因为BM ⋂平面PBC B =，//AD BM ，所以直线AD 与平面PBC 也相交，即AD 与平面PBC 内的任何一条直线都不可能平行.。
高一数学期末考试试题及答案
俯视图高一期末考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题中的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、函数23()lg(31)1x f x x x的定义域是：A.1,3 B.1,3C.11,33D. 1,132. 一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比是： A ．221 B.441 C.21 D.413. 下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是：A.2y x B.12yx C.13y x D.3y x4. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成两平面垂直后，下列命题正确的是： A.BC AB B.BD ACC. ABC CD 平面D. ACDABC 平面平面5. 已知函数2()4,[1,5)f x xx x ，则此函数的值域为：A. [4,)B.[3,5) C.[4,5] D.[4,5)6.已知直线1:20l ax ya,2:(21)0l a x ay a互相垂直,则a 的值是( )A.0B.1C.0或1D.0或17.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.()y x x R B.3()y xx x R C.1()()2xyx R D.1(,0)yxR xx且8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，主视图左视图俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A.4B.54C.D.329.设,m n 是不同的直线，,,是不同的平面，有以下四个命题：①//////②//mm ③//m m ④////m n m n其中，真命题是（）A.①④B.②③C.①③D.②④10.函数2()ln f x xx的零点所在的大致区间是（）A1A B1B C1C DA.1,2 B.2,3 C.11,eD.,e 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）11.设映射3:1f xxx ，则在f 下，象1的原象所成的集合为12.已知2()41f x xmx 在,2上递减，在2,上递增，则(1)f 13.过点(3,2)A 且垂直于直线4580x y 的直线方程为14.已知12,9x y xy，且x y ，则12112212x y xy三、解答题。
高一期末数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. √-1D. 0.1010010001…2. 若 a > b > 0，则下列不等式成立的是：A. a² > b²B. a - b > 0C. a/b > 1D. ab > 03. 已知函数 f(x) = 2x - 3，若 f(x) + f(2 - x) = 0，则 x 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点 A(2,3)，B(4,5)，则线段 AB 的中点坐标为：A. (3,4)B. (4,3)C. (3,5)D. (4,4)5. 已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a1 = 3，d = 2，则 S10 的值为：A. 100B. 105C. 110D. 1156. 若复数 z 满足 |z - 1| = |z + 1|，则 z 在复平面上的位置是：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限7. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x²B. f(x) = |x|C. f(x) = x³D. f(x) = 1/x8. 在△ABC中，若 a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形9. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，其图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 2C. y = 1D. y = 410. 若等比数列 {an} 的前三项分别是 2, 6, 18，则其公比为：A. 2B. 3C. 6D. 9二、填空题（每题5分，共50分）1. 若 a + b = 5，a - b = 1，则a² - b² 的值为________。
2. 已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a1 = 3，d = 2，则 S10 的值为________。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
高一必修一数学期末试卷及答案
高一必修一数学期末试卷及答案第一部分：选择题（共80分）1.解下列各方程：5x+8=3x+12. A. x=3B. x=2C. x=−3D. x=13.若x+3=2x−1，则x= A. 2B. 4C. -4D. -24.已知a=2，当x=3时，y=ax2的值是： A. 18B. 54C. 36D. 125.若f(x)=3x+4，则f(−2)= A. -2B. -6C. -2D. -10第二部分：填空题（共20分）1.已知直线y=2x+3与y=−x+1的交点坐标为(a,b)，则a=（填入具体数字）2.设x是保证2x+5>3x成立的x的取值范围，x的范围是(m,n)，则m=（填入具体数字），n=（填入具体数字）第三部分：计算题（共60分）1.已知a+b=5，a−b=1，求a与b的值。
2.计算$\\frac{3}{5} \\div \\frac{4}{9}$的结果。
3.若y=x2−3x+2，求当x=2时，y=？第四部分：简答题（共40分）1.简述解一元一次方程的基本步骤。
2.什么是函数？函数的概念及符号表示是什么？高一必修一数学期末试卷参考答案第一部分：选择题答案1. A. x=32. B. 43. C. 364. B. -2第二部分：填空题答案1.$(\\frac{2}{3}, \\frac{7}{3})$2.$(5, \\infty)$第三部分：计算题答案1.a=3,b=22.$\\frac{27}{20}$3.y=0第四部分：简答题答案1.解一元一次方程的基本步骤包括化简方程、移项、合并同类项、求解等。
2.函数是自变量和因变量之间的对应关系，通常用f(x)表示。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
(完整版)高一数学必修一期末试题及答案解析
一、选择题。
（共10小题，每题4分） 1、设集合A={x ∈Q|x>-1}，则（ ）A 、A ∅∉B 、2A ∉C 、2A ∈D 、{}2 ⊆A2、设A={a ，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）A 、{1，2}B 、{1，5}C 、{2，5}D 、{1，2，5} 3、函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A 、[1，2)∪(2，+∞） B 、(1，+∞） C 、[1，2) D 、[1，+∞)4、设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）5、三个数70。
3，0。
37，，㏑0.3，的大小顺序是（ ）A 、 70。
3，0.37，，㏑0.3,B 、70。
3，，㏑0.3, 0.37C 、 0.37, , 70。
3，，㏑0.3,D 、㏑0.3, 70。
3，0.37，6、若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.57、函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像为（ ）8、设()log a f x x =（a>0，a ≠1），对于任意的正实数x ，y ，都有（ ）A 、f(xy)=f(x)f(y)B 、f(xy)=f(x)+f(y)C 、f(x+y)=f(x)f(y)D 、f(x+y)=f(x)+f(y)9、函数y=ax 2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（ ） A 、b>0且a<0 B 、b=2a<0 C 、b=2a>0 D 、a ，b 的符号不定 10、某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是 （ ）（年增长率=年增长值/年产值）A 、97年B 、98年C 、99年D 、00年二、填空题（共4题，每题4分）11、f(x)的图像如下图，则f(x)的值域为 ；12、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低1/3，现在价格为8100元的计算机，则9年后价格可降为 ；13、若f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=x,则当x<0时，f(x)= ；14、老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数；②定义域为{|0}x R x ∈≠； ③在(0,)+∞上为增函数.老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确。
2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷(含答案)
2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=3−i，则z的虚部为( )A. −1B. 1C. −iD. 32.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3:2:2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为( )A. 7B. 10C. 15D. 203.已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为( )A. πB. 2πC. 5πD. (5+1)π4.若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为( )A. 9，3B. 9，8C. 9，7D. 10，85.已知A，B是两个随机事件且概率均大于0，则下列说法正确的为( )A. 若A与B互斥，则A与B对立B. 若A与B相互独立，则A与B互斥C. 若A与B互斥，则A与B相互独立D. 若A与B相互独立，则A与B相互独立6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m⊥α，n//α，则m⊥nC. 若m⊥α，α⊥β，则m//βD. 若m⊥n，n⊥β，则m//β7.在正四面体ABCD中，E是棱BD的中点，则异面直线CE与AB所成角的余弦值为( )A. −56B. 56C. −36D. 368.已知锐角△ABC的面积为43，B=π3，则边AB的取值范围是( )A. (2,22)B. [22,4]C. (22,42)D. [22,42]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1−2i，则( )A. |z|=5B. z+z=2C. z⋅z=5D. 1z表示的点在第一象限10.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，AE=14AC，则( )A. DE =34DA +14DCB. DE =14DA +34DCC. BE =32BO +12BCD. BE =32BO−12BC 11.在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，高为ℎ，BA =BC = 3，∠ABC =90∘，下列说法正确的是( )A. V C 1−A 1ABB 1=2V A 1−ABCB. 若存在一个球与棱柱的每个面都内切，则ℎ=2 6− 3C. 若ℎ=3，则三棱锥A 1−ABC 外接球的体积为9π2D. 若ℎ=3，以A 为球心作半径为2的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为23π12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一数学上册期末考试试卷及答案解析(经典,通用)
高一数学上册期末考试试卷及答案解析一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()U A B =（ ）A ．{}01， B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2- D ．{}0,1,1,2-2．“5x >”是“3x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对 4．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A ．矩形的两条对角线垂直 B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2≥ 2（a ﹣b ﹣1） C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0 D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤2成立5．已知02x <<，则y = ）A ．2B ．4C ．5D ．66．若110a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b <B ．1ba <C ．2b aa b +>D ．2ab b <7．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．40aB ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤8．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合222{2,1,4},{0,2}A a a a B a a =+-=--，5A ∈，则a 为（ ） A ．2B ．2-C ．5D ．1-10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最小值14 B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．下列命题为真命题的是（ ）. A ．若a b >，则11b a >B ．若0a b >>，0c d <<，则abd c < C ．若0a b >>，且0c <，则22cc a b > D ．若a b >，且11a b>，则0ab < 12．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，三、填空题13．若命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>，则其否定为p ⌝：__________________．14．已知:282p x -≤-≤，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______． 15．设集合{}{}21,2,R (1)0A B x x a x a ==∈-++=，若集合C = A B ，且C 的子集有4个，则实数a 的取值集合为______________. 16．若a ∈R ，0b >，3a b +=，则当=a ______时，1||3||a a b +取得最小值．四、解答题17．求解下列问题：(1)已知0b a <<，比较1a 与1b 的大小； (2)比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小．18．已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-． (1)求A B ，R ()A B ⋃： (2)若BC C =，求实数m 的取值范围．19．已知不等式20x ax b -+<的解集为{}17x x <<. （1）求实数,a b 的值.（2）求不等式101ax bx +>-的解集.20．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求（1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值． 21．22．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，3050x ≤≤，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？参考答案：1．A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1UB =-，故(){}0,1UAB =，故选：A.2．A 【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项. 【详解】{}5x x > {}3x x >，所以“5x >”是“3x >”的充分不必要条件. 故选：A3．C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C .4．B 【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误.C,D 选项是特称量词命题，故错误. B 选项是全称量词命题，用反证法证明， 因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确.故选:B. 5．【答案】A 【分析】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，由此可得2225x y +=，又面积1=2S xy ，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，则2225x y +=， 又1=2S xy由基本不等式可得221125=2224x y S xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭(当且仅当x =y 立) 故选：A.6．B 【分析】由110a b <<得出0b a <<，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误. 【详解】110a b<<，0b a ∴<<，0b a ∴->->，22a b ∴<，A 选项正确；1b b a a-=>-，B 选项错误；由基本不等式可得2baa b +≥=，当且仅当1b a =时等号成立，1b a >，则等号不成立，所以2baa b +>，C 选项正确；0b a <<，2b ab ∴>，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.7．C 【分析】由题意，p ⌝为真命题，进而可得p ⌝为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可. 【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，40-<恒成立，符合题意； 其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a ，综上可知，40a .结合选项可得，{}{}3040a a a a -≤≤⊆-<≤，即：30a -≤≤是40a 的一个充分不必要条件. 故选：C8．C 【分析】记U A B =⋃，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为{}1,2,4A =，{}2B x x A=∈，所以{}2,B =--，记{}2,U AB ==--，对于A 选项，其表示(){}4U A B =，不满足；对于B 选项，其表示(){}2,U A B =--，不满足；对于C 选项，其表示(){2,U A B =--，满足；对于D 选项，其表示{}1,2A B =，不满足；故选：C.9．BC 【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得a 的值.【详解】依题意5A ∈，当215a+=时，2a =或2a =-，若2a =-，则{}{}2,5,12,0,4A B ==，符合题意；若2a =，则220a a --=，对于集合B ，不满足集合元素的互异性，所以2a =不符合.当245a a -=时，1a =-或5a =，若1a =-，则212a +=，对于集合A ，不满足集合元素的互异性，所以1a =-不符合.若5a =，则{}{}2,26,5,0,18A B ==，符合题意. 综上所述，a 的值为2-或5. 故选：BC10．BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a b a b =+++=12a b ==时，，故B 选项正确；由11111(33)22322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭111[(2)(2)]3221222322a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确；由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确. 故选：BCD.11．BCD 【解析】举反例说明选项A 错误；利用不等式的性质证明出选项B ，C 正确；利用作差法证明出选项D 正确．【详解】选项A ：当取1a =，1b =-时，11b a <，∴本命题是假命题. 选项B ：已知0a b >>，0cd <<，所以110dc->->，∴abd c ->-，故abd c <，∴本命题是真命题. 选项C ：222211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，∵0c <，∴22cca b >，∴本命题是真命题. 选项D ：111100b aa b a b ab->⇒->⇒>， ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab <，∴本命题是真命题. 故选：BCD【点睛】本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题． 12．AB 【解析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件.【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞，故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.13．20,30x x ax ∃≥-+≤【分析】直接利用存在量词写出其否定即可. 【详解】因为命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>， 所以其否定p ⌝：20,30x x ax ∃≥-+≤.故答案为：20,30x x ax ∃≥-+≤.14．()5,6【分析】根据充分与必要条件，可得p ，q ，r 中集合的包含关系，再根据区间端点列式求解即可.【详解】易得:610p x ≤≤．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则AC ，CB ，则016210a a a >⎧⎪≤<⎨⎪>⎩，解得56a <<，即实数a 的取值范围是()5,6．故答案为：()5,615．{}1,2【分析】先求出集合B 中的元素，再由C 的子集有4个，可知集合C 中只有2个元素，然后分1,2a a ==和1a ≠且2a ≠三种情况求解即可.【详解】由2(1)0x a x a -++=，得1x =或x a =， 因为集合C = A B ，且C 的子集有4个， 所以集合C 中只有2个元素， ①当1a =时，{}1B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以1a =满足题意，②当2a =时，{}1,2B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以2a =满足题意， ③当1a ≠且2a ≠时，{}1,B a =， 因为{}1,2A =，所以{}1,2,A B a =，即{}1,2,C a =，不合题意，综上，1a =或2a =，所以实数a 的取值集合为{}1,2， 故答案为：{}1,216．32-【分析】由题知3a <，进而分0<<3a 和0a <两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为3a b +=，0b >，所以30b a =->，即3a <．当0<<3a 时，11173||99999a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+， 当且仅当34a =时取等号，所以当34a =时，13a a b+取得最小值79；当0a <时，11139999a a b a b a a ba b a b ++=--=---≥-+59=， 当且仅当32a =-时取等号，所以当32a =-时，13a a b+取得最小值59．综上所述，当32a =-时，13a a b+取得最小值．故答案为：32-17．(1)11a b <(2)()()()()3746x x x x ++<++【分析】（1）利用差比较法比较大小. （2）利用差比较法比较大小.(1)11110,0,0,0,b a b a ab b a a b ab a b-<<>-<-=<<.(2)()()()()()()()()4630,737634x x x x x x x x ++=-<-+<+++++.18．(1){|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或；(2)52m ≤． 【分析】（1）由并集的定义及补集的定义进行计算即可； （2）BC C =等价于C B ⊆，按B =∅和B ≠∅讨论，分别列出不等式，解出实数m 的取值范围． (1)∵集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<， ∴{|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或.(2) 因为BC C =，所以C B ⊆，当B =∅时，则121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，则12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得522m <≤；综上，实数m 的取值范围为52m ≤.19．（1）8,7a b ==；（2）11(,)(,)87-∞-⋃+∞【分析】（1）由解集得到方程20x ax b -+=的根，利用韦达定理可求,a b ．（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}17x x <<． 所以20x ax b -+=的解是1和7．故1771ab +=⎧⎨⨯=⎩，解得 87a b =⎧⎨=⎩． （2）由101ax bx +>-得81071x x +>-，即()()81710x x +->， 解得18x <-或17x >，故原不等式的解集为11(,)(,)87-∞-⋃+∞． 20．（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y xx y x y x y x y +=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y +=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥，当且仅当82x y =，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥， 所以xy 的最小值为64. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+， 当且仅当82y xx y =，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．(1)[0，254] (2){}|2a a <【分析】（1）首先求解集合A ，再求二次函数的值域；（2）首先将不等式，参变分离得2452x x a x -+-<-，转化为求函数的最值，即可求解. （1）2230x x --≤等价于()()2310x x -⋅+≤，．解得312x -≤≤所以3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭． ∴二次函数223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 函数在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当32x =时，y 取最大值为254， 当1x =-时，y 取最小值为0，所以二次函数234y x x =-++．x A ∈的值域是[0，254]． （2）由（1）知3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ∵()24520x a x a +-+->恒成立． 即24520x ax x a +-+->恒成立．∴()2245x a x x -⋅>-+-恒成立． ．∵312x -≤≤．∴20x -<．()()222214545122222x x x x x a x x x x x-+-+--+∴<===-+----∵20x ->，∴()1222x x-+≥-．． 当且仅当122x x -=-且312x -≤≤时，即1x =时，等号成立，． ∴2a <，故a 的取值范围为{}|2a a < 22．(1)31a b ==， (2)32a -≤<-或45a <≤ (3)53a ≥-【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值；（2）由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<，令()()2322h x x a x a =-+++，求出()0h x <解集中恰有3个整数时a 的取值范围即可．（3）由()f x b ≥在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立，化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，，()2111t t g t t t t+-==-+，求出()g t 的最大值，进一步求出实数a 的取值范围；(1)解：因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，又()0f x >的解集为{2|x x <或4}x >，所以2，4方程()23210x a x a b -++++=的两根，由()2432421a a b ⎧+=+⎨⨯=++⎩， 解得31;a b ==， (2)由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<， 令()()2322h x x a x a =-+++，则()()()()12h x x a x =-+-，知()20h =，故()0h x <解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1；①若解集中的3个整数是3，4，5，则516a <+≤，得45a <≤；②解集中的3个整数是1-，0，1；则211a -≤+<-，得32a -≤<-；综上，由①②知，实数a 的取值范围为32a -≤<-或45a <≤． (3)因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，由()f x b 在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立， 化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，， 设()2111t t g t t t t +-==-+，因为在()g t 在[]53--，上单调递增， 即()153133g t --+=--，所以53a ≥-． 23．(1)40吨(2)不会获利，700万元【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.（2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，再结合二次函数的性质，即可求解. （1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本1600()40yP x x x x==+-，3050x ≤≤，当3050x ≤≤时，1600()404040P x x x =+-≥=， 当且仅当1600x x=，即40x =等号成立， 故()P x 取得最小值为(40)40P =，故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. （2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ， 则()2220401600(30)700S x xx x =--+=---，当3050x ≤≤时，max 7000S =-<，故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.。
高中数学必修一期末试卷(附答案)
一、选择题1．设()31xf x =-，若关于x 的函数2()()(1)()g x f x t f x t =-++有三个不同的零点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．()0,2 C ．()0,1 D ．(]0,12．设函数3,()log ,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩()0a >， 若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a的取值范围是（ ） A ．. ()0,2B ．()0,9C ．()9,+∞D ．()()0,29,⋃+∞3．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若a b c <<，且满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．(],1-∞-C ．[]2,0-D ．[]4,0-4．下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5+=+ B ．2221log 3log 32-= C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2= 5．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ） A ．134217728B ．268435356C ．536870912D ．5137658026．若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤7．已知函数223,()11,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，对于任意两个不相等的实数1x ，2x R ∈，都有不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．[]0,3C ．[]3,4D ．[]2,48．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞10．已知x ，y 都是非零实数，||||||x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（ ） A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉11．已知}{|21M x x =-<<，3|0x N x x ⎧-⎫=≤⎨⎬⎭⎩，则M N ⋂=（ ） A ．()0,1 B ．[)0,1C ．(]1,3D ．[]0,312．如果集合{}2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1-二、填空题13．已知函数()22,0,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，则实数m 的取值范围是_________．14．若y a x =的图象与直线y x a =+（0a >）有两个不同交点，则a 的取值范围是__________.15．方程()()122log 44log 23xx x ++=+-的解为____；16．已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．17．关于函数()11f x x =+-的性质描述，正确的是_________.①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.18．已知函数()2f x x =，()1g x a x =-，a 为常数，若对于任意1x ，[]20,2x ∈，且12x x <，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-则实数a 的取值范围为________.19．已知集合2|230A x x x ，{}|0B x x a =-=，若B A ≠⊂，则实数a 的值为______.20．设a ，b ，c 为实数，()()()2f x x a x bx c =+++，()()()211g x ax cx bx =+++，记集合(){}|0,S x f x x R ==∈，(){}|0,T x g x x R ==∈，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论可能成立的是________．①1S =，0T =；②1S =，1T =；③2S =，2T =；④2S =，3T =.三、解答题21．新冠肺炎疫情发生后，某公司生产A 型抗疫商品，第一个月是为国内生产，当地政府决定对该型商品免税，该型商品出厂价为每件20元，月销售量为12万件；后来国内疫情得到有效控制，从第二个月开始，该公司为国外生产该型抗疫商品，当地政府开始对该型抗疫商品征收税率为%p (0100p <<，即销售1元要征收100p元)的税，于是该型抗疫商品出厂价就上升到每件100202p-元，预计月销售量将减少2p 万件.（1）将第二个月政府对该商品征收的税y (万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二个月该公司缴纳的税额不少于1万元的前提下，又要让该公司当月获得最大销售金额，p 应为多少？22．已知函数22,01,()ln ,1x x f x x x e-≤<⎧=⎨≤≤⎩，其中e 为自然对数的底数．（1）求(f f 的值；（2）作出函数()()1F x f x =-的图象，并指出单调递减区间(无需证明) ；（3）若实数0x 满足00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的二阶不动点，求函数()f x 的二阶不动点的个数．23．已知函数35()log 5xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论.24．已知函数()f x ()()4log 41xkx k R =++∈的图象关于y 轴对称．（1）求实数k 的值（2）设函数()g x 12421f x xx m +=+⋅-（），[]20log 3x ∈，，是否存在实数m ， 使得()g x 的最小值为0？若存在， 求出m 的值，若不存在说明理由．25．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”（1）已知函数()23f x cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”，并说明理由；（2）设()1423xx f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围26．已知集合{|A x y ==，{}22|60B x x ax a =--<，其中0a ≥.（1）当1a =时，求集合A B ⋃，()R C A B ⋂； （2）若()R C A B B ⋂=，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由()0g x =得()1f x =或()f x t =，作出函数()f x 的图象，可得()f x t =需有两解，有此可得t 的范围． 【详解】据题意()0g x =有三个解．由()0g x =得()1f x =或()f x t =，易知()1f x =只有一个解， ∴()f x t =必须有两解， 由图象知01t <<． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题时根据零点的定义化为方程()0g x =的解的个数，进而转化为()f x t =的解的个数，再利用数形结合思想，考虑函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数问题．掌握转化思想是解题关键．2．D解析：D 【分析】函数()2y f x =-有且仅有两个零点等价于()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，数形结合即可求出a 的取值范围. 【详解】令2x =可得12x =-，22x =；令3log 2x =得39x =函数()2y f x =-有且仅有两个零点等价于()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，作3,()log ,x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩()0a >图象如图：当02a <<时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，交点横坐标为12x =-，39x =，符合题意；当29a ≤≤时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有3个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，39x =，不符合题意；当9a >时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有2个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，不符合题意；所以a 的取值范围是：()()0,29,⋃+∞， 故选：D 【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数的范围，函数的零点转化为对应方程的根，转化为函数图象的交点，属于中档题.3．A解析：A 【分析】画出()f x 的图象结合图象，求得1bc =、求得a 的取值范围，由此求得abc 的取值范围. 【详解】由函数()f x 的图象（如图），可知1022a b c ≤<≤<≤，由22log log b c =得22log log b c -=，所以1bc =，所以(],0abc a =∈-∞．故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，属于中档题.4．D解析：D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断． 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误；222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误； 3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n≠． 5．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.6．B解析：B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2xy -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可得结果. 【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.7．C解析：C 【分析】根据题意，可得()f x 在R 上为单调递增函数，若x a ≥时为增函数，则3a ≥，若x a <时为增函数，则0a >，比较x=a 处两函数值的大小，即可求得答案， 【详解】因为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在R 上为单调递增函数， 当x a ≥时，2()23f x x x =--的图象如图所示：因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以3a ≥， 当x a <时，()11f x ax =-为增函数，所以0a >， 且在x=a 处222311a a a --≥-，解得4a ≤， 综上34a ≤≤， 故选：C. 【点睛】解题的关键是熟悉分段函数单调性的求法，根据单调性，先分析分段点两侧单调性，再比较分段点处函数值的大小即可，考查推理分析，化简计算的能力，属中档题.8．B解析：B 【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误；综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．9．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x y xyz x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 【详解】当0x >，0y >时，1113z =++=； 当0x >，0y <时，1111z =--=-； 当0x <，0y >时，1111z =-+-=-； 当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.11．A解析：A 【分析】根据分式不等式的解法，求得{}03N x x =<≤，再结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}3|003x N x x x x ⎧-⎫=≤=<≤⎨⎬⎭⎩， 又由}{|21M x x =-<<，所以{}()010,1M N x x ⋂=<<=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解集合N 是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12．D解析：D 【分析】由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解，分0a =和00a ≠⎧⎨∆=⎩两种情况讨论，可得出实数a 的值. 【详解】由题意得知关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数解.当0a =，{}12102A x x ⎧⎫=--==-⎨⎬⎩⎭，合乎题意；当0a ≠时，则440a ∆=+=，解得1a =-. 综上所述：0a =或1-，故选D. 【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.二、填空题13．【分析】先将函数与轴有个交点转化成与的交点问题再作出分段函数的图像利用数形结合求得范围即可【详解】依题意函数与轴有个交点即与有3个交点作分段函数的图像如下由图可知的取值范围为故答案为：【点睛】方法点 解析：()0,1【分析】先将函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点，转化成()y f x =与y m =的交点问题，再作出分段函数()y f x =的图像，利用数形结合求得m 范围即可. 【详解】依题意，函数()()g x f x m =-与x 轴有3个交点， 即()y f x =与y m =有3个交点，作分段函数()22,0,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩的图像如下，由图可知，m 的取值范围为()0,1. 故答案为：()0,1. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.14．【分析】首先根据已知题意画出图形然后根据数形结合分析的取值范围需要注意为的斜率【详解】根据题意的图象如图：结合图象知要想有两个不同交点的斜率要大于的斜率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数图象 解析：()1,+∞【分析】首先根据已知题意画出图形，然后根据数形结合分析a 的取值范围，需要注意a 为y ax =的斜率. 【详解】根据题意y a x =的图象如图：()0a >，结合图象知，要想有两个不同交点y ax ∴=的斜率要大于y x a =+的斜率a ∴的取值范围是1a >.故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查函数图象的交点问题，考查数形结合能力，属于中等题型.15．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【详解】解：可得即：解得（舍去）可得经检验是方程的解故答案为：【点睛】本题考查方程的解的求法对数的运算法则的应用考查计算能力 解析：2【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可． 【详解】 解：()()122log 44log 23x x x ++=+-()()1222log 44log log 232x x x +∴+=+-可得()()122log 44log 232x x x++=-⎡⎤⎣⎦， 即：()144232x x x++=-，()223240xx -⋅-=，解得21x =-（舍去）24x =，可得2x =．经检验2x =是方程的解． 故答案为：2． 【点睛】本题考查方程的解的求法，对数的运算法则的应用，考查计算能力．16．【分析】分两种情况讨论当时结合图象可知；当时再分两种情况讨论分离参数后化为函数的最值可解得结果【详解】当时则恒成立等价于恒成立函数的图象如图：由图可知；当时所以恒成立等价于恒成立若则若则恒成立所以综 解析：10a -≤≤【分析】分0x >，0x ≤两种情况讨论，当0x >时，结合图象可知0a ≤；当0x ≤时，再分0x =，0x <两种情况讨论，分离参数后化为函数的最值可解得结果. 【详解】当0x >时，()ln(1)0f x x =+>，则|()|f x ax ≥恒成立等价于ln(1)x ax +≥恒成立，函数ln(1)y x =+的图象如图：由图可知0a ≤；当0x ≤时，2()0f x x x =-+≤，所以|()|f x ax ≥恒成立等价于2x x ax -≥恒成立，若0x =，则a R ∈，若0x <，则1a x ≥-恒成立，所以1a ≥-， 综上所述：10a -≤≤. 故答案为：10a -≤≤ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；17．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单解析：①②④ 【分析】求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】函数()f x =21011x x ⎧-⎪⎨+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒，当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()11f x x x==+-，则()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.18．02【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x1x2∈02且x1＜x2都有f （x1）﹣f （x2）＜g （x1）﹣g （x2）即f （x1）﹣g （x1）＜f解析：[0，2] 【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可，当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x ＝12a≤，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x ＝02a-≤，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2] 【点睛】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．19．-1或3【分析】解方程用列举法表示集合AB 由即得解【详解】集合若故a=-1或3故答案为：-1或3【点睛】本题考查了集合的包含关系考查了学生概念理解数学运算能力属于基础题解析：-1或3 【分析】解方程，用列举法表示集合A ，B ，由B A ≠⊂，即得解. 【详解】 集合2|230{1,3}Ax x x ，{}|0{}B x x a a =-==若B A ≠⊂，故a =-1或3 故答案为：-1或3 【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.20．①②③【分析】①根据得到方程无实根推出或；再由此判断根的个数即可判断①；②取分别判断根的个数即可判断②；③取分别判断根的个数即可判断③；④当时方程有三个根所以由此求根的个数即可判断④【详解】①当时方解析：①②③ 【分析】①根据0T =，得到方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，推出0a =，240b c -<或0a b c ===；再由此判断()0f x =根的个数，即可判断①；②取240a b c ≠⎧⎨-<⎩，分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断②；③取20040a c b c ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断③；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，由此求()0f x =根的个数，即可判断④.【详解】①当0T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，所以0a =，240b c -<或0a b c ===；当0a b c ===时，()3f x x =，由()0f x =得0x =，此时1S =；当0a =，240b c -<时，()()2=++f x x x bx c ，由()0f x =得0x =，此时1S =；故①成立； ②当2040a b c ≠⎧⎨-<⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-，即1S =；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1x a=-；即1T =；存在②成立；③当20040a cbc ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得 1x a =-或2=-x b；只需2b a ≠，即可满足2S =，2T =；故存在③成立；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，设0x 为()0g x =的一个根，则00x ≠，且200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()03010g x x ==，故01x 为方程()0f x =的根．此时()0f x =有三个根，即3T =时，必有3S =，故不可能是2S =，3T =；④错；故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查方程根的个数与集合的综合，会判断方程根的个数即可，属于常考题型.三、解答题21．（1）2610p p y p-=-，定义域为()0,6；（2）2p =时，公司销售金额最大.【分析】（1）由题可得第二个月该商品销量为()122p -万件，月销售收入为100(122)202p p-⋅-万元，则可得出对该商品征收的税； （2）由1y ≥可得25p ≤≤，销售收入()100(6)()2510p g p p p-=≤≤-单调递减，即可求出最值. 【详解】解：（1）依题意，第二个月该商品销量为()122p -万件， 月销售收入为100(122)202p p-⋅-万元，当地政府对该商品征收的税为100(122)(6)20210010p py p p p p=-⋅⋅=-⋅--(万元).所以所求函数为2610p p y p-=-. 由60p ->及0p >得，所求函数的定义域为()0,6.（2）由1y ≥得26110p p p-≥-化简得27100p p -+≤， 即(2)(5)0p p --≤，解得25p ≤≤， 所以当25p ≤≤，税收不少于1万元；第二个月，当税收不少于1万元时，公司的销售收入为()100(6)()2510p g p p p-=≤≤-，因为100(6)400()1001010p g p p p -==+--在区间[]2,5上是减函数，所以max ()(2)50g p g ==(万元). 所以当2p =时，公司销售金额最大.【点睛】本题考查函数的实际应用，解题的关键是正确理解题目，建立正确的函数关系式，根据函数的单调性求最值.22．（1）(())1f f e =；（2）图象见解析，递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）3【分析】（1）分段函数求值，根据x 的范围代入即可；（2）画出函数图象，结合图象求出函数单调性；（3）写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数 【详解】解：（1）因为1e >，所以1()2f e ln e ==，所以1(())()12f f e f ==． （2）()|()1|F x f x =-，所以函数图象如下所示：递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]1,e ．（3）根据题意，012x，(())(22)f f x ln x =-，当112x <<，(())42f f x x =-，当1x e ，(())22f f x lnx =-，当012x时，由(())(22)f f x ln x x =-=，记()(22)g x ln x x =--，则()g x 在1[0,]2上单调递减，且(0)20g ln =>，11()022g =-<， 故()g x 在1[0,]2上有唯一零点1x ，即函数()f x 在1[0,]2上有唯一的二阶不动点1x ． 当112x <<时，由(())42f f x x x =-=，得到方程的根为223x =，即函数()f x 在1(,1)2上有唯一的二阶不动点223x =． 当1x e 时，由(())22f f x lnx x =-=，记()22h x lnx x =--，则()h x 在[1，]e 上单调递减，且()110h =>， ()0h e e =-<，故()h x 在[1，]e 上有唯一零点3x ，即函数()f x 在[1，]e 上有唯一的二阶不动点3x ． 综上所述，函数()f x 的二阶不动点有3个． 【点睛】（1）这是分段函数求值，基础题；（2）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（3）这道题难点是要写出(())f f x 分段函数，根据(())f f x x =，求出解的个数，一定注意x 的范围．23．（1）(5,5)- （2）奇函数，见解析 【分析】（1）若()f x 有意义,则需满足505xx->+,进而求解即可； （2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系即可. 【详解】 （1）由题,则505xx->+,解得55x -<<,故定义域为()5,5- （2）奇函数,证明:由（1）,()f x 的定义域关于原点对称, 因为()()33355log log log 1055x xf x f x x x+--+=+==-+,即()()f x f x -=-, 所以()f x 是奇函数 【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明. 24．（1）12-；（2）1-． 【分析】（1）根据()()()4log 41xf x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．得到()()f x f x -=，再利用待定系数法法求解.（2）由（1）知()42=+⋅xx g x m ，[]20log 3x ∈，，令2x t =，[]13t ∈，得到2=+⋅y t m t ，然后利用二次函数的图象和性质求解.【详解】 （1）()()()4log 41x f x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．∴函数()f x 是偶函数．()()f x f x ∴-=，即()()44log 41log 41xx kx kx -+-=++，即()()()44log 411log 41xxk x kx +-+=++，即210k +=，12k ∴=-；（2）()1242142（）+=+⋅-=+⋅f x xx x x g x m m ，[]20log 3x ∈，，设2x t =，则[]13t ∈，， 2∴=+⋅y t m t 在[]13t ∈，上最小值为0，又22()24m m y t =+-，[]13t ∈，，当12m-≤ 即2m ≥-时，1t =时10min y m =+=， 1m ∴=-，符合，当132m -<-< 即62m -<<-时，2m t =-时，204min m y =-=，0m ∴= 不符合，当32m-≥ 即6m ≤-时，3t =时，930min y m =+=， 3m ∴=-，不符合， 综上所述m 的值为1-． 【点睛】本题主要考查偶函数的应用，对数运算以及二次函数的图象和性质的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 25．（1）是；答案见解析；（2）1m -. 【分析】（1）特殊值验证使得()()f x f x -=-即可；（2）因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求函数值域问题，进而可以求解．【详解】解：（1）因为()2cos()2cos()2(22323f πππππ-=--=+=⨯=()2cos()2223f πππ=-==()()22f f ππ-=-， 所以存在02=x π使得函数()f x 为“M 类函数”；（2）由已知函数1()423x x f x m +=--满足：()()f x f x -=-，则化简可得：442(22)60x x x x m --+-+-=⋯①令222x x t -=+，则2442x x t -+=-，所以①可化为：2280t mt --=在区间[2，)+∞上有解可使得函数()f x 为“M 类函数”， 即18()2m t t=-在[2，)+∞有解， 而函数18()2t t -在[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，有最小值为18(2)122-=-， 所以1m -，故实数m 的取值范围为：[1-，)+∞．【点睛】本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 26．()[)()13,3,()1,3R A B C A B ⋃=-⋂= ()20a =【分析】（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数a 的取值范围.【详解】(1){()(){}[]||3103,1A x y x x x ===+-≥=-当1a =时，{}{}()222|60|602,3B x x ax a x x x =--<=--<=-, 所以[)3,3,A B ⋃=-因为()()(),31,R C A =-∞-⋃+∞,所以()()1,3R C A B ⋂=(2)因为()R C A B B ⋂=，所以R B C A ⊆,当B =∅时,0a =,满足条件，{}()220|602,3a B x x ax a a a >=--<=-当时,不满足条件，因此0a =.【点睛】防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.。
高一数学期末考试试题及答案
高一数学期末考试试题及答案高一期末考试试题一、选择题1.已知集合M={x∈N/x=8-m,m∈N}，则集合M中的元素的个数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：B。
解析：当m=1时，x=7；当m=2时，x=6；当m=3时，x=5；当m=4时，x=4；当m=5时，x=3；当m=6时，x=2；当m=7时，x=1；当m=8时，x=0.因此，集合M中的元素的个数为8.2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB=26，则实数x的值是（）A.−3或4 B.6或2 C.3或−4 D.6或−2答案：C。
解析：根据勾股定理，AB=√[(x-2)²+(1-3)²+(2-4)²]=√[(x-2)²+4]。
因为AB=26，所以√[(x-2)²+4]=26，解得x=3或-7.但是题目中说了点A的横坐标为实数，所以x=3.3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）A.1:3 B.1:3 C.1:9 D.1:81答案：B。
解析：设两个球的半径分别为r1和r2，则它们的表面积之比为4πr1²:4πr2²=1:9，化简得.4.圆x+y=1上的动点P到直线3x−4y−10=0的距离的最小值为（）A.2 B.1 C.3 D.4答案：A。
解析：首先求出直线3x−4y−10=0与圆x+y=1的交点Q，解得Q(2,-1)，然后求出点P到直线的距离d，设P(x,y)，则d=|(3x-4y-10)/5|，根据点到直线的距离公式。
将P点的坐标代入d中，得到d的表达式为d=|(3x-4y-16)/5|。
将d表示成x和y的函数，即d=f(x,y)=(3x-4y-16)/5，然后求出f(x,y)的最小值。
由于f(x,y)的系数3和-4的比值为3:4，所以f(x,y)的最小值为f(2,-1)=-2/5，即P点到直线的最小距离为2/5，取整后为2.5.直线x−y+4=0被圆x²+y²+4x−4y+6=0截得的弦长等于（）A.12B.22C.32D.42答案：B。
高一数学必修1期末试卷及答案
高一数学必修1期末试卷及答案高中数学必修一期末试卷一、选择题。
（共12小题，每题5分）1、设集合A={x| x>-1}，则（）A、XXXB、2 ∉AC、2∈AD、2 ∈ { }改写：集合A由所有大于-1的实数x组成。
2．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A．f(x)=|x|，g(x)=x-1/x-1B．f(x)=log2(x+1)，g(x)=2log2(x-1)C．f(x)=x2-1/x2-1，g(x)=x-1D．f(x)=g(x)改写：哪一组函数表示同一个函数？3、设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=（）A、{1，2}B、{1，5}C、{2，5}D、{1，2，5}改写：如果A和B的交集是{2}，那么A和B的并集是什么？4、函数f(x)=(x-1)/(x-2)的定义域为（）A、[1，2)∪(2，+∞）B、(1，+∞）C、[1，2)D、[1，+∞)改写：函数f(x)=(x-1)/(x-2)的x的取值范围是什么？5、设集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是（）删除：题目中的图形6、三个数7.3，0.3，㏑0.3，的大小顺序是（）A、7>0.3>㏑0.3B、7>0.3>㏑0.3C、0.3>7>㏑0.3D、㏑0.3>7>0.3>3改写：将三个数按照从大到小的顺序排列。
7、若函数f(x)=x+x-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2f(1.25)=-0.984f(1.438)=0.165f(1.5)=0.625f(1.375)=-0.260f(1.4065)=-0.052那么方程x+x-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5改写：使用二分法逐次计算函数f(x)=x+x-2x-2的一个正数零点附近的函数值，给出下表：x。
2022-2023学年河南省郑州一中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年河南省郑州一中高一（上）期末数学试卷1. 若集合A={x|x>1}，B={x|x2−2x−3≤0}，则A∩B=( )A. (1,3]B. [1,3]C. [−1,1)D. [−1,+∞)2. sin20∘cos40∘+sin70∘sin40∘=( )A. 14B. √34C. 12D. √323. 设函数f(x)={g(x)+2,x>0log2(1−x),x≤0，若f(x)是奇函数，则g(3)的值是( )A. 2B. −2C. 4D. −44. 函数f(x)=(4−x2)ln|−x|的图象是( )A. B.C. D.5. 已知a=log23，b=2−0.4，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b6. 下列命题中正确的个数是( )①命题“∃x∈R，x2+1<0”的否定是“∀x∈R，x2+1≥0”；②函数f(x)=9x−lgx的零点所在区间是(9,10)；③若α+β=3π4，则tanα+tanβ−tanαtanβ=1；④命题p：x≥3，命题q：2x−1≤1，命题p是命题q的充要条件．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. “不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点．今日距离高考还有936天，我们可以把(1+1%)936看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是1.01936≈11086.79；而把(1−1%)936看作是每天“退步”率都是1%.高考时是0.99936≈0.000082.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过天(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956)( )A. 200天B. 210天C. 220天D. 230天8. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的最小正周期为2，且函数图像过点(13,1)，若f(x)在区间[−2,a]内有4个零点，则a的取值范围为( )A. [116,176) B. (116,176] C. [176,236) D. (176,236]9. 下列命题中正确的是( )A. 存在实数α，使sinα⋅cosα=1B. 函数y=sin(3π2+x)是偶函数C. 若α是第一象限角，则α2是第一象限或第三象限角D. 若α，β是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 2a+b=0B. 4a+2b+c<0C. 9a+3b+c<0D. abc<011. 已知a，b为正数，a+b+ab=8，则下列说法正确的是( )A. log ab(a+b)>1B. 1a +1b的最小值为1C. 2a+2b的最小值为8D. a+2b的最小值为6√2−312. 设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，当x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1.则下列说法正确的是( )A. f(2022)=1B. 当x∈[4,6]时，f(x)的取值范围为[−1,0]C. y=f(x−1)为奇函数D. 方程f(x)=log9(x+1)仅有3个不同实数解13. 点A(sin1919∘,cos1919∘)是第______象限角终边上的点．14. 函数y =a x−2+7的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)=______.15. 将函数y =3sin(x +π12)的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数y =f(x)的图象，若方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，则k 的取值范围为______.16. 已知a ∈R ，b >0，若存在实数x ∈[0,1),使得|ax −2b|≤a −2bx 2成立，则ab 的取值范围为______.17. 设全集U =R ，集合A ={x|4−xx+1>0}，集合B ={x|x 2−2ax +a 2−1<0}，其中a ∈R.(1)当a =4时，求∁U A ∩B ；(2)若x ∈∁U A 是x ∈∁U B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点P(−35,45)，角α的终边逆时针旋转π4得到角β的终边． (1)求tanβ的值； (2)求cos(α+β)的值．19. 已知函数f(x)=log 3x.(1)设函数g(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式； (2)已知集合A ={x|3log 32x −20log 9x +3≤0}.①求集合A；②当x∈A时，函数ℎ(x)=f(x3a )⋅f(x9)的最小值为−2，求实数a的值．20. 已知f(x)=4cosωx⋅sin(ωx−π6)+1(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求关于x的不等式f(x)>1的解集；(2)求f(x)在[0,π]上的单调区间．21. 某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)=10+kx(k为常数，且k>0)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：(1)给出以下四个函数模型：①Q(x)=ax+b；②Q(x)=a|x−m|+b；③Q(x)=a⋅b x；④Q(x)=a⋅log b x.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值．22. 已知函数f(x)=x2−2x−a2+2a，(a∈R)，集合A={x|f(x)≤0}.(1)若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围；(2)集合B={x|f(f(x)+b)≤0}，若存在实数a≤1，使得A⊆B，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|x >1}，B ={x|−1≤x ≤3}，∴A ∩B =(1,3].故选：A.可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：sin20∘cos40∘+sin70∘sin40∘=sin20∘cos40∘+cos20∘sin40∘=sin(20∘+40∘)=sin60∘=√32，故选：D.由两角和的正弦公式，结合诱导公式求解即可．本题考查了两角和的正弦公式，重点考查了诱导公式，属基础题．3.【答案】D【解析】解：函数f(x)={g(x)+2,x >0log 2(1−x),x ≤0，若f(x)是奇函数，则f(3)=g(3)+2=−f(−3)=−log 2(1+3)=−2， 可得g(3)=−4， 故选：D.由奇函数的定义和对数的运算性质可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)=(4−x 2)ln|−x|，其定义域为{x|x ≠0}， 有f(−x)=(4−x 2)ln|−x|=f(x)，则函数f(x)为偶函数，排除AD ， 在区间(0,1)上，4−x 2>0，ln|−x|=lnx <0，则f(x)<0，排除C ， 故选：B.根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AD ，再分析区间(0,1)上，函数的符号，排除C ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：a =log 23>log 22=1，∵b =2−0.4=0.50.4，y =0.5x 在R 上单调递减， ∴b =0.50.4>0.52.1=c ， ∵0<b <1，0<c <1，∴a >b >c.故选：C.根据已知条件，结合对数函数的公式，以及指数函数的单调性，即可求解． 本题主要考查对数函数的公式，以及指数函数的单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：①，特称命题的否定为全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2+1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≥0”正确；②，函数f(x)=9x−lgx 在(0,+∞)上单调递减，又f(9)=1−lg9>0,f(10)=910−1=−110<0，则f(9)f(10)<0，由函数零点存在性定理可知，函数f(x)在(9,10)上存在零点，正确； ③，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，则tanα+tanβ−tanαtanβ=−1，错误； ④，由2x−1≤1，可得2−(x−1)x−1≤0，即x−3x−1≥0，解得x <1或x ≥3，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件，错误． 故选：B.根据特称命题的否定为全称命题可判断选项A ；根据函数零点存在性定理可判断选项B ；由正切的和角公式可判断选项C ；由充要条件的定义可判断选项D.本题主要考查命题的真假判断，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：设经过x 天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，则1.01x 0.99x=100，即x =log 1.010.99100=2lg1.01−lg0.99=2lg101−lg99≈230天．故选：D.由题设有1.01x0.99x=100，应用指对数互化及对数的运算性质求x 值即可．本题考查指对数的运算，考查分析问题解决问题以及运算求解能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由最小正周期T=2=2πω，可得ω=π.因为函数f(x)图象过点(13,1)，所以sin(π3+φ)=1，所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以k=0时，φ=π6，所以f(x)=sin(πx+π6).当x∈[−2,a]时，πx+π6∈[−2π+π6,πa+π6]，因为f(x)在[−2,a]内有4个零点，所以2π≤πa+π6<3π，所以116≤a<176，所以a的取值范围为[116,17 6).故选：A.由三角函数的周期公式和f(13)=1，可得ω，φ的值，进而得到f(x)的解析式，再结合f(x)在区间[−2,a]内有4个零点，得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围即可．本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查转化思想和方程思想，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：对于A，由sinα⋅cosα=1，得12sin2α=1，即sin2α=2>1，故错误；对于B，函数y=sin(3π2+x)=−cosx是偶函数，故正确；对于C，若α是第一象限的角，则2kπ<α<2kπ+π2，k∈Z，则kπ<a2<kπ+π4，可得α2是第一象限或第三象限角，故正确；对于D，若α=390∘，β=30∘，满足条件α，β是第一象限角，且α>β，但sinα=sinβ，故错误．故选：BC.对于A，利用二倍角的正弦公式及正弦函数的性质即可求解；对于B，利用诱导公式，余弦函数的性质即可求解；对于C，根据象限角的概念即可求解；对于D，取特例，若α=390∘，β=30∘，满足条件，但sinα=sinβ，即可判断得解．本题主要考查了二倍角的正弦公式，正弦函数的性质，诱导公式，余弦函数的性质，象限角的概念，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：由图象知，抛物线开口向下，所以a <0，令x =0，则y =c >0， 二次函数的对称轴为x =−b 2a=1，所以2a +b =0，故A 正确；因为对称轴为x =1，所以x =2与x =0对应的函数值相等，由图可得x =0时，y >0，则x =2时，则y =4a +2b +c >0，故B 错误； 因为对称轴为x =1，所以x =−1与x =3对应的函数值相等，由图可得x =−1时，y <0，则x =3时，y =9a +3b +c <0，故C 正确； 因为x =−b2a =1，a <0，所以b >0，则abc <0，故D 正确； 故选：ACD.通过图象开口向下可得a <0，可判断抛物线与y 轴的交点纵坐标为c >0，抛物线对称轴为x =−b 2a=1，进而得到b >0以及ab 的关系式，即可判断A ；根据对称轴以及二次函数对称性可判断B ，C ，本题考查了抛物线与轴的交点，关键是对二次函数性质和特殊值法的应用，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：因为a +b =8−ab ≥2√ab ，解得0<ab ≤4， 且ab =8−(a +b)≤(a+b 2)2，解得a +b ≥4，当且仅当a =b 时取等号，A ：log ab (a +b)−1=log ab a+b ab=log ab (8ab−1)≥log ab 1=0，当且仅当a =b =2时取等号，所以log ab (a +b)≥1，故A 错误， B ：1a+1b=a+b ab=8ab−1≥1，当且仅当a =b =2时取等号，故B 正确，C ：2a +2b ≥2√2a ⋅2b =2√2a+b ≥2√24=8，当且仅当a =b =2时取等号，故C 正确，D ：由已知可得a =8−b1+b，则a +2b =8−b1+b+2b =2b 2+b+81+b=2(1+b)2−3(1+b)+91+b=2(1+b)+91+b−3≥2√2(1+b)⋅91+b −3=6√2−3， 当且仅当b =3√22−1，a =3√2−1时取等号，故D 正确，故选：BCD.利用基本不等式求出0<ab ≤4，a +b ≥4，然后根据基本不等式以及统一变量思想对各个选项逐个化简即可判断求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：因为f(−x)=−f(x −2)，所以f(x)=−f(−x −2)，因为f(x)=f(2−x)，故f(2−x)=−f(−x −2)，所以f[2−(2−x)]=−f[−(2−x)−2]，即f(x)=−f(x−4)，所以f(x−4)=−f(x−8)，所以f(x)=f(x−8)，所以y=f(x)的周期为8，因为2022=8×252+6，所以f(2022)=f(6)，因为f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，所以f(6)=f(2−6)=f(−4)=−f(4−2)=−f(2)=−f(2−2)=−f(0)，因为x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1，所以f(0)=−02+1=1，故f(6)=−f(0)=−1，A错误；当x∈[4,5]，x−4∈[0,1]，所以f(x)=−f(x−4)=−[−(x−4)2+1]=(x−4)2−1∈[−1,0]，当x∈(5,6],2−x∈[−4,−3)，2−x+4=6−x∈[0,1),所以f(x)=f(2−x)=−f(2−x+4)=−f(6−x)=−[−(6−x)2+1]=(x−6)2−1∈[−1,0),综上：当x∈[4,6]时，f(x)的取值范围为[−1,0]，B正确；因为f(−x)=−f(x−2)，所以f(x)关于(−1,0)对称，故y=f(x−1)关于原点中心对称，所以y=f(x−1)为奇函数，C正确；画出y=f(x)与g(x)=log9(x+1)的图象，如下：显然两函数图象共有4个交点，其中x4=8，所以方程f(x)=log9(x+1)仅有4个不同实数解，D错误．故选：BC.根据f(x)=f(2−x)，f(−x)=−f(x−2)，推导出f(x)=f(x−8)，所以y=f(x)的周期为8，可判断A；根据函数性质求出x∈[4,5]，f(x)=(x−4)2−1∈[−1,0]，当x∈(5,6]时，f(x)=(x−6)2−1∈[−1,0),从而确定f(x)的取值范围，可判断B；根据f(−x)=−f(x−2)得到f(x)关于(−1,0)中心对称，从而y=f(x−1)关于原点中心对称，即y=f(x−1)为奇函数，可判断C；画出y=f(x)与g(x)=log9(x+1)的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程f(x)=log9(x+ 1)的根的个数，可判断D.本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性的判断，方程根的个数问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】四【解析】解：∵1919∘=3×360∘+119∘为第二象限的角，∴sin1919∘>0，cos1919∘<0，A(sin1919∘,cos1919∘)是第四象限角终边上的点，故答案为：四．利用诱导公式可得1919∘为第二象限的角，从而可得点A 的坐标的符号，进而可得答案． 本题考查诱导公式、象限角及三角函数符号的确定，属于基础题．14.【答案】x 3【解析】解：对于函数函数y =a x−2+7，当x =2时，y =8， 所以A(2,8)，设f(x)=x α，把点A 的坐标代入该幂函数的解析式中，8=2α⇒α=3⇒f(x)=x 3， 故答案为：x 3.根据指数幂的运算性质，结合待定系数法进行求解即可． 本题主要考查了幂函数解析式的求解，属于基础题．15.【答案】[−3,0]∪[32,3]【解析】解：根据题意可得f(x)=3sin[12(x +π6)+π12]=3sin(12x +π6)，作出函数f(x)在[0,11π3]上的图象，如下：f(0)=32，f(11π3)=0，f(x)max =3，f(x)min =−3，因为方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，所以32≤k ≤3或−3≤k ≤0， 所以k 的取值范围为[−3,0]∪[32,3].根据题意可得f(x)=3sin(12x +π6)，作出函数f(x)在[0,11π3]上的图象，若方程f(x)=k 在x ∈[0,11π3]上有且仅有两个实数根，则函数y =f(x)与y =k 有且只有两个交点，即可得出答案．本题考查函数与方程的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．16.【答案】[4√2−4,+∞)【解析】解：由于b >0，故不等式两边同时除以b ，得|ab x −2|≤ab −2x 2，令ab =t,(t ∈R)， 即不等式|tx −2|≤t −2x 2在x ∈[0,1)上有解，去掉绝对值即得2x 2−t ≤tx −2≤t −2x 2，即{2x 2−t ≤tx −2tx −2≤t −2x 2，即{t ≥2x 2+2x+1t ≥2x 2−21−x=−2x −2在x ∈[0,1)上有解， 设f(x)=2x 2+2x+1,g(x)=−2x −2，x ∈[0,1),即t ≥f(x)min ，且t ≥g(x)min 即可．因为x ∈[0,1),所以x +1∈[1,2),2x+2∈(1,2],由f(x)=2x 2+2x+1=2[(x+1)2+2−2(x+1)]x+1=2[(x +1)+2(x+1)−2]≥2[2⋅√(x +1)⋅2(x+1)−2]=4√2−4， 当且仅当x +1=2x+1，即x =√2−1∈[0,1)时，等号成立，故f(x)≥4√2−4，即f(x)min =4√2−4，故t ≥4√2−4，由g(x)=−2x −2在x ∈[0,1)上，−4<−2x −2≤−2，即g(x)∈(−4,−2],故t ≥−2， 综上，t 的取值范围为[4√2−4,+∞),即ab 的取值范围为[4√2−4,+∞). 故答案为：[4√2−4,+∞).根据已知条件及不等式的性质，利用绝对值不等式的等价条件，再将不等式成立问题转化为函数的最值问题，结合基本不等式及一次函数的性质即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题可得A =(−1,4)，∴∁U A =(−∞,−1]∪[4,+∞)，又当a =4时，B ={x|x 2−8x +15<0}=(3,5)， ∴∁U A ∩B =[4,5)；(2)∵x ∈∁U A 是x ∈∁U B 的充分不必要条件， ∴∁U A ⫋∁U B ，∵B ={x|x 2−2ax +a 2−1<0}={x|a −1<x <a +1}， ∴∁U B =(−∞,a −1]∪[a +1,+∞)， ∴{−1≤a −14≥a +1，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围为[0,3].【解析】(1)先化简，再运算即可得解；(2)由题意可得∁U A ⫋∁U B ，从而建立a 的不等式组，解不等式组即可得解． 本题考查集合的基本运算，充分与必要条件的概念，属基础题．18.【答案】解：(1)由α的终边过点P(−35,45)，可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将角α的终边逆时针旋转π4得到角β的终边， 则tanβ=tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=1−431+43=−17；(2)因为sinβ=sin(α+π4)=√22(sinα+cosα)=√210，cosβ=cos(α+π4)=√22(cosα−sinα)=−7√210，所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=(−35)×(−7√210)−45×√210=17√250. 【解析】(1)由任意角三角函数的定义和两角和的正切公式，求解即可；(2)由两角和的正弦公式、余弦公式，结合cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ求解即可． 本题考查任意角三角函数的定义和两角和的正弦公式、余弦公式和正切公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)因为函数f(x)=log 3x ，当x >0时，g(x)=f(x)=log 3x ，x <0时，−x >0，g(−x)=log 3(−x)；又因为g(x)为R 上的奇函数，所以g(−x)=−g(x)，g(x)=−g(−x)=−log 3(−x)， 综上，函数g(x)的解析式为g(x)={log 3x,x >00,x =0−log 3(−x),x <0；(2)①不等式3log 32x −20log 9x +3≤0可化为3log 32x −10log 3x +3≤0，即(3log 3x −1)(log 3x −3)≤0， 解得13≤log 3x ≤3， 即√33≤x ≤27， 所以集合A =[√33,27]；②因为函数ℎ(x)=f(x 3a )⋅f(x 9)=log 3(x 3a )⋅log 3(x 9)=(log 3x −a)(log 3x −2)=log 32x −(a +2)log 3x +2a ，设t =log 3x ，则t ∈[13,3]，所以函数ℎ(x)化为s(t)=t 2−(a +2)t +2a =[t −a+22]2−(a−2)24，当a+22≤13，即a ≤−43时，函数s(t)在[13,3]上是增函数，所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(13)=53a −59=−2，解得a =−1315(不合题意，舍去)； 当a+22≥3，即a ≥4时，函数s(t)在[13,3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(3)=3−a =−2，解得a =5；当13<a+22<3，即−43<a <3时，函数s(t)在[13,3]上有最小值s(a+22)， 所以ℎ(x)的最小值为s(t)min =s(a+22)=−(a+2)24=−2，解得a =2−2√2或a =2+2√2(不合题意，舍去)； 综上，实数a 的值为2−2√2或5.【解析】(1)根据当x >0时g(x)=f(x)，求出x <0时g(x)的解析式，再根据奇函数的定义写出函数g(x)的解析式；(2)①不等式化为3log 32x −10log 3x +3≤0，求不等式的解集即可得出集合A ；②化函数ℎ(x)=log 32x −(a +2)log 3x +2a ，利用换元法设t =log 3x ，根据二次函数的图象与性质求出ℎ(x)的最小值，即可求得实数a 的值．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想与运算求解能力，是难题．20.【答案】解：(1)f(x)=4cosωx ⋅sin(ωx −π6)+1=4cosωx(√32sinωx −12cosωx)+1=√3sin2ωx −cos2ωx =2sin(2ωx −π6)，由f(x)的最小正周期为π，可得2π2ω=π，解得ω=1，因为f(x)>1，所以sin(2x −π6)>12，所以π6+2kπ<2x −π6<5π6+2kπ，k ∈Z ，解得kπ+π6<x <kπ+π2，k ∈Z ， 所以不等式的解集为(kπ+π6,kπ+π2)，k ∈Z ；(2)由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ， 由k =0，1，可得f(x)在[0,π]的增区间为[0,π3]，[5π6,π]； 由2kπ+π2≤2x −π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π3≤x ≤kπ+5π6，k ∈Z ，由k =0，可得f(x)在[0,π]的减区间为[π3,5π6]. 【解析】(1)根据f(x)的最小正周期为π，求出ω，得到f(x)的解析式，再解不等式f(x)>1即可； (2)由正弦函数的单调区间，求出f(x)在[0,π]上的单调区间即可．本题考查了三角恒等变换，以及正弦函数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故选②Q(x)=a|x −m|+b ， 则{a|10−m|+b =50a|15−m|+b =55a|20−m|+b =60a|25−m|+b =55a|30−m|+b =50，解得a =−1，m =20，b =60，故函数解析式为Q(x)=−|x −20|+60；(2)由题意，Q(x)=−|x −20|+60={x +40,1≤x ≤2080−x,20<x ≤30，Q(10)⋅P(10)=50(10+k 10)=505，即k =1，则f(x)=P(x)⋅Q(x)={(10+1x)(x +40),1≤x ≤20(10+1x)(80−x),20<x ≤30， 当1≤x ≤20时，f(x)=401+10x +40x≥401+2√10x ⋅40x=441元；当20<x ≤30时，f(x)=799−10x +80x，在(20,30]上为减函数， 则f(x)≥49983元．综上所述，该工艺品的日销售收入f(x)的最小值为441元．【解析】(1)由表中的数据判断日销售量有增有减，函数不单调，结合四个函数的单调性和待定系数法，可得所求函数的解析式；(2)由Q(10)⋅P(10)=505，解得k ，求得f(x)的分段函数的解析式，再由基本不等式和函数的单调性可得所求最小值．本题考查函数模型的选择及应用，以及函数的单调性求最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由f(x)=x 2−2x −a 2+2a =(x −a)(x +a −2)，由于f(x)对称轴为x =1，所以1∈A ，集合A 中有且仅有3个整数，所以集合A 的3个整数只可能是0，1，2，若a =2−a 即a =1时，集合A ={x|f(x)≤0}={1}与题意矛盾，所以a ≠1； 若a <2−a 即a <1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[a,2−a]， 则{−1<a ≤02≤2−a <3，解得−1<a ≤0， 若a >2−a 即a >1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[2−a,a]， 则{−1<2−a ≤02≤a <3，解得2≤a <3， 综上所述实数a 的取值范围是(−1,0]∪[2,3)；(2)若a =2−a 即a =1时，集合A ={x|f(x)≤0}={x|(x −a)(x +a −2)≤0}={1}，B ={x|f(f(x)+b)≤0}={x|f(x)+b =1}， 因为A ⊆B ，所以1∈B 即f(1)+b =1解得b =1，若a <2−a 即a <1时，集合A ={x|f(x)≤0}=[a,2−a]，则B ={x|f(f(x)+b)≤0}={x|a ≤f(x)+b ≤2−a}={x|a −b ≤f(x)≤2−a −b} 设集合B =[x 1,x 2]，因为A ⊆B ，即[a,2−a]⊆[x 1,x 2]，如图所示，则{a −b ≤f(1)2−a −b ≥0，即{a −b ≤−a 2+2a −12−a −b ≥0，得a 2−a +1≤b ≤2−a ， 所以a 2−a +1≤2−a 可得−1≤a ≤1，所以−1≤a <1，所以2−a ≤2−(−1)=3， 又因为a 2−a +1=(a −12)2+34≥34，所以34≤a 2−a +1≤b ≤2−a ≤3即34≤b ≤3. 综上所述b 的取值范围是[34,3].【解析】(1)根据条件解不等式f(x)≤0，即(x −a)(x +a −2)≤0，分a =1、a <1、a >1得到集合A ，通过二次函数的对称轴分析1∈A ，又集合A 中有且仅有3个整数，故3个整数只可能是0，1，2，然后由集合A 列出不等式组，解不等式组即可得a 的取值范围；(2)分a =1和a <1两种情况分别写出集合A ，B 对应的解集，根据A ⊆B 列出不等式组，综合利用不等式的性质，求出b 的取值范围即可．本题考查利用不等式的整数解求参数，由于二次函数的零点之间的大小不确定，需对参数a 进行讨论，考查了分类讨论思想的应用，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，正确理解并表达集合B 是解题的关键，属于难题．。
高一数学期末试题及答案
高一数学期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 函数y = 2x + 3的斜率是：A. 2B. 3C. 1/2D. 1/33. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标是：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 函数f(x) = |x|的图象是：A. 直线B. 抛物线C. V形D. U形6. 等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则a5的值是：A. 11B. 13C. 15D. 177. 向量a = (3, -4)与向量b = (-2, 5)的点积是：A. 13B. -13C. 3D. -38. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)10. 抛物线y = x^2 - 6x + 9的顶点坐标是：A. (3, 0)B. (-3, 0)C. (3, 9)D. (-3, 9)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则b3的值是________。
12. 函数y = 3x - 2与x轴的交点坐标是________。
13. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。
14. 向量a = (1, 2)与向量b = (-2, 4)的向量积是________。
15. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点是________。
2022-2023学年山东省济宁市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z =i2−i在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若P （﹣1，2）为角α终边上的一点，则cos α＝（ ） A ．−√55B ．√55C ．−2√55D ．2√553．若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A ′C ′∥O ′B ′，B ′C ′⊥O ′B ′，A ′C ′＝1，O ′B ′＝2，则原四边形AOBC 的边BC 的长度为（ ）A ．2B ．2√2C ．3D ．44．cos70°cos170°﹣cos20°sin170°＝（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√325．已知一个圆锥的表面积为4π，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．√2πB ．2√2πC ．√2π3D ．2√2π36．如图所示，要测量电视塔AB 的高度，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个观测基点C 与D ，在点C 测得塔顶A 的仰角为30°，在点D 测得塔顶A 的仰角为45°，且CD ＝30m ，∠BDC ＝60°，则电视塔AB 的高度为（ ）A ．25mB ．20mC ．15mD ．10m7．在三棱锥P ﹣ABC 中，AB =AC =√22BC ，△P AC 是边长为6的等边三角形，若平面P AC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．72πB ．84πC ．108πD ．120π8．在△ABC 中，AB ＝AC ，边BC 上一点P 满足sin ∠P AB ＝2sin ∠P AC ，若AP →=xAB →+yAC →，则xy=（ ）A ．3B ．2C ．12D ．13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期高2026届期末考试数学试卷答案
成都七中高2026届高一下期数学期末考试参考答案一．单项选择题−14：CBDD −58：BCAB8．解析：设D 为BC 边中点，则23A A A AD O G O ⎛⎫= ⎪⎝⎭21()32A AO AC B =+()AB AO AC =+312211AB AC =+66=+b c 6()122, 在∆ABC 中,==︒a A 1,60,由余弦定理得=+−︒a b c bc 2cos 60222,∴+=+b c bc 122, 由均值不等式,+=+≥bc b c bc 1222,所以≤bc 1（当且仅当==b c 1等号成立）, 所以1111()(1)(11)6663A AG O c b bc =+=+≤+=22,故选B. 二．多项选择题9．BC 10．BCD 11．AC11．解析：A ：当⊥'AP A B 时，线段DP 长度最小，此时=AP =DP ，A 正确；B ：将面''A D CB 旋转至面'A AB 同一平面，连接AC ，此时+=AP PC AC 为最小值，=>=AC 不存在这样的点P ，故B 错误； C ：如图，取='B E 1，='B F 21，='A G 23，连接FG 交'A B 于P ，易证此时⊥'A C MN ，⊥'A C EN ，且M N E F G ,,,,五点共面．因为MN EN N =，面⊥'A C MNEFG ，所以存在这样的点P 使面⊥'A C MNP ，故C 正确； D ：以点B 为球心，617为半径的球面被面'AB C 所截的截面为圆形，记其半径为r ，则=r d 为点B 到平面'AB C 的距离．由=−−''V V B ABC B AB C 易求得B 到平面'AB C 的距离为34，解得=r 25，所以截面面积==ππS r 4252，D 错误．本题选AC 三．填空题12．1030013．π32814．+3214．解析：取AB 中点D ，则2AQ m AB nAC m AD nAC =+=+ ；连接CD 交AQ 于点E ，则()1AE AD AC λλ=+−，且()()1AQAQAQ AE AD AC λλ=⋅=⋅+−AE AE ，故+=AE m n AQ2．17．解：I ()设事件=A i “第i 回合甲胜”,事件=M “甲至少赢一回合”,故=M “甲每回合都输”.A A i i ,为对立事件,=P A i 32(),故=P A i 31)(. ……2分 =−=−P M P M P A A A ()1()1()123⎝⎭ ⎪=−=⎛⎫P A P A P A 3271=12631()()()-123， 故甲至少赢1个回合的概分为2726． ……5分(II)设事件=N “第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =，且A A 12和A A 12互斥，则=+=⋅+⋅=P N P A A P A A P A P A P A P A 9()512121212)()()()()()(, 故第二回合有人得分的概分为95. ……10分 (III)设事件=Q “甲乙两人平局”，由题可知，只有1：1与0：0两种情况， 因此13123Q A A A A A A =2， 故=+=P Q P A A A P A A A P A P A P A ()221312313)()()()()(+=P A P A P A 274123)()()(, 故甲乙两人平局的概分为274. ……15分18．解：(I)由正弦定理得，+=a c b 2,222解得=b ….…4分又因为+−=−<b c a 20222，故=<+−bcA b c a 2cos 0222，>πA 2，所以△ABC 是钝角三角形． …………6分 (II)由平面向量基本定理，BA ，BC 可作为一组基底向量，且有2BA =，4BC =，cos ,cos BA BC B <>===+−ac a c b 285222．由于1AD AC =3，所以21BD BA BC =+33． …………8分 2222212152()2cos BD BD BD BA BA BC B BC ⎛⎫=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅== ⎪33339． …………11分 (III) 由题意可设BM xBA = ，BN yBC = ．由于M ，D ，N 三点共线，可设(1)BD t BM t BN =−+，∈t 0,1)(．所以21(1)BD t x BA ty BC BA BC =−⋅+⋅=+33， 由平面向量基本定理，解得()−=t x 312 ，=ty 31 ，所以()2BM BA =−t 31 ，1BN BC =t 3 ． …………13分因此()212BM BN BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⋅t t t t 3139(1)， …………15分 而cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，因此当=t 21时，40BM BN ⋅=9为最小值． ……17分19．证明：(I)因为面平⊥A D ABC 1，面平⊂BC ABC ，故⊥A D BC 1． ……2分 又由∠=︒ABC 90，即⊥AB BC ，1AB A D D =，因此面平⊥BC ABB A 11．……5分 (II)由于菱形ABB A 11，且A D 1为AB 的垂直平分线，因此可知△A AB 1和△B A B 11均为等边三角形．由面平⊥BC ABB A 1，⊂BB 1面平ABB A 1，可得⊥BC BB 1， 结合斜三棱柱进一步可得B BCC 11是矩形． …………6分此时作⊥A P BB 11，⊥A Q CC 11，连接PQ ，PC ，A C 1．由题知，=A Q 21，面平⊂A P ABB A 111，可得⊥BC A P 1，1BC BB B =，因此⊥A P 1平面BCC B 11，因此由题知，=A P 1，⊂PQ PC 平面BCC B 11，所以也有⊥A P PQ 1，⊥A P PC 1． 因此，角成所为面平与∠A CP A C BB C C 1111． …………8分进一步，在△R A PQ t 1 中，==Q P 1 ，由矩形可知==BC PQ 1 ．一一方面，由于=A P 1△B AB 1中，可以解得=BB 21，P 为BB 1中点，=BP 1．所以，在△R BCP t 中，PC △A CP R t 1中，=A C 1∠===A C A CP A P 5sin 111，值弦正的角成所面平与A C BBC C 111． ……11分 (III)延长EF ，C C1交于点M ，连接MB 1，交BC 于N ，连接FN ，如右图，故四边形B EFN 1即为所得截面． ………12分 由上一问可知，菱形ABB A 11的边长为2，矩形B BCC 11中=BC 1，平行四边形ACC A 11中==AA CC 211，===A C A C AC 111．要计算截面B EFN 1的面积，首先研究△B EM 1．在△A B E 11中，由于∠=︒EA B 12011，由余弦定理可得=B E 1，E F 为中点，因此===EM EF A C 21，此时有==MC AE 1，在直角△MB C 11中=MB 1，N 为BC 的三等分点． …………14分因此△B EM 1中，由余弦定理可得⋅⋅∠==+−EM MB EMB EM MB EB 25cos 1121221，所以可以计算得∠=EMB 5sin 1．设截面面积为S ，由于=MF ME 21，=MN MB 311，有△△△=−=⋅⋅∠−⋅⋅∠=S S S ME MB EMB MF MN EMB S B EM NFM B EM 226sin sin 11511111因此，此斜三棱柱被平面B EF 1 ……………17分。
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高一级期末考试数 学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
第一部分（基础检测100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．67sinπ的值为（ *** ） A ．21B ．23C ． 21-D ．23-2．已知,2,21tan παπα<<-=则αsin 等于 （ *** ） 55.552.55.552.D C B A --3．函数y ＝cos x ·|tan x | ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2 的大致图象是( *** )4．在锐角ABC ∆中，若31tan ,55sin ==B A ，则=+B A （ *** ） 434.ππ或A 4.πB 43.πC 22.D5．下列不等式中，正确的是（ *** ）A ．tan513tan413ππ< B ．sin )7cos(5ππ-> C ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8 D ．cos )52cos(57ππ-<6．函数]0,[),3sin(2)(ππ-∈-=x x x f 的单调递增区间是（ *** ）A ．]65,[ππ-- B ．]6,65[ππ-- C ．]0,3[π- D ．]0,6[π- 7．已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ***） A ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭8．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是(*** ) A ．0 B.32 C ．1 D.129．若10sin 3cos =-αα，则=αtan （*** ） A ．3； B ．53-; C ．3-; D ．8310．定义在R 上的函数满足，当时，，则（*** ）A ．B ．C ．)45(tan)6(tanππf f < D ．NMDCBA二、填空题： (每题5分,共20分)11. 已知扇形的弧长和面积的数值都是2，则其圆心角的正的弧度数为____***____.12．若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，则M ∩N =___***___.13．如图,在正方形ABCD 中,M 是边BC 的中点,N 是边CD 的中点,设α=∠MAN ,那么αsin 的值等于_______***_____. 14．给出下列四个结论：①若角的集合{|,},{|,}244k A k B k k πππααββπ==+∈==±∈Z Z ， 则A B =；②函数|tan |x y =的周期和对称轴方程分别为)(2,Z k k x ∈=ππ ③ 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝78 ④要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需将sin 2x y =的图象向右平移2π个单位； 其中正确结论的序号是 *** ．（请写出所有正确结论的序号）。
三、解答题：15．（本题满分10分）已知角α的终边经过点(3,4)P -， (1) 求sin()cos()tan()πααπα-+-+的值; （2）求1sin 2cos 212αα++的值．16．（本题满分10分）已知函数)sin()(φx ωA x f +=)22,0,0(πφπωA <<->>一个周期的图象如图所示。
（1）求函数)(x f 的表达式； （2）若2524)3()(=-+πA f A f ，且A 为△ABC 的一个内角，求：A A cos sin +的值。
17．（本小题满分10分）已知函数()sin f x x ω=（0ω>）.（1）当2=ω时，写出由()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到的图象所对应的 函数解析式； （2）若()y f x =图象过点2(,0)3π，且在区间(0,)3π上是增函数，求ω的值.第二部分（能力检测50分）一、选择题（每题5分,共10分） 18．已知10<<b ，40πα<<，αb αx sin log )(sin =，αb αy cos log )(cos =，αb αz cos log )(sin =则三数的大小关系是 ( *** ) x z y D yz x C y x z B z y x A <<<<<<<<....19．函数2()sin 2f x x x =+()cos(2)23(0)6g x m x m m π=--+>，若对任意]4,0[1π∈x ，总存在]4,0[2π∈x ，使得)()(21x f x g =成立，则实数m 的取值范围是( ***)A ．φB ．2[,2]3C ．]34,1[ D ．24[,]33二、填空题 (5分)20．已知函数()x f 是定义在]1,(-∞上的减函数，且对一切实数x ，不等式()()x k f x k f 22sin sin -≥-恒成立，则实数=k _____***____。
三、解答题21．（本题满分10分）已知]2,0[,cos sin sin )(2πx x x x x f ∈+=（1）求)(x f 的值域； （2）若65)(=αf ，求α2sin 的值。
22．（本题满分12分）已知函数22()4sin sin ()2cos 1,42xf x x x a x R π=⋅++++∈是一个奇函数. （1）求a 的值和使3)2(-≥x f 成立的x 的取值集合； （2）设||2πθ<，若对x 取一切实数，不等式4()()2()f x f x f x θθ++->都成立，求θ的取值范围.23．（本题满分13分）设函数)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上的偶函数,且满足)()1()1(R x x f x f ∈+=-。
记(])(12,12Z k k k I k ∈+-=.已知当 I x ∈时，2)(x x f =.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设*N k ∈，k M 表示使方程ax x f =)( 在k I x ∈上有两个不相等实根的a 的取值集合.①求1M ； ②求k M .广东实习中学2012—2013学年（上）高一级期末考试数学参考答案一．选择题1． C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．D 7. B 8．A 9．C 10．D二、填空题： （每题5分，共20分）11. 1 12．M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 13.5314．【①、②、③】三、解答题：15．解：由角α的终边过点(3,4)P -知：4sin 5α==，3cos 5α==-，44tan 33α==--，………4分 （1）sin()cos()sin cos tan()tan πααααπαα-+-+=+ ……………6分=4343()/()55320--=-，…………………7分 （2）21sin 2cos 21sin cos 2cos 2ααααα++=+ 。
9分 =24336()2()55525⨯-+⨯-=。
……………10分16. 解：（1）从图知，函数的最大值为1，则1=A 函数)(x f 的周期为πππT =+⨯=)612(4，而ωπT 2=，则2=ω， 又6πx -=时，0))6(2sin(,0=+-⨯∴=φπy ，而22πφπ<<-，则3πφ=， ∴函数)(x f 的表达式为)32sin()(π+=x x f 。
……….+4分（φω,.,A 各1分）（2）由2524)3()(=-+πA f A f 得：2524)32sin()32sin(=-++πA πA 化简得：25242sin =A ，……………………………………6分 ∴25492sin 1)cos (sin 2=+=+A A A ……………………7分 由于πA <<0，则πA 220<<，但025242sin >=A ，则πA <<20，即A 为锐角，…8分从而0cos sin >+A A 因此57cos sin =+A A 。
………….10分 17.解：（1）由已知，所求函数解析式为)32sin()(π-=x x g 。
……………………3分（2）由()y f x =的图象过点2(,0)3π，得2sin 03ωπ=，所以23k ωπ=π，k ∈Z . 即32k ω=，k ∈Z . …………………4分 又0ω>，所以k ∈*N .当1k =时，32ω=，3()sin 2f x x =，其周期为43π，此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数； ……………………….6分 当k ≥2时，ω≥3，()sin f x x ω=的周期为2ωπ≤2433ππ<， …………8分此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数.所以，32ω=. …………10分第二部分一．选择题（每题5分，共10分）18. C 19． C二．填空题（5分） 20. -1三．解答题21. 解：（1）21)42sin(222sin 22cos 1cos sin sin )(2+-=+-=+=πx x x x x x x f ……………………2分 ∵]2,0[πx ∈ ∴]43,4[42πππx -∈-…………………3分当442ππx -=-，即0=x 时，)(x f 有最小值0。
当242ππx =-时)(x f 有最大值212+。
)(x f 值域：]212,0[+ …………………5分（2）6521)42sin(2)(=+-=παa f ，得32)42sin(=-πα …………6分∵]43,4[42],2,0[πππαπα-∈-∈ ……………7分 又2232)42sin(0<=-<πα ∴)4,0(42ππα∈-， ……………8分 得37)32(1)42cos(2=-=-πα ……………9分6142)]42cos()42[sin(22)442sin(2sin +=-+-=+-=παπαππαα. ………10分 .分分分3 (3)sin 22..................22cos )sin 1(sin 21.........22cos 2)24(2cos 1sin 4)(.22++=++++⋅=++++-⋅=a x a x x x ax x x x f π（1）3-=a . ………….4分 Z k k k x ∈+-∈]32,6[ππππ ……..5分分分其对称轴方程为令分令分分分不等式即)3,3()2,2(11 (23)sin 2343sin 10........................................43)21()(.]1,1[211)(9...................]1,1[sin 8........................sin 1sin sin 7...........sin sin cos cos sin 16.................sin 4)sin()sin(44)2(2min 2222222ππθππθθθθθθθθ-∈∴-∈<<-⇒<∴==∴-∈=+-=-∈∴∈=>+-⇔>-+⇔>-++ g t g t t t t g t R x x t x x x x x x x x ：23.解：（1）因为)1()1(x f x f +=-所以 )(x f 是以2 ))(()2(Z k x f k x f ∈=-∴, 当k I x ∈时， I k x ∈-)2(， 2)2()2()(k x k x f x f -=-=∴ )(x f ∴的解析式为：x x f -=∴2()(………………（2）.①设1I x ∈, 则 02I x ∈- ,∴ 方程ax x f =)( 可化为: (2-x 网]令4)4()(21++-=x a x x g 方程(*)在]3,1(∈x 上有两相异实根,则:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=>-=<+<>+=∆031)3(01)1(32410)8(11a g a g a a a ………….8分 ]31,0(]31,0(1=∴∈⇒M a . ………9分②当*N k ∈且k I x ∈时，ax x f =)(方程化为04)4(22=++-k x a k x ，令224)4()(k x a k x x g ++-= ………………10分根上有两个不相等的实数在使方程k I ax x f =)(，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--=+>+-=-+<+<->+=∆021)12(021)12(1224120)8(a ak k g a ak k g k a k k k a a ………………….11分 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≤-<<<--<>1211212280k a k a a k a a 或1210+≤<∴k a }1210|{+≤<=∴k a a M k ………….13分。