二次函数中三角形面积问题

二次函数中三角形面积问题

【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，

S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE

解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；

令y=0, 则-x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），

设AB所在直线的解析式为y=kx+b.

求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.

设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)

CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m

S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)

=1/2OB·CE

=1/2×3( -m2+3m)

=--3m2/2+9m/2

S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8

【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB

解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB

＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB

＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3

＝-3m2/2+9m/2

S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8

【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。

解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0

当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。

SΔABC=(21/4-3)×3×1/2=27/8

【举一反三】

1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．

如图，抛物线y=ax2+bx-5（a≠0）与x轴交于点A（-5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标.

3．如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求△ACD的面积；

4．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；②当m 为何值时，S有最大值，并求这个最大值；③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．