复习笔记8 算法、复数、推理与证明

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集合与常用逻辑用语知识点梳理

集合与常用逻辑用语，推理与证明，算法，复数，坐标系与参数方程知识点梳理一．集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：____________、________、__________.(2)元素与集合的关系是_____或_______两种，用符号____或_____表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法2.A∪B＝{_________}A∩B＝{_____________}∁A＝{_________}(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为____个，非空子集个数为______个，真子集有_________个.(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.[方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检¬验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.二．命题及其关系。

充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们______的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的_____条件，同时q是p的________条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q________________条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的____________条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的______________条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.[方法与技巧]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用A⇒B与¬B⇒¬A；B⇒A与¬A⇒¬B；A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A真包含于B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.三简单的逻辑联结词.全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：[方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”.[失误与防范]1.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真.2.两种形式命题的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.四．归纳与类比1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理方法，是由一般到特殊的推理．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．五．综合法与分析法。

高中数学思维导图：复数,推理证明,算法初步

定理逆定理
与已知矛盾
常见矛盾
与假设矛盾与定义，定理，公理矛盾
自相矛盾
数学归纳法
适用题型适用范围
证明恒等式
证明整除与几何问题
证明不等式
证明数列有问题
证明立体几何问题
仅限与正整数有关的问题
：验证
时命题成立
：假设
时，命题成立，
步骤
Байду номын сангаас
证明
时，命题也成立
：命题对从开始的所有正整数都成立
综合法
含义：由已知, 逻辑推理后得到未知思维方式：顺推
由基本运算规律和顺序，构成完整的解题步骤或计算序列，并能解决一类问题
含义
特点
5
设计要求
4
程序框图
1
逻辑框图
1
算法语句
17
间接证明
反证法
14
数学归纳法
12
含义：由已知, 逻辑推理后得到未知思维方式：顺推
综合法
含义：从求证出发，寻找条件思维方式：逆推
分析法
算法证明
复数，推理,证明，算法初步
含义
证明命题都使用演绎推理，合情推理不能用做证明从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论
一般特殊
特点
三段论：
而
则
内容
一般原理：大前提，M是P
表示形式
特殊情况：小前提，S是M 结论：S是P
证明
间接证明
反证法
含义
假设求证不成立，推理，找出矛盾
反设归谬结论
步骤
由已知推出的结论很少
适用范围
存在性命题结论中含有：否定，唯一，无限，至多，至少

复数、算法、推理与证明

复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入一、基础知识1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．二、常用结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n.考点一复数的四则运算[典例] (1)(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i[解析] (1)∵z i ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.(2)(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i1－2i ＝2，故选A.[答案] (1)A (2)A[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A 法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.3．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z ＝________.解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i.答案：i考点二复数的有关概念[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1 D. 2[解析] (1)z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C. [答案] (1)D (2)C[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.2．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i ，则|z |＝( )A ．2B ．2 2C.22 D.12解析：选B 法一：由z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ，得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.3．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________．解析：由于z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数，因此a 2－a －2＝0且a ＋1≠0，解得a ＝2. 答案：2考点三复数的几何意义[典例] (1)如图，在复平面内，复数z1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，若zz 2＝z 1，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i(2)复数z ＝4i 2 018－5i1＋2i (其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由题意知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，故z (－1＋i)＝1＋2i ，即z ＝1＋2i －1＋i ＝(1＋2i )(1＋i )(－1＋i )(1＋i )＝1－3i 2＝12－32i ，z ＝12＋32i ，故选A.(2)z ＝4i 2 018－5i1＋2i ＝4×i 2 016·i 2－5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－4－5(2＋i )5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C[解题技法] 对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限．故选B. 2．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋(y －1)2≤ 2，所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π3．已知复数z ＝2＋a i1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为________．解析：因为z ＝2＋a i 1＋2i ＝(2＋a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋2a ＋(a －4)i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45，所以⎩⎨⎧2＋2a5＞0，a －45＜0，解得－1＜a ＜4，又a 为整数，所以a 的最大值为3.答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选C. 2．(2018·洛阳第一次统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：选A 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.4．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 5．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数 z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B 法一：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i )＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵(1＋i)z ＝i ，∴(1＋i)(a ＋b i)＝i ，∴(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，∴z ＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B. 7．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．8．已知复数z ＝m i1＋i，z ·z ＝1，则正数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C.22D.12解析：选A 法一：z ＝m i 1＋i ＝m i (1－i )(1＋i )(1－i )＝m 2＋m 2i ，z ＝m 2－m 2i ，z ·z ＝m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.法二：由题意知|z |＝|m i||1＋i|＝|m |2，由z ·z ＝|z |2，得m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：210．复数|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i11．(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i 2＋i ，复数|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 212．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14. 答案：1413．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i ＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.。

高三复数的知识点归纳总结

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

高中数学知识点总结(第十二章复数、算法、推理与证明第二节算法与程序框图)

第二节算法与程序框图一、基础知识1．算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构定义由若干个依次执行的步骤组成程序框图(2)条件结构定义算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构程序框图(3)循环结构定义从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体程序框图直到型循环结构先循环，后判断，条件满足时终止循环.当型循环结构先判断，后循环，条件满足时执行循环.三种基本逻辑结构的适用情境(1)顺序结构：要解决的问题不需要分类讨论．(2)条件结构：要解决的问题需要分类讨论．(3)循环结构：要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间有相同的规律．[解题技法]顺序结构和条件结构的运算方法(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．(3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支[解题技法]循环结构的一般思维分析过程(1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)辨析循环结构的功能．[解题技法]程序框图完善问题的求解方法(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．。

第三部分专题二九、复数、算法、推理与证明

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[必会的规律、推论]
1．复数的运算 (1)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意 z1，z2，z3∈C，有：z1·2＝z2·1； z z (z1·2)·3＝z1· 2·3)； z z (z z z1· 2＋z3)＝z1z2＋z1z3. (z (2)两个共轭复数 z， z 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即 z· ＝|z|2＝| z |2. z
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(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
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3．用数学归纳法证明问题的一般步骤用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明当n取第一个值n0时，结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当 n＝k＋1时结论也正确．由(1)(2)，可知命题对于从n0开始的所有正整数都正确．
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[必纠的易错易混] 易错点1 循环结束的条件判断不准致误
控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循
环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．易错点2 条件结构对条件的判断不准致误条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不
必记的概念、公式九、复数、算法、推理与证明必会的规律、推论
专题二
必懂的解题方法
必纠的易错易混必做的保温训练
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九、复数、算法、推理与证明
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[必记的概念、公式]

数学专题复习含例题—推理与证明、算法、复数

[解析] 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得，BAEE＝ SS△△ABCCDD.
(3)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8， S16－S12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前 n 项积
(2)[教材习题改编]在 Rt△ABC 中，两直角边分别为 a，b，设 h 为斜边上的高，则h12＝a12＋b12.由此类比：三棱锥 S－ABC 中的三条侧棱 SA，SB，SC 两两垂直，且长度分别为 a，b，c，设棱锥底面
ABC 上的高为 h，则____h_12_＝__a1_2_＋__b1_2_＋__c1_2 _______．
解析：大前提与小前提之间没有包含关系，虽然使用了“三段论”，但推理形式错误．
(2)“所有是 3 的倍数的数都是 9 的倍数，m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的，错误的原因是____大__前__提__错__误______．
解析：因为大前提错误，所以尽管推理的形式正确，结论仍然是错的．
解析：观察得出规律，左边为 2n－1 个连续自然数的倒数和，右边的数分母为 2、分子为 n，由此可以猜测第 n 个不等式为 1＋12＋ 13＋…＋2n－1 1>n2.
演绎推理的两个易错点：推理形式错误；大(小)前提错误． (1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是_推__理__形__式__错__误__．
解析：直角三角形的两直角边对应该三棱锥的三条两两垂直的侧棱，直角三角形斜边上的高对应该三棱锥底面上的高，类比得h12＝ a12＋b12＋c12.
2．(1)[教材习题改编]若数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝1＋anan(n∈ N*)，则归纳出该数列的通项公式为____a_n＝__1n_(_n_∈__N__*)____．

算法复数统计及推理知识要点

算法复数统计及推理知识要点算法知识要点循环结构：在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构。

即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程。

重复执行的处理步骤称为循环体. 循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构. 【巩固练习】某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 . 答案：k ＞4复数知识要点1.复数的概念：形如(),z a bi a b =+∈∈R R 的数，叫做复数，a 称为实部，b 称为虚部. 当0b =时，z 为实数；当0b ≠时，z 为虚数；当0,0a b =≠时，z 为纯虚数. 复数bi a z -=),(R b a ∈，称作复数bi a z +=),(R b a ∈的共轭复数.2.复数的除法：若1220,z z z ≠=则22)()())(())((d c iad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a +-++=-+-+=++. 3.复数的模的几何意义（1）与平面向量的模是一致的，若设(),z a bi a b =+∈R ，z OZ ==22b a +；（2）若设()12,,,,z a bi z c di a b c d =+=+∈R ，则1212z z Z Z -==22)()(d b c a -+-.12z z -的几何意义为复平面内两点12,Z Z 间的距离. 【巩固练习】1.（2013陕西文）设z 是复数，则下列命题中的假命题是（）(A)若20z ≥，则z 是实数 (B)20z <，则z 是虚数(C)若z 是虚数，则20z ≥ (D)若z 是纯虚数，则20z < 答案: C 2. 计算：－1+(ii -+11)2014=_______. 答案: 2- 统计与统计案例要点1.随机抽样：系统抽样、分层抽样2.频率分布直方图3.茎叶图：在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．4..用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数（2）平均数:nx n21=（体现一组数据的平均水平）(3) 方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+-（体现一组数据的波动性）标准差：s =4.变量的相关性与最小二乘法(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.(2)线性回归方程 y ^＝b ^x ＋a ^①回归直线一定过(,)x y ；②相关系数r ：r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小. 5.独立性检验对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是：则))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量).【巩固练习】1.（2012山东理）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（）答案：C （A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）152.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由 ))()()(()()(222d b c a d c b a bc ad n K ++++-=χ算得：附表：参照附表，得到的正确结论是( ) 答案：CA .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”3.若现象之间互相依存关系的程度越低，则相关系数（）答案：A A.越接近于0 B.越接近于-1C.越接近于1D.越接近于0.5推理与证明要点（1）归纳推理（2）类比推理例题1： 1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯，4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，，依此类推，第n 个等式为 ____.例题2：在平面几何里，有勾股定理“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则=+22AC AB2BC ”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ABD两两相互垂直，则 .8.750605060)20203040(110)(222≈⨯⨯⨯⨯-⨯=χK。

高三数学综合复习：第三篇 8推理与证明、复数、算法

8.推理与证明、复数、算法1．推理方法(1)合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养． [问题1] 图1有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图2有体积关系：________.答案V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC(2)演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论．2．证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．(3)数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[问题2]用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．答案三角形三个内角都大于60°3．复数的概念对于复数a＋b i(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋b i(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋b i叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋b i叫做纯虚数．[问题3]若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为________．答案－24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i ，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.答案 1 5．算法(1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．[问题5] 执行如图所示的程序框图，如果输出a ＝341，那么判断框中可以是( )A ．k <4?B ．k >5?C ．k <6?D ．k <7?答案 C解析根据程序框图，第一次循环，a ＝0＋1＝1，k ＝1＋1＝2；第二次循环，a ＝4×1＋1＝5，k ＝2＋1＝3；第三次循环，a ＝4×5＋1＝21，k ＝3＋1＝4；第四次循环，a ＝4×21＋1＝85，k ＝4＋1＝5；第五次循环，a ＝4×85＋1＝341，k ＝5＋1＝6.要使输出的a ＝341，判断框中可以是k <6？或k ≤5？.故选C.易错点1 复数的概念不明致误例1 若z ＝sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( )A ．－7B ．7C ．－17D ．－7或－17找准失分点本题常见的错误主要有两点：一是混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件，错得sin θ＝35，cos θ＝±45，导致错选D.二是记错两角差的正切公式，导致计算有误．正解由z 为纯虚数，知sin θ－35＝0，且cos θ－45≠0.则sin θ＝35，从而cos θ＝－45.所以tan θ＝sin θcos θ＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－tanπ41＋tan θ·tan π4＝－34－11－34＝－7. 答案 A易错点2 循环次数把握不准致误例2 执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.找准失分点容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．正解顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有S ：0＋12＝12，12＋122＝34，34＋123＝0.875，n: 2, 3, 4.“0.875<0.8”判断为“否”，输出n ＝4. 答案 4易错点3 数学归纳法未用归纳假设致误例3 用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d (n ∈N ＋)．错解 ①当n ＝1时，S 1＝a 1，等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即S k ＝a 1k ＋12k (k －1)d .当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＋a k ＋1＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(k －1)d ]＋(a 1＋kd ) ＝(k ＋1)a 1＋(d ＋2d ＋…＋kd ) ＝(k ＋1)a 1＋12k (k ＋1)d＝(k ＋1)a 1＋12(k ＋1)[(k ＋1)－1]d ，即当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②知，等式对任意的正整数n 都成立．找准失分点本题的错因在于从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中，没有用到归纳假设．正解 ①当n ＝1时，S 1＝a 1，等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即S k ＝a 1k ＋12k (k －1)d .当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1 ＝S k ＋a k ＋1＝a 1k ＋12k (k －1)d ＋a 1＋kd＝(k ＋1)a 1＋12(k ＋1)[(k ＋1)－1]d即当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②知，等式对任意的正整数n 都成立．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12i，i 2，|5i 2|，(1＋i )2i ，－i 22，则集合A ∩R ＋的子集个数为( )A ．8B ．7C ．3D ．2答案 A解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12i ，i 2，|5i 2|，(1＋i )2i ，－i 22 ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－i 2，－1，5，2，12，所以A ∩R ＋＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，2，12，故其子集个数为23＝8.2． (2012·山东)执行下面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 a ＝4，P ＝0，Q ＝1，n ＝0时，P ≤Q ，P ＝0＋40＝1，Q ＝2×1＋1＝3，n ＝1； P ≤Q ，P ＝1＋41＝5，Q ＝2×3＋1＝7，n ＝2； P ≤Q ，P ＝5＋42＝21，Q ＝2×7＋1＝15，n ＝3； P ≤Q 不成立，输出n ＝3.3．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 (－1＋i)z ＝(1＋i)2＝2i ，则z ＝2ii －1＝2i (i ＋1)(i －1)(i ＋1)＝－i(i ＋1)＝1－i ，所以复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则这个点位于第四象限． 4． i 为虚数单位，复数1＋a i2＋i为纯虚数，则实数a 等于( )A ．－2B ．－13C.12D ．2答案 A解析由于1＋a i 2＋i ＝(1＋a i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2＋a )＋(2a －1)i5为纯虚数，所以2＋a 5＝0，且2a －15≠0即a ＝－2.5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )答案 D解析观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，故选D.6．如图所示的程序框图中，若f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，则h (3)的值等于( )A ．8B ．9C ．－1D ．1答案 B解析由程序框图，可知输出的h (x )为f (x )与g (x )中的较大者，f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9，显然f (3)<g (3)，所以h (3)＝g (3)＝9.故选B.7．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．答案－20解析 (z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故(z 1－z 2)i 的实部为－20. 8．观察下列等式：1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， ……照此规律，第n 个等式为__________________________________________________．答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )．根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________. 答案 13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R10．(2012·湖南)如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝________.答案－4解析当n ＝3时，i ＝3－1＝2，满足i ≥0，故S ＝6×(－1)＋2＋1＝－3.执行i ＝i －1后i 的值为1，满足i ≥0，故S＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5.再执行i＝i－1后i的值为0，满足i≥0，故S＝5×(－1)＋0＋1＝－4.继续执行i＝i－1后i的值为－1，不满足i≥0，故输出S＝－4.。

第二讲算法、复数、推理与证明

第二讲算法、复数、推理与证明考点一复数的概念与运算1．复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．2．复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．3．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0 B.12C．1 D. 2[解析]∵z＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＋2i＝1－2i－12＋2i＝i，∴|z|＝1，故选C.[答案] C2．(2018·安徽安庆二模)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为()A.15－35i B.15＋35iC.13－iD.13＋i[解析] 由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－35i ，∴z －＝15＋35i ，故选B.[答案] B3．(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z 满足z i ＝3＋4i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由z i ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )－i 2＝4－3i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限，故选D.[答案] D4．(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z ＝1＋i 1－i，z －为z 的共轭复数，则(z －)2017＝( )A ．iB ．－iC ．－22017iD ．22017i[解析] 由题意知z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i ，可得z －＝－i ，则(z －)2017＝[(－i)4]504·(－i)＝－i ，故选B.[答案] B[快速审题] (1)看到题目的虚数单位i ，想到i 运算的周期性；看到z ·z －，想到公式z ·z －＝|z |2＝|z －|2.(2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．[对点训练]1．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为()A．4 B．2 C.12D．－1[解析]S和n依次循环的结果如下：S＝11－a，n＝2；S＝1－1a，n＝4.所以1－1a ＝2，a ＝－1，故选D.[答案] D2．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n ＝12，i ＝1；n ＝6，i ＝2；6≠5；n ＝3，i ＝3；3≠5；n ＝10，i ＝4；10≠5；n ＝5，i ＝5；5＝5成立，程序结束，输出i ＝5，故选B.[答案] B3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋15＋ (199)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋1100，当不满足判断框内的条件时，S ＝N －T ，所以N ＝1＋13＋15＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100，所以空白框中应填入i ＝i ＋2，故选B.[答案] B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是________．[解析] 由程序框图可知，n ＝1，S ＝0；S ＝cos π4，n ＝2；S ＝cos π4＋cos 2π4，n ＝3；…；S ＝cos π4＋cos 2π4＋cos 3π4＋…＋cos 2014π4＝251⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋cos 2π4＋…＋cos 8π4＋cos π4＋cos 2π4＋…＋cos 6π4＝251×0＋22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋0＝－1－22，n ＝2015，输出S .[答案] －1－22[快速审题] (1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n 次循环体，根据结果判断．(3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值．求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i >n ？”或“i <n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论2．类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩，故选D.[答案] D2．(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为()A．3 B．5 C.5217D．3 5[解析]类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离公式为d＝|Ax0＋By0＋Cz0＋D|A2＋B2＋C2，则所求距离d＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.[答案] B3．(2018·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n＝()A．25 B．48 C．63 D．80[解析]由2 23＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝55 24，…，可得若9 9n＝99n具有“穿墙术”，则n＝92－1＝80，故选D.[答案] D[快速审题]看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理．(1)破解归纳推理题的思维3步骤①发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；②归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；③检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．(2)破解类比推理题的3个关键①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；③会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35i B．－45＋35iC．－35－45i D．－35＋45i[解析]1＋2i1－2i＝(1＋2i)2(1－2i)(1＋2i)＝－3＋4i5＝－35＋45i，故选D.[答案] D2．(2018·浙江卷)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i[解析]∵21－i ＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1＋i，∴21－i的共轭复数为1－i，故选B.[答案] B3．(2018·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.12 B.56 C.76 D.712[解析]k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×11＋1＝1－12＝12，k＝2,2<3；s＝12＋(－1)2×11＋2＝12＋13＝56，k＝3，此时跳出循环，∴输出56，故选B.[答案] B4．(2018·天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为()A．1 B．2 C．3 D．4[解析]第一次循环T＝1，i＝3；第二次循环T＝1，i＝4；第三次循环T＝2，i＝5，满足条件i≥5，结束循环，故选B.[答案] B5．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．[解析]由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.[答案]1和31.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～3题的位置，难度较低，纯属送分题目．2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．热点课题2间接证明的应用[感悟体验]等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解] (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋2，n ∈N *.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p <q <r ，p ，q ，r ∈N *)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p <r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知z ＝1＋2i ，则复数2iz －2的虚部是( ) A.25 B ．－25 C.25i D ．－25i [解析] 2i z －2＝2i －1＋2i ＝2i (－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝45－25i ，该复数的虚部为－25，故选B.[答案] B2．若复数z ＝1＋2i ，则4iz z －－1等于( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i[解析]4i z z －－1＝4i(1＋2i )(1－2i )－1＝i ，故选C. [答案] C3．已知z (3＋i)＝－3i(i 是虚数单位)，那么复数z 对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝－3i 3＋i ＝－3i (3－i )(3＋i )(3－i )＝－3－3i 4＝－34－3i4，z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－34位于复平面内的第三象限，故选C.[答案] C4．(2018·大连模拟)下列推理是演绎推理的是( )A ．由于f (x )＝c cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 都成立，推断f (x )＝c cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质[解析] 由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 和D 为类比推理，故选A.[答案] A5．(2018·江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A．8 B．17 C．29 D．83[解析]根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值．模拟程序的运行过程：输入的x＝3，n＝2，当输入的a为2时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s＝8，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s＝29，k＝3，满足退出循环的条件．故输出的s的值为29，故选C.[答案] C6．用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若a＋b≥3，则a，b中至少有一个不小于2”．提出的假设应该是()A．a，b至少有两个不小于2B．a，b至少有一个不小于2C．a，b都小于2D．a，b至少有一个小于2[解析]根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”，故选C.[答案] C7．(2018·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A．56 B．54 C．36 D．64[解析]模拟程序的运行，可得：第1次循环，c＝2，S＝4，c<20，a＝1，b＝2；第2次循环，c＝3，S＝7，c<20，a＝2，b＝3；第3次循环，c＝5，S＝12，c<20，a＝3，b＝5；第4次循环，c＝8，S＝20，c<20，a＝5，b＝8；第5次循环，c＝13，S＝33，c<20，a＝8，b＝13；第6次循环，c＝21，S＝54，c>20，退出循环，输出S的值为54，故选B.[答案] B8．(2018·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是()A.12B．－1 C．2008 D．2[解析]模拟程序的运行，可知S＝2，k＝0；S＝－1，k＝1；S＝12，k＝2；S＝2，k＝3；…，可见S的值每3个一循环，易知k＝2008对应的S值是第2009个，又2009＝3×669＋2，∴输出的S值是－1，故选B.[答案] B9．(2018·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()A．i>100，n＝n＋1 B．i<34，n＝n＋3C．i>34，n＝n＋3 D．i≥34，n＝n＋3[解析]算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7， (100)等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34，故选C.[答案] C10．(2018·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯，故选B.[答案] B11．(2018·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为()A．i>6? B．i>5? C．i≥3? D．i≥4?[解析]依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，故选D.[答案] D12．(2018·吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④[解析] 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h 2，则截面圆的面积为π(R －h 2)2；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.[答案] D 二、填空题13．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． [解析] ∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a＝－2.[答案] －214．如图是一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________． [解析] 前15行共有15(15＋1)2＝120(个)数，故所求的数为a 122＝12×122－1＝1243. [答案] 124315．(2018·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为________．[解析] 如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.[答案] 616．“求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x ＝1的解”，有如下解题思路：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2，类比上述解题思路，可得不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．[解析] 因为x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2，所以x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，所以(x 2)3＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)．令f (x )＝x 3＋x ，所以不等式可转化为f (x 2)>f (x ＋2)．因为f (x )在R 上单调递增，所以x 2>x ＋2，解得x <－1或x >2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)。

回归教材推理与证明、复数、算法

c1＋c2＋„＋cn A.dn＝ n C.dn＝
n n n cn ＋ c ＋ „ ＋ c 1 2 n
√
D.dn＝ c1· c2· „· cn
n
2.证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因 .反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设. [问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60°” 三角形三个内角都大于60° 时，应假设__________________________.
对应的点是(1,4)在第一象限，共轭复数是1－4i，故选B.
解析
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2.用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac
＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为(
A.a，b，c，d中至少有一个正数
)
B.a，b，c，d全都为正数
√
C.a，b，c，d全都为非负数
答案
4. 复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：
1 ＋i 1－i (1)(1± i) ＝± 2i；(2) ＝i；＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1； 1 －i 1＋i
2
i
4n＋3
＝－i；i ＋i
4n
4n＋1
＋i
4n＋2
＋i
“0.875<0.8”判断为“否”，输出n＝4.
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查缺补漏
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算法证明推理复数知识点汇总

算法、证明、推理、复数知识点汇总知识点一算法初步（一）、算法的定义算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤．（二）、程序框图1．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．程序框图通常由程序框和流程线组成．3．基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．知识点二推理与证明（一）、归纳推理1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．（二）、类比推理1．由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性：a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)（三）、归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．（四）、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.（五）、直接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．1．反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．2．用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．知识点三复数（一）、复数的有关概念（二）、复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 1．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →.（三）、复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0).。

高考数学复习：算法与程序框图、基本算法语句

A.6
B.7
C.8
D.12
【解析】选C.S=0,n=1,S>1 009? 否
2 020
S=0+(1 )1 ,n=1+1=2,S1>009 ? 否
3
2 020
S=0+(1 )1 (1,n)2=2+1=3,S>1 009? 否
33
2 020
由( 1 )1 ( 1 )2 ( 1 )3 ( 1 )m
A．1B．1C. 3D．1
4
2
4
3
【解析】选A.由题意,得2×[2×(2x+1)+1]+1≥55, 解得x≥6,所以输出的x不小于55的概率为 8－6＝1 .
84
思想方法系列15——程序框图中的分类讨论思想【思想诠释】每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些
由( 1 )1 ( 1 )2 ( 1 )3 ( 1 )m
33 3
3
1[1－( 1 )m ] 33
1 [1－( 1
)m ]＞1
009 ，得
1－1
23
2 020
3
1 ＜ 1 ,即3m>1 010,m≥7,”………………抓本质
3m 1 010
“由此可知S=0+ (1 )1 (1 )2 (1 )3 (1 )7，
第八章算法、复数、推理与证明第一节算法与程序框图、
基本算法语句(全国卷5年11考)
【知识梳理】 1.算法算法通常是指按照一定_规__则__解决某一类问题的 __明__确__和__有__限__的__步__骤__.这些步骤必须是_明__确__和_有__效__ 的,而且能够在有限步之内完成.

高中数学《复数、算法、推理与证明》

431．数系扩充的历史：N ⊆Z ⊆Q ⊆R ⊆C ．2．复数的概念：形如i a b +的数叫做复数，其中,a b ∈R ，i 满足2i 1=-．其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．当且仅当0b =时，它是实数；当0b ≠时，它是虚数；当0a =且0b ≠时，它是纯虚数．3．复平面内x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴；x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ． 4．1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ），则12z z =⇔a cb d=⎧⎨=⎩；1z =i a b -；221z a b =+．12z z ±=()()i a c b d +±+；12z z =()()i ac bd ad bc -++；12z z =2222i ac bd bc ad c d c d +-+++． <教师备案>本讲分成三小节，第一节复习复数，有两道例题，涉及复数的四则运算与几何意义，总体难度不大，要注意复数与实数运算上的区别．高考对复数要求不高，最多涉及一道题，且会出在选择或填空的前两道题的位置上，对复数的知识点不必深究．尖子班学案1【铺1】 ⑴ （2010朝阳一模文1）复数22(1i)i+等于（）A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i⑵ 若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b += ．【解析】 ⑴ C⑵ 3【例1】 ⑴（2010崇文一模文10）知识结构图经典精讲13.1复数知识梳理第13讲复数、算法、推理与证明44如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =______．⑵ 如果1i1ia z a -=+为纯虚数，则实数a 等于（） A ．0 B ．1- C ．1 D ．1-或1⑶ 若复数z 满足(1i)1i z a -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（） A ．1a > B ．11a -<< C ．1a <- D ．11a a <->或⑷（2010全国文3）已知复数23i(13i)z +=-，则z =（）A ．14B ．12C ．1D ．2【解析】 ⑴ 1-⑵ D ⑶ A ⑷ B【例2】 ⑴ 若i 是虚数单位，则238i 2i 3i 8i +++⋅⋅⋅+= ．⑵ 计算下列各式的值：42011(1i)i+，4(13i)．⑶ 对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当2211a b c b=⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++等于（）A ．1B ．1-C ．0D ．i⑷ 若a b ，为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠ ②222()2a b a ab b +=++③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =对于任意非零复数a b ，，上述命题仍然成立的序号是___________．【解析】 ⑴ 44i -⑵ 42011(1i)4i i+=-；4(13i)883i =-+．事实上，31312⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，31312⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，31312⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，如果了解了复数的三角形式，这些结论是很明显的，也是要掌握的，现在复数要求不高，可以根据学生的程度选择介绍． ⑶ B⑷ ②④．目标班学案1【拓2】对任意复数()i z x y x y =+∈R ，，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．2z z y -=B ．222z x y =+C ．2z z x -≥D ．z x y +≤45【解析】 D【备选】（2010四川理16）设S 为复数集C 的非空子集，若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{i |S a b =+a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T ⊆⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是______________（写出所有真命题的序号）【解析】 ①②【备选】（2009上海文19）已知复数i z a b =+（a 、b +∈R ）（i 是虚数单位）是方程2450x x -+=的根．复数3i w u =+()u ∈R 满足25w z -<，求u 的取值范围．【解析】(2,6)-已知复数2(1)(1)i z a a =-++，若z 是纯虚数，则实数a 等于（）A ．2B ．1C ．1±D ．1-【解析】 B知识结构图13.2算法46<教师备案>本小节复习算法与程序框图，算法是新课标新增的考点，可能会在小题中出现，属于简单题．本小节不涉及算法语句与算法案例的内容，共两道例题．难点在循环结构上，有时会与其它知识点结合考查，主要是统计与数列的知识．尖子班学案2【铺1】 ⑴（2010丰台一模文3）在下面的程序框图中，若5x =，则输出i 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 ⑵ （2010崇文一模文12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为___、．x > 109i = i + 1NY 输出i结束x = 3x -2i = 0输入x开始⑴ ⑵【解析】 ⑴ C⑵ 89,144考点：程序框图【例3】 ⑴（2010东城一模文5）按如图所示的程序框图运算，若输入6x =，则输出k 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6⑵（2010西城一模文6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A ．1321B ．2113C ．813D ．138⑶（2010辽宁卷文5）如果执行下面的程序框图，输入6n =，4m =，那么输出的p 等于（） A ．720 B ．360 C ．240 D ．120经典精讲47第⑴题第⑵题第⑶题【解析】 ⑴ B ；⑵ D ；⑶ B ．考点：程序框图与其它内容结合【例4】 ⑴在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是（） A ．8i ≥ B ．9i ≥ C ．10i ≥ D ．11i ≥⑵ 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A ．1-B ．1C ．2D ．12⑶ 如果执行下面的程序框图，输入2x =-，0.5h =，那么输出的各个数的和等于（） A ．3 B ．3.5 C ． 4 D ．4.5是否结束输出s s =s +aa =a +i i =i +1( 1 )i =0，a =0，s =0开始第⑴题第⑵题第⑶题【解析】 ⑴ C⑵ A48⑶ B目标班学案2【拓2】某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据1a ，2a ，…，N a ，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A ．0A V S T >=-，B ．0A V S T <=-，C ．0A V S T >=+，D ．0A V S T <=+，【解析】 C（2010石景山一模文6）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NB ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NC ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈ND ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N【解析】 B1．合情推理包括归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（特殊到特殊）．2．演绎推理是由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程．演绎推理的主知识结构图知识梳理13.3推理与证明否否是是k = k +1结束输出S ，V k < NS=S+AT=T+AA =a kk =1, S =0, T =0输入N , a 1 , a 2 , ... , a N开始49要形式是三段论，包括大前提、小前提、结论．演绎推理中，当前提为真时，结论必然为真． 3．直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．4．反证法不是直接证明结论，而是否定这个命题的结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性．其中的矛盾主要指：与假设或已知矛盾；与数学的公理、定理、定义等矛盾或与公认的简单事实矛盾．<教师备案>本小节复习推理与证明，共两道例题．例5主要复习合情推理中的归纳推理与类比推理，涉及到一点演绎推理中的三段论，了解即可．例6主要讲反证法（分析法和综合法在第6讲不等式与数列中已经讲过，这里就不在讲了，仅在例6后的备选放了一道题供老师选用），学案中的铺垫是关于反证法的正确否定结论的．本节总体比较简单，知识点比较零碎，但是没有太多需要复习记忆的结论或知识点，所以例题数量安排较多，个别题难度比高考要求的大，如例5的⑹，可以根据课堂情况选择讲解．注意文科的推理与证明不涉及数学归纳法．考点：合情推理与演绎推理【例5】 ⑴ 已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=，则在等比数列{}n b 中，会有类似结论________________．⑵ 已知0x >，则不等式1122x x x x +⋅=≥，3222444332222x x x x x x x x+=++⋅⋅=≥，……，启发我们可以得到推广结论：1n ax n x++≥（n *∈N ），则a =___________．⑶ 在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：222.c a b =+设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -，如果用123S S S ，，表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么你类比得到的结论是．图 2图 1OLNMcb a⑷ 下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质22x x =类比得到复数z 的性质22z z =；③已知a ，b ∈R ，若0a b ->，则a b >类比得已知1z ，2z ∈C ，若120z z ->，则12z z >； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的序号是．⑸ 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数()3f x x =在0x =处的导数值()00f '=，所以，0x =是函数()3f x x =的极值点．以上推理中（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 ⑹（2010福建文16）观察下列等式： ① 2cos 22cos 1αα=-；② 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+；③ 642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-；经典精讲50④ 8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+；⑤ 108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-．可以推测，m n p -+= ．【解析】 ⑴30201230b b b b ⋅⋅=⋅⋅⋅⑵ n n⑶ 22224123S S S S =++； ⑷ ①④ ⑸ A ⑹ 962【备选】（2009崇文一模文14）对于集合{}123N n =，，，，的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数，例如集合{}12469，，，，的交替和是964216-+-+=，集合{}5的交替和为5．当集合N 中的2n =时，集合{}12N =，的所有非空子集为{}1，{}2，{}12，，则它的“交替和”的总和212(21)4S =++-=，则当3n =时，3S =_________________；根据2S 、3S 、4S ，猜想集合{}123N n =，，，，的每一个非空子集的“交替和”的总和n S =____________．【解析】 12；12n n -⋅【备选】中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：⑴ 自反性：对于任意a A ∈，都有a a ；⑵ 对称性：对于a b A ∈，，若a b ，则有b a ； ⑶ 传递性：对于a b c A ∈，，，若a b b c ，，则有a c ．则称“”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出两个等价关系：________________．【解析】图形的全等、图形的相似、非零向量的共线、命题的充要条件等等．尖子班学案3【铺1】 ⑴ 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度 ⑵ 命题“关于x 的方程0(0)ax a =≠的解是唯一的”的结论的否定是（）A ．无解B ．两解C ．至少两解D ．无解或至少两解【解析】 ⑴ B⑵ D目标班学案351【铺2】已知21112(3)01()31n n n n x x x x x n x *++>≠=∈+N ，，．试证：数列{}n x 或者对任意2n n *∈N ，≥都满足1n n x x -<，或者对任意正整数n 都满足1n n x x +<．当此题用反证法证明时，假设应为（） A ．假设对任意正整数n ，有1n n x x += B ．假设存在正整数n ，使1n n x x +=C ．假设存在正整数n ，使1n n x x -≥且1n n x x +≥D ．假设存在正整数n ，使11()()0n n n n x x x x -+--≥【解析】 D ．考点：证明【例6】 ⑴ 设,,a b c 都是正数，则1a b +，1b c+，1c a +三个数（）． A ．都大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2⑵ 若a b c ，，均为实数，且222πππ222236a x yb y zc z x =-+=-+=-+，，．求证：a b c ，，中至少有一个大于0．【解析】 ⑴ D⑵（用反证法）假设a b c ，，都不大于0，即000a b c ≤，≤，≤，则有0a b c ++≤，而222πππ222236a b c x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222πππ(1)(1)(1)3236x y z ⎛⎫=-+-+-+++- ⎪⎝⎭222(1)(1)(1)π3x y z =-+-+-+-∵222(1)(1)(1)x y z ---，，均大于或等于0，π30->， ∴0a b c ++>，这与假设0a b c ++≤矛盾，故a b c ，，中至少有一个大于0．【备选】已知a b c ∈R ，，，0a b c ++>，0ab bc ac ++>，0abc >．利用反证法证明：000a b c >>>，，．【解析】若结论不成立，即a b c ，，不同时为正数．则由0abc >知a b c ，，必为两负一正．不妨设000a b c <<>，，．于是0c a b >-->，0a b +<，22223()()()024b ab bc ac ab c a b ab a b a b a ab b a b ⎛⎫++=++<+--+=---=-+-< ⎪⎝⎭，与已知矛盾，故结论成立．【备选】ABC △的三个内角A 、B 、C 成等差数列，它们所对的边分别记为a b c ，，，求证：113a b b c a b c+=++++．52【解析】要证113a b b c a b c +=++++，即需证3a b c a b ca b b c +++++=++．即证1c a a b b c+=++．又需证()()()()c b c a a b a b b c +++=++，需证222c a ac b +=+ ∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列．∴60B =︒．由余弦定理，有2222cos60b c a ca =+-︒，即222b c a ac =+-． ∴222c a ac b +=+成立，命题得证．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有()12f =，()24f =，()38f =，则()f n 的表达式为（） A ．2n B ．2nC ．22n n -+D ．()()()2123n n n n ----【解析】 C归纳推理不一定能得到正确结论，对于不了解中间过程的归纳推理，最好能多写几项，否则归纳得到的一般情况不一定正确，如果能了解递推过程，那么归纳的准确率就高很多了．考虑(4)f ，第4个圆与前面3个圆都相交，共多出6个交点，每2个相邻的交点将平面多分成一部分，故共多出6个部分，从而(4)8614f =+=，故只有C 正确．如果不用归纳推理，可以考虑()f n 与(1)f n -的关系．第n 个圆会与前面1n -个圆分别相交，共多出2(1)n -个交点，故多将平面划分2(1)n -个部分，即()(1)2(1)f n f n n --=-．运用叠加法得[]()(1)212(1)(1)f n f n n n -=+++-=-，故2()2f n n n =-+．（2011北京文2）复数i 212i-=+( ) A ．i B ．i - C ．43i 55-- D ．43i 55-+【解析】 A（2011北京文6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5 【解析】C真题再现P1P =P +1结束输出P S =S +否是S ≤AP =1,S =1输入A开始53【演练1】在复平面内，复数1i i z =-（i 是虚数单位）对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 C【演练2】i 是虚数单位，若12i i(,)1ia b a b +=+∈+R ，则a b +的值是（） A ．12- B ．2- C ．2 D ．12【解析】 C【演练3】（2010湖南文12）如图是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填．【解析】0x >或0?x >或0x ≥或0?x ≥【演练4】如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（） A ．4?T > B ．4?T <C ．3?T >D ．3?T <【解析】 B【演练5】⑴观察下列等式：33212(12)+=+， 3332123(123)++=++，333321234(1234)+++=+++，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为___________________________________． ⑵在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积比为1:4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为_______．【解析】 ⑴ 33333212345(12345)++++=++++（或215）⑵ 1:8实战演练输出-x 1否是结束输出x 输入x 开始S = S +1T ⋅ i T =T +1i =i+1S =0T =0i =1输出S 否是结束开始54 【演练6】已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥．【解析】法一（综合法）1a b c ++=2()1a b c ⇒++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=．又222222222ab a b bc b c ac a c +++≤，≤，≤，故22221()333a b c a b c =++++≤，从而22213a b c ++≥，命题得证．法二（反证法）若结论不成立，即22213a b c ++<，则由222222222a b ab b c bc a c ac +++≥，≥，≥知， 222222222a b c ab bc ac ++++≥，从而2222222()2()3()1a b c a b c ab bc ac a b c ++=+++++++<≤，与已知矛盾，故22213a b c ++≥．（2005上海交通大学保送生测试）若31z =，且z ∈C ，则322220z z z +++=________．【解析】25或19 321(1)(1)0z z z z -=-++=，故1z =或210z z ++=．若1z =，则3222201222025z z z +++=+++=；若1z ≠，则210z z ++=，322222012(1)1819z z z z z +++=++++=．故32222025z z z +++=或19．大千世界。

推理证明与复数复习

推理证明与复数复习一．推理： ⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明 ⒈直接证明⑴综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。

分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

（反设—归谬—结论）三.复数1．概念：(1) z =a +bi ∈R ⇔b =0 (a,b ∈R ) (2) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0(a ,b ∈R )；(3) z =a+b i 是纯虚数⇔a =0且b ≠0(a,b ∈R )⇔z ＋z ＝0（z≠0）；(4) a +b i=c +di ⇔a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )；2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R )，则：(1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ； (2) z 1.z 2 = (a +bi )²(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ；(3) z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ; 3．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数4. 复数的几何意义：复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数5．复数的模：||||||z a bi OZ =+== 6．几个重要的结论：(1) i i 2)1(2±=±；(2);11;11i ii i i i -=+-=-+ (3) i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i推理证明与复数1、演绎推理是（）Ａ．特殊到一般的推理Ｂ．特殊到特殊的推理Ｃ．一般到特殊的推理Ｄ．一般到一般的推理2、下面几种推理是合情推理的是（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③ ①由圆的性质类比得出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180； ③四边形内角和是360 ，五边形内角和是540 ，由此得出凸多边形内角和是(2)180n - ． 3、观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（）Ａ．9(1)109n n n ++=+ Ｂ．9(1)109n n n -+=-Ｃ．9(1)101n n n +-=- Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=-4、在平面直角坐标系内，方程1x y a b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为a b ，的直线，拓展到空间，在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(0)a b c abc ≠，，的平面方程为（）Ａ．1x y z a b c ++= Ｂ．1x y z ab bc ca ++= Ｃ．1xy yz zx ab bc ca++= Ｄ．1ax by cz ++= 5、用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（）Ａ．a b c ，，都是奇数Ｂ．a b c ，，都是偶数Ｃ．a b c ，，中至少有两个偶数Ｄ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 6、若()f x 与()g x 是定义在R 上的可导函数，则 “()()f x g x ''=”是“()()f x g x =”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 7、m ∈R ，复数22(232)(32)i m m m m --+-+表示纯虚数的充要条件是（）Ａ．12m =-或2m = Ｂ．2m = Ｃ．12m =- Ｄ．2m =或1m =8、设a b c d ∈R ，，，且c d ，不全为零，若i i a b c d +∈+R ，则（）Ａ．0bc ad +≠ Ｂ．0bc ad -≠ Ｃ．0bc ad -= Ｄ．0bc ad +=9、已知复数226(310)i()3a a z a a a a +-=+--∈+R 满足i 0z >或i 0z <，则a 等于（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．2或3- Ｄ．210、设复数i()z a b a b =+∈R ，对应的点在虚轴的右侧，则（）Ａ．0a >，0b > Ｂ．0a >，0b < Ｃ．0b >，a ∈RＤ．0a >，b ∈R 11、复数2sin570icos(2)z =+- 对应的点位于复平面的（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 12、若关于x 的方程2(12i)(31)i 0x x m ++--=有实根，则纯虚数m 等于（）Ａ．1i 12 Ｂ．112 Ｃ．1i 12-Ｄ．112- 13、观察223sin 20cos 50sin 20cos504++= ，223sin 15cos 45sin15cos 454++= ，请写出一个与以上两式规律相同的等式：． 14、*111()1()23f n n n =++++∈N ，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >．由此推测，当2n >时，有．15、复平面内点A B C ，，对应的复数分别为i 142i +，，，由A B C D →→→按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则BD 等于___________.16、若复数z 满足i 2z z z += ，则z = ． 17、若a b ∈R ，，且22(i)(1i)32i a b +++=+，则a b 的值等于．18、设222log (33)ilog (3)()z m m m m =--+-∈R ，若z 对应的点在直线210x y -+=上，则m 的值是．19、已知i 1i a z -=-，其中0a >，i 为虚数单位．复数(i)z z ω=+的虚部减去它的实部所得的差为32，则a = ．20、已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，则a b +=_________. 21、有下列四个命题，其中是真．命题的是（填上你认为正确命题的序号）. ① “若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；② “,x R ∃∈使得213x x +>”的否定是“,x R ∀∈都有213x x +≤”；③ “若m ≤1，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④ “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件.22、已知 p ：方程012=++mx x 有两个不等的实根；q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根.若“p”为假命题，“q”为真命题，求实数 m 的取值范围.23、设命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x （0>a ），命题:q 实数x 满足023≤--x x ，（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。