第4章贪心算法

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4.1 活动安排问题的贪心选择性质 为所给的活动集合。 设E＝{1,2,…,n}为所给的活动集合。 ＝ 为所给的活动集合 E中活动按结束时间的非减序排列，故活动 具有 中活动按结束时间的非减序排列， 中活动按结束时间的非减序排列 故活动1具有 最早的完成时间。 最早的完成时间。 首先， 首先，证明活动安排问题有一个最优解以贪心选 择开始，即该最优解中包含活动1。 择开始，即该最优解中包含活动 。
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2、最优子结构性质
当一个问题的最优解包含其子问题的最优 解时，称此问题具有最优子结构性质。 解时，称此问题具有最优子结构性质。 问题的最优子结构性质是该问题可用动态 规划算法或贪心算法求解的关键特征。 规划算法或贪心算法求解的关键特征。
以下证明活动安排问题具备这两个基本要 即可由贪心算法求最优解。 素，即可由贪心算法求最优解。
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4.1 活动安排问题
新学期来临，为迎接新生，各院系都要举办迎 新晚会。时间将近，各院系在申请使用学院礼堂 进行彩排。为了提高礼堂使用率，决定白天不间 断的开放，各院系可以上报各自使用的时间区间 （开始时间以及终止时间，时间长短不限），由 礼堂管理人员安排尽可能多的院系在同一天里彩 排。 请根据以下时间段尽可能多安排几个院系： [8:00,10:30), [9:00,11:30), [7:00,11:00), [11:30-14:00), [12:00,13:30) , [13:00,15:30), [15:00,16:00), [14:30,16:00), [16:00,18:00)
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4.1 活动安排问题
贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。 贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。 对于活动安排问题，算法greedySelector greedySelector却总能 但对于活动安排问题，算法greedySelector却总能 求得它的整体最优解， 求得它的整体最优解，即它最终所确定的相容活动 集合A的规模最大。 集合A的规模最大。
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4.1 活动安排问题
解活动安排问题的贪心算法GreedySelector 解活动安排问题的贪心算法GreedySelector :
template<class Type> void GreedySelector(int n, Type s[], Type f[], bool A[]) { A[1]=true; //加入最早结束的活动 加入最早结束的活动 int j=1; //刚加入集合的活动号 刚加入集合的活动号
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4.2 贪心算法的基本要素
本节着重讨论可以用贪心算法求解的问题的一 般特征。 般特征。 从许多可以用贪心算法求解的问题中看到这类 问题一般具有2个重要的性质：贪心选择性质和 问题一般具有2个重要的性质：贪心选择性质和最 优子结构性质。 优子结构性质。
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4.2 贪心算法的基本要素
1、贪心选择性质 所谓贪心选择性质是指所求问题的整体 最优解可以通过一系列局部最优的选择，即 可以通过一系列局部最优的选择， 贪心选择来达到。 贪心选择来达到。 这是贪心算法可行的第一个基本要素， 这是贪心算法可行的第一个基本要素，也 是贪心算法与动态规划算法的主要区别。 是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
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4.1 活动安排问题的贪心选择性质
的一个子集， 设A是E的一个子集，且A是所给的活动安排问题的一个 最优解， 中活动也按结束时间非减序排列， 最优解，且A中活动也按结束时间非减序排列，A中第 一个活动是活动k 一个活动是活动k。 k=1， 中第一个活动是活动1 活动1 若k=1，则A中第一个活动是活动1，活动1是E中最早结 束的， 就是一个以贪心选择开始的最优解。 束的，即A就是一个以贪心选择开始的最优解。 k>1，则我们可以设B=(A B=(A∪{1}.即用活动 即用活动1 若k>1，则我们可以设B=(A-{k}) ∪{1}.即用活动1替 换掉活动k 由于f 中活动是互为相容的， 换掉活动k，由于f1≤fk，且A中活动是互为相容的，故 中活动也是互为相容的（说明B是一个可行解）。 ）。又 B中活动也是互为相容的（说明B是一个可行解）。又B 中活动个数与A中活动个数相等， 是最优的， 中活动个数与A中活动个数相等，且A是最优的，则B也 是最优的。 是最优的。
有位顾客买了两斤苹果，需付3元7角，实付10元，你需找 零6元3角。假设你抽屉里有一些硬币，面值分别为：2元5 角、1元、5角和1角，现在问题是：怎么找币最快（取硬 币次数最少）？
问题描述：M=6.3 ，n=4 V={2.5, 1.0, 0.5 ,0.1}（分量用vi表示） X={ x1, x2, x3, x4 } （xi>=0, i=1~4） 即求:
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4.1 活动安排问题
设待安排的11 11个活动的开始时间和结束时 例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时 间按结束时间的非减序排列如下： 间按结束时间的非减序排列如下：
i S[i] f[i] 1 1 2 3 3 0 4 5 5 3 6 5 7 6 8 8 9 8 10 2 11 12
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1、贪心选择性质 动态规划算法中，每步所作的选择往往依赖于相 动态规划算法中 关子问题的解。因此， 关子问题的解。因此，动态规划算法通常以自底 向上的方式解各子问题。 向上的方式解各子问题。 贪心算法则通常以自顶向下的方式进行 则通常以自顶向下的方式进行， 贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代 的方式作出相继的贪心选择， 的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择 就将所求问题简化为规模更小的子问题。 就将所求问题简化为规模更小的子问题。 对于一个具体问题， 对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择 性质， 性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致 问题的整体最优解。 问题的整体最优解。
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4.1 活动安排问题
算法GreedySelector每次总是选择具有最 算法GreedySelector每次总是选择具有最 GreedySelector 早完成时间的相容活动加入集合A 早完成时间的相容活动加入集合A中。 该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安 排时间段极大化， 排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容 活动。 活动。
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4.1 活动安排问题
将各活动的起始时间和结束时间存储于数组s和f 中，且按结束时间的非减序排列： f1<=f2 <=f3... ... <=fn 即需要先对各活动按结束时间排序。
如：[2,3), [1,4), [3,5), [1,2) 按结束时间排序后： [1,2), [2,3), [1,4), [3,5) 剩余时间越多，可安排的活动就越多！ 剩余时间越多，可安排的活动就越多！
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4.1 活动安排问题的贪心选择性质 也就是说， 是一个以贪心选择活动 是一个以贪心选择活动1开始的最优 也就是说，B是一个以贪心选择活动 开始的最优 活动安排。因此，我们证明了总存在一个以贪心 活动安排。因此，我们证明了总存在一个以贪心 选择开始的最优活动安排方案（ ） 选择开始的最优活动安排方案（a） 。 以下证明在贪心选择了活动1之后 之后， 以下证明在贪心选择了活动 之后，原问题简化为 中所有与1相容的活动进行活动安排的子问题 对E中所有与 相容的活动进行活动安排的子问题 中所有与 相容的活动进行活动安排的子问题。
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4.1 活动安排问题
设有n个活动的集合E={1,2,…,n} 设有n个活动的集合E={1,2, ,n}，其中每个活动都 E={1,2, ,n}， 要求使用同一资源，如会场等， 要求使用同一资源，如会场等，而在同一时间内只有一 个活动能使用这一资源。 个活动能使用这一资源。 每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一 每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间s 个结束时间f 个结束时间fi,且si<fi 。 如果选择了活动i 则它在时间的半开半闭区间[s 如果选择了活动i，则它在时间的半开半闭区间[si, fi)内占用资源。若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交， 内占用资源。若区间[s 与区间[s 不相交， 则称活动i与活动j是相容的。也就是说， 则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si≥fj或 活动i与活动j相容。 sj≥fi时，活动i与活动j相容。
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4.1 活动安排问题
计算过程如左图所示。 计算过程如左图所示。 图中每行相应于算法的一 次迭代。 次迭代。 阴影长条表示的活动已选 入集合，而空白长条表示 入集合， 当前正在检查相容性的活 动。 若被检查的活动i 若被检查的活动i的开始 时间S 时间Si小于最近选择的活 的结束时间f 动j的结束时间fi，则不选 择活动i 否则选择活动i 择活动i，否则选择活动i 加入集合A 加入集合A中。
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4.1 活动安排问题
活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最 活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最 大的相容活动子集合， 大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的 典型例子。 典型例子。 该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源 该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源 的活动。 的活动。 贪心算法提供了一个简单、 贪心算法提供了一个简单、漂亮的方法使得尽可 能多的活动能兼容地使用公共资源。 能多的活动能兼容地使用公共资源。
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4.1 活动安排问题
算法GreedySelector的效率极高。 算法GreedySelector的效率极高。当输入 GreedySelector的效率极高 的活动已按结束时间的非减序排列时， 的活动已按结束时间的非减序排列时，算法 只需O(n)的时间安排n个活动， O(n)的时间安排 只需O(n)的时间安排n个活动，使最多的活 动能相容地使用公共资源。 动能相容地使用公共资源。 如果所给出的活动未按非减序排列， 如果所给出的活动未按非减序排列，可以 O(nlogn)的时间重排 的时间重排。 用O(nlogn)的时间重排。