加减消元法解二元一次方程组

合集下载

二元一次方程组的解法

二元一次方程组的解法二元一次方程组是指包含两个未知数和两个方程的方程组。

解二元一次方程组的常用方法有消元法、代入法和矩阵法等。

下面将分别介绍这三种方法的步骤和应用。

一、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法，它的基本思想是通过消去一个未知数，从而将方程组转化为只含一个未知数的一次方程，进而求解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 通过等式的加减消去一个未知数。

选择其中一个方程，将其系数乘以另一个方程中与其同未知数的系数的相反数，然后将两个方程相加或相减，消去该未知数。

2. 获得新的一次方程，其中只含有一个未知数。

3. 解新的一次方程，求得该未知数的值。

4. 将求得的未知数值代入原方程中，求得另一个未知数的值。

5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。

二、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程，从而将方程组转化为只含一个未知数的方程，进而求解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 选择一个方程，将其一个未知数表示为另一个未知数的函数，例如将（1）中的 x 表示为 y 的函数：x = f(y)。

2. 将函数表达式代入另一个方程（2），得到只含有一个未知数 y的一次方程。

3. 解这个一次方程，求得 y 的值。

4. 将求得的 y 值代入第一个方程（1），求得 x 的值。

5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。

三、矩阵法矩阵法是用矩阵运算的方法解二元一次方程组，它的基本思想是将方程组转化为矩阵方程，通过对矩阵的运算得到解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）将方程组表示为矩阵形式：⎛ a₁ b₁⎞⎛ x ⎞⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ a₂ b₂⎠ * ⎝ y ⎠ = ⎝ c₂⎠利用矩阵的逆矩阵，可以得到未知数向量的值：⎛ x ⎞⎛ a₁ b₁⎞⁻¹⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ y ⎠ = ⎝ a₂ b₂⎠⎝ c₂⎠通过计算矩阵的逆矩阵，可以求得未知数的值。

5.2-加减消元法解二元一次方程组

6 7y 9 7y 96 7y 3 3 y 7
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
异加
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
①
② 同减
3x 5 y 21 2 x 5 y -11
6x-5y=17②
1. 用加减法解方程组
应用（B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正： 7x－4y＝4 ①
加减法
(4)
9x-5y=1 6x-7y=2
加减法
⑴ 如果方程组的两个方程中某一未知数的系数相等或者互为相反数时，把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一元一次方程，解这个方程得一个未知数的值。将求得的未知数代入其中一个方程得另一个未知数的值，从而解得方程组的解。同减异加 ⑵如果方程组中某一未知数系数绝对值均不相等时，把一个或两个方程两边乘以一个适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为上述类型方程组求解。特别的，当一个方程中某未知数的系数是另一个方程同一未知数的系数的倍数时，加减消元法比较合适。
(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c ( .等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)

加减消元法解二元一次方程组

2 x 5 y 3 例3： 4 x y 3
问题1．这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？问题2．那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
作业：用加减消元法来解下面这几道题
1.
x 2y 9 3 x 2 y 1
同学们都学会了吗？
总结：
同减异加
当两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
填空题：
1.已知方程组
练习
x+3y=17
两个方 2x-3y=6 程分别相加就可以消去未知数 y 只要两边 25x-7y=16 两个方程 2.已知方程组 25x+6y=10 只要两边分别相减就可以消去未知数 x
2 1 100 1
4 x 10 y 3 . 6 例2：解方程组: 15 x 10 y 8
分析：可以发现 10y与-10y互为相反数，若把两个方程的左边与左边相加,右边与右边相加，就可以消去未知数y。
用什么方法可以消去一个未知数?先消去哪一个比较方便?
x 99 y 100 3 x 99 y 102
同学们还有其他的方法吗?
8.2
消元——二元一次方程组的解法
加减消元法
例1：解方程组:
x 99 y 100 3 x 99 y 102
① ②
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
解:由①-②得:
① ②
①左边 ②左边
=
①右边 ②右边

加减消元法解二元一次方程组--教案

3、解——解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
4、回代——把求得的值代回方程中，求另一个未知数的值；
5、联——用“﹛”把两个未知数的值联立起来。
提示强调：①当某一个未知数的系数的绝对值相等时，若符号不同，用加法消元，若符号相同，用减法消元；
②当某一个未知数的系数成倍数关系时，将系数较小的方程两边都乘这个倍数，把该未知数变为相等或互为相反数，再用加减法解方程组；
③当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，把该未知数的系数化为绝对值相等的数，再用加减消元法求解。
（五）课堂练习
用加减法解下列方程组
（六）课堂小结
1、本节课主要学习了用加减法解二元一次方程组，到现在我们学习了那些解二元一次方程组的方法？
（四）牛刀小试
1、填空题
⑴已知方程组两个方程，只要两边就可以消去未知数。
⑵已知方程组两个方程，只要两边就可以消去未知数。
2.选择题
⑴用加减法解方程组应用（）
A①-②消去yB ①-②消去xC ②-①消去常数项
D 以上都不对
⑵方程组消去y后所得的方程是（）
A6x=8B6x=18C6x=5Dx=18
8.2.2加减消元-----解二元一次方程组
教学目标：
1、知识技能目标
掌握加减消元法的基本步骤，熟练运用加减消元法解简单的二元一次方程组
2、能力目标：
能够熟练运用加减消元法解二元一次方程组，训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。
3、情感态度及价值目标：
通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探究精神，进而体会数学的独特魅力。
问题7：例3用加减法解方程组
提问：同学们，观察这个方程组，能直接进行加减消元吗？那这个方程组怎么来解，我们分成小组来讨论研究学习。

解二元一次方程组(加减消元)

请看例题并用代入法将其解答出来
5x 2 y 33 3x 2 y 7
x 5
解：
y
4
5x 2 y 33 ① 3x 2 y 7 ②
解：用①+②得
8x 40 x5 ③
把③代入①得
y4
所以方程组的解为：
x
y
5 4
同学根据刚才得算法计算下面的题
2x 5 y 7 ① 2x 3y 1 ②
② 消-----再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减（若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③ 解-----解这个一元一次方程，求出未知数的值； ④ 回代----将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
解：用①－②得
8y 8
y 1 ③
把③代入②得
把
x 1
所以方程组解为：
x y
1 1
思考什么是加减消元法
？
概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程组化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消
用加减消元法解方程组
2x 3y 1 ① 3x y 5 ②
解：用②×3－①得
7x 14
x2 ③
把③代入②得
y 1
x 2
所以方程组的解为：
y
1
加减消元法解题步骤：
① 变-----利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，）；

浅谈用加减消元法解二元一次方程组的基本方法

二元一次方程是指由两个数字组成的方程，其中一个为未知数。

当我们求解二元一次方程时，通常会使用加减消元法。

这种方法可以帮助我们更好地理解和计算方程中每个元素的含义。

1：二元一次方程二元一次方程是指将一个含有两个未知数的实数域，分为三个不同类型来进行求解。

当我们在定义三元组时，就会遇到“二元”这个概念。

但是二元意味着什么呢？对于一元二次方程来说，它就是所有未知量都只有一个未知数，而对于二项式方程来说，则是全部未知量有四个或者五个未知数。

那么，二元到底是什么意思呢？其实二元就是指除了实数以外还包括了虚数和复数两种状态。

因为包含虚数和复数以后，计算起来要比只包含实数要复杂得多，所以才用二元作为描述方式。

2：二元一次方程组的解法二元一次方程组是一个简单的线性代数方程，它可以表示为一个整数和n个小数的形式。

如果我们用加减消元法来解这个问题的话，就需要把二元一次方程组转化为等价于原来所需的形式了：这样做后，只要求出未知数的最小公倍数就行了，而不是像以前那样必须先求解一元二次方程才能得到答案。

3:加减消元法二元一次方程是指含有两个未知数的线性方程，即：X-Y=Q+R。

二元一次方程可以分为一元二次方程、三元二次方程和四元三次方程三类。

其中，由4个三元次方组成的方程称为“三元一次方程”；而2个三元次方组成的方程称为“三元二分方程”；2个三元二次方组成的方程则叫做“三元三解方程”；或者更为简单地称作“三元幂方程”。

在很多情况下，二元一次方程的答案都需要通过加减或者乘除来求得。

因此，对于这些问题来说，学好一元二次方程是至关重要的。

同时，也要善于运用所学知识解决实际生活中遇到的各种难题。