北京市延庆县第三中学高中数学 2.1.3 函数的单调性教案1 新人教B版必修1

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人教版高中必修1(B版)2.1.3函数的单调性课程设计

人教版高中必修1(B版)2.1.3函数的单调性课程设计一、课程背景在高中数学学科中，函数是一个非常重要的概念。

高中数学课程安排了多个章节来讲述和讨论函数的相关概念，其中包括函数的定义、性质、图像以及应用等。

在这些章节中，函数的单调性也是一个非常重要的概念。

在本次课程设计中，我们将着重讨论函数单调性的相关知识点。

二、课程目标1.理解函数单调性的概念和定义。

2.掌握函数单调性的判定方法，包括一阶导数法和二阶导数法。

3.了解函数单调性在实际生活中的应用。

三、教学重难点1.重点：函数单调性的概念和定义、一阶导数法判定函数单调性。

2.难点：二阶导数法判定函数单调性、函数单调性在实际生活中的应用。

四、教学内容和方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.函数单调性的概念和定义2.如何通过一阶导数法判定函数单调性3.如何通过二阶导数法判定函数单调性4.函数单调性在实际生活中的应用2. 教学方法本节课将采用多种教学方法，包括讲解、例题分析和实例解释等。

1.讲解法。

老师会对函数单调性的概念和定义进行详细的讲解，让学生能够理解这个概念的含义和特点。

2.例题分析法。

老师会选取一些典型的例题，通过分析和解答这些例题，让学生掌握和应用函数单调性的判定方法。

3.实例解释法。

老师将会通过一些生活中的实例，来解释函数单调性在实际生活中的应用。

五、教学过程1. 理解函数单调性的概念和定义1.通过授课的方式，讲解函数单调性的概念和定义。

2.引导学生通过实例等方式帮助学生理解函数单调性的含义和特点。

2. 如何通过一阶导数法判定函数单调性1.通过授课的方式，讲解如何通过一阶导数法判定函数单调性。

2.以典型的例题为案例，由老师现场解题，帮助同学们更好地理解这种判定方法。

3. 如何通过二阶导数法判定函数单调性1.通过授课的方式，讲解如何通过二阶导数法判定函数单调性。

2.以典型的例题为案例，由老师现场解题，帮助同学们更好地理解这种判定方法。

人教版高中必修1(B版)2.1.3函数的单调性教学设计

人教版高中必修1(B版)2.1.3函数的单调性教学设计教学内容与目标本次教学的内容是针对高中数学必修1(B版)教材中2.1.3节的函数的单调性进行教学设计，并着重培养学生对于单调性的理解和运用能力。

本节教学的目标是：1.理解函数单调性的概念；2.能够判断函数的单调性，并画出函数的单调变化图；3.能够运用函数的单调性来解决实际问题。

教学重难点分析本节内容的重点在于函数单调性的判定和函数单调变化图的绘制。

难点在于培养学生对于函数单调性的理解和运用能力。

具体重点和难点如下：1.掌握函数单调性的概念和特征；2.学会判断函数的单调性，并能灵活运用；3.能够画出函数的单调变化图，表达函数单调性的变化规律。

教学过程设计1. 导入环节通过引入具体的实际问题，向学生介绍函数单调性的概念和作用。

例如：小明经营一家超市，他想知道每天卖出的商品数量是否与天气状况有关。

我们可以用函数的单调性来判断这个问题。

2. 概念讲解引导学生从实际例子中理解函数单调性的概念，并介绍函数单调性的判定方法和特点。

重点讲解单调递增和单调递减的概念和区别。

3. 典型例题从教材中选择一道典型的例题，让学生独立思考函数单调性的判定过程，并在教师的引导下找出规律，掌握判定函数单调性的方法。

可以引导学生运用数学工具，如导数和函数图像等。

4. 练习环节通过多组实例题目进行练习，帮助学生深入掌握函数单调性的判定方法，培养学生独立解题的能力。

同时，可以引导学生多种方式进行练习，如手算、编程、作图等。

5. 归纳总结通过一些典型例子的讲解和练习，并结合实际问题培养学生的应用能力，对本节内容进行总结归纳，并引导学生思考实际应用场景，激发学生的创造力。

教学评价方法1.通过上课的课堂练习来了解孩子们对概念的掌握情况；2.布置家庭作业，检验学生对于本节的掌握情况；3.布置考试题目，通过考试的考核，来检验学生的掌握程度。

2015北京市延庆县第三中学高中数学2.1.2《函数的表示方法》教案新人教B版必修1

时，对应法则为y=x2，试用解析法和图像法分别表示该函数
例4把函数用分段函数表示，并求，并写出其定义域和值域.
学生思考、交流
学生讨论交流
环节三
闯关训练
巩固概念
13分钟
1.如图所示，可表示函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图像的只可能是（）
ｙＢ．ｙ
ｘｏｘ
Ｃ．ｙＤ．ｙ
ｏｘｏｘ
2.已知ｆ(ｘ)＝３ｘ－１，ｇ(ｘ)＝，则ｆ［ｇ(ｘ)］＝________．
3.解析法：在函数y=f（x）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的（或公式法）。
二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数
例⒈作函数的图像
例⒉作函数（不超过x的最大整数）的图像
例3已知函数y=f（x）的定义域为[-1,2]，当时，对应法则为y=x-1，当
北京市延庆县第三中学高中数学2.1.2函数的表示方法教案新人教B版必修1
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．
教学方法：教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法.
教学环节
任务与目的
时间
教师活动
学生活动
环节1
点击双基
环节二
典型例题分析
设疑激趣，导入课题
对函数表达式的理解应用
A.1 B.15 C.4 D. 30
2、函数，若（）
A.1 B. 1或 C. 1或 D.
3.函数，则的值是
4.出下列函数的图像，并标明其定义域和值域：
（1）（2）（3）f(x)＝x2－2|x|
（4）（5）
课题
2.1.2函数表示方法

《函数的单调性》教案3( 新人教B版必修1)

课题：§1.3.1函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（2）理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征；（3）能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性；（4）通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看待问题.教学重点：函数单调性的定义及单调函数的图象特征．教学难点：利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性．教法与学法：启发式教学，充分发挥学生的主体作用．教学用具：黑板、计算机多媒体、投影仪教学过程：一．情景引入：1．在第23届奥运会上中国首次参加就获得15枚金牌，第24届奥运会中国获得5枚金牌，第25届和第26届奥运会中国都获得了16枚金牌，第27届奥运会中国获得了28枚金牌，第28届奥运会中国获得了32枚金牌，第29届北京奥运会中国获得51枚金牌的好成绩. 画出散点图，由图象很清晰的可以看到，从1996年第26届奥运会开始，中国所获得的金牌数不断增加，这充分说明了我们祖国的繁荣富强也大大的促进了体育事业的飞速发展.2．德国着名心理学家艾宾浩斯的研究数据：将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是着名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？（学生回答）这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆.象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性.二．学习新课：观察下列函数的图象,回答当自变量x 的值增加时,函数值f (x )是如何变化的？（学生回答）（1随着增大,所以称函数1()x f x =+（2y (-∞,0]上当x 增大时f (x ) )上当 x 2()x f x =在(-∞,0] 那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？考察函数2 ()f x x =在（0,+∞)上任取x 1、x 2 ,则112 ()f x x =，222 ()f x x =，对任意0<x 1<x 2 ，都有2212x x < ，所以在区间（0,+∞)上，对任意x 1<x 2 ,都有12()()f x f x <，即2 ()f x x =在（0,+∞)上, 当x 增大时, 函数值()f x 相应地随着增大.这与观察图象所得结果是一致的. 所以2()f x x =在区间（0,+∞)上是增函数.由此归纳出增函数的定义，类似地得出减函数的定义（学生讨论、回答）.定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数.分析定义可得：（1）增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.（2）x 1、x 2的三大特征：①属于同一区间；②任意性； ③有大小：通常规定x 1<x 2 .根据定义判断：函数1()xf x =在(-∞,0)和(0，+∞)上都是减函数.问：能否说函数1()xf x =在区间(-∞,0)∪(0，+∞)上也是减函数？答：不能. 因为不是对任意的x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x >.反例如：－1<1，－1＝f (-1)< f (1)＝1.如果函数y=f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f (x )在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数f (x )的单调区间.三．概念应用：例1．如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数y=f (x )函数是增函数还是减函数？（学生活动）解：函数y =f (x )的单调区间有其中y=f (x )在区间[-5, -2）,[1，3)上是减函数；在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 注意：（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开，不能用集合中的“∪”连接.（2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可. 例2．证明函数()23f x x =-+在R 上是单调减函数.（学生分组讨论、分别演板展示）证明：设x 1、x 2是R 上任意两个值，且12x x <，则121211()()(23)(23)2()f x f x x x x x --=-+--+=- ∵1212, 0,x x x x <-<∴122()0x x -->∴∴12()()0, f x f x ->即12()()f x f x >∴函数()23f x x =-+在R 上是单调减函数.总结证明函数单调性的步骤：1.设值:设任意x 1、x 2属于给定区间，且12x x <；2.作差变形:差12()()f x f x -变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；3.判断差符号:确定12()()f x f x -的正负；4.下结论:由定义得出函数的单调性.四．课堂练习：证明函数()k f x x=（k 为负的常数）在区间（0,+∞）上是增函数.（学生演练）五．课堂小结1.增函数、减函数的定义；2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.3.（定义法）证明函数单调性的步骤: 六．布置作业1.课本39页A 组第1、2、3题.2.课下思考题：如何确定函数4() , [1 , 5]f x x x x=+∈的单调区间，并证明你的结论.设值作差变形判断差符号作差变形下结论设值。

高中数学2.1.3函数的单调性教案新人教B版必修1

高中数学 2.1.3函数的单调性教案新人教B版必修1 1.教学基本流程2、教学设计证明：任取且在它的定义域上是减从知识、方法两个方面引导学生进行总结.证明：函数、求函数精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

2015北京市延庆县第三中学高中数学2.1.3《函数的单调性》教案1新人教B版必修1

学科：数学课题：2.1.3函数的单调性教学目标（三维融通表述）：通过实例，学生理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学生能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程教学环节问题与任务时间教师活动学生活动引入新课讲解典引导学生理解增减函数、单调性、单调区间的意义会用定义证明单调性3分钟8分钟1．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x （2）f(x) = -2x+1（3）f(x) = x2（1）增函数:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的内的自变量x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说f(x)在区间D上是增函数．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．(2)函数的单调性定义:如果函数y=f(x)在上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这具有（严格的），区间D叫做y=f(x)的：(3)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2∈D，且x1<x2；作差f(x1)－f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．画图学生参与发现概念型例题分析巩固提高熟练运用定义证明单调性，强化对定义的理解及应用18分钟14分钟例1 证明函数y＝2x＋1在(,)-∞+∞上是增函数.例2证明函数y＝x1在（－∞，0）是减函数，在（0，＋∞）也是减函数．教师指导讲评学生的解题情况1.函数xxf2)(=在]2,1[-∈x上的单调性为2.函数2xy-=的单调增区间为3.若函数bmxy+=在),(+∞-∞上是增函数，那么4.函数32)(2+-=mxxxf，当),2[+∞-∈x时是增函数，当]2,(--∞∈x时是减函数，则)1(f=学生尝试解决问题学生尝试解决问题，或讨论完成题目小结2分增减函数、单调性、单调区间的定义，用定义判断单调性的步骤个别回答板书设计课题1.增减函数定义例12.用定义证明步骤例2作业训练作业训练：1.函数||)(xxf=的减区间是____________________.3.如果函数5)1()(2+--=xaxxf在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f的取值范围是__________________.4.已知函数3)(2+--=axxxf在区间]1,(--∞上是增函数，求a的取值范围5.证明函数2)(xxf-=在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数。

高中数学2.1.3函数的单调性教学设计新人教B版必修1

函数的单调性（教学设计）一、教材分析：《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。

在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情分析：按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。

依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。

所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。

在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

三、教学目标依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

2.1.3函数的单调性(一)教案(人教B版必修1)

2.1.3函数的单调性 (一)1．理解单调性的定义．2．运用单调性的定义判断函数的单调性．1．定义域为I 的函数f (x )的增减性：思考讨论在增、减函数定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？答案不能2．如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果f x 1－f x 2x 1－x 2>0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果f x 1－f x 2x 1－x 2<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数．利用图象求单调区间【例1】求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|.分析由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、简单的方法，若图象从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．解(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0. 图象如图所示．f (x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3][－1,1]．规律方法函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f (x )有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．变式迁移1 写出函数f (x )＝ax 2|x |＋1(a ≠0)的单调区间．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1 x >0－ax ＋1 x <0 当a >0时，如图①所示， ∴单调递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．当a <0时，如图②所示．∴单调递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)．① ②利用定义证明函数的单调性【例2】证明：函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．分析证明的关键是对f (x 1)－f (x 2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式．证明设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－1x 1x 2， ∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．规律方法证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x 1、x 2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．变式迁移2 利用单调性的定义证明函数y ＝x － 1x在(0，＋∞)上是增函数．证明任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)－1x 1＋1x 2＝(x 1－x 2)(1＋1x 1x 2)，∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1＋1x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．函数单调性的应用【例3】已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．分析解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．解 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2，∴此二次函数的对称轴为x ＝1－a .∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]．∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合．∴1－a ≥4，解得a ≤－3.规律方法已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．变式迁移3 本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解由题意知，f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]，∴1－a ＝4，∴a ＝－3.1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f (x )＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f (x )＝1x在定义域上是减函数． 3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：取值——作差变形——定号——判断．若f (x )>0，则判断f (x )的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．高ο考(试.题╝库。

高中数学 2.1.3 函数的单调性教学设计新人教B版必修1

函数的单调性教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示X作用。

二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点三、教学目标1．知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感、态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．四、教学重点、难点教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性教学难点：归纳并抽象函数单调性定义；用定义判断单调性的基本步骤五、学法与教法学法：〔1〕合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题〔2〕自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动〔3〕探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知〔如例题的处理〕。

教学用具：电脑、多媒体。

教法：整堂课围绕“一切为了学生发展〞的教学原那么突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。

〔1〕新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

〔2〕理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得函数单调性的定义。

高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性课堂导学案新人教B版必修1(2021年整理)

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2.1.3 函数的单调性课堂导学三点剖析一、单调性的判断与证明【例1】证明函数f(x)=x+1x 在(0,1）上是减函数.思路分析：证明的关键是对Δy 进行变形,尽量变形成几个简单因式积或几个平方和的形式. 证明：设0＜x 1＜x 2＜1,则Δx=x 2—x 1＞0,∴Δy=f（x 2）-f （x 1)=（x 2+21x ）-(x 1+11x ）=(x 2-x 1）+1221x x x x -=（x 2—x 1）•21121x x x x -。

∵0＜x 1＜x 2＜1，则x 1·x 2-1＜0，∴f（x 2)＜f(x 1).∴f（x)在(0，1）上是减函数.温馨提示（1)也可以证明f （x ）=x+x1的单调增区间是(-∞，1］，［1,+∞），单调减区间是[—1,0）,（0,1］，最好记住.（2)可引申为f （x ）=x+xa （a ＞0）在区间(0,a ]上单调递减；在区间(a ,+∞）上单调递增. 二、函数单调性的应用【例2】已知函数f(x ）对任意x,y∈R ，总有f （x)+f(y)=f （x+y ），且当x 〉0时，f(x)<0，f（1)=—23.（1)判断并证明f(x ）在R 上的单调性;（2)求f(x)在［—3,3]上的最大值和最小值。

北京市延庆县第三中学高中数学 2.3 函数应用教案新人教B版必修1

学科：数学课题：2.3函数应用教学目标（三维融通表述）：能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用一次函数、二次函数模型解决实际问题，初步掌握数学建模的一般步骤和方法；通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点；了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识．教学重点: 运用一次函数、二次函数模型解决实际问题．教学难点：增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法．教学过程教学环节问题与任务时间教师活动学生活动引入新课讲解典型例题复习一次函数、二次函数相关内容结合实例，探求新知根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当3分钟5分钟18分钟1．形如f（x）= 叫一次函数，当为增函数；当为减函数。

2．二次函数的解析式三种常见形式为；；。

3．f（x）=a x2+bx+c（a≠0），当a 0,其图象开口向，函数有最值,为；当 a 0, 其图象开口向，函数有最值,为。

（当给定一区间的二次函数的最值问题怎样考虑？）4． f（x）=a x2+bx+c（a≠0）当a>0时,增区间为；减区间为．任务二：典型例题分析例2、某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其它因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？任务三：闯关训练说出一次函数、二次函数相关性质学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.探索：1）本例所涉及的变量有哪分析巩固提高的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.14分钟１．一根弹簧，挂重１００Ｎ的重物时，弹簧伸长２０ｃｍ，当挂重１５０Ｎ的重物时，弹簧伸长（）ｃｍＡ．３ｂ．１５ｃ．２５Ｄ．３０２．用长度为２４米的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）Ａ．３ｃｍＢ．４ｃｍＣ．６ｃｍＤ．１２ｃｍ３．某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１x2（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）台Ａ．１００Ｂ．１２０Ｃ．１５０Ｄ．１８０４．某商场出售一种产品，每天可卖１０００件，每件可获利４元，根据经验，若每件少买１角，则每天可多买１００件，为获得最好的经济效益，每件应减价（）Ａ．１．５元Ｂ．２元Ｃ．３元Ｄ．２．５元些？它们的取值范围怎样；2）变式思考：试写出火车匀速行驶的路程y与火车行驶的时间x之间的函数关系3）所涉及的变量的关系如何？4）写出本例的解答过程.小结2分解方法步骤：1合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题2运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答个别回答板书课题例1 例2作业训练1．某商人将彩电先按原价提高４０％，然后在广告上写上＂大酬宾，八折优惠＂结果是每台彩电比原价多赚了２７０元，那么每台彩电原价是元2。

北京市延庆县第三中学高中数学 2.1.1 函数的概念教案

1北京市延庆县第三中学高中数学 2.1.1 函数的概念教案新人教B 版必修1 课题教学目标：通过举例，学生初步理解映射、一一映射的概念，理解映射与函数的关系；学生会判定给定的对应是否为映射；通过讲解，学生会求解函数的解析式。

教学重点：映射的基本概念教学难点：解析式的求解教学方法：教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法.教学环节任务与目的时间教师活动学生活动环节1 创设情境设疑激趣，导入课题 5 分钟学生思考、交流环节二探索新知引导学生经历并体会映射概念形成过程.10分钟教师引导总结： 1. 映射，象及原象的概念 2. 一一映射的概念学生讨论交流，得出概念环节三理解应用通过练习进一步理解映射、象、原象有关概念.10分钟例⒈ P35例7，会判断由A 到B 是不是映射，是不是函数例⒉已知元素(ｘ，ｙ)在映射ｆ下的原象是（ｘ＋ｙ，ｘ－ｙ），则（１，２）在ｆ下的象是______________．例3．集合Ａ＝｛b a ,｝，Ｂ＝｛０，１｝，从Ａ到Ｂ可建立多少种不同的映射？有多少种一一映射？例4 。

⑴已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ2，求ｆ(ｘ－１)；⑵已知函数ｆ(ｘ－１)＝ｘ2－２ｘ＋７，求函数ｆ(ｘ)的解析式．学生思考、交流，并得出结论.环节四课堂练习巩固概念 15分钟 1. 已知集合Ｐ＝｛ｘ｜０≤ｘ≤４｝，Ｑ＝｛ｙ｜０≤ｙ≤２｝，下列从Ｐ到Ｑ的对应关系ｆ不能构成映射的是（）Ａ．ｆ：ｘ→ｙ＝21ｘＢ．ｆ：ｘ→ｙ＝31ｘＣ．ｆ：ｘ→ｙ＝32ｘＤ．ｆ：ｘ→ｙ＝81ｘ2 2.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ2＋ｐｘ＋ｑ满足ｆ(1)＝ｆ(2)＝０，则ｆ(－1)的值是（）Ａ．５Ｂ．－５Ｃ．６Ｄ．－６3. 设Ａ＝Ｂ＝Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋６，求⑴集合Ａ中21的象；⑵集合Ｂ中－３的原象．4. 已知ｆ(x)＝(ｘ－１)2＋１，求ｆ(x ＋1)5. 若ｆ(ｘ－１)＝２ｘ2－１，求ｆ(ｘ)学生独立完成环节让学生 5 本节课学习了以下内容：五归纳总结进一步体会知识分钟1．映射的有关概念：（象、原象）2．映射的概念3．解析式的求解共同总结、交流、完善作业训练作业训练：⒈关于集合Ａ到集合Ｂ的映射，下面说法错误的是（）Ａ．Ａ中的每一个元素在Ｂ中都有象Ｂ．Ａ中的两个不同元素在Ｂ中的象必不同Ｃ．Ｂ中的元素在Ａ中可以没有原象Ｄ．象集Ｃ不一定等于Ｂ⒉下列对应是集合Ａ到集合Ｂ的一一映射的是（）Ａ．Ａ＝Ｂ＝Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ＝－x1，ｘ∈Ａ，ｙ∈ＢＢ．Ａ＝Ｂ＝Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ＝ｘ2，ｘ∈Ａ，ｙ∈ＢＣ．Ａ＝Ｂ＝Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ＝||1xx+，ｘ∈Ａ，ｙ∈ＢＤ．Ａ＝Ｂ＝Ｒ，ｆ：ｘ→ｙ＝ｘ3，ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ⒊给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射;②xxxf-+-=23)(是函数;③函数ｙ＝２ｘ（ｘ∈Ｎ）的图象是一条直线;④xxxf2)(=与ｇ(ｘ)＝ｘ是同一函数．其中正确的有_______个．Ｂ使集合Ａ中的元素（ｘ，ｙ）映射成集合Ｂ中的元素（ｘ＋ｙ，ｘ－ｙ），求在映射ｆ下象（２，１）的原象是5.已知（1）ｆ(ｘ)＝ｘ2＋2ｘ＋3，求f（2x-1）（2）已知f（x+1）=ｘ2＋4ｘ＋3，求f（x）课后反思2。

人教新课标高中数学B版必修1《2.1.3 函数的单调性》教学设计(表格式)

§2.1.3函数的单调性
一、教学目标
1.知识与技能目标
使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法;
2.过程与方法目标
引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
3.情感态度与价值观目标
在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.
二、教学重点与难点
重点：函数单调性的概念形成和初步运用．
难点：函数单调性的概念形成．
三、教法与学法
（一）教法
在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法，通过“提出问题、思考问题、解决问题”的教学过程，借助实物试验、多媒体课件引导学生进行试验探究、观察类比、概括归纳出增函数和减函数的定义,再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

（二）学法
学生通过“试验观察、思考探究、归纳总结”的自主学习解惑过程，体验从特殊到一般的数学思维过程，体会学以致用和数学的严谨之美，增强学习的兴趣和信心。

四、教学教具
多媒体课件
五、教学过程设计。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.1.3 函数的单调性》

课题：函数的单调性
部性质；
错误!必须是对于区间D内的任意两个自变量1，2；当1<2时，总有
f 1<f
2
．
4．函数的单调性定义
如果函数=f在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数=f在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做=f的单调区间：
练习：1判断下列函数的单调性和单调区间
（1）f = 2
错误!在区间 ____________ 上，是 ________函数．（2）f = -24
错误!在区间 ____________ 上，是 ________函数．（3）f =a ^2bc
（4）错误!在区间 ____________ 上，
是 ________ 函数．
错误!在区间 ____________ 上，是 ________函数．
2如图是定义在区间[－5，5]上的函数=f，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
（三）质疑答辩，发展思维。

例1 ：证明函数f=2-3在R上是增函数
证明：根据单调性的定义，任取1，2∈R，且
因为
21
x x x
∆=->
2121
()()(23)(23) y f x f x x x
∆=-=---
注：1、课题字体：黑体小二加粗
2、栏目字体：仿宋四号加粗
3、内容字体：宋体小四。

北京市延庆县第三中学高中数学 2.1.3 函数的单调性教案2 新人教B版必修1

学科：数学课题：2.1.3函数的单调性2教学目标（三维融通表述）：通过实例，学生巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；通过讲解学生初步了解复合函数单调性的判断方法.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.教学难点：复合函数单调性的判定教学过程教学环节问题与任务时间教师活动学生活动复习新课讲解典型例题分析复习单调性及判定引导学生理解复合函数单调性的判定会用定义证明单调性，会判定复合函数的单调性3分钟8分钟18分钟引导学生复习1.什么是增函数；减函数.2.什么是单调性，单调区间.3.如何证明函数单调性5．复合函数单调性的判断：对于函数)(ufy=和)(xgu=，如果)(xgu=在区间),(ba上是具有单调性，当),(bax∈时，),(nmu∈，且)(ufy=在区间),(nm上也具有单调性，则复合函数))((xgfy=在区间),(ba具有单调性的规律见下表：规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.例1、判断并证明函数3)(xxf=的单调性.例2、已知函数582++=axxy在),1[+∞上递增，那么a的取值范围是.复习回顾学生共同理解复合函数单调性的判定与老师共同探讨解题巩固提高熟练运用定义证明单调性，强化对复合函数单调性的理解14分钟例3、求函数322-+=xxy的单调区间。

任务三：闯关训练1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A.13+-=xy B.3xy=C.342+-=xxy D.xy4=2．函数322+--=xxy的单调减区间是3．函数163)(2+-=xxxf，)4,3(∈x上的单调性是4．已知函数582++-=axxy在),1[+∞上递减，那么a的取值范围是____学生尝试解决问题，或讨论完成题目小结2分用定义判断单调性的步骤，复合函数单调性的判定个别回答板书设计课题1.复合函数单调性判定例题作业训练作业训练：1.求下列函数的增区间与减区间(1)y＝|x2＋2x－3| （2）1122---=xxxy2．函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．3．已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：4．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．反思。

北京市延庆县第三中学高中数学必修1教案2.1.1《函数》新人教B版

学科：数学课题： 2.1.1函数教学目标（三维融通表述）：（1）通过丰富实例，学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数（2）学生了解构成函数的要素；（3）通过练习，学生会求一些简单函数的定义域；（4）学生能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程教学环节问题与任务时间教师活动学生活动引入新课讲解典型例题分析复习函数概念引导学生理解函数概念会求定义域、函数值3分钟8分钟18分钟1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本P29引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：重点讲解函数概念，符号意义，函数的三要素和区间的表示1.函数注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数，而不是f乘x．如何检验给定两个变量之间是否有函数关系2.构成函数的三要素：3. 区间的概念及表示例⒉求函数ｆ(ｘ)＝112x，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域．例3判断下列函数是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1复习理解概念学生尝试解决问题巩固提高熟练进行定义域及函数值的求解14分钟（2）f ( x ) = x； g ( x ) = 2x（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x(5) f ( x ) = x 2, g(x-2)=(x-2)2, g(t)=t2例4判断下列函数是否为同一函数，并画出其图像，说明其定义域和值域（1）f ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2，（21≤≤-x）（2）f（x）=2x+2 g(x)=2x+2（21≤≤-x）1.求函数xxy-+-=22的定义域、值域．2. 222y x x=-++的定义域是222-+-=xxxy的定义域是3.2)3(22--+-=xxxy的定义域是4.2)(2+=xxxf，求f（-1）f（0）f（2）学生尝试解决问题，或讨论完成题目小结2分要理解函数的定义，理解区间的表示，会求函数的定义域个别回答板书设计课题1.函数例12.三要素例23.区间例3作业训练1.求下列函数的定义域（1）211-++=xxy（2）(4)12xy xx-=-+-（3）234y x x=+-2. 已知函数0(3)()2xf x xx-=-+，求f（x）在2，4处的函数值反思。