2020版高考数学第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案文含解析北师大版

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第四章平面向量和数系的扩充与复数的引入4-4解析

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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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必考部分·第四章
第四节数系的扩充与复数的引入
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第四章·第四节
主干知识·整合热点命题·突破
课堂实效·检测课时作业
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第四章·第四节
2．复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3 ∈C，有 z1＋z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)．
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第四章·第四节
z1、z2 是复数，z1－z2>0，那么 z1>z2，这个命题是真命题吗？
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第四章·第四节
热点命题·突破 02
考点突破解码命题
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第四章·第四节
复数的有关概念
【例 1】 (1)(2014·浙江卷)已知 i 是虚数单位，a，b
∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
答案：A
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第四章·第四节
2．设复数 z 满足 z(2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则 z 的模为________．
解析：∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝62＋－43ii， ∴|z|＝2|2|3－＋32ii||＝2.
答案：2
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2020高考数学理科大一轮复习导学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)，y ′＝ μ·y ，(μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为 y ＝3sin2x .解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x .知识点二极坐标系1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ.另一种关系为ρ2＝__x 2＋y 2，tan θ＝yx .2．(选修4－4P11例4改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 3．(选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( A )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 解析：A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1,0≤ρsin θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.知识点三, 常见曲线的极坐标方程4．(选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)解析：方法1：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法2：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.5．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( A )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P 2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.6．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是6.解析：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x .圆心(0,4)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|－4|(3)2＋(－1)2＝2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是2＋4＝6.1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．考向一伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0.(2)x 2＋y 2＝1.【解】伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线． (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C 的方程．解：把⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′， ∴y ＝x 为所求直线l ′的方程．考向二极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．【解】 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求．极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 考向三极坐标方程的应用方向1 转化为直角坐标方程解题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.方向2 利用极坐标的几何意义解题【例4】 (2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.(2)设A (ρ1，π6)，B (ρ2，π3)．把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A (4＋33，π6)．把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B (3＋43，π3)．∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin(π3－π6)＝12＋2534.,极坐标方程的应用主要有以下两种方法：(1)转化为直角坐标方程，利用解析几何的方法解决；(2)利用极坐标方程中ρ，θ的几何意义解决与长度、角度有关的问题.1．(方向1)(2019·沈阳市教学质量监测)设过平面直角坐标系的原点O 的直线与圆(x －4)2＋y 2＝16的一个交点为P ，M 为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点M 的轨迹C 的极坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(3，π3)，点B 在曲线C 上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设M (ρ，θ)，则P (2ρ，θ)，则点P 的直角坐标为(2ρcos θ，2ρsin θ)，代入(x －4)2＋y 2＝16得ρ＝4cos θ，∴点M 的轨迹C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)由题意得点A 的直角坐标为(32，332)，则直线OA 的直角坐标方程为y ＝3x ，|OA |＝3，由(1)易得轨迹C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心(2,0)到直线OA 的距离d＝3，∴点B 到直线OA 的最大距离为3＋2，∴△OAB 面积的最大值为12×(3＋2)×|OA |＝3＋22×3＝3＋332.2．(方向2)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)，y ′＝ μ·y ，(μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为 y ＝3sin2x .解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin2x ′，即y ′＝3sin2x ′，所以y ＝sin x 的方程变为y ＝3sin2x .知识点二极坐标系1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．如图，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ.另一种关系为ρ2＝__x 2＋y 2，tan θ＝y x .2．(选修4－4P11例4改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 3．(选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( A )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1,0≤ρsin θ≤1)；∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2. 知识点三, 常见曲线的极坐标方程4．(选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π)解析：方法1：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法2：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.5．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( A )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P 2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.6．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是6.解析：圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x .圆心(0,4)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|－4|(3)2＋(－1)2＝2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是2＋4＝6.1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎨⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．考向一伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0.(2)x 2＋y 2＝1.【解】伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线． (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆．经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C 的方程．解：把⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′， ∴y ＝x 为所求直线l ′的方程．考向二极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．【解】 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求．极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.考向三极坐标方程的应用方向1 转化为直角坐标方程解题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2. 方向2 利用极坐标的几何意义解题【例4】 (2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A (ρ1，π6)，B (ρ2，π3)．把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A (4＋33，π6)．把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B (3＋43，π3)． ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB ＝12(4＋33)(3＋43)sin(π3－π6) ＝12＋2534.,极坐标方程的应用主要有以下两种方法：(1)转化为直角坐标方程，利用解析几何的方法解决；(2)利用极坐标方程中ρ，θ的几何意义解决与长度、角度有关的问题.1．(方向1)(2019·沈阳市教学质量监测)设过平面直角坐标系的原点O 的直线与圆(x －4)2＋y 2＝16的一个交点为P ，M 为线段OP 的中点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点M 的轨迹C 的极坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(3，π3)，点B 在曲线C 上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设M (ρ，θ)，则P (2ρ，θ)，则点P 的直角坐标为(2ρcos θ，2ρsin θ)，代入(x －4)2＋y 2＝16得ρ＝4cos θ，∴点M 的轨迹C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)由题意得点A 的直角坐标为(32，332)，则直线OA 的直角坐标方程为y ＝3x ，|OA |＝3，由(1)易得轨迹C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心(2,0)到直线OA 的距离d＝3，∴点B 到直线OA 的最大距离为3＋2，∴△OAB 面积的最大值为12×(3＋2)×|OA |＝3＋22×3＝3＋332.2．(方向2)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.。

2020版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4_4数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版

(2)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A．34＋21π B．12＋1π C．12－1π D．14－21π 解析 (2)由|z|≤1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足 y≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足 y≥x 的概
【变式训练】
→ (1)如图，若向量OZ对应的复数为
z，则
z＋4z表示的复
数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析 (1)由题图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝ 1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选 D。
)
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2－5 i2＝2－52i＋2＋i i2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是 3－ 4i。故选 C。
答案 C
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
必考部分
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节数系的扩充与复数的引入
微知识·小题练微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣基础自测
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部。
若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，

高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入文

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复数的几何意义(yìyì)
【例 4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数1－1 i的共轭复数
对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第
二象限，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
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D．(－1，＋∞)
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(1)D (2)B [(1)1－1 i＝1－1i＋1i＋i＝1＋2 i＝12＋12i，所以1－1 i的共
轭复数为12－12i，在复平面内对应的点为12，－12，位于第四象限，故选 D．
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，
也就是复数对应的向量的模. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )
A．A C．C
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4．复数12＋－2ii＝( A．i C．－i
)
B．1＋i D．1－i
A [12＋－2ii＝12＋－2ii22＋＋ii＝55i＝i.]
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5．(教材改编)设 x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋

第四章第四节数系的扩充与复数的引入

[题组自测题组自测] 题组自测 1．若复数 z 满足＋i)z＝1－3i，则复数 z 在复平面上的．满足(1＋＝－，对应点在 A．第四象限． C．第二象限． B．第三象限． D．第一象限． ( )
1－3i (1－3i)( －i) － )(1－ ) － )( 解析：＝－1－，解析：由已知得 z＝＝＝＝－－2i，则 1＋i )(1－ ) ＋ (1＋i)( －i) ＋ )( z 所对应的点为－1，－，故 z 对应的点在第三象限．所对应的点为(－，－，－2)，对应的点在第三象限．
a＋2i ＋ (a＋2i)i ＋ ) 解析：解析：由题可知 i ＝b＋i，整理可得 i2 ＝b＋i，＋，＋，＝－1，＝，即 2－ai＝b＋i，根据复数相等可知 a＝－，b＝2，－＝＋，＝－所以 a＋b＝1. ＋＝
答案：答案： B
3．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中是虚数单位，则．若复数是虚数单位，＋，＋，其中i是虚数单位复数(z 的实部为________．复数 1－z2)i的实部为的实部为．解析：∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，解析：＋，＋，＝－20－， ∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－－2i，＝－＋＝－的实部为－ ∴复数(z1－z2)i的实部为－20. 复数的实部为答案：答案：－20
答案：B 答案：
)(2＋ ) (1＋2i)( ＋i) ＋ )( 3．复数．等于 (1－i)2 －) 5 A. 2 5 C. i 2 5 B．－．－ 2 5 D．－ i ．－ 2
(
)
)(2＋ ) (1＋2i)( ＋i) 2＋4i＋i＋2i2 ＋ )( ＋＋＋ 5i 5 解析：解析：＝＝＝－ . 2 (1－i)2 －) －2i －2i

高考一轮第四章第四节数系的扩充与复数ppt

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3＋i 5．若复数z满足z＋i＝ i ，则|z|＝________.
3＋i 解析：因为z＝ i －i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝ 17.
答案： 17
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1．复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z|＝|z－0|＝a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
－λ＋μ＝3， ∴ 2λ－μ＝－4， λ＝－1，解得 μ＝2.
∴λ＋μ＝1.
答案：1
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[冲关锦囊] 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减
法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边
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[精析考题] [例1] 数a为 A．2 1 C．－2 B．－2 1 D.2 (2011· 安徽高考)设i是虚数单位，复数 1＋ai 为纯虚数，则实 2－i ( )
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[自主解答]
法一：因为
1＋ai 1＋ai2＋i ＝ 2－i 2－i2＋i
2－a＋2a＋1i ＝为纯虚数， 5 所以2－a＝0，a＝2； 1＋ai ia－i 法二：因为＝为虚数，所以a＝2. 2－i 2－i
2 2i3－4i 8 6 z2 1＋i 2i 2 2 解析：∵z2＝z·1，∴z＝z ＝ z ＝＝＝5＋5i. 5 3＋4i 3＋4i 1
答案：C
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[冲关锦囊]
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度 1＋i 1－i a＋bi (1)(1± ＝± i) 2i；(2) ＝i；(3) ＝－i；(4) i ＝b－ai； 1－i 1＋i

高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.1数系的扩充与复数的引入复数的确立素材

复数的确立有了实数概念，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，又产生了新的矛盾，如负数开平方是什么？众所周知，在实数范围内，任何一个正数或负数的平方都得正数，或者说，没有一个数的平方这样的数称之为“虚数”，以示“不存在”、“虚无”的意思．后来，人们经过长期实践逐步认识到，“虚数”并不虚无，还把虚数与实数的复合形式a+a b，为实数）称为复数．于是，在数的概念中，又引进了复数的概念，数的系统得到了再一次的扩充．“虚数”概念的确立，是一个漫长而曲折的过程，大体可分为以下几个阶段：第一，问题提出阶段．早在公元前，在解决生产实际问题时，人们就遇到了负数开平方问题，例如，解方程210x+=时，又遇到了负数开平方．例如，公元七世纪，我国唐代的《辑古算经》中，就有三次方程问题及其解法．但一直到十六世纪以前，无论是我国还是外国，虽然研究并解决了许多三次方程问题，但对负数开平方问题仍采取回避的态度．就是说，问题是提出来了，但没有解决．第二、理论探讨阶段．到了十六世纪，人们已获得了三次方程的一般求解公式：30x px q++=（p q，为实数）有x①后来，人们发现，某些三次方程有实根，但用公式①求不出实根，于是出现了矛盾．例如，31540x x--=，显然有实根4x=．但应用公式①，则得x===如何解决这一矛盾？当时，人们从理论上进行了探讨，充分发挥了辩证思维的能动作用．例如，1572年，意大利数学家邦别利（Ｒ．Ｂombelli，1526-1572），从21=-出发，证得332(22(2⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩③将③代入②，得x224=+．这样，就解决了用公式①求不出实根的矛盾．不仅如此，还逐渐建立了关于虚数的一些运算法则．虚数开始得到人们的承认．第三，实践检验阶段．有了虚数概念之后，人们在理论上把数的概念由实数扩展到了复数．但是，在相当长的时期里，一些人对虚数和复数的存在是有怀疑的．十六世纪的意大利数学家卡当（Ｇ．Ｃardane，1501-1576）仍称复数为“似实而虚的”数．十七、十八世纪，人们努力寻找复数的几何表示和物理意义．到了十九世纪，人们最终作出了复数的各种几何解释，它被理解为平面上的点或矢量，并与物理学上的各种矢量联系起来了．这样，复数在物理学的实际研究中首先得到了一些应用，并受到了初步检验．这种应用，反过来又推动了复数理论的进一步发展，逐渐形成了一门重要的数学分支———复变函数论．复变函数论在解决与弹性力学、电工学、空气动力学、流体力学等有关的生产实际问题中显示出，它是一种很有效的数学工具．既然复变函数论在实践中得到了检验，证明它是科学的数学理论，那么，作为这种理论的基本概念的复数及虚数，也就一同在实践中得到了检验，证明它是科学的数学概念．复数确立之后，数的概念得到了又一次扩展．。

2020版高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第26讲数系的扩充与复数的引入课件文

C．3
D．－3
解析 a2＋－ii＝2a－1＋5a＋2i，由题意知 2a－1＝a＋2，解
得 a＝3.
5．[考法三]设(1＋i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x＋
yi|＝( B ) A．1
B. 2
C. 3
D．2
解析因为 x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi，
所以xy＝＝11，， |x＋yi|＝|1＋i|＝ 2.故选 B.
A．－1＋3i
B．1＋3i
C．1－3i
D．－1－3i
解析 2z－z2＝1＋2 i－(1＋i)2＝1＋21i－1－i i－2i＝1－i－2i＝
1－3i，其共轭复数是 1＋3i.故选 B.
3．[考法二]已知复数 z 满足(2＋i)z＝1＋i，则 z 在复平面
内对应的点在( A )
A．第一象限
【例 2】 (1)(2018·北京卷)在复平面内，复数1－1 i的共轭复
数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点
在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a_＝___c且___b_＝__d____(a，b，c，
d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔___a_＝__c_且__b_＝__－___d__(a，
b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作_|_z_| _或___|a_＋__b_i_| __，即|z|＝|a＋bi|＝_____a_2_＋__b_2___.

高三数学复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

数学(6省专版)
提升学科素养
演练知能检测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
回扣主干知识
1．下列说法中正确的是
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量
(
)
提升学科素养
突破热点题型
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相
同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案：D
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演练知能检测
第一节
平面向量的概念及其线性运算向量的线性运算
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故 D错误．
演练知能检测
答案：B
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第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD
提升学科素养
突破热点题型
位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
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2020年高考数学第一轮复习-第四单元-平面向量、数系的扩充与复数的引入(教案)

2020年高考数学第一轮复习第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算(律(法则a-b=3.向量的共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使.常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心.4.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图4-24-1所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:(1)++=0;(2)=(+);(3)=(+),=(+).图4-24-15.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.题组一常识题1.[教材改编]-+-+++=.2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.图4-24-23.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则=.4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ=.题组二常错题◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是()A.a=2bB.a∥bC.a=--bD.a⊥b(2)给出下列说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是.[总结反思]对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.式题(1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC上,EF 过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.①④B.③④C.②③D.①②探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶1(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.[总结反思]利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,图4-24-4在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A.B.C.D.[总结反思]向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4[2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m的值为() A.-2 B.-4 C.1 D.4[总结反思]与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|=.5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O 的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n=.图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ=()A.-B.-2C.D.2[总结反思]两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.考向2三点共线的问题6 (1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2[总结反思](1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b 共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.±14.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=()A.B.C.D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=,||=.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为,;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为,.题组一常识题1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 用基底e1,e2表示为.图4-25-13.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量=.4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y=.题组二常错题◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为.6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m=.课堂考点探究探究点一平面向量的基本定理1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=,e2=(1,-2)(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC上一点,且=λ,则λ的值为()A.4B.5C.6D.7[总结反思](1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=()A.B.2 C.D.1探究点二平面向量的坐标运算2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-2,1)(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)[总结反思](1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.式题(1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.B.C.D.探究点三平面向量共线的坐标表示3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()A. B.-C.D.-[总结反思](1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.式题(1)若A(-2,3),B(3,-2),C,m三点共线,则m=()A.B.- C.-2 D.2(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()A.-2B.2C.-D.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课前双击巩固1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定零向量与任一向量的数量积为,即.(2)几何意义①向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.②向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积.(3)向量的夹角已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ.①交换律:;②数乘结合律:(λa)·b==(λ∈R);③分配律:(a+b)·c=.3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.①e·a=a·e=.②a⊥b⇔.③当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=.特别地,a·a=或|a|=.④cos θ=.⑤|a·b||a||b|.4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)=.2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为.3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|=.4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ=.5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题◆索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=.7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x=.(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·=. [总结反思]向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题(1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=()A.B.- C.D.-(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b=.探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为()A.1B.C.D.[总结反思](1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:①a2=a·a=|a|2或|a|=;②|a±b|==;③若a=(x,y),则|a|=.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.a⊥bB.a∥bC.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=()A.-9B.9C.6D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为.图4-26-1[总结反思](1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考向3平面向量的夹角4 (1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为()A.B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m=.(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c 与b的夹角相等,则m=.[总结反思](1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ=求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足=2,=3,向量a与b的夹角为60°,则|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,,b=(,-1),则a与b的夹角为()A.B.C.D.3.【考向3】[2018·益阳调研]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b的夹角为θ,则tan θ=.4.【考向2】[2018·德州期中]已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=1,若=λ+,且⊥,则实数λ的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】△ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2++=0,||=||,则·=.探究点三平面向量与三角函数的综合5[2018·洛阳期中]已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若a⊥b,求tan 2x的值;(2)令f(x)=a·b,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心.[总结反思]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].(1)若(a+b)∥c,求x的值;(2)若a·b=,求sin x+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+b i 为实数;若,则a+b i为虚数;若,则a+b i为纯虚数.(2)复数相等:a+b i=c+d i⇔(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+b i与c+d i共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作或,即|z|=|a+b i|=.2.复数的几何意义(1)复数z=a+b i←复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)←平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)=;④除法:===(c+d i≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.常用结论1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|z n|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.[教材改编]若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.[教材改编]复数z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.[教材改编]已知i是虚数单位,则复数=.题组二常错题◆索引:将复数a+b i(a,b∈R)的虚部误认为是b i;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z=.6.若复数z满足=i2018+i2019(i为虚数单位),则z=.课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)[2017·河南六校联考]设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部是()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b=.[总结反思]复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题(1)[2017·烟台一模]设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知复数z=是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)[2017·保定一模]在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i[总结反思](1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+b i(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔. (2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+b i(a,b ∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题(1)[2017·赣州二模]已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.B.C.D.(2)[2017·南宁二模]复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a<0B.0<a<1C.a>1D.a<-1探究点三复数的代数运算3 (1)[2017·全国卷Ⅱ](1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)若复数(1+m i)(3+i)(i是虚数单位,m∈R)是纯虚数,则=()A.1B.2C.3D.4[总结反思](1)把i看作一个字母,复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算;(2)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(3)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+b i,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.式题(1)[2017·合肥质检]已知i为虚数单位,则=()A. B.C.D.(2)[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.2。

2020优秀高考数学总复习：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》【3】

故由几何性质得 12＋12－1≤|c|≤ 12＋12＋1，即 2－1≤|c|≤ 2＋1. 答案 A
(文)(2013·湖南高考)已知 a，b 是单位向量，a·b＝0.若向量
c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为
()
A. 2－1
B. 2
C. 2＋1
D. 2＋2
[听课记录] 如图，建立平面直角坐标系，令向量 a，b 的坐标 a＝(1，0)，b＝(0，1)，令向量 c＝(x，y)，则有
(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
2．向量运算与数量运算的区别
(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0 却不能得出a＝0或b＝0.
的数乘量积积．a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ
三、向量数量积的性质 1．如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a.
2．a⊥b⇔ a·b＝0 ．
3．a·a＝ |a|2 ，|a|＝ a·a. 4．cos θ ＝|aa|·|bb|．(θ 为 a 与 b 的夹角) 5．|a·b| ≤ |a||b|.
两平面向量的夹角与垂直
[典题导入]

(1)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b
＋c＝0，则a与c的夹角为
( )
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°
[听课记录] ∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b， ∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c. ∴a与c的夹角为90°. 答案 B

高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算高三全册数学

第四页，共四十八页。
01 知识梳理诊断自测
课前热身稳固根基
第五页，共四十八页。
知识点一
向量的有关概念
第六页，共四十八页。
第七页，共四十八页。
向量概念的四点注意 (1)注意 0 与 0 的区别，0 是一个实数，0 是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同． (3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性． (4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
第十九页，共四十八页。
【解析】 (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当A→B∥C→D 时，A→B所在的直线与C→D所在的直线可能重合，故 D 不正确．
(2)对于 A，当|a|＝|b|，即向量 a，b 的模相等时，方向不一定相同，故 a＝b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故 B 不正确；C 显然正确；对于 D，若|a| ＝0，则 a＝0，故 D 不正确，故选 C.
第三十三页，共四十八页。
方法技巧向量线性运算的解题策略 1常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则. 2找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 3用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系； ④化简结果.
(2)如图，作 OG∥EF 交 DC 于点 G，由 DE＝EO，得 DF＝ FG，又由 AO＝OC 得 FG＝GC，于是D→F＝13D→C＝

2020高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件文

【知识重温】
一、必记 3 个知识点
1．向量的有关概念
名称
定义
向量
既有①大小又有②方向的量；向量的大小叫做向量的③模(或④长度)
零向量长度为⑤零的向量；其方向是任意的
单位向量长度等于⑦1 个单位长度的向量
平行向量
共线向量
相等向量相反向量
方向⑧相同或⑨相反的非零向量 ○ 10方向相同或相反的向量又叫做共线
6．已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若O→A－3O→B＋2O→C＝ 0.则||BA→→CB||等于________．
解析：由已知得，O→A－O→B＝2(O→B－O→C)， ∴A→B＝2B→C，∴||BA→→CB||＝2. 答案：2
考向一平面向量的有关概念
[自主练透型]
1．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是( )
求实数 λ 与向量 a 的积
的运算
(1)|λa|＝○22|λ||a|. (2)当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向○23相同；当 λ＜0 时， λa 与 a 的方向○24相反；当
λ＝0 时，λa＝○250
λ(μa)＝○26λμa； (λ＋μ)a＝○27λa＋
μa； λ(a＋b)＝○28λa＋λb.
向量长度⑫相等且方向⑬相同的向量长度⑭相等且方向⑮相反的向量
备注平面向量是自由向量
记作⑥0 非零向量 a 的单位向
量为±|aa| 0 与任一向量⑪平行
或共线
0 的相反向量为 0
2.向量的表示方法 (1)字母表示法：如 a，A→B等． (2)几何表示法：用一条⑯有向线段表示向量．
3．向量的线性运算

2020高考数学文科大一轮复习第四章平面向量_数系的扩充与复数的引入_ _课时作业 (2)

课时作业28 平面向量数量积的应用一、选择题1．(2019·株洲模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( C )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．3．已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin2θ＋6cos 2θ的值为( B )A.12 B ．2 C ．22D ．－2解析：由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2.故选B.4．(2019·安徽江南十校联考)已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，N 是边BC 上的点，且BN →＝2NC →，O 为△ABC 的外心，则AN →·AO →的值为( D )A ．8B ．10C ．18D ．9解析：由于BN →＝2NC →，则AN →＝13AB →＋23AC →，取AB 的中点为E ，连接OE ，由于O 为△ABC 的外心，则EO →⊥AB →，∴AO →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋EO →·AB →＝12AB →2＝12×62＝18，同理可得AC →·AO →＝12AC →2＝12×32＝92，所以AN →·AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·AO →＝13AB →·AO →＋23AC →·AO →＝13×18＋23×92＝6＋3＝9，故选D. 5．(2019·广东广雅中学等四校联考)已知两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，则|a －k b |的最小值为( B )A.34B.32C ．1D.32解析：∵两个单位向量a ，b 的夹角为120°， ∴|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12， ∴|a －k b |＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2＝1＋k ＋k 2＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122＋34，∵k ∈R ，∴当k ＝－12时，|a －k b |取得最小值32，故选B.6．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( C )A ．4B ．5C ．2D ．3解析：∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2.∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4，∴cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.7．(2018·天津卷) 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( A )A.2116B.32C.2516D ．3解析：解法1：如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)，令E (0，t )，t ∈[0，3]，∴AE →·BE →＝(－1，t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，t －32＝t 2－32t ＋32，∵t ∈[0，3]， ∴当t ＝－－322×1＝34时，AE →·BE →取得最小值，(AE →·BE →)min ＝316－32×34＋32＝2116.故选A.解法2：令DE →＝λDC →(0≤λ≤1)，由已知可得DC ＝3， ∵AE →＝AD →＋λDC →，∴BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋AD →＋λDC →，∴AE →·BE →＝(AD →＋λDC →)·(BA →＋AD →＋λDC →)＝AD →·BA →＋|AD →|2＋λDC →·BA →＋λ2|DC →|2＝3λ2－32λ＋32.当λ＝－－322×3＝14时，AE →·BE →取得最小值2116.故选A.二、填空题8．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是1 2.解析：如图所示，取AC 的中点D ， ∴OA →＋OC →＝2OD →， ∴OD →＝BO →，∴O 为BD 的中点， ∴面积比为高之比．即S △AOC S △ABC＝DO BD ＝12. 9．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是2π3.解析：由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.10．已知△ABC 是直角边长为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是－1.解析：解法1：如图，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(－x,2－y )，PB →＋PC →＝(2－2x,2－2y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－x (2－2x )－y (2－2y )＝2(x －12)2＋2(y －12)2－1≥－1(当且仅当x ＝y ＝12时等号成立)，∴P A →·(PB →＋PC →)的最小值为－1.解法2：P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(P A →＋AB →＋P A →＋AC →)＝P A →·(2P A →＋AB →＋AC →)．设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·(P A →＋AD →)＝2P A →·PD →， ∵－2|P A →|·|PD →|≤2P A →·PD →≤2|P A →|·|PD →|，∴(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →|·|PD →|，此时点P 在线段AD 上(异于A ，D )，设P A →＝λAD →(－1<λ<0)，则|P A →|＝|λAD →|＝－λ·2，|PD →|＝2＋2λ，∴－2|P A →|·|PD →|＝4(λ2＋λ＋14－14)＝4(λ＋12)2－1，∴当λ＝－12时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值－1.三、解答题11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0. ① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎪⎫32x ，32(y －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.∵b >0，∴y >0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B ，2cos 2C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0. (1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)由题意知m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，则c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0. 在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，整理得sin C cos B ＋sin B cos C －2sin A cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝2sin A cos C . 故sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， ∴2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， ∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.13．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则(D )A ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心B ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心 C ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心D ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心解析：由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C＝λ|AB →||BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C|AC →|cos C ＝0，所以AP →⊥BC →，则动点P的轨迹一定通过△ABC 的垂心．14．已知向量a ，b 满足：|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝12，若c ＝x a ＋y b ，其中x >0，y >0且x ＋y ＝2，则|c |的最小值是 3.解析：∵|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝12，当c ＝x a ＋y b 时，c 2＝x 2a 2＋2xy a ·b ＋y 2b 2＝x 2＋xy ＋y 2＝(x ＋y )2－xy ；又x >0，y >0且x ＋y ＝2，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝1，当且仅当x ＝y ＝1时取“＝”，∴c 2≥(x ＋y )2－(x ＋y 2)2＝22－1＝3，∴|c |的最小值是 3. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·重庆市质量调研)已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部(不含边界)的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( A )A ．(23，1)B ．(23，2)C ．(712，1)D ．(2,3)解析：以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0,0)，A (3,0)，C (0,4)．设△ABC 的内切圆的半径为r ，因为I 是△ABC 的内心，所以(5＋3＋4)×r ＝4×3，解得r ＝1，所以I (1,1)．设P (x ，y )，因为点P 在△IBC 内部(不含边界)，所以0<x <1.因为AB →＝(－3,0)，AC →＝(－3,4)，AP →＝(x －3，y )，且AP →＝λAB →＋μAC →，所以⎩⎨⎧ x －3＝－3λ－3μ，y ＝4μ，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1－13x －14y ，μ＝14y ，所以λ＋μ＝1－13x ，又0<x <1，所以λ＋μ∈(23，1)，故选A.16．(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( A ) A.3－1 B.3＋1 C ．2 D ．2－ 3解析：解法1：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1,0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.解法2：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.。

高考数学专题平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点； 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP OP ＝12(OA ＋OB)． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA＋CD ＋EF＝( )A ．0B ． BEC ．ADD ． CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF，BF ＝CE，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE＋EF ＝CF.(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA ) ＝23CA＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC＋CB＝AD ＋CE ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1. [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD.[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC－AB＝(1－k )AB ＋k 4AC，且AP ＝m AB ＋211AC，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos a ，b ＝0，可得cos a ，b ＝12，又因为0≤ a ，b ≤π，所以 a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |＝12×5×20＝5.1.(2014·11＝(x 2，y 2)，若|＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B ．－23 C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2 B ．2C. 6D ．6 解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC|＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC|min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．平面向量数量积的性质是高考的重点．归纳起来常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE＝1 , 则AB 的长为________．解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB|2＝1，∴|AB |＝12.答案：12角度二平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126 B ．－126 C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a－b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________．解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC＝0.∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC，又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0，解得k ＝113.③当C ＝90°时， ∵AC ⊥BC，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例)，b ＝(cos β，，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C. 2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i ＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D [类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA＝(－1,2)， OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i. (2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC．5＋i D．5－i解析：选D由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋52－i＝3＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。

2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入课件

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
[五年考情]
考点
2016 年
平面向量的
线性运算
平面向量的
基本定理及
坐标表示
2015 年
2014 年 2013 年 2012 年 5,5 分(理)
8,5 分(理) 17,4 分(理) 15,4 分(理)
13,4 分(文)
7,5 分(理)
平面向量的数量积向到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
[重点关注] 从近五年浙江高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容．主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以客观题的形式出现，难度以容易题为主．