模糊数学(格贴近度)
模糊数学2009-4(分布函数、贴近度)讲解
39
确定隶属函数的例子
模糊概念：“年轻人” 进行统计，发现曲线与柯西分布的
偏小型相似
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40
确定三个参数
a = 25 β= 2 α =？
考虑最模糊的点（30岁，隶属度应该 是0.5）
α =1/25
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41
课上作业
在一个荧光屏上，用一个光点的上 下运动快慢代表15种不同的运动速 度，记V={1,2,…,15}，主试者随机 给出15种速率，让被试者按 “快”“中”“慢”进行分类，每 种速率共给出320次，判断结果如下 表：
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21
3. 抛物型（偏大型）
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22
3.抛物型（中间型）
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23
4.正态分布
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24
4.正态分布（中间型）
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25
4.正态分布（偏小型）
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26
4.正态分布（偏大型）
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27
4.正态分布（另一种中间型）
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5.柯西分布
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5.柯西分布（中间型）
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5.柯西分布（偏小型）
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5.柯西分布（偏大型）
A 0.5 0.8 0.2 0.6 1 1 1 2 3 4 56
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4
贴近度 模糊数学
贴近度模糊数学
贴近度是模糊数学中的一个重要概念。
它描述了两个事物之间的相似程度，可以用于评估和比较不同事物之间的关系。
贴近度的计算方法通常是基于模糊集合理论，即将事物的属性和特征转化为模糊集合，然后计算两个模糊集合之间的相似度。
在实际应用中，贴近度被广泛运用于各个领域，如模式识别、数据挖掘、决策分析等。
例如，在模式识别中，可以通过计算不同模式之间的贴近度来实现分类和识别。
另外，贴近度还可以用于构建模糊推理系统，帮助人们进行决策分析和问题求解。
通过将不同变量之间的贴近度转化为规则，可以实现基于模糊逻辑的推理过程，从而得出最终的决策结果。
总的来说，贴近度是模糊数学中的一个重要工具，它可以帮助我们更加准确地描述事物之间的关系和相似程度，从而实现更加高效和精确的数据分析和决策。
- 1 -。
第4讲模糊数学方法
二、模糊模式识别
所谓模式识别，就是指把要识别的对 象通过与已知模式比较，确定它与哪个模 式相近或类同的过程。 模糊模式识别方法基于模糊度量和模 糊识别原则进行模式识别。模糊模式识别 中采用的度量是模糊集的贴近度；常用的 识别原则有最大隶属度原则和择近原则。
1. 模糊集的贴近度
贴近度与距离相反，是反映两个模糊 集接近程度的一种度量。常用的贴近度有 (1) 海明贴近度
……
……
1
2
3
4
28 29
30
解 设xi表示第i(i=1,2,…,30)条线段，则 论域 U={x1, x2,…, x30}。若A为 “长线段” 的集合，则线段xi作为集A的成员资格，就 是xi对A的隶属度。 下面建立A的一种隶属函数。 因为线段越长，属于A的程度越大, 所 以线段的长短可作为A的隶属度。从而, 令 A(x1)=1, A(x30)=0，作直线
A ( x )
1, x a 0, x a
中间型
A ( x )
a x b 1, 0, x a或x b
( xa )2
偏大型
A ( x )
1, x a 0, x a
1, xa A ( x) xa 2 e ( ) , x a
k
1i n
i
则应使x0优先属于Ak。 (2) 择近原则 设A1, A2,…, An为论域 U上的n个模糊 子集，被识别对象B也是U上的模糊子集。
若存在Ak，使得 N Ak , B max N Ai , B 1i n 则使B优先属于Ak。
xa
1e k ( x a ) , x a
Cauchy 型分布
1, xa 1 A ( x) , xa 1 ( x a )
模糊数学
模糊性与随机性的区别
事物 事物分确定性现象与非确定性现象
- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象
* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义， 只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性 * 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模 糊的
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
Ⅱ、模糊集合及其运算
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的 “非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。
ab ab a b ,a b 1 ab 1 (1 a )(1 b)
模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ；
模糊集合及其运算
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
x 140 A( x) 190 140
也可用Zadeh表示法：
数学建模方法详解--模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
模糊数学的应用
0 x 80, 0, x 80 A( x) , 80 x 90, 10 90 x 100. 1
计算得 A(70)=0,A(84)=0.4,A(90)=1，根据最大隶属原则Ⅱ，x3=90 最靠近“优” 。
（3） 最大隶属原则Ⅲ 设 A1, A2, … , An 为 n 个标准模型，其中 Ai =( Ai1, Ai2,。 。 。, Aim ),x=( x1, x2, … , xm )为普 通向量。若存在 i∈{1,2，…，n}，使得 Ai（x）=max{ A1（x）, A2（x）,…, An（x）}，则 认为 x=( x1, x2, … , xm )相对隶属于 Ai 例 4：学生学习成绩的识别评价。论域 U 及表示学习成绩的模糊子集同例 1,。某学生四门课 的分数分别为 86、73、78、90，综合这四门课给出该学生的学习成绩（A1 =A, A2 =B, A3 =C） 解：模糊集 A,B,C 的隶属函数为
3 ( A, B ) 1
1 n A( xk ) B( xk ) , n k 1
欧几里得贴近度:
E ( A, B ) 1
n
1 1 n [ (ai bi ) 2 ] 2 n i 1
最小最大贴近度:
1 ( A, B )
A( x ) B( x ) A( x ) B( x )
将 x=88 代入隶属函数计算，得 A(88)=0.8，B(88)=0.7，C(88)=0 根据最大隶属原则Ⅰ，该同学的数学成绩相对于 3 个模型应隶属于 A，可评为优 例 2 ：细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形, 故设论域为三角形全体.即 X={(A,B,C )| A+B+C =180, A≥B≥C} 标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任 意三角形)}. 某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为 94,50,36,即待识别对象 为 x0=(94,50,36).问 x0 应隶属于哪一种三角形？ 解：先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数. 1、直角三角形的隶属函数 R(A,B,C)应满足下列约束条件： (1) 当 A=90 时, R(A,B,C)=1; (2) 当 A=180 时, R(A,B,C)=0; (3) 0≤R(A,B,C)≤1. 因此，不妨定义 R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 则 R(x0)=0.955. 或者
第八讲模煳数学简介-PPT精品.ppt
集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A， A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C ); ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C );
1965年, 美国加利福尼亚大学自动控制专 家L. A. Zadeh第一次提出了模糊性问题, 从不 同于经典数学的角度, 研究数学的基础集合论, 给出了模糊概念的定量表示方法, 发表了著名 的论文“模糊集合” (Fuzzy sets). 这篇论文 的问世, 标志着模糊数学的诞生.
随着研究的深入, 模糊数学的内容日益丰 富, 其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技 术的很多领域, 取得了很多重要成果, 例如: 模 糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.
与y有关系,则y与x有关系,即若R(x, y) =1，则 R(y, x) = 1；
系矩阵. 布尔矩阵是元素只取0或1的矩阵. 关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关 系, 则R1与 R2的合成 R1 ○ R2是 X 到 Z 上的一 个关系.
(R1 ○ R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1,
2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,
R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)},
模糊数学原理及其应用
绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强，逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业” 表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
模糊数学方法在数学建模中的应用
模糊模型识别的类型 （1）具体元素对模糊模型的识别问题。给定 了标准模型库A1, A2,…, Am？ 问对象x属于上述模型库的哪一类? （2）模糊元素对模糊模型的识别问题。给定 了标准模型库A1, A2,…, Am中的哪一类？ 问对象x属于上述模型库的哪一类?其中对象 X本身就是模糊的。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6 0.15 0.2 0.42 0.6 0.8 0.9 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
例2 古代史的分期（指划分奴隶社会和封建 社会的界限）是模糊的，可表示为模糊集
1 1 0.9 0.7 0.5 0.4 0.3 0.1 A 夏 商 西周 春秋 战国 秦 西汉 东汉
x11 x21 ... x n1
x12 x22 ... xn 2
... x1m ... x2 m ... ... ... xnm
平移 • 标准差变换
xij
xij x j sj
(i 1,2,..., n, j 1,2,..., m)
§1.4 模糊等价关系与经典等价关系
模糊等价关系
若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系， 且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； I ≤R ( rii =1 ) (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； T=R( rij= rji) R (3)传递性：R2R, R2≤R. 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.
(2) 确定最佳分类 将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳： A1 ={1,2,3,5,6,7,8 9,10}, A2 ={4,17}, A3 ={11,12,13,14,15,16,18,19,20}. 建立标准模型库：A1, A2, A3. (3) 未知DNA序列的模糊识别 采用格贴近度公式：
模糊数学2009-4(分布函数、贴近度)讲解
{1, 2,3, 4,5, 6}, 0 0.2
H () {{12,,24,,45,,56,}6,},
0.2 0.5 0.5 0.6
{2,5, 6},
0.6 0.8
{5, 6},
0.8 1
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uU
uU
[ Ac (u) Bc (u)] uU
Ac Bc
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峰值和谷值
对A F (U ),令
a A(u), a A(u)
uU
uU
称a为模糊集的峰值，称a为模糊集的谷值。
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62
求下例的峰值和谷值
A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6) B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)
A 0.5 0.8 0.2 0.6 1 1 1 2 3 4 56
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4
隶属函数确定方法之二
模糊分布
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5
什么是模糊分布？
最常见的论域
实数集R
实数集R上的模糊集合的隶属函数 称为模糊分布
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海明贴近度
若U {u1, u2 ,..., un},则
N (A, B)
1
1 n
n i 1
|
A(ui )
B(ui ) |
当U为实数域上的闭区间[a, b]时，则有
N ( A, B) 1 1
b
| A(u) B(u) | du
模糊数学(第四章小结)
16
目录
2.最大隶属原则 设A ={A1,A2,…, An}为U上的一个模糊模式库, u0U为中的一个待识别对象,若 Ai(u0 )=max{A1(u0 ), A2(u0 ),…,An(u0 )} 则认为u0应优先归属于模糊模式 Ai.若这样的模糊 模式不唯一,则应考虑别的因素和标准,进一步加以 判断.
n 1 p
1 ba
2 A u B u du a b
p 1
~ 1 d 4 A, B ba
b
a
Au Bu
p
du
1
p
p 1
6
§4.１模糊集之间的距离(4/6)
目录
5.模糊Lambert距离 (1). 设U = {u1 , u2 , , un }, A , B F (U), 则称
17
目录
3.阀值原则 设A ={A1,A2,…, An}为论域U上的已知模糊模式库, 给定一个阀值[0,1], u0U为一个待识别对象 (1)如果 max{A1(u0 ), A2(u0 ),…,An(u0 )}< 则作”拒绝识别”的判决,这时应查找原因,另作分 析. (2)如果 max{A1(u0 ), A2(u0 ),…,An(u0 )} ≥ 并且有个p模糊模式Ai1, Ai2,…,Aip满足 min{Ai1(u0 ), Ai2(u0 ),…,Aip(u0 )} ≥ 则认为识别可行,并将u0划归于Ai1∩Ai2∩…∩Aip 18
du
6.模糊绝对和差距离 (1) 设U = {u1 , u2 , , un }, A , B F (U), 则称
~ d 6 A, B
Au Bu Au Bu
什么是模糊数学
•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难
•没有必要获取精确数据
结语: 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学 学科，而且也形成了一种崭新的思维方法， 它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破 了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊 推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的 发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会 的进步发挥更大的作用。
参考书目 1. 模糊数学基础，张文修，西交大出版社 3. 模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
• 研究项目 European Network of Excellence 120个子项目与模糊有关 LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research)
Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种
• 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU
NSF 应用数学：大规模数据处理、不确定性建模
•国内状况
1976年，潘学海，弗齐集合论，计算机应用 及应用数学； 1980年，汪培庄，模糊数学简介，数学的 实践与认识.
1981年，模糊数学创刊
模糊贴近度matlab
模糊贴近度matlab模糊贴近度是一种用于衡量两个模糊集之间相似性的方法，它是模糊数学中的一个重要概念。
在实际应用中，模糊贴近度被广泛应用于图像处理、模式识别、数据挖掘等领域。
本文将介绍如何使用MATLAB计算模糊贴近度。
首先，我们需要了解模糊集的基本概念。
模糊集是一种描述不确定性的数学工具，它将一个元素分配给一个模糊集合，而不是一个明确的类别。
模糊集的元素属于集合的程度可以用一个隶属度函数来表示。
模糊集的隶属度函数可以是线性的、非线性的或高斯的等多种形式。
模糊贴近度是衡量两个模糊集之间相似性的一种方法。
给定两个模糊集A和B，它们的模糊贴近度定义为：贴近度(A, B) = min{max(a * b')}其中，a和b分别表示A和B的隶属度函数，'表示取反。
这个公式的意义是，我们计算A和B之间的最大隶属度乘积的最小值，作为它们的贴近度。
接下来，我们将介绍如何使用MATLAB计算模糊贴近度。
首先，我们需要定义两个模糊集的隶属度函数。
这里我们以高斯隶属度函数为例：function [a, b] = gaussian_membership_function(x, mu,sigma)a = exp(-((x - mu).^2) / (2 * sigma^2));b = exp(-((x - mu).^2) / (2 * sigma^2));end然后，我们可以使用这个函数来计算两个模糊集的隶属度函数：mu1 = 0; % 模糊集A的均值sigma1 = 1; % 模糊集A的标准差mu2 = 1; % 模糊集B的均值sigma2 = 1; % 模糊集B的标准差[a, b] = gaussian_membership_function(linspace(-3, 3, 100), mu1, sigma1);[c, d] = gaussian_membership_function(linspace(-3, 3, 100), mu2, sigma2);最后，我们可以计算两个模糊集之间的模糊贴近度：similarity = min([max(a .* c') max(b .* d')]);dissimilarity = 1 - similarity;这样，我们就得到了两个模糊集之间的模糊贴近度。
模糊数学
405 A y1 0.675 , 600 427.4 A y 2 0.712 , 600 399.8 A y 3 0.666 , 600 418.7 A y 4 0.698 . 600
于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排
序为：
例: 在论域X=[0,100]分数上建立三个表示学习 成绩的模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”.当一 位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？
模糊模式识别
例1. 苹果的分级问题 设论域 X = {若干苹果}。苹果被摘下来后要分 级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来
分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 =
{Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}，显然，模型Ⅰ级，Ⅱ级，
Ⅲ级，Ⅳ级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，
到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素
模糊模式识别
而 则因 1 = 0.7， Y(27) = 0.862 > 1， Y(30) = 0.5 < 1 ，
故认为 27 岁的人尚属于“青年人” ，而 30 岁人的
则不属于“青年人” 。 则因 Y(27) = 0.862 > 2, 若取阈值 2 = 0.5， 而 Y(30) = 0.5 = 2 ， 故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴。
等腰直角三角形的隶属函数 (I∩R)(A,B,C) = I(A,B,C)∧R (A,B,C); (I∩R) (x0)=0.766∧0.955=0.766.
任意三角形的隶属函数
T(A,B,C) = Ic∩Rc∩Ec= (I∪R∪E)c.
T(x0) =(0.766∨0.955∨0.677)c = (0.955)c = 0.045.
模糊数学原理及其应用
绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
课程教学大纲理论课课程名称模糊数学原理及应用适用专业
课程教学大纲(理论课)课程名称：模糊数学原理及应用适用专业：数学与应用数学课程类别：学科知识深化课程制订时间： 2006年8月数学与计算机科学学院制《模糊数学》课程教学大纲（2002年制订，2006年修订）一、课程代码：0501142003二、课程类别：学科知识深化课程（选修）三、预修课程：高等数学，概率与数理统计四、学分：3学分五、学时：52学时六、课程概述：模糊数学是诞生于上世纪六十年代的一门新兴的数学分支，是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学，具有非常广泛的应用前景。
本课程简明阐述了模糊数学的基本理论和基本方法，主要内容包括：F集合，F模式识别，F关系与模糊聚类分析，F映射与综合评判，F控制等以及它们在科学技术各个领域中的应用。
本课程着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
七、教学目的：为适应我国在21世纪社会主义发展的需要，培养“厚基础、宽口径、高素质”的人才需要，学习模糊数学这门专业选修课。
通过本课程的学习，要求学生较系统掌握F集合，F模式识别，F关系与模糊聚类分析，F映射与综合评判，F控制等基本理论。
进一步提高学生的数学思维能力，分析问题、论证问题和解决问题的能力，全面提高学生的数学修养，为有志于深造的学生提供一个雄厚而坚实的理论基础。
八、学时分配表九、教学基本内容：预备知识（2学时）本章是预备知识，是经典集合的初步知识，是学习模糊数学所必备的知识。
了解有关集合的概念、运算、映射及关系，了解有关序、格、同态、同构的知识。
第一章 F集合（10学时）教学要求：模糊集合是处理模糊事物的新的数学概念，是模糊数学的基础。
通过本章学习，理解模糊集的定义、表示方法以及模糊集的运算。
掌握模糊数学的基本原理：分解定理（它是联系普通集与模糊集的桥梁），扩张原理（它扩充了经典集），了解模糊集表现定理，了解模糊度的概念。
教学内容：一、F集的基本概念及运算（4学时）基本内容：F集的定义，F集的并交补运算，F集的运算性质重点内容：F集的定义，F集的并交补运算基本要求：1、掌握和理解F集的定义，F集的表示2、掌握F集的并交补运算，F集的运算性质3、注意F集与普通集的区别和联系4、了解F集运算的其他定义二、F集的截集和分解定理（4学时）基本内容：F集截集的定义，分解定理I，II，III重点内容：分解定理I基本要求：1、理解F集截集的定义2、掌握分解定理I，它是联系普通集与模糊集的桥梁三、集合套与表现定理（2学时）基本内容：集合套的定义，表现定理重点内容：集合套的定义基本要求：1、理解集合套的定义2、了解表现定理3、注意集合套与截集和强截集的联系和区别第二章 F模式识别（10学时）教学要求：本章要求学生掌握几种贴近度的求法，了解模式识别原理，掌握模式识别方法和步骤。
模糊数学教学课件
4
模糊数学绪论
• 课堂主要内容 一、基本概念 模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵 二、主要应用 1. 模糊聚类分析——对所研究的事物按一定标准进行分类 例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以 及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性 状，对土壤进行分类。
A 2 A A , A 3 A 2 A , , A n A n 1 A
36
模糊集合及其运算
例5：设 A 0 0..1 40 0..2 50 0..3 6 ,B 0 0 0...5 3 10 0 0...6 4 2 ,则
AB0.5 0.3
0.6 0.3
BA00..31 0.4
通常用大写字母A、B、C等表示。
论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。
通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
9
模糊集合及其运算
.u
A uA
.u
A uA
10
模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 uA或者uA，用函数表示为：
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
3
模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
模糊数学方法详细介绍
A x e
A x
A x
A x
1
0
1
a
x
0
1
a
x
0
a
x
偏小型
6.柯西型
1 1 A x 1 x a xa x a A x
中间型
1 1 x a
偏大型
0 1 A x 1 x a xa xa
A x A x
0 k xa b x c x A ba cxd 1
xd
A x
1
0
1
a
b
1
cd x
0
x
0 a b
a
b
x
偏小型
4. 型 k 0
1 A x k xa e
现实中的模糊概念——例如：厚、薄、美、丑、 早晨、中午、晴天、阴天、优、劣，蔬菜、水 果、感冒、合格品、次品等 量的分类
确定性 经典数学 量 随机性 随机数学 不确定性模糊性 模糊数学
模糊数学
1965年美国加利福尼亚大学控制专家扎德(zadeh L.A)在《information and control》杂志上发表了一 篇开创性论文“Fuzzy sets”这标志着模糊数学的诞生。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是 把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用 的方法。
说明：排中律不成立，即
A A U, A
c c
一、模糊集合论的基础知识
U = {甲, 乙, 丙, 丁} A = “矮子” 隶属函数A= (0.9, 1, 0.6, 0) B = “瘦子” 隶属函数B= (0.8, 0.2, 0.9, 1) 找出 C = “既矮又瘦” C = A∩B = ( 0.9∧0.8 , 1∧0.2 , 0.6∧0.9 , 0∧1 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 甲和丙比较符合条件
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∧
根据引理 1 和格贴近度的定义，立即得到：
c 定理 1 设 A, B ∈ F (U ) ，则 ( A, B) = ( A o B) ∧ ( A ° B) , 是 F 集 A,B 的贴近度，叫做 A、B 的格贴近度。记为 ∧
N1 ( A, B) = ( A o B) ∧ ( A ° B)c
∧
式中，当 U 为有限论域时， A o B = ∨( A(ui ) ∧ B(ui )) i= i =1 当 U 为无限论域时， A o B = u∨ ( A(u ) ∧ B(u )) ∈U 这里“V”表示取上确界。 注，2.1 节中的海明贴近度、欧几里得贴近度、黎曼贴近度 和本节的格贴近度这些贴近度很难比较，只有在应用时加以 选择。
∧
二、内积与外积的一些性质
性质 1 (A° B) = A o B ,
c c c ∧
(Ao B) = A ° Bc .
c c
∧
∧
性质 2 Ao B ≤ a ∧b,
∧
A°B≥a∨b.
性质 3 Ao A=a,
A° A = a .
性质 4
B F(U) ∈
∨ (AoB) =a,
B∈ (U) F
∧ (A°B) = a.
∧
性质 5 A ⊆ B ⇒ Ao B = a,
1 Ao A ≤ , 性质 6 2
c
A° B = b .
1 2
∧ ∧
∧
A° B ≥
∧
性质 7 A ⊆ B ⇒ Ao C ≤ B o C,
并且 A°C ≤ B°C .
由性质发现，给定F 由性质发现，给定F集A，让F集B靠近A， ，让F 靠近A 会使内积增大而外积减少。即，当内积较 大且外积较小时，A 大且外积较小时，A与B比较贴近。 所以，以内外积相结合的“格贴近度” 所以，以内外积相结合的“格贴近度” 来刻划两个F 来刻划两个F集的贴近程度。
引理 1 设 A, B ∈ F(U) ，令 ( A, B) = ( Ao B) ∧ ( A° B)c , 则下 列结论成立： （1） 0 ≤ ( A, B) ≤ 1; （2） ( A, B) = (B, A); （3） ( A, A) = a ∧ (1− a); （4） A ⊆ B ⊆ C ⇒ ( A, C) ≤ ( A, B) ∧ (B, C). 特别当 a = 1时， a = 0, 则 ( A, A) = 1.
n
例 1 设论域 R 为实数域，F 集的隶属函数为
A( x ) = e
−( x − a1
σ1
)2
,
B( x) = e2
求 N(A,B).
解法（格贴近度法） 对上述函数，有
* A( x) ≤ B( x), 则 A o B = x∨R ( A( x) ∧ B ( x)) = x∨R A( x ) = B ( x ). 若 ∈ ∈
σ1
)2
=e
−(
x − a2
σ2
)2
σ 1σ 2 + σ 2σ 1 σ σ −σ σ , x2 = 2 1 1 2 σ1 + σ 2 σ 2 − σ1
其中 x2 不是其最大值点，故选 x*=x1.于是
A o B = A( x1 ) = e
−(
σ 2 −σ1 2 ) σ 2 +σ1
而
Ac o B c = ∨ ((1 − A( x)) ∧ (1 − B( x))) = 1
2.2 格贴近度
一、内积与外积的概念
1、内积：设 A, B ∈ F (U ) ，称 Ao B = u∨ ( A(u) ∧ B(u)) 为 ∈ U F 集 A、B 的内积。
2、外积：设 A, B ∈ F (U ) ，称 A° B = u∧ ( A(u) ∨ B(u)) 为 ∈ U F 集 A、B 的外积。
x∈R
由格贴近度公式，得
N ( A, B) = e
−(
σ 2 −σ1 2 ) σ1 +σ 2
黎曼贴近度的求解方法见书35页，求解 黎曼贴近度的求解方法见书35页，求解 起来相当麻烦，故本例用格贴近度比较好。
* 若 B( x) ≤ A( x), 则 A o B = x∨R ( A( x) ∧ B ( x)) = x∨R B ( x) = A( x ). ∈ ∈
可见，内积 A o B 是 A(x)与 B(x)相等时的值，这时，x=x*.故令
A(x)=B(x)，求 x*，
−( x − a1
即从 求得
e
x1 =