【数学】2007学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试

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2007年广州高二数学水平测试试题(附答案)

2007学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么P （A B ）= P （A ）+ P （B ）第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数x y sin =的最小正周期是A ．4πB ．2πC ．πD ．π22. 直线013=+-y x 的斜率是A ．3B ．3-C ．33 D ． 33-3. 袋子中装有红、白、黄颜色且大小相同的小球各一个. 从袋子中任意取出一球, 则取出的是红球的概率是A.61 B.41 C.31 D.214. 已知集合{}{}20,22A x x x B x x =-<=-<<，则=B AA ．{}12<<-x xB ．{}10<<x xC ．{}21<<x xD ．{}2012x x x -<<<<或5. 已知等比数列{}n a 的公比是2，13=a ，则5a 的值是A ．161 B ．41C ．4D ．166. 如图1所示的算法流程图中（注：“x = x + 2”也可写成“x ：= x + 2”，均表示赋值语句）, 若输入的x 值为3-, 则输出的y 值是 A.81 B. 21C. 2D. 87. 在ABC ∆中，1,4A D AB E =为BC 边的中点，设=AB a ,=AC b , 则=DEA ．b 21+a 41B ．b 21+a 43C ．b 21-a 41D ．b 21-a 438. 已知0<<b a , 则下列不等式一定成立的是A ．ab a <2B ．ba11>C ．b a <D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21219. 一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为A ．332 B ．32 C ．334 D ．34图210. 定义: 对于函数()x f , 在使()f x ≤M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值叫做函数()x f 的上确界. 例如函数()x f x x 42+-=的上确界是4, 则函数()()02log221≠+=x xx x g 的上确界是A. 2-B. 23-C. 2D. 22第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 经过点()1,0A 和点()0,2B 的直线方程是 .12. 在ABC ∆中, 角C B A ,,的对边分别是,,a b c , 已知2,3a b ==, ABC ∆的面积为1，则=C sin .13. 已知函数()()()2,0,3,0.xxf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 若()3=a f ，则a = .14. 某体育场一角的看台的座位是这样排列的：从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数. 现在数得该看台的第6排有25个座位, 则该看台前11排的座位总数是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15. （本小题满分12分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 求θsin 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πθ的值.16. （本小题满分12分）下面是某地100（1);（2）根据频率分布表, 画出频率分布直方图(请把答案画在答卷所提供的坐标系上); （3）根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围内的概率大约是多少?17. （本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 252,0a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）当n 为何值时, n S 取得最大值.18. （本小题满分14分）如图3，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中,60,BAD PA PD ︒∠==, E 为PC 的中点.（1）求证://PA 平面EBD ; （2）求证:PBC ∆是直角三角形.图19. （本小题满分14分）已知圆C 经过坐标原点, 且与直线02=+-y x 相切，切点为()2,4A . （1）求圆C 的方程;（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于不同的两点N M 、, 求AN AM ⋅的取值范围.20. （本小题满分14分）定义在R 上的函数()∈++=b a axb x x f ,(12R ,)0≠a 是奇函数, 当且仅当1=x 时，()x f 取得最大值.（1）求,a b 的值; （2）若函数()()xmx x f x g ++=1在区间()-1,1上有且仅有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.2007学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考解答及评分标准二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题, 每小题5分, 满分20分.11. 220x y +-= 12.31 13. 3 14. 275三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）（本小题主要考查利用三角公式进行恒等变形的技能，考查运算求解能力）解: πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ 3cos ,0,52, 54531c o s 1s i n 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴θθ. 4s i n c o s4c o s s i n 4s i n πθπθπθ+=⎪⎭⎫⎝⎛+∴22532254⨯+⨯=1027=.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和概率等基础知识，以及数据处理能力、运算求解能力、应用意识）解：（1）某地100（2）频率分布直方（3）根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围内的概率大约是6.010060=.17．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等差数列前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力）解: （1） 252,0a S ==，112,5450.2a d da +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩ 解得14,2a d ==-.()()n n a n 26214-=-⨯-+=∴．（2）()()14211--=-+=n n n dn n na S nn n 52+-= 252524n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∈n Ｎ*,∴当2=n 或3=n 时, n S 取得最大值6. 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系等基础知识，考查空间想像能力和推理论证能力）证明:（1）连接AC AC ,与B D 相交于点O , 连接OE , 则O 为AC 的中点. E 为PC 的中点,PA EO //∴. ⊂EO 平面EBD ,⊄PA 平面EBD , ∴//PA 平面EBD .（2）设F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA = , AD PF ⊥∴.A B C D 是菱形，︒=∠60BAD ,∴A B D ∆是等边三角形. .AD BF ⊥∴ ,F BF PF = ⊥∴AD 平面PBF .,//AD BC⊥∴BC 平面PBF . ⊂PB 平面PBF , BC PB ⊥∴.∴PBC ∆是直角三角形.19．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线和圆、平面向量等基础知识，考查数形结合、函数与方程的数学思想方法，以及运算求解能力、创新意识）（1）解法一:设圆C 的圆心为C , 依题意得直线AC 的斜率=AC k 1-,∴直线AC 的方程为()24--=-x y , 即06=-+y x .直线OA 的斜率24=OA k 2=,∴直线OA 的垂直平分线为()1212--=-x y , 即052=-+y x .解方程组⎩⎨⎧=-+=-+.052,06y x y x 得圆心C 的坐标为(7,1)-.∴圆C 的半径为r AC ===,∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .解法二: 设圆C 的方程为()()222r b y a x =-+-,依题意得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+-.,22,42222222r b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.25,1,7r b a ∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .解法三: 设圆心C 的坐标为()b a ,.依题意得()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-=⨯--.42,11242222b a b a a b 解得⎩⎨⎧-==.1,7b a ∴圆心C 的坐标为()7,1-.∴圆C 的半径为r OC ===. ∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .（2）解:设直线l 的方程为,m x y +-=()()1122,,,M x y N x y .由()()⎩⎨⎧=++-+-=.5017,22y x m x y 消去y 得()22221620x m x m m -+++=.2121228,2m mx x m x x +∴+=+=.∴AN AM ⋅)4)(4()2)(2(2121--+--=y y x x)4)(4()2)(2(2121-+--+-+--=m x m x x x ()()()442222121+-++--=m x x m x x()()()4482222+-++--+=m m m m m21236m m =-+()26m =-.直线l 与圆C 相交于不同两点,25217<--∴m..164<<-∴m ∴AN AM ⋅的取值范围是[)0,100.…………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、函数的应用、基本不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解：（1）函数()12++=axb x x f 是奇函数,1122++-=++-∴axb x axb x , 得0=b . ()12+=∴axx x f .若,0<a 则函数()12+=ax x x f 的定义域不可能是R , 又0≠a , 故0>a .当x ≤0时，()f x ≤0; 当0>x 时, ()21xf x ax =+=.当且仅当12=ax , 即ax 1=时, ()x f 取得最大值.依题意可知11=a, 得1=a .（2）由（1）得()21x f x x =+，令()0=x g ，即0112=+++xmx x x .化简得()210x mx x m +++=. 0=∴x 或 012=+++m x mx .若0是方程012=+++m x mx的根, 则1-=m , 此时方程012=+++m x mx的另一根为1, 不符合题意.∴函数()()xmxx f x g ++=1在区间()1,1-上有且仅有两个不同的零点等价于方程012=+++m x mx(※)在区间()1,1-上有且仅有一个非零的实根.（1）当0=m 时, 得方程(※)的根为1-=x , 不符合题意.（2）当0≠m 时, 则①当()21410m m ∆=-+=时, 得221±-=m .若221--=m , 则方程(※)的根为()111,12x m =-=-=∈-,符合题意;若221+-=m , 则方程(※)的根为()111,12x m=-=-=∉-,不符合题意.∴221--=m .② 当0>∆时, 令()12+++=m x mx x ϕ,由()()()⎩⎨⎧≠<⋅-.00,011ϕϕϕ 得01<<-m .()021≠=-m ϕ. 若()01=ϕ, 得1-=m , 此时方程012=+++m x mx的根是01=x ,12=x , 不符合题意.综上所述, 所求实数m 的取值范围是()1,02-⎪⎪⎩⎭.。

2023-2024学年度第二学期期中学业水平质量监测高二年级数学试题

2023－2024学年度第二学期期中学业水平质量监测(本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(2,3,1)=−a ，(4,,)m n =b ，且//a b ，则m n +=A ．4B ．5C ．6D ．72．561010C C +=A ．711CB ．611CC ．1111C D ．710C3．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是A ．36B ．72C ．480D ．6004．已知向量(1,3,1)=a ，(2,1,1)=b ，(,5,1)t =c 共面，则实数t 的值是A ．1−B ．0C ．1D ．25．甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为 A ．150B ．300C ．450D ．5406．13520232024202420242024C C C C ++++被3除的余数为A ．1B ．2C ．3D ．47．在正三棱锥A BCD −中，2BE EA =，F 为AD 的中点，BF CE ⊥，则BAC ∠的正弦值为 A ．12B ．22C ．1D ．328．若将整个样本空间想象成一个11⨯的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示 A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件C 不发生条件下事件A 发生的概率D ．事件A ，B 同时发生的概率二、多项选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．若382828m mC C −=，则m 的取值可能是 A ．4 B ．5 C ．8D ．910．已知A ，B 是两个随机事件，0()1P A <<，下列命题正确的是A. 若A ，B 相互独立，则(|)()P B A P B =B. 若事件A B ⊆，则(|)1P B A =C. 若A ，B 是对立事件，则(|)1P B A =D. 若A ，B 是互斥事件，则(|)0P B A =11．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，动点M ，N 在对角线AC ，1C D 上移动，且AM AC λ=，1DN DC λ=，(0,1)λ∈则下列结论中正确的是 A ．异面直线AC 与1C D 所成的角为60 B ．线段MN 的最小值为22C ．MN 与平面11AAD D 不平行D ．存在(0,1)λ∈，使得MN AC ⊥三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)12．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则AB 在1AC 上的投影向量的模为． 13．25(32)x x ++展开式中含2x 项的系数是．14．图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关 1 次将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按 (2,2) 将导致 (1,2)，(2,1)，(2.2)， (2,3)，(3,2)改变状态．如果要求改变(1,1),(2,2),(3,3)的状态，则需按开关的最少次数为_________；如果只要求改变(2,2)的状态，则需按开关的最少次数为_________(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)四、解答题(本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(13分)已知2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++，且满足各项的二项式系数之和为256(1)求3a 的值； (2)求312232222nna a a a ++++的值．16．(15分)如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，10AD =，28BC AB ==，M 为PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)若AM PC ⊥，求直线BM 与面PCD 所成角的正弦值．17．(15分)在84x a x +的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1(1)求展开式中含14x的项；(2)求展开式中系数最大的项.18．(17分)设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．(1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率;(2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率.19．(17分)在四棱柱1111ABCD A B C D −中，已知1B C ⊥底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，15BB =E 是线段1B D 上的点．(1)点1C 到平面1B CD 的距离；(2)若E 为1B D 的中点，求异面直线1DD 与AE 所成角的余弦值； (3)在线段1B D 上是否存在点E ，使得二面角C AE D −−5若存在，请确定E 点位置；若不存在，试说明理由．。

2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州二测及参考答案

试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=()S r r l π'=+圆台侧(,r r '分别表示圆台上、下底面半径,l 表示母线长)第一部分选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.某个路口的交通指示灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为10秒,绿灯时间为40秒.当你到达路口时,看见红灯的概率是A.18 B .38 C.12 D.584.已知等差数列{}n a 的前三项分别为1a -,21a +,7a +,则这个数列的通项公式为A.43n a n =-B.21n a n =-C.42n a n =-D.23n a n =-5.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --6.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.一个圆台的两底面的面积分别为π,16π,侧面积为25π,则这个圆台的高为A.3 B .4 C.59.如图1所示,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为 1 11 D 110.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-图1第二部分非选择题(共100分)二、填空题:本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题,每小题5分,满分20分.11.已知函数()sin ,03y x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的最小正周期为π,则ω= . 12.某班的54名学生对数学选修专题《几何证明选讲》和《极坐标与参数方程》的选择情况如下(每位学生至少选．．．．．．．1．个专题．．．):两个专题都选的有6人,选《极坐标与参数方程》的学生数比选《几何证明选讲》的多8人,则只选修了《几何证明选讲》的学生有人.13.已知函数()f x 满足()12f =,()()()111f x f x f x ++=-,则()3f 的值为 ,()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第14题的得分.14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图2,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.17.(本小题满分14分) 如图3所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)若D 是棱1CC 的中点,在棱AB 上是否存在一点E ,使DE平面11AB C ？证明你的结论.图218.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.19.(本小题满分14分)已知椭圆E 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,点31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若点P 在椭圆E 上,且满足12PF PF t =,求实数t 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21nii OP=∑.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题.每小题5分,满分20分.第13题中的第一个空2分,第二个空3分. 11.2 12.20 13.12-；314. 15.135三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查古典概型等基础知识,考查或然与必然的数学思想与方法,以及运算求解能力)解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果:可以看出,试验的所有可能结果数为16种. ……4分 (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2,2－1,2－3,3－2,3－4,4－3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2,2－1,2－4,3－3,4－2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分解法二:设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字分别为y x ,,用),(y x 表示抽取结果,则所有可能有()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,()4,2,()4,3,()4,4,共16种. ……4分(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2, ()2,1, ()2,3,()3,2, ()3,4,()4,3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2, ()2,1, ()2,4, ()3,3, ()4,2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 (注:利用列表的方法求解,仿照上述解法给分)17.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力)证明:(Ⅰ)∵90ACB ∠=,∴BC AC ⊥.∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,∴1BC CC ⊥. ∵1ACCC C =,∴BC ⊥平面11ACC A .∵1AC ⊂平面11ACC A ,∴1BC AC ⊥, ∵11BCB C ,则111B C AC ⊥. ……4分在Rt ABC ∆中,2AB =,1BC =,∴AC .∵1AA =∴四边形11ACC A为正方形. ∴11AC AC ⊥. ……6分 ∵1111B C AC C =,∴1AC ⊥平面11AB C . ……7分 (Ⅱ)当点E 为棱AB 的中点时,DE 平面11AB C . ……9分证明如下:如图,取1BB 的中点F ,连EF 、FD 、DE ,∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点,∴1EFAB .∵1AB ⊂平面11AB C ,EF ⊄平面11AB C , ∴EF平面11AB C . ……12分同理可证FD 平面11AB C .∵EFFD F =,∴平面EFD平面11AB C .∵DE ⊂平面EFD , ∴DE平面11AB C . ……14分18.(本小题满分12分)(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识,考查运算求解能力)(Ⅰ)解:由余弦定理,得222cos 2a c b B ac+-=＝12. ……2分∵0B π<<,∴ 3B π=. ……4分(Ⅱ)解法一:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由余弦定理,得222cos 214b c a A bc +-==. ……8分∵0A π<<,∴sin 14A ==……10分∴sin tan cos A A A ==……12分解法二:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由正弦定理,得sin B A =. ……8分∵3B π=,∴sin 14A =. ……10分又b a =>,则B A >,∴cos A ==.∴sin tan cos A A A == ……12分解法三:∵3c a =,由正弦定理,得sin 3sin C A =. ……6分 ∵3B π=,∴()23C A B A ππ=-+=-. ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ……8分 ∴22sincos cos sin 3sin 33A A A ππ-=.1sin 3sin 2A A A +=.∴5sin A A =. ……10分∴sin tan cos A A A ==……12分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识,考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法,以及运算求解能力)(Ⅰ)解法一:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),由已知半焦距1c =,∴221a b -=. ① ……2分 ∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,则221914a b+=. ② ……4分由①、②解得,24a =,23b =.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分解法二:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,∴1224a CF CF =+=,即2a =. ……3分由已知半焦距1c =,∴2223b a c =-=. ……5分∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分(Ⅱ)设()00,P x y ,由12PF PF t =,得()()00001,1,x y x y t -----=,即22001x y t +=+. ③ ……8分 ∵点P 在曲线C 上,∴2200143x y +=. ④ 由③得22001y t x =+-,代入④,并整理得()2042x t =-. ⑤ ……10分由④知,2004x ≤≤, ⑥ ……12分结合⑤、⑥,解得:23t ≤≤.∴实数t 的取值范围为[]2,3. ……14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查数列、导数等基础知识,考查有限与无限的数学思想与方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵xy e '=,∴曲线C :x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-,即y ex =. 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0,∴点1P 的坐标为()0,1. ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ),∴曲线C :x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x xn y ee x x -=-, ……4分令0y =,得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-.∴数列{}n x 是以0为首项,1-为公差的等差数列.∴1n x n =-,1n n y e -=.(*n ∈N ) ……6分 (Ⅱ)∵()()2221221i ii i OP x y i e -=+=-+, ……8分∴222221231nin i OPOP OP OP OP ==++++∑()()()()()2212022240121n e e e n e ---⎡⎤=+++++++-+⎣⎦……10分 ()()22122241211n n e e e---⎡⎤⎡⎤=++++-+++++⎣⎦⎣⎦ ……12分 ()()22121161n n n n e e -----=+-()()()2222121161n n n n n e e e ----=+-. ……14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识,考查化归与转化、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭22212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21204a x x =--<, ……2分 ∵12x x ≠,∴0a >.∴实数a 的取值范围为()0,+∞. ……4分(Ⅱ)∵()2224422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭,显然()02f =-,对称轴20x a=-<. ……6分 (1)当424a --<-,即02a <<时,()2,0M a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=-,解得x =此时()M a 取较大的根,即()M a==, ∵02a <<,∴()1M a =>-. ……10分数学试题A （文科）第 11 页共 11 页 (2)当424a --≥-,即2a ≥时,()2M a a<-,且()4f M a =⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=,解得x =, 此时()M a 取较小的根,即()M a ==, ∵2a ≥,∴()3M a =≥-.……13分当且仅当2a =时,取等号.∵31-<-,∴当2a =时,()M a 取得最小值－3. ……14分。

广东省广州市2008学年度高中二数学上学期学生学业水平测试

2008学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}1,2A =的子集的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 2．sin120的值为A ．12 C ．12- D ．3．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽出28人进行体质测试，则抽到进行体质测试的男运动员的人数为 A ．12B ．14C ．16D ． 204．函数()()sin cos f x x x x =+∈R 的最大值为A ．2B ．．2-5．如图所示是一个半径为1的圆及其内接等腰直角三角形．若随机向圆内丢一粒豆子，则豆子落入三角形（图中阴影部分）内的概率为A ．1πB ．12π C ． 14π D ． 18π6．函数()2xf x x =+的零点所在的区间为A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积．．为 A ．4π B ．2πC ．πD ．32π8．已知实数3log 4a =，015b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 9．若直线0x y a +-=被圆224x y +=截得的弦长为a 的值为A．-．2或2- C ．2 D ．2-10．关于x 的方程2(1)10x a x a b +++++=()0,a a b ≠∈R 、的两实根为12,x x ，若1201x x <<<，则ba的取值范围为A ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．在等差数列{}n a 中，已知22a =，48a =，则公差d 的值为． 12．过点（1，2）且与直线210x y --=平行的直线方程为． 13．设向量(,3),(1,1)x =-=-a b ，若5=-a b ，则实数x 的值为． 14．下图所示的算法流程图中，若3a =，则输出的T 值为；若输出的120T =，则a 的值为（*a ∈N ）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知点(),M x y 的横坐标{}2,1,2x ∈--，纵坐标{}2,2y ∈-．侧视图（1）列出所有符合条件的点M 的坐标；（2）求点M 落在第二象限内的概率． 16．（本小题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆三内角,,A B C 的对边，且6,4,3b c A π===．（1）求a 的值；（2）求sin C 的值． 17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF 平面11CB D ；（2）求证：平面11CAAC ⊥平面11CB D ． 18．（本小题满分14分）已知圆C 经过()3,2A 、()1,6B 两点，且圆心在直线2y x =上．A 1（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()1,3P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．19．（本小题满分14分）已知函数()1x af x a x+-=-()a ∈R ．（1）若()11f =，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,2a a ++上的最小值． 20．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足21=a ，n n n a a 21+=+λ，*n ∈N ，λ为常数．（1）若02=a ，求3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列，若存在，求数列{}n a 的通项公式，若不存在，请说明理由；（3）设1=λ，nn a n b 74-=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足0>n S 的最小自然数n 的值．2008学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．其中第13题写对一个给3分，第14题第一个空2分，第二个空3分． 11．2 12．20x y -= 13．2或4- 14．2；6 三、解答题15．本小题主要考查古典概型等基础知识．满分12分．解：（1）符合条件的点M 的坐标有()2,2--，()2,2-，()1,2--，()1,2-，()2,2-，()2,2．（2）落在第二象限内点M 的坐标有()2,2-，()1,2-．所以点M 落在第二象限内的概率为2163P ==．答：点M 落在第二象限内的概率为13． 16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．解：（1）根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，将6,4,3b c A π===代入可得：22264264cos283a π=+-⨯⨯⨯=．所以a = （2）根据正弦定理：sin sin a cA C=，由（1）知 a =，代入上式，得sin sin 47A C c a =⨯==．17．本小题主要考查空间线面位置关系，考查空间想像能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）连结BD ．在长方体1AC 中，对角线11//BD B D ．又E 、F 为棱AD 、AB 的中点，则//EF BD ．所以11//EF B D ．又B 1D 1⊂平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，所以EF ∥平面CB 1D 1．（2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥B 1D 1．在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，且1111AA AC A = ，所以B 1D 1⊥平面CAA 1C 1．又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 18．本小题主要考查直线与圆等基本知识，考查运算求解能力．满分14分．解（１）方法1：设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=()0r >，依题意得：222222(3)(2),(1)(6),2.a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩解得22,4,5a b r ===．所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．方法2：因为()3,2A 、()1,6B ，所以线段AB 中点D 的坐标为()2,4，直线AB 的斜率62213AB k -==--，因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是()1422y x -=-，即260x y -+=．圆心C 的坐标是方程组260,2x y y x -+=⎧⎨=⎩的解．解此方程组，得2,4.x y =⎧⎨=⎩即圆心C 的坐标为()2,4．圆心为C 的圆的半径长r AC ===所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．（2）由于直线l 经过点()1,3P -，当直线l 的斜率不存在时，1x =-与圆C ()()22245x y -+-=相离．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()31y k x -=+，即：30kx y k -++=．因为直线l 与圆C 相切，且圆C的圆心为()2,4=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程为()321y x -=+或()1312y x -=-+，即：250x y -+=或250x y +-=．19．本小题主要考查函数的性质等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力．满分14分．解：（1）因为()1x a f x a x +-=-，所以由()11f =，得211aa -=-，解得32a =．（2）设1x ，2x 是区间[]1,2a a ++上的任意两个实数，且12x x <，则()()12121211x a x a f x f x a x a x +-+--=---()()()()()()21121211a x x a a x x a a x a x -+---+-=-- ()()1212x x a x a x -=--．由1212a x x a +≤<≤+，得120x x -<，121a x -≤-≤-，221a x -≤-≤-，于是()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．所以，函数()1x af x a x +-=-在区间[]1,2a a ++上是增函数．因此，函数()1x af x a x+-=-在区间[]1,2a a ++上的最小值为()12f a +=-．20．本小题主要考查数列等基本知识，考查推理论证能力．满分14分．解：（1）由02=a 得：021=+a λ，而21=a ，则1-=λ．于是12nn n a a +=-+．所以42223=+-=a a ．（2）不存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列．事实上，假设存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列，由于22212+=+=λλa a ，4224)22(4223++=++=+=λλλλλa a ，若数列{}n a 为等差数列，则3122a a a +=．即()22(22)2224λλλ+=+++，即012=+-λλ，由于041<-=∆，方程无实数根，因此，不存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列．（3）由于1λ=，即12n n n a a +=+，则2≥n 时，)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ，()12121222222212n n n ---=++++=+=- ，而21=a ，因此，*n ∈N 时，n n a 2=，∴nn n b 274-=．则23315472222n n n S --=++++ ， 2341131541147222222n n n n n S +---=+++++ ，以上两式相减得：23113111474222222n n n n S +--⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ，即nn n n S 2142--=．当4,3,2,1=n 时，0<n S ，当5=n 时，0>n S ，故满足0>n S 的最小自然数n 的值为5．19．方法2：因为()1x af x a x+-=-，所以()()()()()2211a x x a f x a x a x -++-'==--．当[]1,2x a a ∈++时，()0f x '>，所以函数()1x af x a x +-=-在区间[]1,2a a ++上是增函数．因此，函数()1x af x a x+-=-在区间[]1,2a a ++上的最小值为()12f a +=-．18．（1）方法3：因为圆心在直线2y x =上，所以可设圆心C 的坐标为(),2t t ．因为AC BC =，=解得2t =，即圆心C 的坐标为()2,4．圆心为C 的圆的半径长r AC ===所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线，水产价格 /shuichan/ 水产价格吘莒咦∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=-----43tan 1tan 22=-∴αα即3tan 2α+8tan α－3=0，解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝31. 因此，直线l 的斜率是31 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.命题否定的典型错误及制作在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．一、典型错误剖析错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．例1 写出下列命题的否定：⑴对于任意实数x，使x2＝1；⑵存在一个实数x，使x2＝1．错解：它们的否定分别为⑴对于任意实数x，使x2≠1；⑵存在一个实数x，使x2≠1．剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；⑵对于任意实数x，使x2≠1．错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2写出下列命题的否定：⑴线段AB与CD平行且相等；⑵线段AB与CD平行或相等．错解：⑴线段AB与CD不平行且不相等；⑵线段AB与CD不平行或不相等．剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．正解：⑴线段AB与CD不平行或不相等；⑵线段AB与CD不平行且不相等．错误3——认为“都不是”是“都是”的否定例3写出下列命题的否定：⑴a，b都是零；⑵高一(一)班全体同学都是共青团员．错解：⑴a，b都不是零；⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员．剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．错误4——认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p 则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．错解：不满足条件C的点不都在直线F上．剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．正解：满足条件C的点不都在直线F上．二、几类命题否定的制作1．简单的简单命题命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．例5写出下列命题的否定：⑴ 3＋4＞6；⑵ 2是偶数．解：所给命题的否定分别是：⑴ 3＋4≤6；⑵ 2不是偶数．2．含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．例6写出下列命题的否定：⑴不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．⑵存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．⑶至少有一个整数是自然数．⑷至多有两个质数是奇数．解：⑴原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．⑵原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；例7写出下列命题的否定：⑴他是数学家或物理学家．⑵他是数学家又是物理学家．⑶2123x x+-≥0．解：⑴原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．第1章第3节知能训练·提升考点一：命题真假的判断1．如果命题“非p 或非q ”是假命题，则下列结论中正确的为( )①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且q ”是假命题； ③命题“p 或q ”是真命题； ④命题“p 或q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：由“非p 或非q ”是假命题知，非p 和非q 都是假命题．即p 为真，q 为真．所以p 且q 为真，p 或q 也为真．①③正确．答案：A2．设命题p ：若a ＞b ，则1a ＜1b ；命题q ：1ab＜0⇔ab ＜0.给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③綈p 且q ；④綈p 或綈q .其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由题意知p 为假命题，q 为真命题，故p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 且q 为真，綈p 或綈q 也为真，故真命题有3个．答案：D3．(2010·湖北质检)P ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；Q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.情形(1)：P 正确，但Q 不正确，因此a ∈(0,1)∩[12，52]，即a ∈[12，1)．情形(2)：P 不正确，但Q 正确，因此a ∈(1，＋∞)∩[(－∞，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞)．综上，a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．考点二：反证法的应用4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除答案：B5．已知函数f (x )对其定义域内的任意两个实数a 、b ，当a ＜b 时，都有f (a )＜f (b )，求证：f (x )＝0至多有一实根．证明：假设f (x )＝0至少有两个不同的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，由方程的定义，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，则f (x 1)＝f (x 2)，①但是由已知，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，②①式与②式矛盾，因此假设不成立．故f (x )至多有一个实根．考点三：充要条件的判断及证明6．若不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，－12]D ．[43，＋∞)解析：|x －m |＜1⇔m －1＜x ＜m ＋1.由题意m －1≤13且m ＋1≥12，得－12≤m ≤43.答案：B7．(2010·山东名校联考)已知命题p ：－1≤4x －3≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．[12，1]C ．[13，12]D ．(13，1]解析：由题知，命题p 为M ＝[12，1]，命题q 为N ＝[a ，a ＋1]．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，从而有M N ，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1＞1.而当a ＝0或a ＝12时，同样满足M N 成立，故a 的取值范围是[0，12]．答案：A8．(探究题)(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解：(1)因为x 2－x －2＞0的解为x ＞2或x ＜－1.所以当x ＞2或x ＜－1时，x 2－x －2＞0.由4x ＋p ＜0得x ＜－p 4.设A ＝{x |x ＞2或x ＜－1}，B ＝{x |x ＜－p4}．由题意得B ⊆A .所以－p4≤－1，所以p ≥4.故存在实数p ≥4，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件．(2)由(1)知，要使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件，则需满足A ⊆B ，但这不可能，故不存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件.1.(2009·浙江)已知a 、b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞0且b ＞0可得a ＋b ＞0，ab ＞0，由a ＋b ＞0有a 、b 至少一个为正，ab ＞0可得a 、b 同号，两者同时成立，则必有a ＞0，b ＞0，故选C. 答案：C2．(2009·安徽)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞dB ．p ：a ＞1，b ＞1，q ：f (x )＝a x－b (a ＞0，且a ≠1)的图像不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a ＞1，q ：f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析：∵p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＜d ， ∴pq ，q ⇒p .对于选项B ：p ⇒q ，qp ，p 是q 的充分不必要条件．对于选项C ：p ⇒q ，q p ，p 是q 的充分不必要条件．对于选项D ：p ⇔q ，p 是q 的充要条件．故选A. 答案：A3．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；(3)设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； (4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：(1)由面面平行的判定定理可得，该命题正确； (2)由线面平行的判定定理可得，该命题正确．(3)如图(举反例)，a ⊂α，α∩β＝l ，a ⊥l ，使α与β不垂直．(4)l ⊥α，垂直的充要条件是l 与α内的两条相交直线垂直．答案：(1)(2)1.对于函数：①f (x )＝|x ＋2|，②f (x )＝(x －2)2，③f (x )＝cos(x －2)，判断如下两个命题的真假；命题甲：f (x ＋2)是偶函数；命题乙：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；能使命题甲、乙均为真命题的所有函数的序号是( )A ．①②B ．②C ．①③D ．③解析：对于函数①，∵f (x ＋2)＝|x ＋4|，∴命题甲是假命题；对于函数②，∵f (x ＋2)＝x 2，∴命题甲是真命题，且命题乙是真命题；对于函数③，∵f (x ＋2)＝cos x ，∴命题甲是真命题，但命题乙是假命题．答案：B2．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方得y ＝(x －34)2＋716.∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1，∴x ≥1－m 2， B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，解之，得m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]或[34，＋∞)．。

广东省广州市高二数学上学期学业水平测试试卷(含解析)

广东省广州市2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{2，4，8} C．{1，6} D．{1，2，4，6，8} 2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=x﹣2D．y=lnx3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=（）A．1 B．2 C．3 D．54．（5分）某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．6 B．9 C．18 D．365．（5分）将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）的最小正周期为πB．y=f（x）是偶函数C．y=f（x）的图象关于点（，0）对称D．y=f（x）在区间[0，]上是减函数6．（5分）已知2a＞2b＞1，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．（）a＞（）b D．（）a＜（）b7．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则•=（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣368．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣6 C．﹣1 D．09．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f （﹣1）的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣2 D．610．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）过点（﹣3，0）且与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程是．12．（5分）如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是．14．（5分）在△ABC中，已知AB=，cosC=，A=2C，则BC的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．（12分）实验室某一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]．（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低．16．（12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2可回收垃圾 4 19 2 3有害垃圾 2 2 14 1其他垃圾 1 5 3 13（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．17．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．18．（14分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．20．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．广东省广州市2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{2，4，8} C．{1，6} D．{1，2，4，6，8}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接由交集运算得答案．解答：解：由M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，得M∩N={1，2，4，8}∩{2，4，6，8}={2，4，8}．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的计算题．2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=x﹣2D．y=lnx考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：分别求出各个函数的定义域，从而得到答案．解答：解：函数y=的定义域是（0，+∞），A中的定义域是{x|x≠0}，B中的定义域是{x|x≥0}，C中的定义域是R，D中的定义域是（0，+∞），故选：D．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了常见函数的性质，是一道基础题．3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=（）A．1 B．2 C．3 D．5考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程由通项公式可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a5=a1+4d=9，S2=2a1+d=4，解得a1=1，d=2，∴a2=a1+d=3故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．（5分）某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．6 B．9 C．18 D．36考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知，几何体是三棱柱，依据所给数据直接计算即可．解答：解：由题意可知：几何体是以正视图为底面的三棱柱，其底面面积S=×4×=6，高是3，所以它的体积：Sh=18，故选：C点评：本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．5．（5分）将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）的最小正周期为πB．y=f（x）是偶函数C．y=f（x）的图象关于点（，0）对称D．y=f（x）在区间[0，]上是减函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，可得结论．解答：解：将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）=cos（x+）=﹣sinx 的图象，再结合正弦函数的图象特征，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，属于基础题．6．（5分）已知2a＞2b＞1，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．（）a＞（）b D．（）a＜（）b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件，得到a＞b＞0，分别进行判断即可．解答：解：∵2a＞2b＞1，∴a＞b＞0，只有（）a＜（）b成立，故选：D点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据不等式的性质是解决本题的关键．7．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则•=（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：运用余弦定理，求得cosB，再由向量的数量积的定义，计算即可得到．解答：解：由于AB=AC=5，BC=6，则cosB==，则•=||•||•cos（π﹣B）=5×6×（﹣）=﹣18．故选C．点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．8．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣6 C．﹣1 D．0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可．解答：解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（2，4）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣8=﹣6∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣6．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．9．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f （﹣1）的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣2 D．6考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，由已知解析式，求得a=3，进而得到f（1），再由f（﹣1）=﹣f（1），即可得到．解答：解：f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f（0）=a﹣3=0，解得，a=3，即有f（x）=3x+1﹣3，即f（1）=9﹣3=6，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣6．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和性质，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：设甲地到乙地的距离为s．可得他往返甲乙两地的平均速度为v==，由于a＞b＞0，利用不等式的基本性质可得.=．即可得出．解答：解：设甲地到乙地的距离为s．则他往返甲乙两地的平均速度为v==，∵a＞b＞0，∴，∴．=．∴．故选：D．点评：本题考查了路程与速度时间之间的关系、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）过点（﹣3，0）且与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程是x+4y+3=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：设与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程为x+4y+c=0，把点（﹣3，0）代入，能求出直线的方程．解答：解：设与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程为x+4y+c=0，把点（﹣3，0）代入，得：﹣3+0+c=0，解得c=3，∴所求直线的方程为x+4y+3=0．故答案为：x+4y+3=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线的位置关系的合理运用．12．（5分）如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.14π．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，符合几何概型，从而可得=；从而求得．解答：解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为S，则=；故S=0.14π；故答案为：0.14π．点评：本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是21．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y，z 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：执行程序框图，有x=1，y=2z=3，满足条件z＜20，x=2，y=3，z=5满足条件z＜20，x=3，y=5，z=8满足条件z＜20，x=5，y=8，z=13满足条件z＜20，x=8，y=13，z=21不满足条件z＜20，输出z的值为21．故答案为：21．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．14．（5分）在△ABC中，已知AB=，cosC=，A=2C，则BC的长为2．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由cosC的值求出sinC的值，根据A=2C，得到sinA=sin2C=2sinCcosC，求出sinA 的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出a的值，即为BC的长．解答：解：∵△ABC中，AB=c=，cosC=，A=2C，∴sinC==，sinA=sin2C=2sinCcosC=2××==，由正弦定理=得：a==2，则BC=a=2，故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．（12分）实验室某一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]．（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意t=10时，f（10）=4sin（×10﹣）=4，从而解得；（2）因为t∈[0，24]，所以﹣≤t﹣≤，从而令t﹣=求得最小值及最小值点．解答：解：（1）依题意f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]；实验室这一天上午10点，即t=10时，f（10）=4sin（×10﹣）=4，所以上午10点时，温度为4℃．（2）因为t∈[0，24]，所以﹣≤t﹣≤，故当t﹣=时，即t=22时，y取得最小值，y min=﹣4；故当t=22时，这一天中实验室的温度最低．点评：本题考查了三角函数的应用及最值问题，属于基础题．16．（12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2可回收垃圾 4 19 2 3有害垃圾 2 2 14 1其他垃圾 1 5 3 13（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布表，求出“可回收垃圾”的总量与“可回收垃圾投放正确”的数量，计算概率即可；（2）根据数据统计，求出生活垃圾的总量以及生活垃圾投放错误的总量，计算概率即可．解答：解：（1）依题意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（吨），其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19吨，设事件A为“可回收垃圾投放正确”，所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为P（A）=；（2）据数据统计，总共抽取了100吨生活垃圾其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量分别为24吨，19吨，14吨，13吨，故生活垃圾投放正确的数量为24+19+14+13=70吨；所以，生活垃圾投放错误的总量为100﹣70=30吨，设事件B“生活垃圾投放错误”，故可估计生活垃圾投放错误的概率为P（B）==．点评：本题考查了数据统计与概率计算的问题，解题时应分析数据，根据数据统计计算概率，是基础题．17．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EO∥PD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD∥平面ACE．（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE．再利用等腰直角三角形的性质证得AE⊥PB．再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBC．解答：证明：（1）连BD交AC于O，连EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD中点．E为PB的中点，∴EO∥PD又EO⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE（2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥AB．∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE⊂PAB，∴BC⊥AE．∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB．∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题．18．（14分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）由已知得圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==＜r=3，由此能求出a＞或a＜﹣．（2）AB的垂直平分线过圆心，直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，由此能求出存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．解答：解：（1）圆C：x2+y2=9的圆心C（0，0），半径r=3，圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==，∵线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B，∴d＜r，∴，解得a＞或a＜﹣．（2）∵A，B为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，∵k PC=﹣，∴﹣，解得a=2，∵a=2符合a＞或a＜﹣，∴存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件建立关系式，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结果解答：解：（1）数列{a n}为等差数列，所以：a2=a1+d=a1+2，a4=a1+3d=a1+6a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．所以：解得：a1=1所以：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1证明：（2）已知①②①﹣②得：==所以：由于n≥1所以：＜6点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，错位相减法的应用，放缩法的应用，属于中等题型．20．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．考点：函数的单调性及单调区间；二次函数的性质；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）求出a=2的函数解析式，讨论x≥2时，x＜2时，二次函数的对称轴与区间的关系，即可得到增区间；（2）函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数即为y=f（x）与y=1的交点个数．画出图象，讨论a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通过图象和对称轴，即可得到交点个数．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|，当x≥2时，f（x）=x2﹣2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）．（2）令g（x）=f（x）﹣1=0，即f（x）=1，f（x）=，求函数g（x）的零点个数，即求y=f（x）与y=1的交点个数；当x≥a时，f（x）=x2﹣ax，对称轴为x=，当x＜a时，f（x）=﹣x2+ax，对称轴为x=，①当a=0时，f（x）=x|x|，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．②当a＞0时，＜a，且f（）=，故由图象可得，1°当a=2时，f（）==1，y=f（x）与y=1只存在两个交点；2°当0＜a＜2时，f（）=＜1，y=f（x）与y=1只存在一个交点；3°当a＞2时，f（）=＞1，y=f（x）与y=1只存在三个交点．③当a＜0时，＞a，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．综上所述：当a＞2时，g（x）存在三个零点；当a=2时，g（x）存在两个零点；当a＜2时，g（x）存在一个零点．点评：本题考查函数的单调性的运用：求单调区间，考查函数和方程的思想，函数零点的判断，考查数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．。

2007年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州二测及参考答案

试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=第一部分选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --4.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.4名男生和2名女生排成一排照相,要求2名女生必须相邻,则不同的排列方法为A.4242A A B.5252A A C.55AD.6622A A7.如图1,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B1 11 D 18.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-第二部分非选择题(共110分)二、填空题:本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题,每小题5分,满分30分. 9.已知0t >,若()021d 6tx x -=⎰,则t = .10.某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师人.图111.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图2所示,则ω= ,ϕ= .12.已知数列{}n a 满足12a =,111n n na a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为 , 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 13.已知,,,a b x y ∈R ,224a b +=,6ax by +=,则22x y +的最小值为 .14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图3,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.17.(本小题满分12分)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个,从袋中任取2个小球,每个小球被取出的可能性都相等.(Ⅰ)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；(Ⅱ)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和,求随机变量ξ的概率分布与数学期望.图2图318.(本小题满分14分) 如图4所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =D(Ⅰ)证明:1A D ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)求二面角11B AB C --的余弦值.19.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21ni i OP =∑.20.(本小题满分14分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.图42007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题。

2012学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试-数学试(精)

2012学年广州市高二年级学生学业水平测试数学一、选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3}A =,则U A =ð(C A.∅ B. {1,3}C. {2,4,5} D. {1,2,3,4,5} 解析:由补集的定义知{2,4,5}U A =ð2.已知点(3,4P -是角α终边上一点,则tan α=(A A.43-B. 34-C.34D.43解析:由正切的定义知4tan 3y x α-==3.若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直,则实数a 的值为(D A.2- B. 2 C. 12-D.12解析:由题知两直线都存在斜率,又两直线垂直,故(21a -⨯=-,解得12a =4.要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框,不考虑焊接损耗,则需要铁丝的长度至少为(B A.24B. 12 C. 6 D. 3解析:设矩形框的长为x ,宽为y ,则9xy=,矩形框周长为2(212x y +⨯=…,当且仅当3x y ==时取等号5.如图,在边长为2的正方形A B C D 内随机取一点P ,分别以A 、B 、C 、D 为圆心,1为半径作圆,在正方形A B C D 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M (阴影部分,则点P 取自区域M 的概率为(C A.2πB. 4πC. 14π-D. 12π-解析:四个非阴影部分构成一个以1为半径的圆,故阴影部分的面积为22214ππ-⨯=-, 所以点P 取自区域M 的概率为4144ππ-=-6.某几何体的三视图(均为直角三角形及其尺寸如图所示,则该几何体的体积为(B A.16B.13C.12D. 1解析:该几何体的直观图是一个三棱锥,如下图所示,易知虚线段长为2,故该几何体的体积111112323V =⨯⨯=7.函数2(f x x=的零点所在的区间为(DA.10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ D. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭解析:将各区间的端点值代入函数解析式,易知3(02f <,(20f >,故由零点存在定理知选D 8.已知等差数列{}n a 的首项为4,公差为4,其前n 项和为n S ,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为(AA.2(1n n + B.12(1n n + C.2(1n n + D.21n n +解析:2(144222(12n n n S n n n n n -=+⨯=+=+,故11111(2(121nS n n n n ==-++,(裂项求和法 12111111111111(((21222321 nS S S n n +++=-+-++-+ 1111111(212231111(2112(1n n n n n =-+-++-+=-+=+9.在长方形A B C D 中,2A B =,1AD =,则AC CD =(DA.2-B. 2C. 4D. 4-解析:画出图形,cos ,24AC C D AC C D AC C D ⎛=<>=⨯-=- ⎝10.设函数(f x 的定义域为R ,若存在与x 无关的正常数M ,使(f x M x …对一切实数x 恒成立,则称(f x 为有界泛函.则下面四个函数中,属于有界泛函的是(B①(1f x =②2(f x x =③(2sin f x x x =④2(2x f x x x =++A.①②B. ③④C. ①③D. ②④解析:若(f x 为有界泛函,当0x =时,(f x M x …也成立,即(00f M …,故(00f =,由此,当0x ≠时,(f x M x …可变形为(f x M x…对一切实数x 恒成立,代入检验排除①②,对③,因为|sin |1x …,所以有|(|2|||sin |2||f x x x x = …,即M 可取大于或等于2的一切实数;-4=0对④,因为2(17(24x f x x =++,所以有2||4|(|||177(24x f x x x =++…,即M 可取大于或等于47的一切实数;综上③、④是有界泛函二、填空题11.已知幂函数(f x x α=的图象经过点,则函数(f x 的定义域为[0,+∞. 解析:易知2α=12α=,即(f x =12.如图给出的是计算111123S n=++++值的一个程序框图,当程序结束时,n 的值为2012. 解析:此程序框图表示求1111232012 S =++++的值13.已知A B C ∆的三个顶点坐标分别是(2,4,0A ,(2,0,3B ,(2,2,C z ,若90C ∠=,则z 的值为41-或.解析:因为90C ∠=,所以AC BC ⊥,而(2,2,(2,4,0(0,2,AC z z =-=- ,(2,2,(2,0,3(0,2,3B C z z =-=- , 从而4(30AC BC z z =-+-=,解得4z =或1-14.设实数x ,y 满足32040x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………,则22x y +的取值范围是[8,34].解析:由2222x y d +==,故可考虑可行域中的点到坐标原点的距离d ,如右图d 的最小值为222[8,34]x y d +=∈三、解答题15.在平面直角坐标系xOy 中,已知(3,1A ,(1,0C . (1求以点C 为圆心,且经过点A的圆C 的标准方程;(2若直线l 的方程为290x y -+=,判断直线l 与(1中圆C 的位置关系,并说明理由. 解:(1圆半径|r AC ==,故圆C 的标准方程为22(15x y -+=;次数(2因为圆心(1,0C 到直线290x y -+=的距离d r ==>,所以直线l 与圆C 相离.16.已知函数(sin ,f x x x x R =+∈.(1求函数(f x 的最小正周期;(2若635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0,2πα⎛⎫∈⎪⎝⎭,求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.解:1(sin 2(sin cos 2sin(223f x x x x x x π=+=+=+,(1函数(f x 的最小正周期2T π=;(262sin(2sin 3335f πππααα⎛⎫-=-+== ⎪⎝⎭,得3sin 5α=, 又0,2πα⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以4cos 5α==344822sin(22sin 24sin cos 43335525f πππααααα⎛⎫-=-+===⨯⨯=⎪⎝⎭.17.对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取N 名学生作为样本,得到这N 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:(1求出表中N ,p 及图中a 的值;(2在所给样本中,从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人,求至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15]内的概率. 解:(1由[12,15的分组数据知20.05N=,解得40N =,所以40104224n =---=,240.640p ==,100.2540m ==,40.140q ==;组距3=,0.23p a ==;(2参加社区服务的次数不少于9次的学生共有6人,其中次数在[9,12的4人,在[12,15的2人, 选出的2人全是参加社区服务次数在区间[9,12]内的概率为2426C 62C155==,故至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15]内的概率为23155-=.18.如图,A B 是O 的直径,点C 是O 圆周上不同于A 、B 的任意一点,P A ⊥平面ABC ,点E 是线段P B 的中点,点M 在 AB 上,且//M O AC .(1求证:B C ⊥平面PAC ;(2求证:平面//E M O 平面PAC . (1证明:因为A B 是O 的直径,所以90ACB ∠= ,即B C A C ⊥; 又P A ⊥平面ABC ,B C ⊂平面ABC ,所以P A B C ⊥; 又PA AC A = ,所以B C ⊥平面PAC ;(注:线面垂直的判定定理:若直线垂直于平面内两条相交直线,则该直线垂直于平面 (2证明:因为点E 是线段P B 的中点,O 是线段AB 的中点,故E O 是线段P A B ∆的中位线, 所以//E O P A ,又//M O AC ,且E O ⊂平面E M O ,M O ⊂平面E M O ,EO MO O = ,PA ⊂平面PAC ,A C ⊂平面PAC ,PA AC A = ,所以平面//E M O 平面PAC .(注:面面平行的判定定理:若平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则两平面平行(注:由判定定理证明时,一定要将满足的条件写全后,再下结论19.已知数列{}n a 满足11a =,*12(,n n n a a n N λλ+=+∈为常数,且1a ,22a +,3a 成等差数列.(1求λ的值;(2求数列{}n a 的通项公式;(3设数列{}n b 满足23n n nb a =+,求证:916n b ….解:(1由1n =得21212a a λλ=+=+,由2n =得32416a a λλ=+=+,又1a ,22a +,3a 成等差数列,所以2132(2a a a +=+,即2(32116λλ+=++, 解得2λ=;(2由(12λ=得122n n n a a +=+ ,即112n n n a a ++-=;(下用叠加法求n a2212a a -=,3322a a -=, (12n n a a --=;叠加得231222nn a a -=+++ ,所以2112212n n a a +-=+-,化简得；（3）由（2）得， 2证法一、考虑函数，则 f ，时，函数 f ( x 单调递增，时，函数 f ( x 单调递减，当，即当，即故数列 {bn } 的最大项为 b2 、 b3 其中之一，，又当，，当，所以数列 {bn } 的最大项为综上bn… 9 ，证法二、设 bn 为数列 {bn } 中的最大项，则恒成立，即，化简得，解得厔或剟，即剟， n 又，所以，即数列 {bn } 中的最大项为故bn… 9 ， 16 9 . 16 2 20.设 a 为常数，，函数（1）若函数 f ( x 为偶函数，求实数 a 的值；（2）求函数 f ( x 的最小值. 解：（1）因为 f ( x 为 R 上的偶函数，所以对一切实数 x 恒成立，即恒成立， 2 2 化简得恒成立，故或恒成立，故0； 6（2）注：此问和第（1）问无关系。

2010学年度广东省广州市高中二年级学生学业水平测试及答案

12010学年度广州市高中二年级学生学业水平测试英语本试卷分四部分，共12页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的测试证号和姓名；填写考区考场室号、座位号，再用2B 铅笔把对应的两个号码涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。

II 语言知识及应用（共两节，满分 45 分）第一节完形填空（共15小题，每小题 2 分，满分 30 分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从 16 一 30 各题所给的 A 、 B 、 C 和 D 项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

Are you good at understanding body language? You're probably ___16____than you think,according to the experts.What is body language exactly? __17___, it's signals made by body movement, gesture andeye movement.Body language can actually __18__ a lot of information, and it can help us ___19___ aperson's attitude and state of mind. In fact, studies have suggested that only 7% of communicationinvolves actual __20___, while 55% is body language and 38% is intonation (语调).Many examples of body language are ___21___ to identify. In most cultures, smiling showshappiness and a(an) ___22___ attitude. So, when someone smiles at you, they're telling you thatthey are open, interested and happy to ___23___. But if someone puts their arms across their chest,they don't want to communicate with you. And if this is combined with a serious facial expression,you should ___24___ because this can mean anger.It's very difficult to ___25__ with your body language. For example, when people pretend to___26___, they only use the muscles around the mouth and the top half of their faceremains__27___. However, a true smile involves the ___28___ face; including the cheeks andeyes. Research shows that most people can see whether a smile is true by looking at the top half ofthe ___29___.One of the great advantages with body language is that you don't have to ___30___ it youalready know it, even if you don't know you do.16. A.stronger B.better C.more interested D.more careful17. A. Basically B. Suddenly C. Truly D. Surprisingly218. A.read B.destroy C.receive municate19. A.hide B.create C.understand D.like20. A.words B.signals C.meaning D.gesture21. A.sure B.impossible C.easy D.hard22. A.surprised B.friendly C.curious D.angry23. A.operate B.stay C.go D.talk24. A.leave out B.watch out C.speak out D.turn out25. A.begin B.move C.answer D.lie26. A.smile B.speak C.look D.reply27. A.untouched B.unnoticed C.unchanged D.uncovered28. A.partial B.whole ual D.happy29. A.mouth B.cheek C.face D.body30. A.like B.do C.mean D.learn第二节语法填空（共 10 小题，第小题 1.5 分，满分15分）阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空，并将答案填写在答题卜标号为 31 一 40 的相应位置上。

2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试(数学)

数学学业水平测试第 1 页（共 4 页）秘密★启用前2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =, 集合{}1,3A =, , 则U A =ð( )A . ∅ B. {}1,3 C. {}2,4,5 D. {}1,2,3,4,5 2. 已知点(3,4)P -是角α终边上的一点, 则tan α=( ) A . 43-B. 34-C. 34D. 433. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直, 则实数a 的值为( ) A . 2- B. 2 C. 12-D. 124. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框, 不考虑焊接损耗, 则需要铁丝的长度至少为( )A .24 B. 12 C. 6 D. 35. 如图1, 在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P , 分别以A 、B 、C 、D 为圆心、1为半径作圆, 在正方形ABCD 内的四段弧所围成的封闭区域记为M (阴影部分), 则点P 取自区域M 的概率是( ) A .2π B. 4πC.14π-D. 12π-6. 某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图2所示, 则该几何体的体积为( ) A . 16 B. 13C.12D. 1 7.函数2()f x x的零点所在的区间为( ) A . 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ D. 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 已知等差数列{}n a 的首项为4, 公差为4, 其前n 项的和为n S , 则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为( ) A .2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 21nn +9. 在长方形ABCD 中, AB=2, AD =1, 则AC CD ⋅=( )A . 4 B. 2 C. 2- D. 4-图1数学学业水平测试第 2 页（共 4 页）10. 设函数()f x 的定义域为R ,若存在与x 无关的正常数M , 使()f x M x ≤对一切实数x 恒成立, 则称()f x 为有界泛函. 有下面四个函数:① ()1f x =; ② 2()f x x =; ③()2sin f x x x =; ④ 2().2xf x x x =++ 其中属于有界泛函的是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 已知幂函数()f x x α=的图象过点(, 则函数()f x 的定义域是 .12. 如图3, 给出的是计算111123S n=++++ 值的一个程序框图, 当程序结束时, n 的值为 .13. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是(2,4,0)A ,(2,0,3)B , (2,2,)C z , 若90C ∠= , 则z 的值为 .14. 设实数x , y 满足3,20,40,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则22x y +的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中, 已知(3,1),(1,0)A C（1）求以点C 为圆心, 且经过点A 的圆C 的标准方程;（2）若直线l 的方程为290x y -+=, 判断直线l 与圆C 的位置关系, 并说明理由.数学学业水平测试第 3 页（共 4 页）已知函数()sin ,f x x x x R =∈．（1）求函数()f x 的的最小正周期;（2）若6,0,,352f ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．(本小题满分14分)对某校高二年级学生参加社区服务系数惊醒统计, 随机抽取N 名学生作为样本, 得到这N 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:（1）求出表中N ，p ，及图中的a 的值;（2）在所取样本中, 从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人, 求至少有一人参加社区服务次数在区间[]12,15内的概率.18. （本小题满分14分）如图4所示, AB 是⊙O 的直径, 点C 是⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点, P A ⊥平面ABC , 点E 是线段PB 的中点, 点M 在AB 上, 且//MO AC . （1）求证: BC ⊥平面PAC ;（2）求证: 平面EOM //平面P AC .图4数学学业水平测试第 4 页（共 4 页）已知数列{}n a 满足*111,2(N ,)n n n a a a n λλ+==+⋅∈为常数, 且123,2,a a a +成等差数列. （1）求λ的值;（2）求数列{}n a 的通项公式;（3）设数列{}n b 满足23n n n b a =+, 证明: 9.16b ≤20. （本小题满分14分）设a 为常数, R a ∈, 函数2()||1,R.f x x x a x =+-+∈（1）若函数()f x 是偶函数, 求实数a 的值; （2）求函数()f x 的最小值.。

2008学年广州市高中二年级学生学业水平测试(试题+答案)

秘密★启用前2008学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}1,2A =的子集的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．sin120的值为（）A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽出28人进行体质测试，则抽到进行体质测试的男运动员的人数为（） A ．12 B ．14 C ．16 D ． 204．函数()()sin cos f x x x x =+∈R 的最大值为（）A ．2BC ．D ．2- 5．如图所示是一个半径为1的圆及其内接等腰直角三角形．若随机向圆2内丢一粒豆子，则豆子落入三角形（图中阴影部分）内的概率为（）A ．1πB ． 12πC ． 14πD ． 18π6．函数()2x f x x =+的零点所在的区间为（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积．．为（） A ．4π B ．2πC ．πD ．32π8．已知实数3log 4a =，015b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．若直线0x y a +-=被圆224x y +=截得的弦长为a 的值为（） A．- B ．2或2- C ．2 D ．2-10．关于x 的方程2(1)10x a x a b +++++=()0,a a b ≠∈R 、的两实根为12,x x ，若1201x x <<<，则ba的取值范围为（）A ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．侧视图数学学业水平测试第 3 页共 10 页11．在等差数列{}n a 中，已知22a =，48a =，则公差d 的值为．12．过点（1，2）且与直线210x y --=平行的直线方程为．13．设向量(,3),(1,1)x =-=-a b ，若5=-a b ，则实数x 的值为．14．下图所示的算法流程图中，若3a =，则输出的T 值为；若输出的120T =，则a 的值为（*a ∈N ）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知点(),M x y 的横坐标{}2,1,2x ∈--，纵坐标{}2,2y ∈-．（1）列出所有符合条件的点M 的坐标；（2）求点M 落在第二象限内的概率． 16．（本小题满分12分）4已知,,a b c 是ABC ∆三内角,,A B C 的对边，且6,4,3b c A π===．（1）求a 的值；（2）求sin C 的值． 17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF平面11CB D ；（2）求证：平面11CAAC ⊥平面11CB D ． 18．（本小题满分14分）A 1数学学业水平测试第 5 页共 10 页已知圆C 经过()3,2A 、()1,6B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()1,3P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．19．（本小题满分14分）已知函数()1x af x a x+-=-()a ∈R ．（1）若()11f =，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,2a a ++上的最小值． 20．（本小题满分14分）6设数列{}n a 满足21=a ，n n n a a 21+=+λ，*n ∈N ，λ为常数．（1）若02=a ，求3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列，若存在，求数列{}n a 的通项公式，若不存在，请说明理由；（3）设1=λ，nn a n b 74-=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足0>n S 的最小自然数n 的值．2008学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学学业水平测试第 7 页共 10 页数学试题参考答案及评分标准5分，满分50分．二、填空题：5分，满分20分．其中第13题写对一个给3分，第14题第一个空2分，第二个空3分． 11．2 12．20x y -= 13．2或4- 14．2；6 三、解答题15．本小题主要考查古典概型等基础知识．满分12分．解：（1）符合条件的点M 的坐标有()2,2--，()2,2-，()1,2--，()1,2-，()2,2-，()2,2．（2）落在第二象限内点M 的坐标有()2,2-，()1,2-．所以点M 落在第二象限内的概率为2163P ==．答：点M 落在第二象限内的概率为13．16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．解：（1）根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，将6,4,3b c A π===代入可得：22264264cos283a π=+-⨯⨯⨯=．所以a =（2）根据正弦定理：sin sin a cA C=，由（1）知 a =，代入上式，得sin sin 47A C c a =⨯==． 17．本小题主要考查空间线面位置关系，考查空间想像能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）连结BD ．在长方体1AC 中，对角线11//BD B D ．又E 、F 为棱AD 、AB 的中点，则//EF BD ．所以11//EF B D ．又B 1D 1⊂平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，所以EF ∥平面CB 1D 1．（2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥B 1D 1．在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，且1111AA AC A =，8所以B 1D 1⊥平面CAA 1C 1．又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 18．本小题主要考查直线与圆等基本知识，考查运算求解能力．满分14分．解（１）方法1：设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=()0r >，依题意得：222222(3)(2),(1)(6),2.a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩解得22,4,5a b r === 所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．方法2：因为()3,2A 、()1,6B ，所以线段AB 中点D 的坐标为()2,4，直线AB 的斜率62213AB k -==--，因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是()1422y x -=-，即260x y -+=．圆心C 的坐标是方程组260,2x y y x -+=⎧⎨=⎩的解．解此方程组，得2,4.x y =⎧⎨=⎩即圆心C 的坐标为()2,4．圆心为C 的圆的半径长r AC ===所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．（2）由于直线l 经过点()1,3P -，当直线l 的斜率不存在时，1x =-与圆C ()()22245x y -+-=相离．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()31y k x -=+，即：30kx y k -++=．因为直线l 与圆C 相切，且圆C的圆心为()2,4=．解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程为()321y x -=+或()1312y x -=-+，数学学业水平测试第 9 页共 10 页即：250x y -+=或250x y +-=．19．本小题主要考查函数的性质等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力．满分14分．解：（1）因为()1x a f x a x +-=-，所以由()11f =，得211aa -=-，解得32a =．（2）设1x ，2x 是区间[]1,2a a ++上的任意两个实数，且12x x <，则()()12121211x a x a f x f x a x a x +-+--=---()()()()()()21121211a x x a a x x a a x a x -+---+-=-- ()()1212x x a x a x -=--．由1212a x x a +≤<≤+，得120x x -<，121a x -≤-≤-，221a x -≤-≤-，于是()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．所以，函数()1x af x a x +-=-在区间[]1,2a a ++上是增函数．因此，函数()1x af x a x+-=-在区间[]1,2a a ++上的最小值为()12f a +=-．20．本小题主要考查数列等基本知识，考查推理论证能力．满分14分．解：（1）由02=a 得：021=+a λ，而21=a ，则1-=λ．于是12n n n a a +=-+．所以42223=+-=a a ．（2）不存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列．事实上，假设存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列，由于22212+=+=λλa a ，4224)22(4223++=++=+=λλλλλa a ，若数列{}n a 为等差数列，则3122a a a +=．即()22(22)2224λλλ+=+++，即012=+-λλ，由于041<-=∆，方程无实数根，因此，不存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列．10（3）由于1λ=，即12n n n a a +=+，则2≥n 时，)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ，()12121222222212n n n ---=++++=+=-，而21=a ，因此，*n ∈N 时，n n a 2=，∴nn n b 274-=．则23315472222n nn S --=++++， 2341131541147222222n n n n n S +---=+++++，以上两式相减得：23113111474222222n n n n S +--⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭，即nn n n S 2142--=．当4,3,2,1=n 时，0<n S ，当5=n 时，0>n S ，故满足0>n S 的最小自然数n 的值为5． 19．方法2：因为()1x af x a x+-=-，所以 ()()()()()2211a x x a f x a x a x -++-'==--．当[]1,2x a a ∈++时，()0f x '>，所以函数()1x af x a x+-=-在区间[]1,2a a ++上是增函数．因此，函数()1x af x a x+-=-在区间[]1,2a a ++上的最小值为()12f a +=-． 18．（1）方法3：因为圆心在直线2y x =上，所以可设圆心C 的坐标为(),2tt ．因为AC BC ==，解得2t =，即圆心C 的坐标为()2,4．圆心为C 的圆的半径长r AC ===所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．。

2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学

2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A B 等于A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅ 2. cos120︒的值是A . 2-B. 12-C.12D.23. 不等式2230x x --<的解集是A . ()3,1- B. ()1,3-C. ()(),13,-∞-+∞D. ()(),31,-∞-+∞ 4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为 A . 8 B. 2 C. 12- D. 2-5. 函数sin 2y x =是A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 A . 2 B. 3 C. 4 D. 97. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为A . 1 B.53C. 2D. 38. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为A . B.C.D.9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列结论中正确的是A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. D. ()+⊥a b b10. 已知函数()1f x =, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有A. B. C. D.()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >()(-⊥+a b a b ()()1221x f x x f x>4正视图侧视图俯视图图1()()1122x f x x f x <二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .12. 在空间直角坐标系O xyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 14. 已知函数1(0x y a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线上, 则12m n+的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:（1）完成如下的频率分布表:（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3a b A ===．（1）求sin B 的值；（2）求c 的值.()100mx ny mn +-=>如图2，在三棱锥P A B C -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段P B 的中点，平面P A C ⊥平面ABC ．（1）在线段AB 上是否存在点E , 使得的位置, 并加以证明；若不存在, 请说明理由; （2）求证：P A B C ⊥.18. （本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12111n nT S S S =+++，求证：34n T <.已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，M N =2.（1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求121d d -的取值范围.20. （本小题满分14分）已知113a ≤≤, 若函数()22fx ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12. ()1,2,3-- 13. 72 14.3+ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:………4分(2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共8种. ………10分所以()80.810P B ==.答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分 16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．（1）解：∵0A π<<，1cos 3A =，∴sin 3A ==． ………2分由正弦定理得：sin sin a b AB=， ………4分∴2sin 3sin 39b A B a⨯===. ………6分（2）解：∵13,2,cos 3a b A ===，∴222123b c abc+-=. ………8分∴222231223c c+-=⨯，解得3c =. ………12分17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//D E 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分下面证明//D E 平面PAC : 取线段AB 的中点E ,∵点D 是线段P B 的中点，∴D E 是△P A B ∴//D E P A . ………6 ∵PA ⊂平面PAC ，D E ⊄平面PAC ，∴//D E 平面PAC . ……… （2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===,∴222AB BC AC =+. ∴A C B C ⊥. ∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC A C =，B C ⊂平面ABC ， ∴B C ⊥平面PAC . …12分 ∵PA ⊂平面PAC ，∴P A B C ⊥. ……14分18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,∵ 1310a a +=, 424S =,∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ………2分解得13a =, 2d =. ………4分 ∴ ()32121n a n n =+⨯-=+. ………6分（2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+， ………8分 ∴ 12111n nT S S S =+++ ()11111324352n n =++++⨯⨯⨯+=11111111111232435112n n nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ………10分 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭=31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭2分 34<. 14分 19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证能力．满分14分．(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l 的距离d ==.…2分∵ M N =2, ∴ 2=. …3分∴ 2=.4分解得r =………5分 ∴ 所求的圆C 的方程为()()22123x y -+-=. 6分(2) 解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径r =∴1d AB====………8分又点(),0A t 到直线l 的距离2d ==………9分∴121d d -== (10)分m =，则1t -=， ………11分∵1t ≠，∴1m >.∴121d d-1m-===. ………12分∵1m >, ∴12m +>.∴2011m <<+.∴20111m <-<+. 13分∴0<<∴121d d -的取值范围是(0,. ………14分20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．(1) 解: ()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.………1分 ∵ 113a ≤≤, ∴113a ≤≤.① 当112a≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时, 函数()fx 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴ ()()()g a M a N a =-=196a a +-.…3分 ② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴ ()()()g a M a N a =-=12a a+-. ………5分综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a aa a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分（2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，()()1212121122g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121a a a a a a --=. ………7分∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<. ∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.∴()()12g a g a >. ∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减. ………8分任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <， ()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()34343491a a a a a a --=. ………9分∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，∴3434340,0,910a a a a a a -<>->. ∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.∴()()34g a g a <.∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. ………10分当12a =时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫=⎪⎝⎭12, ………11分又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43, ()1g =4. ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分 ∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………14分。

2014广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题(精校版)

2012学年广州市高二年级学生学业水平测试数学一、选择题1.已知全集 U 二｛1,2,3,4,5｝，集合 A 二｛1,3｝，则 C u A 二()2.已知点P(3,-4)是角〉终边上一点，则tan 「-(3.若直线y =ax 3与直线y = -2x - a 垂直，则实数 1 1 C. D.—229的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为(C. 6D. 35.如图，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M (阴影部分)，则点P 取自区域M 的概率为 ( ) A. 24 C. 66.某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )1 1 1 A.B.C.D. 16327.函数f(x) = •. X - 2的零点所在的区间为()X113 3A. %B. ]° 巧D. ?218.已知等差数列｛an ｝的首项为4，公差为4，其前°项和为Sn ，则数列金的前°项和为()A..一B. {1,3}C. {2, 4,5}D. {123,4,5} 4 A.-33B.43 C.—44 D.-3a 的值为 A. -2B. 24.要用一根铁丝焊接围成一个面积为 A.24B. 12 B. 12 D. 3称f(x)为有界泛函•则下面四个函数中，属于有界泛函的是( )2 / 4A.n2(n 1)1B.2n(n 1) C.2n(n 1)2nD.n 19.在长方形ABCD中, AB=2，AD =1,则A. -2B. 2C. 4D. -410.设函数f(x)的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使f(x)M x对一切实数x恒成立，则二(二、填空题11. 已知幕函数f(x)二X 〉的图象经过点(2八2)，则函数f (x)的定义域为 __________ .1 11 12.如图给出的是计算 S =1值的一个程序框图，当2 3n程序结束时， n 的值为 __________ .13.已知 ABC 的三个顶点坐标分别是 A(2, 4,0)，B(2,0,3)，C(2,2,z)，若.C =90：，贝U z 的值为___________x W32214. 设实数x , y 满足 x-y ，2_0，贝V x y 的取值范围是 ____________________ .x y -4 _ 0三、解答题15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(3,1) , C(1,0).(1) 求以点C 为圆心，且经过点 A 的圆C 的标准方程；(2) 若直线I 的方程为x -2y • 9 =0，判断直线I 与(1)中圆C 的位置关系，并说明理由16.已知函数 f (x)二sin x r 3cos x, x R .① f(x) =1A.①②② f(x) =x 2 B.③④③ f (x)二 2xsin xC.①③D.②④称f(x)为有界泛函•则下面四个函数中，属于有界泛函的是( ) 4 / 4(2)若f 仁―71 L 6，応''o/ :求f 仏「’的值. I 3丿5 J 2丿 I 3丿17.对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:(1 )求出表中N , p 及图中a 的值；(2)在所给样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间［12,15］内的概率•18•如图，AB 是L O 的直径，点C 是L O 圆周上不同于 A 、B 的任意一点，PA —平面ABC ，点E 是线段PB 的中点，点M 在AB 上，且MO//AC .(1)求函数N 名学生作为(1)求证：BC _平面PAC ；(2)求证：平面EMO //平面PAC .19.已知数列｛a n｝满足6=1, a n-[2n (N*,，为常数)，且a,, a2 2 , a3成等差数列2(1 )求■的值；(2)求数列｛a n｝的通项公式；(3)设数列｛b n｝满足b^ —，求证：b na n十320.设a为常数，a R，函数f (x) =x2 | ^a | 1 (x R).9 16(1)求证：BC _平面PAC ；(2)求证：平面EMO //平面PAC . (1)若函数f (x)为偶函数，求实数a的值; (2)求函数f (x)的最小值.。

2012学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案

数学学业水平测试答案第 1 页共 10页秘密★启用前2012学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学（必修）本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，则U A =ð( ).A.∅B.{}1,3C.{}2,4,5D.{}1,2,3,4,52. 已知点P ()3,4-是角α终边上的一点，则tan α=( ).A.43-B.34- C.34 D.433. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为( ).A.2-B.2C.12- D.124. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为( ).A.24B. 12C. 6D. 3数学学业水平测试答案第 2 页共 10页5. 如图1，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以A B 、、C D 、为圆心、1为半径作圆，在正方形 ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区域M 的概率是( ).A.2π B. 4πC. 14π-D.12π-6. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图2所示，则该几何体的体积为( ).A. 16B. 13C. 12 D. 17. 函数()2f x xx=-的零点所在的区间为( ).A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列的前n 项和为( ). A.2(1)n n + B.12(1)n n + C.2(1)n n + D.21nn +9. 在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，则AC CD ⋅=( ).A. 4B. 2C.2-D.4-10. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使()f x M x ≤对一切实数x 恒成立，则称()f x 为有界泛函.有下面四个函数：①()1f x =； ②()2f x x =； ③()2sin f x x x =； ④()22xf x x x =++．其中属于有界泛函的是( ).A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭图2DCBAM图1数学学业水平测试答案第 3 页共 10页二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 已知幂函数()f x x α=的图象过点()2,2，则函数()f x 的定义域是 .12. 如图3给出的是计算111123S n=+++⋅⋅⋅+值的一个程序框图，当程序结束时，n 的值为 .13. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,4,0A ，()2,0,3B ，()2,2,C z ，若90C ∠=，则z 的值为．14. 设实数,x y 满足32040x x y x y ⎧⎪-+⎨+-⎪⎩，，，≤≥≥ 则22x y +的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,1A ，()1,0C . （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.开始i=1, S=0S =S +i 1i=i +1输出S 结束否是2013i <图3？数学学业水平测试答案第 4 页共 10页已知函数()sin 3cos ,f x x x x =+∈R .（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．(本小题满分14分)对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,N p 及图中a 的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间[]12,15内的概率.分组频数频率[)3,6 10m[)6,9 np [)9,12 4 q []12,1520.05 合计N1频率/组距6 12 9 3 15 次数a数学学业水平测试答案第 5 页共 10页如图4所示，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，P A ⊥平面ABC ，点E 是线段PB 的中点，点M 在AB 上，且MO ∥AC ．（1）求证：BC ⊥平面P AC ；（2）求证：平面EOM ∥平面P AC .19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a λ+=+⋅(*n ∈N ，λ为常数)，且1a ，22a +，3a 成等差数列．（1）求λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n b 满足，证明：．23n n n b a =+916nb ≤PCB O E A M 图4设a为常数，a∈R，函数()21=+-+，x∈R.f x x x a（1）若函数()f x是偶函数，求实数a的值；（2）求函数()f x的最小值.数学学业水平测试答案第 6 页共10页数学学业水平测试答案第 7 页共 10页2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 C A D B C B D A D B 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．其中第13题填对1个给3分，填对2个给5分． 11． [0,)+∞ 12． 2012 13． 1-或4 14． []8,34 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程．15．本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识．本小题满分12分．解：（1）因为圆C 的圆心为(1,0)C ，可设圆C 的标准方程为()2221x y r -+=．因为点()3,1A 在圆C 上，所以()222311r -+=，即25r =．所以圆C 的标准方程为22(1)5x y -+=．（2）圆心C 到直线l 的距离为2212092521d -⨯+==+．因为255>，即d r >，所以直线l 与圆C 相离．16．本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想．本小题满分12分．解：（1）()sin 3cos f x x x =+ 132sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以函数)(x f 的最小正周期是2π．（2）由（1）得，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以62sin 2sin 3335f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．数学学业水平测试答案第 8 页共 10页即3sin 5α=．因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以24cos 1sin 5αα=-=．所以22sin 22sin 2333f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos αα=34455=⨯⨯4825=．17．本小题主要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识．本小题满分14分．解：（1）由分组[12,15)内的频数是2，频率是0.05，得20.05N=，所以40N =．因为频数之和为40，所以104240n +++=，解得24n =．所以240.640n p N ===．因为a 是对应分组[6,9)的频率与组距的商，所以0.60.233p a ===．（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15)内”为事件A ．这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有426+=人．记在区间[9,12)内的4人为1234,,,a a a a ，在区间[12,15)内的2人为12,b b ．从这6人中任选2人的所有可能结果有：1213141112{,},{,},{,},{,},{,},a a a a a a a b a b23242122343132414212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，共15种．事件A 包含的结果有：11122122313241{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},a b a b a b a b a b a b a b4212{,},{,}a b b b ，共9种．所以所求概率为93()0.6155P A ===． 18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．本小题满分14分．证明：（1）因为点C 是以AB 为直径的⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，所以90ACB ∠=，即BC ⊥AC ．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC ．因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，AC P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ．C BOPE AM数学学业水平测试答案第 9 页共 10页（2）因为点E 是线段PB 的中点，点O 是线段AB 的中点，所以EO ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，EO ⊄平面P AC ，所以EO ∥平面P AC ．因为MO ∥AC ，AC ⊂平面P AC ，MO ⊄平面P AC ，所以MO ∥平面P AC ．因为EO ⊂平面EOM ，MO ⊂平面EOM ，EO MO ＝O ，所以平面EOM ∥平面P AC ．19．本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、推理论证能力等．本小题满分14分．（1）解：因为11a =，12n n n a a λ+=+⋅(*n ∈N )，所以121212a a λλ=+⋅=+，232216a a λλ=+⋅=+．因为1a ，22a +，3a 成等差数列，所以1322(2)a a a +=+，即262(32)λλ+=+，解得2λ=．（2）解：由（1）得，2λ=，所以112n n n a a ++=+(*n ∈N )，所以12n n n a a --=（2n ≥）．当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-231222n=+++⋅⋅⋅+212(12)112n --=+-123n +=-．又11a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为123n n a +=-(*n ∈N )．（3）证明：由（2）得，123n n a +=-，所以212n n n b +=．因为222212122(1)21(1)22222n n n n n n n n n n n b b ++++++-++--+-=-==，当3n ≥时，()2120n --+<，所以当3n ≥时，10n n b b +-<，即1n n b b +<．又114b =<212b =<3916b =，所以3916n b b =≤(*n ∈N )．数学学业水平测试答案第 10 页共 10页20．本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解能力、分类讨论思想等．本小题满分14分．解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=，即对任意的x ∈R 都有()2211x x a x x a -+--+=+-+，即对任意的x ∈R 都有x a x a +=-，即对任意的x ∈R 都有()()22x a x a +=-，即对任意的x ∈R 都有40ax =，所以0a =．（2）①当x a ≤时，()()2213124f x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若12a ≤，则函数()f x 在(],a -∞上单调递减．所以函数()f x 在(],a -∞上的最小值为()21f a a =+．若12a >，则函数()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增．所以函数()f x 在(],a -∞上的最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．②当x a >时，()()2213124f x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若12a -≤，则函数()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．所以函数()f x 在[),a +∞上的最小值为1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．若12a >-，则函数()f x 在[),a +∞单调递增．所以函数()f x 在[),a +∞上的最小值为()21f a a =+．综上所述，当12a -≤时，函数()f x 的最小值是34a -；当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +；当12a >时，函数()f x 的最小值是34a +．。

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广东广州市2016_2018年学年高中二年级上学期学业水平测试数学试题

WORD 格式整理秘密★启用前广州市2016-2017学年高二上学期学业水平测试数学试卷数学（必修）本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟．注意事项:1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹签字笔或钢笔填写自己的准考证号、姓名；填写考区考点考场号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U AB =ð（）．（A ）{}1 （B ）{}3,5 （C ）{}1,3,5 （D ）{}2,3,4,5 （2）已知点()1,1A -，()2,B t ，若向量()1,3AB =，则实数t =（）．（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）2- （3）已知直线l 过点()1,1，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（）．（A ）01165=-+y x （B ）5610x y -+= （C ）01156=--y x （D ）0156=--y x（4）已知角α的始边为x 轴的正半轴，点()3,1是角α终边上的一点，则tan α=（）．（A ）3- （B ）13-（C ）13（D ）3 （5）已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则13f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（）．（A ）1 （B ）12（C ）1- （D ）2-WORD 格式整理（6）执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（）．（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （7）下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ()0,1∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（）．（A ）()1f x x =- （B ）1()f x x=（C ）1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（D ）()sin 2f x x =（8）已知实数x ，y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则3z x y =-的取值范围是（）．（A ）[]5,9- （B ）[]7,9- （C ）[]5,3- （D ）[]7,7- （9）若0x 是函数()ln f x x =与2()g x x=的图象交点的横坐标，则0x 属于区间（）．（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,3 （D ） ()3,+∞（10）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）．（A ）若m ∥n ，n α⊂，则m ∥α （B ）若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α （C ）若m ∥α，m ∥β，则α∥β （D ）若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β （11）在区间[]2,0上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（）．（A ）2121<<p p （B ）1221p p << （C ） 2121p p << （D ）1221p p <<（12）已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a +=-，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前100项和为（）．（A ）4950 （B ）5050 （C ）5100 （D ）5150WORD 格式整理二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. （13）函数()f x =的定义域是．（14）函数()()sin 2f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则=ϕ ．（15）已知一个四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，，则这个四棱锥的内切球的表面积为．（16）在平面四边形ABCD 中，2=BC ，4=DC ，四个内角的角度比为:::A B C D =10:4:7:3，则边AB 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. （17）（本小题满分10分）已知向量()sin ,1x =a ，()1,cos x =b ，x ∈R ，设()f x =⋅a b ．（Ⅰ）求函数)(x f 的对称轴方程；（Ⅱ）若4f θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求4f θπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.（18）（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和（Ⅰ）求频率分布直方图中，b（Ⅱ）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（Ⅲ）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨的概率．WORD格式整理WORD 格式整理（19）（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足715a =，且点()1,n n a a +（n ∈N *）在函数2+=x y 的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．WORD 格式整理（20）（本小题满分12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请将字母E ，F ，G 标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）；（Ⅱ）在长方体中，判断直线BG 与平面AFH 的位置关系，并证明你的结论；（Ⅲ）在长方体中，设AB 的中点为M ，且2AB =，AE =EM ^平面AFG ．HGFEDCBAWORD 格式整理（21）(本小题满分12分)已知直线02=-+y x 被圆C ：222x y r +=所截得的弦长为8．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标．WORD 格式整理（22）（本小题满分12分）设函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ．（Ⅰ）当1b a =-时，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值()g a 的表达式；（Ⅱ）当21b a =-时，讨论函数[()]y f f x =在R 上的零点个数．。

2008学年广州市高中二年级学生学业水平测试(试题+答案)2008学年广州市高中二年级学生学业水平测

秘密★启用前2008学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}1,2A =的子集的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．sin120的值为（）A B ．12 C ．12- D ．-3．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽出28人进行体质测试，则抽到进行体质测试的男运动员的人数为（）A ．12B ．14C ．16D ． 204．函数()()sin cos f x x x x =+∈R 的最大值为（）A ．2 BC． D ．2-5．如图所示是一个半径为1的圆及其内接等腰直角三角形．若随机向圆内丢一粒豆子，则豆子落入三角形（图中阴影部分）内的概率为（）A ．1πB ．12π C ． 14π D ． 18π6．函数()2x f x x =+的零点所在的区间为（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积．．为（） A ．4π B ．2πC ．πD ．32π8．已知实数3log 4a =，015b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．若直线0x y a +-=被圆224x y +=截得的弦长为a 的值为（）侧视图A．- B ．2或2- C ．2 D ．2-10．关于x 的方程2(1)10x a x a b +++++=()0,a a b ≠∈R 、的两实根为12,x x ，若1201x x <<<，则ba的取值范围为（）A ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．在等差数列{}n a 中，已知22a =，48a =，则公差d 的值为．12．过点（1，2）且与直线210x y --=平行的直线方程为．13．设向量(,3),(1,1)x =-=-a b ，若5=-a b ，则实数x 的值为．14．下图所示的算法流程图中，若3a =，则输出的T 值为；若输出的120T =，则a 的值为（*a ∈N ）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）已知点(),M x y 的横坐标{}2,1,2x ∈--，纵坐标{}2,2y ∈-．（1）列出所有符合条件的点M 的坐标；（2）求点M 落在第二象限内的概率． 16．（本小题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆三内角,,A B C 的对边，且6,4,3b c A π===．（1）求a 的值；（2）求sin C 的值． 17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为棱AD 、AB 的中点．（1）求证：EF平面11CB D ；A 1（2）求证：平面11CAAC ⊥平面11CB D ． 18．（本小题满分14分）已知圆C 经过()3,2A 、()1,6B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()1,3P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．19．（本小题满分14分）已知函数()1x af x a x+-=-()a ∈R ．（1）若()11f =，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,2a a ++上的最小值． 20．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足21=a ，n n n a a 21+=+λ，*n ∈N ，λ为常数．（1）若02=a ，求3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列，若存在，求数列{}n a 的通项公式，若不存在，请说明理由；（3）设1=λ，nn a n b 74-=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足0>n S 的最小自然数n 的值．2008学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：5分，满分20分．其中第13题写对一个给3分，第14题第一个空2分，第二个空3分．11．2 12．20x y -= 13．2或4- 14．2；6三、解答题15．本小题主要考查古典概型等基础知识．满分12分．解：（1）符合条件的点M 的坐标有()2,2--，()2,2-，()1,2--，()1,2-，()2,2-，()2,2．（2）落在第二象限内点M 的坐标有()2,2-，()1,2-．所以点M 落在第二象限内的概率为2163P ==．答：点M 落在第二象限内的概率为13．16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．解：（1）根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，将6,4,3b c A π===代入可得：22264264cos283a π=+-⨯⨯⨯=．所以a =（2）根据正弦定理：sin sin a cA C=，由（1）知 a =，代入上式，得sin sin 4A C c a =⨯== 17．本小题主要考查空间线面位置关系，考查空间想像能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）连结BD ．在长方体1AC 中，对角线11//BD B D ．又E 、F 为棱AD 、AB 的中点，则//EF BD ．所以11//EF B D ．又B 1D 1⊂平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，所以EF ∥平面CB 1D 1．（2）在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥B 1D 1．在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，且1111AA AC A =，所以B 1D 1⊥平面CAA 1C 1．又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 18．本小题主要考查直线与圆等基本知识，考查运算求解能力．满分14分．解（１）方法1：设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=()0r >，依题意得：222222(3)(2),(1)(6),2.a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩解得22,4,5a b r === 所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．方法2：因为()3,2A 、()1,6B ，所以线段AB 中点D 的坐标为()2,4，直线AB 的斜率62213AB k -==--，因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是()1422y x -=-，即260x y -+=．圆心C 的坐标是方程组260,2x y y x -+=⎧⎨=⎩的解．解此方程组，得2,4.x y =⎧⎨=⎩即圆心C 的坐标为()2,4．圆心为C 的圆的半径长r AC ===所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．（2）由于直线l 经过点()1,3P -，当直线l 的斜率不存在时，1x =-与圆C ()()22245x y -+-=相离．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()31y k x -=+，即：30kx y k -++=．因为直线l 与圆C 相切，且圆C 的圆心为()2,4=．解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程为()321y x -=+或()1312y x -=-+，即：250x y -+=或250x y +-=．19．本小题主要考查函数的性质等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力．满分14分．解：（1）因为()1x a f x a x +-=-，所以由()11f =，得211aa -=-，解得32a =．（2）设1x ，2x 是区间[]1,2a a ++上的任意两个实数，且12x x <，则()()12121211x a x a f x f x a x a x +-+--=---()()()()()()21121211a x x a a x x a a x a x -+---+-=--()()1212x x a x a x -=--．由1212a x x a +≤<≤+，得120x x -<，121a x -≤-≤-，221a x -≤-≤-，于是()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．所以，函数()1x af x a x +-=-在区间[]1,2a a ++上是增函数．因此，函数()1x af x a x+-=-在区间[]1,2a a ++上的最小值为()12f a +=-．20．本小题主要考查数列等基本知识，考查推理论证能力．满分14分．解：（1）由02=a 得：021=+a λ，而21=a ，则1-=λ．于是12n n n a a +=-+．所以42223=+-=a a ．（2）不存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列．事实上，假设存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列，由于22212+=+=λλa a ，4224)22(4223++=++=+=λλλλλa a ，若数列{}n a 为等差数列，则3122a a a +=．即()22(22)2224λλλ+=+++，即012=+-λλ，由于041<-=∆，方程无实数根，因此，不存在实数λ，使得数列{}n a 为等差数列．（3）由于1λ=，即12n n n a a +=+，则2≥n 时，)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ，()12121222222212n n n ---=++++=+=-，而21=a ，因此，*n ∈N 时，n n a 2=，∴nn n b 274-=．则23315472222n nn S --=++++，数学学业水平测试第 11 页共 10 页 2341131541147222222n n n n n S +---=+++++，以上两式相减得：23113111474222222n n n n S +--⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭，即n n n n S 2142--=．当4,3,2,1=n 时，0<n S ，当5=n 时，0>n S ，故满足0>n S 的最小自然数n 的值为5．19．方法2：因为()1x a f x a x +-=-，所以 ()()()()()2211a x x a f x a x a x -++-'==--．当[]1,2x a a ∈++时，()0f x '>，所以函数()1x a f x a x +-=-在区间[]1,2a a ++上是增函数．因此，函数()1x a f x a x+-=-在区间[]1,2a a ++上的最小值为()12f a +=-． 18．（1）方法3：因为圆心在直线2y x =上，所以可设圆心C 的坐标为(),2t t ．因为AC BC ==，解得2t =，即圆心C 的坐标为()2,4．圆心为C 的圆的半径长r AC === 所以圆C 的方程为()()22245x y -+-=．。