7.1机械振动

表示: 表示:由运动方程
Acos(ωt + ) = Acos[ω(t + T) + ]
m ωT = 2π T = = 2π k ω 简谐运动的周期是决定于系统自身的 常量,又称为固有周期 固有周期(natural neriod). 常量,又称为固有周期 . 3.频率(Frequency) 频率(Frequency) 物体单位时间内做完全振动的次数称为 振动频率,单位是赫兹 Hz). 赫兹( 振动频率,单位是赫兹(Hz). 表示: 表示:由定义可知
2o 两振动到达同一状态的时间差是
五,旋转矢量(rotational vector) 旋转矢量( vector)
旋转矢量
A
2 1 t = t2 t1 = ω
t
ω t+
Oo
(ωt2 + φ2 ) = (ωt1 + φ1 )
矢径 A 与 x 轴夹角为: 轴夹角为: (ω t + ) 轴上的投影为: 在 x 轴上的投影为: x = Acos(ω t+ ) Acos(
7.3 简谐运动的合成 一,同频率同方向简谐振动合成 特点: 特点 ω1=ω2=ω , x1 // x2 表示: 表示 对如下两个振动
x1 = A cos( t +1) ω 1 x2 = A cos(ωt +2) 2
合振动位移 x 就是 x1 与 x2 的代数和
x = x1 + x2 = A cos(ωt +1) + A cos(ωt +2) 1 2
k
y x
y x
π (2)φ2 φ1 = (2k ± 1) 2 2 2 x y + 2 =1 2 A A 1 2
质点轨迹正椭圆
k = 1,2,3
(3)2 1 = 其它值
质点轨迹是任意形状椭圆. 质点轨迹是任意形状椭圆. 状椭圆
π π = π/2 = 3π/2 = π/4 = 5π/4
P
合振幅最小
t
(3) φ = φ2 φ1为其它值时
在上述两者之间. 则A在上述两者之间. 在上述两者之间 合振幅最大值是2A 当A1=A2时: 合振幅最大值是 1 ; 合振幅最小值是0 合振幅最小值是0. 相互垂直同频率简谐振动的合成 二,相互垂直同频率简谐振动的合成 特点: ω1=ω2=ω , x1 ⊥ x2 特点 对如下两个振动
βt
— 衰减函数
临界阻尼达到平衡位 置的时间最短, 置的时间最短,但仍不 能超过平衡位置. 能超过平衡位置. 三种阻尼振动比较 欠阻尼 β < ω0 过阻尼 β > ω0 临界阻尼 β = ω0
x
x
o
欠阻尼 过阻尼 临界阻尼
t
o
t
vibration) 二,受迫振动(forced vibration) 受迫振动( 物体在周期性外力持续作用下发生振 受迫振动, 动,称为受迫振动,这个外力称为驱动力 称为受迫振动 这个外力称为驱动力 弹簧振子为例 振子为例, 以弹簧振子为例,振子受力有 弹性力 F弹 = kx 阻尼力 F阻 = γυ 驱动力 F策 = F cos ω ′t 则运动方程是
d x dx 2 + 2β + ω0 x = hcosω′t 2 dt dt
2
式中 2 β =
γபைடு நூலகம்
m
,
k ω = , m
2 0
F h= m
受迫振动方程的解为 受迫振动方程的解为 βt x = A0e cos(ωt + α) + Acos(ω′t + ) 此式表明: 此式表明: 第一项为阻尼振动项, 第一项为阻尼振动项,当时间较长时衰 减为0. 减为 . 第二项为驱动力产生的简谐运动 简谐运动. 第二项为驱动力产生的简谐运动. 当系统达到稳定状态后, 当系统达到稳定状态后,方程的解是 x = Acos(ω′t + )
x = A cos(ωt + φ1 ) 1 y = A cos(ωt + φ2 ) 2
合成得到质点的轨迹方程是
x y 2xy 2 + 2 cos(φ2 φ1 ) = sin (φ2 φ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2
2
(1) φ2 φ1 = kπ k = 0,±1,±2,
A2 y = (1) x A1 质点沿1, , 质点沿 ,3(2,4 象限直线作简谐 )象限直线作简谐 振动. 振动. = 0 = π
x
k 式中: 式中 ω = m
2
(ω称为角频率) 称为角频率) 称为角频率
物体受力和加速度与位移 x 成正比, 成正比, 且方向相反(动力学特征) 且方向相反(动力学特征) 上式可以改写为微分方程形式 2 d x 2 +ω x = 0 2 dt 其解为
x = Acos(ωt +)
式中A, 是待定常数 此式称为简谐运 是待定常数, 式中 ,φ是待定常数,此式称为简谐运动 运动方程 方程. 的运动方程.
2o 初相 ,由开始时刻振动物体的运动状 态决定 由运动方程可知: 由运动方程可知:t = 0时刻 时刻
x0 = Acos φ υ0 = ωAsinφ
υ υo A= x + , tan φ = ω ωxo 5. 相位差(phase fifference) 相位差( ) 两个简谐振动的相位之差称为相位差, 谐振动的相位之差称为相位差 两个简谐振动的相位之差称为相位差, 用Δ 表示
7.1 简谐运动 一,简谐运动(Simple Harmonic Motion) 简谐运动( 物体在一定位置附近的位移变化满足 简谐函数形式,称为简谐运动 简谐运动. 简谐函数形式,称为简谐运动.
弹簧振子 单摆 复摆
二,基本特征 以弹簧振子为例, 以弹簧振子为例 振子受力是 F弹 F = kx 由牛顿第二定律得 2 F = ω2 x = d x a= o x 2 m dt
dx A t = ω sin (ω + φ) 速度: 速度: υ = dt
= ω Acos(ωt + φ + π)
2
四,描述简谐振动的物理量
x = Acos(ωt + )
1. 振幅(Amplitude) 振幅( ) 离开平衡点的最大量值的绝对值. 离开平衡点的最大量值的绝对值. 给出振动量的变化幅度. 给出振动量的变化幅度. 注意: , , 分别是位移 注意:A,ωA,ω2A分别是位移,速度, 分别是位移,速度, 加速度振幅. 加速度振幅. 2. 周期(Priod) 周期(Priod) 完成一次全振动所需的时间T, 完成一次全振动所需的时间 ,单位是 秒(s). ).
位移 x 按余弦函数的规律随时间变化 运动学特征) (运动学特征) 三,简谐运动的速度与加速度
π = ωAcos(ωt + φ + ) 2 dυ 2 加速度: 加速度: = = ω Acos(ωt +) a dt
位移x 速度υ 加速度a三者与时间t 位移x,速度υ,加速度a三者与时间t 的 关系如图所示. 关系如图所示.
2 o 2 o 2
表示: 表示
= (ω2 ω1 )t + (φ2 φ1 ) 对同频情况: 对同频情况:φ = φ2 φ 1
x 1 = A1 cos( ω 1 t + 1 ) x 2 = A2 cos( ω 2 t + 2 ) φ = (ω2t + φ2 ) (ω1t + φ1 )
1o 反映两振动的步调情况: 反映两振动的步调情况: =0(或2π整数倍),同步振动 =0( 整数倍) =π(或π奇数倍),振动步调相反 奇数倍), ),振动步调相反 >0, x2振动超前; <0, x1振动超前 振动超前;
A
t=0
x x 参考圆
x
xp
7.2 简谐运动的能量 以弹簧振子为例: 以弹簧振子为例
υ
x
E = EP + EK o x 1 kx2 E = 1 mυ2 EP = k 2
由 x = Acos(ωt + φ) υ = ωAsin(ωt + φ)
1 kA2 cos2 (ωt + ) Ep = 2 1 mω2 A2 sin2 (ω + φ) Ek = 2 t
定 义
振动: 振动:任何一个物理量在某一数值 附近作周期性的变化,称为振动 振动; 附近作周期性的变化,称为振动; 机械振动: 机械振动:物体在一定位置附近作 往复的运动,称为机械振动 机械振动. 来回 往复的运动,称为机械振动. 主要内容: 主要内容: 简谐振动 ; 简谐振动合成; 简谐振动合成; 阻尼振动,受迫振动,共振. 阻尼振动,受迫振动,共振.
2π
1 ν= T
ω 或 ν= 2π
式中ω是角频率, 单位是rads-1. 式中 是角频率 单位是 是角频率 频率ν只与振动系统自身性有关 只与振动系统自身性有关,也称为 频率 只与振动系统自身性有关 也称为 固有频率(natural frequency) . 固有频率 4.相位与初相位(phase and initial phase ) 相位与初相位( 称为相位 相位, 称为初相位,单位 ωt + 称为相位, 称为初相位,单位 是rad . 1o 相位的意义是: 相位的意义是: 一是反映了振动的周期性 反映了振动的周期性; 一是反映了振动的周期性; 二是相位确定了振动物体运动状态 相位确定了振动物体运动状态. 二是相位确定了振动物体运动状态.
(1) = 2 1 = 2kπ
A = A + A + 2A1 A2 cos(2 1 )
2 1 2 2
x1 x2 x
k = 0, ± 1 , 则: A = A + A 1 2
合振幅最大
o
t
(2) = 2 1 = (2k +1)π x1 x2 x k = 0, ± 1 ,