(完整word版)高一数学含绝对值不等式的解法练习题

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高一数学绝对值不等式试题

高一数学绝对值不等式试题1.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为不等式|2x-1|<2-3x的解集即为3x-2<2x-1<2-3x,解得x<,因此解集为{x|x<},选B2.关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】解：去掉绝对值符号，利用分段函数的思想得到解析式为分段研究最小值，并结合图像求解得到a的范围。

3.不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．∪[4,+∞)B．∪[5,+∞)C．[1，2]D．∪[2,+∞)【答案】A.【解析】令,作出图像可求出其最大值为4,,故应选A.4.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．（C．D．【答案】A【解析】即解得故选A5.不等式的解集为________________.【答案】【解析】略6.已知实数满足，，则的最小值为．【答案】 12【解析】略7.不等式的整数解的个数为（）A．0B．1C．2D．大于2【答案】B【解析】略8.（12分）关于x的不等式|x－2|+|x－a|≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】{a|a≤1}【解析】（1）当a≤0时，不等式|x－2|+|x－a|≥a在R上恒成立；（2）当a>0时，由于|x－2|+|x－a|≥|2－a|，要使不等式|x－2|+|x－a|≥a恒成立，只要|2－a|≥a即可，解得0<a≤1；综上（1）和（2）可知，实数a的取值范围为{a|a≤1}．9.（2013•红桥区二模）已知集合M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，则b﹣a=（）A．﹣3B．﹣1C．3D．7【答案】C【解析】解绝对值不等式求得M={x|﹣3≤x≤2}，再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，从而求得b﹣a的值．解：由于|x+2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故由|x+2|+|x﹣1|≤5可得﹣3≤x≤2，∴集合M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}={x|﹣3≤x≤2}．再由N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（﹣1，b]，可得a=﹣1，b=2，b﹣a=3，故选C．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．10.（2014•南昌一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由不等式f（x）≤6可得，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．解：∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故有不等式f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴a=1，故选：A．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

(完整版)含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法一、基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。

答案为{}51<<-x x 。

(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x xx x >++。

分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。

解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。

含绝对值的不等式解法练习题及答案汇编

例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ]A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析列出不等式．解根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5，答选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．分析利用所学知识对不等式实施同解变形．解原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析转化为解绝对值不等式．解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[ ]A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析根据符号法则及绝对值的意义．解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|．答选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析解不等式后比较区间的端点．解由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}．说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5．所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一对2－x 的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩或②－＜∈2x 0x R ⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012 由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得＜－－＞即∈．x 112 x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。

高中数学-绝对值不等式的解法练习

高中数学-绝对值不等式的解法练习一、选择题1．如果1x ＜2和|x |＞13同时成立，那么实数x 的取值范围是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13＜x ＜12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－13，或x ＞13解析：解不等式1x ＜2，得x ＜0或x ＞12.解不等式|x |＞13，得x ＞13或x ＜－13.∴实数x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13.答案：B2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ≤12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ＜12C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ≤－52或－12＜x ≤12解析：由2＜|2x ＋3|≤4，可得2＜2x ＋3≤4或－4≤2x ＋3＜－2.解得－12＜x ≤12或－72≤x ＜－52.答案：C3．关于x 的不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为集合M ，且2∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：因为2∉M ，所以2∈∁R M .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即－a ≤2a －12≤a .解得a ≥14.答案：B4．不等式|3－x |＋|x ＋4|＞8的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞72 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92或x ＞72 D ．R解析：|3－x |＋|x ＋4|＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，3－x －x －4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3＋x ＋4＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，－1－2x ＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，7＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，2x ＞7.∴x ＜－92或x ＞72.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－92或x ＞72.答案：C 二、填空题5．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则a ＝________. 解析：由原不等式的解集，可知－53，13为原不等式对应的方程|ax －2|＝3的根，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53a －2＝3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a －2＝3.解得a ＝－3. 答案：－36．已知函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则实数x 的取值范围是________. 解析：由已知，有|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x .所以x －2≤2x －1≤2－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤2－x ，2x －1≥x －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥－1.所以－1≤x ≤1.答案：[－1,1]三、解答题7．已知一次函数f (x )＝ax －2. (1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|＜4； (2)解关于x 的不等式|f (x )|＜4；(3)若关于x 的不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，f (x )＝3x －2，所以|f (x )|＜4⇔|3x －2|＜4⇔－4＜3x －2＜4⇔ －2＜3x ＜6⇔－23＜x ＜2.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23＜x ＜2. (2)|f (x )|＜4⇔|ax －2|＜4⇔－4＜ax －2＜4⇔－2＜ax ＜6.当a ＞0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2a ＜x ＜6a ；当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6a ＜x ＜－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5，ax ≥－1.因为x ∈[0,1]，所以－1≤a ≤5.所以实数a 的取值范围为[－1,5]．8．已知对区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，54内的一切实数a ，满足关于x 的不等式|x －a |＜b 的x 也满足不等式|x －a 2|＜12，试求实数b 的取值范围．解：设A ＝{x ||x －a |＜b }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪|x －a 2|＜12，则A ＝{x |a －b ＜x ＜a ＋b ，b ＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 2－12＜x ＜a 2＋12. 由题意，知当0＜a ≤54时，A ⊆B ．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥a 2－12，a ＋b ≤a 2＋12，0＜a ≤54.所以b ≤－a 2＋a ＋12且b ≤a 2－a ＋12.因为0＜a ≤54，所以－a 2＋a ＋12＝－a －122＋34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，34，a 2－a ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1316.所以b ≤316且b ≤14.从而b ≤316.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，316.一、选择题1．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2. ∴a －b ≥3或a －b ≤－3.∴|a －b |≥3. 答案：D2．若关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －4|≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92 D ．(－∞，－5] 解析：设F (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4.如图所示，F (x )min ＝－32－3＝－92.故m ≤F (x )min ＝－92.答案：C二、填空题3．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________.解析：∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14.根据绝对值的几何意义，知0≤a ≤14.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且函数f (x )的图像经过点A (0,3)和B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|＜2的解集是________.解析：∵|f (x ＋1)－1|＜2，∴－2＜f (x ＋1)－1＜2，即－1＜f (x ＋1)＜3.∴f (3)＜f (x ＋1)＜f (0)．∵函数f (x )在R 上是减函数， ∴0＜x ＋1＜3.解得－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2} 三、解答题5．如图所示，点O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示点C 与原点的距离，y 表示点C 到点A 的距离的4倍与点C 到点B 的距离的6倍之和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，实数x 应该在什么范围内取值？解：(1)依题意，得y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30. (2)由题意，得x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.(*)当0≤x ≤10时，不等式组(*)化为 4(10－x )＋6(20－x )≤70，解得9≤x ≤10. 当10＜x ＜20时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(20－x )≤70，解得10＜x ＜20. 当20≤x ≤30时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(x －20)≤70，解得20≤x ≤23. 综上，实数x 的取值范围是[9,23]． 6．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：法一 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5.解得a ＝2.(2)由(1)，得a ＝2，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上，函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．法二(1)同法一．(2)由(1)，得a＝2，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．。

绝对值方程和不等式 Microsoft Word 文档

含绝对值的方程或不等式
一、含绝对值的方程：
(一)解绝对值方程的思路是：去掉绝对值，把绝对值方程化为一般方程处理。常用的方法：
1、零点分段法
步骤：
（1）求出使绝对值内代数式值为零的方程的解。
（2）将所有解由小到大依次排好。
(3)将未知数分类讨论。
(4)解出每种情况的解。
(5)验根，得解。
2、平方法：
步骤：等式两边平方，去绝对值。
二、典型例题：
例1、解方程：｜2x+3｜=5
例2、解方程：
例3、解方程:|x+2|=|x-1|.
例4、解方程:|x+1|+|x+2|=4.
三绝对值定值探讨:
例5、若2a+｜4-5a｜+｜1-3a｜的值是一个定值，求a的取值范围。
四、绝对值最值探讨：
例6、求y=｜x-1｜-｜x+5｜的最大值与最小值
（3）．
总结：当代数式中含有两个或多个绝对值时，常用零点分段法。
六、巩固练习：
1、解方程：｜x-5｜+2x=-5
2、解方程:｜x-2｜+｜x+1｜=6
3、解方程:｜x-2005｜+｜2005-x｜=2006
4、如果y=｜x+1｜-2｜x｜+｜x-2｜,且-1 x 2,求y的最大值和最小值。
5、不等式｜x-5｜-｜2x+3｜ 1
例7、已知x 2，求｜x-3｜-｜x+2｜的最大值与最小值。
五、绝对值不等式：
解绝对值不等式的思路同方程类似，关键是去掉绝对值。
例8、解下列不等式：
（1）｜ x︱＞5(2)| 3x︱＜2
(3)| 2x–1 |≤3

高一数学含绝对值不等式的解法练习题

含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a ＜-6，化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （） A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是（）A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且二、填空题1.不等式｜x +2｜＜3的解集是，不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置，化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2｜x ｜-3＞03.已知全集U = R , A ={x ｜x 2- 2 x - 8＞0}, B ={x ｜｜x +3｜＜2},求：(1) A ∪B , C u （A ∪B ） (2) C u A , C u B , （C u A ）∩（C u B ）4.解不等式3≤|x －2|＜9 7.解不等式|3x －4|＞1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式| x +1|+| x －2|<4.6.解下列关于x 的不等式：1＜| x - 2 |≤77.解不等式2≤｜5-3x ｜＜9 11.解不等式｜x -a ｜＞b8.解关于x 的不等式：|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题，合计35分) 1.1760答案：B 2.1743答案：D 3.1744答案：D 4.1773答案：D 5.2075答案：C 6.4109答案：B 7.1672答案：D二、填空题(共5题，合计21分)1.1539答案：｛-5＜x ＜1｝，｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝2.1725答案：｛x ｜0＜x ＜4｝3.1602答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案：a <35.1788答案：0三、解答题(共19题，合计136分) 1.1510答案：｛x ｜x ＞10或x ＜-10｝2.1502答案：{}33-<>x x x 或3.1509答案：(1) A ∪B = {x ｜x ＜-1或x ＞4＝, C U （A ∪B ）= {x ｜-1≤x ≤4}(2) C U A = {x ｜-2≤x ≤4}, C U B = {x ｜x ≤-5或x ≥-1}, (C U A ）∩(C U B ） = {x ｜-1≤x ≤4}4.1535答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案：{x |-7＜x ≤-1或5≤x ＜11}7.1599答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案：2523<<-x9.1538答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案：当b ＜0时，解集为R ；当b =0时，解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠a ｝；当b ＞0时，解集为｛x ｜x ＜a -b 或x ＞a +b ｝.12.1601答案：a 的取值范围为a >5 13.1721答案：-5≤x ＜1或3＜x ≤9.14.1722答案：x >2或x <1/3.15.1723答案：|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x ＜2或2≤x ＜3⇔0＜x ＜3.16.1724答案：当m >0时，原不等式的解集是{x |-3m <x <2m }；当m =0时，原不等式的解集是∅；当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案：x <-1/2或0<x <4.18.1727答案：x ≤-3或2＜x ≤519.4121答案：21<a <32。

高一数学含绝对值不等式的解法练习题

高一数学含绝对值不等式的解法练习题一、选择题：1、不等式|2-x |>0的解集是（）A 、φB 、RC 、｛2｝D 、｛x|x ≠2｝2、与不等式|2-3x |>1同解的是（）A 、2-3x >1±B 、3x-2>1或3x-2<-1C 、2-3x >1D 、-1<2-3x <1 3、设全集U=｛x||x -2|>1｝，A ＝{x||x +1|≤1}，则C U A 等于（）A 、｛x|x <-2或x >0｝B 、｛x|x <1或x ＞3｝C 、{x|x <-2或0＜x ＜1或x >3}D 、｛x|1<x<3｝4、不等式|ax+b|≤c 的解集为非空集合，则c 的取值范围是（） A 、c ≥0 B 、c>0 C 、c<0 D 、c ≤05、若不等式|1-kx |<2的解集是{x |-1<x <3}，则的k 为（）A 、-2<k<1B 、31-<k<1 C 、k=1 D 、k=-3 6、不等式1|12|1>+x 的解集是（） A 、｛x|0<x <1｝B 、｛x|-1<x <0｝C 、｛x|-1<x <0且x ≠21-｝D 、｛x|x<-1或x >0｝二、填空题：7、若2∈{x _______________。

8 的解集为_______________。

9、不等式|_____________________。

10、|x +2|-|x -1|<a 的解集为非空集合，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

三、解答题（不够写的请做在背面）11、设A ＝{x ||x-1|>2}，B={x ||x -5|<c}，若A B ＝A ，求实数c 的取值范围。

12、解下列不等式：(1) |2x+51|≥21 (2) |2x －1|<2－3x （3）|2-x |-|2x +5|>2x 答案：一、选择题 DBCACC一、填空题 {a|a>-3或a<-5}， {x|0≤x<2}， {x|x>2，或x<0}， a>-3二、解答题 c ≤2 x ≥203或x ≤207－ x<53－。

解含绝对值的不等式专题练习有详细答案

解“含纽对值的不等成”专題练习册级学号一•选择題:1.不等衣|x + 2|<3的解集是()(A) - 5<x<1 ( B ) x< - 5 或x>1 ( C ) x< - 5 ( D ) x>12.不等衣|2z-1 |>2的解集是()1 3 1 3(A ) x> 1 或x<- 1 ( B ) A <一一或A > - ( C ) --<x<- ( D ) - 1 <x<32 2 2 23•不等衣3v|2x —l|v5的解集为()A. {x|2<x<31B. {x|-2<x<-1}C. {x|-2<x<-1 或2<x<3}D. {x|-2<x<3}4•不等S0<|2x-l|<5的解集为( )A. {x|-2<x<3}B. {x|-2<x<2} C・(x|x<-2 或x>3} D. {x|-2<x<3 fl -}25•不等衣I2x —5I>3的解集是()(A) {x I x > 4} (B){xl 1 <x< 4}(C) {x I x<一1弧 > 4)(D) {x\x< 1 或兀 > 4)6•关于x的不等氏叱vO(“ + 〃vO)的瞬集是()b_x(A) {x\x< -a} (B){x I x < > /?}(C) {x I x < /?或x: > -a} (D){xl/?<x< -a}7•不等itlx2-xl<2的解集是( )(A) {x \ x < -lgJcx > 2) (B) {x I -1 v x v 2} (C)x e 7? (D)08•不等式(l + x)(l-lxl) >0的解集是()A. {xIOSxvl} B・{xlx vO,xH-l}C. {xl-1 <x< l)D.{xlx<9•已知集合A={x卜2<x<4},B=(x|xMa},若AnB=4>, fl AuB中不含元素5,则下列值中a可能是A. 3B. 4C. 5D. 6 ( )10•若不等直丄v2和卜|>抑时应立，呱x的取值X围是()A. —丄vxvlB. x> 丄或vv-丄C. x>-D. x> -2 3 2 3 2 3 211.设集合P={X|X2-4X-5<0},Q = {X^x\-a>0}, i 能便PflQ = 0 成立的a 的值是( ) A. {a\a>5} B. {a|a>5}C. {d|-lva<5}D. ^a\a > 1}12•不等衣奸¥+凶》0的解集是( )A. {x|-2<x<2}B. 0或0K2}C. {x|-2<x<0«lc0<J<2)D. {x|-辰x<0或0W>/T}13.E »a>o,不等此卜一 4|+卜一 3|<“在实数集R 上的解集不是空集,剧“的取值X 围是（ A. a >0B. a > 1 C ・ a>\ D. a >22、•一］14 •设集合4 = {人•卜一牛2}, 3 =杯二卜若A^B 9収的収值X 围是（x I 2A. {切0<«< ljB. {切0<a<\}C. {G |0 va v 1} D ・{a|0<a<\} 二填空題: 15•不等S|X +1|+|X-1|<2的解集是 ______________________17•不等贰|x+1 |+|x-11>2的解集是 ___________________________ ・1&若a>O,be/?,般不等j{\-3x + b\< "的解集是 _____________________ .19•不等jt|x +1|-|x-1>a 的解集是R,则a 的取值集合 __________________________________ 20•不等氏/-5^|+6<0.的解集是 _________________ 21•巳知集合 A={x||x+2>5EB={x|-屮+6乂・ 5>0},M AuB=三.解笞題：22. 解下列不等衣（1）|1-2x>2⑵（x-1 ） 2<100(3)解不等 S X 2-9<X +3 (4)解不等式 |x-|2x+1||>1.16.x 2 +3x JV + 2>卞的解集是 -----------------------(5)l3x + 2lvlxl(6) I x2 -4x+2 | >-；2 (7 ) | x+3 | - | x - 3 | >3.23.BflA = {x||x-a|<4}1B = {x|x2-4x-5>0}, fl AuB=R.XX 数a 的取值X 围.24.M BlA = {xllx-ll<c,c>O},B = {xllx-3l>4},KAn^ = 0» 求C 皿值的XU。

高一数学绝对值不等式的解法试题

高一数学绝对值不等式的解法试题1.（2014•宜春模拟）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1在R上的解集为∅，则实数a 的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞3B．a＜0或a＞3C．﹣1＜a＜3D．﹣1≤a≤3【答案】C【解析】|x﹣1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2，再由a2﹣2a﹣1＜2，解得a的取值范围．解：|x﹣1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2，由题意|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1的解集为空集，可得|x﹣1|+|x﹣3|＞a2﹣2a﹣1恒成立，故有2＞a2﹣2a﹣1，解得﹣1＜a＜3，故选：C．点评：本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到2＞a2﹣2a﹣1，是解题的关键，属于中档题．2.（2014•河西区三模）已知不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】令f（y）=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f（y）max =4，令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max=4，从而可得答案．解：令f（y）=|y+4|﹣|y|，则f（y）≤|y+4﹣y|=4，即f（y）max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f（y）max=4，∴a≥﹣（2x）2+4×2x=﹣（2x﹣2）2+4恒成立；令g（x）=﹣（2x）2+4×2x，则a≥g（x）max =4，∴常数a的最小值为4，故选：D．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．3.（2014•南昌三模）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【答案】D【解析】依题意，关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集⇔a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|，可求其最大值，从而可解关于a的不等式即可．解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，∴a 2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，则a2+a+1＞f（x）max ，∵f（x）max =1，∴a2+a+1＞1，∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜﹣1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）故选D．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想的应用与一元二次不等式的解法的考查，属于中档题．4.（2014•吉安二模）已知f（x）=|x﹣1|+|x+m|（m∈R），g（x）=2x﹣1，若m＞﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，﹣]B．（﹣1，﹣）C．（﹣∞，﹣]D．（﹣1，+∞）【答案】B【解析】依题意，x∈[﹣m，1]时，f（x）=1﹣x+x+m=1+m；又x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，问题转化为1+m＜g（x）min=﹣2m﹣1恒成立，从而可得答案．解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+m|，∴当m＞﹣1，x∈[﹣m，1]时，f（x）=1﹣x+x+m=1+m；又g（x）=2x﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，即1+m＜2x﹣1（x∈[﹣m，1]）恒成立，又当x∈[﹣m，1]时，g（x）min =﹣2m﹣1，∴1+m＜﹣2m﹣1，解得：m＜﹣，又m＞﹣1，∴﹣1＜m＜﹣．故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与综合运算能力，属于中档题．5.（2014•衡阳三模）设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，2）C．（1，2）D．（﹣1，1）【答案】D【解析】作出函数f（x）的图象，由a＞b＞1，且f（a）=f（b）可得（a﹣1）2+（b﹣1）2=4．设a﹣1=2cosθ，b﹣1=2sinθ，θ∈（0，），根据ab﹣a﹣b=2sin2θ﹣1，利用正弦函数的定义域和值域求得ab﹣a﹣b的范围．解：作出函数f（x）的图象，如图：可得f（x）=|x2﹣2x﹣1|的图象关于直线x=1对称，且f（1﹣）=f（1+）=0，f（3）=f（﹣1）=f（1）=2，由a＞b＞1，且f（a）=f（b），得a2﹣2a﹣1=﹣（b2﹣2b﹣1），整理得（a﹣1）2+（b﹣1）2=4．设a﹣1=2cosθ，b﹣1=2sinθ，θ∈（0，），则ab﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1）﹣1=2sin2θ﹣1，由sin2θ∈（0，1），可得2sin2θ﹣1∈（﹣1，1），即ab﹣a﹣b∈（﹣1，1），故选：D．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，三角代换、正弦函数的定义域和值域，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．6.（2014•湖北）若不等式|x﹣a|+≥在x＞0上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a＜2C．a＞2D．a≥2【答案】A【解析】通过对x﹣a＞0与x﹣a≤0的讨论，去掉原不等式中的绝对值符号，分离参数a，转化为恒成立问题，利用函数的单调性与最值即可求得答案．解：①当x﹣a＞0，|x﹣a|+≥⇔x﹣a+≥⇔a+≤，∵x＞0，x+≥2（当且仅当x==1时取“=”），即=2，∴a≤；②当x﹣a≤0，即0＜x≤a时，原不等式化为：a﹣x+≥⇔a≥x﹣+，∵y=x与y=﹣在（0，a]上均为增函数，∴y=x﹣+在（0，a]上为增函数，于是，当x=a时，y=a﹣+，max∴a≥a﹣+，解得：0＜a≤2；综上所述，实数a的取值范围是a≤2．故选：A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与最值，属于难题．7.（2014•梧州模拟）不等式|x2﹣1|＞3的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【答案】D【解析】由原不等式可得可得x2﹣1＞3，或x2﹣1＜﹣3，分别求得每个不等式的解集，再取并集，即得所求．解：由不等式|x2﹣1|＞3，可得x2﹣1＞3，或x2﹣1＜﹣3．解x2﹣1＞3，可得x＞2，或x＜﹣2；解x2﹣1＜﹣3可得x无解．综上可得，不等式的解集为[x|x＞2，或x＜﹣2}，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．8.（2014•安徽模拟）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，则关于x的不等式：|x﹣1|+|x﹣3|≥m的解集为（）A．（﹣∞，0]B．[4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）【答案】D【解析】（1）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1，化简为，再利用不等式整数解有且仅有一个值为2，求出m的值．（2）可以分类讨论，根据讨论去掉绝对值，然后求解．解：（1）由不等式|2x﹣m|≤1，可得，∵不等式的整数解为2，∴，解得3≤m≤5．再由不等式仅有一个整数解2，∴m=4．（2）（2）本题即解不等式|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，不等式等价于1﹣x+3﹣x≥4，解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．当1＜x≤3时，不等式为x﹣1+3﹣x≥4，解得x∈∅，不等式解为∅．当x＞3时，x﹣1+x﹣3≥4，解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．综上，不等式解为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故选D．点评：此题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意进行分类讨论，解题的关键是去掉绝对值，属于中档题．9.（2014•武汉模拟）若关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）【答案】A【解析】不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集是空集⇔|x﹣3|+|x﹣4|≥a恒成立，令f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|，利用绝对值不等式可求得f（x）min=1，从而可得答案．解：∵不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集是空集，∴|x﹣3|+|x﹣4|≥a恒成立，令f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|，则a≤f（x）min ．∵f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|≥|（x﹣3）﹣（x﹣4）|=1，即f（x）min =1，∴a≤1，即实数a的取值范围是（﹣∞，1]，故选：A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的应用，突出等价转化思想的考查，属于中档题．10.（2014•南昌模拟）对任意x∈R，且x≠0，不等式|x+|＞|a﹣5|+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）∪（6，+∞）B．（2，8）C．（3，5）D．（4，6）【答案】D【解析】根据|x+|≥2结合题意可得2＞|a﹣5|+1，去掉绝对值，求得不等式的解集．解：∵|x+|≥2，不等式|x+|＞|a﹣5|+1恒成立，∴2＞|a﹣5|+1，即|a﹣5|＜1，﹣1＜a﹣5＜1，解得4＜a＜6，故选：D．点评：本题主要考查基本不等式、绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

高一数学含绝对值的不等式解法检测试题

例1不等式|8- 3x|>0的解集是[]A. 0B. R88C. {x|x 丰”D. {3}分析v |8—3x| > 0 ,8 —3x 丰0 ,即X H 8.3答选C.例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是[]A . 3B. 2C. —2D. —5分析列出不等式•解根据题意得2V |x|< 5.从而—5<x V — 2 或2v x< 5, 其中最小整数为一5,答选D.例3不等式4V |1 —3x|< 7的解集为分析利用所学知识对不等式实施冋解变形.解原不等式可化为4v|3x—1|W 7,即4v3x—1< 7或―75 8< 3x—1V —4解之得-v x< -或—2<x v —1，即所求不等式解集为3 3亠5 -{x| —2W x V—1 或—v x W 3}-3 3例 4 已知集合 A = {x|2 V |6—2x|V 5, x € N}，求 A .分析转化为解绝对值不等式.解v 2V |6—2x|v 5可化为2v |2x—6|v 5即—5 V 2x—6V 5，2x —6> 2 或2x —6 V—2,北1V 2x V 11,即2x >-或2x V 4,11 1解之得4 V x V 或—V x V 2 .2 2因为x€ N，所以 A = {0 , 1, 5}.说明：注意元素的限制条件.例5实数a, b满足ab v 0,那么[]A . |a— b|v|a|+ |b|B. |a + b|>|a— b|C. |a+ b|v |a — b|D. la— b|v||a|+ |b||分析根据符号法则及绝对值的意义.解v a、b异号，|a+ b| V |a— b|.答选C.例6设不等式|x—a|v b的解集为｛x| — 1 v x v 2｝，则a, b 的值为A . a= 1, b= 3B. a=—1, b = 3C. a= —1, b = —31 3a= , b= _2 2分析解不等式后比较区间的端点.解由题意知，b>0,原不等式的解集为｛x|a —b v x v a+ b｝，由于解集又为｛x| —1v x v 2｝所以比较可得.a—b=— 1 解之得a=丄，b= 3.a+ b = 2 2 2答选D.说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.例7 解关于x的不等式|2x—1|v 2m—1(m € R)分析分类讨论.1解若2m—K 0即m W?，则|2x—1|v 2m—1恒不成立，此时原不等式的解集为•一；1右2m — 1 > 0即m>?，则一(2m —1) v 2x — 1 v 2m —1,所以 1 —m vx v m.1综上所述得：当m W-时原不等式解集为-;21当m>2时，原不等式的解集为{x|1 —m v x v m}.说明：分类讨论时要预先确定分类的标准.例8解不等式> -.|x| + 2 2分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母.解注意到分母|x|+ 2>0,所以原不等式转化为2(3—|x|)> |x|+2,整理得4 4 4^44|x| < 3，从而可以解得一3 w x< —，解集为{x| — 3 w x< —}.3 3 3 3 3说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便.例9 解不等式|6—|2x + 1||> 1.分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax+ b|v c或|ax+ b|>c型的不等式来解.解事实上原不等式可化为6—|2x + 1|> 1①或6—|2x + 1|v—1②由①得|2x+ 1|v5,解之得一3v x v2;由②得|2x+ 1|>乙解之得x>3或x v —4.从而得到原不等式的解集为{x|x v —4或—3v x v 2或x > 3}.说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10已知关于x的不等式|x+2|+ |x—3|v a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是_____________ .分析可以根据对|x+ 2|+ |x—3|的意义的不同理解，获得多种方法.解法一当x< —2时，不等式化为一x —2—x + 3v a即一2x+ 1v a 有解，而—2x+ 1> 5,a> 5.当一2v x< 3时，不等式化为x + 2 —x+ 3v a即a>5.当x>3是，不等式化为x + 2+ x —3v a即2x — 1 v a有解, 而2x— 1 > 5 ,「• a> 5.综上所述：a> 5 时不等式有解，从而解集非空.解法二|x+2|+ |x —3|表示数轴上的点到表示一2和3的两点的距离之和，显然最小值为3—(—2)= 5.故可求a的取值范围为a>5．解法三利用|m|+ |n|> |m± n得|x+2|+ |x —3|> |(x + 2)—(x —3)| = 5.所以a> 5 时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11解不等式|x+ 1|>2 —x.分析一对2—x 的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：-2—x >0①十x + 1> 2 — x 或 x + 1 v x — 2 L ②厂x vx € Rx< 2由①得 1 、X > 或 1v — 2 \ 2x < 2即* 1 1x > ，所以 v x w 2 ；、2 2由②得x >2.1 1综合①②得x > 2 .所以不等式的解集为{x|x > ?}.分析二利用绝对值的定义对|x +1|进行分类讨论解之. 解法二因为x + 1, x >— 1 |x + 1| =」厂 x — 1, x v — 1原不等式等价于：x > -1 1 由①得 1即x > —；|x > 2I 2x v — 1 由②得即x €⑺ [—1 > 21所以不等式的解集为{x|x > ?}.例 12 解不等式 |x — 5|— |2x + 3|v 1.分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分①』x +1> 2 —xx 1V 0 —x -1>2 —x3区间讨论，事实上，由于x= 5时，|x—5| = 0 , x =—2时|2x+ 3| = 0.3所以我们可以通过- ，5将x轴分成三段分别讨论.2B1-143解当x<—2时，x—5< 0，2x + 3< 0所以不等式转化为—(x —5) + (2x + 3)< 1，得x< —7，所以x< —7;3当一2< x< 5时，同理不等式化为—(x —5) —(2x + 3) < 1，1 1解之得x> —,所以—<x< 5;3 3当x>5时，原不等式可化为x —5 —(2x + 3) < 1，解之得x> —9，所以x>5.1综上所述得原不等式的解集为{x|x > -或x<—7}.3说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略.例13 解不等式|2x—1|>|2x—3|.分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂.如果采取两边平方，即根据|a|>|b|二a2>b2解之，则更显得流畅，简捷.解原不等式同解于(2x —1)2> (2x —3)2，即4x2—4x+ 1>4x2—12x + 9，即8x>8,得x> 1.所以原不等式的解集为{x|x > 1}.说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x—1|>|2x—3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x >2即x> 1.E1-15。

含绝对值不等式的解法(含答案)(可编辑修改word版)

⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。

2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。

是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。

把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。

当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。

答案为{x - 1 < x < 5}。

(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。

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