2013年中考数学复习全套学案34--- 圆的有关概念和性质
中考数学专题复习教案圆
中考数学专题复习教案圆公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-圆综合复习教学目标】1、回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己的方式进行梳理，使所学知识系统化2、进一步丰富对圆及相关结论的认识，并能有条理地、清晰地阐明自己的观点3、通过复习课的教学，感受归纳的思想方法，养成反思的习惯【重点难点】圆的有关概念和性质的应用【课堂活动】一、圆的有关概念和性质二知识点详解（一）、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
（二）、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；（三）、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； （四）、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； （五）、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
新课标人教版《数学》九年级上册 圆的概念和性质的复习导学案
圆的概念和性质的复习导学案一、圆的有关概念和性质考点一圆的有关概念和性质1.圆的定义动态：在同一平面内,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转____,另一个端点A所形成的封闭图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合.2.圆的有关的概念3.圆的性质(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条____所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)圆的确定:不在同一直线上的____个点确定一个圆.三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的______.（3）圆的旋转不变性：圆绕圆心任意旋转一个角度都和自身重合.考点二垂径定理及其推论(高频)考点三圆心角、弧、弦之间的关系1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的____相等,所对的____相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中,有一组量相等,那么其余的各组量也都____ .考点四圆周角定理及其推论(高频)考点五圆与多边形1.圆的内接多边形(1)如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的__________,这个圆叫做这个多边形的__________.(2)圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角_____.2.正多边形与圆(见第24课时)二、例题教学命题点1圆周角定理及其推论例1.(2019·安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠P AB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( ) A.32B.2C.81313D.121313例2.(2019·安徽,19,10分)如图,在⊙O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与⊙O的交点.若OE=4,OF=6,求⊙O的半径和CD的长.例3.(2019·安徽,13,5分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=_____°.命题点4圆的性质例4.(2019·安徽,20,10分)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.三、巩固练习考法1圆周角定理及其推论1.(2019·四川乐山)如图,C,D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB=()A.10°B.20°C.30°D.40°考法2垂径定理及其推论2.（1）(2019·湖南长沙)如图,在⊙O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则⊙O的半径长为____.（2）(2019·江苏宿迁)如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为____.考法3圆心角、弧、弦之间的关系3.(2019·山东济宁)如图,在⊙O中, 弧AB=弧AC,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )A.40°B.30°C.20°D.15°考法4圆内接四边形4.(2019·宁夏)已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.(1)求证:AB=AC;课后作业：1.(2019·海南)如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,直径DE⊥AC于点P,若点D在优弧ABC上,AB=8,BC=3,则DP=_____.2.(2019·广西南宁)如图,点A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为( )A.140°B.70°C.60°D.40°3.(2019·浙江舟山改编)把一张圆形纸片按照如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则∠BOC的度数是( )A.120°B.135°C.150°D.165°4.(2019·甘肃兰州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC=()A.45°B.50°C.60°D.75°∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°6.(2019·湖南岳阳)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BCD=110°,则∠BAD=____°.。
2013中考数学圆的重要性质复习提纲
2013中考数学圆的重要性质复习提纲中考数学考什么，这是考生和家长最关心的问题。
以往的中考考题主要体现在对知识点的考查上，强调知识点的覆盖面，对能力的考查没有放在一个突出的位置上。
近几年的中考命题发生了明显的变化，既强调了由知识层面向能力层面的转化，又强调了基础知识与能力并重。
注重在知识的交汇处设计命题，对学生能力的考查也提出了较高的要求。
中考数学重点考查学生的数学思维能力已经成为趋势和共识。
初三学生可利用寒假时间对数学思想方法进行梳理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序和操作程序。
有针对性地通过典型题目进行训练，能够真正适应中考命题。
第十章圆重点：①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
内容提要一、圆的基本性质1．圆的定义（两种）2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理4．垂径定理及其推论5．“等对等”定理及其推论5．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）⑶弦切角定义（弦切角定理）二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：2.切线的性质（重点）3.切线的判定定理（重点）。
圆的切线的判定有⑴…⑵…4．切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切（交）两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：内角的一半：(右图)（解Rt△OAM可求出相关元素,、等）六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线（连心线）6.两圆相交公共弦。
初三数学总复习教案——圆的有关性质
初三数学总复习教案-圆的有关性质教学目标知识目标：1、理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系；2、掌握垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理并会用它们进行计算；3、掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。
4、会用尺规作三角形的外接圆；了解三角形的外心的概念能力目标：通过知识点和典型题的讲练，使学生熟练掌握本节课的知识点，再用题图变形与题组训练来培养学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性。
情感目标：通过题图变形与题组训练来激发学生学习数学的兴趣；同时将课本的题目与中考题结合在教学当中以进一步向学生强调“依纲靠本”的复习指导思想，强化学生的中考意识。
教学重点、热点1、垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理2、运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题教学过程：一、知识结构回顾三、直击中考考点1圆周角定理1．（2013•徐州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=30°，则∠AOB 的度数为﹏．分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠AOB=2∠C，进而可得答案．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°∴∠AOB=2∠C=2×30°=60°．故答案为：60°．点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．考点2：一次函数综合题2．（13•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为____ ．分析：根据直线y=kx﹣3k+4=K(X-3)+4必过点D（3，4），求出最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置考点3：圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理3．（12.泰州）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥ BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【】A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】连接OB，∵∠A和∠BOC是弧BC所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°。
教案 初三 圆的概念及性质
教师教案学生教师班主任学科日期课时教学内容圆的概念与性质教学重难点圆的相关概念，圆心角定理的应用，垂径定理及应用2.1圆知识点1：圆的概念及与圆的相关概念1.圆的概念2.与圆有关的概念典型例题考点1：命题判定例1以下命题：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤圆心相同的圆是同心圆．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个例2下列命题中是真命题的有 ( )①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．A．3个B．4个C．5个D．6个考点2：圆的性质应用例1 如图，CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，DC、EB的延长线相交于点A．若∠A＝20°，AB＝OC，求∠EOD 的度数．考点3：利用圆的性质进行证明例1 如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF与∠OFE的关系．例2 如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE点C为AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．知识点2：点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
设⊙o的半径为r，点P到圆心O的距离为d，用图形表示点与圆的位置关系如图所示。
典型例题考点1：利用数量关系判断点与圆的位置关系例1 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心、PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内考点2：利用点与圆的位置关系求圆的半径范围例1已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，若以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是( )A．r>15 B．15<r<20 C．15<r<25 D．20<r<25能力提优题型1：圆的性质和矩形性质综合例1 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a题型2：点与圆的位置关系中分类讨论思想例1 若⊙O所在平面上的一点P到⊙O上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为题型3：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明例1已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点，试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．例2如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．求证：A、E、C、F四点共圆；2.2圆的对称性知识点1：圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。
圆的概念与性质教案
圆的概念及性质教学目标1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学重难点重点：理解圆、弦和弧的概念.难点：能根据条件画出符合条件的点或图形，初步形成集合的观念.教学过程导入新课多媒体展示第一组图片，观察下列图片，找出共同的图形来.学生观察图片后，会发现图中都有圆，让学生再举出一些生活中类似的图形.多媒体展示第二组图片.让学生思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？设计意图：通过多媒体展示现实生活中有关圆的物体图片引起学生的注意，使他们感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，激发学生学习的兴趣，从而引入课题.探究新知观察与思考小惠与小亮合作,按下面的方法画圆.首先,小惠把绳子的一端固定在操场上的某一点O处,小亮在绳子的另一端拴教学反思教学反思上一小段竹签,然后,小亮将绳子拉紧,再绕点O转一圈,竹签划出的痕迹就是圆.教师点评：平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定点叫做圆心,这条定长叫做圆的半径.如图1所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.线段OA也称为☉O的半径.圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点就是圆心，定长就是半径.以点O为圆心的圆记作☉O，读作“圆O”.教师要求学生利用圆规画一个圆.有的学生提出了疑问：在哪画圆？画多大的圆？教师借机引导学生发现问题：要确定一个圆，需要满足什么条件呢？教师强调：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小，只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定.设计意图：在原有圆的基础上，提高了学生对圆的其他特征的初步认识.探究活动：思考下面的问题1.什么是轴对称图形、中心对称图形？2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？3.圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？4.圆绕着它的圆心旋转任意角度后和自身重合吗？5.直径是圆的对称轴，正确吗？学生小组交流，老师引导归纳：圆是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形,圆心是它的对称中心.实际上,圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合.出示教材第147页内容要求学生通过自学的方式，学习圆中相关的概念，然后小组互相交流.1.弦、直径:圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.过圆心的弦叫做这个圆的直径.让学生指出图中的弦和直径.图2中的弦是AB,CD ;直径是CD.注意：（1）弦和直径都是线段.（2）直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.（3）同一圆中的半径相等.教学反思图1图22.弧、半圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧,这样的一条弧叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.如图3，点A，B，C，D在☉O上.线段AB为☉O的一条弦，AC为☉O的直径.直径AC所分的两个半圆分别为半圆ADC和半圆ABC.以AB为端点的弧有两条，其中劣弧用AB来表示,读作“弧AB”,优弧用ADB来表示,读作“弧ADB”.3.等圆、等弧:能够完全重合的两个圆叫做等圆.能够完全重合的两条弧叫做等弧.半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等.推出：等圆是两个半径相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.最后教师点评各个概念，强调等弧的前提是在同圆或等圆中.典型例题例1A、B是半径为5的☉O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10【问题探索】连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.答案：D【总结】圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于零且小于或等于直径长.例2如图4.（1）请写出以点B为端点的劣弧及优弧；（2）请写出以点B为端点的弦及直径；（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.解：（1）劣弧：,,,BF BD BC BE.优弧：BFE，BFC，BCD，BCF.（2）弦：BD，AB，BE.其中弦AB又是直径.（3）答案不唯一，如：弦DF，它所对的弧是DF和DCF.课堂练习1.下列说法中，正确的是（）A.弦是直径B.半圆是弧C.过圆心的线段是直径D.圆心相同半径相同的两个圆是同心圆2.圆内最长的弦长为10 cm，则圆的半径（）A.小于5 cmB.大于5 cmC.等于5 cmD.不能确定3.一点和☉O上的点的最近距离为6 cm，最远距离为12 cm, 则这个圆的半径是.4.如图5，在☉O中，点A，O，D和点B，O，C分别在一条直线上，图中共教学反思图3图4有条弦，它们分别是.图5 图65.如图6所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD=.6.一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？如果不公平，你认为他们应排成什么样的队形才公平？7. 一根5 m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域.图7参考答案1.B2.C3.9 cm或3 cm4.3 AE，DC，AD5.40°6.不公平，应该站成圆形.7.解：示意图如图8所示.图8课堂小结（学生总结，老师点评）布置作业教材第148页习题教学反思板书设计28.1圆的概念及性质一、圆的概念及性质二、圆的有关概念1.弦、直径2.弧与半圆3.等圆、等弧。
中考复习教案圆
圆教学目标：1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．教学时间：6课时【课时分布】圆的部分在第一轮复习时大约需要6个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排.2、基础知识（1）掌握圆的有关性质和计算① 弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.② 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③ 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④ 圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.（2）点与圆的位置关系① 设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点在圆外d r ⇔>； 点在圆上d r ⇔=； 点在圆内d r ⇔<．② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（3）直线与圆的位置关系① 设圆心到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，则直线与圆相离d r ⇔>；直线与圆相切d r ⇔=；直线与圆相交d r ⇔<．② 切线的性质:与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.③ 切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.④ 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.⑤ 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.⑥ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.（4）圆与圆的位置关系① 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.设两圆心的距离为d ，两圆的半径为12r r 、，则两圆外离12d r r ⇔>+两圆外切12d r r ⇔=+两圆相交1212r r d r r ⇔-<<+两圆内切12d r r ⇔=-两圆内含12d r r ⇔<- ② 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦.③ 两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.④ 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.（5）与圆有关的计算① 弧长公式：180n r l π= 扇形面积公式：213602n r S lr π==扇形 （其中为n 圆心角的度数，r 为半径）② 圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积③ 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．④ 圆锥的侧面积＝12×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积 3、能力要求例1 如图，AC 为⊙O 的直径，B 、D 、E 都是⊙O 上的点，求∠A +∠B +∠C 的度数.【分析】由AC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE ，这样将∠CAD （∠A ）、∠C 放在了△AEC 中，而∠B 与∠EAD 是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．【解】 连结AE∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠AEC =90O∴∠CAD +∠EAD +∠C =90O∵ED ED =⌒⌒∴∠B =∠EAD ∴∠CAD +∠B +∠C =90O【说明】这里通过将∠B 转化为∠EAD ，从而使原本没有联系的∠A 、∠B 、∠C 都在 △AEC 中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90O ．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法．例2 △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C =90O ，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，求AD 的长．【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH ⊥AB ，这只要求出AH 的长就能得出AD 的长．【解】 作CH ⊥AB ，垂足为H∵∠C =90O ，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB =10∵∠C =90O ， CH ⊥AB∴2AC AH AB = 又∵AC ＝6， AB =10 ∴ AH ＝3.6∵CH ⊥AB ∴AD =2AH ∴AD =7.2C A答：AD 的长为7.2．【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键.定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，教师在复习时要特别注重基本图形的掌握.例3 (１)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE =∠B ，试说明AE 与⊙O 相切于点A ．(２)在（１）中，若AB 为非直径的弦，∠CAE =∠B ，AE 还与⊙O 相切于点A 吗？请说明理由．(1) (2)【分析】第(１)小题中，因为AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角即可．第(２)小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第(１)小题的情形．【解】 (１)∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠C =90O∴∠BAC ＋∠B =90O又∵∠CAE =∠B ∴∠BAC ＋∠CAE =90O即∠BAE =90O ∴AE 与⊙O 相切于点A ．(２)连结AO 并延长交⊙O 于D ，连结CD .∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ACD =90O∴∠D ＋∠CAD =90O又∵∠D =∠B ∴∠B ＋∠CAD =90O又∵∠CAE =∠B ∴∠CAE ＋∠CAD =90O即∠EAD =90O ∴AE 仍然与⊙O 相切于点A ．【说明】本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第(1)小题的特殊情况,大胆提出猜想,渗透“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力培养非常重要.E B A D EAB例4 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5．（1）若，求CD 的长． （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留）．【分析】图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长.第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOD 的大小．【解】（1） ∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5∴∠ADB ＝90°，AB ＝10又∵在Rt △ABD 中，3sin 5BD BAD AB ==∠ ∴∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD ∴ BD 2=BE ·AB CD = 2DE∵AB ＝10∴BE =185在Rt △EBD 中，由勾股定理得 ∴答：CD 的长为485． （2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD∴∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO∴∠CDB ＝∠ADO设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝k∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° ∴4490k k k ++=︒ 得k ＝10°∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°∴∠AOC＝∠AOD＝100°则答：扇形OAC的面积为125 18π【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k法，同时也渗透了“转化”的思想方法．例5 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4 : 3，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.(l)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；(2)当点P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长；(3) 当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【分析】当点P与点C关于AB对称时，CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ，可求得CQ的长．当点P在半圆AB上运动时，虽然P、Q点的位置在变，但△PCQ始终与△ACB相似，点P运动到半圆AB的中点时，∠PCB＝４５O，作BE⊥PC于点E，CP＝PE+EC．由于CP与CQ的比值不变，所以CP取得最大值时CQ也最大．【解】(l)当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴AB=5，AC：CA=4：3∴BC=4，AC=3S Rt△ACB=12AC·BC=12AB·CD∴1224,.55 CD PC==∵在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ=900, ∠CAB＝∠CPQ，∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ∴ AC BC PC CQ = ∴ 43235BC PC CQ PC AC === (2)当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）.∵P 是弧AB 的中点，∴045,PCB CE BE BC ∠==== 又∠CPB =∠CAB∴∠CPB = tan ∠CAB =43∴ 3tan 4BE PEBE CPB ===∠ 从而2PC PE EC =+= 由（l ）得，433CQ PC == (3）点P 在弧AB 上运动时，恒有43BC PC CQ PC AC == 故PC 最大时，CQ 取到最大值． 当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203 【说明】本题从点P 在半圆AB 上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ 的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解题的关键．P。
初三数学复习教案圆的性质与判定
初三数学复习教案圆的性质与判定初三数学复习教案圆的性质与判定一、导言数学中的几何部分涉及到很多基本概念和性质，其中圆是一个重要的概念。
本教案将从圆的性质与判定入手，为初三学生进行数学复习提供指导。
二、圆的定义圆是平面上的一个几何图形，它的每一点到一个固定点的距离都相等。
这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离称为半径。
三、圆的性质1. 圆周上的点到圆心的距离相等；2. 圆的直径是通过圆心的两点之间的线段，直径的长度是半径的两倍；3. 圆的任意弦都可以看作是一个直径所对应的角；4. 圆的内切正多边形的每条边都刚好与圆相切；5. 圆与直线的相交情况有三种：相离、相切、相交；6. 位于圆内的点到圆心的距离小于半径；7. 位于圆外的点到圆心的距离大于半径；8. 圆上的所有点到圆心的距离都等于半径。
四、判定圆的性质1. 判定一个图形是否为圆：如果一个图形的每一个点到固定点的距离都相等，那么这个图形就是圆。
2. 判定两个圆是否相交：如果两个圆的圆心距离小于两个圆的半径之和，那么这两个圆就相交。
3. 判定两个圆是否相切：如果两个圆的圆心距离等于两个圆的半径之和，那么这两个圆就相切。
4. 判定一个点是否在圆上：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这个点就在圆上。
5. 判定一个点是否在圆内：如果一个点到圆心的距离小于圆的半径，那么这个点就在圆内。
6. 判定一个点是否在圆外：如果一个点到圆心的距离大于圆的半径，那么这个点就在圆外。
五、实例演练1. 已知圆A的半径为5cm，圆B的半径为3cm，求它们的圆心距离。
解：两个圆的圆心距离可以通过勾股定理求得，即圆心距离的平方等于两个圆心连线的长度减去两个圆的半径之和的平方。
代入数据进行计算，得到圆心距离为4cm。
2. 已知点P(-2, 3)距圆O(0, 0)的距离为5cm，判断点P和圆O的位置关系。
解：计算点P到圆心O的距离，即点P与圆心O的连线的长度。
通过勾股定理求得距离为√((-2-0)^2+(3-0)^2)=√(4+9)=√13约等于3.61cm。
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圆的有关概念和性质
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质
(1) 圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，
定长为半径．
②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆
的弧称为劣弧．
③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（2）圆的有关性质
①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中
心为圆心．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；
90”的圆周角所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
2.与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
（3）圆心角与圆周角的关系：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（二）：【课前练习】
1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°
则∠BOC的大小是（）
A．60○B．45○ C．30○D．15○
2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工
具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．
3.如图，A、B、C是⊙O上三个点，当 BC平分∠ABO时，
能得出结论_______（任写一个）．
4.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）
A．180° B．15 0° C．135° D．120°
5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在
⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）
A．40○ B．50○
C．65○D．130○
二：【经典考题剖析】
1.如图，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60○，AC＝3，
则△ABC的周长是____________.
2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有
圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦
AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
3.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，
那么CD
AB
等于（）
A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．cot∠BPD
4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求 AB与CD之间的距离．
5.如图，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的
直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。
（1）求圆心M的坐标；
（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积
三：【课后训练】
1.如图，在⊙O中，弦AB=1．8。
m，圆周角∠ACB=30○，
则⊙O的直径等于_________cm．
2.如图，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠=35°，
则∠AOB的度数为（）
A．35○B．70○ C．105○D．150○
3.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD,则图中和∠1相等的角有______
4.在半径为1的圆中，弦AB、AC
则∠BAC的度数为多少？
5.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在 AMB上，
则∠C的度数是_______.
6.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，
则∠DAB的度数为（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
7.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点E 在CD 的延长线上，
如果∠BOD=120°，那么∠BCE 等于（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
8.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，
根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）
9.如图，⊙O 的直径AB=10，DE ⊥AB 于点H ，AH=2．
（1）求DE 的长；
（2）延长ED 到P ，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，
若
PD 的长．
10.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的
半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4,求这个圆形截
面的半径.
四：【课后小结】
B。