中山市华侨中学2016届高三3月高考模拟考试(文数)

中山市华侨中学2016届高三3月高考模拟考试数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ （2）给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②（3）设,a b R ∈,则“()320a b b ->”是“a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≥+4211y x y x y x ，则目标函数y x z +=3的最小值为(A)11 (B)3 (C)2 (D)313 （5）一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为A ．B ．C ．D ．（6） 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图与侧视图中x 的值为A ．5B ．4C ．3D ．2（7）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O 的等差数列{n a }，若a 3 =8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是A ．13 ,12B ．13 ,13C ．12 ,13D ．13 ,14．（8）曲线y=2xe -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13 B ．12 C ．23D ．1 (9)已知双曲线2222-1(0,0)x y a b a b=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=（10）若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示 的程序框图，则输出S 的值为A.4B.5C.7D.9（11）已知S,A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC,SA=AB=l ，O 的表面积等于A ．4πB ．3πC ．2πD ．π（12）若函数()sin x f x x =，并且233a b ππ<<<，则下列各结论正确的是A ．()()2a b f a f f +<< B ．()()2a bf f f b +<<C ．()()2a b f f f a +<<D ．()()2a bf b f f +<<第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~ 第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。

（13）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且*1()n n n b a a n N +=-∈，若23-=b ，1210=b ，则8a = .（14）已知向量，若⊥，则16x +4y 的最小值为 ．（15）已知直线2x y =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是 .（16）如图甲, 在ABC ∆中, AB AC ⊥, AD BC ⊥, D 为.垂足, 则2AB BD BC =⋅, 该结论称为射影定理. 如图乙, 在三棱锥A BCD -中, AD ⊥平面ABC , AO ⊥平面BCD ,O 为垂足, 且O 在BCD ∆内, 类比射影定理, 探究ABC S ∆、BCO S ∆、BCD S ∆这三者之间满足的关系是三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）( 本小题满分12分)已知向量(sin ,1),(cos ,3)m x n x =-=（1）当//m n时，求的值；（2）已知在锐角ΔABC 中，a ，b ，c 分别为角A,B,C 的对边，,函数()()f x m n n =+⋅ ，求的取值范围.（18）（本小题满分12分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区. （Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为21，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A 是否达到“低碳小区”的标准？（百千克/户图2（百千克/户图1（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点．已知PD ＝2，CD ＝4，AD ＝3．（Ⅰ）若∠ADE ＝π6，求证：CE ⊥平面PDE ；（Ⅱ）当点A 到平面PDE 的距离为2217时，求三棱锥A -PDE的侧面积．（20）（本小题满分12分）已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，2120AF F F ⋅= ,（1）求直线AO 的方程（O 为坐标原点）；（2）直线AO 交椭圆于点B ，若三角形2ABF 的面积等于（21）（本小题满分12分）已知函数()321232a f x x x x =-+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围；（3）若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

(22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆为直角三角形，90=∠ABC ，以AB为直径的圆交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连OD 交圆O 于点M ．（Ⅰ）求证：E D B O ,,,四点共圆；（Ⅱ）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22．(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=．（Ⅰ）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、．若点P 的坐标为（3，求||||PA PB +． (24)（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲已知函数11)(++-=x x x f （1）求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若关于x 的不等式x x a x f 2)(22+->在R 上恒成立，求实数a 的取值范围。

数学（文科）参考答案一、选择题（1）A （2）B （3）A （4）B （5）D （6）C （7）B （8）B （9）D （10）C (11)A (12)D 【解析】22a b b b a b ++=<<<=，()'2sin cos sin '()x x x xf x x x-==，令()c o s s i n ,g x x x x =-则()'sin 0g x x x =-<在2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭成立，所以g （x ）为2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的减函数，所以g(x)<g(0)=0，所以()'0f x <，所以()f x 为2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭的减函数，所以()()2a bf b f f +<<． 二、填空题（13）3- （14） 8 （15）⎫+∞⎪⎪⎝⎭（16）BCD BCO ABC S S S △△△⋅=2三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（I ）由m//n ，可得3sinx=-cosx ，于是tanx=31-． ∴ 922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分 （II ）∵在△ABC 中，A+B=π-C ，于是C B A sin )sin(=+，由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴ 23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分 又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m+n)·n =(sinx+cosx ，2)·(sinx ，-1)=sin 2x+sinxcosx-2=22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-．即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分(18)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为C B A ,,，两个“低碳小区”为,,m n …2分用),(y x 表示选定的两个小区，{},,,,,x y A B C m n ∈，则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是(,)A B ，(,)A C ，(,)A m ,(,)A n ,(,)B C ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n ,(,)m n . 5分用D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D 中的结果有6个，它们是：(,)A m ，(,)A n ,(,)B m ,(,)B n ， (,)C m ,(,)C n . …7分故所求概率63()105P D ==. ……8分 （II ）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”. ……10分由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75++=>，…………11分 所以三个月后小区A 达到了“低碳小区”标准. …………12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt △DAE 中，AD ＝3，∠ADE ＝π6，∴AE ＝AD ·tan ∠ADE ＝3·33＝1．又AB ＝CD ＝4，∴BE ＝3．在Rt △EBC 中，BC ＝AD ＝3，∴tan ∠CEB ＝BC BE ＝33，∴∠CEB ＝π6．又∠AED ＝π3，∴∠DEC ＝π2，即CE ⊥DE ．∵PD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥CE ．∴CE ⊥平面PDE ．……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面ABCD ．如图，过A 作AF ⊥DE 于F ，∴AF ⊥平面PDE ，∴AF 就是点A 到平面PDE 的距离，即AF ＝2217．在Rt △DAE 中，由AD ·AE ＝AF ·DE ，得 3AE ＝2217·3＋AE 2，解得AE ＝2．∴S △APD ＝12PD ·AD ＝12×2×3＝62，S △ADE ＝12AD ·AE ＝12×3×2＝3，∵BA ⊥AD ，BA ⊥PD ，∴BA ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴BA ⊥P A ．在Rt △P AE 中，AE ＝2，P A ＝PD 2＋AD 2＝2＋3＝5，∴S △APE ＝12P A ·AE ＝12×5×2＝5．∴三棱锥A -PDE 的侧面积S 侧＝62＋3＋5．…………………………（12分） （20）（本小题满分12分）解：（1）由2120AF F F ⋅= ,知212F F AF ⊥所以，,2c a =可得2212b a =，设椭圆方程为2222x y a += --------2分设00(,)A x y ，由2120AF F F ⋅=,知0x c =∴0(,)A c y ,代入椭圆方程可得012y a =--------4分∴A 1,2a a ），故直线AO 的斜率k =--------5分直线AO 的方程为2y x =--------6分 （2）连结1122,,,,AF BF AF BF 由椭圆的对称性可知,2112F AF ABF ABF S S S ∆∆∆==， --------9分所以2421221=a c -------10分又由c =解得2216,1688a b ==-=,故椭圆方程为221168x y += ------12分（21）（本小题满分12分）解：（1）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-．………1分因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---，所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．……3分（2）方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立，即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，………………………………4分令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，必须满足0∆<或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩…………………………………………5分即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩…………………………………………6分所以实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………………7分 方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．………………4分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x =．①当12a<时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．…………………………………5分②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max''224a af x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．……………………………6分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………7分 （3）设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-，…………………………………8分 所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--．……………9分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上，所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+-- 即322110323t at -+=．……………………………10分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．………………………………10分 令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点．令()220g t t at '=-=，解得0t =或2a t =．因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，即2a >． 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．………………………………………………12分（22） （本小题满分10分）解：（1）连接BE ，则EC BE ⊥ ……………………………………………1分 又D 是BC 的中点，所以BD DE = ……………………………………………3分又OD OD OB OE ==,，所以ODB ODE ∆≅∆，所以 90=∠=∠OED OBD故B O E D ,,,四点共圆． …………………………………………………………5分(2) 延长DO 交圆于点H ，+⋅=+⋅=⋅=DO DM OH DO DM DH DM DE )(2 OH DM ⋅ ……………………8分)21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴，即AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22……10分（23）（本小题满分10分）解：（1）由θρsin 52=得05222=-+y y x ，即5)5(22=-+y x由322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得053=--+y x 所以2232535=--=d …………………4分 （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得5)22()223(22=+-t t 即04232=+-t t ，由于0144)23(2>⨯⨯-=∆ 故可设21,t t 是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧==+4232121t t t t ，又直线l 过点)5,3(p ,故由上式及t 的几何意义得：232121=+=+=+t t t t PB PA …………………10分（24）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题设知：721>++-x x ，令10,20x x -=+=，解得1,2x x ==-，这就是两个分界点。