湖南省长沙市2019年中考数学实现试题研究反比例函数与几何图形结合题库
2019年中考数学专题《反比例函数》复习试卷含答案解析.doc
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2019年中考数学专题复习卷: 反比例函数一、选择题1.已知点P(1,-3)在反比例函数(k≠0)的图象上,则k的值是()A. 3B.C. -3D.2.如果点(3,-4)在反比例函数的图象上,那么下列各点中,在此图象上的是()A.(3,4)B. (-2,-6)C.(-2,6)D.(-3,-4)3.在双曲线y= 的任一支上,y都随x的增大而增大,则k的值可以是()A. 2B. 0C. ﹣2 D. 14.如图,已知双曲线y=(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(-6,4),则△AOC的面积为( )A. 4B. 6C. 9D. 125.如图所示双曲线y= 与分别位于第三象限和第二象限,A是y轴上任意一点,B是上的点,C是y= 上的点,线段BC⊥x轴于D,且4BD=3CD,则下列说法:①双曲线y= 在每个象限内,y随x的增大而减小;②若点B的横坐标为-3,则C点的坐标为(-3, );③k=4;④△ABC的面积为定值7.正确的有()A. I个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6.如图,已知反比例函数y= 与正比例函数y=kx(k<0)的图象相交于A,B两点,AC垂直x轴于C,则△ABC的面积为()A. 3B. 2C. kD. k27.某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.图表示的是该电路中电流I 与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A. B.C.D.8.如图,在平面直角坐标系中,四边形是菱形,,反比例函数的图象经过点,若将菱形向下平移2个单位,点恰好落在反比例函数的图象上,则反比例函数的表达式为()A. B.C.D.9.如图,在平面直角坐标系中,过点0的直线AB交反比例函数y= 的图象于点A,B,点c在反比例函数y= (x>0)的图象上,连结CA,CB,当CA=CB且Cos∠CAB= 时,k1, k2应满足的数量关系是()A. k2=2k lB. k2=-2k1C. k2=4k1D. k2=-4k110.已知如图,菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上,对角线AC、BD交于原点O,DF垂直AB交AC于点G,反比例函数,经过线段DC的中点E,若BD=4,则AG的长为()A. B. +2C. 2+1 D. +1二、填空题11.反比例函数的图像经过点(2,3),则的值等于________.12.若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例函数的表达式为________13.若点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数y= (k为常数)的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为________.14.如图,点为矩形的边的中点,反比例函数的图象经过点,交边于点.若的面积为1,则________。
2019年湖南省长沙市中考数学试卷(含答案与解析)
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数学试卷 第1页(共30页) 数学试卷 第2页(共30页)绝密★启用前湖南省长沙市2019年初中学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各数中,比3-小的数是( ) A .5-B .1-C .0D .12.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到2020年,长沙电网建设改造投资规模达到15 000 000 000元,确保安全供用电需求.数据15 000 000 000用科学记数法表示为( ) A .91510⨯B .91.510⨯C .101.510⨯D .110.1510⨯ 3.下列计算正确的是( ) A .325a b ab += B .326()a a = C .632a a a ÷=D .222()a b a b +=+ 4.下列事件中,是必然事件的是( )A .购买一张彩票,中奖B .射击运动员射击一次,命中靶心C .经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D .任意画一个三角形,其内角和是180︒5.如图,平行线AB ,CD 被直线AE 所截,180∠=︒,则2∠的度数是( )A .80︒B .90︒C .100︒D .110︒ 6.某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( )ABCD7.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中,11名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这11名同学成绩的( ) A .平均数B .中位数C .众数D .方差 8.一个扇形的半径为6,圆心角为120︒,则该扇形的面积是( ) A .2πB .4πC .12πD .24π9.如图,Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,分别以点A 和点B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点,作直线MN ,交BC 于点D ,连接AD ,则CAD ∠的度数是( )A .20︒B .30︒C .45︒D .60︒10.如图,一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60︒方向,距离灯塔60n mile 的小岛A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C 的南偏东45︒方向上的B 处,这时轮船B 与小岛A 的距离是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共30页) 数学试卷 第4页(共30页)( )A.mile B .60mile n C .120mile nD.(30mile n +11.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x 尺,绳子长为y 尺,则所列方程组正确的是 ( )A . 4.5,0.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B . 4.5,21y x y x =+⎧⎨=-⎩C . 4.5,0.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D . 4.5,21y x y x =-⎧⎨=-⎩12.如图,ABC △中,10AB AC ==,tan 2A =,BE AC ⊥于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD +的最小值是( )A.B.C.D .10第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上) 13.在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 .14.分解因式:29am a -= . 15.不等式组10360x x +⎧⎨-⎩≥<的解集是 .16.在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是 .(结果保留小数点后一位) 17.如图,要测量池塘两岸相对的A ,B 两点间的距离,可以在池塘外选一点C ,连接AC ,BC ,分别取AC ,BC 的中点D,E ,测得50DE =m ,则AB 的长是m.18.如图,函数ky x=(k 为常数,0k >)的图象与过原点的O 的直线相交于A ,B 两点,点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧),直线AM 分别交x 轴、y 轴于C ,D 两点,连接BM 分别交x 轴、y 轴于点E ,F .现有以下四个结论:①ODM △与OCA △的面积相等;②若BM AM ⊥于点M ,则30MBA ∠=︒;③若M 点的横坐标为1,OAM △为等边三角形,则2k =;④若25MF MB =,则数学试卷 第5页(共30页) 数学试卷 第6页(共30页)2MD MA =.其中正确的结论的序号是 .(只填序号)三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)计算:11|2cos602-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭.20.(本小题满分6分)先化简,再求值:22314411a a a a a a a +++⎛⎫-÷⎪---⎝⎭,其中3a =.21.(本小题满分8分)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动,为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不请根据以上信息,解答下列问题:(1)本次调查随机抽取了 名学生;表中m = ,n = ; (2)补全条形统计图;(3)若全校有2 000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.22.(本小题满分8分)如图,正方形ABCD ,点E,F分别在AD ,CD 上,且DE CF =,AF 与BE 相交于点G . (1)求证:BE AF =;(2)若4AB =,1DE =,求AG 的长.23.(本小题满分9分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页(共30页) 数学试卷 第8页(共30页)(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?24.(本小题满分9分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似: ( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似: ( 命题) ③两个大小不同的正方形相似.( 命题)(2)如图1,在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中,111ABC A B C ∠=∠,BCD ∠=111B C D ∠,111111AB BC CDA B B C C D .求证:四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似. (3)如图2,四边形ABCD 中,AB CD ∥,AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF AB ∥分别交AD ,BC 于点E ,F .记四边形ABFE 的面积为S 1,四边形EFCD 的面积为S 2,若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似,求21SS 的值.图1图225.(本小题满分9分)已知抛物线2()(2222)00y x b x c =-+-+-(b ,c 为常数). (1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b ,c 的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c 的取值范围;(3)在(1)的条件下,存在正实数m ,n ()m n <,当m x n ≤≤时,恰好1212m m y ++≤≤21nn +,求m ,n 的值.26.(本小题满分10分)如图,抛物线26y ax ax =+(a 为常数,0a >)与x 轴交于O ,A 两点,点B 为抛物线的顶点,点D 的坐标为()(,00)3t t -<<,连接BD 并延长与过O ,A ,B 三点的P 相交于点C .(1)求点A 的坐标; (2)过点C 作P 的切线CE 交x 轴于点E .①如图1,求证:CE DE =; ②如图2,连接AC ,BE ,B O ,当3a =,CAE OBE ∠=∠时,求11OD OE-的值.数学试卷 第9页(共30页) 数学试卷 第10页(共30页)图1图2数学试卷 第11页(共30页) 数学试卷 第12页(共30页)湖南省长沙市2019年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解:53101---<<<<,所以比3-小的数是5-,故选:A . 【考点】有理数的大小比较. 2.【答案】C【解析】解:数据15 000 000 000用科学记数法表示为101.510⨯.故选:C . 【考点】利用科学记数法表示较大的数. 3.【答案】B【解析】解:A 、3a 与2b 不是同类项,故不能合并,故选项A 不合题意;B 、326()a a =,故选项B 符合题意;C 、633a a a ÷=,故选项C 不符合题意;D 、222(2)a b a ab b +=++,故选项D 不合题意.故选:B .【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的除法,完全平方公式. 4.【答案】D【解析】解:A 、购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意;B 、射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意;C 、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意;D 、任意画一个三角形,其内角和是180︒,属于必然事件,符合题意;故选:D .【考点】三角形内角和定理,随机事件. 5.【答案】C【解析】解:∵180∠=︒, ∴3100∠=︒, ∵AB CD ∥, ∴23100∠=∠=︒.故选:C .【考点】平行线的性质. 6.【答案】D【解析】解:由三视图可知:该几何体为圆锥.故选:D . 【考点】由三视图判断几何体. 7.【答案】B【解析】解:11个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有5个数,故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选:B . 【考点】统计量的选择. 8.【答案】C【解析】解:2120π612π360S ⨯⨯==,故选:C .【考点】扇形面积的计算. 9.【答案】B【解析】解:在ABC △中,∵30B ∠=︒,90C ∠=︒, ∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒, 由作图可知MN 为AB 的中垂线, ∴DA DB =, ∴30DAB B ∠=∠=︒,∴30CAD BAC DAB ∠=∠-∠=︒,故选:B .【考点】线段垂直平分线的性质,基本操作图. 10.【答案】D【解析】解:过C 作CD AB ⊥于D 点,数学试卷 第13页(共30页) 数学试卷 第14页(共30页)∴30ACD ∠=︒,45BCD ∠=︒,60AC =.在Rt ACD △中,cos CDACD∠=,∴cos 602CD AC ACD =∠=⨯=在Rt DCB △中,∵45BCD B ∠=∠=︒, ∴CD BD ==∴30AB AD BD =+=+答:此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是(30+)n mile . 故选:D .【考点】解直角三角形的实际应用. 11.【答案】A【解析】解:由题意可得, 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩, 故选:A .【考点】根据实际问题列出二元一次方程组. 12.【答案】B【解析】解:如图,作DH AB ⊥于H ,CM AB ⊥于M .∵BE AC ⊥,∴90ABE ∠=︒,∵tan 2BEA AE ==,设AE a =,2BE a =,则有:221004a a =+, ∴220a =,∴a =-舍弃), ∴2BE a ==∵AB AC =,BE AC ⊥,CM AC ⊥,∴CM BE ==等腰三角形两腰上的高相等)∵DBH ABE ∠=∠,BHD BEA ∠=∠, ∴sin DH AE DBH BD AB ∠=== ∴DH , ∴5CD BD CD DH +=+, ∴CDDH CM +≥,∴CD +≥∴CD 的最小值为 故选:B .【考点】解直角三角形,等腰三角形的性质,垂线段最短.第Ⅱ卷二、填空题数学试卷 第15页(共30页) 数学试卷 第16页(共30页)13.【答案】5x ≥【解析】解:,则50x -≥,故实数x 的取值范围是:5x ≥.故答案为:5x ≥.【考点】二次根式有意义的条件. 14.【答案】()(33)a m m +- 【解析】解:29am a -29()a m =-()(3)3a m m =+-.故答案为:()(33)a m m +-.【考点】提公因式法与公式法分解因式的综合运用. 15.【答案】12x -≤<【解析】解:10360x x +⎧⎨-⎩≥①<②解不等式①得:1x -≥, 解不等式②得:2x <,∴不等式组的解集为:12x -≤<, 故答案为:12x -≤<. 【考点】解一元一次不等式组. 16.【答案】0.4【解析】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近,故摸到白球的频率估计值为0.4;故答案为:0.4.【考点】频数(率)分布表,利用频率估计概率. 17.【答案】100【解析】解:∵点D ,E 分别是AC ,BC 的中点, ∴DE 是ABC △的中位线, ∴2250100AB DE ==⨯=米. 故答案为:100.【考点】三角形的中位线定理.18.【答案】①③④【解析】解:①设点,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,k M n n ⎛⎫⎪⎝⎭,则直线AC 的解析式为k k ky x mn n m=-++,∴0(,)C m n +,()0,m n k D mn +⎛⎫⎪⎝⎭,∴1()()22ODM m n k m n k S mn m ++=⨯=△,()1()22OCA k m n kS m n m m⨯+=⨯+=△, ∴ODM △与OCA △的面积相等,故①正确; ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称, ∴O 是AB 的中点,∵BM AM ⊥,∴OM OA =, ∴k mn =,∴,()A m n ,,()M n m ,∴)AM n m =-,OM =∴AM 不一定等于OM , ∴BAM ∠不一定是60︒,∴MBA ∠不一定是30︒.故②错误, ∵M 点的横坐标为1, ∴可以假设()1,M k , ∵OAM △为等边三角形, ∴OA OM AM ==,22221k k m m +=+,∴m k =, ∵OM AM =,∴222(1)1k m k k m ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭,∴2410k k -+=,数学试卷 第17页(共30页) 数学试卷 第18页(共30页)∴2k =± ∵1m >,∴2k =+故③正确, 如图,作MK OD ∥交OA 于K . ∵OF MK ∥, ∴25FM OK BM KB ==, ∴23OK OB =, ∵OA OB =, ∴23OK OA =, ∴21OK KA =, ∵KM OD ∥, ∴2DM OK AM AK ==, ∴2DM AM =,故④正确. 故答案为①③④.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理. 三、解答题19.【答案】解:原式1222=⨯21=1=.【解析】解:原式1222⨯21=1=.【考点】绝对值,负整数指数幂,二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值.20.【答案】解:原式22(1)1(2)a a a a a +-=-+2aa =+, 当3a =时,原式33325==+.【解析】解:原式22(1)1(2)a a a a a +-=-+2aa =+, 当3a =时,原式33325==+.【考点】分式的化简求值.21.【答案】解:(1)本次调查随机抽取了2142%50÷=名学生,5040%20m =⨯=,61001250n =⨯=,故答案为:50,20,12; (2)补全条形统计图如图所示:(3)21202000164050+⨯=人, 答:该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1 640人. 【解析】解:(1)本次调查随机抽取了2142%50÷=名学生,5040%20m =⨯=,61001250n =⨯=,数学试卷 第19页(共30页) 数学试卷 第20页(共30页)故答案为:50,20,12; (2)补全条形统计图如图所示:(3)21202000164050+⨯=人, 答:该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1 640人. 【考点】用样本估计总体,频数(率)分布表、,条形统计图. 22.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴90BAE ADF ∠=∠=︒,AB AD CD ==, ∵DE CF =, ∴AE DF =,在BAE △和ADF △中,AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BAE ADF ≅△△, ∴BE AF =;(2)解:由(1)得:BAE ADF ≅△△, ∴EBA FAD ∠=∠, ∴90GAE AEG ∠+∠=︒, ∴90AGE ∠=︒, ∵4AB =,1DE =, ∴3AE =,∴5BE ===,在Rt ABE △中,1122AB AE BE AG ⨯=⨯,∴431255AG ⨯==. 【解析】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴90BAE ADF ∠=∠=︒,AB AD CD ==, ∵DE CF =, ∴AE DF =,在BAE △和ADF △中,AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BAE ADF ≅△△, ∴BE AF =;(2)解:由(1)得:BAE ADF ≅△△, ∴EBA FAD ∠=∠, ∴90GAE AEG ∠+∠=︒, ∴90AGE ∠=︒, ∵4AB =,1DE =, ∴3AE =,∴5BE =,在Rt ABE △中,1122AB AE BE AG ⨯=⨯,∴431255AG ⨯==.【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,三角形面积公式. 23.【答案】解:(1)设增长率为x ,根据题意,得22(.4)122x +=,解得1 2.1x =-(舍去),20.110%x ==. 答:增长率为10%.(2)2.4210.12().662+=(万人).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次. 【解析】解:(1)设增长率为x ,根据题意,得22(.4)122x +=,解得1 2.1x =-(舍去),20.110%x ==. 答:增长率为10%.(2)2.4210.12().662+=(万人).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次. 【考点】一元二次方程的实际应用. 24.【答案】(1)①假 ②假 ③真(2)证明:如图1中,连接BD ,B 1D 1.图1∵111BCD B C D ∠=∠,且1111BC CDB C C D =, ∴111BCD B C D △△,∴111CDB C D B ∠=∠,111C B D CBD ∠=∠,∵111111AB BC CD A B B C C D ==, ∴1111BD AB B D A B =, ∵111ABC A B C ∠=∠, ∴111ABD A B D ∠=∠, ∴111ABD A B D △△,∴1111AD ABA D AB =,1A A ∠=∠,111ADB A D B ∠=∠, ∴11111111AB BC CD AD A B B C C D A D ===,111ADC A D C ∠=∠,1A A ∠=∠,111ABC A B C ∠=∠,111BCD B C D ∠=∠ ,∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似. (3)如图2中,图2∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似. ∴DE EF AE AB =, ∵EF OE OF =+, ∴DE OE OF AE AB+=, ∵EF AB CD ∥∥,∴DE OE AD AB =,DE OC OF AD AB AB ==, ∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+, ∴2DE DE AD AE =, ∵AD DE AE =+, ∴21DE AE AE =+, ∴2AE DE AE =+, ∴AE DE =, ∴121SS =. 【解析】(1)解:①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等. ②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例. ③两个大小不同的正方形相似,是真命题.故答案为假,假,真.(2)证明:如图1中,连接BD ,B 1D 1.图1∵111BCD B C D ∠=∠,且1111BC CDB C C D =, ∴111BCD B C D △△,∴111CDB C D B ∠=∠,111C B D CBD ∠=∠,∵111111AB BC CDA B B C C D ==, ∴1111BD AB B D A B =, ∵111ABC A B C ∠=∠, ∴111ABD A B D ∠=∠, ∴111ABD A B D △△,∴1111AD ABA D AB =,1A A ∠=∠,111ADB A D B ∠=∠, ∴11111111AB BC CD AD A B B C C D A D ===,111ADC A D C ∠=∠,1A A ∠=∠,111ABC A B C ∠=∠,111BCD B C D ∠=∠,∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似. (3)如图2中,图2∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似. ∴DE EF AE AB =, ∵EF OE OF =+, ∴DE OE OF AE AB+=, ∵EF AB CD ∥∥,∴DE OE AD AB =,DE OC OF AD AB AB ==, ∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+, ∴2DE DE AD AE =, ∵AD DE AE =+, ∴21DE AE AE =+, ∴2AE DE AE =+, ∴AE DE =, ∴121SS =. 【考点】相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质.25.【答案】解:(1)由题可知,抛物线解析式是:2221141()2y x x x =--+=-+-.∴2420201b c -=⎧⎨-=-⎩.∴6b =,2019c =.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是00(,)x y ,00,()x y --,代入解析式可得:200020002(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎪⎨-=---+-⎪⎩. ∴两式相加可得:2042020()20x c -+-=. ∴222020c x =+, ∴2020c >;(3)由(1)可知抛物线为2224121(1)y x x x =-+-=--+.∴1y ≤.∵0m n <<,当m x n ≤≤时,恰好121221m nm y n +++≤≤, ∴1112n y m+≤≤. ∴11y n m ≤≤. ∴11m≤,即1m ≥. ∴1m n ≤<.∵抛物线的对称轴是1x =,且开口向下, ∴当m x n ≤≤时,y 随x 的增大而减小. ∴当x m =时,2241y m m =-+-最大值. 当x n =时,2241y n n =-+-最小值.又11y n m ≤≤, ∴2212411241n n n m m m ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩①②.将①整理,得322410n n n -++=, 变形,得2()()()212110n n n n --+-=. ∴2121)(0()2n n n ---=. ∵1n >,∴22210n n --=.解得1n (舍去),2n =同理,由②得到:2121)(0()2m m m ---=. ∵1m n ≤<, ∴22210m m --=. 解得11m =,2m =(舍去),3m =(舍去). 综上所述,1m =,12n +=. 【解析】解:(1)由题可知,抛物线解析式是:2221141()2y x x x =--+=-+-.∴2420201b c -=⎧⎨-=-⎩. ∴6b =,2019c =.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是00(,)x y ,00,()x y --,代入解析式可得:200020002(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎪⎨-=---+-⎪⎩. ∴两式相加可得:2042020()20x c -+-=. ∴222020c x =+, ∴2020c >;(3)由(1)可知抛物线为2224121(1)y x x x =-+-=--+. ∴1y ≤.∵0m n <<,当m x n ≤≤时,恰好121221m nm y n +++≤≤, ∴1112n y m+≤≤. ∴11y n m ≤≤. ∴11m≤,即1m ≥. ∴1m n ≤<.∵抛物线的对称轴是1x =,且开口向下, ∴当m x n ≤≤时,y 随x 的增大而减小. ∴当x m =时,2241y m m =-+-最大值. 当x n =时,2241y n n =-+-最小值.又11y n m ≤≤, ∴2212411241n n n m m m⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩①②.将①整理,得322410n n n -++=, 变形,得2()()()212110n n n n --+-=. ∴2121)(0()2n n n ---=. ∵1n >,∴22210n n --=.解得112n =(舍去),212n =. 同理,由②得到:2121)(0()2m m m ---=. ∵1m n ≤<, ∴22210m m --=.解得11m =,2m =舍去),3m =(舍去). 综上所述,1m =,n =.【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,二次函数最值的意义,一元二次方程的解法. 26.【答案】解:(1)令260ax ax +=,60()ax x +=,∴0()6,A -;(2)①证明:如图,连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,∵P 过O 、A 、B 三点,B 为顶点,∴PM OA ⊥,90PBC BOM ∠+∠=︒, 又∵PC PB =,∴PCB PBC ∠=∠, ∵CE 为切线,∴90PCB ECD ∠+∠=︒, 又∵BDP CDE ∠=∠, ∴ECD COE ∠=∠, ∴CE DE =.②解:设OE m =,即0(),E m , 由切割线定理得:2CE OE AE =, ∴2(6())m t m m -=+,∴262t m t=+①,∵CAE CBD ∠=∠,CAE OBE ∠=∠,CBO EBO ∠=∠,由角平分线定理:BD ODBE OE=,tm -=,∴66tm t =--②,由①②得26626t tt t =+--, 整理得:218360t t ++=, ∴21836t t =--,∴211113616t OD OE t m t +-=--==. 【解析】解:(1)令260ax ax +=,60()ax x +=,∴0()6,A -;(2)①证明:如图,连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,∵P 过O 、A 、B 三点,B 为顶点,∴PM OA ⊥,90PBC BOM ∠+∠=︒, 又∵PC PB =, ∴PCB PBC ∠=∠, ∵CE 为切线,∴90PCB ECD ∠+∠=︒, 又∵BDP CDE ∠=∠, ∴ECD COE ∠=∠, ∴CE DE =.②解:设OE m =,即0(),E m , 由切割线定理得:2CE OE AE =, ∴2(6())m t m m -=+,∴262t m t=+①,∵CAE CBD ∠=∠,CAE OBE ∠=∠,CBO EBO ∠=∠,由角平分线定理:BD ODBE OE=,tm -=, ∴66tm t =--②,由①②得26626t tt t =+--, 整理得:218360t t ++=, ∴21836t t =--,∴211113616t OD OE t m t +-=--==. 【考点】二次函数图象与x 轴的交点坐标,切线的性质,等腰三角形的判定,切割线定理.。
2019年湖南长沙中考数学试题(解析版)_最新修正版
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{来源}2019年湖南长沙中考数学试卷 {适用范围:3. 九年级}{标题}2019年湖南省长沙市中考数学试卷考试时间:120分钟 满分:120分{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,合计36分. {题目}1.(2019年长沙T1)下列各数中,比﹣3小的数是( )A .﹣5B .﹣1C .0D .1{答案}A{解析}本题考查了有理数的大小比较,正数>0>负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小,由于135--->>,所以﹣5<﹣3<﹣1,因此本题选A .{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:有理数的大小比较} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2.(2019年长沙T2)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到2020年,长沙电网建设改造投资规模达到150****0000确保安全供用电需求数据150****0000科学记数法表示为( )A .15×109B .1.5×109C .1.5×1010D .0.15×1011{答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示一个绝对值较大的数,科学记数法就是把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤a <10,n 为整数),其具体步骤是:(1)确定a ,a 是整数位数只有一位的数;(2)确定n ;当原数的绝对值≥10时,n 为正整数,n 等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时,n 为负整数,n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零).150****0000=1.5×1010,因此本题选C . {分值}3{章节: [1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3.(2019年长沙T3)下列计算正确的是( )A .3a +2b =5abB .(a 3)2=a 6C .a 6÷a 3=a 2D .(a +b )2=a 2+b 2{答案}B{解析}本题考查了整式的运算,A 选项是整式的加法,其实质是合并同类项,3a 与2b 不是同类项,故不能相加;B 选项是幂的乘方,底数不变,指数相乘,故正确;C 选项是同底数幂的除法,底数不变,指数相减,故正确结果为a 4;D 选项是和的完全平方公式,展开口诀为:“首平方,尾平方,积的2倍夹中间”故正确结果为a 2+2ab +b 2.因此本题选B . {分值}3{章节: [1-14-2]乘法公式} {考点:整式加减} {考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的除法}{考点:完全平方公式}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4.(2019年长沙T4)下列事件中,是必然事件的是( )A.购买一张彩票,中奖B.射击运动员射击一次,命中靶心C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D.任意画一个三角形,其内角和是180°{答案}D{解析}本题考查了事件的分类,A、B、C选项都是随机事件;D选项是必然事件;因此本题选D.{分值}3{章节: [1-25-1-1]随机事件}{考点:事件的类型}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5.(2019年长沙T5)如图,平行线AB,CD被直线AE所截,∠1=80°,则∠2的度数是( )A.80°B.90°C.100°D.110°{答案}C{解析}本题考查了考查了对顶角的定义,平行线的性质,由对顶角的定义可得∠AED=∠1=80°,又因为AB∥CD,所以由两直线平行同旁内角互补可得:∠2=180°-∠AED=100°,因此本题选C.{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:对顶角、邻补角}{考点:两直线平行同旁内角互补}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}6.(2019年长沙T6)某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( ){答案}D{解析}本题考查了由三视图判断几何体,从正面看和侧面看都是三角形的只要D 选项,因此本题选D . {分值}3{章节: [1-29-2]三视图} {考点:由三视图判断几何体} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}7.(2019年长沙T7)在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中,11名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这11名同学成绩的( )A .平均数B .中位数C .众数D .方差{答案}B{解析}本题考查了中位数,中位数反映的是一组数据中等水平,要判断11名参赛同学中的小明是否进入前5名,只需比较自己的成绩与第6名的成绩即可.因此本题选B . {分值}3{章节: [1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}8.(2019年长沙T8)一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( )A .2πB .4πC .12πD .24π{答案}C{解析}本题考查了扇形的面积,由扇形的面积公式S =36061202⨯π=π12,因此本题选C .{分值}3{章节: [1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {{类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}9.(2019年长沙T9)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,分别以点A 和点B 为圆心,大于21AB 的长为半径作弧,两弧相交于M 、N 两点,作直线MN ,交BC 于点D ,连接AD ,则∠CAD的度数是( )A.20°B.30°C.45°D.60°{答案}B{解析}本题考查了垂直平分线的性质,等边对等角,三角形的外角,直角三角形两锐角互余,由垂直平分线的性质可知:AD=BD即由等边对等角得:∠DAB=∠B=30°,再由三角形的外角性质得∠ADC=∠DAB+∠B=60°,在Rt△ADC中,∠C=90°所以∠CAD=90°-∠ADC =90°-60°=30°,因此本题选B.{分值}3{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}{考点:直角三角形两锐角互余}{考点:三角形的外角}{考点:垂直平分线的性质}{考点:等边对等角}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}10.(2019年长沙T10)如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60n mile 的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是( )A.303n mile B.60 n mile C.120 n mile D.(30+303)n mile{答案}D{解析}本题考查了与方位角有关的解直角三角形,如图,在Rt△ACD中,由题意可知:AC=60,∠ACD =30°,∠ADC =90°,所以AD =21AC =30,CD =ACcos30°=60×23=303,在Rt△BCD 中,由题意可知:∠BCD =45°,∠BDC =90°,所以BD =CD =303,所以AB =30+303,因此本题选D .{分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形-方位角} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}11.(2019年长沙T11)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x 尺,绳子长为y 尺,则所列方程组正确的是( )A .⎩⎨⎧-=+=15.05.4x y x yB .⎩⎨⎧-=+=125.4x y x yC .⎩⎨⎧+=-=15.05.4x y x yD .⎩⎨⎧-=-=125.4x y x y{答案}A{解析}本题考查了从实际问题中抽象二元一次方程组模型,根据题意发现等量关系是解题的关键,由“用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺”可列方程为y =x +4.5,由“将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺”可列方程为0.5y =x -1,因此本题选A . {分值}3{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:简单的列二元一次方程组应用题} {类别:数学文化}{类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}12.(2019年长沙T12)如图,△ABC 中,AB =AC =10,tanA =2,BE ⊥AC 于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD +55BD 的最小值是( ) A .25B .45C .53D .10{答案}B{解析}本题考查了垂线的性质、正切、勾股定理,过点D 作DF ⊥AB 于点F ,由同角的余角相等得:∠BDF =∠A ,所以tan ∠BDF =tan ∠A =2即2=DFBF,∴55=BD DF 即DF =55BD ,∴CD +55BD =CD +DF ,由“垂线段最短”可知:当C 、D 、F 三点共线且CF ⊥AB 时,CD +DF 值最小,最小值即为CF 的长度.此时2=AFCF,设AF =x ,则CF =2x ,又因为AC =10,所以由勾股定理得x 2+4x 2=100,解得x =25,所以CF =45.{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:垂线的性质} {考点:勾股定理} {考点:正切}{考点:几何选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,合计18分.{题目}13.(2019年长沙T13)式子5-x 在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 .{答案}x≥5{解析}本题考查了二次根式有意义的条件,由二次根式有意义的条件可知:x -5≥0即x ≥5. {分值}3{章节:[1-16-1]二次根式}{考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}14.(2019年长沙T14)分解因式:am 2-9a = .{答案}a (m -3)(m +3){解析}本题考查了提公因式法因式分解和平方差因式分解,对一个多项式因式分解时,先观察式子特点,如果有公因式先提取公因式后利用公式进行因式分解,特别要注意:因式分解一定要彻底,分解到每一个多项式都不能再分解为止. {分值}3{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解-提公因式法} {考点:因式分解-平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}15.(2019年长沙T15)不等式组⎩⎨⎧≥+06301<-x x 的解集是 .{答案}﹣1≤x <2{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法,先分别解每一个不等式,再取每个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法:①借助数轴;②利用口诀“同大取大,同小取小,大小小大中间取,大大小小无解集”.解不等式x +1≥0得x ≥﹣1,解不等式3x -6<0得x <2,所以不等式组的解集为﹣1≤x <2. {分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}16.(2019年长沙T16)在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表:根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是 .{答案}0.4{解析}本题考查了用频率估计概率,当大量重复做某一试验时,某一事件发生的频率就会在某一数值附近摆动,这个数值就是概率.大量重复试验时,可以用频率估计概率. {分值}3{章节:[1-25-3]用频率估计概率} {考点:利用频率估计概率} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}17.(2019年长沙T17)如图,要测量池塘两岸相对的A ,B 两点间的距离,可以在池塘外选一点C ,连接AC ,BC ,分别取AC ,BC 的中点D ,E ,测得DE =50m ,则AB 的长是 m .{答案}100{解析}本题考查了三角形中位线的性质,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半,所以AB =2DE =100(m). {分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:三角形中位线} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}18.(2019年长沙T18)如图,函数y =xk(k 为常数,k>0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ,B 两点,点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧),直线AM 分别交x 轴,y 轴于C ,D 两点,连接BM 分别交x 轴,y 轴于点E ,F .现有以下四个结论:①△ODM 与△OCA 的面积相等;②若BM ⊥AM 于点M ,则∠MBA =30°;③若M 点的横坐标为1,△OAM 是等边三角形,则k =2+3;④若MF =52MB ,则MD =2MA .其中正确的结论的序号是(只填序号){答案}①③④{解析}本题考查了,,因此本题选. {分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:代数填空压轴} {类别:常考题} {难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共8个小题,合计66分.{题目}19.(2019年长沙T19)计算:︒-÷-⎪⎭⎫⎝⎛+--60cos 2362121{解析}本题考查了绝对值的意义、负指数的定义、二次根式的除法、特殊角的三角函数值.{答案}解: 原式=2+2-2-1=1 {分值}6{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:绝对值的意义} {考点:负指数的定义}{考点:二次根式的除法法则} {考点:特殊角的三角函数值}{题目}20.(2019年长沙T20)先化简,再求值:a a a a a a a -++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+22441113,其中a =3. {解析}本题考查了分式的混合运算,按照运算顺序依次计算,若有括号时,先算括号里的. {答案}解: 原式=()()22112+-⨯-+a a a a a =2+a a ,当a =3时,原式=233+=53. {分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}{考点:因式分解-提公因式法} {考点:因式分解-完全平方式} {考点:约分} {考点:通分}{考点:两个分式的加减} {考点:分式的混合运算}{题目}21.(2019年长沙T21)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.根据以上信息,解答下列问题:(1)本次调查随机抽取了名学生,表中m=,n=;(2)补全条形统计图;(3)若全校有2000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.{解析}本题考查了.{答案}解: (1)50;20;12;(2)(3)2000×(42%+40%)=1640(人),答:该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人.{分值}8{章节:[1-10-1]统计调查}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:频数与频率}{考点:统计表}{考点:条形统计图}{考点:用样本估计总体}{题目}22.(2019年长沙T22)如图,正方形ABCD,点E,F分别在边AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定SAS 、勾股定理、相似三角形的判定(两角相等)、相似三角形的性质.证明两条线段相等的问题,通常考虑这两条线段所在的三角形全等;求线段长度的问题,通常考虑由“相似(或勾股定理、锐角三角函数)”建立方程解之,体现了方程思想.{答案}解: (1)∵四边形ABCD 是正方形,DE =CF ,∴AB =AD =CD ,∠BAE =∠ADF =90°,AE =DF ,在△ABE 和△DAF 中,AB =AD ,∠BAE =∠ADF ,AE =DF ,∴△ABE ≌△DAF , ∴BE =AF .(2)∵AB =4,DE =1,∴AE =3,在Rt △BAE 中,由勾股定理得:BE =5,∵△ABE ≌△DAF ,∴∠EAG =∠EBA ,∵∠BAE =90°,∴∠EBA +∠AEB =90°,∴∠EAG +∠AEB =90°,即∠AGE =90°, 在△ABE 和△GAE 中,∠BAE =∠AGE =90°,∠BEA =∠AEG ,∴△ABE ∽△GAE , ∴BE AE AB AG =即534=AG , ∴AG =512. {分值}{章节:[1-18-2-3] 正方形}{难度:3-中等难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{考点:正方形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:勾股定理}{考点:相似三角形的判定(两角相等)}{考点:相似三角形的性质}{题目}23.(2019年长沙T23)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率,增长率问题只要通过审题弄清楚基础量a ,最终量b ,变化次数,套公式a(1+x)n =b 即可解决.{答案}解:(1)设增长率为x由题意得:2(1+x)2=2.42解得:x 1=0.1=10%,x 2=﹣2.1(舍)答:增长率为10%(2)2.42×(1+10%)=2.662(万人)答:按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次{分值}{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}{题目}24.(2019年长沙T24)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似;( 命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 命题)③两个大小不同的正方形相似.( 命题)(2)如图1,在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中,∠ABC =∠A 1B 1C 1,∠BCD =∠B 1C 1D 1, 111111D C CD C B BC B A AB ==.求证:四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似. (3)如图2,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF ∥AB 分别交AD ,BC 于点E ,F .记四边形ABFE 的面积为S 1,四边形EFCD 的面积为S 2,若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似,求12s s 的值. {解析}本题考查了命题真假的判断、相似三角形的判定(两边夹角)、相似三角形的性质、平行线分线段成比例.判断两个四边形是否相似,紧扣定义,分别证明四个角都相等,四条边都成比例.{答案}解:(1)假;假;真;(2)如图,分别连接BD 、B 1D 1,∵∠BCD =∠B 1C 1D 1,1111D C CD C B BC =,∴△BCD ∽△B 1C 1D 1,∴∠CBD =∠C 1B 1D 1,∠CDB =∠C 1D 1B 1,1111D B BD C B BC =, 又∵∠ABC =∠A 1B 1C 1,1111C B BC B A AB =∴∠AB D =∠A 1B 1D 1,1111D B BD B A AB =, ∴1111D A AD B A AB =,∠A D B =∠A 1D 1B 1,∠D AB =∠D 1A 1B 1, ∴11111111D A AD D C CD C B BC B A AB ===,∠ABC =∠A 1B 1C 1,∠BCD =∠B 1C 1D 1,∠A D C =∠A 1D 1C 1,∠D AB =∠D 1A 1B 1,∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.(3)∵四边形ABFE 与四边形EFCD 相似, ∴ABEF AE DE =, ∵EF =OE +OF ,∴AB OF OE AE DE +=, ∵EF ∥AB ∥CD , ∴AB OE AD DE =,ABOF AB OC AD DE ==, ∴ABOF AB OE AD DE AD DE +=+, ∴AE DF AD DE =2, ∵AD =DE +AE , ∴AEAE DE 12=+, ∴2AE =DE +AE ,即AE =DE , ∴121=S S {分值}{章节:[1-27-3]图形的相似}{难度:4-较高难度}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:平行线分线段成比例}{考点:相似三角形的判定(两边夹角)}{考点:相似三角形的性质}{考点:相似三角形的应用}{考点:相似多边形的性质}{题目}25.(2019年长沙T25)已知抛物线y =﹣2x 2+(b -2)x +(c -2020)(b ,c 为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b ,c 的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c 的取值范围;(3)在(1)的条件下,存在正实数m ,n(m<n),当m ≤x ≤n 时,恰好有122112+≤+≤+n n y m m ,求m ,n 的值.{解析}本题考查了抛物线与一元二次方程的关系、解一元二次方程.{答案}解:(1)由题可设:y =﹣2(x -1)2+1去括号得:y =﹣2x 2+4x -1∴⎩⎨⎧-=-=-1202042c b ,解得⎩⎨⎧==20196c b(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x 0,y 0),(﹣x 0,﹣y 0),代入解析式可得:()()()()⎩⎨⎧-+---=--+-+-=20202220202202000200c x b x y c x b x y ,∴两式相加可得:﹣4x 02+2(c -2020)=0,∴c =2x 02+2020,∴c ≥2020(3) 由(1)可知抛物线y =﹣2x 2+4x -1=﹣2(x -1)2+1,∴y ≤1,∵0<m <n ,当m ≤x ≤n 时,恰好有122112+≤+≤+n ny m m , ∴m y n 11≤≤, ∴11≤m 即m ≥1,∴1≤m ≤n ,∵抛物线对称轴x =1,开口向下,∴当m ≤x ≤n 时,y 随x 增大而减小,∴当x =m 时,y max =﹣2m 2+4m -1,当x =n 时,y max =﹣2n 2+4n -1, 又∵m y n 11≤≤ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-②①m m m nn n 1142114222,将①整理得:2n 3-4n 2+n +1=0,∴变形得:(2n 3-2n 2)-(2n 2-n -1)=0,即2n 2(n -1)-(2n +1)(n -1)=0,∴(n -1)(2n 2-2n -1)=0,∵n >1,∴2n 2-2n -1=0,∴n 1=231-(舍去),n 2=231+,同理整理②得:(m -1)(2m 2-2m -1)=0,∵1≤m <n ,∴m 1=1,m 2=231-(舍去),m 3=231+(舍去), ∴综上所述:m =1,n =231+. {分值}{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:常考题}{考点:二次函数y =a(x +h)2的图象}{考点:抛物线与一元二次方程的关系}{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程}{考点:其他二次函数综合题}{题目}26.(2019年长沙T26)如图,抛物线y =ax 2+6ax (a 为常数,a >0)与x 轴交于O ,A 两点,点B 为抛物线的顶点,点D 的坐标为(t ,0)(﹣3<t<0),连接BD 并延长与过O ,A ,B 三点的⊙P 相交于点C .(1)求点A 的坐标;(2)过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E .①如图1,求证CE =DE ,②如图2,连接AC ,BE ,BO ,当a =33,∠CAE =∠OBE 时,求OEOD 11-的值.{解析}本题考查了一元二次方程的解法、切线的判定、切割线定理、等角对等边,是一道二次函数与圆的综合性问题.{答案}解: (1)令ax 2+6ax =0,∴ax (x +6)=0,所以A(﹣6,0),(2)连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,∵⊙P 过O 、A 、B 三点,B 为顶点,∴PM ⊥OA ,∠PBC +∠BOM =90°,又∵PC =PB ,∴∠PCB =∠PBC ,∴CE 为切线,∴∠PCB +∠ECD =90°,又∵∠BDP =∠CDE ,∴∠ECD =∠CDE ,∴CE =DE(3)解:设OE =m ,即E(m ,0)由切割定理:CE 2=OE·AE(m -t)2=m(m +6)推出m =tt 262+① ∵∠CAE =∠CBD ,已知∠CAE =∠OBE ,∠CBO =∠EBO , 由角平分线定理:OE DO BE BD =即()()mt m t -=++++27327322推出m =66--t t ② 由①②得t t 262+=66--t t 推出t 2+18t +36=0, ∴t 2=﹣18t ﹣36,∴616311112=+-=--=-t t m t OE OD {分值}{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:易错题}{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程} {考点:切线的判定}{考点:切割线定理}{考点:等角对等边}{考点:二次函数与圆的综合}。
湖南省长沙市2019年中考数学试卷及参考答案
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2019年长沙中考数学测试卷一、选择题1.下列四个数中,最大的数是( )A.-2B.31C.0D.6 2.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2019年年底通车,通车后,从长沙到株洲只需24分钟,从长沙到湘潭只需25分钟,这条铁路线全长95500米,则数据95500用科学记数法表示为( )A .0.955×105 B. 9.55×105 C. 9.55×104 D . 9.5×1043.下列计算正确的是( )A .1052=⨯ B. x 8÷x 2=x 4 C. (2a )3=6a 3 D . 3a 3 · 2 a 2=6a 64.六边形的内角和是( )A .︒540 B. ︒720 C. ︒900 D . ︒3605.不等式组⎩⎨⎧<-≥-048512x x 的解集在数轴上表示为( )6.下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是( )7.若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是( )A .6 B. 3 C. 2 D . 118.若将点A (1,3)向左平移2个单位,再向下平移4个单位得到点B ,则点B 的坐标为( )A .(-2,-1) B. (-1,0) C. (-1,-1) D . (-2,0)9.下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )10.已知一组数据75, 80,85,90,则它的众数和中位数分别为( )A .75, 80 B. 80,85 C. 80,90 D . 80,8011.如图,热气球的探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为︒30,看这栋楼底部C 处的俯角为︒60,热气球A 处与楼的水平距离为120 m ,则这栋楼的高度为( )A .1603m B. 1203mC .300 mD . 1602m 12.已知抛物线y =ax 2+bx +c (b >a >0)与x 轴最多有一个交点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴在y 轴左侧;②关于x 的方程ax 2+bx +c=0无实数根;③a -b +c ≥0;④ab c b a -++的最小值为3.其中,正确结论的个数为( )A .1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题13.分解因式:x 2y -4y =____________.14.若关于x 的一元二次方程x 2-4x -m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是_________.15.如图,扇形OAB 的圆心角为120°,半径为3,则该扇形的弧长为_______.(结果保留π)16.如图,在⊙O 中,弦AB=6,圆心O 到AB 的距离OC=2,则⊙O 的半径长为_____________.17.如图,△ABC 中,AC=8,BC=5,AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ,交边AC 于点E ,则△BCE 的周长为______.15题图 16题图 17题图18.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是__________.三、解答题19.计算:4sin60°-︱- 2︳-12+(-1)201920.先化简,再求值:b a a -(a b 11-)+b a 1-.其中,a =2,b =31.21.为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水净·地绿的美丽长沙”的号召,我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种,为了更好的了解社情民意,工作人员在街道辖区范围内随即抽取了部分居民,进行“我最喜欢的一种树”的调查活动(每人限选其中一种树),并将调查结果整理后,绘制成下面两个不完整的统计图.请根据所给信息解答以下问题:(1)这次参与调查的居民人数为_______;(2)请将条形统计图补充完整;(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数;(4)已知该街道辖区内现有居民8万人,请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人?22.如图,AC是□ABCD的对角线,∠BAC=∠DAC.(1)求证:AB=BC;2,求□ABCD的面积.(2)若AB=2,AC=323.2019年5月6日,中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营,该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽,沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中,届时将会给乘客带来美的享受。
2019年湖南长沙中考数学试卷及答案
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【导语】⽆忧考中考频道⼩编提醒参加2019中考的所有考⽣,湖南长沙2019年中考将于6⽉中旬陆续开始举⾏,湖南长沙中考时间具体安排考⽣可点击进⼊“”栏⽬查询,请⼴⼤考⽣提前准备好准考证及考试需要的⽤品,然后顺顺利利参加本届初中学业⽔平考试,具体如下:为⽅便考⽣及时估分,⽆忧考中考频道将在本次中考结束后陆续公布2019年湖南长沙中考数学试卷及答案信息。
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中考科⽬语⽂、数学、英语、物理、化学、政治、历史、地理、⽣物、体育(各地区有所不同,具体以地区教育考试院公布为准。
)考试必读可以在中考前⼀天下午去考场看看,熟悉⼀下考场环境。
确定去考场的⽅式,是坐公共汽车、出租车还是骑⾃⾏车等;确定去考场的⾏车路线。
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中考数学⽆忧考为了能让⼴⼤考⽣及时⽅便获取湖南长沙中考数学试卷答案信息,特别整理了《2019湖南长沙中考数学试卷及答案》发布⼊⼝供⼴⼤考⽣查阅。
数学真题/答案[解析]专题推荐参加2019中考的考⽣可直接查阅各科2019年湖南长沙中考试题及答案信息!考试须知⼀、考⽣凭《准考证》(社会⼈员须持准考证及⾝份证)提前15分钟进⼊指定试室(英语科提前20分钟)对号⼊座,并将《准考证》放在桌⼦左上⾓,以便查对。
考⽣除带必要的⽂具,如2B铅笔、⿊⾊字迹的钢笔或签字笔、直尺、圆规、三⾓板、橡⽪外,禁⽌携带任何书籍、笔记、资料、报刊、草稿纸以及各种⽆线通讯⼯具(如寻呼机、移动电话)、电⼦笔记本等与考试⽆关的物品(数学科考试可带指定型号的计算器)。
【附20套名校中考真题】2019年湖南省长沙市中考数学试卷(word版,解析版)
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长沙市2019年中考数学试卷及答案(Word解析版)
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湖南省长沙市2019年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.12的倒数是()A、2B、-2C、1D、-12.下列几何体中,主视图、左视图、俯视图完全相同的是()=4+=6.(3分)(2019•长沙)如图,C、D是线段AB上的两点,且D是线段AC的中点,若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长为()AC=43m7.(3分)(2019•长沙)一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图,则该不等式组的解集是()8.(3分)(2019•长沙)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线BD的长是().9.(3分)(2019•长沙)下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转..==90=180=7210.(3分)(2019•长沙)函数y=与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()..y=y=二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分)11.(3分)(2019•长沙)如图,直线a∥b,直线c分别与a,b相交,若∠1=70°,则∠2=110度.12.(3分)(2019•长沙)抛物线y=3(x﹣2)2+5的顶点坐标是(2,5).13.(3分)(2019•长沙)如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOB=100°,则∠ACB=50度.ACB=∠AOB=×14.(3分)(2019•长沙)已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1,则k=2.15.(3分)(2019•长沙)100件外观相同的产品中有5件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,抽到不合格产品的概率是.件进行检测,抽到不合格产品的概率是:=故答案为:16.(3分)(2019•长沙)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是8,则△ABC的面积为18.=(=17.(3分)(2019•长沙)如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF=6.18.(3分)(2019•长沙)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),点B(﹣2,1),在x轴上存在点P到A,B两点的距离之和最小,则P点的坐标是(﹣1,0).的坐标代入得:.三、解答题(共2小题,每小题6分,共12分)19.(6分)(2019•长沙)计算:(﹣1)2019+﹣()﹣1+sin45°.20.(6分)(2019•长沙)先简化,再求值:(1+)+,其中x=3.••=.四、解答题(共2小题,每小题8分,共16分)21.(8分)(2019•长沙)某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动,将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图:请根据所给信息解答以下问题:(1)请补全条形统计图;(2)若全校有2000名同学,请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人?(3)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D,随机地摸出一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球,请用列表或画树形图的方法,求出恰好两次都摸到“A”的概率.××.22.(8分)(2019•长沙)如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点B落在点E 处,CE与AD相交于点O.(1)求证:△AOE≌△COD;(2)若∠OCD=30°,AB=,求△AOC的面积.,÷=2=××=五、解答题(共2小题,每小题9分,共18分)23.(9分)(2019•长沙)为建设“秀美幸福之市”,长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行,某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造,已知甲种树苗每棵200元,乙种树苗每棵300元.(1)若购买两种树苗的总金额为90000元,求需购买甲、乙两种树苗各多少棵?(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额,至少应购买甲种树苗多少棵?24.(9分)(2019•长沙)如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)求证:DE⊥AC;(2)若AB=3DE,求tan∠ACB的值.x=ACB=六、解答题(共2小题,每小题10分,共20分)25.(10分)(2019•长沙)在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(﹣1,﹣1),(0,0),(,),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2,m)是反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;(2)函数y=3kx+s﹣1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),且满足﹣2<x1<2,|x1﹣x2|=2,令t=b2﹣2b+,试求出t的取值范围.y=,,则(=42b+=.<,进而求出(y=≠x=,,时,,)k=,,(===.<>=,>26.(10分)(2019•长沙)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(,)两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2).(1)求a,b,c的值;(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;(3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.,进而与,±,x,,x r=r=>a PA=,PM=PN=PH=aAM=,,=时,=4a;=4(负数舍去)a2或2。
2019年中考数学真题分类 反比例函数 解答题(20题)精选(含答案)
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2019年中考数学真题分类 反比例函数 解答题(20题)精选1.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=xm 的图象在第二象限交于点B ,与x 轴交于点C ,点A 在y 轴上,满足条件:CA ⊥CB ,且CA=CB ,点C 的坐标为(-3,0),cos ∠ACO=33. (1)求反比例函数的表达式;(2)直接写出当x <0时,kx+b <xm 的解集.2.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=21x+5和y=-2x 的图象相交于点A ,反比例函数y=x k 的图象经过点A .(1)求反比例函数的表达式;(2)设一次函数y=21x+5的图象与反比例函数y=xk 的图象的另一个交点为B ,连接OB ,求△ABO 的面积.3.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(﹣1,n)、B(2,﹣1)两点,与y 轴相交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积;(3)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=上的两点,当x1<x2<0时,比较y2与y1的大小关系.4.如图,反比例函数和一次函数y=kx-1的图象相交于A(m,2m),B两点.(1)求一次函数的表达式;(2)求出点B的坐标,并根据图象直接写出满足不等式的x的取值范围.5.如图,已知一次函数y=﹣2x+8的图象与坐标轴交于A,B两点,并与反比例函数y=的图象相切于点C.(1)切点C的坐标是;(2)若点M为线段BC的中点,将一次函数y=﹣2x+8的图象向左平移m(m>0)个单位后,点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y=的图象上时,求k的值.6.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点,且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.(1)求一次函数的表达式;(2)求△AOB的面积;(3)写出不等式kx+b>﹣的解集.7.如图,菱形ABCD 的边AB 在x 轴上,点A 的坐标为(1,0),点D (4,4)在反比例函数y=x k (x >0)的图象上,直线y=32x+b 经过点C ,与y 轴交于点E ,连接AC ,AE . (1)求k ,b 的值;(2)求△ACE 的面积.8.如图,直线y=x 与双曲线y=xk (x >0)相交于点A ,且OA=2,将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B ,与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点.(1)求直线BC 的解析式及k 的值;(2)连结OB 、AB ,求△OAB 的面积.9.如图,已知一次函数y=kx+b与反比例函数y2=的图象在第一、第三象限分别交于A(3,4),B(a,1﹣2)两点,直线AB与y轴,x轴分别交于C,D两点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)比较大小:AD BC(填“>”或“<”或“=”);(3)直接写出y1<y2时x的取值范围.10.如图,▱ABCD中,顶点A的坐标是(0,2),AD∥x轴,BC交y轴于点E,顶点C的纵坐标是﹣4,▱ABCD的面积是24.反比例函数y=的图象经过点B和D,求:(1)反比例函数的表达式;(2)AB所在直线的函数表达式.11.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=.(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.12.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象相交于1第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点,与x轴交于点C.⑴求该反比例函数和一次函数的解析式;⑵在y轴上找一点P使PB-PC最大,求PB-PC的最大值及点P的坐标;⑶直接写出当y1>y2时,x的取值范围.13.如图,已知A(n,﹣2),B(﹣1,4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积.14.双曲线y=(k为常数,且k≠0)与直线y=﹣2x+b,交于A(﹣m,m﹣2),B(1,n)两点.(1)求k与b的值;(2)如图,直线AB交x轴于点C,交y轴于点D,若点E为CD的中点,求△BOE的面积.15.如图,点A(1.5,4),B(3,m)是直线AB与反比例函数y=(x>0)图象的两个交点,AC⊥x轴,垂足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.(1)求直线AB的表达式;(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1,S2.求S2﹣S1.16.如图,在▱OABC中,OA=2,∠AOC=45°,点C在y轴上,点D是BC的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A、D.(1)求k的值;(2)求点D的坐标.17.如图,在直角坐标系中,已知点B(4,0),等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=的图象上.(1)求反比例函数的表达式.(2)把△OAB向右平移a个单位长度,对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时,求a的值.18.如图,点A(2,n)和点D是反比例函数y=(m>0,x>0)图象上的两点,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C,过点D作DE⊥x轴,垂足为E,连接OA,OD.已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB:S△ODE=3:4.(1)S△OAB= ,m= ;(2)已知点P(6,0)在线段OE上,当∠PDE=∠CBO时,求点D的坐标.19.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在OA的廷长线上,BC⊥x轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD.(1)求该反比例函数的解析式;(2)若S△ACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长.20.如图,在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,边CD在x轴上,点B在y轴上,已知CD=2.(1)点A是否在该反比例函数的图象上?请说明理由;(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标;(3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上,试描述平移过程.参考答案1.解:2.解:(1)由A (-2,4),∵反比例函数y=xk 的图象经过点A ,∴k=-2×4=-8, ∴反比例函数的表达式是y=-x 8; (2)B (-8,1),由直线AB的解析式为y=0.5x+5得到直线与x轴的交点为(-10,0),∴S△AOB=15.3.解:4.解:5.解:(1)∵一次函数y=﹣2x+8的图象与反比例函数y=的图象相切于点C∴﹣2x+8=∴x=2,∴点C坐标为(2,4)故答案为:(2,4);(2)∵一次函数y=﹣2x+8的图象与坐标轴交于A,B两点,∴点B(4,0)∵点M为线段BC的中点,∴点M(3,2)∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为(2﹣m,4),(3﹣m,2)∴k=4(2﹣m)=2(3﹣m)∴m=1∴k=46.解:7.解:(1)由已知可得AD=5,∵菱形ABCD ,∴B (6,0),C (9,4),∵点D (4,4)在反比例函数y=xk (x >0)的图象上,∴k=16, 将点C (9,4)代入y=0.5x+b ,∴b=-2;(2)E (0,-2),直线y=32x-2与x 轴交点为(3,0), ∴S △AEC =6;8.解:9.解:10.解:11.解:12.解:13.解:14.解:解:解:(1)∵OA=2,∠AOC=45°,∴A(2,2),∴k=4,∴y=;(2)四边形OABC是平行四边形OABC,∴AB⊥x轴,∴B的横纵标为2,∵点D是BC的中点,∴D点的横坐标为1,∴D(1,4);17.解:18.解:19.解:20.解:。
2019年湖南中考真题数学试题 附考点分析和答案解析
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2019年湖南中考数学试题考试时间:90分钟;满分:120分(附考点分析、详细答案解析)一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,合计24分.1.-2019的绝对值是()A .2019B .-2019C .12019D .12019-2.下列运算结果正确的是()A .3x -2x =1B .x 3÷x 2=xC .x 3·x 2=x 6D .x 2+y 2=(x +y )23.下列立体图形中,俯视图不是圆的是()A .B .C .D .4.如图,已知BE 平分∠ABC ,且BE ∥DC ,若∠ABC =50°,则∠C 的度数是()A .20ºB .25ºC .30ºD .50º5.函数y x=中,自变量x 的取值范围是()A .x ≠0B .x ≥-2C .x >0D .x ≥-2且x ≠06.甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是21.2S =甲,2 1.1S =乙,20.6S =丙,20.9S =丁则射击成绩最稳定的是()A .甲B .乙C .丙D .丁7.下列命题是假命题...的是()A .平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形B .同角(或等角)的余角相等C .线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D .正方形的对角线相等,且互相垂直平分8.对于一个函数,自变量x 取a 时,函数值y 也等于a ,我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2,且x 1<1<x 2,则c 的取值范围是()A .c <-3B .c <-2C .14c <D .c <1二、填空题:本大题共8小题,每小题4分,合计32分.9.因式分解:ax -ay =.10.2018年12月26日,岳阳三荷机场完成首航.至此,岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成.机场以2020年为目标年,计划旅客年吞吐量为,600000人次.数据600000用科学记数法表示为.11.分别写有数字13,-1,0,π的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取一张,抽到无理数的概率是.12.若一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数为.13.分式方程121x x =+的解为x =.14.已知x -3=2,则代数式(x -3)2-2(x -3)+1的值为.15.我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”其意思为:今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺,问每日各织多少布?根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布尺.16.如图,AB 为⊙O 的直径,点P 为AB 延长线上的一点,过点P 作⊙O 的切线PE ,切点为M ,过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ,垂足分别为C 、D ,连接AM ,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①AM 平分∠CAB ;②AM 2=AC ·AB ;③若AB =4,∠APE =30°,则 BM的长为3π;④若AC =3,BD =1,则有CM =DM .三、解答题:本大题共8小题,合计64分.17.计算:01201911)2sin 30()(1)3--︒++-18.如图,在菱形ABCD 中,点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点,DE =DF .求证:∠1=∠2.19.如图,双曲线myx经过点P(2,1),且与直线y=kx-4(k<0)有两个不同的交点.(1)求m的值;(2)求k的取值范围.20.岳阳市整治农村“空心房”新模式,获评全国改革开放40年地方改革创新40案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地1200亩用于复耕和改造,其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩.(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩?(2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13,求休闲小广场总面积最多为多少亩?21.为了庆祝中华人民共和国成立70周年,某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛,某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分100分,得分为正整数且无满分,最低75分)分成五组,并绘制了下列不完整的统计图表.(1)表中m=,n=.(2)请在图中补全频数直方图;(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数,据此推测他的成绩落在分数段内;(4)选拔赛中,成绩在94.5分以上的选手,男生和女生各占一半,学校从中随机确定2名选手参加全市决赛,请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.22.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上,参考数据:sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.23.操作体验:如图,在矩形ABCD 中,点E 、F 分别在边AD 、BC 上,将矩形ABCD 沿直线EF折叠,使点D 恰好与点B 重合,点C 落在点C ′处.点P 为直线EF 上一动点(不与E 、F 重合),过点P 分别作直线BE 、BF 的垂线,垂足分别为点M 和点N ,以PM 、PN 为邻边构造平行四边形PMQN .(1)如图1,求证:BE =BF ;(2)特例感知:如图2,若DE =5,CF =2,当点P 在线段EF 上运动时,求平行四边形PMQN 的周长;(3)类比探究:若DE =a ,CF =b .①如图3,当点P 在线段EF 的延长线上运动时,试用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系,并证明;②如图4,当点P 在线段FE 的延长线上运动时,请直接用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系.(不要求写证明过程)24.如图1,△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1:21733y x x =+的图象上,点A 的横坐标为-4,点B 的纵坐标为-2.(点A 在点B 的左侧)(1)求点A 、B 的坐标;(2)将△AOB 绕点O 逆时针转90°得到△A ′OB ′,抛物线F 2:24y ax bx =++经过A ′、B ′两点,已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点,且点A ′恰好在以OM 为直径的圆上,连接OM 、A ′M ,求△OA ′M 的面积;(3)如图2,延长OB ′交抛物线F 2于点C ,连接A ′C ,在坐标轴上是否存在点D ,使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA′C相似.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】根据绝对值性质:一个负数的绝对值等于它的相反数,∴|-2019|=2019,因此本题选A.【考点】绝对值的性质2.【答案】B【解析】根据整式的运算性质,选项A :3x -2x =x ;选项B 正确;选项C :x 3·x 2=x 5;选项D :x 2+y 2=(x +y )2-2xy ,因此本题选B .【考点】合并同类项、整式加减、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、完全平方公式。
湖南省长沙市2019年中考数学实现试题研究反比例函数与几何图形结合题库
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反比例函数与几何图形结合1.如图,已知点A (5,0),B (0,5),把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内,使其斜边FD 在线段AB 上,三角尺可沿着线段AB 上下滑动,其中∠EFD =45°,ED =2,点G 为边FD 的中点.(1)求直线AB 的解析式;(2)如图,当点D 与点A 重合时,求经过点G 的反比例函数y =k x(k ≠0)的解析式; (3)在三角尺滑动的过程中,经过点G 的反比例函数的图象能否同时经过点F ?如果能,求出此时反比例函数的解析式;如果不能,请说明理由.解:(1)设直线AB 的解析式为y =ax +b ,把A 、B 的坐标分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5a +b =0b =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =5,∴直线AB 的解析式为y =-x +5; (2)∵A (5,0), ∴OA =5,当D 与A 重合时,则OE =OD -DE =5-2=3, ∵∠EFD =45°, ∴EF =DE =2, ∴F (3,2),D (5,0), ∵G 为DF 的中点, ∴G (4,1),∵点G 在y =kx图象上, ∴k =4×1=4,∴经过点G 的反比例函数的解析式为y =4x;(3)设F (t ,-t +5),则D 点横坐标为t +2,代入直线AB 的解析式可得y =-(t +2)+5=-t +3, ∴D (t +2,-t +3), ∵G 为DF 的中点, ∴G (t +1,-t +4),若反比例函数图象同时过G 、F 点,则可得t (-t +5)=(t +1)(-t +4), 解得t =2,此时F 点坐标为(2,3),设经过F 、G 的反比例函数解析式为y =s x,则s =2×3=6,∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ,其函数解析式为y =6x.2. 如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =m x的图象相交于点A (-2,1),点B (1,n ).(1)求此一次函数和反比例函数的解析式; (2)请直接写出满足不等式kx +b -m x<0的解集;第2题图(3)如图,在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG 的边均平行于坐标轴,若点E (-a ,a ),当曲线y =m x(x <0)与正方形EFDG 的边有交点时,求a 的取值范围. 解:(1)∵点A (-2,1)在反比例函数y =m x的图象上, ∴m =-2×1=-2,∴反比例函数的解析式为y =-2x;∵点B (1,n )在反比例函数y =-2x的图象上,∴-2=n ,即点B 的坐标为(1,-2).将点A (-2,1)、B (1,-2)分别代入y =kx +b 中得:212k b k b -=+⎧⎨=-+⎩,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-1b =-1, ∴一次函数的解析式为y =-x -1; (2)∵-x -1-(-2x )<0,∴-x -1<-2x,观察两函数图象,发现:当-2<x <0或x >1时,一次函数图象在反比例函数图象的下方,∴满足不等式kx +b -m x<0的解集为-2<x <0或x >1; (3)过点O 、E 作直线OE ,如解图所示.第2题解图∵点E 的坐标为(-a ,a ), ∴直线OE 的解析式为y =-x .∵四边形EFDG 是边长为1的正方形,且各边均平行于坐标轴, ∴点D 的坐标为(-a +1,a -1), 代入直线y =-x ,得:a -1=-(-a +1),∴点D 在直线OE 上.将y =-x 代入y =-2x(x <0)得:-x =-2x,即x 2=2,解得x =-2或x =2(舍去).∵曲线y =-2x(x <0)与正方形EFDG 的边有交点,∴-a ≤-2≤-a +1,解得2≤a ≤2+1.故当曲线y =m x(x <0)与正方形EFDG 的边有交点时,a 的取值范围为2≤a ≤2+1. 3. 如图,一次函数y =-x +b 与反比例函数y =k x(x >0)的图象交于点A (m ,3)和B (3,1).第3题图(1)填空:一次函数的解析式为________,反比例函数的解析式为________;(2)点P 是线段AB 上一点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D ,连接OP ,若△POD 的面积为S ,求S 的取值范围.解:(1)y =-x +4,y =3x;【解法提示】将B (3,1)分别代入y =-x +b 与y =k x中,解得b =4,k =3,则一次函数的解析式为y =-x +4,反比例函数的解析式为y =3x.(2) 由(1)得3=3m,∴m =1,则A 点坐标为(1,3).设P 点坐标为(a ,-a +4)(1≤a ≤3),则S =12OD ·PD =12a (-a +4)=-12(a -2)2+2,∵-12<0,∴当a =2时,S 有最大值,此时S =-12×(2-2)2+2=2;由二次函数的性质得,当a =1或3时,S 有最小值,此时S =-12×(1-2)2+2=32,∴S 的取值范围是32≤ S ≤2.4. 如图,矩形AOCB 的顶点B 在反比例函数y =k x(k >0,x >0)的图象上,且AB =3,BC =8.若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位长度的速度运动,同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位长度的速度运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点随之停止运动,设运动时间为t 秒.(1)求反比例函数的解析式;第4题图(2)当t =1时,在y 轴上是否存在点D ,使△DEF 的周长最小?若存在,请求出△DEF 的周长最小值;若不存在,请说明理由;(3)在双曲线上是否存在一点M ,使以点B 、E 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出满足条件的t 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由题可知点B 的坐标为(3,8),且点B 在y =k x上, ∴k =3×8=24,∴反比例函数的解析式为y =24x;(2)存在.t =1时,E (1,8),F (3,6),则EF =22,如解图,延长EA 使A ′E =EA ,连接DE ′,E ′F ,则E ′F =25,C △DEF =DE +DF +EF =22+DE ′+DF ≥22+E ′F =22+25,∴C △DEF min =22+25,此时点D 为E ′F 与y 轴的交点,第4题解图∵E ′(-1,8),F (3,6),设直线E ′F 的解析式为:y =kx +b ,则⎩⎪⎨⎪⎧-k +b =83k +b =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-12b =152,∴直线E ′F 的解析式为:y =-12x +152,∴此时D (0,152),即:y 轴上存在点D (0,152),使△DEF 的周长最小,且最小值为22+2 5.(3)存在,若四边形BEMF 为平行四边形,则有三种可能,已知E (t ,8),F (3,8-2t ),0<t ≤3.①BE ∥FM ,此时M 在F 右侧,M (248-2t ,8-2t ),又∵BE =FM ,∴3-t =248-2t -3,即t 2-10t +12=0,解得t 1=5-13,t 2=5+13(舍去). ②BF ∥EM ,此时M 在E 正上方,M (t ,24t),∵ME =BF ,∴24t-8=2t ,t 2+4t -12=0,解得t 1=2,t 2=-6(舍去).③EF ∥BM ,易知点M 一定不在反比例函数上, 故综上,t =2或5-13.5.在平面直角坐标系xOy 中,点B 在x 轴上,四边形OACB 为平行四边形,且∠AOB =60°,反比例函数y =k x(k >0)在第一象限内过点A ,且与BC 交于点F . (1)若OA =10,求反比例函数的解析式; (2)若F 为BC 的中点,且S △AOF =243,求OA 的第5题图长及点C 的坐标;(3)在(2)的条件下,在x 轴上是否存在一点P ,使得PF +PA 最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)如解图①,过点A 作AH ⊥OB 于H ,第5题解图①∵∠AOB =60°,OA =10,∴AH =OA ·sin ∠AOB =53,OH =OA ·cos ∠AOB =5, ∴点A 的坐标为(5,53), 将点A (5,53)代入y =kx,得 53=k5,解得k =253,∴反比例函数的解析式为y =253x;(2)如解图①,过点F 作FM ⊥x 轴于点M ,设OA =a (a >0), ∵∠AOB =60°, ∴AH =OA ·sin ∠AOB =32a ,OH =OA ·cos ∠AOB =12a , ∴S △AOH =12AH ·OH =12×32a ·12a =38a 2,∵S △AOF =243, ∴S ▱AOBC =2S △AOF =483, ∵F 为BC 的中点, ∴S △OBF =14S ▱AOBC =123,∵BF =12BC =12OA =12a ,∠FBM =∠AOB =60°,∴FM =BF ·sin ∠FBM =34a ,BM =BF ·cos ∠FBM =14a , ∴S △BMF =12FM ·BM =12×34a ·14a =332a 2,∴S △FOM =S △OBF +S △BMF =123+332a 2, ∵点A ,F 都在y =kx的图象上, ∴S △AOH =S △FOM , 即38a 2=123+332a 2, 解得a =82,∴OA =82,∴OH =42,AH =3OH =3×42=46, ∵S ▱AOBC =OB ·AH =483,即OB ·46=483,解得OB =62, ∴AC =OB =62,∴C (102,46);(3)存在.如解图②,作点F 关于x 轴的对称点F ′,连接AF ′交x 轴于点P ,此时PF +PA 最小,第5题解图②由(2)可知,A (42,46),FM =34a =26,BM =14a =22, ∴OM =62+22=82, ∴点F 的坐标为(82,26), ∴点F ′的坐标为(82,-26), 设直线AF ′的解析式为y =mx +n ,将点A (42,46),F ′(82,-26)代入,得⎩⎨⎧42m +n =4682m +n =-26, 解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-332n =106,∴y =-332x +106,令y =0,即-332x +106=0,解得x =2023,∴在x 轴上存在点P ,使得PF +PA 最小,点P 的坐标为(2023,0).6.如图,反比例函数y =m x(x >0)与一次函数y =kx +63交于点C (2,43),一次函数图象与两坐标轴分别交于点A 和点B ,动点P 从点A 出发,沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动;同时,动点Q 从点O 出发,沿OA 以相同的速度向点A 运动,运动时间为t 秒(0<t ≤6),以点P 为圆心,PA 为半径的⊙P 与AB 交于点M ,与OA 交于点N ,连接MN 、MQ .第6题图(1)求m 与k 的值;(2)当t 为何值时,点Q 与点N 重合;(3)若△MNQ 的面积为S ,试求S 与t 的函数关系式.解:(1)将C (2,43)代入y =m x中得,m =83,将(2,33)代入y =kx +63中得,2k +63=43, ∴k =-3;(2)由(1)知,k =-3,∴直线AB 的解析式为y =-3x +63, ∴A (6,0),B (0,63), ∴AB =12. ∵AM 是直径, ∴∠ANM =90°,∴∠ANM =∠AOB. 又∵∠MAN =∠BAO , ∴△MAN ∽△BAO , ∴AN AO =MN BO =AMAB.∵OQ =AP =t ,AM =2AP =2t ,OA =6,OB =63,AB =12∴AN 6=MN 63=2t 12, ∴AN =t ,MN =3t, ∴ON =OA -AN =6-t. ∵点Q 与点N 重合, ∴ON =OQ. 即6-t =t. ∴t =3;(3)①当0<t ≤3时,QN =OA -OQ -AN =6-2t, ∴S =12QN ·MN =12(6-2t )·3t =-3t 2+33t ;②当3<t ≤6时,QN =OQ +NA -OA =t +t -6=2t -6, ∴S =12QN ·MN =12(2t -6)·3t =3t 2-33t ,即:S =⎩⎨⎧-3t 2+33t (0<t ≤3)3t 2-33t (3<t ≤6).。
湖南省长沙市2019年中考数学实现试题研究二次函数与几何综合题题库
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二次函数与几何综合题1. 如图,抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,M 是直线BC 下方的抛物线上一动点.(1)求A 、B 、C 三点的坐标;(2)连接MO 、MC ,并把△MOC 沿CO 翻折,得到四边形MOM ′C ,那么是否存在点M ,使四边形MOM ′C 为菱形?若存在,求出此时点M 的坐标;若不存在,说明理由;(3)当点M 运动到什么位置时,四边形ABMC 的面积最大,并求出此时M 点的坐标和四边形ABMC 的最大面积.第1题图解:(1)令y =0,则12x 2-32x -2=0,解得x 1=4,x 2=-1, ∵点A 在点B 的左侧, ∴A (-1,0),B (4,0), 令x =0,则y =-2, ∴C (0,-2);第1题解图①(2)存在点M ,使四边形MOM ′C 为菱形.如解图①,连接MM ′,设M 点坐标为(x ,12x 2-32x -2)(0<x <4),∵四边形MOM ′C 是菱形, ∴MM ′垂直平分OC , ∵OC =2,∴M 点的纵坐标为-1, ∴12x 2-32x -2=-1, 解得x 1=3+172,x 2=3-172(不合题意,舍去),∴M 点的坐标为(3+172,-1);(3)如解图②,过点M 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ,与OB 交于点H ,连接CM 、BM 、AC ,设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0),第1题解图②将B (4,0),C (0,-2)代入,得⎩⎪⎨⎪⎧4k +b =0b =-2,解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴直线BC 的解析式为y =12x -2,设M (x ,12x 2-32x -2),0<x <4,则Q (x ,12x -2),∴QM =12x -2-(12x 2-32x -2)=-12x 2+2x ,∴S 四边形ABMC =S △ABC +S △CMQ +S △BQM =12AB ·OC +12QM ·OH +12QM ·HB =12AB ·OC +12QM ·(OH +HB )=12AB ·OC +12QM ·OB =12×5×2+12(-12x 2+2x )·4 =-x 2+4x +5 =-(x -2)2+9,∴当x =2时,四边形ABMC 的面积最大,且最大面积为9, 又∵当x =2时,y =12x 2-32x -2=-3,∴当M 点的坐标为(2,-3)时,四边形ABMC 的面积最大,且最大面积为9.2.如图,抛物线y =-x 2+bx +c 经过A (-1,0),B (3,0)两点,且与y 轴交于点C ,点D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ,连接BD . (1)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的函数表达式; (2)点P 是线段BD 上一点,当PE =PC 时,求点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,过点P 作PF ⊥x 轴于点F ,G 为抛物线上一动点,M 为x 轴上一动点,N 为直线PF 上一动点,当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时,请求出点M 的坐标.第2题图 备用图解:(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 经过A (-1,0),B (3,0)两点,∴⎩⎪⎨⎪⎧-1-b +c =0-9+3b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2c =3, ∴经过A ,B ,C 三点的抛物线的函数表达式为y =-x 2+2x +3; (2)如解图①,连接PC 、PE .∵-b 2a =-22×(-1)=1,当x =1时,y =-1+2+3=4; 当x =0时,y =3,∴点D 坐标为(1,4),点C 坐标为(0,3),第2题解图①设直线BD 的表达式为:y =mx +n ,将点B 、D 坐标分别代入,得⎩⎪⎨⎪⎧3m +n =0m +n =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-2n =6, ∴y =-2x +6,设点P 坐标为(x ,-2x +6),由勾股定理可得PC 2=x 2+(3+2x -6)2,PE 2=(x -1)2+(-2x +6)2, ∵PC =PE ,∴x 2+(3+2x -6)2=(x -1)2+(-2x +6)2, 解得x =2,则y =-2×2+6=2, ∴P 点坐标为(2,2);(3)依题意可设点M 坐标为(a ,0),则点G 坐标为(a ,-a 2+2a +3). 如解图②,以F 、M 、G 、N 为顶点的四边形是正方形时,必有FM =MG , |2-a |=|-a 2+2a +3|,第2题解图②(i )2-a =-(-a 2+2a +3),解得a =1±212;(ii )2-a =-a 2+2a +3,解得a =3±132,综上所述,M 点的坐标为(1-212,0)或(1+212,0)或(3-132,0)或(3+132,0).3.如图,已知二次函数y 1=-x 2+134x +c 的图象与x 轴的一个交点为A (4,0),与y 轴的交点为B ,过A 、B 的直线为y 2=kx +b .第3题图(1)求二次函数y 1的解析式及点B 的坐标; (2)由图象写出满足y 1<y 2的自变量x 的取值范围;(3)在两坐标轴上是否存在点P ,使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)∵点A (4,0)在抛物线y 1=-x 2+134x +c 上,∴-42+134×4+c =0,解得c =3,∴抛物线解析式为y 1=-x 2+134x +3,∵点B 是抛物线y 1与y 轴的交点, ∴点B 的坐标为(0,3);(2)由图象得直线在抛物线上方的部分是x <0或x >4,∴x <0或x >4时,y 1<y 2; (3)存在,直线y 2=kx +b 过点A (4,0),B (0,3),则⎩⎪⎨⎪⎧4k +b =0b =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-34b =3, ∴直线AB 的解析式为y =-34x +3,AB 的中点为(2,32),AB 的垂直平分线为y =43x -76,当x =0时,y =-76,P 1(0,-76),当y =0时,x =78,P 2(78,0),综上所述:P 1(0,-76),P 2(78,0),使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形.4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =-16x 2+bx +c 过点A (0,4)和C (8,0),P (t ,0)是x 轴正半轴上的一个动点,M 是线段AP 的中点,将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PB ,过点B 作x 轴的垂线,过点A 作y 轴的垂线,两直线交于点D . (1)求b 、c 的值;(2)当t 为何值时,点D 落在抛物线上;(3)是否存在t ,使得以A ,B ,D 为顶点的三角形与△AOP 相似?若存在,求此时t 的值;若不存在,请说明理由.第4题图解:(1)由抛物线y =-16x 2+bx +c 过点A (0,4)和C (8,0)可得,∴⎩⎪⎨⎪⎧c =4-16×64+8b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =56c =4.故b 的值为56,c 的值为4;(2)∵∠AOP =∠PEB =90°,∠OAP =∠EPB =90°-∠APO , ∴△AOP ∽△PEB ,则AO PE =APPB=2, ∵AO =4,P (t ,0),∴PE =2,OE =OP +PE =t +2, 又∵DE =OA =4,∴点D 的坐标为(t +2,4),∴点D 落在抛物线上时,有-16(t +2)2+56(t +2)+4=4,解得t =3或t =-2, ∵t >0, ∴t =3.故当t 为3时,点D 落在抛物线上; (3)存在,理由: 由(2)知△AOP ∽△PEB , 则OP BE =AP PB=2, ∵P (t ,0),即OP =t . ∴BE =t2.①当0<t <8时,若△POA ∽△ADB ,则PO AD =AO BD, 即tt +2=44-12t , 整理得t 2+16=0, ∴t 无解;若△POA ∽△BDA ,则PO BD =AO AD,即t4-12t =4t +2, 解得t 1=-2+25或t 2=-2-25(舍去); ②当t >8时,如解图. 若△POA ∽△ADB ,则PO AD =AO BD, 即tt +2=412t -4,第4题解图解得t 1=8+45或t 2=8-45(负值舍去); 若△POA ∽△BDA ,同理可得t 无解.综上可知,当t =-2+25或8+45时,以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似. 5.已知直线y =2x +m 与抛物线y =ax 2+ax +b 有一个公共点M (1,0),且a <b . (1)求抛物线顶点Q 的坐标(用含a 的代数式表示);(2)说明直线与抛物线有两个交点;(3)直线与抛物线的另一个交点记为N ,若-1≤a ≤-12,求线段MN 长度的取值范围.解:(1)∵抛物线过点M (1,0), ∴a +a +b =0,即b =-2a ,∵y =ax 2+ax +b =ax 2+ax -2a =a (x +12)2-9a 4,∴抛物线顶点Q 的坐标为(-12,-9a4);(2)∵直线y =2x +m 经过点M (1,0), ∴0=2×1+m ,解得m =-2,把y =2x -2代入y =ax 2+ax -2a ,得ax 2+(a -2)x -2a +2=0①, ∴Δ=(a -2)2-4a (-2a +2)=9a 2-12a +4, 又∵a <b ,b =-2a , ∴a <0,b >0, ∴Δ=9a 2-12a +4>0,∴方程①有两个不相等的实数根, ∴直线与抛物线有两个交点;(3)把y =2x -2代入y =ax 2+ax -2a ,得ax 2+(a -2)x -2a +2=0,即x 2+(1-2a )x -2+2a=0,∴[x +(12-1a )]2=(1a -32)2,解得x 1=1,x 2=2a -2,将x =2a -2代入y =2x -2得y =4a-6,∴点N (2a -2,4a-6),根据两点间的距离公式得,MN 2=[(2a -2)-1]2+(4a -6)2=20a 2-60a +45=20(1a -32)2,∵-1≤a ≤-12,则-2≤1a ≤-1,∴1a -32<0, ∴MN =25(32-1a )=35-25a,又∵-1≤a ≤-12,∴55≤MN ≤7 5.6.如图所示,直线l 1交直线l 2于y 轴上一点A (0,6),交x 轴于点C (8,0).l 2交x 轴于点B (-2,0),二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点A 、B 、C ,点P 是线段OC 上由O 向C 移动的动点,线段OP =t (1<t <8).第6题图(1)求直线l 1和二次函数的解析式;(2)设抛物线的对称轴与直线l 1相交于点M ,请在x 轴上求一点N ,使△AMN 的周长最小; (3)设点Q 是AC 上自点C 向点A 移动的一动点,且CQ =OP =t .若△PQC 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式;当△PQC 为等腰三角形时,请直接写出t 的值.解:(1)由点A (0,6)、C (8,0)得直线l 1为:y =-34x +6,将点A (0,6)、B (-2,0)、C (8,0)代入得:y =-38x 2+94x +6;(2)由(1)知:抛物线的对称轴为x =94-2×(-38)=3.∵抛物线的对称轴与直线l 1相交于点M ,将x =3代入l 1:y =-34x +6中得y =-34×3+6=154,∴点M (3,154),第6题解图①∵在△AMN 中,AM 的长为定值,若△AMN 的周长最小,那么 AN +MN 的值最小,如解图①,取点M 关于x 轴的对称点M ′,连接AM ′交x 轴于N , 则点M ′(3,-154),设直线AM ′的解析式为:y =kx +6, 则3k +6=-154,解得k =-134,∴直线AM ′为:y =-134x +6,当y =0时,x =2413,即 N (2413,0);(3)如解图②,过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ,则△AOC ∽△QEC ,第6题解图②∴QE AO =QC AC =CECO,在Rt △AOC 中,AO =6,OC =8,由勾股定理可得,AC =AO 2+OC 2=10, ∴QE =35QC =35t ,CE =45QC =45t , OE =OC -CE =8-45t ,∴Q (8-45t , 35t ),∵PC =OC -OP =8-t ,∴S =12PC ·QE =12×(8-t )×35t =-310t 2+125t (1<t <8);当△PQC 为等腰三角形时,t 1=6413,t 2=4013,t 3=4;【解法提示】PQ 2=(8-45t -t )2+(35t )2=185t 2-1445t +64,PC 2=(8-t )2=t 2-16t +64,CQ 2=t 2;当PQ =PC 时,185t 2-1445t +64=t 2-16t +64,解得t 1=0(舍去),t 2=6413;当PQ =CQ 时,185t 2-1445t +64=t 2,解得t 1=8(舍去),t 2=4013;当PC =CQ 时,t 2-16t +64=t 2, 解得t =4,∴当△PQC 为等腰三角形时,t 1=6413,t 2=4013,t 3=4.7.如图,直线y =x +2与抛物线y =x 2-2mx +m 2+m 交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C ,抛物线的顶点为D ,抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ,与x 轴交于点N .第7题图(1)若点P 为直线OD 上一动点,求△APB 的面积; (2)当四边形CODM 是菱形时,求点D 的坐标;(3)作点B 关于直线MD 的对称点B ′,以点M 为圆心,MD 为半径作⊙M ,点Q 是⊙M 上一动点,求QB ′+22QB 的最小值. 解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +2y =x 2-2mx +m 2+m , 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=m -1y 1=m +1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2=m +2y 2=m +4, ∵点A 在点B 的左侧,∴A (m -1,m +1),B (m +2,m +4),∴AB =[m -1-(m +2)]2+[(m +1)-(m +4)]2=3 2. ∵y =x 2-2mx +m 2+m =(x -m )2+m , ∴D (m ,m ),∴∠DON =∠COD =45°, ∴直线OD 的解析式为y =x .∵直线y =x +2与y 轴交于点C , ∴C (0,2). ∴OC =2,∵直线AB 的解析式为y =x +2, ∴AB ∥OD ,∴直线AB 与OD 之间的距离h =22OC =2, ∴S △APB =12AB ·h =12×32×2=3;(2)∵AB ∥OD ,OC ∥DM , ∴四边形CODM 是平行四边形, ∵四边形CODM 是菱形, ∴OD =OC .∴(2m )2=22,解得:m =±2,∴点D 的坐标为(2,2)或(-2,-2); (3)如解图,∵四边形CODM 是平行四边形,第7题解图∴MQ =MD =OC =2,∵A (m -1,m +1),B (m +2,m +4),抛物线对称轴为x =m , ∴点B 到对称轴的距离为m +2-m =2, 设直线MD 与⊙M 相交于另一点F , 连接BF ,∵直线AB 的解析式为y =x +2, ∴∠FMB =∠MBF =45°, ∴BF =MF =2,∠MFB =90°,∴MB =22,取MB 的中点E ,则ME =2, ∴ MQ 2=4=ME ·MB ,即MQ MB =ME MQ又∵∠QME =∠BMQ , ∴△QME ∽△BMQ , ∴QE QB =ME MQ =22, ∴QE =22QB , ∴QB ′+22QB 的最小值即为QB ′+QE 的最小值,即线段B ′E 的长, ∵点B 关于直线MD 的对称点为B ′, ∴∠B ′MF =∠BMF =45°,MB ′=MB =22, ∴∠B ′MB =90°,∴B ′E =B ′M 2+ME 2=8+2=10.8.如图①,抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (-1,0)、B (3,0)、点C 三点.(1)试求抛物线的解析式;(2)点D (2,m )在第一象限的抛物线上,连接BC 、BD .试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ,满足∠PBC =∠DBC ?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)如图②,在(2)的条件下,将△BOC 沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移,记平移后的三角形为△B ′O ′C ′在平移过程中,△B ′O ′C ′与△BCD 重叠的面积记为S ,设平移的时间为t 秒,试求S 与t 之间的函数关系式?第8题图解:(1)将A (-1,0)、B (3、0)代入抛物线y =ax 2+bx +3,⎩⎪⎨⎪⎧9a +3b +3=0a -b +3=0, 解得:a =-1,b =2. 故抛物线解析式为:y =-x 2+2x +3; (2)存在.理由如下:将点D (2,m )代入抛物线解析式得:m =3, ∴D (2,3), 当x =0时,y =3, ∴C (0,3), ∴OC =OB ,∴∠OCB =∠CBO =45°. 如解图①,设BP 交y 轴于点G ,第8题解图①∵CD ∥x 轴,∴∠DCB =∠CBO =45°, 在△CDB 和△CGB 中: ⎩⎪⎨⎪⎧∠DCB =∠CBO =∠OCB BC =BC∠PBC =∠DBC, ∴△CDB ≌△CGB (ASA), ∴CG =CD =2, ∴OG =1, ∴点G (0,1),设直线BP :y =kx +1(k ≠0),代入点B (3,0), ∴k =- 13,∴直线BP :y =-13 x +1,联立直线BP 和二次函数解析式:⎩⎪⎨⎪⎧y =-x 2+2x +3y =-13x +1, 解得:⎩⎪⎨⎪⎧x 1=-23y 1=119或⎩⎪⎨⎪⎧x 2=3y 2=0(舍),∴P (-23,119).(3)直线BC :y =-x +3,直线BD :y =-3x +9, 当0≤t ≤2时,如解图②:第8题解图②设直线C ′B ′ :y =-(x -t )+3,联立直线BD 和直线C ′ B ′:⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x +9y =-(x -t )+3 ,得F (6-t 2,3t2),S =S △BCD -S △CC ′E -S △C ′DF =12× 2×3 -12×t ×t -12×(2-t )(3-3t2),整理得:S =-54t 2+3t (0≤t ≤2).当2<t ≤3时,如解图③:第8题解图③H (t ,-3t +9),I (t ,-t +3),S =S △HIB =12[(-3t +9)-(-t +3)]×(3-t ),整理得:S =t 2-6t +9(2<t ≤3),当t >3时△B ′O ′C ′与△BCD 无重叠面积,故S =0,综上所述:S =⎩⎪⎨⎪⎧-45t 2+3t (0≤t ≤2)t 2-6t +9(2<t ≤3)0(t >3).。
2019年中考数学函数及其图象(反比例函数)专题(有答案)
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2019年中考数学函数及其图象(反比例函数)专题(有答案)一、单选题(共3题;共6分)1.验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表.根据表中数据,可得y关于x的函数表达式为()A. B. C. D.2.点(-1,4)在反比例函数y= 的图象上,则下列各点在此函数图象上的是( ).A. (4,-1)B. (,1)C. (-4,-1)D. (,2)3.已知某函数的图象C与函数y= 的图象关于直线y=2对称下列命题:①图象C与函数y= 的象交于点(,2);②(,-2)在图象C上;③图象C上的点的纵坐标都小于4;④A(x1,y1),B (x2,y2)是图象C上任意两点,若x1>x2,则y1-y2,其中真命题是()A. ①②B. ①③④C. ②③④D. ①②③④二、填空题(共4题;共4分)4.如图,矩形ABCD的顶点A,C都在曲线y= (常数k>0,x>0)上,若顶点D的坐标为(5,3),则直线BD的函数表达式是________.5.如图,已知在平面直角坐标系xoy中,直线分别交x轴,y轴于点A和点B,分别交反比例函数,的图象于点C和点D,过点C作CE⊥x轴于点E,连结OC,OD. 若△COE的面积与△DOB的面积相等,则k的值是________.6.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中点,DE与BC 交于点F。
若y= (k≠0)图象经过点C,且S△BEF=1,则k的值为________ 。
7.如图,过原点的直线与反比例函数y= (k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限点C在x轴正半轴上,连结AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连结DE.若AC=3DC,△ADE的面积为8,则k的值为________.三、解答题(共3题;共35分)8.如图,在直角坐标系中,已知点(4,0),等边三角形的顶点在反比例函数的图象上(1)求反比例函数的表达式.(2)把△向右平移个单位长度,对应得到△,当这个函数图象经过△一边的中点时,求的值.9.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时。
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反比例函数与几何图形结合1.如图,已知点A (5,0),B (0,5),把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内,使其斜边FD 在线段AB 上,三角尺可沿着线段AB 上下滑动,其中∠EFD =45°,ED =2,点G 为边FD 的中点.(1)求直线AB 的解析式;(2)如图,当点D 与点A 重合时,求经过点G 的反比例函数y =k x(k ≠0)的解析式; (3)在三角尺滑动的过程中,经过点G 的反比例函数的图象能否同时经过点F ?如果能,求出此时反比例函数的解析式;如果不能,请说明理由.解:(1)设直线AB 的解析式为y =ax +b ,把A 、B 的坐标分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5a +b =0b =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =5,∴直线AB 的解析式为y =-x +5; (2)∵A (5,0), ∴OA =5,当D 与A 重合时,则OE =OD -DE =5-2=3, ∵∠EFD =45°, ∴EF =DE =2, ∴F (3,2),D (5,0), ∵G 为DF 的中点, ∴G (4,1),∵点G 在y =kx图象上, ∴k =4×1=4,∴经过点G 的反比例函数的解析式为y =4x;(3)设F (t ,-t +5),则D 点横坐标为t +2,代入直线AB 的解析式可得y =-(t +2)+5=-t +3, ∴D (t +2,-t +3), ∵G 为DF 的中点, ∴G (t +1,-t +4),若反比例函数图象同时过G 、F 点,则可得t (-t +5)=(t +1)(-t +4), 解得t =2,此时F 点坐标为(2,3),设经过F 、G 的反比例函数解析式为y =s x,则s =2×3=6,∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ,其函数解析式为y =6x.2. 如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =m x的图象相交于点A (-2,1),点B (1,n ).(1)求此一次函数和反比例函数的解析式; (2)请直接写出满足不等式kx +b -m x<0的解集;第2题图(3)如图,在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG 的边均平行于坐标轴,若点E (-a ,a ),当曲线y =m x(x <0)与正方形EFDG 的边有交点时,求a 的取值范围. 解:(1)∵点A (-2,1)在反比例函数y =m x的图象上, ∴m =-2×1=-2,∴反比例函数的解析式为y =-2x;∵点B (1,n )在反比例函数y =-2x的图象上,∴-2=n ,即点B 的坐标为(1,-2).将点A (-2,1)、B (1,-2)分别代入y =kx +b 中得:212k b k b -=+⎧⎨=-+⎩,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-1b =-1, ∴一次函数的解析式为y =-x -1; (2)∵-x -1-(-2x )<0,∴-x -1<-2x,观察两函数图象,发现:当-2<x <0或x >1时,一次函数图象在反比例函数图象的下方,∴满足不等式kx +b -m x<0的解集为-2<x <0或x >1; (3)过点O 、E 作直线OE ,如解图所示.第2题解图∵点E 的坐标为(-a ,a ), ∴直线OE 的解析式为y =-x .∵四边形EFDG 是边长为1的正方形,且各边均平行于坐标轴, ∴点D 的坐标为(-a +1,a -1), 代入直线y =-x ,得:a -1=-(-a +1),∴点D 在直线OE 上.将y =-x 代入y =-2x(x <0)得:-x =-2x,即x 2=2,解得x =-2或x =2(舍去).∵曲线y =-2x(x <0)与正方形EFDG 的边有交点,∴-a ≤-2≤-a +1,解得2≤a ≤2+1.故当曲线y =m x(x <0)与正方形EFDG 的边有交点时,a 的取值范围为2≤a ≤2+1. 3. 如图,一次函数y =-x +b 与反比例函数y =k x(x >0)的图象交于点A (m ,3)和B (3,1).第3题图(1)填空:一次函数的解析式为________,反比例函数的解析式为________;(2)点P 是线段AB 上一点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D ,连接OP ,若△POD 的面积为S ,求S 的取值范围.解:(1)y =-x +4,y =3x;【解法提示】将B (3,1)分别代入y =-x +b 与y =k x中,解得b =4,k =3,则一次函数的解析式为y =-x +4,反比例函数的解析式为y =3x.(2) 由(1)得3=3m,∴m =1,则A 点坐标为(1,3).设P 点坐标为(a ,-a +4)(1≤a ≤3),则S =12OD ·PD =12a (-a +4)=-12(a -2)2+2,∵-12<0,∴当a =2时,S 有最大值,此时S =-12×(2-2)2+2=2;由二次函数的性质得,当a =1或3时,S 有最小值,此时S =-12×(1-2)2+2=32,∴S 的取值范围是32≤ S ≤2.4. 如图,矩形AOCB 的顶点B 在反比例函数y =k x(k >0,x >0)的图象上,且AB =3,BC =8.若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位长度的速度运动,同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位长度的速度运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点随之停止运动,设运动时间为t 秒.(1)求反比例函数的解析式;第4题图(2)当t =1时,在y 轴上是否存在点D ,使△DEF 的周长最小?若存在,请求出△DEF 的周长最小值;若不存在,请说明理由;(3)在双曲线上是否存在一点M ,使以点B 、E 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出满足条件的t 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由题可知点B 的坐标为(3,8),且点B 在y =k x上, ∴k =3×8=24,∴反比例函数的解析式为y =24x;(2)存在.t =1时,E (1,8),F (3,6),则EF =22,如解图,延长EA 使A ′E =EA ,连接DE ′,E ′F ,则E ′F =25,C △DEF =DE +DF +EF =22+DE ′+DF ≥22+E ′F =22+25,∴C △DEF min =22+25,此时点D 为E ′F 与y 轴的交点,第4题解图∵E ′(-1,8),F (3,6),设直线E ′F 的解析式为:y =kx +b ,则⎩⎪⎨⎪⎧-k +b =83k +b =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-12b =152,∴直线E ′F 的解析式为:y =-12x +152,∴此时D (0,152),即:y 轴上存在点D (0,152),使△DEF 的周长最小,且最小值为22+2 5.(3)存在,若四边形BEMF 为平行四边形,则有三种可能,已知E (t ,8),F (3,8-2t ),0<t ≤3.①BE ∥FM ,此时M 在F 右侧,M (248-2t ,8-2t ),又∵BE =FM ,∴3-t =248-2t -3,即t 2-10t +12=0,解得t 1=5-13,t 2=5+13(舍去). ②BF ∥EM ,此时M 在E 正上方,M (t ,24t),∵ME =BF ,∴24t-8=2t ,t 2+4t -12=0,解得t 1=2,t 2=-6(舍去).③EF ∥BM ,易知点M 一定不在反比例函数上, 故综上,t =2或5-13.5.在平面直角坐标系xOy 中,点B 在x 轴上,四边形OACB 为平行四边形,且∠AOB =60°,反比例函数y =k x(k >0)在第一象限内过点A ,且与BC 交于点F . (1)若OA =10,求反比例函数的解析式; (2)若F 为BC 的中点,且S △AOF =243,求OA 的第5题图长及点C 的坐标;(3)在(2)的条件下,在x 轴上是否存在一点P ,使得PF +PA 最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)如解图①,过点A 作AH ⊥OB 于H ,第5题解图①∵∠AOB =60°,OA =10,∴AH =OA ·sin ∠AOB =53,OH =OA ·cos ∠AOB =5, ∴点A 的坐标为(5,53), 将点A (5,53)代入y =kx,得 53=k5,解得k =253,∴反比例函数的解析式为y =253x;(2)如解图①,过点F 作FM ⊥x 轴于点M ,设OA =a (a >0), ∵∠AOB =60°, ∴AH =OA ·sin ∠AOB =32a ,OH =OA ·cos ∠AOB =12a , ∴S △AOH =12AH ·OH =12×32a ·12a =38a 2,∵S △AOF =243, ∴S ▱AOBC =2S △AOF =483, ∵F 为BC 的中点, ∴S △OBF =14S ▱AOBC =123,∵BF =12BC =12OA =12a ,∠FBM =∠AOB =60°,∴FM =BF ·sin ∠FBM =34a ,BM =BF ·cos ∠FBM =14a , ∴S △BMF =12FM ·BM =12×34a ·14a =332a 2,∴S △FOM =S △OBF +S △BMF =123+332a 2, ∵点A ,F 都在y =kx的图象上, ∴S △AOH =S △FOM , 即38a 2=123+332a 2, 解得a =82,∴OA =82,∴OH =42,AH =3OH =3×42=46, ∵S ▱AOBC =OB ·AH =483,即OB ·46=483,解得OB =62, ∴AC =OB =62,∴C (102,46);(3)存在.如解图②,作点F 关于x 轴的对称点F ′,连接AF ′交x 轴于点P ,此时PF +PA 最小,第5题解图②由(2)可知,A (42,46),FM =34a =26,BM =14a =22, ∴OM =62+22=82, ∴点F 的坐标为(82,26), ∴点F ′的坐标为(82,-26), 设直线AF ′的解析式为y =mx +n ,将点A (42,46),F ′(82,-26)代入,得⎩⎨⎧42m +n =4682m +n =-26, 解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-332n =106,∴y =-332x +106,令y =0,即-332x +106=0,解得x =2023,∴在x 轴上存在点P ,使得PF +PA 最小,点P 的坐标为(2023,0).6.如图,反比例函数y =m x(x >0)与一次函数y =kx +63交于点C (2,43),一次函数图象与两坐标轴分别交于点A 和点B ,动点P 从点A 出发,沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动;同时,动点Q 从点O 出发,沿OA 以相同的速度向点A 运动,运动时间为t 秒(0<t ≤6),以点P 为圆心,PA 为半径的⊙P 与AB 交于点M ,与OA 交于点N ,连接MN 、MQ .第6题图(1)求m 与k 的值;(2)当t 为何值时,点Q 与点N 重合;(3)若△MNQ 的面积为S ,试求S 与t 的函数关系式.解:(1)将C (2,43)代入y =m x中得,m =83,将(2,33)代入y =kx +63中得,2k +63=43, ∴k =-3;(2)由(1)知,k =-3,∴直线AB 的解析式为y =-3x +63, ∴A (6,0),B (0,63), ∴AB =12. ∵AM 是直径, ∴∠ANM =90°,∴∠ANM =∠AOB. 又∵∠MAN =∠BAO , ∴△MAN ∽△BAO , ∴AN AO =MN BO =AMAB.∵OQ =AP =t ,AM =2AP =2t ,OA =6,OB =63,AB =12∴AN 6=MN 63=2t 12, ∴AN =t ,MN =3t, ∴ON =OA -AN =6-t. ∵点Q 与点N 重合, ∴ON =OQ. 即6-t =t. ∴t =3;(3)①当0<t ≤3时,QN =OA -OQ -AN =6-2t, ∴S =12QN ·MN =12(6-2t )·3t =-3t 2+33t ;②当3<t ≤6时,QN =OQ +NA -OA =t +t -6=2t -6, ∴S =12QN ·MN =12(2t -6)·3t =3t 2-33t ,即:S =⎩⎨⎧-3t 2+33t (0<t ≤3)3t 2-33t (3<t ≤6).。