第二讲三角形内角和专题(二)

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三角形内角和定理(第二课时).5三角形内角和定理第2课时教学反思

教学反思
本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第二课时，学生在学习本节课之前，已经学习过平行线的判定定理和性质定理以及他们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨的推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础。

本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究和合作交流相结合、时间和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验。

本节课的设计目的是发展学生的逻辑推理能力，充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”，本节课外角的定义和有关外角的两个定理相对比较简单，因此本节课的重点和难点是定理的应用，从而发展学生的推理论证能力。

在整个教学中为了避免教学的单调性，编排了一题多解的训练，开拓了学生的思维，为发散性思维创设了情境，调动了学生的积极性。

一题多解由于对学生能力的预设不足，没预设到学生会利用平行线作同位角或者内错角把角进行转化，因此学生在展示时时间有点紧张，展示不够充分。

实物展台课前突然发现出现意外故障，导致上课时不能使用展台，因此做了细微调整，所以刚上课有点紧张，因此对学生的情绪有所影响，学生在本节课的表现不够活跃，课堂气氛调控的不够理想。

专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)

专题02 与三角形有关的角知识网络重难突破一、三角形的内角和等于180°1. 三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：①添加平行线： 22112211 ②折叠：332211③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．【答案】22.5°．【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，由题意得：x +3x ＝90，解得：x ＝22.5，∴较小的锐角是22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（）A ．130︒B ．120︒C ．65︒D ．100︒【答案】D【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF +∠AFE 的度数，再根据折叠的性质求出∠AED +∠AFD 的度数，然后根据平角等于180°解答．【解析】解：∵∠A =50°，∴∠AEF +∠AFE =180°-50°=130°，∵沿EF 向内折叠△AEF ，得△DEF ，∴∠AED +∠AFD =2（∠AEF +∠AFE ）=2×130°=260°，∴∠1+∠2=180°×2-260°=360°-260°=100°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．二. 直角三角形 ↔ 2个锐角互余直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形.典例1.（2020·利辛县启明中学八年级月考）在下列条件中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（） ①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④A B C ∠=∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①②③中∠C=90°，④能确定ABC 为等边三角形，从而得出结论．【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时ABC 为直角三角形，①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时ABC 为直角三角形，②符合题意；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，③符合题意；④∵∠A=∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴ABC为等边三角形，④不符合题意；综上可知：①②③能确定ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是结合三角形的内角和定理逐个分析4个条件．三、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°.等于（）典例1．（2021·湖南八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则DACA．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C【分析】根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．【解析】解：在△AFC中，由三角形外角性质可得：∠DAC=∠DFC+∠C=60°+45°=105°，故选C．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．典例2．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD ＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．典例3．（2020·山东八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．【答案】360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．四. 多边形的对角线1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线．典例1．观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．n 边形有______条对角线；（无需证明）（2）若一个多边形有35条对角线，这个多边形的边数是？【答案】见解析【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数；（2）设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解方程即可得出答案．【解析】解：()1观察图形可得：四边形的对角线的条数为：()43414222-⨯⨯==；五边形的对角线的条数为：()53525522-⨯⨯==；六边形的对角线的条数为：()63636922-⨯⨯==； ⋅⋅⋅依次类推：n 边形的对角线的条数为：()32n n -． ()2设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解得：110n =，27n =-（不合题意，舍去）.答：这个多边形的边数是10．【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．五. 多边形的内角和1. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2. n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．证明方法：分割成(n-2)个三角形求内角和3.正多边形的每个内角都相等，都等于n-°；(2)180n典例1．（2021·内蒙古包头市·八年级期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．不能确定【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：n边形的内角和是（n−2）•180°，n＋1边形的内角和是（n＋1−2）•180°＝（n−1）•180°，则（n−1）•180°−（n−2）•180°＝180°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．典例2．（2021·浙江八年级期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据n边形的内角和为(n-2)•180°得到(n-2)•180=540，然后解方程即可．【解析】解：设这个多边形的边数为n，∴(n-2)•180=540，∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)•180°．典例3．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．典例4．一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．典例5．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．【解析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．六. 多边形的外角和1. 多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；2. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；典例1．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（）A．96米B．128米C．160米D．192米【答案】B【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×16=128（米）．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．典例2．（2021·山东八年级期末）如图，1234∠+∠+∠+∠的度数为__________．【答案】360︒【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．【解析】解：由多边形的外角和定理知，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故答案是：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．典例3．（2021·河北八年级期末）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，对角线BF 的延长线与边DE 的延长线交于点M ，则M ∠的大小为__________．【答案】22.5︒【分析】利用正多边形的内角和公式与外角和公式结合题意即可求出45FEM ∠=︒，67.5EFB ∠=︒，再利用三角形外角性质即可求出M ∠．【解析】解：根据正八边形的性质可知360458FEM ︒∠==︒，180(82)1358EFG ︒⨯-∠==︒，由图可知1113567.522EFB EFG ∠=∠=⨯︒=︒， ∴67.54522.5M EFB FEM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和公式以及三角形外角的性质．掌握正多边形的内角和与外角和公式是解答本题的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·四川九年级一模）如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【解析】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【解析】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．3．（2020·涿州市实验中学八年级期中）下列说法中错误的是（）A ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ＝∠B ﹣∠C ，则△ABC 为直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝2∠C ，则△ABC 为直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】解：A 、在△ABC 中，因为∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，所以∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意．B 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ﹣∠C ，所以∠B ＝90°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． C 、在△ABC 中，因为∠A ＝12∠B ＝13∠C ，所以∠C ＝90°，∠B ＝60°，∠A ＝30°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． D 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ＝2∠C ，所以∠A ＝∠B ＝72°，∠C ＝36°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．4．（2021·陕西八年级期末）如图，已知12//l l ，45A ∠=︒， 2100∠=︒，则1∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．45°D ．60°【分析】依据12//l l ，得到1ABC ∠=∠，再根据45A ∠=︒，2100A ABC ，即可得到55ABC ∠=︒，可得出155ABC ．【解析】解：12//l l ，1ABC ∴∠=∠，又45A ∠=︒，2100A ABC ， 21004555ABC A ，155ABC故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．如图，1∠，2∠，3∠，4∠一定满足的关系式是（）A ．1234∠+∠=∠+∠B ．1243∠+∠=∠-∠C ．1423∠+∠=∠+∠D ．1423∠+∠=∠-∠【答案】D 【分析】根据外角的性质分别得到∠AEF =∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF ，从而推断出∠2–∠3=∠1+∠4．【解析】解：如图，在△BED 中，∠AEF =∠4+∠3，在△AEF 中，∠2=∠1+∠AEF ，∴∠2=∠1+∠4+∠3，即∠2–∠3=∠1+∠4，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据外角的性质得到∠AEF=∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF．6．（2021·浙江八年级期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（）A．5条B．4条C．3条D．2条【答案】C【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可．【解析】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．7．一个正多边形的一个内角是150 ，则这个正多边形的边数为（）A．2 B．3 C．9 D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．8．（2021·陕西八年级期末）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【解析】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．二、填空题9．（2020·辽宁七年级期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是____.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【解析】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．10．（第十三章相交线平行线（基础卷）-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为__．【答案】70°【分析】先由AB ∥MN 知∠A +∠ACN ＝180°，结合∠A 度数得出∠ACN 的度数，再由CB 平分∠ACN 知∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解析】解：∵AB ∥MN ，∴∠A +∠ACN ＝180°，又∵∠A ＝40°，∴∠ACN ＝180°﹣∠A ＝140°，∵CB 平分∠ACN ，∴∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了与平行线有关的三角形内角和问题，结合角平分线的性质求解是解题的关键．11．（2020·山西八年级期末）边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【解析】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．12．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案．【解析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<， ∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．【答案】10．【分析】根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．【解析】一个多边形的每一个内角都是144︒ ∴它的每一个外角都是18014436︒-︒=︒．多边形的外角和为360︒∴边数等于角的个数3603610=︒÷︒=．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，正多边形的特点，通过外角解决问题是解题的关键．14．（2021·上海奉贤区·八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．【答案】八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【解析】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.15．若正多边形的一个外角为40︒，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有________条．【答案】6【分析】根据多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再根据从多边形的一个顶点出发可作的对角线为（n -3）条可求解．【解析】解：∵多边形的外角和为360︒，∴360409︒÷︒=；从它的一个顶点出发，可以引出936-=条对角线．【点睛】本题主要考查多边形的外角和对角线，掌握定理是解题的关键．16．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）如图，小张从P 点向西直走10米后，向左转，转动的角度为α，再走10米，如此重复，小林共走了100米回到点P ，则α的值是___________．【答案】36°【分析】根据题意可先确定出该多边形的边数，再利用外角和求解即可．【解析】由题可知，小张全程下来走了一个正多边形，且边数1001010n ==， ∴根据多边形的外角和定理可求得：3603610α︒==︒，故答案为：36°．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，根据题意准确判断多边形的边数是解题关键．三、解答题17．在一个直角三角形中，如果两个锐角度数之比为2:3，那么这两个锐角为多少度？【答案】见解析【分析】根据比例设两个锐角度数分别为2k ，3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解析】解：设两个锐角度数分别为2k ，3k ，由题意得，2390k k +=，解得18k =，所以，236k =，354k =，故这两个锐角分别为36°，54°【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用“设k 法”表示出这两个锐角求解更简便．18．四边形ABCD 中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数．【答案】见解析【分析】设四个内角度数分别是x °，2x °，3x °，4x °，由多边形内角和公式可得：x +2x +3x +4x =180（4-2），再解方程即可得到答案．【解析】解：设四个内角度数分别是,2,3,x x x 4x ，根据题意得：()23442180x x x x +++=-⨯，解得：36x =，272,3108,4144x x x === .答：四边形的四个内角的度数分别为：36，72，108，144 ．【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：()2180n -⨯︒（3n ≥，且n 为整数）．。

新人教版数学八年级上册小专题(二) 三角形内角和与外角的几种常见应用

小专题( 二)三角形内角和与外角的几种常见应用三角形的内角和为180°,三角形的中线、高线、角平分线是三角形的三条特殊线段,它们之间形成的特殊角与三角形的内角之间存在一定的数量关系,是考试命题中的热点,也是一些探究题的命题素材.解题时注意利用转化的思想和数形结合的思想来求解,学习时注意及时总结规律.类型1三角形内角和定理的应用三角形内角和定理的应用一般都需要将不相邻的角转化成同一个三角形中的内角,在解题时要关注“8字形”中对顶角相等的关系.1.( 青海中考)小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起,其中∠E=90°,∠C=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠1+∠2等于( C)A.150°B.180°C.210°D.270°2.已知在△ABC中,∠ABC-∠ACB=20°,∠ACB的度数是∠BAC度数的求∠ABC的度数.解:设∠ACB=x,则∠ABC=x+20°,∠BAC=2x,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴x+20°+x+2x=180°,解得x=40°,∴∠ABC=60°.类型2三角形外角性质定理的应用三角形外角性质定理的应用也需要用到“转化”思想去解题,在解题时运用恰当可以达到事半功倍的效果,难点在于在众多的三角形中正确找出某个三角形的外角并灵活运用转化思想解题.3.如图,图中x的值为( B)A.50B.60C.70D.754.如图,直线a∥b,c,d是截线且交于点A,若∠1=60°,∠2=100°,则∠A等于( A)A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图,EP平分∠AED,FP平分∠AFB,ED与FB相交于点C,请你找出∠P,∠A,∠ECF之间的一个确定的数量关系式,并说明理由.解:∠A+∠ECF=2∠P.理由:延长EP交AF于点G,则∠EPF=∠PGF+∠AFP.∵∠PGF=∠A+∠AEP,∴∠EPF=∠A+∠AEP+∠AFP.∵∠ECF=∠CDF+∠CFD,∠CDF=∠A+∠AED,又∵EP平分∠AED,FP平分∠AFB,∴∠ECF=∠A+∠AED+∠CFD=∠A+2∠AEP+2∠AFP,∴∠A+∠ECF=2∠A+2∠AEP+2∠AFP=2∠EPF.类型3三角形内角和与外角性质定理的综合应用这类题一般都是不规则的多边形,解决此类问题除了运用前面介绍的转化思想之外,还可以借助辅助线,结合平行线的性质等知识综合解决问题.6.已知三角形的三个内角的比为1∶3∶6,则它对应的三个外角的比为( C)A.1∶3∶6B.6∶3∶1C.9∶7∶4D.3∶5∶27.如图,七角星中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°.8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上任意一点,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED. ( 1 )若∠BAD=40°,求∠EDC的度数;( 2 )若∠EDC=15°,求∠BAD的度数;( 3 )根据上述两小题的答案,试写出∠EDC与∠BAD的关系.解:( 1 )∵∠B=∠C=( 180°-∠BAC)=90°-BAC,∴∠ADC=∠B+∠BAD=130°-BAC.∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=∠BAC-40°,∴∠ADE=∠AED=( 180°-∠DAC)=110°-BAC,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=130°-BAC--=20°.( 2 )∵∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=2∠EDC+∠C.∵∠B=∠C,∠EDC=15°,∴∠BAD=2∠EDC=30°.( 3 )∠EDC=BAD.类型4三角形特殊线段形成的角解决这类题的关键在于梳理三种特殊线段各自的特征.( 1 )角平分线的特征:所分成的两个角相等;( 2 )中线的特征:所分成的两个三角形面积相等;( 3 )高线的特征:所分成的两个三角形都是直角三角形.9.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角∠ACM的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P等于( C)A.70°B.80°C.90°D.100°10.如图,已知AD是△ABC的角平分线( ∠ACB>∠B),EF⊥AD于点P,交BC的延长线于点M.求证:( 1 )如果∠ACB=90°,则∠M=∠1;( 2 )∠M=( ∠ACB-∠B).证明:( 1 )∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2.∵EF⊥AD,∴∠2+∠AFP=90°.∵∠ACB=90°,∴∠M+∠CFM=90°.∵∠CFM=∠AFP,∴∠M=∠2=∠1.( 2 )∵EF⊥AD,AD平分∠BAC,∴∠APE=∠APF=90°,∠1=∠2.又∵∠AEF=90°-∠1,∠AFE=90°-∠2,∴∠AEF=∠AFE.∵∠CFM=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE=∠CFM.∵∠AEF=∠B+∠M,∠CFM=∠ACB-∠M,∴∠B+∠M=∠ACB-∠M,即∠M=( ∠ACB-∠B).11.在△ABC中,∠A=64°,角平分线BP,CP相交于点P.( 1 )如图1,若BP,CP是两内角的平分线,则∠BPC=122°;( 2 )如图2,若BP,CP是两外角的平分线,则∠BPC=58°;( 3 )如图3,若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则∠BPC=32°;( 4 )由( 1 )( 2 )( 3 )可知∠BPC与∠A有着密切的数量关系,请写出你的发现.解:( 4 )若BP,CP是两内角的平分线,则∠BPC=90°+A;若BP,CP是两外角的平分线,则∠BPC=90°-A;若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则∠BPC= A.。

三角形内外角和

第二讲：三角形内角和、外角和【知识要点】1．三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.2．直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角．(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．4.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．5．三角形外角和(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.【注意】1 ①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．2外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角。

三角形内角和专题

三角形内角和专题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二讲三角形内角和专题基础回顾1．如图，△ABC中，BD是角平分线，CE是高，BD、CE相交于点F，∠BCE=2∠ACE，∠BFC=120°，求∠ABF及∠A的度数．2．如图，已知：AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，ED//AC，若∠BAE=36°，求∠BED的度数．3．如图，△ABC中，∠A=∠ACB，CD平分∠ACB，CE⊥AB交AB的延长线于点E。

若∠l：∠DCE=2：3，求∠A的度数．4．如下两图是一幅三角板叠放在一起，求α．5．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°．将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠l=20°，则∠2的度数是．6．如图，∠B一∠C=30°，AD为高，AE为角平分线，求∠DAE．7．如图，△ABC三条角平分线相交于0，OF⊥BC，∠BOD=40°，求∠COE。

二、与平行线结合8．如图，点E在CA延长线，DE、AB交于F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C．(1)说明AB与CD的位置关系，并予以证明；(2) ∠EAF、∠BDF的平分线交于G，∠EDC=40°，求∠G．9．如图，AB//CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E．(1)求证：PA⊥PC；(2)当E、M在AB、CD上运动时，求∠3+∠4-∠l-∠2的值．10．如图，AB//CD，∠AEC=90°．(1)当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC；(2)移动直角顶点E点，如图，∠MCE=∠ECD，当E点转动时，问∠BAE与∠MCG是否存在确定的数量关系，并证明．三、基本图形变式11．如图AC平分∠0AB，BD平分△AB0的一个外角，AD⊥BD于D点，求∠CAD．12．如图PA、PB分别平分△AOB的两个外角，AE⊥PB，求∠PAE．13．如图BD平分∠OBC，AD平分∠OAC，∠C=80°，求∠D的大小．14．如图x轴、y轴分别平分∠DBC、∠EAD，求∠AED+∠BCD的值．问题探究15．平面直角坐标系中，0P 平分∠x0y ，B 为y 轴上一点，D 为第四象限内一点，BD 交x 轴于C ，过D 作DE//0P 交x 轴于点E ，CA 平分∠BCE 交0P 于A ．(1)若∠D=75°，如图l ，求∠OAC 的度数；(2)若AC 、ED 的延长线交于F ，如图2，则∠F 与∠0BC 是否具有确定的相等关系请写出这种关系，并证明你的结论；(3) ∠BDE 的平分线交OP 于G ，交直线AC 于M ，如图3，以下两个结论：①∠GMA=∠GAM ； ②2OGD OED OAC ∠-∠∠为定值，其中只有一个结论是正确的，请确定正确的结论，并给出证明．16．如图在平面直角坐标系中，AB 交y 轴于点C ，连结OB ．(1)A(-2，0)，B(2，4)，求△AOB 的面积及点C 的坐标；(2)点D 在x 轴上，∠0BD=∠OBC ，求BDA BAD BOC∠-∠∠的值； (3)BM ⊥x 轴于点M ，N 在y 轴上，∠MNB=∠MBN ，点P 在x 轴上，∠MNP=∠MPN ，求∠BNP 的度数．。

三角形的内角和(第二课时)

A4
(1)
例、已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为 1︰3，求它们的边数分别是多少？
解:设它们的边数分别是x,y.由题意得： 180+（ y -2）· 180=1440 （x-2）· x : y=1 : 3 解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是3和9。
练兵场 (试试你的身手！）
三角形的内角和（二）
观察下列图案
由这图形你抽象出什么几何图形？
三角形
由这图形你抽象出什么几何图形？
长方形
由这图形你抽象出什么几何图形？
四边形
由这图形你抽象出什么几何图形？
六边形
由这图形你抽象出什么几何图形？
八边形
学习目标
1、探索多边形的内角和公式，并能运用公式解决简单的问题。 2、经历观察、操作、归纳、推理等数学活动，发展推理能力和有条理的表达能力。 3、通过不同方法探索多边形内角和公式，激发学生学习热情和学习的积极性。
（1）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，那么这个四边形中最大角的度数是 144° 。（2）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是n°，则n= 135°。（3）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是 120° 。（4）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B 与∠D有什么关系呢？为什么？
说一说
长方形的内角和是多少？为什么？
A D B C
（1）四边形ABCD的内角和是多少？（2）你是怎样求的？
D E C
1 .从顶点A可以画几条对角线？分别是哪几条？ 2. 这样五边形被分成了几个三角形？ 3. 五边形的内角和是多少度？
A
B

《三角形内角和定理》第2课时示范公开课教学课件【北师大数学八年级上册】

△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如图，∠1是△ABC的∠ABC的外角. 想一想：一个三角形的外角应具备哪些条件呢？
归纳
三角形的外角应具备的条件：
(1)角的顶点是三角形的顶点； (2)角的一边是三角形的一边； (3)另一边是三角形中一边的延长线.
要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)， ∠B=∠C (已知)， ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
2．如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于 ( ) A.26° B.63°C.37° D.60°
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=91°，∴ ∠BFC=119°.
解：
F
A
C
D
E
B
三角形内角和定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角. 注意：每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
教科书第183页习题7.7 第2、3题
三角形内角和定理第2课时
准备好了吗？一起去探索吧！
三角形内角和定理
1.了解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个定理.2.能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识.

专题02 与三角形有关的角(原卷版)

ABCD专题02 与三角形有关的角专题探究考点一三角形的内角与外角【知识点睛】❖三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，❖推论：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和三角形的外角和=360°❖应用：1.三角形内角和定理在求角度时，只要知道任意两个内角的度数，就可以求第三个角的度数2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，亦有角相等❖飞镖模型：【类题训练】1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．50°2．根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（）①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下面说法正确的个数是（）（1）三角形中最小的内角不能大于60°；（2）三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；（3）三角形任意两个内角的和大于第三个内角；（4）直角三角形只有一条高；如图，有：CBAADC∠+∠+∠=∠（5）在同圆中任意两条直径都相互平分；（6）三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边．A．5个B．4个C．3个D．2个4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°5．如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是°．6．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°8．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的三个外角度数的比为4：5：6，则∠A＝（）A．96°B．84°C．48°D．24°10．2022年2月8日上午，谷爱凌在女子滑雪大跳台决赛中，获得了北京冬奥会雪上项目的首金．如图所示，大跳台的∠B＝35°，∠C＝y°，∠BAD＝x°，请找出y与x的关系式（）A．y＝145﹣x B．y＝x﹣35C．y＝x+55D．y＝x+3511．一副三角板如图放置，则∠1+∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．13．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．14．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是．15．如图，在△ABC中，AD是BAC的平分线，EF∥AD，交BC于E、AB于F、CA的延长线于G，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠G的度数．16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度数；（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．17．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度数；（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度数．18．（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝42°，①求∠CAB的度数；②求∠CAP的度数．考点二直角三角形的角【知识点睛】❖性质：直角三角形内角两锐角互余判定：两个内角互余的三角形是直角三角形【类题训练】1．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（）度．A．45B．60C．75D．1052．若一个三角形的三个内角的度数之比为1：3：4，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．70°D．90°4．在Rt△ABC中，BC是斜边，∠B＝35°，则∠C＝（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41°B．42°C．43°D．44°6．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A．45°B．45°或135°C．45°或125°D．135°7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点F是△ABC外的一点，∠CBE是△ABC的外角，∠CAF＝2∠F AB，∠CBF＝2∠FBE，则∠F＝．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E 处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是．9．如图，点A是射线BC外一点，连接AB，AB＝5cm，点A到BC的距离为3cm．动点P 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为秒时，△ABP为直角三角形．10.如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝40°，（1）当∠A＝时，△AOP为直角三角形；（2）当∠A满足时，△AOP为钝角三角形．11．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．（1）求∠ACE的度数．（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．13．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由；（2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）（3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D．①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是（填写序号），并说明理由；②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数．。

三角形内角和定理(第二课时).5三角形内角和定理第2课时教学设计

2016年西安市太元路学校“一师一优课、一课一名师”教学设计授课年级：八年级（上）教材版本：北师大版课题名称：三角形内角和定理（第二课时）授课教师：王倩工作单位：西安市太元路学校数学八年级上北师大版第七章第五节《三角形内角和定理》教学设计西安市太元路学校王倩课型新授课课时第二课时一、教材分析本节课是北师大版八年级上册第七章第5节的第2课时。

本节内容是在学生学习了平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础．二、学情分析从学生学情来讲，由于基础教育课程改革的不断深入发展，教师教育理念得到了更新，尤其是我们学校积极响应区教育局的高效课堂，在尝试MS-EEPO有效教育的模式，学生的学习方式得到了根本性的转变，主要表现在学生的小组合作学习丰富，课堂上活跃大胆，具有较强的参与意识。

学生的学习习惯和认知水平与以往相比也均有明显提高，在此基础上自主探究合作学习,无论是思想上还是方法上都具备了良好的契机。

三、课标解读（目标分析）在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，根据以上学习内容和学情分析，可确定本节课的教学目标如下：教学目标1、知识与技能：掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧;灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

2、过程与方法：通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣, 进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。

3、情感、态度与价值观：3.1渗透辩证唯物主义思想中的从特殊到一般，从具体到抽象的认知观点，并通过小组讨论、合作交流等方式，体验在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

2024-2025学年度北师版八上数学7.5三角形内角和定理(第二课时)【课件】

B
C
D
∠DCE 不是△ABC 的外角.
E
问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶
点处有多少个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
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画一画
画出△ABC 的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有 6 个外角．
A
每一个顶点处对应的外角都有 2 个，
狼则直接在 A 处拦截懒羊羊，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°.
灰太狼从 C 处要转多少度角才能直达 B 处？
D C
？●
懒羊羊
B 70° O
●
●
红太狼
灰太狼
40° ●
A
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利用“ 三角形的内角和为 180° ”来求∠BCD，你会吗？
D C
？●
B 70°
●
懒羊羊
图1
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图2
注：如图2，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，
因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.
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2. 三角形内角和定理的推论.
（1）推论1：三角形的一个外角等于和不相邻的两个内角的和；
（2）推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 ⁠的内角.
形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
A
B
C
D
∠ACD 是△ABC 的一个外角.
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问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？

三角形的内角和(基础)知识讲

三角形的内角和（基础）知识讲解责编：赵炜【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE ∥AB （已作）．所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线，过B 点作∥，过C 点作∥，1l 2l 1l 3l 1l因为∥（已作）．1l 3l所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∥（已作），1l 2l所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B+∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B+∠C．举一反三：【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】（2015春•龙口市）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为度．【答案】如图连接CE，根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．类型三、三角形的内角外角综合4.（2015春•绿园）如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD 平分∠BAC，AE 是BC 边上的高，求∠DAE 的度数．【思路点拨】先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，由角平分线的定义得出∠BAD 的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE 的度数，由两角互补的性质即可得出结论．【答案与解析】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．又∵AD 平分∠BAC（己知），∴∠BAD=21°，∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．又∵AE 是BC 边上的高，即∠E=90°，∴∠DAE=90°﹣59°=31°．【总结升华】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，过点P 作PG ⊥BC 于G ，试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD ＝∠CPG ．理由如下：∵ AD 、BE 、CF 分别是∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的角平分线， ∴ ∠1＝∠ABC ，∠2＝∠BAC ，∠3＝∠ACB ．121212∴ ∠1+∠2+∠3＝(∠ABC+∠BAC+∠ACB )＝90°．12又∵ ∠4＝∠1+∠2，∴ ∠4+∠3＝90°．又∵ PG ⊥BC ，∴ ∠3+∠5＝90°．∴ ∠4＝∠5，即∠BPD ＝∠CPG ．。

2022-2023学年七年级数学下册课件之三角形的内角和外角第二课时(冀教版)

3 如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角
形一定是( C )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
4 下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A : ∠B : ∠C＝1 : 2 : 3；
11
③∠A＝90°－∠B；④∠A＝ 2∠B＝ 3 ∠C.能确定△ABC 是直
角三角形的条件有( D )
3 如图，在△ABC 中∠BAD=∠CAD，∠B=64°，∠C=55°，请各用两种方法求∠ADB 和∠ADC 的度数.
解：方法一：在△ABC 中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－ 55°＝61°，因为∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝ ∠CAD＝ 1 ∠BAC＝30.5°.在△ABD 中，∠BAD＋
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
如图，在△ABC 的边BC 的延长线上取点D，E，连接AD，AE，
则下列式子中正确的是( C )
A．∠ACB＞∠ACD B．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3 C．∠ACB＞∠2＋∠3
D．以上都正确
易错点：忽略外角的性质中“不相邻”这一条件.
1 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是( C )
解：能分成两个直角三角形，折的方法是沿三角形的一条高折；不能分成两个锐角三角形.如图.与原来的三角形纸片一边相交的折痕把原来的三角形纸片分成了两部分，形成了两个新三角形纸片，因为 ∠1和∠2是邻补角，它们的和是180°，所以如果其中一个角是直角，那么另一个角也一定是直角；如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角.
分别为36°，72°，72°.

2 与三角形有关的角

第二讲：与三角形有关的角考点一：三角形的内角1,三角形的内角和为：180度2、直角三角形的两个锐角互余3、有两个角互余的三角形是直角三角形7.2.1-1，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于________°”.图7.2.1-1 图7. 2.1-2 图7. 2.1-32.如图7.2.1-2，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________度.3.如图7.2.1-3所示，∠A=40°，∠1+∠2+∠3+∠4=_________.4.在△ABC中，∠A=90°，∠C=55°，则∠B=_____；若∠C=4∠A，∠A+∠B=100°，则∠B=________.5.如图7.2.1-4所示，BC、AD相交于点O，∠A=∠C=90°，∠B=25°，则∠D=______度.6.如图7.2.1-5，AB∥CD，直线l平分∠AOE，∠1=40°，∠2=______.图7.2.1-4 图7.2.1-5 图7.2.1-67.如图7.2.1-6所示的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（）A.一个锐角，一个钝角B.两个锐角C.一个锐角，一个直角D.一个直角，一个钝角8. △ABC中，若∠A+∠B=∠C，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.（2008·武汉）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形10.如图7.2.1-7所示，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF，若∠A=80°，∠B=68°，∠CFE=78°，求∠CEF的度数.图7.2.1-7考点二：三角形的外角性质------三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和1.如图7.2.2-1所示，图中的∠1=________.图7.2.2-1 图7.2.2-22.如图7.2.2-2，∠3=120°，则∠1-∠2=________.3.已知，如图7.2.2-3，AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，如果∠B =20°，∠D =40°，那么∠BOD 为________度.图7.2.2-3 图7.2.2-44.如图7.2.2-4所示，∠a =________.5.在△ABC 中，∠A =53°，∠B =63°，那△ABC 的最小外角是（）A.117°B.63°C.116°D.53°6.下列各图形中∠1=60°的是（）图7.2.2-57.如图7.2.2-6，直线a ∥b ，则∠A 的度数为（）A.28° B .31°C.39° D .42°8. 一个零件的形状如图7.2.2-7所示，按规定∠A 应等于87°，∠B 、∠D 应分别为25°、29°，工人师傅量得∠BCD =139°，就断定这个零件不合格，你能说明道理吗？图7.2.2-8图7.2.2-6考点三：外角性质的推论9.点P 是△ABC 内任意一点，则∠BPC 与∠A 的大小关系是（）A.∠BPC >∠AB.∠BPC <∠A C .∠BPC =∠A D .不能确定10.如图7.2.2-8所示，下列结论正确的是（）A.∠A >∠1>∠2B.∠1>∠A >∠2C.∠1>∠2>∠AD.∠2>∠A >∠111.下面对三角形的外角叙述正确的是（）A.外角一定大于内角B.外角都大于90°C.外角大于60°小于180° D 外角大于0°小于180°12.如图7.2.2-9，∠1、∠2、∠3、∠4应满足的关系式是（）A.∠1+∠2=∠3+∠4B.∠1+∠2=∠4-∠3C.∠1+∠4=∠2+∠3D.∠1+∠4=∠2-∠3图7.2.2-9 图7.2.2-1013.如图7.2.2-10，∠x 的两边被一直线所截，用含α、β的式子表∠x 为（）A.α-βB.β-αC.180°-α+βD.180°-α-β14.如图7.2.2-11，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点P ，∠A =60°，点则∠P=________.图7.2.2-12 图7.2.2-1315.（2008·杨州）一副三角板如图7.2.2-13所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________. 图7.2.2-8。

三角形的内角和中的第二课时(四边形的内角和)

180º×（边数－2）＝180º×边数－360º
四、布置作业
作业：第70页练习十六，第7题。
部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
三角形
四边形的内角和
云南省昭通市昭阳区第四小学南校区虎琼
一、复习旧知
把一个三角形纸板沿直线剪了一刀，剩下的纸板的内角和是多少度?
四边形的内角和是多少度?
四边形的内角和是 180°×2=360°。
三角形的内角和是180°。
二、探究新知
你能想办法求出右边这个多边形的内角和吗？
我把这个六边形分成了4个三角形，180º×4＝720º。
我也是把每个多边形分成三角形，但我的分法与他的不同，分出的三角形的个数与多边形的边数相同。多边形的内角和＝180º×边数－360º。
6
7
180º×4－360º 180º×5－360º
＝360º
＝540º
180º×6 －360º ＝720º
180º×7 －360º ＝900º
三、知识应用
Байду номын сангаас2. 算一算。
六边形的内角和：180°×4=720°
三、知识应用（p69练习十六）
4. 画一画，算一算，你发现了什么？
6
7
2
3 180º×4 180º×5
我发现每个多边形都可以分成（边数－2）个三角形。
多边形的内角和＝180º×（边数－2）
三、知识应用（p69练习十六）
4. 画一画，算一算，你发现了什么？
我把这个六边形分成了6个三角形，把6个三角形的内角加起来再减去中间的一个周角就是六边形的内角和， 180º×6－360º＝720º
这两种方法都是将六边形分成了三角形再计算，虽然分法不同，但求出的结果是一样的。

专题02 三角形内外角中的模型(原卷版)

专题02 三角形内外角中的模型1.三角形内角和及内外角性质看似简单，运用却非常灵活，角的计算以及它们之间的相互转换是平面几何的入门钥匙，贯穿与今后整个几何学习的过程中，。

2.在我们的中考复习中，要通过一题多解，从不同角度去探索问题，以便拓宽自己的数学思维。

3.再次强调：一题多解，拓宽思维！8字等角模型提供4种基本证明方法,尝试在做题中开阔自己的思路.如图1-1：∠1=∠2⇒∠A ∠D证明：法一图1-2 （内外角关系）：∵∠AED 是△EAB 与△ECD 的外角。

∴∠AED=∠1+∠A=∠2+∠D 又∵∠1=∠2 ∴∠A=∠D 法二图1-2 （内角和）：∵∠1+∠3+∠A=180° ∠2+∠4+∠D=180° 又∵∠1=∠2 ∴∠A=∠D 法三：图1-3隐圆（定弦定角，隐圆必现） ∵∠1=∠2∴ABCD 四点共圆。

∴∠A=∠D法四图1-4（相似）： ∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△EAB ∼△ECD ∴∠A=∠DA 字模型21E ABD C21∠外角。

∴∠∠∠∠∠∠∠∴∠∠E A B DC 21EAB DC4321E ABDC图2-1 求证： ∠1+∠2=∠A+180° 法一：图1-2∠A+（∠3+∠4）=180° ∠1+∠2+（∠3+∠4）=360° ∠1+∠2=∠A+180°法二：∠A+(∠B+∠C)=180 ∠1+∠2+(∠B+∠C)=360° ∠1+∠2=∠A+180 法三：图2-2 ∵∠1=∠A+∠4 ∠2=∠A+∠3∴∠1+∠2=∠A+∠4+∠A+∠3 即：∠1+∠2=∠A+180飞镖模型证明：图3-2延长DC 交AB 于点H 。

∵∠1=∠A+∠D ∠BCD=∠1+∠B∴∠BCD=∠A+∠B+∠D角平分线与三角形的融合4321ABCFE 21A BCFE 21A BCFE BCDA1HBCDAOABC21OABC如图4-1：已知：O 是∠ABC 与∠ACB平分线的交点。

与三角形有关的线段和角

第二讲与三角形有关的线段和角一. 课标要求通过这节课的学习, 你将对与三角形有关的线段和角的知识有进一步的了解和掌握, 并能运用本章知识解决有关实际问题.教学重点: 三角形的三边关系, 三角形的高、中线和角平分线, 三角形的内角和定理, 以及三角形的外角的性质。

教学难点: 有关三角形的高、中线和角平分线, 三角形的内角和定理, 以及三角形的外角的性质的综合运用。

二. 知识梳理(一)三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形叫做三角形。

(二)三角形的分类: 按角分为, 和；按角分为, 和。

(三)三角形的三边关系: 三角形任意两边之和第三边,任意两边之差第三边。

(四)三角形的重要线段1.三角形的高(1)定义: 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线, 之间的线段叫做三角形的这条边上的高。

三角形的高是线段, 共有三条。

特别地, 三角形的高不一定在三角形内部。

三角形的三条高交于一点, 叫做三角形的。

注意:锐角三角形三条高的交点在三角形；钝角三角形三条高交点在三角形；直角三角形三条高的交点在。

(2)定义的应用: AD是ABC的高,则(3)三角形高的画法2.三角形的中线(1)定义: 连接三角形的的线段,叫做三角形的这条边上的中线。

三角形的中线是线段,三角形有三条中线。

三角形的三条中线相交于三角形内一点, 叫做三角形的。

(2)定义的应用: 由定义知:若AD是ABC的BC边上的中线,则= = BC。

3.三角形的角平分线(1)定义:平分内角且与三角形的对边相交的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线是线段, 共有三条。

这三条角平分线相交于三角形内一点,这个交点叫做三角形的。

(2)应用: 由定义知:若AD是ABC的角平分线,则(3)区别: 三角形的角平分线是一条；角的平分线是一条。

(五)三角形的稳定性的应用(六)三角形的内角和定理: 三角形的三个内角的和等于。

(七)三角形的外角:1. 定义: 三角形一边与另一边的延长线组成的角, 叫做三角形的外角。