2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷
广州青教师初中数学解题比赛决赛试卷
2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷.请将选择题和填空题地答案做在第3页地答卷上.全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确地答案代号填在第3页地答题卷上）1、a 是任意实数，下列判断一定正确地是（）. （A ）a a ->（B ）a a<2（C ）23a a >（D ）02≥a 2、已知集合},032|{},4|{22<--=<=x x x N x x M 则集合=⋂N M （ ）. （A ）}2|{-<x x （B ）}3|{>x x （C ）}21|{<<-x x （D ）}32|{<<x x 3、若二次函数2y ax bx c =++地图象如图所示，则点（a ＋b ，ac ）在（ ）. （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4、同圆地内接正十边形和外切正十边形地周长之比等于（ ）.（A ）cos18°（B ）sin18°（C ）cos36°（D ）sin36°5、用黑白两种颜色地正六边形地面砖按如下所示地规律，拼成若干个图案：则第8个图案中有白色地面砖（）块.(A)34(B)36(C)38(D)406、将正方形地四边四等分，包括顶点共有16个点，这16个点可得到地 直线条数是（ ）. (A)120 (B)84 (C)82 (D)807、如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°， 则∠BCO 等于（ ）.（A ）20° （B ）30° （C ）40° （D ）50°8、如果y x ,为实数，且,0)1(22=-+-y x x 则x 地取值范围是（）. (A)任意实数 (B)负实数(C)210≤<x (D)10≤≤x 9、方程012=-+x x 所有实数根地和等于（ ）.(A)1-(B)1 (C)0 (D)510、将四个完全相同地矩形（长是宽地3倍），用不同地方式拼成一个大矩形， 设拼得地大矩形面积是四个小矩形地面积和，则大矩形周长地值只可能是（ ）. (A)1种(B)2种(C)3种(D)4种 11、一次函数b ax x f +=)(（a 为整数）地图象经过点（98，19），它与x 轴 地交点为（p,0）,它与y 轴地交点为（0，q ）,若p 是质数，q 为正整数，则满 足条件地所有一次函数地个数为（）.(A)0 (B)1(C)2 (D)大于2地整数第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在第三页地答题卷上） 12、函数x y lg =在定义域上是函数（填奇或偶）；在区间上是增加地.13、如图，有两个同心圆，大圆地弦AB 与小圆相切于点P ， 大圆地弦CD 经过点P ，且CD ＝13，PD ＝4，两圆组成地圆 环地面积是.14、已知t bac a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx x f +=)(一定通过第象限. 15、已知上的点，为上的点，为内一定点，为ON B OM A MON P MON ∠=∠,400则当PAB ∆地周长取最小值时，的度数为APB ∠. 16、已知实数b a ,满足t b a ab t b ab a 那么且,,12222--==++地取值范围是OC B AD .ABCDO17、若c b a ,,为实数，且,2,0==++abc c b a 那么c b a ++地最小值可达到. 三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、（本题8分）若直线0=+-a y x 与圆122=+y x 相交，求实数a 地取值范围.19、（本题8分）菱形ABCD 地边AB=5，对角线BD=6，且AC 与BD 相 交于点O ，沿BD 折叠得四面体ABCD ，已知该四面体地体积等于8， 求二面角A-BD-C 地大小.20、（本题8分）设,0,12≠=++a a x x x求1242++x x x 地值.21、（本题8分）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润12000元. 在进行市场调查后，为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润10元，结果实际销售比计划增加了400套，总利润比计划多了4000元，问实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润多少元？22、（本题10分）已知任意三角形ABC,其面积为S. 作BC地平行线与1AB、AC分别交于D、E . 设三角形BDE地面积为M，求证：M≤S423、（本题11分）已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=地两根，⑴求a 和b 地值；⑵△'''C B A 与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将 △'''C B A 以1厘米/秒地速度沿BC 所在地直线向左移动.ⅰ)设x 秒后△'''C B A 与△ABC 地重叠部分地面积为y 平方厘米，求y 与x 之间地函数关系式,并写出x 地取值范围； ⅱ)几秒后重叠部分地面积等于38平方厘米？24、（本题11分）已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 地弦AC 切⊙P 于点A ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E ，经过E 作EF ⊥CE 交CB 地延长线于F.⑴ 求证：BC 是⊙P 地切线；⑵ 若CD ＝2，CB ＝22，求EF 地长；⑶ 若设k ＝PE:CE,是否存在实数k,使△PBD 恰好是等边三角形?若存在,求出k 地值；若不存在，请说明理由. 25、（本题12分）如图，EFGH 是正方形ABCDA MA'地内接四边形，两条对角线EG 和FH 相交于点O ，且它们所夹地锐角为θ，CFH BEG ∠∠与都是锐角，已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 地面积为S ，（1） 求证：klS 2sin =θ （2） 试用S l k 、、来表示正方形ABCD 地面积.25、 （1）证明：θθθθθθθθsin 21sin 21sin 21sin 21sin 21sin 21sin 021sin 021⋅=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+++=+=∆∆∆∆∆∆kl FH EG OH EG OF EG OH GO OH EO F GO F EO S S S S S S S GOH EOH GOF EOF EHGEFG 所以klS2sin =θ（2）解：PQRT DA CD BC AB H G F E 的垂线，得矩形、、、分别作、、、过.设正方形ABCD 地边长为a,2222,,,a l c a k b c QR b PQ -=-===则, 由PEF BEF TEH AEH S S S S ∆∆∆∆==,， RGH DGH QFG GFC S S S S ∆∆∆∆==, 得S S S PQRT ABCD 2=+，S a l a k a S bc a 2,2222222=-⋅-+=+∴即，2222224)4(S l k a S l k -=-+∴，由（1）知S kl l k S Skl 42,2sin 222>≥+>=所以θ， 故Sl k S l k a S ABCD44222222-+-==2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案2005-3-20一、选择题答案（每小题4分，共44分）二、填空题答案（每小题5分，共30分）三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）由题意，⎩⎨⎧=+-=+0122a y x y x⇒012222=-++a ax x直线与圆相交，∴0>∆即0)2(4)1(84222>--=--=∆a a a则022<-a ，即22<<-a 时，有0>∆直线与圆相交（此题可有几何方法，相应评分）19、解： AO=OC=435BO AB 2222=-=-，易得 θ = ∠ ⊥ ⊥AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 地平面角. .sin 166sin 38BDS 31V ,sin 8sin 421AOC sin OC AO 21S AOC ABCD 2AOC θ=⋅θ=⋅=θ=θ⋅=∠⋅=∆∆依题意,8sin 16=θ得21sin =θ，又πθ<<0, 656ππθ或所以=, 故所求二面角地大小为656ππ或20、解：分析 已知式和要求值地式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们地倒数.因为,0,12≠=++a a x x x故 2 3 4 5 678 9 10 11 C DAABB DC CA区 学校 姓名 考号,0,112≠=++a a x x x 即x+111-=a x , 又11122224++=++x x x x x 222211)11(1)1(a a a x x -=--=-+=所以 aa x x x 2112242-=++21、解：设实际销售运动衣x 套，每套运动衣实际利润为y 元.则 ⎩⎨⎧==+-16000xy 12000)10y )(400x ( 解得.20y ,800x 11⎩⎨⎧== 及⎩⎨⎧-=-=20y 800x 22 （舍去） 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣实际利润20元22、()也是等高三角形，故与又是等高的三角形，故与由于证明：ABE ADE 11ADABAD AD -AB AD BD S M BDE ADEADE ∆∆-===∆∆∆ ()()x ，设此比值为，故又同理，ACAEAB AD BC ||DE 3ACAES S 2AB ADS S ABE ABE ADE ===∆∆∆()()()()S M x x x S M M Sx x x x 4141)21(41)1S 41M 04SM S 0S,1S MAB ADAB AD -1AC AE AB AD 1-AD AB S M3,2,1 222≤⇒≤--=-=≤≥-=∆=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=（法二：由解之得有实根，故法一：展开得即式相乘，得将23、解:(1)∵△ABC 是Rt △且BC=a ，AC=b ，AB=5 （a>b ）又a 、b 是方程地两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>+=⋅>-=+>+--=∆2504010)4(4)1(222b a m b a m b a m m ∴(a+b)2-2ab=25 (m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得m 1=8 m 2=-4 经检验m=-4不合舍去 ∴m=8…………∴x 2-7x+12=0 x 1=3 x 2=4 ∴a=4，b=3(2)∵△'''C B A 以1厘米/秒地速度沿BC 所在直线向左移动. ∴x 秒后BB ′=x 则B ′C ′=4-x ∵C ′M ∥AC ∴△BC ′M ∽△BCA ∴AC C M BC C B '='∴)4(43x C M -=' ∴)4(43)4(21x x y S M C B --=='∆ 即2)4(83x y -=∴y=63832+-x x (0≤x ≤4)当y=83时 2)4(83x -=83x 1=3 x 2=5(不合舍去)ABCMA'B'C'∴经过3秒后重叠部分地面积等于83平方厘米.24、（1）证明：连结PA 、PB ，∵AC 切⊙P 于A ，PA 是⊙P 地半径，∴AC ⊥PA ，即∠PAC=900，又∵四边形PACB 内接于⊙O ，∴∠PBC+∠PAC=1800.∴∠PBC=900，即PB ⊥CB.又∵PB 是⊙P 地半径，∴BC 是⊙P 地切线.（2）解：由切割线定理，得BC 2=CD*CE. ∴42)22(22===CD BC CE DE=CE-CD=4-2=2. ∴PB=1,在Rt △EFC 和Rt △BPC 中，∠ECF=∠BCP ，∴Rt △EFC ∽Rt △BPC ，22241,=⨯=⋅==∴CB CE BP EF CB CE BP EF . （3）解：存在实数k=31时，△PBD 为等边三角形. 下面证明：分，，，，）知道而由（，，又，11为等边三角形60219012233100 。
历年各地高中数学青年教师解题竞赛试题及参考答案(上)
1. 20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2. 20XX 年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题3. 20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试题4. 20XX 年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题5. 20XX 年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题6.20XX 年常州市武进区高中数学教师解题竞赛试题及参考答案20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1）常数T 满足()x x T cos sin -=+ 和()x x T g ctg t =-,则T 的一个值是（ ）．（A ）π- （B ）π （C ）2π-（D ）2π（2）在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ,则1092a a - 的值为（ ）．（A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-（3）设点P 对应复数是i 33+,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）．（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛4323π，（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-4523π， （C ）⎪⎭⎫⎝⎛453π，（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-433π，（4）设A 、B 是两个非空集合，若规定：{}B x A x x B A ∉∈=-且,则()B A A --等于（ ）．（A ）B （B ）B A （C ）B A （D ）A（5）函数()x f y =的图象与直线1=x 的交点个数为（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0或1（6）设函数()()ϕω+=x A x f sin （其中R x A ∈>>,0,0ω）,则()00=f 是()x f 为奇函数的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，∠BAC ＝90°，AC BC ⊥1，过1C 作⊥H C 1底面ABC ，垂足为H ，则（ ）． （A ）H 在直线AC 上 （B ）H 在直线AB 上 （C ）H 在直线BC 上 （D ）H 在△ABC 内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S （元）与通话时间t （分钟）的函数图象可表示为（ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）（9）以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相1C 1B 1A ABC切的圆的方程为（ ）．（A ）091022=+-+x y x （B ）091022=--+x y x （C ）091022=-++x y x （D ）091022=+++x y x（10）已知()nx 21+的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含3x 项的系数是（ ）．（A ）56 （B ）80 （C ）160 （D ）180（11）AB 是过圆锥曲线焦点F 的弦，l 是与点F 对应的准线，则以弦AB 为直径的圆与直线l 的位置关系（ ）．（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）由离心率e 决定 （12）定义在R 上的函数()x f y -=的反函数为()x fy 1-=，则()x f y =是（ ）． （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶函数 （D ）满足题设的函数()x f 不存在第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． （13）函数)23(sin ππ≤≤=x x y 的反函数是 ． （14）已知抛物线的焦点坐标为()12，，准线方程为02=+y x ,则其顶点坐标为 （15）如图，在棱长都相等的四面体A —BCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，则直线AF 、CE 所成角的余弦值为 ．（16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你 和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析， 5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）. 三、解答题：本大题共6小题，满分74分． （17）（本小题满分10分）已知复数2cos 2cos 2Ci A u +=，其中A 、C 为△ABC 的内角，且三个内角题ABCDEF满足2B ＝A ﹢C .试求i u -的取值范围. （18）（本小题满分12分）已知曲线C 上的任一点M ()y x ,（其中0≥x ）,到点()02，A 的距离减去它到y 轴的距离的差是2，过点A 的一条直线与曲线C 交于P 、Q 两点，通过点P 和坐标原点的直线交直线02=+x 于N .（I ）求曲线C 的方程；（II ）求证：N Q 平行于x 轴.（19）（本小题满分12分）是否存在一个等差数列{}n a ,使对任意的自然数n ，都有212a a n⋅…n n n P a 2=.（20）（本小题满分12分）如图，△ABC 是一个遮阳棚，点A 、B 是地面上 南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点 O 表示）光线OCD 与地面成锐角θ. （I ）遮阳棚与地面成多少度的二面角时， 才能使遮影△ABD 面积最大？（II ）当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，试求出遮影△ABD 的最 大面积.（21）（本小题满分14分）甲、乙、丙三种食物维生素A 、B 含量及成本如下表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物、y 千克乙种食物、z 千克丙种食物 配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000 单位维生素B .试用x 、y 表示混合物的成本M （元）；并确定x 、y 、z 的值， 使成本最低.（22）（本小题满分14分） 定义在()11，-上的函数()x f满足：①对任意x 、()1,1-∈y ,都有()+x f()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=xy y x f y f 1；②当()0,1-∈x 时，有()0>x f .证明：（I ）函数()x f 在()11，-上的图象关于原点对称；（II ）函数()x f 在()0,1-上是单调减函数； （III ）⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛21331131712f n n f f f .()z n ∈20XX 年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛21,1 （15）32（16）54 三、解答题：（17）（本小题满分10分）解：由△ABC 的内角关系2602CA B C B A C A B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π，又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知：曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴） （II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在，设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅1616Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则1=n 时，有121121=⇒=a P a ；()2-=⇒PPN x y y （证Q 、N 点纵坐标相等）2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ；3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABDAB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒H E又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CEAB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大 而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值） 所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++=()()y x y x -+++=3322400 1301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0()()0=-+⇒x f x fDE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角.①②⇒()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f则有⎪⎭⎫⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f .由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f ⇒<<<-01又21x x 条件①故⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛21331131712f n n f f f . 高中数学青年教师解题比赛试卷1．若31)sin(=+πα，则)23cos(απ-的值等于 （A ）31 （B ）31- （C ）322 （D ）-3222．若函数y=f （x ）的反函数的图象经过点)1,2(-，则此函数可能是x y D y C y B x y A x x 2log )(2)()21()(21)(-===-=3．双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 (A)3 (B)3 (C) 4 (D) 24．圆台母线与底面成450角，侧面积为π23，则它的轴截面面积是（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）235．若{a n }是无穷等比数列，且a 1＋a 2＋a 3=43, a 2＋a 3＋a 4=－83，则此数列所有项的和为 （A ）31（B ）32 （C ）1 （D ）346．设函数|log |)(x x f a =（10<<a ），则下列各式中成立的是)2()31()41()(41()2(31()()31()2(41()()41(31()2()(f f f D f f f C f f f B f f f A >>>>>>>>7．如图，点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，AD PD ABCD PD =⊥,平面，则PA 与BD 所成角的度数为 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°9. 有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有 (A) 6种 （B ）8种 （C ）12种 （D ）16种10. 设点P 在直线1=x 上变化，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是(A)两条平行直线 （B ）一条直线 （C ）抛物线 （D ）圆 11．由(3x+32)100展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 (A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项12. 某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是(A)16万元 （B ）14万元 （C ）13万元 （D ）12万元 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.如果直线b y x =+与圆222=+y x 相切，则实数b 的值为___________；14.已知,52,4321i z i z --=+=则211arg z z i z +-= ；15.已知αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________；16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f （x ）的判断：（1）f （x ）是周期函数；（2）f （x ）的图象关于直线x=1对称；（3）f （x ）在[0，1]上是增函数；（4）f （x ）在[1，2]上是减函数；（5）f （2）=f （0），其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数3)2(cos 32)2sin()(2-+++=θθx x x f⑴ 求函数)(x f 的周期;⑵ 若πθ≤≤0,求θ,使函数)(x f 为偶函数. 18.（本小题满分12分）已知函数)(3)(2a x a x x x f ≠-+=, a 为非零常数，⑴ 解不等式x x f <)(;⑵ 设a x >时，)(x f 的最小值为6,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠APC=600，PA=3，PB=2，ΔPBC 为正三角形 （1） 求证：平面PBC ⊥平面ABC ； （2） 求棱PA 与侧面PBC 所成的角； （3） 求点B 到侧面PAC 的距离.20.（本小题满分12分）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点P 到A 、B 两点的距离差的绝对值为2,(1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 过点C （1，1）能否作直线l ，使它与动点P 的轨迹交于两点M ，N ，且点C 是线段 MN 的中点，问这样的直线l 是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案. 一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元. 例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？PCA⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a 元，问a 为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？ 22.（本小题满分14分）已知ax x x f +-=3)(在(0,1)是增函数,求实数a 的取值范围(1) 当3=a 时,定义数列}{n a 满足)1,0(1∈a ,且)(21n n a f a =+,求证:对一切正整数n 均有)1,0(∈n a .2003广州市高中青年教师解题比赛试卷一、选择题：1、下列各式中正确的是（ ） A 、0=φ B 、φ={}0 C 、∈0φ D 、φ{}0⊆2、若x sin >tgx >ctgx ，（2π-<x <2π）。
2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷
20（本题满分 14 分）直线 x y n
n 3, 且n N 与 x 轴、 y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整
点个数为 a n ，所围成区域（包括边界）的整点个数为 bn （整点就是横、纵坐标均为整数的点）. （Ⅰ）求 a n 及 bn 的表达式； （Ⅱ）对区域内部的 a n 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为 An ，对所围区域的 bn 个整 点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为 Bn ，试比较 An 与 Bn 的大小.
z 17.（本题满分 13 分）如图，直角梯形 OABC 中， AO⊥OC，AB∥OC， OC 2, OS OA AB 1 . SO Ｓ 平面 OABC.以 OC，OA,OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立 直角坐标系 O- xyz . （Ⅰ）求异面直线 SC 与 OB 所成角； Ｏ
y A B Ｃ
k k Pn(k)＝ C n P (1-P)n-k
球的表面积公式 S＝4πR2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 4 V＝ πR3 3 其中 R 表示球的半径 第一部分 选择题（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第４页的答题卷上 1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（ ）.(A)
(A) S M
2
）.
(B) M S
(C) S M ）.(A) [0,) ）. A
(D) S M M (B) ( , )
4.函数 f ( x) 2 x ln x 的增区间为（ 5.观察下列四个电路图，结论正确的是（ A B
高中数学青年教师解题竞赛决赛试题命题思路及指导思想
高中数学青年教师解题竞赛决赛试题命题思路及指导思想一、引言数学是一门智力与逻辑并重的学科，培养学生的数学思维和解决问题的能力是数学教育的核心目标之一。
为了提高高中数学教师的教学水平和解题能力，激发他们对数学教学的热情和创新意识，高中数学青年教师解题竞赛应运而生。
本文将探讨该竞赛的试题命题思路及指导思想。
二、试题命题思路1. 理论与实践结合高中数学教学中的理论知识和实践技能是不可分割的。
在命题过程中，既要考察教师对基础理论知识的理解，又要注重实际应用能力的培养。
试题设计上将重点突出理论和实践的结合，使教师能够在应用中理解、巩固和运用数学知识。
2. 知识层次分明命题过程中，要根据高中数学课程标准，将各个知识点按照层次进行分明排列。
试题难度从易到难，层层递进，使教师在参与竞赛的同时，不断加深对知识点的理解和掌握，提高解题的能力。
3. 综合能力考察解题竞赛不仅要注重对基础知识的考察，还要注重对教师的综合能力的考察。
试题命题过程中，要注重运用不同的解题方法、技巧和思维方式，考察教师的推理能力、创新思维、问题分析和解决能力等。
通过综合能力的考察，提高教师的教学水平和解题能力。
三、指导思想1. 培养解题思维数学解题不是简单的记忆和运算，而是需要教师具备合理的解题思路和方法。
在指导教师竞赛期间，应重点培养他们的解题思维。
通过讲解经典解题方法、思维导图等，引导教师学习和掌握解题思路，提高分析问题和解决问题的能力。
2. 提高综合素质高中数学教师作为学生的榜样和引路人，不仅要在专业知识上有所突破，更要注重个人综合素质的提升。
在指导思想上，应注重提升教师的人文素养、沟通能力和团队合作能力，注重培养教师的创新意识和问题解决能力，使他们成为全面发展的教育者。
3. 注重实践教学解题竞赛不仅是为了测试教师的理论知识，更是为了鼓励教师将理论知识转化为实际教学中的解决问题的能力。
指导思想上应注重将解题竞赛与实际教学相结合，通过实际教学案例的分析与讨论，促使教师深入思考、自主学习，提高实践教学的能力。
最新学年高中数学青年教师解题比赛结果通报
2010学年海珠区高中数学青年教师解题比赛结果通报
各高中（含六中、美院附中）：
根据广州市教研室数学科和海珠区教育发展中心数学科的工作计划和安排，2010学年广州市中学数学青年教师解题比赛海珠区初赛于2010年12月31日（第十八周周五）14：30——16：30在海珠区教育发展中心举行，本次比赛高中共评出一等奖7名，二等奖15名，三等奖42名。
本初赛获得一、二等奖的教师以及本初赛未获得一、二等奖，但在上学期广州市“卡西欧”杯青年教师讲课比赛中获得一、二等奖的教师将代表海珠区参加下学期广州市解题比赛决赛。
具体名单届时将另发通知。
希望获奖教师再接再厉，在下学期的全市决赛中勇创佳绩！
附：2010学年高中数学青年教师解题比赛获奖名单
海珠区教育发展中心
2010年1月6日。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −
2
2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0， ， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：
广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题及答案
广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．已知点A（－1，0）、B（1，3），向量，若，则实数k的值为A．－2 B．－1 C．1 D．22．设，，，则下列关系中正确的是A． B．C． D．3．已知圆被直线所截得的弦长为，则实数a的值为A．0或4 B．1或3C．－2或6 D．－1或34．已知为平面，命题p：若，则；命题q：若上不共线的三点到的距离相等，则．对以上两个命题，下列结论中正确的是A．命题“p且q”为真B．命题“p或”为假C．命题“p或q”为假D．命题“”且“”为假5．设，且，则等于A．B．C．D．6．椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是A．B．C． D．7．已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为A．B．C． D．8．设x，y满足约束条件则的取值范围为A．B．C．D．9．如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，若，则点在平面内的轨迹是A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．已知满足方程，则的最大值是A．4B．2C．D．第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卷的相应位置上．11．等差数列有如下性质：若是等差数列，则数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则数列_______________也是等比数列．12．已知集合，，若，则m所能取的一切值构成的集合为．13．在△ABC中，若，则_____________．14．在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝5，AC＝BD＝5，AD＝BC＝6．则四面体ABCD的体积为；四面体ABCD外接球的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15．（本小题满分12分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小值以及取得最小值时的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．16．（本小题满分12分）箱中装有12张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为的卡片反面标的数字是．（卡片正反面用颜色区分）（Ⅰ）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率；（Ⅱ）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．17．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又P A⊥平面ABCD，P A＝4．（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
广州市中学数学青年教师解题竞赛
2011年广州市中学数学青年教师“解题比赛”获奖通知各区（县级市）教研室中数科，各中学数学科：2011年4月10日上午，广州市中学数学青年教师“解题比赛”决赛在广雅中学成功举行。
本次活动由广州市教育局教研室数学科和广州市中学数学教学研究会联合主办，共有619名（高中233名、初中386名）中学数学青年教师参加了本次“解题比赛”决赛。
参加决赛的青年教师都是直属中学和各区（县级市）“解题比赛”的优胜者。
广州市教育局教研室数学科和广州市中学数学教学研究会组织了部分教研会理事，市、区教研员和骨干教师及时评卷，并进行了复查，共评出初中一等奖40名，二等奖80名，三等奖119名，高中一等奖25名，二等奖44名，三等奖70名，获奖名单附后。
特此通知广州市教育局教研室数学科广州市中学数学教学研究会二〇一一年四月十一日附：2011年广州市中学数学青年教师“解题比赛”获奖名单初中组（排名不分先后）考号学校全称姓名等级7041石化中学王继承一等奖3021石化中学胡文龙一等奖3026广州市荔湾区广豪学校黄德华一等奖4022广州市天荣中学李发财一等奖9031蓝天中学余伟明一等奖6037广州市第二中学邱传林一等奖9007珠江中学严映峰一等奖2004广州市骏景中学程丹一等奖4032广州市第二中学李强一等奖7016广州市第2中学孙苏平一等奖3023花都区赤坭中学胡余华一等奖5040花都区金华中学刘巧英一等奖5016番禺区洛浦中学梁瑞芳一等奖7026广州市第2中学唐琦一等奖2022珠江中学丁瑞滨一等奖6019育才实验学校马亮一等奖1041广州市第113中学朱丛高一等奖4040同和中学李卫华一等奖9015广雅实验学校杨莹瑾一等奖7036广州市第二中学王碧莹一等奖6033广东省电力工业局第一工程局职工子弟学校彭青一等奖7033南武中学汪诗源一等奖8007广大附属实验学校王小丽一等奖1021广州市玉岩中学赵丰雪一等奖100467中边志强一等奖1039东环中学陈亚通一等奖6036番禺区华南碧桂园学校秦志农一等奖7010广大附属实验学校宋年胜一等奖7015江南中学孙莉娟一等奖7037广州外国语学校王福生一等奖1040广州市第47中学陈勇生一等奖4033花都区冯村中学李强军一等奖6001广东省实验中学附属天河学校刘玉清一等奖7008广州市第13中学施扬刚一等奖1033广州市第75中学周伟泽一等奖2045番禺区大岗中学郭浩荣一等奖4012番禺区石壁中学赖锦发一等奖6005广州市第89中学卢锐明一等奖6044第5中学任晶晶一等奖1031番禺区沙头中学周清华一等奖5007珠江中学李颖颐二等奖5018八一实验学校梁盈二等奖5037石井中学刘结开二等奖6020广铁一中马小飞二等奖7013广州大学附属中学苏青艳二等奖1009广大附属实验学校张书昌二等奖1020花都区圆玄中学章志光二等奖1045广州大学附属中学陈志娟二等奖2013南武实验邓广原二等奖3035第5中学黄丽君二等奖4010从化市从化中学康丽斯二等奖4024广州市第89中学李海英二等奖7011广州市荔湾区一中实验学校苏方方二等奖8027八一实验学校吴舜财二等奖8041增城二中徐建仁二等奖9002双桥实验学校许秀娜二等奖2041广州市第八十七中学顾星二等奖4006番禺区华南碧桂园学校蒋清庭二等奖5030荔景中学刘丽二等奖8002花都区芙蓉中学王梦婷二等奖8018广州市东圃中学温玉霖二等奖1018花都区北兴中学张育宁二等奖1025珠江中学陈立婷二等奖2021增城中学丁玲芬二等奖5024广州第四中学林洁英二等奖5028第52中学林艳丽二等奖5029龙涛中学凌涛二等奖8011广州市东圃中学王颖二等奖2005广州市第21中学程德松二等奖4002番禺区沙湾镇象达中学江俊华二等奖4027番禺区大岗中学李奎光二等奖4045广州市第75中学李晓丽二等奖5021珠江中学廖富有二等奖6015广东省实验中学附属天河学校罗贤龙二等奖6025广州市西关培英中学牛敏娜二等奖7004花都区长岗中学沈玲丹二等奖7005第97中学沈秋怡二等奖7006番禺区市桥桥兴中学沈晓欢二等奖9013庙头学校杨山二等奖1020广雅实验学校陈鸿二等奖5019荔湾中学梁远玲二等奖6012广州市第16中学罗洁茹二等奖7031广外附设外语学校汪春辉二等奖8001广州市第16中学王林丹二等奖8044广州大学附属中学徐佑军二等奖9006广园中学严克浩二等奖9044晓园中学曾伟东二等奖3020广州市陈嘉庚纪念中学胡妙婵二等奖4018增城中学李健二等奖5041番禺区潭山中学刘帅二等奖1006广州开发区中学张亮二等奖1034广州第四中学周文辉二等奖1008广州市第16中学蔡智雄二等奖1018番禺区钟村奥园学校陈迪银二等奖1021番禺区洛溪新城中学陈尖峰二等奖3017花都区九潭中学侯芳二等奖3024华附新世界学校胡振贵二等奖4019梓元岗中学李娟二等奖4039新市中学李松涛二等奖9028花都区芙蓉中学余建秦二等奖2001广州大学附属中学陈志勇二等奖4014荔城二中赖育章二等奖500867中李玉杰二等奖5036花都区培新中学刘红霞二等奖5044花都区芙蓉中学刘曦路二等奖6029华附新世界中学庞伟二等奖8036广园中学谢福耿二等奖1044广外附设外语学校邹炜玲二等奖1022真光实验学校陈建辉二等奖1027立贤中学陈龙彬二等奖2014广东省实验中学附属天河学校邓慧璇二等奖5009广州市第113中学李远清二等奖6035梅花中学齐美丽二等奖8008花都区雅瑶中学王雪莹二等奖8009广州市第一中学王亚萍二等奖8015培正中学魏振柱二等奖8035广州市黄埔区港湾中学谢春娥二等奖9026广东省实验中学于清二等奖9035第76中学袁慧敏二等奖1037第5中学周杨二等奖1023劬劳中学陈杰三等奖2003广州广雅实验学校程英三等奖3009广雅实验学校何健三等奖8012花都区新华二中王玉菊三等奖8021广州市第47中汇景实验学校吴杰泉三等奖8043珠江中学徐晓辉三等奖2015四中聚贤邓丽丽三等奖3007广州市泰安中学何惠平三等奖3011番禺区桥城中学何伟立三等奖5038第76中学刘金春三等奖1038花都区云山中学陈雪芬三等奖2037长堤真光中学高松发三等奖4005番禺区沙湾镇象达中学蒋鼎年三等奖4016广州市荔湾区一中实验学校黎乐锋三等奖5012广州市玉岩中学连明瑞三等奖6038广州市玉岩中学邱蓝青三等奖7029广大附属实验学校田茂清三等奖7039广州市第2中学王革华三等奖9045金沙中学詹小燕三等奖1023花都区秀全外国语学校赵柳三等奖1029从化市太平中学钟燕群三等奖2012广东省实验中学附属天河学校邓大艳三等奖2024中新中学方荣金三等奖2028番禺区鱼窝头第二中学冯海华三等奖7023广东省实验中学附属天河学校唐爱文三等奖7032花都区雅宝学校汪剑三等奖9005第5中学寻友利三等奖2017广州市第113中学邓敏民三等奖2019番禺区沙滘中学邓铁文三等奖2039华师附中番禺学校古敏锋三等奖3014番禺区大岗中学何远荣三等奖3027花都区金华中学黄凤梅三等奖5042广州市美华中学刘天亮三等奖9016番禺区沙头中学杨赵平三等奖1004广东省实验中学张捷三等奖1012萝岗区华峰中学张伟三等奖2026广东省实验中学附属天河学校费华菲三等奖2032广州市第16中学付娟三等奖3030花都区圆玄中学黄健楠三等奖5011番禺区桥城中学李志平三等奖7007珠江中学沈宇杰三等奖7012番禺区石碁第三中学苏金华三等奖7030花都区清布中学佟威三等奖8010广州外国语学校王艳艳三等奖8023番禺区东涌中学吴锐波三等奖1008中新中学张少华三等奖1036广州市南国学校陈秀丽三等奖2009同德南方崔亚叶三等奖3012花都区三和庄中学何秀平三等奖4041广州市玉岩中学李文力三等奖6016从化市河东中学骆活枢三等奖7001广州市第一中学尚思恩三等奖3001从化市第七中学郭嘉新三等奖4008广州市第一二三中学蒋叶莲三等奖4020广大附属实验学校李军三等奖7018华附新世界学校覃启艺三等奖7043广州市荔湾区广豪学校王锦风三等奖8031花都区云山中学伍建军三等奖8042南武中学徐小青三等奖9014广州市陈嘉庚纪念中学杨亚兴三等奖1001广州市荔湾区金道中学张创杰三等奖3032广州市荔湾区一中实验学校黄竻养三等奖3038番禺区南村中学黄清文三等奖3042第33中学贾晓燕三等奖6007广州7中陆曼丽三等奖9024从化市第七中学尹晓勇三等奖1025番禺区祈福英语实验学校郑小兵三等奖1026广州四中聚贤中学陈玲三等奖1032广州市第八十七中学陈婷三等奖1037广州市美华中学陈秀英三等奖1042培英实验中学陈玉莲三等奖2007南武实验崔波三等奖3028115中黄焕文三等奖4021广州市玉岩中学李定锋三等奖6017华附新世界学校骆健毅三等奖8034广大附属实验学校谢 雍三等奖8040番禺区石碁第三中学幸宇辉三等奖1032第5中学周琼三等奖1007同德南方蔡艺生三等奖1029广州四中聚贤中学陈倩婷三等奖4015番禺区新造中学兰建明三等奖5045第97中学刘颖三等奖8005广州市西关外国语学校王琦三等奖8024番禺区石碁第三中学吴润生三等奖8032南石中学肖建中三等奖1016广州大学附属中学陈丹波三等奖4007广州市第113中学蒋霞三等奖4036广州市第47中汇景实验学校李蓉三等奖4043广州市华颖中学李小红三等奖6008从化市从化中学陆慕萍三等奖6027第33中学欧阳嘉威三等奖6041广东省实验中学附属天河学校屈孝辉三等奖7021增城二中汤雪芬三等奖8003增城二中王鹏丙三等奖2027番禺区钟村中学冯桂平三等奖3015广州广雅实验学校贺福凯三等奖4004珠江中学姜红三等奖5043四中聚贤刘婷三等奖6002晓园中学刘智东三等奖6042广州市天河中学全文骊三等奖9041从化市河东中学曾莉萌三等奖1042绿翠中学朱其成三等奖2033番禺区新造中学付新三等奖3008番禺区大岗中学何嘉良三等奖5031广州市第九十三中学刘超然三等奖8045广东省实验中学附属天河学校许承丽三等奖1010番禺区祈福英语实验学校张婷三等奖1022真光实验学校赵庚昊三等奖4013三元里中学赖天奎三等奖4038广州广雅实验学校李淑瑜三等奖7035广州市长兴中学王比翼三等奖8022广州市第八十四中学吴丽敏三等奖9011珠江中学杨敏浩三等奖9019第5中学叶秋香三等奖1016花都区雅瑶中学张旭宏三等奖1019番禺区东涌镇鱼窝头中学章少荣三等奖1026114中郑仲娜三等奖1027广州市西关外国语学校钟敏健三等奖1045广州市第75中学邹务姣三等奖高中组（排名不分先后）考号学校全称姓名等级4028广州市天河中学王恒新一等奖1006广州市第六中学陈霞一等奖6030广州市第四十七中学周文超一等奖6037协和中学朱禹兰一等奖2015广州大学附属中学黄桂林一等奖3022广州市第六中学刘旭升一等奖4023广州市西关外国语学校万红珍一等奖3019广州市第7中学刘强一等奖4027增城高级中学王刚宝一等奖6021协和中学张欣一等奖5008永和中学吴新红一等奖2037番禺区象贤中学李伟一等奖3016协和中学刘伏英一等奖2023广州市广外附设外语学校姜海涛一等奖3030广东广雅中学罗文聪一等奖3032华南师范大学附属中学马腾冰一等奖6001广州市第65中学禹宇晨一等奖6034广州市第二中学朱建军一等奖2013增城中学黄娜一等奖2028广东广雅中学赖淑明一等奖4039广东广雅中学温丽一等奖6009广东广雅中学曾文达一等奖2010高级中学胡能其一等奖2029增城中学蓝留铺一等奖4008广州市第八十六中学宋君平一等奖5003广州大学附属中学吴坚二等奖5018广东广雅中学徐飞二等奖2026广州市第七十五中学邝菁华二等奖2039协和中学李雄杰二等奖3015从化市第六中学刘 容二等奖1024越秀外国语学校程传慧二等奖2038广东广雅中学李晓颖二等奖4019广东广雅中学唐艳群二等奖5024番禺区实验中学薛兴志二等奖2006广州市第80中学胡海波二等奖2011广州市第二中学胡守标二等奖5029广州市第二中学杨其武二等奖3005广东广雅中学梁辉二等奖1007番禺区象贤中学陈柏勇二等奖1017广州市第七十五中学陈文会二等奖2014广州市第六中学黄燕二等奖2019花都区秀全中学贾丽二等奖5025广东广雅中学阳建新二等奖5039广州市第二中学余广斌二等奖6004广州市第65中学袁红春二等奖6010广州市第65中学曾志斌二等奖6012广州市第八十六中学张科二等奖6028广州市第一中学周频二等奖1022协和中学陈永健二等奖2034广州市广大附属实验学校李科峰二等奖3008广州市天河中学林海滨二等奖4021广州市第八十九中学田鹰二等奖5007番禺区东涌中学吴素良二等奖5012广州市玉岩中学向良辉二等奖6014花都区实验中学张翠二等奖6020广东仲元中学张婷二等奖2003番禺区禺山高级中学何远清二等奖4012花都区邝维煜纪念中学汤国贤二等奖4025广铁一中王彪二等奖6031郑中钧中学周晓霞二等奖2041广州市玉岩中学于志华二等奖3025广州市第四中学刘殷二等奖5010广州市第四中学伍慧懿二等奖6038广州开发区外国语学校蔡军喜二等奖3014广州市第六中学刘涛二等奖3034广东番禺中学马志强二等奖4002广东番禺中学潘保伦二等奖4005广州市南沙中学石香二等奖6041广州市第二中学石岩二等奖5033广东仲元中学叶春风三等奖1030广州市玉岩中学邓四元三等奖3001广州市第四中学李雪芸三等奖3006花都区秀全中学梁振标三等奖3033育才中学马细惠三等奖4004番禺区二师附中彭玛生三等奖5014增城中学肖海英三等奖5028从化市第五中学杨健明三等奖2002广东番禺中学郭志锋三等奖2007广东广雅中学胡玲三等奖3003花都区邝维煜纪念中学李振华三等奖3021广州市东圃中学刘晓强三等奖3023花都区实验中学刘雅三等奖6011广州市第六中学张华三等奖6036花都区邝维煜纪念中学朱弢三等奖1016广州市第八十六中学陈石鑫三等奖1037番禺区象贤中学龚小风三等奖4038广州市第七十八中学温俊卿三等奖5009广州市真光中学伍海光三等奖5036广东番禺中学叶悦珍三等奖5037广州石化中学易欣三等奖6002广州市第80中学袁安三等奖1019花都区邝维煜纪念中学陈燕飞三等奖1028增城中学邓城三等奖1035广东广雅中学冯永先三等奖3035广州市第四十一中学麦燕仪三等奖4020广州市第一中学田畋三等奖4040广州市第九十七中学温效良三等奖2021广州市第八十九中学江娜萍三等奖2027郑中钧中学赖黎明三等奖3013广州市第五中学刘沙三等奖3028广州市第四中学刘运科三等奖5001执信中学文德良三等奖1026广东广雅中学代杰三等奖1034花都区秀全中学冯翠华三等奖4035广州市第65中学王小燕三等奖5031广州市第七十五中学杨月霞三等奖6005育才中学岳震三等奖1012广州市第七十六中学陈满林三等奖2009花都区秀全中学胡茂炉三等奖2036花都区新华中学李桃三等奖3012广州市第五中学刘玫三等奖4013花都区实验中学汤沛文三等奖5022协和中学许云勇三等奖6026培英中学赵玉香三等奖1011番禺区实验中学陈黎三等奖1015广州市第八十六中学陈少婉三等奖1041广州市第二中学唐国秋三等奖2024广东番禺中学金菲三等奖3010番禺区禺山高级中学林锦凌三等奖3020广州市第九十五中学刘喜云三等奖5011执信中学伍可亮三等奖6008花都区秀全中学曾绍信三等奖6029广东广雅中学周斌三等奖6035广州市南武中学朱双海三等奖1025花都区秀全中学崔高峰三等奖3002从化市第六中学李永雄三等奖3038广州市第二中学莫菊芳三等奖6039广州市第九十一中学王磊三等奖1021广州市第二中学陈颍三等奖1029番禺区南村中学邓华萍三等奖5017仙村中学徐甜三等奖1009广州市第八十九中学陈朝兵三等奖3039广州市第九十七中学莫爵敬三等奖1002广州市第二中学包承先三等奖1013番禺区二师附中陈敏贞三等奖1018广州市第80中学陈雪玲三等奖2005广州市真光中学贺育林三等奖4011番禺区石碁中学谭新远三等奖5004广州市第九十一中学吴乐宜三等奖。
2002广州市高中数学青教师解题比赛试卷参考答案
2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛2,1 （15）3 （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分） 解：由△ABC 的内角关系2602CA B C B A C A B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π， 又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos 2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知： 曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴）（II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在，设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅⇒16而16Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立 （19）（本小题满分12分） 解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则 1=n 时，有121121=⇒=a P a ；2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ；3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12()2-=⇒PPN x y y（证Q 、N 点纵坐标相等）以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设， 即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABD又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CEAB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值）所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分） （I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++=()()y x y x -+++=3322400 1301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0 ()()0=-+⇒x f x f()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称AB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒DE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角. ①② ⇒（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x 及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f 则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f . 由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f 故⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛21331131712f n n f f f .⇒<<<-01又21x x 条件①。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
二〇〇五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题1.使关于x的不等式≥k有解的实数k的最大值是（）A. B. C. D.2.空间四点A、B、C、D，满足、、、，则的取值（）A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个3.△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是（）A.2B.4C.6D.84.如图，ABCD－A′B′C′D′为正方体，任作平面α与对角线AC′垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A.S是定值，l不是定值B.S不是定值，l是定值C.S、l均是定值D.S、l均不是定值5.方程表示的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线6.记集合T={0,1,2,3,4,5,6}，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（）A. B.C. D.二、填空题7.将多项式f(x)=1-x+x2-x3+…-x19+x20表示为关于y的多项式g(y)=a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，且y=x-4，则a0+a1+…+a20=__________.8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2-4a+1)成立，则实数a的取值范围是_____________.9.设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0成立，则γ-α=___________.10.如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________.11.正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上，另外两顶点在y=x2上，则正方形面积的最小值为_____________.12.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若a n=2005，则a5n=______.三、解答题13.数列{a n}满足a0=1，，n∈N，证明：(1)对于任意n∈N，a 为整数；(2)对于任意n∈N，a n a n+1-1为完全平方数.14.将编号为1、2、3、…、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.15.过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程.参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.解：令，3≤x≤6，则..∴0＜y≤，∴实数k的最大值为.选D.2.解：注意到32+112=130=72+92，由于，则，即，∴只有一个值0.故选A.3.解：如图，连，则. ∴，同理，，∴，∴原式.选A.4.解：将正方体切去两个正三棱锥A-A′BD与C′-D′B′C后，得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A′B′剪开，展开在一张平面上，得到一个平行四边形A′B′B1A1，而多边形W的周界展开后便成为一条与A′A1平行的线段(如图E′E1)，显然E′E1=A′A1，故l为定值.当E′位于A′B′中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值.选B.5.解：∵，∴.∴，即sin＞sin.又，∴cos＞0，cos＜0.∴cos-cos＞0，方程表示的曲线是椭圆.∵……(*)，∴.∴.∴.∴(*)式＜0，即sin-sin＜cos-cos.∴曲线表示焦点在y轴上的椭圆.选C.6.解：用{a1a2…a k}p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得M′={a1·73+a2·72+a3·7+a4，｜a i∈T，i=1,2,3,4}={[a1a2a3a4]7|a i∈T，i=1,2,3,4 }，M′中的最大数为[6666]7=[2400]10.在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396.而[396]10=[1104]7，将此数除以74,便得M中的数.故选C.二、填空题(本题满分54分，每小题9分)本题共有小题，要求直接将答案写在横线上.7.解：由题设知，f(x)和式中的各项构成首项为1，公比为-x的等比数列，由等比数列的求和公式，得.令x=y+4，得，取y=1，有.8.解：∵f(x)在(0,+∞)上定义，又；3a2-4a+1=(3a-1)(a-1)，仅当a＞1或a＜时，3a2-4a+1＞0.(*)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a2+a+1＞3a2-4a+1，，∴0＜a＜5，结合(*)知.9.解：设f(x)=cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)，由x∈R，f(x)=0知，f(-α)=0，f(-γ)=0，f(-β)=0，即cos(β-α)+cos(γ-α)=-1，cos(α-β)+cos(γ-β)=-1，cos(α-γ)+cos(β-γ)=-1，∴cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=-.∵0＜α＜β＜γ＜2π，∴β-α，γ-α，γ-β∈[].又β-α＜γ-α，γ-β＜γ-α，只有β-α=γ-β=.∴γ-α=.另一方面，当β-α=γ-β=，有β=α+，γ=α+.x∈R，记x+α=0，由于三点(cosθ,sinθ)，(cos(θ+),sin(θ+))，(cos(θ+),sin(θ+))构成单位圆x2+y2=1上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有cosθ+cos(θ+)+cos(θ+)=0.即cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0.10.解：∵，即.又，等号当且仅当AD=BC==1时成立，这时AB=1，AD⊥面ABC，∴DC=.11.解：设正方形的边AB在直线y=2x-17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(x1,y1)、D(x2,y2)，则CD所在直线l的方程y=2x+b，将直线l的方程与抛物线方程联立，得.令正方形边长为a，则a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=20(b+1).①在y=2x-17上任取一点(6,-5)，它到直线y=2x+b的距离为a，∴②.①、②联立解得b1=3，b2=63.∴a2=80，或a2=1280.∴.12.解：∵方程的非负整数解的个数为.而使x1≥1，x i≥0(i≥2)的整数解个数为.现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P(k)=.∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且，，，对于四位“吉祥数”1abc，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即个，∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即a65=2005.从而n=65，5n=325.又，而，∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即a5m=52000.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.证明：(1)由题设得a1=5，且{a n}严格单调递增.将条件式变形得，两边平方整理得，①∴.②①-②得(a n+1-a n)(a n+1+a n-1-7a n)=0.∵a n+1＞a n，∴a n+1+a n-1-7a n=0..③由③式及a0=1，a1=5可知，对任意n∈N，a n为正整数.……10分(2)将①两边配方，得，∴.④记，由于，从而，∴④式成立.∴a n a n+1-1是完全平方数.……20分14.解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的方法有种. ……5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧和劣弧两条路径，对其中任一条路径，设x1，x2，…，x k是依次排列于这段弧上的小球号码，则|1-x1|+|x1-x2|+…+|x k-9|≥|(1-x1)+(x1-x2)+…+(x k-9)|=|1-9|=8.上式取等号当且仅当1＜x1＜x2＜…＜x k＜9，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此S最小=2·8=16. ……10分由上知，当每个弧段上的球号{1,x1,x2,…,x k,9}确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是26种，故所求概率. ……20分15.解一：过抛物线上点A的切线斜率为，∴切线AB的方程为y=2x-1.∴B、D的坐标为B(0,-1)，D(,0).∴D是线段AB的中点. ……5分设，则由知，；.∴EF所在直线方程为，化简得.…①……10分当时，直线CD的方程为.…②联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为.……15分当时，EF方程为，CD方程为，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴.∴.∴所求轨迹方程为. ……20分解二：由解一知，AB的方程为y=2x-1，B(0,-1)，D(,0)，故D是AB的中点. (5)分令，则t1+t2=3.因AD为△ABC的中线，∴S△CAB=2S△CAD=2S△CBD.而，∴.∴P是△ABC的重心. ……10分设P(x,y)，，因点C异于A，则，故重心P的坐标为(x≠)，，消去，得.故所求轨迹方程为. ……20分。
2005年高考数学广东卷试题及答案
2005年高考数学網广东卷外试题及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择)题两部分，满分150分•考试用时120分钟•注意事项：1 •答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上 +用2B 铅笔将答题卡试卷类型(A )填涂在答题卡上"在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑 .2 •选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上+3 •非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需 改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液+不按以上要求作答的答案无效.4 •考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B)第I 卷(选择题，共50 分)、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的•2{x||x| 2}, N {x|x 3x 0}，则 M n N=A .33 B .8 C . D . 223336 .函数 f (x) x23x 1是减函数的区间为A • (2,)B .(,2) C .(,0) D . (0, 2)7.给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面a 、 B 的四个命题：①若m ,l代点A m,则l 与m 不共面 ;②若m 、1是异面直线，l 〃 ,m // ,且 n l, nm,则 n；③若l 〃 ，m 〃 ,// ,则 l// m ；④若l ,m ,l m点 A,l 〃 ，m 〃 ,// .其中为假命题的是 A .①B .②C .③D .④&先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、1 •若集合M A • {3} B . {0} C • {0 , 2}D • {0 , 3}2•若(a 2i)i 2 2b i ，其中a 、b € R , i 是虚数单位，则a b =5 A . 0 B . 2C . — … x 3 3. Iim 2=x 3x 29211 A .B . 0C . — 66D .5()D .1 34.已知高为3的直棱柱ABC — A B' C'的底面是边长为1的正三 角形(如图1所示)，则三棱锥B '— ABC 的体积为()11A •B . —4 2D .2 x5.若焦点在x 轴上的椭圆 - 22y_m1的离心率为丄，则m=(2如图1) ( )5、6),骰子朝上的面的点数分这n 条直线交点的个数，则f (4)=;当 n>4 时,f (n)= -------------------------- 三、解答本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤化简 f (x) cos( _1 2x) cos(―-33域和最小正周期.2X) 2 3s%2X)(X R ,kZ),并求函数 f(x)的值16.(本小题满分14分) 如图3所示，在四面体 P —ABC 中，已知PA=BC=6 ,— 15 、—AC=8 , PB=2.34.F 是线段 PB 上一点，CF —「34 ,17且EF 丄PB.(I)证明：PB 丄平面CEF ;g (x)的图象关于直线 y x 对称•现将y 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图B . 3第H 卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.111. 函数f (x) --------------- 的定义域是 _______________________ .V1 e x12. 已知向量 a (2,3),b(x,6),且a//b,则 x= ______________ .513.已知(xcos1)5的展开式中x 2的系数与(X )4的展开式中X 3的系数相等，贝ycos =14.设平面内有n 条直线(n 》3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示别为 X 、Y ，则 log 2X Y1的概率为()151 A.-B .C.—63612g(x)的图象沿x2所示)，则函C .2x 2,f(x)f(x)f(x)f(x)10.已知数列 2x 2x 2x 2,0 2,2,0 2,11,2 6,13,2{x n }满足x 2X 1 亍X n1 2(xnX n2),n3,4, 如图2.若 lim x n 2,则x 1n9.在同 平面直角坐标系中， 函数y f (x)和y轴向左平移2个单位， 数f(x)的表达式为(再沿y 轴向上平移 )-2O 1(用n 表示)15.(本小题满分12分)PC=AB=10 , 点E 在线段AB 上,如图3(n)求二面角 B — CE — F 的大小.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点 O 的两不同动点 A 、B 满足AO 丄BO (如图4 所示)•(1)求厶AOB 的重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹(n)A AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 在，请说明理由•18. (本小题满分12分)箱中装有大小相同的黄、 白两种颜色的乒乓球， 黄、白乒乓球的数量比为 s:t •现从箱中每次任意取出一个球, 若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最 多不超过n 次，以E 表示取球结束时已取到白球的次数(I)求E 的分布列； (n)求E 的数学期望•19. (本小题满分14分))上满足f(2 x) f (2 x), f(7 x) f (7 x),且在闭区间［0, 7］上，只有f (1) f(3) 0.0在闭区间［—2005, 2005］上的根的个数，并证明你的结论20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为2,宽为1, AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点 与坐标原点重合(如图 5所示)•将矩形折叠，使 A 点落在线段DC 上.(I)若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；(n)求折痕的长的最大值•(A)如图5yA *破BV%O以设函数f(X )在((I)试判断函数yf (x)的奇偶性;(n)试求方程f (x)如图4方程； 若不存x•••( 1)2005年高考数学牡广东卷"式题及答案参考答案一、 选择题 1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B 二、 填空题 11.{x|x<0}12.4 13. 、214. 5, -(n2)( n 1)215.解:f (x) cos(2k 2x) cos(2k2x) 2、3sin(— 2x) 33 32cos(2x) 2、3 sin( 2x) 4cos 2x3 3三、解答题 函数f(x)的值域为 4 ; 2函数f(x)的周期T - 16. (I )证明：T PA 2 AC 2 36 64 100 PC 2•••△ PAC 是以/ PAC 为直角的直角三角形，同理可证 △ PAB 是以/ PAB 为直角的直角三角形，△ PCB 是以/ PCB 为直角的直角三角形- ABC1 | AC ||BC|2 故PA 丄平面又・S PBC 110 6 30 21 而 § | PB ||CF | 12.34 2 15.34 17 30S PBC EF 丄 PB故CF 丄PB,又已知 • PB 丄平面CEF (II )由(I )知 PB 丄CE,PA 丄平面 ABCAB 丄 CE BF1C• AB 是PB 在平面 ABC 上的射影，故在平面 PAB 内，过F 作FF1垂直 AB 交AB 于F1,则FF1丄平面 ABC , EF1是EF 在平面 ABC 上的射影，• EF 丄EC 故/ FEB 是二面角 B — CE — F 的平面角 AB 10 tan FEB cot PBAAP 6 5 二面角B — CE — F 的大小为arctan — 317.解：(I )设厶AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y”,B(X 2,y 2),则X~| x 2 3 y 1y 23 •••OA 丄 OB • k OA k OB1,即 X 1X 2 力丫21 ,又点A , B 在抛物线上，有 y 12 2为,y 2 X 2，代入(2)化简得x 1x 2故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有有两个解，y f (x)在［0,2005］上有402个解，在［-2005.0］上有400个解, f (x)在[-2005,2005]上有 802 个解* 20•解 (I) (1 )当k 0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程y —2•- y W ■产 3(X 12x ；)3 313[(X 1X 2)22x 1X 2](3x)2 彳33x 2- 3所以重心为G 的轨迹方程为y 3x 2 1(II )S AOB — |OA||OB| 2 由(])得 S AOB 1 JX ； 2 v-6 X 2 当且仅当x 16 X ；即 x 1 x 2 2 . (x 2 y ；)(x ； y |) 2 2,2r 2 1时，等号成立” 存在时求最小值 1 ； 2 2 2X 2 X 1 y2 2 X 2 y1的数学希望为(II)所以△ AOB 1&解:(I): 的分布列为的面积存在最小值， E 的可能取值为：0,1,2,…,n st (st)2.2.n 1stst 3••• (nFl(s t)(s t)-E tst 2(st)22st 3(st)3(n 2)st n 1nn(s t)(n 1)st n nn (s t)n 1nt(s t)(1) -(2)得t ns(s t)n 1 19•解：由f(2 f(7 x) x)f (x)f(x10),又 f(3)f( 3) 故函数(II)由(n 1)t n(s f(2 f(70,而 f(7) 0, f(2 f(7 t)n 1 x) x)f(7) 0 f( 3) f (x)是非奇非偶函数； x) x) f(2 x) f(7 x)f(x) f(x 10) 又 f(3) f(1)0 f (11)2 2 y 1 y2t n(s t)n (1) (2)nt n (s t)n f(x) f(x)f(4 f (14x)X) f(4 x) f (14 x)f(3), f(x) f(x) f(13) f( 3) f(3)f(4 f(14 f( 7)x) x)f(4 x) f (14 x)f( 9) 0从而可知函数 所以函数y(2)当k 0时，将矩形折叠后 A 点落在线段CD 上的点为G(a,1)(0 a 2),1所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有 k OG k 1,- k 1 a ka故G 点坐标为G( k,1) ( 2 k 0).从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为1k折痕所在的直线方程 yk(x )，即y22kx k 2 1 T 2(0).由(1 )、( 2)得折痕所在的直线方程为:1k 2 1k =0时，y2；k 0时y kxIT 2( 20)-(II )⑴当k 0时，折痕的长为2； ⑵当k 0时，这时,①如下图，折痕所在的直线与边(A)(1)AD 、BC 的交点坐标为 k 2N(0,—1LP(2,2k2 、、3 k 0，y PN 24 4k 2 4(1 k 2) (4,16(2.3)).②如下图，折痕所在的直线与边AD 、AB 的交点坐标为(A)这时,2 ,3，y PN 2(k 2 1)3 4k 23(k 2 1)2 2k 4k 2 (k 2 1)3 8k16k 4 (k 2 1)2(2k 21)2k 32 ，二27,yi k 2 3 16（2、、3）••• y【16,16（2 、、. 3）]1 k2k2 1③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N( ---------- 1) P( ---------- 0).2k ' ' 2k '1，yPN2 G）2这时，2 k51 [4,2）-综上述，ymax16（2 3所以折痕的长度的最大值.,16(2 3)2（、6 . 2）（ 2.07）*令y/0解得k。
2005年高考数学 广东卷 试题及答案
2005年高考数学广东卷试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B 铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液作答的答案无效4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N=（ ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}2．若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （ ）A ．0B ．2C ．25 D ．5 3．93lim 23-+-→x x x =（ ）A ．61-B ．0C ．61 D ．314．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三 角形（如图1所示），则三棱锥B ′—ABC 的体积为（ ）A ．41B ．21C ．63D ．435．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+myx 的离心率为21，则m=（ ）如图1A ．3B ．23 C ．38 D ．32 6．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）7．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是 （ ）A ．①B ．②C ．③D ．④8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为（ ）A ．61B ．365 C ．121 D ．219．在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x x x x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x fD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x x x x x f10．已知数列===+==∞→--12112,2lim .,4,3),(21,2}{x x n x x x x x x n n n n n n 则若满足 （ ）A ．23B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．函数xex f -=11)(的定义域是 .如图212．已知向量,//),6,(),3,2(b a x b a 且==则x = . 13．已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中x 3的系数相等，则θcos = .14．设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = ；当n>4时，)(n f = .（用n 表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.16．（本小题满分14分）如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. （Ⅰ）求ξ的分布列；如图4（Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分14分）设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值.2005年高考数学广东卷试题及答案参考答案一、选择题1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B 二、填空题11.{x|x<0} 12.4 13.22± 14. 5, )1)(2(21+-n n三、解答题15．解：()cos(22)cos(22)sin(2)333f x k x k x x πππππ=+++--++2cos(2)sin(2)4cos 233x x x ππ=+++=函数f(x)的值域为4-;函数f(x)的周期πωπ==2T ； 16．（I ）证明：∵2221006436PC AC PA ==+=+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故PA ⊥平面ABC又∵3061021||||21=⨯⨯==∆BC AC S PBC 而PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017341534221||||21 故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB ∴PB ⊥平面CEF（II ）由（I ）知PB ⊥CE, PA ⊥平面ABC ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE在平面PAB 内，过F 作FF1垂直AB 交AB 于F1，则FF1⊥平面ABC ， EF1是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF ⊥EC 故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角35610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB 二面角B —CE —F 的大小为35arctan17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x (1)∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I）得1212AOB S ∆=≥==⨯= 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n(II) ξ的数学希望为nnn n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )()()1(...)(2)(1011322+⨯++⨯-+++⨯++⨯++⨯=--ξ…(1) 111113322)()()1()()2(...)(2)(++---+++-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) －(2)得nnn n n n t s nt t s t n t s s t s t E )()()1()(11+++--+-=--ξ 19.解: 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-)10()(+=⇒x f x f ,又(3)0,(7)0f f =≠而,(3)(7)0f f ⇒-=≠(3)(3)f f ⇒-≠，(3)(3)f f -≠-故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-)10()(+=⇒x f x f又(3)(1)0(11)(13)(7)(9)0f f f f f f ==⇒==-=-= 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解20.解(I) （1）当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程21=y （2）当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1) 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k a k ak k OG -=⇒-=-=⋅11,1 故G 点坐标为1,(k G -从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为)21,2(k M -折痕所在的直线方程)2(21k x k y +=-，即222kk kx y ++= 由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，21=y ；0≠k 时222kk kx y ++= （II ）(1)当0≠k 时，折痕的长为2;(2) 当0≠k 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(),21,0(22k k P k N +-+ 23222224)1()21()21(kk k k k PN y +=+-++== 432222/168)1(42)1(3k kk k k k y ⋅+-⋅⋅+=令0/=y 解得22-=k ∴21627max <=PN 所以折痕的长度的最大值2。
2005年全国高中数学联赛二试及解答
2005年全国高中数学联赛试题（二）一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.2005年全国高中数学联赛试题（二）参考答案一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。
如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。
2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛
2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案2005-3-2012． 偶 ，),0(+∞ 13. 36π 14. 二、三15. 0100 16.313-≤≤-t 17． 4 三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）由题意，⎩⎨⎧=+-=+0122a y x y x ⇒012222=-++a ax x 直线与圆相交，∴0>∆ 即0)2(4)1(84222>--=--=∆a a a 则022<-a ，即22<<-a 时，有0>∆直线与圆相交 （此题可有几何方法，相应评分） 19、解： AO=OC=435BO AB 2222=-=-， 易得 θ = ∠ ⊥ ⊥ AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 的平面角。
.s i n 166sin 38 BD S 31V ,sin 8sin 421 AOC sin OC AO 21S AOC ABCD 2AOC θ=⋅θ=⋅=θ=θ⋅=∠⋅=∆∆ 依题意,8sin 16=θ得21sin =θ，又πθ<<0, 656ππθ或所以=, 故所求二面角的大小为656ππ或20、解：分析 已知式和要求值的式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们的倒数。
因为,0,12≠=++a a x x x 故 区 学 姓名 考,0,112≠=++a a x x x 即x+111-=a x , 又11122224++=++x x x x x 222211)11(1)1(a aa x x -=--=-+=所以 a a x x x 2112242-=++21、解：设实际销售运动衣x 套，每套运动衣实际利润为y 元.则 ⎩⎨⎧==+-16000xy 12000)10y )(400x (解得.20y ,800x 11⎩⎨⎧== 及⎩⎨⎧-=-=20y 800x 22 （舍去）答：实际销售运动衣800套，每套运动衣实际利润20元22、()也是等高三角形，故与又是等高的三角形，故与由于证明：ABE ADE 1 1AD ABAD AD-AB AD BD S M BDE ADEADE∆∆-===∆∆∆()()x ，设此比值为，故又同理，AC AEAB AD BC ||DE 3 AC AES S 2 ABADS S ABEABE ADE ===∆∆∆()()()()SM x x x S MM Sx x x x 4141)21(41)1S41M 04SM S 0S ,1S MABADAB AD -1AC AE AB AD 1-AD AB S M3,2,1 222≤⇒≤--=-=≤≥-=∆=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=（法二：由解之得有实根，故法一：展开得即式相乘，得将23、解:(1)∵△ABC 是Rt △且BC=a ，AC=b ，AB=5 （a>b ）又a 、b 是方程的两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>+=⋅>-=+>+--=∆2504010)4(4)1(222b a m b a m b a m m ∴(a+b)2-2ab=25(m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0………….得m 1=8 m 2=-4 经检验m=-4不合舍去∴m=8 …………∴x 2-7x+12=0 x 1=3 x 2=4∴a=4，b=3(2) ∵△'''C B A 以1厘米/秒的速度沿BC 所在直线向左移动。
2007年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题答案2007-4-15
2007年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 第14题的第一个空2分，第二个空3分．11．n n c c c 21 12．1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1314．43π，三、解答题：15．()f x =⋅a b ＝1＋2sin (cos sin )x x x - ……2分 ＝212sin 2sin cos x x x -+＝cos 2sin 2x x + ……4分24x π⎛⎫+⎪⎝⎭……6分 （Ⅰ）当2242x k πππ+=-，即3,8x k k ππ=-∈Z 时，函数)(x f y =取最小值， 函数)(x f y =的最小值是2-． ……9分（Ⅱ）当222242k x k πππππ-≤+≤+，即388k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 时，函数)(x f y =单调递增，故函数)(x f y =的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． ……12分16．（Ⅰ）由不等式2922n n n ≤-+，得5n ≤5n ≥ ……3分由于{}1,2,,12n ∈，所以n =1，2，3，7，8，9，10，11，12．即共有9张卡片正面数字不大于反面数字， 故所求的概率为93124=．答：正面数字不大于反面数字的概率为34． ……6分 （Ⅱ）设取出的是第m 号卡片和n 号卡片（m n ≠），则有22922922m m n n -+=-+． ……8分 即229()n m n m -=-，由m n ≠，得9m n +=． ……10分 故符合条件的取法为1，8；2，7；3，6；4，5． 故所求的概率为2124233C =． 答：反面数字相同的概率为233． ……12分17．解法1：（Ⅰ）如图，连AQ ，由于P A ⊥平面ABCD ，则由PQ ⊥QD ，必有AQ DQ ⊥． ……2分设BQ t =，则CQ a t =-， 在Rt ABQ ∆中，有AQ =． 在Rt CDQ ∆中，有DQ =……4分在Rt ADQ ∆中，有222AQ DQ AD +=．即()22244t a t a ++-+=，即240t at -+=．∴44a t t=+≥． 故a 的取值范围为[)4,+∞． ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2t =，4a =时，边BC 上存在唯一点Q （Q 为BC 边的中点），使PQ ⊥QD ． ……8分 过Q 作QM ∥CD 交AD 于M ，则QM ⊥AD ．∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QM ．∴QM ⊥平面P AD ． 过M 作MN ⊥PD 于N ，连结NQ ，则QN ⊥PD ．∴∠MNQ 是二面角A －PD －Q 的平面角． ……10分在等腰直角三角形PAD 中，可求得MN =2MQ=，进而NQ ……12分∴cos MN MNQ NQ ∠===． 故二面角A －PD －Q 的余弦值为3． ……14分解法2：（Ⅰ）以AD AB AP 、、为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则 B （0，2，0），C （a ，2，0），D （a ，0，0）， P （0，0，4）， ……2分设Q （t ，2，0）（0t >），则 PQ ＝（t ，2，－4）， ＝（t －a ，2，0）． ……4分 ∵PQ ⊥QD ，∴()4PQ DQ t t a =-+＝0．即240t at -+=． ∴44a t t=+≥． 故a 的取值范围为[)4,+∞． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2t =，4a =时，边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD ．此时Q （2，2，0），D （4，0，0）． ……8分设(),,x y z =n 是平面PQD 的法向量，由00DP DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得440220x z x y -+=⎧⎨-+=⎩．取1z =，则()1,1,1=n 是平面PQD 的一个法向量． ……10分而()0,2,0AB =是平面PAD 的一个法向量， ……12分 由3cos ,3AD AD AD <>==⋅n n n．∴二面角A －PD －Q 的余弦值为 ……14分18．当()3(2)f x x x a '=-． ……2分令()0f x '=，得0x =，或2x a =． 且1(0)2f =， 31(2)42f a a =-+． ……6分 （Ⅰ）当0a >时，20a >．当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：……8分∴ 当0a >时，在0x =处，函数()f x 有极大值1(0)2f =；在2x a =处，函数()f x 有极小值31(2)42f a a =-+． ……10分 （Ⅱ）要使函数()0f x =有三个不同的零点， 必须31(2)402f a a =-+<． ……12分 解得12a >． ∴当1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数()y f x =有三个不同的零点． ……14分19．（Ⅰ）设点（0x ，0y ）是轨迹1C 上的动点，∴00,.y x x y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……2分∴0x 0y =2y ，200x x y=．∵点（x ，y ）在椭圆C: 12222=+by a x （)0>>b a 的第一象限上运动，则0x >0，0y >0． ∴1200020=+byx x a y ．故所求的轨迹1C 方程是122=+b xyx a y （0x >，0y >）． ……6分 （Ⅱ）由轨迹1C 方程是122=+b xy x a y （x >0，y >0），得22222x a b x b a y +=（x >0）．∴ 222222222()a b x a b f x b a x b a x x ==++≤222ab =． 所以，当且仅当x a xb 22=，即a b x =时，()f x 有最大值． ……10分如果在开区间⎛ ⎝⎭内()y f x =有最大值，只有b a<． ……12分 此时，222221133b ac a a-<⇒<，1e <<．∴椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎝⎭． ……14分20．（Ⅰ）1=n 时，21111102a a a s a +==⇒=或11a =． 由于{}n a 是正项数列，所以11a =．当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a s s ---++=-=-，整理，得()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+-．由于{}n a 是正项数列，∴11n n a a --=．∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列． 从而n a n =，当1n =时也满足．∴n a n =（*n ∈N ）． ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知112nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于),0(+∞上的凹函数1+=n x y ，有()1n y n x '=+．根据定理，得1112112(1)n n n x x n x x x ++-<+-． ……6分 整理，得()112121n n x n x nx x ++-<⎡⎤⎣⎦．令12111,122(1)x x n n =+=++，得21(1)1n x nx +-=． ……8分 ∴112n n x x +<，即()11111221n nn n +⎡⎤⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦． ∴1+<n n b b ． ……10分（Ⅲ）∵111111C ...222r r rrnn n n r n n nn r --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2111111111C 1...2 2.222222nrnnnr n n r b n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+≤++++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑……12分 又由（Ⅱ），得12132n n b b b b ->>>>=． （或2111311C .2222nrn r n n r b n n =⎛⎫⎛⎫=+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑）∴322n b ≤<． ……14分。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
2005 年高中数学联赛试卷 一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 A ． 6 − 3 B． 3 答案：D． 解：令 y = x − 3 + 6 − x ,3 x 6, 则 y 2 = ( x − 3) + ( 6 − x ) + 2
x − 3 + 6 − x k 有解的实数 k 的最大值是
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答案：B． 解：将正方体切去两个正三棱锥 A − ABD与 C − DBC 后 ， 得 到 一个 以平 行 平 面 ABD与DBC 为上、下底面的几何体 V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面 多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行， 将 V 的侧面沿棱 AB 剪开， 展平在一张平面上，得到一个平行四边形 ABB1 A1 ，而多边形 W 的周界展开后便成 为一条与 AA1 平行的线段（如图中 E E1 ） ，显然 E E1 = AA1 ，故 l 为定值． 当 E 位于 AB 中点时，多边形 W 为正六边形，而当 E 移至 A 处时，W 为正三 角形，易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为 定值．
∴ sin(
青年教师初中数学解题比赛决赛试卷及答案(广州市)
广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷。
请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上。
全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D A A B B D C C A第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）1、a 是任意实数，下列判断一定正确的是（ ）. （A ）a a -> （B ）a a<2（C ）23a a > （D ）02≥a 2、已知集合},032|{},4|{22<--=<=x x x N x x M 则集合=⋂N M （ ）. （A ）}2|{-<x x （B ）}3|{>x x （C ）}21|{<<-x x （D ）}32|{<<x x3、若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点（a ＋b ，ac ）在（ ）. （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（第3题）4、同圆的内接正十边形和外切正十边形的周长之比等于（ ）. （A ）cos18°（B ）sin18° （C ）cos36°（D ）sin36°5、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第8个图案中有白色地面砖（ A ）块.(A)34 (B)36 (C)38 (D)406、将正方形的四边四等分，包括顶点共有16个点，这16个点可得到的直线条数是（ ）. (A)120 (B)84 (C)82 (D)807、如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于（ ）.（A ）20° （B ）30° （C ）40° （D ）50°（第7题） 8、如果y x ,为实数，且,0)1(22=-+-y x x 则x 的取值范围是（ ）.(A)任意实数 (B)负实数 (C)210≤<x (D)10≤≤x 9、方程012=-+x x 所有实数根的和等于（ ）.O C BAD Oxy(A)1- (B)1 (C)0 (D)510、将四个完全相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能是（ ）. (A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种 11、一次函数b ax x f +=)(（a 为整数）的图象经过点（98，19），它与x 轴的交点为（p,0）,它与y 轴的交点为（0，q ）,若p 是质数，q 为正整数，则满足条件的所有一次函数的个数为（ ）.(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2的整数第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在第三页的答题卷上）12、函数x y lg =在定义域上是 OU 函数（填奇或偶）；在区间 0—〉 上是增加的. 13、如图，有两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ， 大圆的弦CD 经过点P ，且CD ＝13，PD ＝4，两圆组成的圆环的面积是 36PI .P（第13题）14、已知t bac a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx x f +=)(一定通过第 2、3 象限.T=2，-1 分析：利用和分比公式得a+b+c=0,t= -1,a+b+c ≠0,t=215、已知上的点，为上的点，为内一定点，为ON B OM A MON P MON ∠=∠,400则当PAB ∆的\周长取最小值时，的度数为APB ∠ 100° . 313-≤≤-t16、已知实数b a ,满足t b a ab t b ab a 那么且,,12222--==++的取值范围是 17、若c b a ,,为实数，且,2,0==++abc c b a 那么c b a ++的最小值可达到 4 . 三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、（本题8分）若直线0=+-a y x 与圆122=+y x 相交，求实数a 的取值范围. 19、（本题8分）菱形ABCD 的边AB=5，对角线BD=6，且AC 与BD 相 交于点O ，沿BD 折叠得四面体ABCD ，已知该四面体的体积等于8， 求二面角A-BD-C 的大小.20、（本题8分）设,0,12≠=++a a x x x求1242++x x x 的值.21、（本题8分）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润12000元. 在进行市场调查后， 为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润10元，结果实际销售比计划增加了400 套，总利润比计划多了4000元，问实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润多少元？.ABCDO22、（本题10分）已知任意三角形ABC,其面积为S. 作BC 的平行线与AB 、AC 分别交于D 、E . 设三角形BDE 的面积为M ，求证：M≤S 4123、（本题11分）已知：如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根， ⑴求a 和b 的值；⑵△'''C B A 与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将 △'''C B A 以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动.ⅰ)设x 秒后△'''C B A 与△ABC 的重叠部分的面积为y 平方厘米，求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围；ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于38平方厘米？24、（本题11分）已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦AC 切⊙P 于点A ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E ，经过E 作EF ⊥CE 交CB 的延长线于F.⑴ 求证：BC 是⊙P 的切线；⑵ 若CD ＝2，CB ＝22，求EF 的长；⑶ 若设k ＝PE:CE,是否存在实数k,使△PBD 恰好是等边三角形?若存在,求出k 的值；若不 存在，请说明理由.25、（本题12分）如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 相交于点O ，且它们所夹的AB CM A'B'C'锐角为θ，CFH BEG ∠∠与都是锐角，已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 的面积为S ，（1） 求证：klS 2sin =θ （2） 试用S l k 、、来表示正方形ABCD 的面积.2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案2005-3-20 一、选择题答案（每小题4分，共44分） 二、填空题答案（每小题5分，共30分）三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）由题意，⎩⎨⎧=+-=+0122a y x y x⇒012222=-++a ax x直线与圆相交，∴0>∆即0)2(4)1(84222>--=--=∆a a a则022<-a ，即22<<-a 时，有0>∆直线与圆相交（此题可有几何方法，相应评分）19、解： AO=OC=435BO AB 2222=-=-，易得 θ = ∠ ⊥ ⊥AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 的平面角。
2002年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题
高中数学青年教师解题比赛试卷1．若31)sin(=+πα，则)23cos(απ-的值等于（A ）31 （B ）31- （C ）322 （D ）-3222．若函数y=f （x ）的反函数的图象经过点)1,2(-，则此函数可能是x y D y C y B x y A x x 2log )(2)()21()(21)(-===-=3．双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 (A)3 (B)3 (C) 4 (D) 24．圆台母线与底面成450角，侧面积为π23，则它的轴截面面积是（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）235．若{a n }是无穷等比数列，且a 1＋a 2＋a 3=43, a 2＋a 3＋a 4=－83，则此数列所有项的和为（A ）31（B ）32 （C ）1 （D ）346．设函数|log |)(x x f a =（10<<a ），则下列各式中成立的是)2()31(41()()41()2()31()()31()2()41()(41()31()2()(f f f D f f f C f f f B f f f A >>>>>>>>7．如图，点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，AD PD ABCD PD =⊥,平面，则PA 与BD 所成角的度数为 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°9. 有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有 (A) 6种 （B ）8种 （C ）12种 （D ）16种10. 设点P 在直线1=x 上变化，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是(A)两条平行直线 （B ）一条直线 （C ）抛物线 （D ）圆11．由(3x+32)100展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 (A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项12. 某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是(A)16万元 （B ）14万元 （C ）13万元 （D ）12万元 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.如果直线b y x =+与圆222=+y x 相切，则实数b 的值为___________；14.已知,52,4321i z i z --=+=则211argz z iz +-= ；15.已知αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________；16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f （x ）的判断：（1）f （x ）是周期函数；（2）f （x ）的图象关于直线x=1对称；（3）f （x ）在[0，1]上是增函数；（4）f （x ）在[1，2]上是减函数；（5）f （2）=f （0），其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数3)2(cos 32)2sin()(2-+++=θθx x x f⑴ 求函数)(x f 的周期;⑵ 若πθ≤≤0,求θ,使函数)(x f 为偶函数. 18.（本小题满分12分）已知函数)(3)(2a x ax x x f ≠-+=, a 为非零常数， ⑴ 解不等式x x f <)(;⑵ 设a x >时，)(x f 的最小值为6,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠APC=600，PA=3，PB=2，ΔPBC 为正三角形 （1） 求证：平面PBC ⊥平面ABC ； （2） 求棱PA 与侧面PBC 所成的角； （3） 求点B 到侧面PAC 的距离.20.（本小题满分12分）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点P 到A 、B 两点的距离差的绝对值为2,(1) 求动点P 的轨迹方程;(2) 过点C （1，1）能否作直线l ，使它与动点P 的轨迹交于两点M ，N ，且点C 是线段 MN 的中点，问这样的直线l 是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案. 一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元. 例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a 元，问a 为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？ 22.（本小题满分14分）已知ax x x f +-=3)(在(0,1)是增函数,求实数a 的取值范围(1) 当3=a 时,定义数列}{n a 满足)1,0(1∈a ,且)(21n n a f a =+,求证:对一切正整数n 均有)1,0(∈n a .PCB A(2)。
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2005年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷2005.3.20上午本试卷共8页，第1-３页为选择题和填空题，第４-8页为解答题及答卷。
请将选择题和填空题的答案做在第４页的答卷上。
全卷共三大题20小题，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 P (A+B )=P (A )+(B )S ＝4πR 2如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·(B )球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么V ＝43πR 3P n (k)＝k n C P k(1-P)n-k其中R 表示球的半径第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第４页的答题卷上 1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（ ）. (A) 21 (B) 41 (C) 81 (D) 87 2.与411π-终边相同的角为（ ）.(A) 43π-(B) 4π- (C) 4π (D) 43π3．已知集合{}1916),(22=+=y x y x S ， {}1),(22=+=y x y x M ，则S 与M 的关系是（ ）. (A)M S ≠⊂ (B)S M ≠⊂ (C)Φ=M S (D)M M S =4.函数x x x f ln 2)(2-=的增区间为（ ）.(A) ),0[+∞ (B))21,(-∞ (C) ),21(+∞ (D) ),0(+∞5.观察下列四个电路图，结论正确的是（ ）.(A) 图①中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件； (B) 图②中开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件； (C) 图③中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分且必要条件； (D) 图④中开关A 闭合是灯泡B 亮的不充分又不必要条件.6.设j i,是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的单位向量且j i ,j i4324+=+=，则ABC ∆的面积等于（ ）.(A) 15 (B) 10 (C) 7.5 (D) 57.()x f 与()x g 是定义在R 上的可导函数.若()()x g x f '='，则()x f 与()x g 满足（ ）. (A) ()()x g x f = (B)()()x g x f -是常数函数 (C) ()()0==x g x f (D) ()()x g x f +是常数函数.8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则θθ22cos sin -的值为（ ）. (A)2512-(B) 2524 (C) 257 (D) 257- 9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设{}n a 是公比为q 、前ｎ项和为n S 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量：; ①21s s 与②32s a 与；③n a a 与1；④n a q 与中，一定能成为该数列的“基本量”的是 （ ）.(A) ①② (B) ①④ (C) ③④ (D) ①②③AC ②①③④ Ａ Ｃ10.已知直线n m 、及平面α,其中n m //,那么在平面α内到两条直线n m 、距离相等的点的集合可能为① 一条直线；② 一个平面；③ 一个点；④ 空集.其中正确的是（ ）. (A) ①②③； (B) ①②④； (C) ①④； (D) ②④．第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 请将答案填在第４页的答题卷中.11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有()*n n ∈N 行，在这些数中非1的数字之和是_______.11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 ……………………12．若点距离的最小值到直线上的动点，则点为抛物线05102=++=y x P x y P 为 （3分），此时点P 的坐标为 （2分）.13.定义在R 上的函数()x f ，对任意实数x ，都有()()33+≤+x f x f 和()()22+≥+x f x f ，且()11=f ，则()2005f 的值为_________.14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边DE 将其倾斜，随着容器的倾斜程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律： .（要求：各种规律的表述要科学,准确.每答对1个给1分,本题满分5分）Ｂ Ｐ)三、解答题：15．（本题满分12分）已知23+>ax x 的解集为()b 4，，求实数b a ,的值.16.（本题满分13分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f , 且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4215πx cos x sin f 的值.17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC 中，AO ⊥OC ，AB ∥OC ，1,2====AB OA OS OC .⊥SO 平面OABC .以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .（Ⅰ）求异面直线SC 与OB 所成角；（Ⅱ）设()q p n ,,1= ，满足⊥n 平面SBC .求：①n的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）；③点O 到平面SBC 的距离.18.（本题满分14分）设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j )y (i x b ,j )y (i x a2 2-+=++=，且8=+b a.（Ⅰ）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设+=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.zyx19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.20（本题满分14分）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.2005年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案二、填空题答案11. n n22- 12.)5,25(,425- 13.()2005f ＝200514. ⑴ 水面是矩形；⑵ 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形； ⑶ 水面的大小是变化的，水面与平面CDEF 所成二面角越小，水面的面积越大； ⑷ 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等； ⑸ 侧面积不变； ⑹ 侧面中两组对面的面积之和相等；⑺ 形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值； ⑻ AB+CD 为定值； ⑼ 如果长方体的倾斜程度为α时，则水面与与底面所成的角为90︒-α； ⑽ 底面的面积＝水面的面积×cos （90︒-α）＝水面的面积×sin α； ⑾ 当倾斜程度增大，点A 在BD 之间时，A 与B 重合时，BD ＝2h （h 为水面原来的高度）； ⑿ 若容器的高度PD ＜２ｈ，当A 与B 重合时，水将溢出； ⒀ 点A 在BD 内部时，△ADC 的面积为定值 .Ｂ Ｐ )三、解答题15．（本题满分12分）已知23+>ax x 的解集为()b ,4，求实数b a ,的值.法一：如图,在同一直角坐标系中，作出y ＝x （x ≥0）及y ＝ax ＋32 的大致图像，设y ＝ax ＋32 与Y 轴及y ＝x 分别交于A 、B 、C 点由条件及图像可知A （0,32），B （4，2），812234==+a a 得则令C （b, b ）（b ＞０） 由BC AB k k =得 4204232--=--=b b a 3681==⇒b ,a 法二：()023232<+-⇔+>x x a ax x依题意，上式等价于()()02<--b x x a∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==+023212a b a b a∴⎪⎩⎪⎨⎧==3681b a16.（本题满分13分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f ,且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f 的值. 解：由cosx －sinx ＝523，可得cos （x+4π）＝53且sin2x ＝257 ∴⎪⎭⎫⎝⎛+4215πx cos xsin ＝７ 又∵()x f y =是关于x ＝3对称的函数，∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f ＝ f （7） ＝ f （-1）＝320…17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC 中，AO ⊥OC ，AB ∥OC ，1,2====AB OA OS OC .⊥SO 平面OABC .以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .（Ⅰ）求异面直线SC 与OB 所成角；（Ⅱ）设()q p n ,,1=，满足⊥n 平面SBC .求： ①n的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③点O 到平面SBC 的距离.解：（Ⅰ）.如图: Ｃ（２,０,０），Ｓ（０,０,１），Ｏ（０,０,０），Ｂ（１,１,０）， ∴()()011102,,OB ,,SC =-=∴ 510=⋅=><252,COS OB SC故异面直线SC 与OB 所成的角为510arccos ．zy(Ⅱ).①∵()()011111,,CB ,,SB -=-=由⊥n 平面SBC ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥⇒n n⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒0CB n n ⇒⎩⎨⎧=+-=-+0101p q p⇒⎩⎨⎧==21q p 故 ()211,,n =② （法一）过O 作OE ⊥BC 于E ，连SE ，则SE ⊥BC ， 故BC ⊥面SOE过O 作OH ⊥SE 于H ，则OH ⊥面SBC ∵OE ＝2 ∴SE=336321=⨯=⋅=SE OE SO OH ∴点O 到平面SBC 的距离为36. （法二）（注：也可以利用法向量求解，相应给分） ③ 延长CB 与OA 交于F ，则OF ＝2 连FH ，则∠OFH 为所求角β此时66236=÷=βsin ，∴β＝66arcsin 为所求.18. （本题满分14分）设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量，若j )y (i x b ,j )y (i x a 22-+=++=，且8=+b a.（Ⅰ）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若zy不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）(解法一)由 8=+b a知点M （x,y ）到两个定点F 1（0.-2）、F 2（0,2）的距离之和为8∴轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，它的方程是1161222=+y x(解法二)：由题意得()()8222222=+++-+y x y x两次平方得()[]()222824y y x -=-+整理得：1161222=+y x（Ⅱ）∵l 过y 轴上的点（0，3），若l 是y 轴时，则A 、B 两点是椭圆的顶点由 0=+=知P 与O 重合这与四边形OAPB 是矩形矛盾， ∴直线l 是y 轴不可能 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的的方程是y ＝kx+3由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=116123kx y 22y x ()021183422=-++⇒kx x k此时()()()恒成立021*******>-++=k k ∆且23418k k x x B A +-=+,23421kx x B A +-=⋅ ∵+=，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l,使四边形OAPB 是矩形,则0=⊥OA ,OB OA 即, 有0=+B A B A y y x x∴()()09312=++++B A B A x x k x x k ∴()093418334211222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+k k k k k∴451652±=⇒=k k ∴当时，45±=k 存在直线l :345+±=y 使四边形OAPB 是矩形. 19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.解：⑴ 全部并联，可靠度1-()420.＝0.9984＞0.85⑵ 每两个串联后再并联，可靠度()228.011--＝0.8704＞0.85⑶ 每两个并联后再串联，可靠度()22201.-＝0.9216＞0.85⑷ 三个串联后再与第四个并联，可靠度1-0.2()3801.-＝0.9024＞0.85⑸ 两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度1-0.22()2801.-＝0.9856＞0.8520．（本题满分14分）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）. （Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.解：Ⅰ.求区域内部（不包括边界）的整点个数n a ,就是求不等式x ＋y ＜n 的正整数解， 当x ＝1时，y ＝1,2,…,（n-2），共n-2个值， 当x ＝2时，y ＝1,2,…,（n-3），共n-3个值， 依此类推得：n a ＝1+2+…+（n-2）＝()()212--n n .求区域（包括边界）的整点个数n b ,就是求不等式x ＋y ≤n 的非负整数解， 同上得：n b ＝（n+1）+n+…+2+1+＝()()212++n nⅡ. 对区域内部的n a 个整点中的每一个都有三种着色方法，由乘法原理知：()()22133--==n n a n nA ，同理()()22122++==n n b n nB ⑴ 当()()()()()()()()()()221421342142122122893++--------=>=>==n n n n n n n n n n n n B A时有()()()()2212143++>--n n n n 得1502152≥⇒⎭⎬⎫∈>+-n N n n n∴n ≥14时，n A ＞n B⑵ 当()()()()()()()()()()()()时2212154852212223310211021++----=<=<==----n n n n n n n n B A n n n n有()()()()221n 21-n 54++<-n n 得1202132≤⇒⎭⎬⎫∈<+-n N n n n∴n ≤12时，n A ＜n B ． 最后，ｎ=13、14时，比较n A 与n B 的大小 由10513661323==B ,A有 488631477106636613..lg A lg =⨯==6053130100105210513..lg B lg =⨯==所以n=13时，n A ＜n B ．同理，n=14时，n A >n B 故3≤n ≤13时，n A ＜n B ．n ≥14时，n A ＞n B .。