二次根式的加减__学科信息：数学-沪科版-八年级下

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沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计2

沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计2一. 教材分析《二次根式的运算》是沪科版数学八年级下册第16.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘法、除法运算的基础上进行讲解的。

本节内容主要介绍了二次根式的加减运算、乘除运算以及混合运算。

通过本节内容的学习，使学生能够熟练掌握二次根式的运算方法，提高学生的数学运算能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘法、除法运算。

但是，对于二次根式的加减运算以及混合运算，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，进行耐心细致的讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算方法。

三. 教学目标1.使学生掌握二次根式的加减运算、乘除运算以及混合运算的方法。

2.提高学生的数学运算能力。

3.培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。

2.二次根式的混合运算。

五. 教学方法1.采用讲解法，教师对二次根式的运算方法进行详细讲解。

2.采用示范法，教师进行典型例题的演示。

3.采用练习法，学生进行课堂练习和课后作业。

4.采用提问法，教师引导学生进行思考和讨论。

六. 教学准备1.教师准备PPT，包括教材内容、例题、练习题等。

2.教师准备课堂练习题和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次根式的性质和乘除运算，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现教材内容，对二次根式的加减运算、乘除运算以及混合运算进行讲解和示范。

3.操练（20分钟）教师给出典型例题，引导学生进行模仿练习。

学生在课堂上完成练习题，教师进行个别指导和讲解。

4.巩固（10分钟）教师针对学生练习中出现的问题，进行讲解和总结，帮助学生巩固二次根式的运算方法。

5.拓展（10分钟）教师给出一些拓展题目，引导学生进行思考和讨论，提高学生的逻辑思维能力。

新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件

•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的式子，它们都是用本基运算符号（基本运算包括加、减、乘除、、乘方和开方）把数和表示数的字母接连起来的式子，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.

八年级下册数学同步练习题库：二次根式的加减(简答题：较易)

二次根式的加减（简答题：较易）1、⑴计算×﹣（2）2；⑵已知x=2﹣，求 x2﹣4x+1的值．2、先化简，再求值：, 其中3、计算:(1) (﹣)-2﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|(2)4、计算：5、计算：（1）（2）先化简，后计算：，其中.6、先化简，再求值：，其中，．7、（1）解方程9x2﹣49=0；（2）计算：．8、计算：（1）（2）9、化简：．10、11、12、13、14、15、16、计算：17、计算:（1）(2)(3)(4)18、解方程、计算（1）（2）（限用配方法）(3) (x-2)-5(x-2)-6=0 （4）计算、19、计算：（1）（2）（3）（4）20、计算：（ +1）（﹣1）﹣+．21、计算：（1）+（2）（+）×（﹣）22、计算：|﹣3|+（﹣2）2﹣（+1）0．23、计算：24、计算题：（1）1＋(－2)－(－5)（2）（3）（4）25、计算：．26、（1）化简：；（2）在实数范围内分解因式:27、计算：28、计算：29、(1)计算： (2)÷－×＋．30、计算：（1）；（2）÷－＋．31、计算：(1)＋|3－|－(－)2＋3；(2).32、计算下列各题（1）（2）（3）(4）33、计算：（1）；（2）；34、当a＝_________时，最简二次根式与是同类二次根式.35、谋小区有一块长为m，宽为m的空地，现要对该空地植上草萍进行绿化，解答下面的问题： (其中, , 结果保留整数)(1) 求该空地的周长。

(2) 若种植草坪的造价为12元/ ㎡，求绿化该空地所需的总费用。

36、已知：a —＝1＋，求（a＋）2的值．37、计算下列各题（1）（2）（—3）2＋（—3）×（＋3）（3）（4）38、已知和互为相反数，求x+4y的平方根。

39、化简①﹣②+﹣（精确到0.01）③+×（保留三位有效数字）④（+）（﹣）40、化简（1）（﹣2）×﹣6（2）（+）（﹣）+2．41、化简求值：已知，．42、计算或化简（1）（）-2-（π-3．14）0+2-1+||（2）．43、（1）分解因式；（2）分解因式；（3）计算；（4）计算．44、先化简，再求值：，其中45、；46、化简：．47、（6分）已知m=-2，求代数式m2+4m-9的值．48、计算（8分）（1）（2）49、解不等式：．50、计算：÷51、计算（16分）（1）(2m2n)3·(-3m3)2÷(-4m2n2)（2）（3）（4）52、（10分）（1）（5分）计算（2）（5分）解方程53、化简：54、（9分）计算：55、计算（1） (2)56、先化简，再求值：，其中a=2﹣．57、化简或计算：(1)(x2－2xy＋y2) ÷ (2)58、先化简，再求值：﹣，其中a=+1，b=﹣1．59、先化简，再求值：，其中，.60、化简：参考答案1、（1）-3；（2）02、(1)a+b；（2）3、（1）3（2）11﹣34、135、（1）；（2）.6、7、（1）x=±；（2）．8、（1）；（2）9、原式=．10、411、912、013、14、15、16、17、(1) ;(2) ;(3) (4)18、（1）0,；（2） -4,2 ；（3）1,8；（4）-4+19、（1）（2）（3）（4）20、10﹣321、（1）（2）122、623、24、（1）4 （2）－26（3）－1 （4）125、原式＝26、（1）；（2）27、28、29、（1）12;(2) 4+.30、（1）12；（2）4+31、（1）2－1；（2）6.32、（1）；（2）10-6；（3）；（4）2.33、（1）；（2）334、535、(1) 54;(2) 2112.36、15＋237、（1）7＋2；（2）16-6；（3）4；（4）4—338、39、①0.1；②5；③16.2；④﹣1．40、（1）﹣6；（2）4﹣1．41、化简结果：a–1，值：1-．42、（1）2+；（2）．43、（1）；（2）3（m+2）（m-2）；（3）；（4） 2．44、．45、原式．46、3．47、-1048、（1）4－；（2）49、x≤．50、51、1. -18m10n 2. 3x2+4x+6 3. 3b2+2ab 4. 152、（1）（2）53、.54、．55、(1)原式==（2）原式=a+156、-1.57、58、a+b，259、.60、.【解析】1、试题分析：（1）本体考查的是二次根式的化简；（2）本题考查的是利用整体代入的方法求代数式的值.试题解析：（1）原式= -8=5-8=-3（2）x-2=-，(x-2)2=(-)2 x2-4x+4=3 x2-4x="-1" x2-4x+1="0"2、试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a，b的值代入进行计算即可．试题解析：原式==a+b，当a=+1，b=-1时，原式=+1+-1=2．考点：分式的化简求值．3、试题分析：（1）根据乘方的意义，零次幂的意义，绝对值的法则计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．试题解析：解：（1）原式= = =3；（2）原式==．4、试题分析：先把二次根式进行化简，然后再合并二次根式，约分后再进行加法运算即可试题解析：原式=5、试题分析：（1）针对二次根式化简，绝对值，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果（2）先通分，约分化简，然后代，进行二次根式化简.（1）原式.（2）原式=.当时，原式=.考点：1.二次根式化简；2.绝对值；3.零指数幂；4.负整数指数幂；5.分式的化简求值.6、分析：先把括号内通分，再把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，然后把，代入计算.详解：原式===,当，时，原式=点睛：本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，平方差公式，解答本题的关键是熟练掌握分式的混合运算和二次根式的运算.7、试题分析：(1)只有二次项和常数项，所以可以用直接开平方法解方程；(2)9的算术平方根是3，-8的立方根是-2，-2的平方是4，4的算术平方根是2，再根据运算顺序计算. 试题解析：(1)9x2﹣49=0，移项得，9x2=49，系数化为1得，x2=，开平方得，，.(2)原式=3-2-2=-18、试题分析：化成最简二次根式，再依据二次根式的运算法则运算即可.试题解析：原式原式9、试题分析：先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的除法运算.试题解析：原式=（6﹣+4）÷2 =3﹣+2 =．10、试题分析：根据二次根式的除法法则和零次幂，进行运算即可.试题解析：原式11、试题分析：运用完全平方公式.试题解析：原式12、试题分析：运用平方差公式公式.试题解析：原式13、试题分析：化简为最简二次根式，运用二次根式的加减运算法则运算即可.试题解析：原式点睛：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并.14、利用二次根式的性质即可得结果．解：原式=．15、先把被开方数通分，然后利用二次根式的性质即可得结果．解：原式=．16、试题分析：先将变形成,再相加.试题解析：=.17、试题分析：(1)、首先根据二次根式的化简法则将各二次根式进行化简，然后再进行加减法计算得出答案；(2)、根据二次根式的乘除法计算法则进行计算得出答案；(3)、根据二次根式的化简法则将各二次根式进行化简，然后进行加减法计算；(4)、将括号里面的二次根式进行化简计算，然后根据二次根式的除法计算法则进行计算得出答案.试题解析：(1)== =(2)===(3) ==(4) = ===18、试题分析：（1）利用因式分解法解即可．（2）根据配方法的步骤解即可．（3）利用因式分解法就2 即可．（4）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．试题解析：（1）∵3x2-5x=0，∴x（3x-5）=0，∴x1=0，x2=．（2）∵x2+2x-3=5，∴x2+2x+1=9，∴（x+1）2=9，∴x+1=±3，∴x1=2，x2=-4．（3）∵（x-2）2-5（x-2）-6=0，∴（x-2-6）（x-2+1）=0，∴x1=8，x2=1．（4）2--（+）=．19、（1）利用多项式乘多项式展开，然后合并即可；（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后进行有理数的减法运算；（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（4）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=．20、先利用平方差公式和负整数指数幂的意义计算，然后化简后合并即可．解：原式=3﹣1﹣3+8=10﹣3．21、（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解：（1）原式=2+=；（2）原式=3﹣2=1．22、试题分析:分别进行绝对值、平方及零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．试题解析:原式=3+4﹣1=623、原式 .24、（1）1＋(－2)－(－5)＝1＋(－2)＋(＋5)＝4（2）＝＝－6－20＝－26（3）＝－16＋3×6＋(－3)＝＝－1（4）＝＝6－5=125、解：原式＝＝26、试题分析：（1）先化简，然后根据混合运算的法则，先算括号里面的，然后算乘法，最后算减法．（2）实数包括有理数和无理数，先运用提公因式法和平方差公式得出2（x2+2）（x2-2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解．试题解析：原式 =(+)×2×−=×-=-=（2）原式 == =27、先化简括号内的根式进行合并，然后把除法转化为乘法运算即可．解：原式===“点睛”此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28、试题分析：本题考查的是二次根式的计算，合并同类二次根式即可.试题解析：原式=29、试题分析：本题利用二次根式的加减乘除混合运算.试题解析：（1）原式＝（2）原式＝ 4—+2＝ 4+30、试题分析：本题利用二次根式的加减乘除混合运算.试题解析：（1）原式＝（2）原式＝ 4—+2＝ 4+31、试题分析：（1）无理数的混合运算，先化简，再合并同类二次根式.(2)直接计算.解：（1）原式＝－3＋3－－(3－2)2＋3＝－－1＋3＝2－1.（2）原式＝4－(－2)－1＋＝6.点睛：辨析（1），(x可以推广为一个式子). （2） (x.32、试题分析：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）根据二次根式的乘除法则运算．试题解析：(1)原式=；(2)原式=；(3)原式=；(4)原式=33、试题分析：(1)原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用平方根定义计算即可得到结果；(2)原式第一项分母有理化，第二项利用完全平方公式化简，合并即可得到结果. 试题解析：（1）（2）34、由最简二次根式与是同类二次根式可得a-3=12-2a，解得a=5.35、试题分析：(1)、首先根据二次根式的化简法则进行化简，然后根据矩形的周长计算公式进行计算，得出答案；(2)、根据矩形的面积计算法则求出面积，然后乘以每平方米的造价得出答案.试题解析：(1)该空地周长为 c=54()(2)该空地面积为 s==176种草坪造价为 M=17612=2112(元)36、试题分析：根据代入进行计算，从而得出答案.试题解析：∵a —＝1＋∴（a —）2＝（1＋）2a2—2＋＝1＋2＋10∴a＋＝13＋2∴a2＋2＋＝15＋2∴（a＋）2＝15＋237、试题分析：(1)、首先根据二次根式的化简法则将各二次根式进行化简，然后进行二次根式的加法计算；(2)、根据完全平方公式和平方差公式将括号去掉，然后进行合并计算；(3)、首先根据二次根式的化简方法和零次幂的计算将各式进行计算，从而进行化简得出答案；(4)、根据二次根式的乘除法计算法则以及化简法则将各式进行化简，从而得出答案.试题解析：（1）原式＝4＋3—2＋4＝7＋2（2）原式＝5-6＋9＋11—9＝16-6（3）原式＝（＋1）＋3—1＝4（4）原式＝4——2＝ 4—338、根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得出x、y的值，代入可求．由题意得：+=0，所以，解得∴x+4y的平方根===39、试题分析：①原式利用算术平方根定义计算即可得到结果；②原式各项化简后，合并即可得到结果；③原式化简后，取其近似值即可得到结果；④原式利用平方差公式计算即可得到结果．解：①原式=1.2﹣1.1=0.1；②原式=2+4﹣=5；③原式=+9=≈16.2；④原式=2﹣3=﹣1．考点：实数的运算．40、试题分析：（1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解：（1）原式=﹣2﹣3=3﹣6﹣3=﹣6；（2）原式=2﹣3+4=4﹣1．考点：二次根式的混合运算．41、试题分析：先化简，把能分解因式的式子分解因式，便于约分，然后代值计算即可．试题解析：由题意可得：0<a<1，先化简，把能分解因式的式子分解因式，然后约分，原式====a-1；把a=2-代入：a-1=2--1=1-．故化简结果：a–1，值为：1-．考点：二次根式的化简求值．42、试题分析：（1）原式第一、三项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式约分后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．试题解析：（1）原式=3-1++-=2+；（2）原式===．考点：1．实数的运算；2．分式的加减法；3．零指数幂；4．负整数指数幂．43、试题分析：（1）先提出公因式，再运用完全平方公式分解即可；（2）先提出公因式，再运用平方差公式分解即可；（3）根据平方根和立方根的定义进行计算即可；（4）先计算绝对值，再合并同类二次根式．试题解析：（1）原式==；（2）原式=3（）=3（m+2）（m-2）；（3）原式=4-2×2+1-=；（4）原式== 2．考点：①提公因式法与公式法的综合运用；②实数的运算；③二次根式的计算．44、试题分析：把扩号内先通分计算，然后把分式的分子分母，分别分解因式，，除法转化为乘法后，然后约分把方式化为最简形式．试题解析：考点：分式化简求值．45、试题分析：先化简后再合并即可．试题解析：解：原式．考点：二次根式的运算．46、试题分析：先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．试题解析：原式=2+3﹣2=3．考点：二次根式的加减法．47、试题分析：先将m=-2变形为，然后把代数式m2+4m-9配方，再代入计算即可．试题解析：因为m=-2，所以，所以．考点：1．二次根式的计算；2．完全平方公式．48、试题分析：（1）首先将各二次根式进行化简，然后进行加减法计算；（2）首先根据积的乘方法则进行去括号，然后根据同底数幂的除法法则进行计算．试题解析：（1）原式==4－（2）原式=÷==．考点：二次根式计算、同底数幂的计算．49、试题分析：按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的顺序依次计算即可，注意最后结果化为最简．试题解析：解：去括号，得：，移项，合并同类项得：，系数化为1，得：x≤．考点：1、解一元一次不等式；2、二次根式的应用．50、原式＝÷＝÷＝51、试题分析：（1）先算乘方，然后按照单项式的乘除法法则计算；（2）先根据多项式的乘法法则去括号，然后合并同类项即可；（3）先用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项；（4）先去掉绝对值号，然后合并同类二次根式.试题解析：（1）(2m2n)3·(-3m3)2÷(-4m2n2)（2）（3）（4）.考点：1.整式的运算；2.绝对值；3.二次根式的计算.52、试题分析：（1）根据二次根式的性质和分母有理化的性质化简即可求解；（2）先移项，在利用因式分解法解方程即可求解.试题解析：(1)(2)考点：二次根式的化简，因式分解法解一元二次方程53、试题分析：先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．试题解析：原式==.考点：二次根式的加减法．54、试题分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．试题解析：=．考点：二次根式的混合运算．55、试题分析：（1）先将括号中的每个二次根式进行化简，然后合并同类二次根式，最后再进行除法即可；（2）先将括号中的进行通分，然后再进行除法运算即可试题解析：(1)原式==原式===a+1考点：1、二次根式的运算；2、分式的运算56、试题分析：因式分解后约分，然后通分相加，再代入求值．试题解析：原式===当a=2﹣时，原式=.考点：分式的化简求值．57、试题分析：（1）对括号中的进行因式分解然后再进行运算即可（2）先对每一个括号中的二次根式进行化简，然后再进行计算即可试题解析：（1）原式=(x-y)2·=原式==考点：1、因式分解；2、分式乘除法；3、实数的运算58、试题分析：先利用同分母分式的减法法则计算，然后约分得到最简结果，最后将a与b的值代入计算即可求出值．试题解析：原式==a+b，当a=+1，b=﹣1时，原式=+1+﹣1=2．考点：分式化简求值59、试题分析：先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简；然后代a，b的值求值.试题解析：，当，时，原式=.考点：分式的化简求值.60、试题分析：注意去绝对值符号..考点：绝对值.。

二次根式的加减(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)

专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）．）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。

初中数学同步八年级下册答案沪科版

初中数学同步八年级下册答案沪科版一、知识点总结。

1. 二次根式。

- 二次根式的概念：形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

- 二次根式的性质：- √(a)≥0(a≥0)；- (√(a))^2 = a(a≥0)；- √(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a < 0)。

- 二次根式的运算：- 二次根式的乘法：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。

- 二次根式的除法：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b > 0)。

- 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。

2. 一元二次方程。

- 一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 一元二次方程的解法：- 直接开平方法：对于形如(x + m)^2=n(n≥0)的方程，x+m=±√(n)，然后解得x=-m±√(n)。

- 配方法：将方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)通过配方转化为(x+(b)/(2a))^2=(b^2 - 4ac)/(4a^2)的形式，然后求解。

- 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其解为x=(-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)(b^2 - 4ac≥0)。

- 因式分解法：将方程化为一边为0，另一边分解因式的形式，然后使每个因式等于0求解。

- 一元二次方程根的判别式：Δ=b^2 - 4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

- 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于方程ax^2+bx + c =0(a≠0)，若x_1,x_2是其两根，则x_1 + x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。

16.2.2二次根式的加减课件(2014年沪科版八年级下)

解： (1)原式＝
倍速课时学练
1 2 1 (2)原式 2 6 2 6 2 6 2 3 4
2 1 1 2 1 6 2 3 2 4
9 3 3 2 4 2 2 2 4 1 2 2 2 2
形式上都是二次根式，实质上
5 50 不是最简二次根式，可以化简：
倍速课时学练
2
但4
2 是最简二次根式
50 18 32 和5 2 3 2 4 2
还可以化简吗？二次根式的加减
A
?m
C
倍速课时学练
50
m
18 m
问题：已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝ BC＝ 18 m，那么△ABC的周长 L等于多少呢？
解：∵
48 4 3 4 3
2
2
4 3，
2 1 1 ， 2 2 2
1 1 3 ， 27 3 3 9
倍速课时学练
2 8ab3 3
2 2 4 b 2ab 3

2 2b 2ab 3

4b 2ab 3
，
a a 6b 6b 2b 2b
a 2b 6b 2b 2b
4ab , ab
D. D
a 1, a 1
)
1 6 27
1 2
?
2. 与
A.
12 是同类二次根式的是( B C 125 D. 32 B. 24 C.
?
倍速课时学练
× ×
1
3
3.判断:下列计算是否正确?为什么?
8 18 2 4
2 3 5; 2 2 2 2 2 ;

第04讲二次根式的加减与分母有理化(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与常见题

第04讲二次根式的加减与分母有理化【知识梳理】一、二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．二、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．【考点剖析】题型一：二次根式的加减一．填空题（共7小题）1．（2022秋•浦东新区期中）计算：＝．2．（2022秋•普陀区校级期中）计算：﹣＝．3．（2022秋•虹口区校级期中）化简：+（5≤x≤8）＝．4．（2022秋•嘉定区月考）计算：﹣＝．5．（2022秋•宝山区期中）计算：＝．6．（2022秋•虹口区校级月考）化简：+（1＜x＜2）＝．7．（2022秋•虹口区校级月考）计算：＝．二．解答题（共17小题）8．（2022秋•静安区校级期中）已知y＝﹣，化简+﹣．9．（2022秋•嘉定区期中）计算：+﹣m．10．（2022秋•宝山区期中）计算：（6﹣）﹣（+）．11．（2022秋•宝山区期中）计算：﹣（﹣）．12．（2022秋•浦东新区期中）计算：．13．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：+﹣2x2．14．（2022秋•虹口区校级月考）计算：﹣．15．（2022秋•嘉定区月考）计算：．16．（2022秋•闵行区校级期中）计算：．17．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：（x＞0 ）．18．（2022秋•徐汇区校级期末）计算：2+﹣12．19．（2022秋•徐汇区期末）（+2）﹣（﹣）20．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：6﹣﹣（4﹣）．21．（2022秋•黄浦区月考）计算：．22．（2022秋•浦东新区校级月考）计算：．23．（2022秋•宝山区期中）计算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．24．（2022秋•宝山区校级期中）计算：+3﹣+3．题型二：分母有理化一．选择题（共2小题）1．（2022秋•奉贤区校级期中）的一个有理化因式是（）A．B．C．D．2．（2022秋•浦东新区校级月考）二次根式的一个有理化因式是（）A．B．+C．﹣D．2二．填空题（共10小题）3．（2022秋•徐汇区校级期中）的倒数是．4．（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．5．（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．6．（2022秋•虹口区校级期中）写出a+b的一个有理化因式：．7．（2022秋•嘉定区期中）若两个代数式M与N满足M•N＝﹣1，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是．8．（2022秋•普陀区期中）2+的有理化因式可以是．（只需填一个）9．（2022秋•虹口区校级月考）设x＝，y＝，当t为时，代数式20x2+62xy+20y2＝2022．10．（2022秋•奉贤区校级期中）不等式x＞2+2x的解集是．11．（2021秋•松江区期末）不等式的解集是．12．（2022秋•奉贤区期中）的有理化因式可以是．三．解答题（共1小题）13．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．【过关检测】一、单选题n a ++=（n 八年级校考期中）m二、填空题“”三、解答题。

最新沪科版八年级数学下册教案

第1课时二次根式的概念1．了解二次根式的概念；(重点)2．理解二次根式有意义的条件；(重点)3．理解(a≥0)是一个非负数，并会应用(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)一、情境导入1．xx准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】二次根式的识别(2015·xx期末)下列各式：①；②；③；④；⑤ ，其中二次根式的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次根式有意义的条件代数式有意义，则x的取值范围是( )A．x≥－1且x≠1 B．x≠1C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：利用二次根式的非负性求值【类型一】利用被开方数的非负性求字母的值(1)已知a，b满足＋|b－1|＝0，求－b的值；(2)已知实数a，b满足a＝＋＋3，求a，b的值．解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．解：(1)由题意知得＝－8，b＝1，则－b＝－9；(2)由题意知解得b＝2.所以a＝0＋0＋3＝3.方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现和时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a＝0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】与二次根式有关的最值问题当x＝________时，＋3的值最小，最小值为________．解析：由二次根式的非负性知≥0，∴当＝0即x＝－时，＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－，3.方法总结：对于二次根式≥0(a≥0)，可知其有最小值0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课的内容是在我们已学过的xx、算术xx知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件第2课时二次根式的性质1．理解和掌握()2＝a(a≥0)和＝|a|；(重点)2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)一、情境导入如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是，则面积是多少？如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是，则面积是多少？你会计算吗？二、合作探究探究点一：利用二次根式的性质进行计算【类型一】利用()2＝a(a≥0)计算计算：(1)()2; (2)(－)2；(3)(2)2; (4)(2)2.解析：(1)可直接运用()2＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2＝a2b2，再利用()2＝a(a≥0)进行计算．解：(1)()2＝0.3；(2)(－)2＝(－1)2×()2＝13；(3)(2)2＝22×()2＝12；(4)(2)2＝22×()2＝4(x－y)＝4x－4y.方法总结：形如(n)2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为n2·()2(m≥0)后再化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】利用＝|a|计算计算：(1)；(2)；(3)－.解析：利用＝|a|进行计算．解：(1)＝2；(2)＝|－|＝；(3)－＝－|－π|＝－π.方法总结：＝|a|的实质是求a2的算术xx，其结果一定是非负数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】利用二次根式的性质化简求值先化简，再求值：a＋，其中a＝－2或3.解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．解：a＋＝a＋＝a＋|a＋1|，当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题探究点二：利用二次根式的性质进行化简【类型一】与数轴的综合如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2－＋.解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据＝|a|进行化简．解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则a－b＜0，a＋b＜0.原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－＋a－b－(a＋b)＝－－2b.方法总结：利用＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】与三角形xx关系的综合已知a、b、c是△ABC的xx长，化简－＋.解析：根据三角形的xx关系得出b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的xx长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝＋b－c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的xx关系(三角形中任意两边之和大于第xx)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入xx有一块xx方形菜地，xxm，宽m，那么这个xx方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子·＝成立的条件是( )A．x≤2 B．x≥－1C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2解析：根据题意得解得－1≤x≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法运算计算：(1)×；(2)9×(－)；(3)·2·(－)；(4)·(－)·(a≥0，b≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝＝；(2)原式＝－(9×)＝－＝－27；(3)原式＝－(2×)＝－＝－；(4)原式＝－×＝－3b.方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】逆用性质3(即＝·，a≥0，b≥0)进行化简化简：(1)；(2)；(3)(a≥0，b≥0)．解析：利用积的算术xx的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)＝×＝14×0.5＝7；(2)＝＝×＝×＝；(3)＝··＝3b.方法总结：利用积的算术xx的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式的乘法的应用xx的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据“矩形的面积＝长×宽”“圆的面积＝π×半径的平方”进行计算．解：设圆的半径为rcm.因为矩形木板的面积为×＝168π(cm)2，所以πr2＝168π，r＝2(r＝－2舍去)．答：这个圆的半径为.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计本节课学习了二次根式的乘法和积的算术xx的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算第2课时二次根式的除法1．会利用商的算术xx的性质化简二次根式；(重点，难点)2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点)3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？(1)＝________；＝________．(2)＝________；＝________．________；________.二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算：(1)；(2)；(3)；(4)÷(－)(a＞0，b>0)．解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术xx的形式，再化简．解：(1)＝＝＝；(2)＝＝＝；(3)＝＝＝；(4)÷(－)＝×(－)＝－＝－.方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术xx的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( )A. B.C. D.解析：A选项中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项中含有分母，不是最简二次根式；D选项中被开方数用提公因式法因式分解后得a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式．故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三：商的算术xx的性质【类型一】利用商的算术xx的性质确定字母的取值若＝，则a的取值范围是( )A．a＜2 B．a≤2C．0≤a＜2 D．a≥0解析：根据题意得解得0≤a＜2.故选C.方法总结：运用商的算术xx的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】利用商的算术xx的性质化简二次根式化简：(1)；(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．解析：按商的算术xx的性质，用分子的算术xx除以分母的算术xx．解：(1)＝＝＝；(2)＝＝.方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点四：二次根式除法的应用已知某长方体的体积为30cm3，长为cm，宽为cm，求长方体的高．解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．解：长方体的高为30÷(×)＝30＝30＝(cm)．方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体体积公式建立方程求解．三、板书设计二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率第1课时二次根式的加减1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则；2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点)一、情境导入计算：(1)2x－5x；(2)3a2－a2＋2a2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x换成，a2换成，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)2－5；(2)3－＋2.这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与是同类二次根式的是( )A. B.C. D.解析：选项Axx，＝2与被开方数不同，故与不是同类二次根式；选项Bxx，＝与被开方数不同，故与不是同类二次根式；选项Cxx，＝与被开方数不同，故与不是同类二次根式；选项Dxx，＝3与被开方数相同，故与是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加法或减法(1)＋；(2)＋；(3)4－3；(4)18－.解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝2＋4＝(2＋4)＝6；(2)原式＝＋＝(＋)＝；(3)原式＝16－15＝(16－15)＝；(4)原式＝3－6＝(3－6)＝－3.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】二次根式的加减混合运算计算：(1)－－；(2)－3＋3x；(3)3－＋2－；(4)－2－(－)．解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝2－－＝0；(2)原式＝3－＋3＝5；(3)原式＝－3＋4－＝；(4)原式＝－－＋5＝＋.方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式加减法的应用一个三角形的周长是(2＋3)cm，其中两边长分别是(＋)cm，(3－2)cm，求第三边长．解析：第三边长等于(2＋3)－(＋)－(3－2)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是(2＋3)－(＋)－(3－2)＝2＋3－－－3＋2＝4－2(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质第2课时二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为2cm，4cm，高为cm，那么它的面积是多少？xx是这样算的：梯形的面积：(2＋4)×＝(＋2)×＝×＋2×＝＋2＝2＋6(cm2)．他的做法正确的吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的混合运算计算：(1)÷－×＋；(2)÷×－.解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．解：(1)原式＝－＋＝4－＋2＝4＋；(2)原式＝×－5＝×－5＝×－5＝－5＝－.方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型二】运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(＋)(－)；(2)(3－2)2－(3＋2)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．解：(1)(＋)(－)＝()2－()2＝5－3＝2；(2)(3－2)2－(3＋2)2＝(3－2＋3＋2)(3－2－3－2)＝－24.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】二次根式的化简求值先化简，再求值：＋(x>0，y>0)，其中x＝＋1，y＝－1.解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．解：原式＝＋＝＋＝.∵x＝＋1，y＝－1，∴x＋y＝2，xy＝3－1＝2，∴原式＝＝.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】二次根式混合运算的应用一个三角形的底为6＋2，这条边上的高为3－，求这个三角形的面积．解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为(6＋2)(3－)＝×2×(3＋)(3－)＝(3)2－()2＝27－2＝25.方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题探究点二：二次根式的分母有理化【类型一】分母有理化计算：(1)；(2)＋.解析：(1)把分子、分母同乘以，再约分计算；(2)把的分子、分母同乘以－，把的分子、分母同乘以＋，再运用公式计算．解：(1)＝＝＝＋；(2)＋＝＋＝＋＝5－2＋5＋2＝10.方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成·的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是＋，则分子、分母同乘以－.【类型二】分母有理化的逆用比较－与－的大小解析：把－的分母看作“1”，分子、分母同乘以＋；把－的分母看作“1”，分子、分母同乘以＋，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．解：－＝＝，－＝＝.∵＋＞＋＞0，∴＜即－＜－.方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的xx点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。

沪科版八年级数学下册_16.2.2 二次根式的加减

感悟新知
知3－讲
(4) ( a ± b ) 2= ( a ) 2±2 ab + ( b ) 2=a±2 ab +b；
(5) ( a +
b )÷
c=
a+ c
b=
ac + c
bc；
(6) (
a+
b )÷( a－
b )=
a+ b a－ b
=( (
a+ a－
b b
) )
a+ ( a+
b) b)
=
a+b+2 a－
感悟新知
解：A.
3
1 3
=
10 3
=3
30 ，故选项错误；
B. 33是最简二次根式，故选项错误；
知1－讲
C.
1 27
=
93，故正确；D.
0.3 =
30 10
，故选项
错误 .
答案：C
感悟新知
知识点 2 二次根式的加减
知2－讲
1. 二次根式的加减法法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 .
2 2
－
6
3
3=
3+
2 2
.
感悟新知
知识点 3 二次根式的混合运算
知3－讲
1. 二次根式的混合运算种类二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算.
2. 二次根式的混合运算顺序先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同.
感悟新知
知3－讲
感悟新知
特别提醒 1.同类二次根式必须同时满足：最简二次根式

考点01 二次根式及运算-2020-2021学年八年级数学下学期高频考点专题突破(原卷版)

考点1.二次根式及运算知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩二次根式的概念二次根式有意义的条件二次根式的性质二次根式的除法最简二次根式与同类二次根式二次根式的加减运算二次根式的混合运算最简二次根式与同类二次根式的识别利用二次根式性质化简符号利用二次根式的性质化简二次根式的混合运算利用二次根式性质求代数式的值复合二次根式的化简含二次根式的规律探究基础知识点重难点题型二次根式的应用⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩知识点3-1二次根式的概念1）二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式注：①表示的是算术平方根；②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算③“2”中的“2”可以省略，“3”表示三次根式，不可省略1．（2020ꞏ浙江八年级期中）下列各式一定是二次根式的是（）A BCD 2．（2020ꞏ湖北丹江口ꞏ初二期末）下列式子一定是二次根式的是()ABCD 3．（2020ꞏ涡阳县王元中学）在下列代数式中，不是二次根式的是（）A BCD ．4x4．（2020ꞏ大石桥市石佛中学初二期中）下列各式不是二次根式的是（）A B C D 5．（2020ꞏ朝阳市第一中学初二期中）下列各式中不是二次根式的是（）A B C D 知识点3-2二次根式有意义的条件1）二次根式（a ）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a ≥0）注：①a 仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式② a 不一定无意义。

当a ≤0时，-a ≥0，有意义。

关键是看被开方数这个整体是否非负1．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ七年级期末）a 应该满足的条件是（）A ．0a ≥B ．0a =C ．0a ≤D ．0a ≠2．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）x 的取值范围是（）A ．2x ≥B ．2x >C ．0x >D ．2x ≠3．（2020ꞏ浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点P （x ，y ）在函数21y x =的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）=成立．则x 的取值范围为（）A ．3x ≤B ．2x ≥C ．23x <<D ．23x ≤≤5．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ九年级期末）函数y =x 的取值范围是________．6．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）代数式a 的取值范围是_______．知识点3-3二次根式的性质1）性质一：二次根式结果非负性，即a ≥0（a ≥0）注：“”表示的是算术平方根2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；（a ）2=a 。

八年级下册数学同步练习题库：二次根式的加减(计算题：一般)

二次根式的加减（计算题：一般）1、计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、计算(1) (2)(3)3、(1)× (2)4、（1）（-）（2）| | + || +5、计算：．6、先化简，再求值：（），其中x=﹣2．7、观察下面计算：①②；③④．求：（1）直接写出（n为正整数）的值；（2）利用上面所揭示的规律计算：．8、已知x＝ (＋)，y＝ (－)，求下列各式的值：(1)x2－xy＋y2；(2)＋.9、（1）（2）（3）（4）÷10、化简：（1） (2)11、计算：．12、计算：（1）（2）．13、14、先化简，再求值：，其中，.15、16、计算： +（﹣1）+（）0．17、计算：．18、化简：（4﹣6）÷﹣（+）（﹣）19、计算﹣（﹣2）0﹣|﹣|+2﹣1．20、已知x=3+2，y=3﹣2，求下列各式的值：（1）x2y+xy2；（2）．21、计算：．22、计算：．23、计算：（1）；（2）；（3）.24、先化简，后计算：，其中，.25、（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中．26、阅读下面计算过程：试求：（1）=__________；（2）（为正整数）=_______________；（3）的值.27、计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．28、计算：（）﹣2﹣（）0+2sin30°+|﹣3|．29、计算：（）﹣1+16÷（﹣2）3+（2016﹣）0﹣tan60°．30、计算：31、计算：32、计算题(1)（2）（3）2022+202×196+982（4）33、计算（1）（2）34、计算（1）+（﹣1）2016﹣（2）（a4）3•（a2）3÷（a4）2（3）（2x2y﹣x3y2﹣xy3）÷（﹣xy）（4）9（x+2）（x﹣2）﹣（3x﹣1）2（5）[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．35、计算：.36、计算：37、计算：38、计算：（）﹣1﹣（﹣1）0+|﹣3|﹣2sin60°．39、（2016•海南模拟）计算：（1）9×+﹣；（2）．40、计算：（1﹣）0+（﹣1）2016﹣tan30°+（）﹣2．41、计算：（﹣3）2+（）0﹣+2﹣1+•tan30°．42、计算：|﹣|﹣2cos45°+（2016﹣π）0﹣．43、计算：．44、计算： +（﹣）﹣1+（2016﹣π）0+|﹣2|45、计算：|﹣2|+（π﹣1）0×（﹣1）2012+（）﹣3．46、计算：47、计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．48、计算：．49、计算（1）（2）50、计算：﹣12+（﹣2）3×﹣×|﹣|+2÷（）2．51、（1）计算：（2）化简：．52、求下列各式的值：(1) （2）-+53、计算：54、计算（1）（2）(-3a3)2·a3+(-a)2·a7-(5a3)3（3）（3x+2）2－（3x－2）2+（3x+2）（3x－2）55、计算：56、阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：==；（一）=（二）==（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简．①参照（三）式得= = = ；②参照（四）式得= = = ；（2）化简：．57、计算①+3—5②58、（1）计算：＋－；（2）化简：59、60、61、计算：（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1．62、计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0．63、（1）计算：（）﹣1﹣﹣（）0+|﹣1|（2）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2，其中x=﹣．64、（1）计算：；（2）化简：2a（2a﹣3b）﹣（2a﹣3b）2．65、计算（1）（2）66、计算：（1）；（2）。

八年级数学下册-专题. 二次根式的加减【十大题型】(举一反三)(沪科版)(解析版)

【题型 8
二次根式混合运算的实际应用】 ...........................................................................................................19
【题型 9
二次根式的新定义类问题】 ...................................................................................................................23
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型 1
判断同类二次根式】
【例 1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
∵ �2 > 0，则 5� + 8 > 0，
∴当� = 1 时，5� + 8 = 7，解得� =− 0.2，不是正整数，舍去；
当� = 2 时，5� + 8 = 28，解得� = 4，符合题意，
即�的最小正整数为 4．
【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出
1
3
+ 48 ÷ 2 3
(2) 2 6 + 3 × 2 6 − 3 − (3 3 − 2)2 +
【答案】(1)
14
4
6− 2
3
(2)−8 + 7 6 + 2

2013-2014学年沪科版八年级数学下16.2二次根式的运算(第2课时)讲解与例题

二次根式的运算第2课时1．二次根式的加减(1)几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．(2)在合并同类二次根式时，只需要把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变．(3)合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律．(4)二次根式加减的方法二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．(5)二次根式的加减法的一般步骤：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式．知识点拓展：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，体现了数学中的类比思想，在学习时应注意对比理解和应用．(2)在进行二次根式的加减时，易出现以下几个方面的错误：①去括号时符号错；②合并同类二次根式时易漏掉系数为1的二次根式；③把不是同类二次根式的根式进行了合并，从而导致错误的出现．【例1】计算：(1)32－8；(2)8＋18 2.解：方数相同的二次根式，被开2．(1)二次根式的加减，就是合并同类二次根式．(2)合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变．(3)进行二次根式的加减运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律，结合律及去括号，添括号法则仍然适用．二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个被开方数不相同的二次根式的和．【例2】计算：(1)－23－32＋53＋42；(2)(12－13)－( 4.5－0.75)．分析：进行二次根式的加减法可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．(1)题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－23与53，－32与42被开方数相同，因此可直接进行合并．解：(1)－23－32＋53＋4 2＝(－2＋5)3＋(－3＋4)2＝33＋ 2.(2)原式＝(122－133)－(322－123) ＝122－133－322＋12 3 ＝(12－32)2＋(－13＋12) 3 ＝－2＋163. 3．二次根式的混合运算整式混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时要先算括号里面的．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是完全相同的，其最终结果一定要化为最简形式．并且我们在前面所学习的运算律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及分配律在二次根式的混合运算中同样适用；所学习的乘法公式：平方差公式a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2对于二次根式的混合运算也同样适用，它们可以使二次根式的运算更为简便．名师归纳：(1)二次根式的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减．②有括号时要先算括号里面的．(2)说明：①运算过程中一定要注意符号；②运算结果一定要化为最简形式．(理解并掌握)知识点拓展：(1)在二次根式的运算中，整式运算中的运算律(加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律)同样适用．(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则与乘法公式仍然适用，常用的公式有：①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )；②完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2.【例3－1】计算：(1)(2＋23－6)(2－23＋6)； (2)13－2＋25－3－22－55－2. 分析：(1)利用平方差公式计算，把23－6看作一个整体．(2)先把分母去掉，再进行计算．解：(1)(2＋23－6)(2－23＋6)＝[2＋(23－6)][2－(23－6)]＝(2)2－(23－6)2＝2－(18－122)＝－16＋12 2.(2)13－2＋25－3－22－55－2＝3＋2(3－2)(3＋2)＋2(5＋3)(5－3)(5＋3)－222·2－5(5＋2)(5－2)(5＋2)＝3＋2＋5＋3－2－(5＋25)＝23－5－5.【例3－2】计算：30÷(6－5)．分析：解答本题时易出现如下错解：原式＝30÷6－30÷5＝5－ 6.显然，由5－6＜0，则得出两个正数相除结果为负的错误结果，解法有错，错就错在误用了所谓除法分配律，分配律不能在除法中随意套用．解：原式＝306－5＝30(6＋5)(6＋5)(6－5)＝306＋30 5.4．二次根式的综合运用二次根式的综合运用，知识面比较广，有化简、求值以及新题型等．解决这类问题的关键是熟练掌握基本知识和常用的数学思想．(1)化简求值题要注意先化简，再求值，此类题常与分式一起综合命题．如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．通过观察已知条件和欲求值的式子，发现它们是否都可以化简，这样采取变更问题的条件和结论的方法，然后采取整体代入思想，比较容易求出问题的解来．(2)灵活运用乘法公式，可使计算过程得到简化．形如(52＋35)(52－35)这样的式子，可利用平方差公式计算． (3)利用二次三项式的变形，也可以解决有关分式的求值问题．二次三项式x 2±xy ＋y 2可变为(x ±y )2∓xy 的形式，于是，两个互为倒数的二次根式相加，我们可以套用a b ＋b a ＝(a ＋b )2－2ab ab 这一规律把它化简．形如：“已知x ＝3＋23－2，y ＝3－23＋2时，求x y ＋y x的值．”这样的题目可以利用此法解决．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________【例4－1】已知x ＝12(7＋5)，y ＝12(7－5)，求下列各式的值． (1)x 2－xy ＋y 2；(2)x y ＋y x . 解：因为x ＝12(7＋5)，y ＝12(7－5)，所以x ＋y ＝7，xy ＝12. (1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝(7)2－3×12＝512. (2)x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy ＝(x ＋y )2－2xy xy ＝(7)2－2×1212＝12. 【例4－2】已知x ，y 为非负整数，且x ＋y ＝ 2 004，求x ＋y 的值．分析：若a ＋b ＝c (a ，b ，c 为非负数)，则a ，b ，c 是同类二次根式，这是一个常用的性质，由题可知x ，y ， 2 004是同类二次根式，又 2 004＝2501，所以设x ＝a 501，y ＝b 501(a ，b 为非负整数)，再由已知可求得x ，y 的值，从而可求出x ＋y 的值．解：∵x ＋y ＝ 2 004，∴x ，y 与 2 004是同类二次根式．又∵ 2 004＝2501，∴可设x ＝a 501，y ＝b 501，则a 501＋b 501＝2501，∴a ＋b ＝2.由题意可知a ，b 为非负整数，∴当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝501，y ＝501，∴x ＋y ＝1 002；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2 004，∴x ＋y ＝2 004；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 004，y ＝0，∴x ＋y ＝2 004. ∴x ＋y 的值为1 002或2 004.点拨：当两个二次根式可以合并时，说明这两个二次根式是同类二次根式，所以x ，y 与 2 004是同类二次根式．5．易错疑难辨析易错点1 判断二次根式是否为同类二次根式时，未化到最简而出错易错点解读：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先把每一个二次根式化为最简二次根式之后再判断，易出现的错误是不化简直接判断．易错点2 在二次根式的运算中应用运算律不当而出错易错点解读：只有乘法有分配律，除法没有分配律，在运算过程中，易把乘法分配律错误地用在除法上，从而导致错误．易错点3 合并同类二次根式时，易忽略将系数加括号而出错易错点解读：在二次根式的混合运算中，化简、合并二次根式时，很多二次根式的前面是多项式，整个多项式是二次根式的系数，不要忘记加括号，以免导致计算结果的错误．__________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________【例5－1】判断正误：a 2与3a 是同类二次根式．错解：√解析：a 2不是最简二次根式，由于a 2＝a 2＝2a 2，所以a 2与3a 不是同类二次根式．正解：×点拨：在判断两个根式是否是同类二次根式时，一定要注意两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方式为最简式．【例5－2】计算：12÷(12＋13)．错解：12÷(12＋13)＝122＋123＝6×22＋4×33＝6＋2. 正解：12÷(12＋13)＝12÷(22＋33)＝12÷32＋236＝23×632＋23＝123(32－23)(32＋23)(32－23)＝123(32－23)6＝23(32－23)＝66－12. 解题策略：乘法有分配律，除法没有分配律，在运算过程中，不能把除法按乘法分配律直接运算．【例5－3】计算12a ＋34a 3－78a a 5－14a 2a 7. 错解：原式＝12a ＋3a 4a －7a 8a －a 4a ＝12＋3a 4－7a 8－a 4a ＝12－38a a . 解析：在二次根式的计算过程中，逆用乘法分配律时忽略了加括号而出错．正解：原式＝12a ＋3a 4a －7a 8a －a 4a ＝(12＋3a 4－7a 8－a 4)a ＝(12－38a )a . 解题策略：在合并同类二次根式时，将系数相加的和作为系数．有时二次根式的系数为多项式，那么整个多项式是二次根式的系数，不能忘记加括号．。

沪科版八年级下册数学教学课件第16章二次根式 16-2 二次根式的运算第16章小结与复习

当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
考点五本章解题思想方法
分类讨论思想例8 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论：当a≤－2时，原式=(－a－2)－[－(a－1)]
=－a－2+a－1=－3; 当－2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a－1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)－(a－1)=3.
8. 计算：
(1) 24 1 4 1 (1 2)0; (2) 3( 2 3) 24 | 6 3 | .
3
8
解：(1)原式
24 1 4 2 1 2 2
3
4
2
2.
(2)原式 6 3 2 6 3 6 6.
9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式 v 16 df ，其中v是车速（单位：千米每小时），d是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位：米），f是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得 d=20米，f=1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度．
(1)7;
(2)x2 1;
解：(1)7
2
7.
(3) 1 . 11
2
(2)x2 1= x2 1 .
2
(3)
1 11
=
1
11
.
考点三二次根式的运算及应用
例4 计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
第16章
八年级数学下（HK）教学课件
二次根式

沪科版数学八年级下册《二次根式的加减》教学设计

沪科版数学八年级下册《二次根式的加减》教学设计一. 教材分析《二次根式的加减》是沪科版数学八年级下册中的一章，主要内容包括二次根式的加减法运算。

本章内容在学生学习了实数、有理数、无理数等基础知识后，进一步深化学生对实数的理解，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对于二次根式有一定的认识，但对其加减法运算还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要引导学生理解二次根式加减法的运算规则，并通过大量的练习来提高学生的运算能力。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减法运算规则。

2.能够熟练地进行二次根式的加减法运算。

3.培养学生的运算能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减法运算规则。

2.难点：如何引导学生理解并熟练运用二次根式的加减法运算规则。

五. 教学方法采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。

通过教师的讲解和示范，引导学生理解二次根式的加减法运算规则，然后通过大量的练习来巩固学生的运算能力。

在教学过程中，鼓励学生相互讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：包括二次根式的加减法运算规则的讲解和示例。

2.练习题：包括不同难度的练习题，以满足不同学生的需求。

3.黑板：用于板书解题过程和关键步骤。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾实数、有理数、无理数等基础知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师通过课件讲解二次根式的加减法运算规则，并结合示例进行讲解。

3.操练（15分钟）教师分发练习题，学生独立完成，教师巡回指导。

在此过程中，教师可引导学生运用二次根式的加减法运算规则，解决实际问题。

4.巩固（10分钟）教师挑选部分学生的作业进行讲解，分析其解题思路，巩固学生对二次根式的加减法运算规则的理解。

5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生进行思考和讨论，提高学生解决问题的能力。

16.第2课时二次根式的混合运算课件数学沪科版八年级下册

3
原式=
1
a
a b b
a b
b b a
把a=3，b=2代入代数式中，
2 2 3.
2 2 3.
先代入后化简
先化简后代入
哪种更
简便？
例3
已知 =

−
，b=

，求 a2 b2 2.
+
分析先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即
a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知
条件，再代入即可求得，必要时要先借助乘法公式变形再代入．
练习
已知x＝ − ，y＝ + ，求x3y＋xy3的值．
解：因为x＝ 3 − 2，y＝ 3 + 2，
所以xy＝( 3 − 2)( 3 + 2)＝1，
x＋y＝ 3 − 2 + 3 + 2 = 2 3
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
二次根式的运算律：
(1)实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中
的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用．
(2)在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意
合理地运用运算律．
练习计算:
(1)( 3 1)( 3 1);
运算顺序
二次根式的
混合运算
运算原理
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
如果有括号就先算括号里面的
运算律、多项式的乘法法则、乘法公式仍
然适用
化简已知条件和所求代数式

沪科版八年级下册16.2《二次根式的运算》同步练习(含答案解析)

沪科版八年级下学期16.2《二次根式的运算》同步练习一．选择题（共9小题）1．下列二次根式中，能与2合并的是（）A．B．C．D．﹣2．与根式不是同类二次根式的是（）A．B．C．D．﹣3．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣24．下列各式中，计算正确的是（）A．5＝B．﹣＝C．＝D．+＝（+）5．下列运算：（1），（2），（3），（4），（5），其中正确的一共有（）A．2个B．3个C．4个D．以上都不对6．若，的值为（）A．B．C．D．77．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．C．2+﹣2﹣3D．2+2﹣5 8．计算﹣的结果是（）A．25B．2C．D．59．下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共15小题）10．计算（﹣）2的结果等于．11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝．12．计算：5+﹣＝．13．计算：3﹣9+3＝14．化简，＝15．已知：x＝，y＝．那么+＝．16．计算：×＝．17．＝．18．＝．19．计算：＝．20．计算：＝．21．＝．22．化简（1）＝；（2）＝．23．计算：（×）×＝．24．计算÷的结果是．三．解答题（共6小题）25．计算：3×÷2．26．计算：27．计算：6a2÷15．28．计算：4÷3•2a．29．（b＜0）．30．计算：（1）÷（2）÷3×参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．下列二次根式中，能与2合并的是（）A．B．C．D．﹣【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断．【解答】解：A、＝3，不能与2合并；B、＝，不能与2合并；C、＝3，不能与2合并；D、＝3，能与2合并；故选：D．2．与根式不是同类二次根式的是（）A．B．C．D．﹣【分析】先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝，与是同类二次根式；B、＝2，与是同类二次根式；C、＝，与不是同类二次根式；D、﹣＝﹣ab，与是同类二次根式；故选：C．3．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣2【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意，得x+4＝3x，解得x＝2．故选：C．4．下列各式中，计算正确的是（）A．5＝B．﹣＝C．＝D．+＝（+）【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：A、5＝5×＝，故此选项不合题意；B、﹣，无法计算，故此选项不合题意；C、＝，故此选项符合题意；D、+＝+，故此选项不合题意；故选：C．5．下列运算：（1），（2），（3），（4），（5），其中正确的一共有（）A．2个B．3个C．4个D．以上都不对【分析】根据同类二次根式能合并，不是同类二次根式不能合并即可作出判断．【解答】解：（1）+≠，故错误；（2）+＝2，故正确；（3）3+≠3，故错误；（4），故正确；（5）≠3a+5b，故错误；综上可得（2）（4）正确．故选：A．6．若，的值为（）A．B．C．D．7【分析】根据完全平方公式得到（a﹣）2＝（a+）2﹣4＝7，然后根据平方根的定义求解．【解答】解：∵（a﹣）2＝（a+）2﹣4＝11﹣4＝7，∴a﹣＝±．故选：C．7．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．C．2+﹣2﹣3D．2+2﹣5【分析】先表示出三个正方形的面积，然后用一个长为（+），宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积可得到图中阴影部分的面积．【解答】解：三个正方形的边长分别为，，2，图中阴影部分的面积＝（+）×2﹣2﹣3＝2+2﹣5．故选：D．8．计算﹣的结果是（）A．25B．2C．D．5【分析】首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．【解答】解：﹣＝3﹣2＝，故选：C．9．下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；B、原式＝＝2，所以B选项正确；C、原式＝12，所以C选项错误；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：B．二．填空题（共15小题）10．计算（﹣）2的结果等于8﹣2．【分析】利用完全平方公式计算．【解答】解：原式＝5﹣2+3＝8﹣2．故答案为8﹣2．11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝2．【分析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程，即可解答．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：，则a+b＝2，故答案为：2．12．计算：5+﹣＝﹣．【分析】先化成最简根式，再根据二次根式的加减法则求出即可．【解答】解：原式＝+﹣3＝﹣，故答案为：﹣．13．计算：3﹣9+3＝15【分析】先化简二次根式，再合并即可得．【解答】解：原式＝12﹣3+6＝15，故答案为：15．14．化简，＝0或【分析】分b＞0和b＜0两种情况分别计算可得．【解答】解：当b＞0时，原式＝a+a﹣a﹣a＝0；当b＜0时，原式＝a+a+a﹣a＝2a；故答案为：0或2a．15．已知：x＝，y＝．那么+＝98．【分析】把x与y分母有理化得到结果，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：∵x＝＝5﹣2，y＝＝5+2，∴原式＝＝＝98，故答案为：9816．计算：×＝7．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝××＝7，故答案为：7．17．＝10．【分析】方法一：先计算25×4＝100，再算100的算术平方根；方法二：把原式展开成与的乘积形式，再计算．【解答】解：方法一：＝10．方法二：＝5×2＝10．故答案为10．18．＝6．【分析】利用二次根式乘除法法则，进行计算即可．【解答】解：＝＝＝6，故答案为6．19．计算：＝．【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．20．计算：＝．【分析】根据二次根式的乘法法则求出即可．【解答】解：2（﹣）＝﹣2＝﹣6，故答案为：﹣6．21．＝2．【分析】利用二次根式的乘法法则求解可得．【解答】解：2×＝2＝2，故答案为：2．22．化简（1）＝2；（2）＝．【分析】（1）化成最简二次根式即可；（2）把分子分母都乘以，然后化简即可．【解答】解：（1）＝2；（2）＝＝＝．故答案为：（1）2；（2）．23．计算：（×）×＝2．【分析】根据二次根式的乘法法则求出即可．【解答】解：（×）×＝＝2，故答案为：2．24．计算÷的结果是3．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：．故答案为：3三．解答题（共6小题）25．计算：3×÷2．【分析】根据二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）进行计算即可．【解答】解：原式＝（3×÷2），＝，＝．26．计算：【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：原式＝5××3＝5．27．计算：6a2÷15．【分析】直接化简二次根式进而结合二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：由题意可得：a，b同号，原式＝6a2•|a|•5×××＝2a2|a|，当a＞0时，原式＝2a3；当a＜0时，原式＝﹣2a3，综上所述：原式＝±2a3．28．计算：4÷3•2a．【分析】依据二次根式的乘除混合运算进行计算，即可得出结论．【解答】解：4÷3•2a＝4÷3×2a＝a＝＝×＝．29．（b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：原式＝•（﹣b）•（a）÷3＝﹣3a2b÷3＝ab．30．计算：（1）÷（2）÷3×【分析】（1）根据二次根式的性质把除式变形，根据二次根式的乘法法则计算；（2）根据二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：（1）÷＝×＝＝；（2）÷3×＝××＝＝．。