7.4由三角函数值求角的度数
由三角函数值求角的度数
7.4 由三角函数值求锐角
2016
7.4 由三角函数值求锐角
7.4 由三角函数值求锐角
试一试：
B
1．根据已知条件，有sinA＝
5．
13
.
利用科学计算器
A
C
依次按键
,
结果显示为22.619 864 95, 即∠A≈22.62°．
友情提醒：首先要把科学计算器调至DEG状态 下，再进行操作．
7.4 由三角函数值求锐角
的
第二功能
．
基本步骤：
（1）按键 ,
（2）按函数名称键 或 或 ，
（3）按键输入已知的函数值,
（4）按键
即得所求角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数，
（显示结果是以度为单位的）．
（5）按题目要求取近似值．
7.4 由三角函数值求锐角
课后作业：
1．完成课本习题7.4第1、2题．
7.4 由三角函数值求锐角
练一练：
1. 求满足下列条件的锐角A（精确到0.01°）：
（1）sinA＝ 1 ；（2）cosA＝ 0.23 ； （3）tanA＝ 10 ．
4
7.4 由三角函数值求锐角
练一练：
2. 如图，秋千的长OA为3.5m，当秋千摆动到 OA′位置时，点A ′相对于最低点A升高了1m，求 ∠AOA′(精确到0.1°) ．
想一想：
你知道为什么要先按
功能键吗？
7.4 由三角函数值求锐角
7.4 由三角函数值求锐角
做一做：
例 求满足下列条件的锐角A（精确到0.01°）：
（1）cosA＝1 ； （2）tanA＝2 . 4
解：（1）依次按键
，
显示结果为75.522 487 81，即∠A≈75.52°．
高考数学知识点：已知三角函数值求角
高考数学知识点：已知三角函数值求角（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx；注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1≤a≤1）。
（2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x,高考英语，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。
（3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。
反三角函数的性质：（1）sin（arcsina）=a（-1≤a≤1），cos（arccosa）=a （-1≤a≤1），tan（arctana）=a；（2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=π-arccosa，arctan（-a）=-arctana；（3）arcsina+arccosa=；（4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos （cosx）=x只有当x在闭区间[0，π]上成立。
已知三角函数值求角的步骤：（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上）；（2）若函数值为正数，先求出对应锐角α1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α1；（3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2π间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果适合条件的角在第三象限，则它是π+α1；在第四象限，则它是2π-α1；如果是-2π到0的角，在第四象限时为-α1，在第三象限为-π＋α1，在第二象限为-π-α1；（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。
7.4 由三角函数值求锐角
例 1 的 2 个小题 考查的利用计 算器求锐角的 大小，比较简 单，学生一般可 独立完成。 例 2 是一道简单 的应用题，是对 情境二的问题 的复习和巩固。
四、 小 试 牛 刀
五、 课 堂 小 结
让学生进行小 结，不仅有利于 生： 总结本节课的内容， 对本节课所学 本节课学习了哪些知识？ 并发言，其它学生补充 的知识系统把 1、利用计算器由三角函数值求锐角； 握，更能够培养 师：在学生完成小结后 2、用所学知识解决实际问题。 学生用简洁的 给出完善的小结 数学语言进行 表达。
师：出示情境一。 生：独立思考，小组交 流，并作回答。 师：你是如何求解的， 说出你的方法。 生：由三角函数值可以 求出对应的锐角，从而 可求出∠A、∠B 的度 数，再通过三角形的内 角和求出∠C=90°。 师：本题中，∠A 的大
本情境是由两 个问题组成。情 境一的安排从 两个方面考虑， 既是对上节课 知识的复习，更 是让学生明白 由三角函数值 可以求出对应 的锐角。情境二 是从实际问题
3
2
六、 拓 展 延 伸
有一段倾斜角为 30°的斜道长 30m， 为方便行人推车过桥，将斜道延长 10m， 该斜道的倾斜角减少了多少度？
师：出示拓展题。 生：独立思考后小组交 流。 师：请同学谈谈自己的 做法， 后师生共同总结。
这是一道综合 题，综合运用所 学知识，既巩固 了近两节课所 学知识，又能够 培养学生分析 问题和解决问 题的能力。
教学 重点 教学 难点 教学 程序 设计
3 ，试判断△ 境中的两个问题。 3
一、 情 境 创 设
ABC 的形状。 情境二： 如图，小明沿斜坡 AB 行走了 13m， 他的相对应的位置升高了 5m， 你能知 道这个斜坡的倾斜 A 的大小吗？
苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案
_________________. ________________________. ……AC C CB BB斜边c对边呢？20m13m如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____知道一边长及一锐角的三角函数值，其它各边的长和另一锐角的三角函数值。
cosB=1312,AC ＝10，求△ABC 的周长和斜三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。
像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定BA年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点°，则广告牌的高度B的高度，在平地上C处测得建筑物顶方向前进12 m到达D处，在D处测得°，则建筑物ABA50CB．为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测BC°方向，距离灯塔80海里的的南偏东34°方向上如，我们可以利用测角仪测出∠ECB 度数，用皮尺量出CE 的长度，而后按一定的比例尺(例如1:500)出图形，进而求出物体的高度。
， ＝a b ，cota ＝b a（余0＜cosA ＜1，tinA ×cotAa sina cosa tana cota30°45°60°、( )、2.8cm。
CD.参考答案：7.1正切(1) 1. 35 2.4 7.2正弦、余弦（一） 1.21，21,23,23. 2．A 3．D 4． BC=6,cosB=53。
7.2正弦、余弦（二）1．60,13120 2．4 3．6 7．3特殊角的三角函数 1．(1)-1.5 (2) 312．45°，60° 3．23 4．B 5．C 6．156 7.4由三角函数值求锐角1．(1) 60° (2) 30° (3) 60° (4) 23.3° （5）38.3° (6)41.9° 2．14.5° 3．105 m。
已知三角函数值求角
课后练习
解: ∵x[0, ], ∴-≤cosx≤. . ∴cosx= 1 . ∴ cos x = 又 cos(cosx)= 1 , 2 3 3 1 ). ∴x=arccos 1 , 或 x =arccos( 3 3 2.若方程 x2-2(tan2+cot2)x+1=0 有一根是 2- 3 , 求 . 解: 设另一根为 x0, 则 (2- 3 )x0=1, (2- 3 )+x0=2(tan2+cot2), 故有 tan2+cot2-2=0. 即 tan4-2tan2+1=0. ∴tan2=1, 即 tan=1. 1.若 cos(cosx)= 1 2 , x[0, ], 求 x.
, 且 3sin=sin(2+), 4tan =1-tan2 , 4.已知 0<< , 0< < 4 4 2 2 求 + 的值. 2tan 2 1, 解: 由已知 tan= = 2 1-tan2 2 ∵3sin=sin(2+), ∴3sin[(+)-]=sin[(+)+].
∴-=arctan(-m)=-arctanm. ∴=+arctanm. arctanm, m≥0, ∴= +arctanm, m<0.
;
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
7.4三角函数的诱导公式
( - x，y) ；
关于原点的对称点的坐标是 ( - x， - y) .
诱导公式
1. 角与 ＋ k· 2 (k Z)的三角函数间的关系 角与 ＋ k· 2 (k Z)的终边相同，根据三角 函数定义，它们的三角函数值相等. y P 公式 （一）
M O 1 x
sin(2 k＋ )＝sin ； cos(2 k＋ )＝cos (k Z) ；
记忆诱导公式的口诀:
“函数名不变，符号看象限”．
例4 求下列各三角函数的值：
11π 55 π ( 2) cos ； )； 4 6 14 π (4) sin 870． (3) tan( )； 3 解 (1) sin( 55 π ) sin( π 9 π) ( sin π ) 1 ； 6 6 6 2
P(x，y)
－
sin ( ) ＝－sin
x
co ( ) ＝ tan
诱导公式
探究 3
与 － 的终边关于 y 轴对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
y P (-x，y)
- O P(x，y)
公
(1) sin(
(2) cos
11π π π π 2 cos( 3π) cos(π ) cos ； 4 4 4 4 2
3 ；
14 π π π (3) tan( ) tan( 5π) tan 3 3 3
( 4) sin 870 sin(30 5 180) sin(180 30) sin 30 1 ． 2
tan(2 k＋ )＝tan .
例1
求下列各三角函数的值：
13 19 (1)sin ； (2) cos ； (3) tan 405 ． 2 3
苏教版数学课本目录(小五到高中)
小学五年级数学五年级上册（约66课时）第一章小数乘除法（以计算题、填空题为主）1、小数乘除法重点考点：连乘、连加、连除、连减，混合运算和简便运算9课时2、整数乘法运算乘法运算的换算、估算，小数点的移位、列式计算6课时3、循环小数循环节的概念、循环小数的简便写法6课时4、积和商的凑整四舍五入法的凑整3课时第二章统计（以简答题为主）1、平均数平均数的计算和应用9课时第三章简易方程（以简答题为主）1、应用题、方程、化简与求值15课时此部分要讲重点题型、一般会涉及到相遇与追及问题，比例问题，初步二元一次方程（拓展）第四章几何小实践（以简答题为主，必考）9课时1、平行四边形、梯形、三角形（学校好的话会涉及到圆、正方形、长方形）周长面积的计算第五章整理与提高（好的学校的拓展部分）9课时一般会涉及到：数学广场（竞赛）中包括、时间的计算、编码五年级下册（约63课时）第一章正数和负数初步认识1、正数与负数、数轴3课时第二章简易方程（重难点，以简答题为主）30课时1、列方程解应用题图形应用题：面积、周长、边长（下学期重视几何，考的较多）6课时经济型应用题：买东西3课时统计型应用题：平均数3课时和倍差应用题：几倍多少（考的最多）9课时路程型应用题：相遇、追及6课时第三章几何小实践（以简答题为主）1、长方形、正方形、组合图形的体积与表面积（难）18课时第四章问题解决（若好学校试题会很难，依据学生情况和选择学校定难易程度12课时）1、可能性问题（类似于概率，不会考很难很深入的）3课时选择题4-5题3分12-15分填空题10-12题3分30-36分简答题5-6题8-12分49-58分(期中有1-2道必定是图形题)小学六年级数学六年级上册（约42—66课时）1、方程（以计算题为主）3—6课时2、长方体和正方体（以应用题为主）3—6课时2.1 表面积的变化3、分数（以计算题为主）3.1 分数乘法3.2 分数除法理解分数乘除法的意义和分数乘除法之间的关系。
已知三角函数值求角
arcsin 0.75) 则x arcsin(0.75 或 arcsin(0.75) __________ (2)若sinx 0.75, x [ , ], arcsin 0.75 或 则x ______________ arcsin 0.75 3
结论: arcsin(a) arcsin a
例3.(1)若sinx 0.75, x [
, ], 2 2
(3)若sinx 0.75, x [ , ], 则x arc sin 0.75 _____ 2 2 3 x x+ 1.角的范围 解: 2 2 2 2 2.角函数的值 又sin(x ) sin x 0.75, x arc sin 0.75,
根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 即:x=arccosa, 使符合条件的 cos x a (1 a 1) 的角x有且只有一个，而且 包括锐角．
叫做实数a的反余弦, 记作:arccosa,
(3)反正切: 若tanx=a (a∈R), 即:x=arctana,
2 2 叫做实数a的反正切, 记作:arctana,
二找
三写
11 3 (1).若cosx , x [0, 2 ], 求x的取值集合. { 6 , 6 } 2 3 5 11 (2).若tanx , x [0, 2 ], 求x的取值集合. { , } 3 6 6
1 例2.若sinx , x [0, 2 ], 求x的取值集合. 3 1 解: sin x= 0 3 x在一或二象限 1 适合sin 的锐角 = ? 3
1.“知值求角”的一般步骤:
(1).定象限:(由原函数值符号确定角x所在的象限). (2).找锐角θ:(由函数值的绝对值,定对应的锐角θ)
7.3 特殊角的三角函数+7.4 由三角函数值求锐角 苏科版数学九年级下册导学课件
7.3 特殊角的三角函数 7.4 由三角函数值求锐角
学习目标
1 本节要点 特殊角的三角函数值
由三角函数值求锐角
2 学习流程
逐点 学练
本节 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 特殊角的三角函数值
1.30°，45°，60°角的三角函数值
感悟新知
特别提醒： ①由左表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角
感悟新知
例 1 计算： 解题秘方：用“代入法”即可解出答案
解法提醒： 含有特殊角的三角函数的式子的计算方法：
先直接代入特殊角的三角函数值，将运算转化为实 数的混合运算，然后根据实数的运算法则进行计算.
感悟新知
(1)sin230° +sin60°﹣ sin245° +cos230°； 解：原式＝(12)2＋ 23－( 22)2＋( 23)2 ＝14＋ 23－12＋34 ＝12＋ 23；
连接AD.
∵ BD=AB，∴∠ D = ∠BAD.
易得∠ D= 1 ∠ ABC= 1×30° =15° .
2
2
感悟新知
设AC=x(x>0)，则AB=BD=2x ，
∴ BC=AB·cos ∠ABC=2x×
3 2#43;BC=(2+ 3 )x.
∴
tan
D=
x (2＋
3)x
=2－
3
，即tan15° =2－
2.30°，45°，60°角的三角函数值的记忆法 巧记特殊角的三角函数值： 三十、四十五、六十度，三角函数要记住， 分母弦二切是三，分子要把根号添， 一二三来三二一，切值三、九、二十七， 正弦正切递增值，余弦递减恰相反.
感悟新知
【中职专用】(高教版2021十四五基础模块上册)数学4.8 已知三角函数值求角 课件
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如何求出正弦函数y=sinx与直线 在区间[0, 2π]上的交点？
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
要求这个交点，实际上就求
，
x∈[0, 2π]的解．也就是已知三角函数值求
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
3.在[0,2π]范围内, 求适合下列条件的特殊角x的值.
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
函数型计算器的标准设置中, 已知余弦函数值, 只能显 示0°~180°范围内的角．
函数型计算器的标准设置中, 已知正切函数值, 只能显 示 -90°~90°范围内的角．
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
由sin(π+α)=-sinα= , 得第三象限内的角 由sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα= , 得第四象限内的角 所以，在[0,2π]上满足sinx= 的角为
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
求下列特殊的三角函数值在[0,2π]上的角x的值.
已知三角函数值, 利用计算器求角可以按如下流程操作:
27已知三角函数值求角
2 A =cotA-cosA+1, 2.已知 Rt△ABC 的锐角 A 满足 2cos 已知 △ -
2
求∠A.
A 由已知, 解: 由已知 2 -1=cotA-cosA. ∴2cosA=cotA. 2cos2 的锐角, ∵∠A 是 Rt△ABC 的锐角 △ 1 . ∴cosA≠0. ∴2= sinA ≠ 1. ∴sinA= 2 ∴∠A= π . 6
()∪(∴实数 a 的取值范围是 (-2, - 3 )∪(- 3, 2). (2)函数 y=-2sin(x+ π ) 的图象在 [0, 2π] 上有两条对称轴 上有两条对称轴: 函数 3 7π 直线 x= π 与直线 x= 6 . 6 π π 由题设及图象的对称性知, 由题设及图象的对称性知 α, β∈[0, 3 ] 或 α, β∈[ 3 , 2π]. 6 3 当 α, β∈[0, π ]时, α+β=2 π = π ; 3 时 当 α, β∈[ π , 2π]时, α+β=2 7π = 7π . 时 3 6 3 7π π 故 α+β 的值为 3 或 3 .
π π ∴0<α< 2 , 2 <β<π. ∴-π<α-β<0. π. 又 tan(α-β)>0, ∴-π<α-β<- 2 ∴-π<2α-β<0. 3π ∴由 tan(2α-β)=1 知 2α-β=- 4 . -
0<α< π . 4
π
∴0<2α< 2 . ∴-π<2α-β<0.
π
4.已知 sinx+ 3 cosx+a=0 在 [0, 2π] 上有两相异实数解 α,β. 已知 (1)求实数 a 的取值范围 (2)求 α+β 的值 的值. 求实数 的取值范围; 求 解: (1)由已知 a=-2sin(x+ π ). 由已知 3 ∵0≤x≤2π, ∴ π ≤x+ π ≤2π+ π . ∴-2≤-2sin(x+ π )≤2. 3 3 3 3 上只有一解; 又由函数图象知当 a=±2 时, 方程在 [0, 2π] 上只有一解 ± 当 a=- 3 时, 方程在 [0, 2π] 上有三解 0, π , 2π. 3
已知三角函数值求角知识讲解
已知三角函数值求角【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin 2x =-，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin 2x =-知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ．(3)写形式．根据 π±α，2 π - α 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+ 第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 π ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－0.7660，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－0.7660＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －0.7660.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - 0.3332,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31且10π＋π＝1011π∈［0，2π］∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ 整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
人教A版高中数学必修四学教案集三角函数已知三角函数值求角反正弦,反余弦函数,
第三十六教时教材：已知三角函数值求角（反正弦，反余弦函数）目的：要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。
过程：一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。
由y =1︒在R 2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数， 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数）。
在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数，记作()11arccos ≤≤-=x x y二、已知三角函数求角首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。
已知三角函数值求角是多值的。
例一、1、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,222sin ππx x 且，求x 解：Θ在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个∴4π=x （即422arcsin π==x ） 2、已知[]π2,0,22sin ∈=x x 且 解：022sin >=x Θ，x ∴是第一或第二象限角。
4344,224sin 4sin πππππππ=-==∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 或Θ 即（4322arcsin 422arcsin πππ=-===x x 或）。
3、已知R x x ∈-=且,22sin 解：∴<-=,022sin x Θx 是第三或第四象限角。
()()z k k k x ∈++=++=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+41242,224sin 4sin ππππππππ ()()z k k k x ∈-+=-+=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-422422,224sin 4sin ππππππππ （即()z k k x k x ∈+=-=4242ππππ或 或 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=22arcsin 1k k x π）这里用到()x y x x arcsin ,arcsin arcsin =-=-Θ是奇函数。
2020高中数学 第1章 基本初等函数(Ⅱ)1.. 已知三角函数值求角教案(含解析)4
1.3。
3 已知三角函数值求角学习目标核心素养1．掌握已知三角函数值求角的方法,会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x,arctan x表示角．（重点、难点) 2．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间［－2π,2π]上对应的角．(重点）通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1．已知正弦值，求角对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y（y∈［－1,1])，那么在错误!上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y错误!。
2．已知余弦值，求角对于余弦函数y＝cos x,如果已知函数值y（y∈［－1,1])，那么在［0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y(其中－1≤y≤1，0≤x≤π)．3．已知正切值,求角一般地，如果y＝tan x（y∈R)且x∈错误!，那么对每一个正切值y,在开区间错误!内,有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan_y 错误!。
思考：符号arcsin a(a∈[－1，1])arccos a(a∈［－1,1]），arctan a(a∈R)分别表示什么？［提示] arcsin a表示在区间错误!上，正弦值为a的角，arccos a 表示在区间错误!上余弦值为a的角，arctan a表示在区间错误!内,正切值为a的角．1．下列说法中错误的是（）A．arcsin错误!＝－错误!B．arcsin 0＝0C．arcsin(－1）＝错误!πD．arcsin 1＝错误!C［根据已知正弦值求角的定义知arcsin（－1）＝－错误!，故C项错误．]2．已知α是三角形的内角,且sin α＝错误!，则α＝（)A。
错误!B。
错误!C.错误!或错误!D.错误!或错误!D［因为α是三角形的内角，所以α∈(0,π），当sin α＝错误!时，α＝错误!或错误!，故选D.]3．已知tan 2x＝－错误!且x∈［0，π］，则x＝________.错误!或错误!［∵x∈[0,π］，∴2x∈［0,2π］．∵tan 2x＝－错误!,∴2x＝错误!或2x＝错误!，∴x＝错误!或错误!.］已知正弦值求角【例1】已知sin x＝错误!。
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，
显示结果为63.434 948 82，即∠A≈63.43°．
思考：
已知∠A为锐角，且cosA ＝1 ，∠A的取值范围是（ D）
4
A. 0°＜∠A＜30°
B. 30°＜∠A＜45°
C. 45°＜∠A＜60°
D. 60°＜∠A＜90°
如果不用计算器，你能根据三角函数的增减
性判断出来吗？
已知三角函数值求锐角，要用到
得 2604851
2604851.41
(2)cosβ=0.7857
SHIFT cos 0 . 7 8 5 7 =
得 38 01252 3801252.32
(3)tanβ=1.4036
SHIFT tan 1 . 4 0 3 6 =
得 54 03155
友情提醒：首先要把科学计算器调至DEG状态 下，再进行操作．
想一想：
你知道为什么要先按
功能键吗？
做一做：
例1 求满足下列条件的锐角A（精确到0.01°）：
（1）cosA＝1 ； （2）tanA＝2 . 4
解：（1）依次按键
，
显示结果为75.522 487 81，即∠A≈75.52°．
（2）依次按键
5403154.8
例3 如图,工件上有一V型槽,测得它的 上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB) 的大小(结果精确到10 ).
解 : tan ACD AD 10 0.5208, CD 19.2
∴∠ACD≈27.50 .
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50 =550.
∴V型角的大小约550.
练一练：
如图，秋千的长OA为3.5m，当秋千摆动到OA′位置 时，点A ′相对于最低点A升高了1m，求∠AOA′(精确 到0.1°) ．
O
A'
B
A
由锐角的三角函数值求锐角的大小
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 2
∠A= 300 sin A 3
2
∠A=
600 sin A 2
2
∠A= 450
cos A 1 2
∠A= 600 cos A
2 2
∠A=
450 cos A 3 2
∠A= 300
tan A 3 3
∠A=
300 tan A
3 ∠A= 600
tan A 1 ∠A= 450
课时作业本 P 87-88 第6课时
的
第二功能
．
基本步骤：
（1）按键 ,
（2）按函数名称键 或 或 ，
（3）按键输入已知的函数值,
（4）按键
即得所求角的度数，
（显示结果是以度为单位的）．
（5）按题目要求取近似值．
例2 根据下面的条件,求锐角β的大小(精确到 1) (1)sinβ=0.4511；
SHIFT sin 0 . 4 5 1 1 =
秀峰中学 初三数学组 制作
y
x
本课内容：
7.4 由三角函数值求锐角
前几节课 ,我们已经知道:已知任意 一个锐角,用计算器都可以求出它的函 数值.
反之,已知三角函＝
5 13
．
B
.
利用科学计算器
依次按键
A
C
,
结果显示为22.619 864 95, 即∠A≈22.62°．