【创新设计】2015高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题分类规范练3 Word版含解析

规范练(三) 概率与统计
1．节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好．若
使用时间小于4千小时的产品为不合格品；使用时间在4千小时到6千小时(不含6千小时)的产品为合格品；使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．某节能灯生产厂家为了解同一型号的某批次产品的质量情况，随机抽取了部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示．若以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．
(1)若该批次有产品2 000件，试估计该批次的不合格品、合格品、优质品分别有多少件？
(2)已知该节能灯生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计可知：该型号节能灯每件产品的利润y (单位：元)与其使用时间t (单
位：千小时)的关系式为y ＝⎩⎨⎧ －20，t <4
20，4≤t <6，
40，t ≥6，现从大量的该型号节能灯中随机
抽取一件，其利润记为X (单位：元)，求X ≥20的概率．
解 (1)据题意，该批次的不合格品、合格品、优质品的概率分别为0.1,0.4,0.5，
∴该批次的不合格品、合格品、优质品的件数分别为
200,800,1 000.
(2)∵P (X ＝20)＝25，P (X ＝40)＝12，
∴P (X ≥20)＝P (X ＝20)＋P (X ＝40)＝910.
2．一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5，甲乙
两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．
(1)写出所有可能的结果，并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；
(2)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形，求出能构成三角
形的概率．
解(1)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20个．
设事件A＝“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”，
则事件A包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8个．
所以P(A)＝8
20＝
2
5.
(2)剩下的三边长包含的基本事件为：
(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10个；
设事件B＝“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形”
则事件B包含的基本事件有：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)共3个，所以P(B)＝3 10.
3．某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)分别求第三、四、五组的频率；
(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品作为
下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的2个产品均来自第三组的概率．
解(1)第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0.100×2＝0.2；第五
组的频率是0.050×2＝0.1.
(2)设“抽到的2个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，分别抽取3个、2个、1个．
不妨设第三组抽到的是A1、A2、A3；第四组抽到的是B1、B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C1}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C1}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B2，C1}，共15个，事件A包含的基本事件有3个，所
以P(A)＝3
15＝
1
5.
4．已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组，现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样．
(1)若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽
出学生的号码；
(2)分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该
样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求
被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．
解(1)由题意，得抽出号码为22的组数为3.因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02,12,22,32,42,52,62,72,82,92.
(2)这10名学生的平均成绩为：
x＝1
10×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，故样本方差为：
s2＝1
10×(10
2＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.
(3)从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：
(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
其中成绩之和不小于154分的有如下7种：(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：P＝7 10.。