两圆的公切线
初中数学 公切线与圆的位置关系是什么
初中数学公切线与圆的位置关系是什么
公切线与圆的位置关系主要有三种情况：外公切线、内公切线和不相交。
1. 外公切线：
-外公切线是指一条直线与圆相切，且位于圆的外部。
-外公切线与圆的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。
-外公切线与圆的切点构成的线段与圆的半径之差相等。
-外公切线与圆的位置关系是切点位于圆的外部，切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。
2. 内公切线：
-内公切线是指一条直线与圆相切，且位于圆的内部。
-内公切线与圆的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。
-内公切线与圆的切点构成的线段与圆的半径之和相等。
-内公切线与圆的位置关系是切点位于圆的内部，切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。
3. 不相交：
-当两个圆之间的距离大于两个圆的半径之和时，它们没有公共切点，也就是不存在公切线。
-不相交的圆之间有两种情况：一个圆在另一个圆的内部或两个圆完全分离。
需要注意的是，公切线与圆的位置关系是由两个因素决定的：切点的位置和切线与圆的关系。
公切线的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。
切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。
希望以上内容能够满足你对公切线与圆的位置关系的了解。
两圆的公切线
例 如图，半径分别为3、1的⊙O 1与⊙O 2外切，一直线分别切它们于A 、B ，又交O 1O 2于C ．求：①切线AB 长；②∠C 的度数．分析：首先想到切线性质，故连结O 1A 、O 2B ，得直角梯形AO 1O 2B ．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质． 解：（1）连结O 1A 、O 2B ，作O 2D ∥BA 交O 1A 于D ． 则得Rt △O 2DO 1和矩形ADO 2B ． ∵ AD=O 2B=1， O 1A=3 ∴O 1D=3-1=2 ∵O 1O 2=3+1=4， AB= O 2D=3224D O O O 2221221=-=-．（2）由（1）知O 1D=2，O 1O 2=4，∴∠C=∠DO 2O 1=30° 说明：（1）求外公切线长，应用切线性质、构造三角形；（2）添加辅助线的方法．例 已知：如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O 1于点D ，交⊙O 2于点E ；DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ；（2）若PE=3，PA=6，求PC 的长． 证明：（1）过P 作两圆的公切线PT ， ∴∠TPC=∠4，∠3=∠D ． ∵∠4=∠D+∠5，∴∠2+∠3=∠D+∠5，∴∠2=∠5 又DA 与⊙O 2相切于点C ， ∴∠5=∠1，∴∠1=∠2，即PC 平分∠APD ．（2）∵DA 与⊙O 2相切于点C ，∴∠PCA=∠4．由（1）知∠1=∠2，∴△PCA ∽△PEC ． ∴PCPA PE PC =，即PE PA PC 2⋅=．∵PE=3，PA=6，∴18PC 2=，∴23PC =． 说明：①此题主要应用：切线的性质、弦切角、相似形以及作辅助线的方法；②此题得出∠1=∠2，在中考中是热点题目．典型例题八例 已知：如图，设⊙1O 、⊙2O 外切于A ，外公切线BC 分别切两圆于B 、C 交21O O 于P ，若⊙1O 半径为r 3，⊙2O 半径为r .求证：（1）PB PC PA ⋅=2O 1O 2A B CD O 1O 2A C BTP 12345（2）求P cos 的值。
两圆公切线
怎样确定两圆的内公切线和外公切线答：首先应弄清公切线、内公切线和外公切线等概念．和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线图1(1)．两个圆在公切线6d22aeae8db846b70d2b475bba1b063c两旁时，这样的公切线叫做内公切线图1(2)．根据定义可以分清什么是两圆的内公切线，什么是两圆的外公切线．由于两圆的位置不同，这两圆的公切线条数也不相同．下面分别讨论．(1)当两圆外离时，可以作两条外公切线和两条内公切线，故共有4条公切线；(2)当两圆外切时，可以作两条外公切线和1条内公切线，故共有3条公切线；(3)当两圆相交时，可以作两条外公切线，而无法作出内公切线，故共有2条公切线；(4)当两圆内切时，只可作1条外公切线，而无法作两圆的内公切线，故共有1条公切线；(5)当两圆内含时，没有公切线．反过来，若两圆有4条、3条、2条、1条、没有公切线时，也可判定两圆的位置关系分别是外离、外切、相交、内切、内含．介绍两圆相外离时公切线的作法如下．作两圆的公切线，关键是作出切点，解决问题的方法是把它转化为过一点作圆的切线问题．可以想像把两圆中较小的一个圆的半径逐渐变小，最后成为一个点的情况；与小圆半径变小的同时，大圆的半径也相应地变小相等的长度，可结合画图，得到作相离两圆的外公切线转化为过圆外一点作圆(辅助圆)的切线．所以得出要先作出和大圆同心，并且半径等于两半径之差的辅助圆．如图2所示，画两个圆的公切线时，总是以较大的圆的圆心为圆心，先画一个辅助圆．如果是画外公切线．那么辅助圆的半径等于两圆半径的差；如果要画的是内公切线，那么辅助圆的半径等于两圆半径的和．辅助圆画好后，再从较小的圆的圆心作辅助圆的切线，连结切点和较大圆的圆心的线段，使之与较大圆相交于一点(画外公切线时要延长)，然后过这交点画辅助圆的切线的平行线，就得到要画的公切线．总之，画外公切线和画内公切线的方法是一样的，只是辅助圆的半径不同．当两圆外切、两圆相交时两圆外公切线的作法与两圆外离时的作法基本相同．想一想两圆外切时内公切线的作法(过切点作两圆连心线的垂线)．1421-1638-9529-3184。
计算圆的公切线
计算圆的公切线一、引言圆是一种基本的几何图形，其在现实生活和科学研究中具有广泛的应用。
圆的公切线是与一个或多个圆相切的直线，其计算和求取对于许多领域如几何学、工程学和物理学等都有着重要的意义。
了解如何计算圆的公切线对于深入理解几何学基本概念和解决实际问题都具有不可或缺的作用。
二、公切线的定义与性质三、计算公切线的步骤与方法四、实例分析以两个相切的圆为例，说明如何计算它们的公切线。
假设两个相切圆的圆心分别为(h 1,k 1)和(h 2,k 2)，半径分别为r 1和r 2。
首先判断两圆的位置关系，由于是相切圆，所以两圆心距等于两圆半径之和或差。
然后使用公式求取公切线的方程：x −h 1D 1=y −k 1E 1=z −f 1F 1和x −h 2D 2=y −k 2E 2=z −f 2F 2其中D 1,E 1,F 1,D 2,E 2,F 2是与两圆相切的直线系参数。
通过解这两个方程组，可以求得公切线的参数和方程。
最后将求得的公切线方程应用于实际问题中，如机械零件的设计、建筑结构的分析等。
五、结论计算圆的公切线是几何学中的一个重要问题，对于解决实际问题具有重要的意义。
通过了解公切线的定义与性质、掌握计算公切线的步骤与方法以及实例分析，可以深入理解几何学的基本概念并提高解决实际问题的能力。
在未来的学习和工作中，可以进一步探索如何将计算圆的公切线的方法应用于更多领域中，发挥其在实际问题解决中的作用。
同时，可以深入研究其他类型的几何图形如椭圆、抛物线等的公切线计算方法，以丰富自己的几何学知识体系。
此外，随着计算机技术的发展，可以利用计算机编程语言和数学软件实现自动计算公切线的程序，以提高计算的准确性和效率。
1. 定义：公切线是与一个或多个圆在某点相切的直线。
对于两个相切的圆，公切线是它们唯一的一条共同切线，而与这两个圆相切的该公切线只有一个公共点（切点）。
2. 性质：公切线具有一些重要的性质，包括：公切线的长度等于两个相切圆的半径之和或差（根据两圆的位置关系而定）。
《两圆公切线》课件
两圆公切线的分类
• 按照与圆心的位置关系分类： * 外公切线：与两个圆心都在圆外 * 内公切线：与两个圆心都 在圆内 * 外内公切线：与一个圆心在圆外，另一个圆心在圆内
• * 外公切线：与两个圆心都在圆外 • * 内公切线：与两个圆心都在圆内 • * 外内公切线：与一个圆心在圆外，另一个圆心在圆内
圆心距小于两圆半径之和（差）
定义：当两圆的圆心距小于两圆半径之和（差）时，两圆相交
求法：利用两圆相交的条件，通过求解两圆方程的公共解来求得两圆的交点
性质：两圆相交时，两圆之间的距离为两圆半径之差
应用：在几何学、物理学等领域中，两圆相交的情况经常出现，因此求两圆的交点对于解 决相关问题具有重要意义
两圆公切线的应用
在几何作图中的应用
确定两圆的交点： 通过两圆公切线 可以确定两圆的 交点位置，从而 求解相关问题。
判断两圆的位置 关系：通过观察 两圆公切线的条 数和形态，可以 判断两圆的位置 关系，如相切、 相离、相交等。
求解与圆相关的 几何问题：利用 两圆公切线可以 求解与圆相关的 几何问题，如求 圆的半径、面积 等。
《两圆公切线》PPT课件
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 课件封面 3 目录 4 两圆公切线的定义与性质 5 两圆公切线的求法
6 两圆外切与内切的判断方法
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标题
课件名称：《两圆公切线》 课件版本：XX 制作单位：XXX 制作时间：XXXX年XX月XX日
回顾本节课的主要内容 总结两圆公切线的性质和定理 强调两圆公切线在几何中的应用 回顾与思考：如何更好地理解和掌握两圆公切线
两个圆的公切线
两个圆的公切线
和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线。
两个圆在公切线的两旁时,这样的公切线叫做内公切线。
公切线性质：
1.两圆的两条外公切线长相等。
2.两条内公切线的长也相等。
3.两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。
位置关系：
公切线的条数与两圆的位置关系如下：
若两圆相离，则有4条公切线。
若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）。
两圆相交，则有2条公切线（外切）。
若两圆内切，则有1条公切线。
若两圆内含，则有0条公切线。
两圆的公切线
两圆的公切线教学目标：1．理解两圆公切线、外公切线、内公切线、公切线长的概念。
2．理解两圆位置关系和公切线条数之间的关系。
3．理解两圆的外公切线长相等、内公切线长相等。
4．理解两圆公切线长、两圆半径、圆心距之间的关系及其推导方法，并能运用其进行简单计算。
教学重点：两圆公切线的概念及相关计算教学难点：灵活运用切线相关性质及定理进行计算。
教学过程：1．开门见山，理解公切线概念定义：和两圆都相切的直线称为两圆的公切线。
如图，请画出图中两圆所有公切线。
（请一同学上台借尺完成，台下同学思考并补充）两圆的公切线共有几条？答：4条；或答：和两圆的位置关系有关。
（简单复习两圆的五种位置关系）请作图探究，两圆位置关系发生变化时，两圆的公切线条数会发生怎样的变化？学生练习纸上作图，请两位同学同时在台上作图。
定义：两圆在公切线同旁，公切线叫做外公切线；定义：两圆在公切线两旁，公切线叫做内公切线；边看黑板，一边完成书上45页表格，齐声作答。
（填空判断小练习）2．两圆公切线的实际模型与计算实际生活中我们也经常可以看到两圆公切线的模型，例如自行车的链条、机床驱动用的皮带、修正带等等。
在设计这些实物的过程中，需要对其尺寸大小加以计算。
定义：两圆公切线上两切点间距离叫做公切线的长。
例：如图，已知自行车前驱齿轮半径为3分米，后驱齿轮半径为1分米，两齿轮轴间距8分米，求上方链条长（即公切线AB的长）思考1：若链条重力不计（即不考虑链条下沉），下方链条长为多少？思考2：若已知条件不变，改为求内公切线长，结果如何？两条内公切线长大小关系如何？思考3：若已知条件变为两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则如何表示外公切线及内公切线的长？例题解答过程：学生上台添线口述（鼓励不同解法）思考1：口答思考2：学生上台添线口述（鼓励不同解法）思考3：可先组织学生讨论，确定大方向。
推导、最后汇总。
（公式直接运用小练习）观看板书小结：1．公切线的相关概念、公切线条数和两圆位置的关系、公切线长的概念。
两圆的公切线(二)
两圆的公切线(二)引言在上一篇文章中，我们讨论了两个圆的公切线的概念以及求解公切线的方法。
本文将进一步探讨两个圆的公切线，并介绍几个实际问题中的应用。
求解两个圆的公切线假设有两个圆C1和C2，它们的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。
我们的目标是求解这两个圆的公切线。
情况一：两个圆相交当两个圆相交时，存在两条内公切线和两条外公切线。
内公切线内公切线示意图内公切线示意图如图所示，设两个圆的半径分别为r1和r2，圆心之间的距离为d。
对于内公切线，设切点分别为A和B。
根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。
因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 + (O1O2)^2 = r1^2 —-(1)(O2B)^2 + (O1O2)^2 = r2^2 —-(2)将公式(1)和(2)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2根据O1A和AO2的互为相反数的关系，可得：(O1A + O2B)(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于O1A + O2B = AB，我们可以得到：AB(O1A - O2B) = r1^2 - r2^2由于AB是切线的长度，而O1A - O2B是两个圆心之间的距离，即d。
因此，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d外公切线外公切线示意图外公切线示意图对于外公切线，同样设切点为A和B。
根据几何性质可知，AO1、BO1是两个圆的半径，且垂直于相应的切线。
因此，我们可以得到以下等式：(O1A)^2 - (O1O2)^2 = r1^2 —-(3)(O2B)^2 - (O1O2)^2 = r2^2 —-(4)将公式(3)和(4)相减，可以消去O1O2：(O1A)^2 - (O2B)^2 = r1^2 - r2^2同样由于O1A + O2B = AB，我们可以得到： AB = (r1^2 - r2^2) / d情况二：两个圆外切当两个圆外切时，存在两条内公切线和两条外公切线。
两圆的公切线
如图，无论是改变两圆的大小，还是圆心距，直线和圆的关系保持不变，即直线始终是两圆的外公切线。
二、思路分析我们在寻求外公切线的作法以前，先看看下图，是否能想起过圆外一个作圆的切线的的尺规作法以PO为直径作圆（先作线段OP的中点，找到圆心）→作两圆的交点C、D（这一步可省）→作直线PC、PD。
是不是很简单？然后看右图，是不是想起外公切线的尺规作图（其实质就是把两圆的外公切线转化为内公切线），想不起试着分析一下。
如果还不行的话，就看看下图：如果还不行的话，就看下面的操作步骤吧。
三、操作步骤1、任画两圆（A,D）（B，C）2、度量两圆的半径，并计算它们的差3、以AB为直径画圆4、画圆（A，（半径⊙AD）－（半径⊙BC＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于E（其中一个交点）。
5、作直线BE；作直线（A，E）交圆（A,D）于F6、作平行线（F，直线BE）7、作直线FG关于线段BA的对称直线四、拓展研究1、这样尺规作图外公切线的作法，有缺点，当⊙AD的半径小于半径⊙BC时，外公切线不见了（您知道为什么吗？），如何完善？如图：只要在大圆内重复上述步骤，就搞定了，具体如下(1)、计算两圆半径的差（注意是大圆半径减小圆半径）(2)、画圆（B，（半径⊙BC）－（半径⊙AD＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于I（其中一个交点）。
(3)、作直线(A,I)；作直线（B，I）交圆（B,C）于H(4)、作平行线（H，直线AI）(5)、作已作切线关于线段BA的对称直线，即另一条切线。
如下图就算这样作，仍不完善，当两圆半径相等时，切线会不见了。
您能继续完善吗？（见文件）2、尺规作图得分三种情况（半径之间大于、小于、等于），有没有更简单的作法，有，下面讲一种非尺规作图的方法如上图，分析一下作法。
两圆半径固定，位置固定→确定∠BAF→确定F→确定G→确定一条切线→另一条切线。
具体步骤如下(1)、度量AB即圆心距(2)、计算(3)、B点饶A为中心以计算结果（上图所示）为旋转角旋转得到(4)、作射线（A，）交圆AD于H(5)、作平行线（B，射线AH），交圆BC于I(6)、作直线（H，I）即两圆的一条外公切线(7)、作直线HI关于AB对称的直线，得到另一条切线。
【数学课件】两圆的公切线
⊙ 02分别切于点A、B。
求外公切线的长AB。 （2001武汉中考题；6分）
4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
精选掌握求两圆内外公切线长的方法
9．若⊙O1与⊙O2外离，A、B是一条内公切线与两条外公切线的交点，则 AB的长( )
A．等于一条外公切的长。
B．等于内公切线长与外公切线长的平均数。
C．等于内公切线长与外公切线长的比例中项。
D．当且仅当两圆为等圆时等于一条外公切线的长。
10．已知：如图，两圆外切于P，直线MN与两圆分别切于M、N，过P作一直 线交两圆于A、B，
如图，作O1E∥AB交O2B的延长线于E，
两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上，连心线平分两内公切线的夹角。如图(1)所示：内公切线 AB ＝CD，AB与CD的交点P在连心线O1O2上，∠APO1＝∠CPO2 .
E
构成Rt△O1EO2，
A．一条外公切线长的二倍。
B．两条内公切线长的和。
C．一条外公切线长和一条内公切线长的和。
D．两条内公切线长和一条外公切长的和的一半。
9．设相离的半径分别为4cm和2cm，且它们的两条内公切线互相垂直，则内公切线的长为_______cm。
10．若两外切，内公切线和一条外公切线相交成60°的角，则小圆半径与大圆半径之比为_______ 。
解：
∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC
∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm
分析：
例3 如图5，已知⊙O1和⊙O2的内公切线CD和外公切线AB分别与连心线O1O2相交于P、Q，
直接证明这个比例式较困难，
注意CD为内公切线，
连O1C、O2D可得O1C∥O2D，
连O1B、O2A可得O1B∥O2A，
1．两圆半径分别为8和5，若两圆共有三条公切线，那么圆心距d为( )
A．d＝3 B．3＜d＜13 C．d＝13 D．d＞13
两个圆的公切线
两个圆的公切线两个圆的公切线圆上任意⼀点拥有唯⼀的圆⼼⾓根据两个圆的位置关系来确定情况1. 两个圆内含，没有公共点，没有公切线2. 两圆内切，有⼀个条公切线3. 两圆完全重合，有⽆数条公切线4. 两圆相交。
有2条公切线5. 两圆外切，有3条公切线6. 两圆相离，有4条公切线1 与 3 什么都不求，情况2 可以直接求出直线AB的极⾓进⽽转换为圆⼼⾓来求切点，连接切点和圆⼼，旋转90度即可得到切线。
情况 4 有两条外公切线，求出圆⼼距d以及|AG| 即可求出α的⼤⼩，根据→AB的极⾓进⾏旋转即可求出切点，进⽽得到切线情况 5 的内切线类似情况2情况 6 的外公切线与情况4完全⼀样情况 6 的内切线也是先求出圆⼼⾓α，如何求？cosα=A r+B r |AB|struct circle{Point p;double r;// 通过圆⼼⾓求圆上某⼀点Point point(double a){return Point(p.x + cos(a) * r, c.y + sin(a) * r);}}// a[i] 存放第 i 条公切线与圆A 的交点int getTangents(circle A, circle B, Point*a, Point *b){int cnt = 0;// 以A为半径更⼤的那个圆进⾏计算if(A.r < B.r) return getTangents(B, A, b, a);db d2 = (A.p-B.p).len2(); // 圆⼼距平⽅db rdiff = A.r - B.r; // 半径差db rsum = A.r + B.r; //半径和if(d2 < rdiff * rdiff) return 0; // 情况1，内含,没有公切线Vector AB = B.p - A.p; // 向量AB，其模对应圆⼼距db base = atan2(AB.y, AB.x); // 求出向量AB对应的极⾓if(d2 == 0 && A.r == B.r) return -1;// 情况3，两个圆重合，⽆限多切线 if(d2 == rdiff * rdiff){ // 情况2，内切，有⼀条公切线a[cnt] = A.point(base);b[cnt] = B.point(base);cnt++;return 1;}// 求外公切线db ang = acos((A.r - B.r) / sqrt(d2)); //求阿尔法// 两条外公切线a[cnt] = A.point(base+ang); b[cnt] = B.point(base+ang); cnt++;a[cnt] = A.point(base-ang); b[cnt] = B.point(base-ang); cnt++;if(d2 == rsum * rsum){ // 情况5，外切，if⾥⾯求出内公切线a[cnt] = A.point(base); b[cnt] = B.point(pi+base); cnt++;}else if(d2 > rsum * rsum){ //情况6，相离，再求出内公切线db ang = acos((A.r + B.r) / sqrt(d2));a[cnt] = A.point(base + ang); b[cnt] = B.point(pi+base+ang);cnt++; a[cnt] = A.point(base - ang); b[cnt] = B.point(pi+base-ang);cnt++; }// 此时，d2 < rsum * rsum 代表情况 4 只有两条外公切线return cnt;}Processing math: 100%。
公切线的条数怎么看
公切线的条数怎么看
公切线的条数怎么看的方法如下：
若两圆相离，则有4条公切线。
若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）。
两圆相交，则有2条公切线（外切）。
若两圆内切，则有1条公切线。
若两圆内含，则有0条公切线。
公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。
公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。
如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。
公切线的条数与两圆的位置关系如下：若两圆相离，则有4条公切线；若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）；两圆相交，则有2条公切线（外切）；若两圆内切，则有1条公切线；若两圆内含，则有0条公切线。
第三课时两圆的公切线
第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决相关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的水平．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合水平培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等相关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B，C为切点．若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生实行）猜测：（学生猜测）∠BAC=90°证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内切线交BC于点O．∵OA、OB是⊙O1的切线，∴OA=OB．同理OA=OC．∴OA=OB=OC．∴∠BAC=90°．反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．例2、己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：∠APC＝∠BPD．分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O1O2，或作外公切线．证明：过P点作两圆的公切线MN．∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，即∠APC＝∠BPD．反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆⊙O1的弦AB与小圆⊙O2相切于C点．是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．（三）练习练习1、教材145练习第2题．练习2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点．求证：PA·PB=PD·PC．证明：过点P作两圆的公切线EF∵AB是小圆的切线，C为切点∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB∴PA·PB=PD·PC说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．（三）总结学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(假如存有)在连心线上．2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．3、常用的辅助线：（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．4、自己要有深入研究问题的意识，持续反思，持续归纳总结．（四）作业教材P151习题中15，B组2．探究活动问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D．(1)用量角器量出∠EAF与∠CBD的大小，根据量得结果，请你猜测∠EAF与∠CBD的大小之间存有怎样的关系，并证明你所得到的结论．(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．(3)假如将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点A”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°．证明略（如图作辅助线）．说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，实行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩?a href=://teachercn/Class/034/ target=_blank>数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若CD移动到与两圆相切于点C、D，那么结论又将变为∠CAD＝90°．数学教案－两圆的公切线。
公切线定理
公切线定理
几何学中，公切线定理是非常重要和有用的一个定理。
它规定，如果一条直线在两个不
同的圆上有相交，那么这条直线既是这两个圆的公切线，即这两个圆的半径有着相等的距离。
考虑两个不同大小的圆C1和C2。
如果存在一条直线L，它分别从圆C1和C2的圆心出发，且相交在圆C1和C2的某点P处，那么该直线L就是这两个圆的公切线。
要证明该公切线定理，可以先设空间中有三点O1，O2和P，其中O1和O2分别为圆C1和
C2的圆心，P为圆C1和C2的公共交点。
根据三角形的勾股定理可知，
(1)PO1^2+PO2^2=2*OP^2
将两个式子代入到一起，得出：
(2)PO1^2-2*OP^2+PO2^2=0
根据二次多项式的相关知识，式子(2)构成了一个二次多项式a*x2+2b*x+c，其中a、b、c
均为实数，此时a、b、c分别等于1、−2、1，求x的根可得：
x^2-2x+1=0
因此，有x1=1，x2=1，可知PO1和PO2均为1，证明了直线L是圆C1和C2的公切线。
综上所述，公切线定理为：如果一条直线在两个不同大小的圆上有相交，那么该直线就是
这两个圆的公切线，即这两个圆的半径有着相等的距离。
该定理在几何学中有着非常重
要的地位和作用。
除了几何学研究，它还可以应用在其他领域中，如机械设计与波特参
数计算等。
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d
检测练习
1、已知:⊙ 01 ，⊙ 02的半径 已知:⊙ 分别为2cm 3cm，它们切于点T 2cm和 分别为2cm和3cm，它们切于点T。 外公切线AB与⊙ 01 、⊙ 02分 外公切线AB与 AB 别切于点A 别切于点A、B，则外公切线的 长AB= 。
2、已知:⊙01，⊙02外切于 已知:⊙0 :⊙ 直线AB分别切⊙ AB分别切 点C，直线AB分别切⊙01， 两点， ⊙02于A、B两点，⊙02的半 径为1 径为1 ，AB=2 2 ，则⊙01 的半径是 。
3.已知⊙ 的半径4cm 4cm， 3.已知⊙O1的半径4cm， ⊙O2 已知 的半径1cm 1cm， 的半径1cm，两圆的圆心距为 6cm，那么两圆的外公切线长 6cm， 为 ，内公切线长 为 ，连心线与外公切 线的夹角为 ，连心 线与内公切线夹角的正弦值 . 是
4、已知⊙O1和⊙O2的外切于 已知⊙ AB切 点P，AB切⊙O1于A，切⊙O2于 B. A
B
O1
A P
O2
D C
引伸2.如图甲, 引伸2.如图甲, ⊙O1与⊙O2外切于点 2.如图甲 P,AB是两圆的公切线 切点为B,A. 是两圆的公切线, B,A.直线 P,AB是两圆的公切线,切点为B,A.直线 AP,BP交 AP,BP交⊙O1于C, ⊙O2于D. B A 求证： =ADBC ⑴求证：AB2=AD BC 如图乙, ⑵如图乙,当图甲中的 O1 P O2 切点P 切点P变为两圆的一个 D 交点时,结论AB =ADBC 交点时,结论AB2=AD BC C B 还成立吗?若成立, 还成立吗?若成立,请给 A 出证明;若不成立, 出证明;若不成立,请说 P O2 明理由. 明理由. C O1 D
(2)若 (2)若⊙Ａ的位置大小不变，⊙Ｂ的圆 的位置大小不变， 心在Ｘ轴正半轴移动并使⊙ 心在Ｘ轴正半轴移动并使⊙Ａ与⊙Ｂ 始终外切， 的切线ＭＣ， 始终外切，过Ｍ作⊙Ｂ的切线ＭＣ， 切点为Ｃ，在此变化过程中探究： Ｃ，在此变化过程中探究 切点为Ｃ，在此变化过程中探究： 四边形ＯＭＣＢ是什么四边形， ＯＭＣＢ是什么四边形 ①四边形ＯＭＣＢ是什么四边形，对 你的结论加以证明． 你的结论加以证明． 经过Ｍ，Ｎ，Ｂ Ｍ，Ｎ，Ｂ三点的抛物线上是 ②经过Ｍ，Ｎ，Ｂ三点的抛物线上是 否存在以ＢＮ为腰的等腰三角形？ ＢＮ为腰的等腰三角形 否存在以ＢＮ为腰的等腰三角形？若 存在，表示出来；若不存在， 存在，表示出来；若不存在，说明理 由．
A
课堂作业
1.已知两等圆和另一个圆两两互 1.已知两等圆和另一个圆两两互 相外切,且都与同一条直线相切, 相外切,且都与同一条直线相切, 求等圆与另一个圆的半径之比. 求等圆与另一个圆的半径之比.
o1 o
o2
2.圆心Ａ（０ 2.圆心Ａ（０，３），⊙Ａ与Ｘ轴相 圆心Ａ（ ），⊙ 的圆心在Ｘ轴的正半轴上， 切，⊙Ｂ的圆心在Ｘ轴的正半轴上， 外切于点Ｐ， Ｐ，两圆的公 且⊙Ｂ与⊙Ａ外切于点Ｐ，两圆的公 切线ＭＰ ＭＰ交 轴于点Ｍ， Ｍ，交 轴于Ｎ 切线ＭＰ交Ｙ轴于点Ｍ，交Ｘ轴于Ｎ. Ｙ ).若 (１).若 sin∠OAB=0.8， sin∠OAB=0.8，求 Ａ 直线MP MP的解析式及 直线MP的解析式及 Ｐ 经过M,N,B M,N,B三点的 经过M,N,B三点的 Ｏ Ｎ Ｂ 抛物线的解析式 Ｍ Ｃ
(1)试用a,b表示C(a), C(b)外切 (1)试用a,b表示C(a), C(b)外切 试用a,b表示 的条件. 的条件. (2)在C(a)和C(b)外切只有一个的 (2)在C(a)和C(b)外切只有一个的 情况下, 的值. 情况下,求a的值.
2的点(原点除外) 3.以抛物线 以抛物线Y=X 3.以抛物线Y=X 的点(原点除外)
为圆心且切X轴的动圆C,如果C 为圆心且切X轴的动圆C,如果C的 C,如果 圆心是(a,a ),把这个圆记为 把这个圆记为C(a); 圆心是(a,a2),把这个圆记为C(a); 如果C的圆心是(b,b ),把这个圆 如果C的圆心是(b,b2),把这个圆 记为C(b); 记为C(b);
外公切线
内公切线
1、连结两圆心与两切点，构造出直角梯形； 连结两圆心与两切点，构造出直角梯形； 、 点 直角梯形 形 直 角形； 角 角形； 、 外公切线 直角 角形 化 角形， 直角 角形，
设两圆的半径分别为R和r（R﹥r）， 则两圆的外公切线长= 圆心距为d，则两圆的外公切线长=
d (R r)
5.如图⊙ 相交于A 两点， 5.如图⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB 如图 的延长线与两圆的公切线CD交于点H CD交于点 的延长线与两圆的公切线CD交于点H， 切点为C AD交 DB的延长 切点为C，D，AD交⊙O2于F，DB的延长 EF交AB于 线交⊙ 线交⊙O1于E，EF交AB于G. GB=HDEB ⑴求证：ADGB=HDEB； 求证：ADGB=HD EB； ⑵若CD=6，GF=1， CD=6，GF=1， GF 的值. 求 EB 的值. E O1 B O2 GB HD C
2
2
（d﹥R-r）
若两圆连心线与两圆外公切线 的夹角为α 的夹角为α，则 sin
Rr α= d
设两圆的半径分别为R和r（R﹥r）， 则两圆的内公切线长= 圆心距为d，则两圆的内公切线长= 2 2 d (R + r) （d﹥R+r）
若两圆连心线与两圆内公切线 R+r 的夹角为α 的夹角为α，则sin α=
复习（ 复习（八） 两圆的公切线
公 切 线
外公切线
两个圆在公切线同旁时， 两个圆在公切线同旁时， B 这样的公切线叫外公切线 这样的公切线叫外公切线
公切线
两个圆在公切线两旁时， 两个圆在公切线两旁时， 这样的公切线叫 公切线
公切线的条数
⑴ 4条 条
⑵ 3条 条
⑶ 2条 条
⑷ 1条 条
⑸无
解 题 思 路
⑴若连结PA、PB， 若连结PA、PB， PA 求证： 求证：PA⊥PB.
O1
Q B
P O2
=5cm， ⑵若R1=5cm， =3cm，PQ⊥AB于 R2=3cm，PQ⊥AB于Q， PQ的长 求PQ的长 .
引伸1.如图， 外切于点P 引伸1.如图， ⊙O1与⊙O2外切于点P， 1.如图 AB是两圆的公切线 切点为B A.连结 是两圆的公切线， AB是两圆的公切线，切点为B，A.连结 BP并延长交 并延长交⊙ AB的平行 BP并延长交⊙O2于C，过C作AB的平行 线交⊙ 线交⊙O1于D，E. ⑴求证：AC是 求证：AC是 的直径； ⊙O1的直径； 试判断线段BD BD、 ⑵试判断线段BD、 E BA、BE的大小关系 的大小关系， BA、BE的大小关系， 并证明. 并证明.