2-6_第2章马尔可夫信源
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信息论与编码马尔可夫信源
2.2.4 马尔可夫信源
(1) 马尔可夫信源的定义 (2) m阶马尔可夫信源 (3) 举例
(1) 马尔可夫信源的定义
① 信源的状态和符号集 ② 马尔可夫信源定义 ③ 举例
① 信源的状态和符号集
有一类信源，输出的符号序列中符号之间的依赖关系 是有限的，即任何时刻信源符号发生的概率只与前面 已经发出的若干个符号有关，而与更前面发出的符号 无关。
时齐/齐次马尔可夫链：一般情况下，状态转移概率和 已知状态下符号发生的概率均与时刻l 有关。若这些 概率与时刻l 无关，即
pl(xk /ei)= p(xk /ei) pl(ej /ei)= p(ej /ei) 则称为时齐的或齐次的。此时的信源状态服从时齐马 尔可夫链。
② 马尔可夫信源定义
马尔可夫信源：信源输出的符号和所处的状态满足
3 4
0
1 4
0
0 0
0 0
e5 0 0 0
3 4
1 4
结论：一般有记忆信源发出的是有 Nhomakorabea联性的各符号构成的整 体消息，即发出的是符号序列，并用符号间的联合概 率描述这种关联性；
马尔可夫信源的不同之处在于它用符号之间的转移概 率/条件概率来描述这种关联关系。即马尔可夫信源是 以转移概率发出每个信源符号；
④ 有关问题的说明
m阶马尔可夫信源在起始的有限时间内，信源不 是平稳和遍历/各态历经性的，状态的概率分布有 一段起始渐变过程。经过足够长时间之后，信源 处于什么状态已与初始状态无关，这时每种状态 出现的概率已达到一种稳定分布。
一般马尔可夫信源并非是平稳信源。但当时齐、 遍历的马尔可夫信源达到稳定后，这时就可以看 成是平稳信源。
/ ei )
p(ej )
( j 1,2, , nm )
(1) 马尔可夫信源的定义 (2) m阶马尔可夫信源 (3) 举例
(1) 马尔可夫信源的定义
① 信源的状态和符号集 ② 马尔可夫信源定义 ③ 举例
① 信源的状态和符号集
有一类信源，输出的符号序列中符号之间的依赖关系 是有限的，即任何时刻信源符号发生的概率只与前面 已经发出的若干个符号有关，而与更前面发出的符号 无关。
时齐/齐次马尔可夫链：一般情况下，状态转移概率和 已知状态下符号发生的概率均与时刻l 有关。若这些 概率与时刻l 无关，即
pl(xk /ei)= p(xk /ei) pl(ej /ei)= p(ej /ei) 则称为时齐的或齐次的。此时的信源状态服从时齐马 尔可夫链。
② 马尔可夫信源定义
马尔可夫信源：信源输出的符号和所处的状态满足
3 4
0
1 4
0
0 0
0 0
e5 0 0 0
3 4
1 4
结论：一般有记忆信源发出的是有 Nhomakorabea联性的各符号构成的整 体消息，即发出的是符号序列，并用符号间的联合概 率描述这种关联性；
马尔可夫信源的不同之处在于它用符号之间的转移概 率/条件概率来描述这种关联关系。即马尔可夫信源是 以转移概率发出每个信源符号；
④ 有关问题的说明
m阶马尔可夫信源在起始的有限时间内，信源不 是平稳和遍历/各态历经性的，状态的概率分布有 一段起始渐变过程。经过足够长时间之后，信源 处于什么状态已与初始状态无关，这时每种状态 出现的概率已达到一种稳定分布。
一般马尔可夫信源并非是平稳信源。但当时齐、 遍历的马尔可夫信源达到稳定后，这时就可以看 成是平稳信源。
/ ei )
p(ej )
( j 1,2, , nm )
马尔科夫信源
3、吸收态：一个只能从自身返回到自身而不能到 达其他任何状态的状态；
4、常返态：经有限步后迟早要返回的状态； 5、周期性的：在常返态中，有些状态仅当k能被 某整数d＞1整除时才有pii(k)＞0； 6、非周期性的：对于pii(k)＞0的所有k值，其最大 公约数为1。
14
常返态：经有限 步后迟早要返回 的状态，
00 s3
01 s4
10 s5 11 s6
24
• 信源发完第2个符号后再发第3个及以后的符号。
• 从第3单位时间以后信源必处在发状s出态3 0转s、4移s1变概5 化s率6相相四同同种， 状态 之一。在i≥3后,信源的状态转移可用下图表示:
• 状态s1和s5功能是完全相同
• 状态s2和s6功能是完全相同
⑴信源全部状态及状态转移概率 ⑵画出完整的二阶马尔可夫信源状态转移图。 ⑶求平稳分布概率
19
• 符号条件概率矩阵
a1(0) a2 (1)
s1(00) 1/ 2
p(a j
|
si
)
s2 (01) s3 (10) s4 (11)
1/
1/ 1/
3 4 5
1/ 2
2 / 3
3/ 4 4 / 5
• 状态转移概率矩阵
信源分类
1、连续信源
{ 2、离散 离散无记忆信源
{ { 信源 离散有记忆信源
发出单个符号的无记忆信源 发出符号序列的无记忆信源 发出符号序列的有记忆信源
发出符号序列的马尔可夫信源
1
• 表述有记忆信源需在N维随机矢量的联合概率 分布中，引入条件概率分布来说明它们之间的 关联。
p(x1, x2 , x3,L xL ) p(xL | xL1,L x1) p(x1, x2 ,L xL1) p(xL | xL1,L x1) p(xL1 | xL2 ,L x1) p(x1, x2 ,L xL2 ) L
4、常返态：经有限步后迟早要返回的状态； 5、周期性的：在常返态中，有些状态仅当k能被 某整数d＞1整除时才有pii(k)＞0； 6、非周期性的：对于pii(k)＞0的所有k值，其最大 公约数为1。
14
常返态：经有限 步后迟早要返回 的状态，
00 s3
01 s4
10 s5 11 s6
24
• 信源发完第2个符号后再发第3个及以后的符号。
• 从第3单位时间以后信源必处在发状s出态3 0转s、4移s1变概5 化s率6相相四同同种， 状态 之一。在i≥3后,信源的状态转移可用下图表示:
• 状态s1和s5功能是完全相同
• 状态s2和s6功能是完全相同
⑴信源全部状态及状态转移概率 ⑵画出完整的二阶马尔可夫信源状态转移图。 ⑶求平稳分布概率
19
• 符号条件概率矩阵
a1(0) a2 (1)
s1(00) 1/ 2
p(a j
|
si
)
s2 (01) s3 (10) s4 (11)
1/
1/ 1/
3 4 5
1/ 2
2 / 3
3/ 4 4 / 5
• 状态转移概率矩阵
信源分类
1、连续信源
{ 2、离散 离散无记忆信源
{ { 信源 离散有记忆信源
发出单个符号的无记忆信源 发出符号序列的无记忆信源 发出符号序列的有记忆信源
发出符号序列的马尔可夫信源
1
• 表述有记忆信源需在N维随机矢量的联合概率 分布中，引入条件概率分布来说明它们之间的 关联。
p(x1, x2 , x3,L xL ) p(xL | xL1,L x1) p(x1, x2 ,L xL1) p(xL | xL1,L x1) p(xL1 | xL2 ,L x1) p(x1, x2 ,L xL2 ) L
2-6 第2章 2.2.4-5 马尔可夫信源
信源输出的随机符号序列为X1 X 2 X l , X l X ( x1 , x2 , xn ), l 1, 2, 信源所处的状态序列为S1S 2 Sl , Sl S (e1 , e2 , eJ ), l 1, 2,
3
马尔可夫信源定义
定义 若信源输出的 符号序列 和 状态序列 满足下述条件则称此信源为马尔可夫信源 1、某一时刻l 信源的输出仅与信源的当前状态有关，即 p ( X l xk Sl e j , X l 1 xk1 , Sl 1 ei ,) p ( X l xk Sl e j ) 其中，xk、xk1 A；ei、e j S 2、信源的状态只由当前的输出符号和前一时刻信源状态 唯一确定，即 1 p ( Sl ei X l xk , Sl 1 e j ) 0
6
马尔可夫链状态转移图-例题
通常我们用马尔可夫 链的状态转移图来描 述马尔可夫信源。
例 一个二进制一阶马尔可夫信源， 信源符号集为X {0,1}， 条件概率为 p (0 0) 0.25, p(0 1) 0.5, p (1 0) 0.75, p(1 1) 0.5, q 2, m 1, 所以e1 0, e 2 1.
i j
其中p (e j )是马尔可夫链的平稳分布。 p (e j )为极限概率，满足方程组 p (e j ) p (ei ) p (e j / ei ) Nhomakorabeai 1 nm
( j 1, 2,..., n m )
及条件 p (e j ) 0,
p (e
j 1
nm
j
) 1
15
计算此马尔可夫信源熵-例题
N
H ( X m1 X 1 , X 2 ,, X m ) H m1 即m阶马尔可夫信源的极限 熵等于m阶条件熵。 13
第二篇基本信息论4_马尔可夫信源
p( X t xk / St ej , X t1 xk1, St1 ei ,...) pt (xk / ej ) 若信源时齐，则pt ( xk / ei ) p( xk / ei ) 不论何时，在状态ei下发生符号xk的概率不变。
2）信源某时刻 t 所处的状态，由当前的输出符号 和前一时刻 (t-1) 信源所处的状态唯一确定。
态一步转移概率矩
阵，可写出：
e2 01
0: 0.8
00 e1
0: 0.5
0: 0.5 1: 0.5
10 e3
1: 0.5 当信源处于状态e1 00时：
0: 0.2
11 e4
1: 0.8
p(0 / 00) p( x1 / e1) p(e1 / e1) 0.8
p(1/ 00) p( x2 / e1) p(e2 / e1) 0.2
2.4 马尔可夫信源
一、马尔可夫链
设信源所处的状态为：S e1,e2,...,enm
信源每一状态下可能输出的符号：X x1, x2,..., xn
每一时刻信源发出一个符号后，所处的状态发生 转移
信源输出的随机符号序列为： X1, X 2 ,..., X t1, X t ,... 信源所处的状态序列为： S1, S2 ,..., St1, St ,...
若马尔可夫信源的状态数为m， 则称为m阶马尔可夫信源
m阶马尔可夫信源的熵：
H
lim
N
H
(
X
N
/
X1X 2...X N1)
Hm1 H ( X m1 / X1 X 2...X m )
nn
n
...
p( xk1 xk2 ...xkm1 ) lb p( xkm1 / xk1 xk2 ...xkm )
2）信源某时刻 t 所处的状态，由当前的输出符号 和前一时刻 (t-1) 信源所处的状态唯一确定。
态一步转移概率矩
阵，可写出：
e2 01
0: 0.8
00 e1
0: 0.5
0: 0.5 1: 0.5
10 e3
1: 0.5 当信源处于状态e1 00时：
0: 0.2
11 e4
1: 0.8
p(0 / 00) p( x1 / e1) p(e1 / e1) 0.8
p(1/ 00) p( x2 / e1) p(e2 / e1) 0.2
2.4 马尔可夫信源
一、马尔可夫链
设信源所处的状态为：S e1,e2,...,enm
信源每一状态下可能输出的符号：X x1, x2,..., xn
每一时刻信源发出一个符号后，所处的状态发生 转移
信源输出的随机符号序列为： X1, X 2 ,..., X t1, X t ,... 信源所处的状态序列为： S1, S2 ,..., St1, St ,...
若马尔可夫信源的状态数为m， 则称为m阶马尔可夫信源
m阶马尔可夫信源的熵：
H
lim
N
H
(
X
N
/
X1X 2...X N1)
Hm1 H ( X m1 / X1 X 2...X m )
nn
n
...
p( xk1 xk2 ...xkm1 ) lb p( xkm1 / xk1 xk2 ...xkm )
信息论汇总马尔科夫信源ppt培训课件
字母有关外,只与此前发出的有限个字母有 关
• m阶马尔可夫信源：
– 信源输出某一符号的概率仅与以前的m个符 号有关，而与更前面的符号无关。
• 条件概率 p ( x L |x L 1 , x 1 ) p ( x L |x L 1 , x L m )
4
马氏链的基本概念
• 一阶马尔可夫信源：
p(0|0)=0.25, p(0|1)=0.5, p(1|0)=0.75, p(1|1)=0.5 求状态转移概率，画出状态转移图。
q2,m1,qm2
s10;s21 p(s1|s1)0.25,p(s1|s2)0.5;p(s2|s1)0.75,p(s2|s2)0.5
1 0.5 0 0.25
：
0
1：0.75
1
：
0：0.5
12
• 例3 设有一个二元二阶马尔科夫信源，其信源 符号集X={0,1}，信源输出符号的条件概率为
P(0|00)=p(1|11)=0.8, p(1|00)=0.2
p(0|01)=p(0|10)=p(1|01)=p(1|10)=0.5 求状态转移概率矩阵，画出状态转移图
• 引入状态变量的好处：使得高阶马尔科夫过程 可以转化为一阶马尔科夫过程处理。
5
马氏链的基本概念
• 令si = (xi1, xi2, …xim) xi1,,xi2, …xim ∈(a1, a2, …an) • 状态集S ={ s1,s2,…,sQ} Q = nm • 信源输出的随机符号序列为：x1, x2,…xi-1, xi … • 信源所处的随机状态序列为：s1, s2,…si-1 , si … • 例：二元序列为…01011100… • 考虑m = 2，Q = nm =22= 4
• m阶马尔可夫信源：
– 信源输出某一符号的概率仅与以前的m个符 号有关，而与更前面的符号无关。
• 条件概率 p ( x L |x L 1 , x 1 ) p ( x L |x L 1 , x L m )
4
马氏链的基本概念
• 一阶马尔可夫信源：
p(0|0)=0.25, p(0|1)=0.5, p(1|0)=0.75, p(1|1)=0.5 求状态转移概率，画出状态转移图。
q2,m1,qm2
s10;s21 p(s1|s1)0.25,p(s1|s2)0.5;p(s2|s1)0.75,p(s2|s2)0.5
1 0.5 0 0.25
：
0
1：0.75
1
：
0：0.5
12
• 例3 设有一个二元二阶马尔科夫信源，其信源 符号集X={0,1}，信源输出符号的条件概率为
P(0|00)=p(1|11)=0.8, p(1|00)=0.2
p(0|01)=p(0|10)=p(1|01)=p(1|10)=0.5 求状态转移概率矩阵，画出状态转移图
• 引入状态变量的好处：使得高阶马尔科夫过程 可以转化为一阶马尔科夫过程处理。
5
马氏链的基本概念
• 令si = (xi1, xi2, …xim) xi1,,xi2, …xim ∈(a1, a2, …an) • 状态集S ={ s1,s2,…,sQ} Q = nm • 信源输出的随机符号序列为：x1, x2,…xi-1, xi … • 信源所处的随机状态序列为：s1, s2,…si-1 , si … • 例：二元序列为…01011100… • 考虑m = 2，Q = nm =22= 4
2-6_第2章马尔可夫信源
E1 00E2 01E3 10E4 11
信源输出 0 状态跳变 0 E1 1 E2 1 E4 0 E3 1 E2 0 E3 0 E1 0 E1 1 E2
22
m阶马尔可夫信源
对于m阶马尔可夫信源，状态的定义已经给出， 状态转移图也可以很容易的画出 例：二元二阶马尔可夫信源，样本空间为(0, 1)，条件概率为：
2
马尔可夫信源－研究意义
虽然马尔可夫信源是一个非平稳的信源， 但是当马尔可夫信源进入稳定状态后，就 可以看成一个平稳信源 马尔可夫信源熵的求解，只需要知道与前 面N－1个分量的相互关系，即只需要知道 N维条件概率分布即可，受约束程度大大 降低
3
有限状态马尔可夫链
定义 设{Sn, n N }为一随机序列，表示状态序列，时间参数集N {0， 1， 2， }，其取值空间E {E1，E 2， EJ}，若对所有n N ， 有 P{Sn Ein | Sn 1 Ein 1, Sn 2 Ein 2, , S 1 Ei1} P{Sn Ein | Sn 1 Ein 1} 则称{Sn, n N }为马尔可夫链。 其意义是： 系统在现在时刻n 1处于状态Ein 1，那么将来时刻n的状态Ein 与过去时刻n 2, n 3,...,1的状态Ein 2,..., Ei1无关， 仅与现在时刻n 1的状态Ein 1有关。 即，已知系统的现在，那么系统的将来与过去无关。 这种特性称为马尔可夫特性。
0
E2
E1 0
2
1
E3
14
马尔可夫信源－基本概念
马尔可夫信源输出的符号序列Xl完全由信源所处的 状态Sl决定。所以，可将信源的输出符号系列变换 成状态系列，将信源输出符号的不确定性问题变成 信源状态的转换问题
信源输出 0 状态跳变 0 E1 1 E2 1 E4 0 E3 1 E2 0 E3 0 E1 0 E1 1 E2
22
m阶马尔可夫信源
对于m阶马尔可夫信源，状态的定义已经给出， 状态转移图也可以很容易的画出 例：二元二阶马尔可夫信源，样本空间为(0, 1)，条件概率为：
2
马尔可夫信源－研究意义
虽然马尔可夫信源是一个非平稳的信源， 但是当马尔可夫信源进入稳定状态后，就 可以看成一个平稳信源 马尔可夫信源熵的求解，只需要知道与前 面N－1个分量的相互关系，即只需要知道 N维条件概率分布即可，受约束程度大大 降低
3
有限状态马尔可夫链
定义 设{Sn, n N }为一随机序列，表示状态序列，时间参数集N {0， 1， 2， }，其取值空间E {E1，E 2， EJ}，若对所有n N ， 有 P{Sn Ein | Sn 1 Ein 1, Sn 2 Ein 2, , S 1 Ei1} P{Sn Ein | Sn 1 Ein 1} 则称{Sn, n N }为马尔可夫链。 其意义是： 系统在现在时刻n 1处于状态Ein 1，那么将来时刻n的状态Ein 与过去时刻n 2, n 3,...,1的状态Ein 2,..., Ei1无关， 仅与现在时刻n 1的状态Ein 1有关。 即，已知系统的现在，那么系统的将来与过去无关。 这种特性称为马尔可夫特性。
0
E2
E1 0
2
1
E3
14
马尔可夫信源－基本概念
马尔可夫信源输出的符号序列Xl完全由信源所处的 状态Sl决定。所以，可将信源的输出符号系列变换 成状态系列，将信源输出符号的不确定性问题变成 信源状态的转换问题
马尔可夫信源的信息熵
电子信息工程学院
信息论
2. 6 马尔可夫信源
若当这些概率和时刻L无关，既满足
P(xl ak | sl Ei ) Pak | Ei
Pij P Ej | Ei
则成为时齐的或齐次的。此时，信源的状态序列服从时齐马 尔可夫链。
若时齐马尔可夫链对一切 Ei , E j存在不依赖于Ei 的极限
信息论
2. 6 马尔可夫信源
非平稳离散信源：描述信源输出消息的随机序列X 是非平稳的随机序列——马尔可夫信源
输出的随机序列X中各随机变量之间有依赖关系。 但记忆长度有限且满足马尔可夫链的性质，因此可 以用马尔科夫链来处理。
本节将讨论这类信源及其信息熵。
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信息论
2. 6Байду номын сангаас马尔可夫信源
p(1/ 00) p(0 /11) 0.2, p(0 / 01) p(1/ 01) p(0 /10) p(1/10) 0.5
确定该马氏源的状态，写出状态转移矩阵，画出信源的状态转移 图。
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a a k1 k2
aq
akm
)
(k1, k2, , km , km1 1, 2, , q)
并满足
0 P(akm1 | a a k1 k2 akm ) 1 且
q
P(akm1 | a a k1 k2
km1 1
akm ) 1
(k1, k2, , km, km1 1, 2, , q)
lim
N
Pij
Pj
，且满足
Pj
0; Pj
Pij ; Pj
i0
马尔科夫信源
∑ P (m, m + n) = 1, i = 1, 2,…
j =1 ij
∞
当Pij(m,m+n)与m无关时，称马尔科夫链 (m,m+n)与 为齐次马尔科夫链，通常说的马尔科夫 齐次马尔科夫链，通常说的马尔科夫 链都是指齐次马尔科夫链。
马尔可夫信源
例：二阶马尔可夫信源，原始符号集为{1,0}， 条件概率定为：P(0|00)=P(1|11)=0.8 P(1|00)=P(0|11)=0.2 P(0|01)=P(0|10)=P(1|01)=P(1|10)=0.5 由此可见，信源共有2^2=4种状态 E：{e1=00,e2=01,e3=10,e4=11} 状态之间有转移概率， p(e2/e1)=p(e3/e4)=0.2 p(e2/e4)=p(e1/e3)=p(e2/e3)=p(e3/e2)=0.5 P(e1/e1)=p(e4/e4)=0.8
多符号离散平稳信源
根据信息熵的定义，可得： （1）联合熵
H ( X 1 X 2 ) = −∑∑ P(ai a j ) logP(ai a j )
i =1 j =1Fra bibliotekqq
可以表征信源输出长度为2的平均不确定性，或所含 有的信息量。因此可以用 1/ 2 H ( X 1 X 2 )作为二维平稳信 源的信息熵的近似值
e2 0 e3 0 e4 1 e5 1 4
1
1 2
1 4 1 2 3 4
0
1 4
0 1 2
1 4 1 2 1 4
e1
e2
e3
e4
e5
e1 1 1 0 1 0 2 4 4 e2 0 1 1 0 0 2 2 e3 0 3 1 0 0 4 4 e4 由图中可得状态的一步转移概率： 由图中可得状态的一步转移概率： 0 0 0 0 1 e5 0 0 0 3 1 4 4 该信源满足马尔可夫信源定义。 该信源满足马尔可夫信源定义。
第2章信源熵--马尔科夫信源及极限熵
信源熵
定义
信源的m阶极限熵Hm+1与N-1阶极限熵H∞的相对差 为该信源的冗余度，也叫剩余度。
信源熵
0.2P(s1 ) 0.5P(s3 ) 0 0.2P(s1 ) P(s 2 ) 0.5P(s3 ) 0 0.5P(s 2 ) P(s3 ) 0.2P(s 4 ) 0 0.5P(s 2 ) 0.2P(s 4 ) 0
完备性
P(s1 ) P(s2 ) P(s3 ) P(s4 ) 1
状态转移图
信源熵
设状态s1=00、s2=01、s3=10、s4=11
P(0 / 00) P(00 / 00) P(s1 / s1 ) 0.8
0.8 s1
P(1 / 00) P(01 / 00) P(s 2 / s1 ) 0.2
P(0 / 01) P(10 / 01) P(s3 / s 2 ) 0.5
信源熵
强调m阶马尔科夫信源的长度特征，一般其极限熵 H∞记为Hm+1
H H m 1 P(si )P(s j / si ) log P(s j / si )
i 1 j 1 nm nm
例2
求极限熵
求m阶条件熵
图示二元二阶马尔科夫信源的极限熵
信源熵
遍历定理
P(s1 ) P(s1 )P(s1 / s1 ) P(s 2 )P(s1 / s 2 ) P(s3 )P(s1 / s3 ) P(s 4 )P(s1 / s 4 ) 0.8P(s1 ) 0.5P(s3 )
信源熵
P(a i ) P(x i m1 / x i1 x i 2 x i m ) P(x i 2 x i 3 x i m1 / x i1 x i 2 x i m ) P(x j1 x j2 x jm / x i1 x i 2 x i m ) P(s j / si )
第二章-信息论基本概念(3)(1)
j =1
K阶马尔可夫链每个状态由K个符号组成。若信源符号有D种， 阶马尔可夫链每个状态由K个符号组成。若信源符号有D 则状态数目M 则状态数目M为： M＝DK
马尔可夫链可以用香农线图表示。(a),(b),(c)分别表示信源含两种字母(D＝2)的一 马尔可夫链可以用香农线图表示。(a),(b),(c)分别表示信源含两种字母(D＝2)的一 分别表示信源含两种字母(D 阶、二阶和三阶马尔可夫链的线图。(d),(e)分别表示D＝3和D＝4的一阶马尔可夫链的 二阶和三阶马尔可夫链的线图。(d),(e)分别表示D 分别表示 线图。 线图。
状态转移图(香农线图 状态转移图 香农线图) 香农线图
0:0.5 E1 0:0.6
E2
1:0.5 E3 1 1:0.4
是三种状态， 【注】E1、E2、E3是三种状态，箭头是指从一个状态转移到另 一个状态，旁边的数字代表发出的某符号和条件概率 一个状态，旁边的数字代表发出的某符号和条件概率p(ak/Ei) 。 这就是香农提出的马尔可夫状态转移图，也叫香农线图。 这就是香农提出的马尔可夫状态转移图，也叫香农线图。
3. 离散有记忆信源－马尔可夫信源 离散有记忆信源－
马尔可夫信源－非平稳离散信源中的一类特殊信源。 马尔可夫信源－非平稳离散信源中的一类特殊信源。 是由信源发出的各个符号之间的关连性构成一个整体消息。 是由信源发出的各个符号之间的关连性构成一个整体消息。 这种关连性用符号的转移概率 条件概率）表示： 转移概率（ 这种关连性用符号的转移概率（条件概率）表示： 如：BOY P(B) P(O|B) P(Y|BO)
预备知识:－马尔可夫过程、 预备知识 －马尔可夫过程、马尔可夫链
马尔可夫过程： 马尔可夫过程： 对于任意的大于2的自然数n 在连续的时间T轴上有n 对于任意的大于2的自然数n，在连续的时间T轴上有n个不同时 刻，t1，t2，…，tn满足，在tn时刻的随机变量Xn与其前面（n－1） ， 满足， 时刻的随机变量 与其前面（ 个时刻的随机变量X 个时刻的随机变量 1，X2，…，Xn－1的关系可用它们之间的条件 ， － 概率密度函数来表示，如果满足下式： 概率密度函数来表示，如果满足下式： p(Xn ，tn| Xn－ 1 ， tn－1 ，Xn－2， tn－2，…，X1，t1) ( ， － － － － ＝p(Xn ，tn| Xn － 1，tn － 1) ( 则这种随机过程称为单纯马尔可夫过程（一阶马尔可夫过程） 则这种随机过程称为单纯马尔可夫过程（一阶马尔可夫过程） 单纯马尔可夫过程 K阶马尔可夫过程的特征为： 阶马尔可夫过程的特征为： 的特征为 p(Xn ，tn| Xn－ 1 ， tn－1 ，Xn－2， tn－2，…，X1，t1) ( ， － － － － ＝p(Xn ，tn| Xn－1，tn－1 ，Xn－2， tn－2，…，Xn－k，tn－k) ( ， － － － － － －
K阶马尔可夫链每个状态由K个符号组成。若信源符号有D种， 阶马尔可夫链每个状态由K个符号组成。若信源符号有D 则状态数目M 则状态数目M为： M＝DK
马尔可夫链可以用香农线图表示。(a),(b),(c)分别表示信源含两种字母(D＝2)的一 马尔可夫链可以用香农线图表示。(a),(b),(c)分别表示信源含两种字母(D＝2)的一 分别表示信源含两种字母(D 阶、二阶和三阶马尔可夫链的线图。(d),(e)分别表示D＝3和D＝4的一阶马尔可夫链的 二阶和三阶马尔可夫链的线图。(d),(e)分别表示D 分别表示 线图。 线图。
状态转移图(香农线图 状态转移图 香农线图) 香农线图
0:0.5 E1 0:0.6
E2
1:0.5 E3 1 1:0.4
是三种状态， 【注】E1、E2、E3是三种状态，箭头是指从一个状态转移到另 一个状态，旁边的数字代表发出的某符号和条件概率 一个状态，旁边的数字代表发出的某符号和条件概率p(ak/Ei) 。 这就是香农提出的马尔可夫状态转移图，也叫香农线图。 这就是香农提出的马尔可夫状态转移图，也叫香农线图。
3. 离散有记忆信源－马尔可夫信源 离散有记忆信源－
马尔可夫信源－非平稳离散信源中的一类特殊信源。 马尔可夫信源－非平稳离散信源中的一类特殊信源。 是由信源发出的各个符号之间的关连性构成一个整体消息。 是由信源发出的各个符号之间的关连性构成一个整体消息。 这种关连性用符号的转移概率 条件概率）表示： 转移概率（ 这种关连性用符号的转移概率（条件概率）表示： 如：BOY P(B) P(O|B) P(Y|BO)
预备知识:－马尔可夫过程、 预备知识 －马尔可夫过程、马尔可夫链
马尔可夫过程： 马尔可夫过程： 对于任意的大于2的自然数n 在连续的时间T轴上有n 对于任意的大于2的自然数n，在连续的时间T轴上有n个不同时 刻，t1，t2，…，tn满足，在tn时刻的随机变量Xn与其前面（n－1） ， 满足， 时刻的随机变量 与其前面（ 个时刻的随机变量X 个时刻的随机变量 1，X2，…，Xn－1的关系可用它们之间的条件 ， － 概率密度函数来表示，如果满足下式： 概率密度函数来表示，如果满足下式： p(Xn ，tn| Xn－ 1 ， tn－1 ，Xn－2， tn－2，…，X1，t1) ( ， － － － － ＝p(Xn ，tn| Xn － 1，tn － 1) ( 则这种随机过程称为单纯马尔可夫过程（一阶马尔可夫过程） 则这种随机过程称为单纯马尔可夫过程（一阶马尔可夫过程） 单纯马尔可夫过程 K阶马尔可夫过程的特征为： 阶马尔可夫过程的特征为： 的特征为 p(Xn ，tn| Xn－ 1 ， tn－1 ，Xn－2， tn－2，…，X1，t1) ( ， － － － － ＝p(Xn ，tn| Xn－1，tn－1 ，Xn－2， tn－2，…，Xn－k，tn－k) ( ， － － － － － －
马尔可夫信源
从而得到马尔可夫信源状态空间
e1
e2
...
enm
p ej / ei
13
HUST --- Information and Coding Theory
马尔可夫信源与马尔可夫链
其状态e由（x
i
i1
,
xi2
,
L
, xim）唯一确定，
因此p(xkm1 xkm ,L , xk1 ) p(xkm1 ei ) 信源发出xkm1 ,状态变为ej ,
其意义是： 系统在现在时刻n 1处于状态Sin 1，那么将来时刻n的状态Sin 与过去时刻n 2, n 3,...,1的状态Sin 2,..., Si1无关， 仅与现在时刻n 1的状态Sin 1有关。 即，已知系统的现在，那么系统的将来与过去无关。 这种特性称为马尔可夫特性。
2
HUST --- Information and Coding Theory
基本（一步）转移概率
当n m 1时，pij(m, m 1)即为一步转移概率。 一般， 把pij(m, m 1)记为pij(m)，m 0, 称为基本转移概率。
pij(m)=P X m1 j | X m i i, j S
pij(m)中m表示基本转移概率与时刻m有关。
4
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18
HUST --- Information and Coding Theory
马尔可夫信源-例题
例 设有一个二进制二阶马尔可夫信源， 信源符号集为{0,1}，条件概率为 p(0 00) p(111) 0.8， p(1 00) p(0 11) 0.2， p(0 01) p(0 10) p(1 01) p(110) 0.5 试求其平稳分布和极限熵。
马尔可夫过程在信源编码中的应用(推荐文档)
河南城建学院马尔科夫过程在信源编码中的应用信息论基础姓名：王坤专业名称：电子信息工程专业班级：0934121指导老师：贺伟所在院系：电气与信息工程学院2014年12月20日摘要首先主要讲述了马尔科夫过程，对马尔科夫过程进行了简介，介绍了马尔科夫过程的数学描述方法并对马尔科夫过程的发展历史进行了简述。
在第二章节对马尔科夫过程在信源编码中的应用进行了简单的论述及讲解。
信息论中的编码主要包括信源编码和信道编码。
信源编码的主要目的是提高有效性，通过压缩每个信源符号的平均比特数或降低信源的码率来提高编码效率；信道编码的主要目标是提高信息传输的可靠性，在信息传输率不超过信道容量的前提下，尽可能增加信源冗余度以减小错误译码概率。
研究编码问题是为了设计出使通信系统优化的编译码设备随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。
随机过程的具体取值称作其样本函数，所有样本函数构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。
目录1引言 (1)2马尔科夫过程 (2)3马尔科夫过程在信源编码中的应用 (4)4参考文献 (13)1 引言随着现代科学技术的发展，特别是移动通信技术的发展，信息的传输在社会科学进步的地位越来越重要。
因此如何更加高效的传输信息成了现代科技研究的重要目标。
马尔可夫过程是一类非常重要的随机过程。
很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，马尔可夫过程在研究质点的随机运动、自动控制、通信技术、生物工程等领域中有着广泛的应用。
我们可以通过对马尔可夫过程的研究来分析马尔可夫信源的特性。
由于研究马尔科夫过程在信源编码中的作用，可以利用马尔科夫模型减少信息传输的冗余，提高信息传输的效率。
马尔可夫信源是一类有限长度记忆的非平稳离散信源，信源输出的消息是非平稳的随机序列，它们的各维概率分布可能会随时间的平移而改变。
由于马尔可夫信源的相关性及可压缩性，它已成为信息领域的热点问题。
马尔可夫信源和剩余度PPT精选
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m阶马尔可夫信源的条件概率
m阶马尔可夫信源的极限熵
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例3.5 设有一个二元2阶马尔可夫信源，其信源符号集为
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解得 计算极限熵
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3.3.4 信源的相关性和剩余度
BUPT Press 从提高信息传输效率的观点出发，人们总是希望尽量去掉剩余度。 信源发出一个符号后，信源 5 设有一个二元2阶马尔可夫信源，其信源符号集为 一个状态，可以认为信源在 m阶马尔可夫信源的极限熵 m阶马尔可夫信源的极限熵 些状态的变化组成了马氏链。 m阶马尔可夫信源的条件概率 些状态的变化组成了马氏链。 m阶马尔可夫信源的极限熵 m阶马尔可夫信源的条件概率
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一步转移概率矩阵
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从提高信息传输效率的观点出发，人们总是希望尽量去掉剩余度。 信源的剩余度来自两个方面，一是信源符号间的相关性，相关程度越大，符号间的依赖关系越长，信源的实际熵越小，另一方面是信 源符号分布的不均匀性使信源的实际熵越小。 率除了与该符号有关外，只 信源的剩余度（冗余度） 5 设有一个二元2阶马尔可夫信源，其信源符号集为 从提高信息传输效率的观点出发，人们总是希望尽量去掉剩余度。 与该时刻信源所处的状态有 信源发出一个符号后，信源 关，而与过去的状态无关。 BUPT Press m阶马尔可夫信源的条件概率 些状态的变化组成了马氏链。 一个状态，可以认为信源在 些状态的变化组成了马氏链。 某一时刻发出某一符号的概 信源的剩余度（冗余度） 为了更经济有效的传送信息，需要尽量压缩信源的剩余度，压缩剩余度的方法就是尽量减小符号间的相关性，并且尽可能的使信源符 号等概率分布。 我们把前面若干个符号看作 些状态的变化组成了马氏链。 所处的状态即发生改变，这 某一时刻发出某一符号的概 某一时刻发出某一符号的概
m阶马尔可夫信源的条件概率
m阶马尔可夫信源的极限熵
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例3.5 设有一个二元2阶马尔可夫信源，其信源符号集为
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解得 计算极限熵
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3.3.4 信源的相关性和剩余度
BUPT Press 从提高信息传输效率的观点出发，人们总是希望尽量去掉剩余度。 信源发出一个符号后，信源 5 设有一个二元2阶马尔可夫信源，其信源符号集为 一个状态，可以认为信源在 m阶马尔可夫信源的极限熵 m阶马尔可夫信源的极限熵 些状态的变化组成了马氏链。 m阶马尔可夫信源的条件概率 些状态的变化组成了马氏链。 m阶马尔可夫信源的极限熵 m阶马尔可夫信源的条件概率
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一步转移概率矩阵
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从提高信息传输效率的观点出发，人们总是希望尽量去掉剩余度。 信源的剩余度来自两个方面，一是信源符号间的相关性，相关程度越大，符号间的依赖关系越长，信源的实际熵越小，另一方面是信 源符号分布的不均匀性使信源的实际熵越小。 率除了与该符号有关外，只 信源的剩余度（冗余度） 5 设有一个二元2阶马尔可夫信源，其信源符号集为 从提高信息传输效率的观点出发，人们总是希望尽量去掉剩余度。 与该时刻信源所处的状态有 信源发出一个符号后，信源 关，而与过去的状态无关。 BUPT Press m阶马尔可夫信源的条件概率 些状态的变化组成了马氏链。 一个状态，可以认为信源在 些状态的变化组成了马氏链。 某一时刻发出某一符号的概 信源的剩余度（冗余度） 为了更经济有效的传送信息，需要尽量压缩信源的剩余度，压缩剩余度的方法就是尽量减小符号间的相关性，并且尽可能的使信源符 号等概率分布。 我们把前面若干个符号看作 些状态的变化组成了马氏链。 所处的状态即发生改变，这 某一时刻发出某一符号的概 某一时刻发出某一符号的概
马尔可夫信源极限熵
第2章信源与信息熵香农信息论的基本点用随机变量或随机矢量来表示信源，运用概率论和随机过程的理论来研究信息。
信源的分类 按照信源发出的消息在时间上和幅度上的分布情况可将信源分成离散信源和连续信源两 大类•禺散信源连续信源单符号信源概率空间描述L/J LX«i）陀八…PS 丄自信息量Z （^） = -logp （xJ = log —-P （兀）单位：bit （—个比特表示一个等概率的二进制符号信息量） 自信息量与不确定度的关系 不确定度：随机事件的不确定度在数量上等于它的自信息量，两者的单位相同，但含义却不 相同. 一个出现概率接近于1的随机事件，发生的可能性很大，所以它包含的不确定度 就很小。
一个出现概率很小的随机事件，很难猜测在某个时刻它 能否发生，所以它包含 的不确定度就很大。
若是确定性事件，出现概率为1,则它包含的不确定度为0。
说明：具有某种概率分布的随机事件不管发生与否，都存在不确定度， 不确定度表征了该事件的特性，而自信息量是在该事件发生后给予观察者的信息量。
联合自信息量为：“心刃｝ = - 10R 血斗 Jj = 10R条件自信息量为:pg ，刀）信源 离散无记忆信源离散佶源离散有记忆信源发山单个符号的无记忆佶源 发出符号厅列的无记忆信源 发岀符号序列的有记忆信源 发出符号序列的马尔可夫信源信源熵=【信源的平均不确定度】=【平均自信息量】H(X)二可心)］二p(x t )logi条件熵：H(X/Y) = E p(x,y)l(X i |y) = E p(x, y)logp(x | y)i, ji联合熵H(X,Y) = £ p(x i ,y j )l(x i ,y) = 2： p(x,y j )logp(x i ,y)i, ji联合熵、条件熵与信源熵的关系H(XY)=H(X)+H(Y/X)，H(XY)=H(Y)+H(X/Y)互信息定义：后验概率与先验概率比值的对数l(x i ； y)二 log平均互信息量I(X;Y)八z x,yp(x, y) log 晋晋疑义度条件熵H(X/Y): 噪声熵或散布度条件熵H(Y/X): 信道上的干扰和噪声所造成的对信源符号 x 的平均不确定度. 可看作唯一地确定信道噪声所需要的平均信息量.互信息量与熵的关系H(XY)=H(X)+H(Y/X)=H(Y)+H(X/Y)H(X) > H(X/Y) , H(Y) > H(Y/X)I(X;Y)=H(X)-H(X/Y) =H(Y)-H(Y/X)=H(X)+H(Y)-H(XY)H(XY)< H(X)+H(Y)信息不增性：数据处理过程中只会失掉一些信息，绝不会创造出新的信息. 最大熵定理(1)限峰功率最大熵定理：对于定义域为有限的随机矢量X,当它是均匀分布时，具有最大熵。
马尔可夫信源
符号的不确定性问题变成信源状态的转换问题。 即处， 的信状源态在变成l-1l时时刻刻的的状状态态SSji，，当这它种发状出态一间个的符变号化后可，用所一
步转移概率描述
pij P(Sl e j Sl1 ei ) 其中Si , S j S (e1, e2 ,L , eJ )
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HUST --- Information and Coding Theory
每一时刻，当信源发出一个符号后，信源所处的状态将发生变 化，并转入一个新的状态。 信源输出的随机符号序列为X1X 2 L Xl L , Xl X (x1, x2,L xn ),l 1, 2,L 信源所处的状态序列为S1S2 L Sl L , Sl S (e1, e2,L eJ ),l 1, 2,L
10
HUST --- Information and Coding Theory
马尔可夫信源定义
定义 若信源输出的 符号序列 和 状态序列满足下述 条件则称此信源为马尔可夫信源
1、某一时刻l信源的输出仅与信源的当前状态有关，即
p( Xl xk Sl ej , X l1 xk1 , Sl1 ei ,L ) p( X l xk Sl e j )
15
HUST --- Information and Coding Theory
M阶马尔可夫信源的极限熵H∞
当时间足够长时，遍历的m阶马尔可夫信源可以视 为平稳信源，又因为信源发出的符号只与最近的m 个符号有关，所以由极限熵定理
可得：
H
lim
N
H
(
X
N
X1, X 2,
, X N 1)
H ( X m1 X1, X 2 , , X m ) H m1
转移概率的性质：
步转移概率描述
pij P(Sl e j Sl1 ei ) 其中Si , S j S (e1, e2 ,L , eJ )
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每一时刻，当信源发出一个符号后，信源所处的状态将发生变 化，并转入一个新的状态。 信源输出的随机符号序列为X1X 2 L Xl L , Xl X (x1, x2,L xn ),l 1, 2,L 信源所处的状态序列为S1S2 L Sl L , Sl S (e1, e2,L eJ ),l 1, 2,L
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马尔可夫信源定义
定义 若信源输出的 符号序列 和 状态序列满足下述 条件则称此信源为马尔可夫信源
1、某一时刻l信源的输出仅与信源的当前状态有关，即
p( Xl xk Sl ej , X l1 xk1 , Sl1 ei ,L ) p( X l xk Sl e j )
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M阶马尔可夫信源的极限熵H∞
当时间足够长时，遍历的m阶马尔可夫信源可以视 为平稳信源，又因为信源发出的符号只与最近的m 个符号有关，所以由极限熵定理
可得：
H
lim
N
H
(
X
N
X1, X 2,
, X N 1)
H ( X m1 X1, X 2 , , X m ) H m1
转移概率的性质：
信息论马尔科夫信源
p( s j ) 0, p( s j ) 1
i 1
的唯一解。
例
二阶马尔可夫信源{00 01 10 11}，求状态转移概 率和极限熵。
p(e1/e1)= p(x1/e1)=p(0/00)=0.8
p(e2/e1)= p(x2/e1)=p(1/00)=0.2 p(e3/e2)= p(x1/e2)=p(0/01)=0.5 p(e4/e2)= p(x2/e2)=p(1/01)=0.5 p(e1/e3)= p(x1/e3)=p(0/10)=0.5 p(e2/e3)= p(x2/e3)=p(1/10)=0.5
3、m阶马尔可夫信源
（1）定义 在任何时刻l，符号发出的概率只与前面m个符号有关，把m个 符号看做信源在l时刻的状态。因为原始信源符号集共有n个符 号，则有记忆信源可以有nm个不同的状态，分别对应于nm个
长度为m的序列。这时，信源输出依赖长度为m+1的随机序列
就转化为对应的状态序列，而这种状态序列符合马尔可夫链的 性质，称为m阶马尔可夫信源。 n—信源符号集 nm—信源不同的状态数
2.2.3 马尔可夫信源
1、定义 在实际问题中，试图限制记忆长度，就是说任何时刻信源发 出符号的概率只与前面已经发出的m个符号有关，而与更前 面发出的符号无关，即马尔可夫信源。 以信源输出符号序列内各符号间条件概率来反映记忆特性 的一类信源。
输出符号序列：X 1 X 2 X l 1 X l
m+1—信源输出依赖长度；
（2）数学模型
x1 x2 xn X P( X m1 xkm1 ) p( ) X1 X m xk1 xkm
令
k1 , k2 ,, km1 ,2,, n 1
马尔科夫信源课件
马尔科夫信源在物联网中的应用前景
1 2
物联网通信
探讨马尔科夫信源在物联网通信中的应用前景， 分析其在物联网通信中的优势和局限性。
低功耗设计
研究如何在保证性能的同时降低马尔科夫信源的 功耗，以满足物联网设备低功耗的需求。
3
跨领域应用
探讨马尔科夫信源在其他领域的应用前景，如生 物信息学、医学影像处理等，分析其在这些领域 的适用性和优势。
进行计算。
应用
03
状态转移概率是马尔科夫信源的重要参数，用于描述信源的动
态特性，是进行信息编码和数据压缩的重要依据。
平稳状态分布
01
定义
平稳状态分布是指马尔科夫信源在无限长时间内的状态概率分布。
02
计算方法
平稳状态分布可以通过迭代计算得到，也可以通过数学模型进行推导。
03
应用
平稳状态分布是马尔科夫信源的重要参数，用于描述信源的统计特性，
如果马尔科夫链的状态转移是稳定的，那么信源的统计特性就可以被视为具有长期一致性，从而在编 码时可以利用这些信息来提高压缩效率。相反，如果状态转移是不稳定的，那么信源的统计特性就可 能具有较大的波动，需要采用不同的编码策略来处理。
03 马尔科夫信源的编码与解码
CHAPTER
编码原理
统计特性
马尔科夫信源的编码原理基于信源的统计特性，通过对概率较大符号的压缩，以及对概率较小符号的冗余编码，实现 数据压缩。
计算复杂度
编码与解码过程中的计算复杂度也是衡量效率的重要因素，计算复 杂度越低，表示实现越简单，效率越高。
04 马尔科夫信源的应用场景
CHAPTER
自然语言处理
语言模型
马尔科夫链蒙特卡洛方法可以用于构 建语言模型，通过训练大量文本数据 ，预测给定前一个词的情况下下一个 词的概率分布。
相关主题
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2、圆圈之间用有向线段连接，表示状态的迁移； 3、在有向线段旁边，注明发出的符号 ak 及在状态 Ei 下发出 ak 的条件概率 p(ak | Ei ) p( E j | Ei )
18
马尔可夫信源－状态转移图
1:0.8
0:0.2
E1 0:0.2
E2
1:0.8
0:0.5 E0
1:0.5
E 该马尔可夫信源有三个状态： 0 E1 E2 ，其中设为 E0 初始状态，初始概率为 p(0) p(1) 0.5 ，等概率的 转移到 E1和E2 这两个状态
10
具有遍历性的马尔可夫链
定义 若齐次马尔可夫链对一切i, j存在不依赖于i的极限 lim p
n (n) ij
pj
且满足
pj 0; pj pij ; pj 1
i 0
j
则称其具有遍历性，pj称为平稳分布。 其中pj为该马尔可夫链的初始分布。 遍历性的意义： 不论质点从哪个状态Ei出发，当转移步数n充分大时，
12
马尔可夫信源－基本概念
绝对的平稳信源是不存在的，非平稳信源 仍然是主流。但一般的非平稳信源研究起 来非常复杂。 马尔可夫信源是非平稳信源中的一个特例， 满足马尔可夫链的性质，因此可以用马尔 可夫链的性质求解信源熵。
13
马尔可夫信源－基本概念
为了描述马尔可夫信源，除了信源符号集外， 还必须引入信源当时所处的“状态” ，信 源在某时刻输出符号的概率，与此时信源 所处的状态有关 定义信源符号集，X i A a1 a2 aq 表示信源每一个分量可能的输出： 另外，我们还定义了信源所处的状态
p(ai1ai 2 aiN ) p(ai1 ) p(ai 2 | ai1 ) p(aiN 1 | ai1ai 2 aiN 2 ) (aiN | ai1ai 2 aiN 1 ) p
要近似离散平稳信源的极限熵，需要知道从1 维－N维的条件概率分布，这在一般情况 下比较困难
( 转移到状态Ej的概率pijn )都近似等于某个常数pj。
或说，如果转移步数n充分大，
( 就可以用常数pj作为n步转移概率 pijn )的近似值。
11
马尔可夫链的稳态分布
如果马尔可夫链具有遍历性，意味着马尔可夫信源在初始 时刻可以处在任意状态，然后信源状态之间可以转移。 由初始分布及各时刻的一步转移概率就可以完整描述马尔可夫 链{Sn, n N }的统计特性。 经过足够长时间之后，信源处于什么状态已与初始状态无关。 这时，每种状态出现的概率已达到一种稳定分布，即平稳分布。
1、pij (m, n) 0 2、 pij (m, n) 1
jS ij
i, j E iE
n
条件概率性质显然 有
p (m, n) P{S
jS jS
j | Sm i} P{E | Sm i} 1
5
基本（一步）转移概率
当n m 1时，pij (m, m 1)即为一步转移概率。 一般， 把pij (m, m 1)记为pij (m)，m 0, 称为基本转移概率。 pij (m) P{Sm 1 j | Sm i} i, j E pij (m)中m表示基本转移概率与时刻m有关。 基本转移概率的性质： 1、 pij (m) 0 i, j E 2、 pij (m) 1
( P { pijk ) (m)，i, j E}
称为k 步转移矩阵。
( pijk ) (m)对应于矩阵P中的第i行j列之元素。 ( 称pijk ) (m)满足性质1、的矩阵P是一个随机矩阵， 2
它决定了系统S1，S 2， 所取状态转移过程的概率法则。 ... 一般地，在状态空间E {0， 1， 2， }是一可数无穷集合， 所以转移矩阵P是一无穷行无穷列的随机矩阵。
第2章 信源熵
2.2 多符号离散平稳信源
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 序列信息的熵 离散平稳信源的数学模型 离散平稳信源的信息熵和极限熵 马尔可夫信源 信源冗余度和信息变差
1
马尔可夫信源－研究意义
为了求解平稳信源的极限熵，可以用N维的条 件熵来近似 H ( X N | X 1 X N ) p(ai1ai 2 aiN ) logp(aiN | ai1ai 2 aiN 1 ) i1 i 2 iN
s E E1 E2 E J
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马尔可夫信源－基本概念
【定义】如果信源的输出序列和信源所处的状态满 足以下两个条件，该信源为马尔可夫信源 1、某时刻信源输出的符号只与信源所处的状
态相关，与以前的状态及以前的输出无关。 即
p( X l ak | sl Ei , X l 1 ak 1 , sl 1 Ei 1 ,) p( X l ak | sl Ei )
E1 00E2 01E3 10E4 11
jE
iE
6
0,1,...,k步转移概率
定义k步转移概率为
( pijk ) ( m) P{Sm k j | Sm i}
i, j E
它表示在时刻m时，Xm的状态为i的条件下， 经过k步转移到达状态j的概率。 性质：
( 1、pijk ) (m) 0 ( 2、 pijk ) (m) 1 jS
0
E2
E1 0
2
1
E3
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马尔可夫信源－基本概念
马尔可夫信源输出的符号序列Xl完全由信源所处的 状态Sl决定。所以，可将信源的输出符号系列变换 成状态系列，将信源输出符号的不确定性问题变成 信源状态的转换问题
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马尔可夫信源－状态转移图
描述马尔可夫信源，我们可以用马尔可夫链的 状态转移图。 1、把每个可能
定义 若对于任意的i, j E，马尔可夫链 Sm, m T 的 转移概率 pij (m)与m无关， 即 pij (m) P{Sm 1 j | Sm i} pij i, j E 则称这类马尔可夫链为时齐马尔可夫链，或齐次马尔可夫链。 它是具有平稳转移概率的马尔可夫链。 对于时齐马尔可夫链，一步转移概率pij具有性质： 1、pij 0 i, j E 2、 pij 1
4
转移概率pij(m,n)
为了知道系统状态的转化情况，引入转移概率 pij (m, n) P{Sn Ej | Sm Ei} P{Sn j | Sm i}i, j E 它表示， 已知在时刻m系统处于状态Ei（Sm取值Ei）的条件下， 经(n-m)步后转移到状态Ej的概率； 或说，在时刻n系统处于状态Ej（Sn取值Ej）的概率； 故，它实际上是一个条件概率。 转移概率的性质：
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m阶马尔可夫信源
所处的状态与符号序列有关 m阶马尔可夫信源，在任何时刻l，输出分量的 概率分布只与前面m个分量的输出有关，我 们可以把前面m个分量组成的序列做为l时刻 信源所处的状态 如果信源的符号集是 A a1 a2 aq qm 则信源的状态共有个
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m阶马尔可夫信源
举例：二元二阶马尔可夫信源。二元指信源可 能的输出有2种取值，如0，1；二阶是说信 源输出与前两个分量有关 q m 2 2 4 状态，是 这样的马尔可夫信源共有个 前两个分量可能取值的排列
2、信源时刻所处的状态由前一时刻所处的状 态，和前一时刻输出的符号唯一确定
p( sl E j | sl 1 Ei , X l 1 1 E j 转移到的状态 ak ) E j 其他状态 0
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马尔可夫信源－基本概念
第一个条件表明：信源的输出只与信源当前 所处的状态有关，而与其他因素无关。 第二个条件表明：在特定的状态下，发出特 定的符号后，信源状态发生跳变，且必定 100％跳变到一个特定的状态。
i, j E iE
(1) 当k 1时，是一步转移概率pij (m) pij ( m)
通常还规定
(0) pij (m) ij {1 0
i j i j
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K步转移矩阵
系统在任一时刻可处于状态空间S {0， 1， 2， } 中的任一个状态，因此，状态转移时，各种转移概率 构成一个矩阵
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马尔可夫信源－状态转移图
但是，如果我们把初始状态除外，信源总是以80％的 概率发1，以20％的概率发0，处在稳定的状态， 这时可以看作是平稳信源 从初始状态到平稳状态总是有个过程的。一般经过足 够长的时间后，总能达到稳定状态 正是因为初始概率和稳定概率不一样，在进入稳定状 态以前，马尔可夫信源是非平稳的；而在进入稳定 状态后，马尔可夫信源可以看做是平稳的
2
马尔可夫信源－研究意义
虽然马尔可夫信源是一个非平稳的信源， 但是当马尔可夫信源进入稳定状态后，就 可以看成一个平稳信源 马尔可夫信源熵的求解，只需要知道与前 面N－1个分量的相互关系，即只需要知道 N维条件概率分布即可，受约束程度大大 降低
3
有限状态马尔可夫链
定义 设{Sn, n N }为一随机序列，表示状态序列，时间参数集N {0，2， }，其取值空间E {E1，E 2， EJ}，若对所有n N ， 1， 有 P{Sn Ein | Sn 1 Ein 1, Sn 2 Ein 2, , S 1 Ei1} P{Sn Ein | Sn 1 Ein 1} 则称{Sn, n N }为马尔可夫链。 其意义是： 系统在现在时刻n 1处于状态Ein 1，那么将来时刻n的状态Ein 与过去时刻n 2, n 3,...,1的状态Ein 2,..., Ei1无关， 仅与现在时刻n 1的状态Ein 1有关。 即，已知系统的现在，那么系统的将来与过去无关。 这种特性称为马尔可夫特性。
jE
iE
由一步转移概率pij可以写出其转移矩阵为 ： p11 p12 p13 p 21 p 22 p 23 P { pij, i, j E} 或 P p 31 p 32 p 33 如果状态空间E {0，2， ，n}是有限的， 1， 则称它为有限状态的马尔可夫链；
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马尔可夫信源－状态转移图
1:0.8
0:0.2
E1 0:0.2
E2
1:0.8
0:0.5 E0
1:0.5
E 该马尔可夫信源有三个状态： 0 E1 E2 ，其中设为 E0 初始状态，初始概率为 p(0) p(1) 0.5 ，等概率的 转移到 E1和E2 这两个状态
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具有遍历性的马尔可夫链
定义 若齐次马尔可夫链对一切i, j存在不依赖于i的极限 lim p
n (n) ij
pj
且满足
pj 0; pj pij ; pj 1
i 0
j
则称其具有遍历性，pj称为平稳分布。 其中pj为该马尔可夫链的初始分布。 遍历性的意义： 不论质点从哪个状态Ei出发，当转移步数n充分大时，
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马尔可夫信源－基本概念
绝对的平稳信源是不存在的，非平稳信源 仍然是主流。但一般的非平稳信源研究起 来非常复杂。 马尔可夫信源是非平稳信源中的一个特例， 满足马尔可夫链的性质，因此可以用马尔 可夫链的性质求解信源熵。
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马尔可夫信源－基本概念
为了描述马尔可夫信源，除了信源符号集外， 还必须引入信源当时所处的“状态” ，信 源在某时刻输出符号的概率，与此时信源 所处的状态有关 定义信源符号集，X i A a1 a2 aq 表示信源每一个分量可能的输出： 另外，我们还定义了信源所处的状态
p(ai1ai 2 aiN ) p(ai1 ) p(ai 2 | ai1 ) p(aiN 1 | ai1ai 2 aiN 2 ) (aiN | ai1ai 2 aiN 1 ) p
要近似离散平稳信源的极限熵，需要知道从1 维－N维的条件概率分布，这在一般情况 下比较困难
( 转移到状态Ej的概率pijn )都近似等于某个常数pj。
或说，如果转移步数n充分大，
( 就可以用常数pj作为n步转移概率 pijn )的近似值。
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马尔可夫链的稳态分布
如果马尔可夫链具有遍历性，意味着马尔可夫信源在初始 时刻可以处在任意状态，然后信源状态之间可以转移。 由初始分布及各时刻的一步转移概率就可以完整描述马尔可夫 链{Sn, n N }的统计特性。 经过足够长时间之后，信源处于什么状态已与初始状态无关。 这时，每种状态出现的概率已达到一种稳定分布，即平稳分布。
1、pij (m, n) 0 2、 pij (m, n) 1
jS ij
i, j E iE
n
条件概率性质显然 有
p (m, n) P{S
jS jS
j | Sm i} P{E | Sm i} 1
5
基本（一步）转移概率
当n m 1时，pij (m, m 1)即为一步转移概率。 一般， 把pij (m, m 1)记为pij (m)，m 0, 称为基本转移概率。 pij (m) P{Sm 1 j | Sm i} i, j E pij (m)中m表示基本转移概率与时刻m有关。 基本转移概率的性质： 1、 pij (m) 0 i, j E 2、 pij (m) 1
( P { pijk ) (m)，i, j E}
称为k 步转移矩阵。
( pijk ) (m)对应于矩阵P中的第i行j列之元素。 ( 称pijk ) (m)满足性质1、的矩阵P是一个随机矩阵， 2
它决定了系统S1，S 2， 所取状态转移过程的概率法则。 ... 一般地，在状态空间E {0， 1， 2， }是一可数无穷集合， 所以转移矩阵P是一无穷行无穷列的随机矩阵。
第2章 信源熵
2.2 多符号离散平稳信源
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 序列信息的熵 离散平稳信源的数学模型 离散平稳信源的信息熵和极限熵 马尔可夫信源 信源冗余度和信息变差
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马尔可夫信源－研究意义
为了求解平稳信源的极限熵，可以用N维的条 件熵来近似 H ( X N | X 1 X N ) p(ai1ai 2 aiN ) logp(aiN | ai1ai 2 aiN 1 ) i1 i 2 iN
s E E1 E2 E J
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马尔可夫信源－基本概念
【定义】如果信源的输出序列和信源所处的状态满 足以下两个条件，该信源为马尔可夫信源 1、某时刻信源输出的符号只与信源所处的状
态相关，与以前的状态及以前的输出无关。 即
p( X l ak | sl Ei , X l 1 ak 1 , sl 1 Ei 1 ,) p( X l ak | sl Ei )
E1 00E2 01E3 10E4 11
jE
iE
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0,1,...,k步转移概率
定义k步转移概率为
( pijk ) ( m) P{Sm k j | Sm i}
i, j E
它表示在时刻m时，Xm的状态为i的条件下， 经过k步转移到达状态j的概率。 性质：
( 1、pijk ) (m) 0 ( 2、 pijk ) (m) 1 jS
0
E2
E1 0
2
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E3
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马尔可夫信源－基本概念
马尔可夫信源输出的符号序列Xl完全由信源所处的 状态Sl决定。所以，可将信源的输出符号系列变换 成状态系列，将信源输出符号的不确定性问题变成 信源状态的转换问题
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马尔可夫信源－状态转移图
描述马尔可夫信源，我们可以用马尔可夫链的 状态转移图。 1、把每个可能
定义 若对于任意的i, j E，马尔可夫链 Sm, m T 的 转移概率 pij (m)与m无关， 即 pij (m) P{Sm 1 j | Sm i} pij i, j E 则称这类马尔可夫链为时齐马尔可夫链，或齐次马尔可夫链。 它是具有平稳转移概率的马尔可夫链。 对于时齐马尔可夫链，一步转移概率pij具有性质： 1、pij 0 i, j E 2、 pij 1
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转移概率pij(m,n)
为了知道系统状态的转化情况，引入转移概率 pij (m, n) P{Sn Ej | Sm Ei} P{Sn j | Sm i}i, j E 它表示， 已知在时刻m系统处于状态Ei（Sm取值Ei）的条件下， 经(n-m)步后转移到状态Ej的概率； 或说，在时刻n系统处于状态Ej（Sn取值Ej）的概率； 故，它实际上是一个条件概率。 转移概率的性质：
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m阶马尔可夫信源
所处的状态与符号序列有关 m阶马尔可夫信源，在任何时刻l，输出分量的 概率分布只与前面m个分量的输出有关，我 们可以把前面m个分量组成的序列做为l时刻 信源所处的状态 如果信源的符号集是 A a1 a2 aq qm 则信源的状态共有个
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m阶马尔可夫信源
举例：二元二阶马尔可夫信源。二元指信源可 能的输出有2种取值，如0，1；二阶是说信 源输出与前两个分量有关 q m 2 2 4 状态，是 这样的马尔可夫信源共有个 前两个分量可能取值的排列
2、信源时刻所处的状态由前一时刻所处的状 态，和前一时刻输出的符号唯一确定
p( sl E j | sl 1 Ei , X l 1 1 E j 转移到的状态 ak ) E j 其他状态 0
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马尔可夫信源－基本概念
第一个条件表明：信源的输出只与信源当前 所处的状态有关，而与其他因素无关。 第二个条件表明：在特定的状态下，发出特 定的符号后，信源状态发生跳变，且必定 100％跳变到一个特定的状态。
i, j E iE
(1) 当k 1时，是一步转移概率pij (m) pij ( m)
通常还规定
(0) pij (m) ij {1 0
i j i j
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K步转移矩阵
系统在任一时刻可处于状态空间S {0， 1， 2， } 中的任一个状态，因此，状态转移时，各种转移概率 构成一个矩阵
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马尔可夫信源－状态转移图
但是，如果我们把初始状态除外，信源总是以80％的 概率发1，以20％的概率发0，处在稳定的状态， 这时可以看作是平稳信源 从初始状态到平稳状态总是有个过程的。一般经过足 够长的时间后，总能达到稳定状态 正是因为初始概率和稳定概率不一样，在进入稳定状 态以前，马尔可夫信源是非平稳的；而在进入稳定 状态后，马尔可夫信源可以看做是平稳的
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马尔可夫信源－研究意义
虽然马尔可夫信源是一个非平稳的信源， 但是当马尔可夫信源进入稳定状态后，就 可以看成一个平稳信源 马尔可夫信源熵的求解，只需要知道与前 面N－1个分量的相互关系，即只需要知道 N维条件概率分布即可，受约束程度大大 降低
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有限状态马尔可夫链
定义 设{Sn, n N }为一随机序列，表示状态序列，时间参数集N {0，2， }，其取值空间E {E1，E 2， EJ}，若对所有n N ， 1， 有 P{Sn Ein | Sn 1 Ein 1, Sn 2 Ein 2, , S 1 Ei1} P{Sn Ein | Sn 1 Ein 1} 则称{Sn, n N }为马尔可夫链。 其意义是： 系统在现在时刻n 1处于状态Ein 1，那么将来时刻n的状态Ein 与过去时刻n 2, n 3,...,1的状态Ein 2,..., Ei1无关， 仅与现在时刻n 1的状态Ein 1有关。 即，已知系统的现在，那么系统的将来与过去无关。 这种特性称为马尔可夫特性。
jE
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由一步转移概率pij可以写出其转移矩阵为 ： p11 p12 p13 p 21 p 22 p 23 P { pij, i, j E} 或 P p 31 p 32 p 33 如果状态空间E {0，2， ，n}是有限的， 1， 则称它为有限状态的马尔可夫链；