2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4_2(含答案)

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2.4.2逆矩阵与逆变换

2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc二、二阶行列式定义：det(A) ＝a bc d＝ad －bc因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m bn d a b cd y ＝am c n a b cd记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d，D y ＝am c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D xDy ＝D y D例1 求下列行列式的值 ⑴21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a d c 解：⑴21 43=1×4-2×3=-2 ⑵21 43-=1×4-2×（-3）=10 ⑶21 - 40=-1×4-2×0=-4 ⑷2b a dc=2（ad-bc ）例2 若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。

解：∵x=θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4；当x=1时f(x)取得最大值0 例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-的逆矩阵应用：一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解解：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式3312-=3×1-3×（-2）=9≠0 ∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3y ＝2 （2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组教案苏教版选修4-2-苏教版

.4.2二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc二、二阶行列式定义：det(A) ＝a b c d＝ad －bc 因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m b n d a b c d y ＝a m c n a b cd 记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d ，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D y ＝D y D 例1 求下列行列式的值 ⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4-2×3=-2 ⑵21 43-=1×4-2×（-3）=10 ⑶21 - 40=-1×4-2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad-bc ）例2 若x=θθsin con θθcon sin （θ∈R ）试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。

解：∵x=θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4；当x=1时f(x)取得最大值0 例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33⎥⎦⎤12-的逆矩阵应用：一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解解：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0 ∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3 y ＝2（2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

2.4逆变换和逆矩阵

2.4逆变换和逆矩阵2.4逆变换和逆矩阵第一课时逆变换与逆矩阵[教学目标]一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵二、过程与方法：讲练结合法三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法 [教学难点、重点]求二阶逆矩阵 [教学过程] 一、问题情景y x 1T 变换//y x ??→?2T 变换y x （1）这个对应终归是什么对应？ ??y x →??y x（2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现）（3）对应的矩阵如何表示？若T 1对应变换矩阵为A ，T 2对应的变换矩阵为B ，BA=E 二、问题的深入 1、相关定义以上变换T 2、T 1称作对方的逆变换，T 1、T 2称互逆的相应的矩阵A 、B 满足：AB=BA=E ，称A 是可逆的，B 称A 的逆矩阵例1、A=-0112,B=-2110,C=??-2110,问B 、C 是否为A 的逆矩阵？解答：B 不是，C 是思考1：一个矩阵A 存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A 的逆矩阵为B 1、B 2，则有：B 1=B 1E=B 1（AB 2）=（B 1A ）B 2=EB 2=B 2这样，一个矩阵A 存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A -1思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。

所以从一般的角度加以考虑。

首先，零矩阵一定没有逆矩阵设二阶非零矩阵d c b a 的逆矩阵为??2121y y x x ，则d c b a 2121y y x x =??1001 即方程组=+=+=+=+④dy cx ③by ax ②dy cx ①by ax 100122221111 有解，①②组成的x 1,y 1的方程组要有解；③④组成的x 2、y 2的方程组也要有解现用消去法解①②方程组。

2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2

ax＋by＝m 2．方程组写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝， B ＝，当 ________ A 可逆时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1，－x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ，所以矩阵可逆，逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的．矩阵 A 不是一个数，而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解．此方程组有_______
5．二阶矩阵＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d

高中数学第4课时二阶行列式与逆矩阵课时逆矩阵与二元一次方程组教案新人教A版选修4_220171017

第四讲二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组一.二阶行列式与逆矩阵【概念】a b 如果矩阵A＝c d 是可逆的，则ad bc 0.其中ab cd称为二阶行列式，记作a bc d，即a bc d＝ad bc，ad bc也称为行列式a bc d的展开式。

符号记为：detA或|A| 【可逆矩阵的充要条件】a b 定理：二阶矩阵A ＝c d 可逆，当且仅当detA=ad bc 0.此时d b1det A det AAc adet A det A（请同学一起证明此定理）【应用】1.计算二阶行列式：①3 14 2②22 132.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。

0 1①A ＝1 01 1②B ＝0 01【练习：P55】二、二元一次方程组的矩阵形式1.二元一次方程组的矩阵形式ax bye一般的，方程组cx dy f可写成矩阵形式为：2. 二元一次方程组的线性变换意义a b 设变换：c dx，向量ye、fax bye，则方程组cx dy f，意即：xe＝y f三、逆矩阵与二元一次方程组31x y3221.研究方程组：13x y122的矩阵形式与逆矩阵的关系。

ax bye【定理】如果关于x,y的二元一次方程组cx dy fa b的系数矩阵A＝c d是可逆的，则21x ab该方程组有唯一解：＝y c defax by【推论】关于x,y的二元一次方程组cx dy 0（a,b,c,d,均不为0），有非零解a bc d＝0【应用】3x y 21.用逆矩阵解二元一次方程组4x2y0【思考】课本60页思考ax by ea b的系数矩阵A＝不可逆，方程组的解如何？cx dy fc d3【练习：P61】【应用】a b1.为何值时，二元一次方程组c dx＝yx有非零解？y三、三阶矩阵与三阶行列式1.三阶矩阵的形式42.三阶行列式的运算【第四讲.作业】311.矩阵A＝42，则|A|=21x2.矩阵A ＝105，若A是不可逆的，则x=3.1234的逆矩阵为104. A ＝3112，B ＝，则(AB )1＝013x 5. A ＝，3，若A不可逆，则A＝11230x my6.若关于x,y的二元一次方程组4x11y0有非零解，则m＝2m 7.设二元一次方程组24x x＝没有非零解，则m所有值的集合为y y8.向量在旋转变换1R的作用下变为60o3，则向量＝139. 若01xy1＝，则x+y＝253 110. A ＝ 1 03 2 3，B ＝，向量满足 (AB1) ＝0 11，则向量＝11.用逆矩阵的方法解方程组：7x 11y 3 ①x y 03x y 0 ②12x 4y 012.求下列未知的二阶矩阵 X ：1 2 3 2 ①X3 11 1②X 1 23 23 11 12 213.当为何值时，二元一次方程组1 3x y ＝ xy有非零解？1 2 3 0 14.设 A ＝，矩阵 B 满足 ABA1 ＝1 11 2，求矩阵 B.答案：1.2 2.2 3.21553110104.72155.3156.-33/47.63 m8.233129.－310.332311.11x ,yx=k,y=3k6612.1477105773877、417713.1或4 14.5233210337。

高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4-2(2021学年)

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2.4。

2 二阶矩阵与二元一次方程组1.把错误!称为二阶行列式,它的运算结果是一个数值，记为det(A)＝错误!=aｄ－bc。

2.方程组错误!写成矩阵形式为AZ=B，其中A=错误!，称为系数矩阵,Z＝错误!,B=错误!,当A 可逆时,方程组有唯一解,当A不可逆时，方程组无解或有无数组解．3.对于方程组错误!，令D＝错误!,Ｄx=错误!,D y＝错误!，当D≠０时,方程组有唯一组解，为x=错误!,y＝错误!.４.对于方程组错误!,令D＝错误!，当D＝0时,此方程组有非零解.5.二阶矩阵Ａ=错误!可逆的充要条件是deｔ（Ａ)≠0且A－１=错误!。

错误!求行列式的值［例1] 求错误!的最大值(其中λ∈Ｒ)．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] 错误!=（λ-2)(5λ+８）－(2λ-2)（３λ＋5）＝-λ２－6λ-６=－（λ+3)2＋3≤３,∴错误!的最大值为３．(1）矩阵A＝错误!与它的行列式deｔ（Ａ)=错误!的意义是不同的.矩阵A不是一个数,而是４个数按顺序排列成的一个数表,行列式det（Ａ）是由矩阵A算出来的一个数,不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2）错误!＝ａd-ｂｃ,它是位于两条对角线上的元素的乘积之差.１．计算下列行列式的值：（1)错误!;(2）错误!解:(1）错误!=6×（-3)-(-5)×２=-8；(2)错误!=coｓ2θ－(-sin2θ)=１。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2 二阶矩阵与二元一次方

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2 二阶矩阵与二元一次方程组学业分层测评苏教版选修4-2学业达标]1.利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 243＝1×3－2×4＝－5，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 4＝1×4－2×1＝2，所以x ＝D x D ＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2，故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2.利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝4.x ＋my ＝7.【解】 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 41 m ＝m 2－4 D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 47m ＝4m －28 D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 417＝7m －4①当m 2－4＝0时，即m ＝±2，方程组无解；②当m 2－4≠0时，即m ≠±2时，得x ＝D x D ＝4m －28m 2－4，y ＝D y D ＝7m －4m 2－4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m －28m 2－4，y ＝7m －4m 2－4.3.若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x －2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围.【解】该二元一次方程组的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m2 －3≠0，解得m ≠－32. 4.利用逆矩阵解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5. 【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2≠0，则矩阵A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12，这样，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. (2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05. 同(1)，可以计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 3的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤05＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B .【导学号：30650044】【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A 存在逆矩阵A－1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， ∴Z ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 6.已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. 【证明】因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的.7.试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情况，这里A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 【解】由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35在A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1作用之后的向量，即Z ＝A －1B .因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.能力提升]8.试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性.【解】设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，则AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1，所以方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.。

高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 1 逆矩阵的概念学业分层

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 1 逆矩阵的概念学业分层测评苏教版选修4-2学业达标]1.已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵.【解】这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （－π4）－sin （－π4）sin （－π4） cos （－π4）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22 －22. 2.求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111的逆矩阵.【导学号：30650038】【解】法一待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0， ∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.3.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵. 【证明】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵.4.已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵.【解】因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5.已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0，5).(1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由.【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的. 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6.(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【导学号：30650039】【解】设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 能力提升]8.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程. 【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.。

「精品」高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1. 2．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30][例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解． [精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001. 即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－1 2 2 －3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2 －3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21－3－1 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤13 5得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32 ⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－－－－＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12. 4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200 15.[例3] 若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 15. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 15＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B －1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，则A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎦⎥－32 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1＝⎣⎢⎦⎥－32 1－32.6．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. 设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1.[例4] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解．[精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.若矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2z y －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8.8．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－－－－－＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－10.法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－10.[对应学生用书P32]1．求下列矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 31 －11－21 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋c b ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1.从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值．解：根据题意，得AA －1＝E ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵．证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵． 4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 14. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－3212. 5．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， ∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)若直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程．解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．已知曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2. 设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x29＋y24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。

第5课时逆矩阵与逆变换和二阶矩阵与一元二次方程组

逆矩阵与逆变换和二阶矩阵与一元二次方程组一学习目标：1.逆变换和逆矩阵的概念2.逆矩阵的求法:3.AB 可逆的条件及(AB) -1 的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.5．二阶行列式的概念：6．用二阶行列式求逆矩阵、解方程组：二知识疏理：1.逆变换和逆矩阵的概念注: ①如果A 可逆, 那么逆矩阵唯一.②二阶矩阵可逆的条件2.逆矩阵的求法:①定义法②几何变换法3.AB 可逆的条件及(AB) -1 的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.5．如果矩阵A =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是可逆的，则__________．其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d ，即a b c d =____________，ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。

符号记为：det A 或|A |． 6．方程组ax by m cx dy n +=+=⎧⎨⎩写成矩阵的形式为______________，对于系数矩阵，当__________时，方程组有唯一解；当__________________时，方程组有无数组解．7．令0D a b c d =≠，D x m b n d =，D a m y c n =，则方程组ax by m cx dy n+=+=⎧⎨⎩的解是______________．三课堂导学：例1、用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出其逆矩阵.(1)A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2)B=10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)C=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (4)D=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求下列矩阵的逆矩阵.(1)A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) B=12-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦例3、试从几何变换的角度求解AB 的逆矩阵. (1) A=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦ , B=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (2) A=10⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦ , B=11201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4、设可逆矩阵A=110⎡⎢⎣ 3b ⎤⎥⎦的逆矩阵A -1 =610⎡⎢-⎣ 3a -⎤⎥⎦, 求a , b . 例5、利用行列式和逆矩阵的知识两种方法解方程组23104560x y x y +-=+-=⎧⎨⎩．例6、利用行列式求矩阵A = 5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵．例7、已知二元一次方程组Ax =B , A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.四达标检测： 1. 设A = 1223-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B = 1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(1)计算行列式 | A |，| B |； (2)判断矩阵AB 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．2. 试从几何变换的角度说明10,22x y y +=⎧⎪⎨⎪=⎩的解的存在性和惟一性．3. 已知242012350101=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，求使等式成立的矩阵A ． 4. 已知矩阵,1210102001==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M N ,试求曲线y = cos x 在矩阵M -1N 变换下的函数．五课堂总结：1.逆变换和逆矩阵的概念2.逆矩阵的求法:3.AB 可逆的条件及(AB) -1 的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.5．二阶行列式的概念：6．用二阶行列式求逆矩阵、解方程组：六巩固反思：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________七作业：见新学案。

高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4_21

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad－bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解． 3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝mzx ＋dy ＝n ，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，D x＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D yD .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A.[对应学生用书P34][例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2θ)＝1.2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2 y 2－1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．[精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－3 1. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838 －18. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在． (2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d A－bA －cAa A，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 01；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a001.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 1 1 1＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 12 12 12. (2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 001＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 0 1. 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x 2存在逆矩阵，求x 的取值范围．解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x 2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D xD ，y ＝D y D求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －2－1 4＝12－2＝10， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝9＋1＝10，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310，这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2515110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡ab cd (4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡ab cd⎦⎥⎤e f. 5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝－2≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4，所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解． [精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－m x －2y ＝0，x －＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解．∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 32－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4. 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100.2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0，即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 021＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解．5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 264＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56.故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡1 234⎦⎥⎤56 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解．解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 346 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋2y ＝0，x ＋－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4，当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26 并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321进行加密． (1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40，于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40. (2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象，可得。