专题13 坐标系与参数方程-高考数学(文)二轮专项复习

专题13 坐标系与参数方程

本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】

1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．

在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．

设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．

2．极坐标系与直角坐标系的互化．

直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念

设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数

……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线

上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．

4．参数方程与普通方程的互化

把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．

把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．

要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．

2

2

2

y x +=ρ).0(tan =/=x x

y

θ⎩⎨

⎧==)

()

(t g y t f x b t a ≤≤

(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；

(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；

(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；

(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．

【复习要求】

1．理解坐标系的作用．

2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

3．了解参数方程．

4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】

例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)

(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．

解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，， 得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，

，所以，

⎩

⎨⎧+=+=ααsin ,

cos 00t y y t x x ⎩

⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,

⎩

⎨

⎧+=+=θθsin ,

cos 00r y y r x x )0(122

22>>=+b a b y a x ⎩

⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-

2

cos θ

ρ=)3,1(-)4

π

,3(-236

5πcos

2

cos

-==θ

)35π,23(-

2cos θρ=)0(tan =/=

x x

y θ3tan -=θ2π2

3π≤<θ35π=θ

所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得， 所以点P 的直角坐标为 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______． (2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )， 所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由得，即， 由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以

评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；

(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；

(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：

①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．

).3

π5,

2(2

2

3,223-

==

y x ).2

2

3,223(

-)(3

π

R ∈=

ρθ2)(3

π

R ∈=

ρθ3π=

θx

y

=3πtan x y 3=2

1

3

11=+=

d .3)2

1

(12||2=-=AB