山西省太原市2017届高三第一学段测评(数学)(含答案)word版

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山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案

太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B = A. {}0,1 B. {}1,0,1- C. []1,1- D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,αβ为两个不同的平面，l 为直线，则下列结论正确的是 A.//,l l ααβα⊥⇒⊥ B. ,//l l ααβα⊥⊥⇒ C. //,////l l ααββ⇒ D. ,//l l ααββ⊥⇒⊥5.已知sin 0αα=，则tan 2α=A.3 B. 3-6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一个递增区间是 A. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 4,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A. 1142AC BD +B. 1124AC BD +C. 1223AC BD +D. 2133AC BD +10. 已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为A. 34B. 74C. 214D. 25411.如图，正方体1111ABCD A BC D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A. 56πB. 34πC. 23πD. 35π12.已知()22,01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为 .15.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，BC 边上的高为2a ，则cb的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()31log n n n b a a n N *+=⋅∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=；（2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A-G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处. 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有力，请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别是棱1111,A B BC 的中点，平面ABCD ⊥平面11A B BA ，平面ABCD 平面11B C CB . （1）证明：1BB ⊥平面ABCD ；（2）已知六面体1111ABCD A BC D -3cos 5BAD ∠=，设平面BMN 与平面11AB D 相交所成二面角的大小为θ求cos θ.21.（本题满分12分）已知函数()()ln xx f x ax x a R e =-∈在1x =处的切线方程为()11.y bx b R e=++∈ （1）求,a b 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明：()112m nm n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

【山西省太原市】2017届高三模拟考试(一)数学(理科)试卷

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三、解答题.共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.已知 a,b,c 分别是 ABC 的内角 A, B,C 所对的边, a 2bcos B,b c . (1)证明： A 2B ； (2)若 a2 c2 b2 2asinC ,求 A . 18.某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵.某汽车经销商退出 A, B,C 三种分期付款方式销售该品牌汽车,并对近期 100 位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图.已知从 A, B,C 三种分期付款销售中,该经销商每销售此品牌汽车 1 辆所获得的利润分别是1 万元, 2 万元, 3 万元.现甲乙两人从该汽车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆.以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替 1 位客户采用相应分期付款方式的概率.
(Ⅰ)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率； (Ⅱ)记 X (单位：万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润,求 X 的分布列和期望. 19.如图,在几何体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, BE 平面 ABCD , DF∥BE , DF 2BE 2, EF 3.
B. 1 e2 2
1 C.
e
二、填空题.共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
D. 3 2e2
13.已知 a (1, 1),b (t,1) ,若 (a b)∥(a b) ,则实数 t
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14.已知双曲线经过点 (1, 2 2) ,其一条渐近线方程为 y 2x ,则该双曲线的标准方程为
21.已知函数 f (x) 2ln x ax 4 f (2) (a R) 在 x 2 处的切线经过点 (4,ln 2) . x

山西省太原市2017届高三模拟考试一理数试题Word版含答案

山西省太原市2017 届高三模拟考试（一）理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.已知会合A x y lg x 1， B { x x2}，则A B （）A．2,0B． 0,2 C.1,2D．2, 12.已知 zi2i ，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标是（）A．1,2B．1,2 C.1,2D． 1,23．已知S n是等差数列a n的前 n 项和，则 a a1a3a5 3 a8a1036 ，则 S11（）A． 66B． 55 C.44D．334．已知 a1,cosa , b sina,1，且 0，若 a b ，则（）A．2B．3C.D．34465. 函数 f x cosx 的图像大概为（）xA．B． C.D．221 , 直线 l : y k x2 ,在1,1上随机选用一个数k ,则事件“直线 l 6. 已知圆 C : x y与圆 C 相离”发生的概率为（）A．1B．22 C.33D．23 22327. 履行如图的程序框图，已知输出的s0,4 。

若输入的 t m, n ，则实数n m 的最大值为（）A．1B．2 C.3D．48.某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为（）2422321 232 A ．6 1B．1C.． 14D424xy 2 0,9. 已知 Dx, yx y 2 0, ，给出以下四个命题:3x y 6 0P 1 : x, y D, x y 1 0P 2 : x, y D,2 x y 2 0 P 3 :x, yy1 4D ,1xP 4 : x, y D, x 2y 2 2此中真命题的是（）A ． P 1, P 2B． P 2,P 3 C. P 2, P 4 D ． P 3,P 410. 已知抛物线 y 2 4 x 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点， O 为坐标原点，若 AOB 的面积为 2 6 ，则 AB （）A ． 6B． 8 C. 12 D． 1611. 已知函数 f xsinwx3coswx w 0，若方程 fx1在 0,上有且只有四个实数根，则实数 w 的取值范围为（）A ．13, 7B． 7,25C.25 ,11 D． 11, 376 22 66 22 612. 设函数 f x 3 x22ax a0 与 f x a 2lnx b 有公共点，且在公共点处的切线方程2同样，则实数 b 的最大值为（）A．1B．1e2 C.1D．3 2e22e2e2第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 a1， 1 , b t,1, 若a b / / a b , 则实数 t．14.已知双曲线经过点1,22，其一条渐近线方程为y 2 x ，则该双曲线的标准方程为．15.已知三棱锥A BCD 中， BC CD, AB AD2, BC1,CD3 ，则该三棱锥外接球的体积为．16.已知数列a n 中，a11,a n 12a n 3n 1 n N*，则其前n项和S n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知a,b,c分别是ABC 的内角A,B,C所对的边，a 2bcosB,b c .（1）证明： A 2B；2222acsinC , 求A .（2）若 a c b18. 某著名品牌汽车深受花费者喜欢，但价钱昂贵。

山西省太原市2017届高三第一次模拟考试(4月) 数学(理) Word版含答案

太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测高三数学(理)出题人、校对人：廉海栋史天保李小丽（2017年4月5日）一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1. 设集合A},1,x -2y |{y B 2},x |{x x ∈==<=A ，则A ∩B=A ．（﹣∞，3）B ．[2，3）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣1，2） 2.已知复数i -1z =（i 是虚数单位），则2z -z2的共轭复数是 A ．1-3i B ．1+3i C ．-1+3i D ．-1-3i7. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )种A. 18B. 24C. 36D. 48A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题5分,共20分）截面14. 已知,0c 5b 4a 3→→→→=++且,1|c ||b ||a |===→→→则)(→→→+⋅c b a =___________.15. 在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=x 与直线x=1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥=3|3103102πππ==⎰x dx x ．据此类比：将曲线y=2lnx 与直线y=1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= .三．解答题17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n S a +=，其中n S 为{}n a 的前n 项和*()n N ∈.（Ⅰ）求1S ，2S 及数列{}n S 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)nn nb S -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当2n ≥时，17||39n T ≤≤. 18. （本小题满分12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A 组”，否则为“B 组”，调查结果如下：（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A 组”用户与“性别”有关？（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A 组”和“B 组”的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A 组”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n a b c d =+++为样本容量.参考数据：19. （本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1⊥平面ABC ，A 1B 1∥AB ，AB=2A 1B 1，E 是AC 的中点．（1）求证：A 1E ∥平面BB 1C 1C ；（2）若AC=BC ，AB=2BB 1，求二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆E 的方程是22143x y +=，左、右焦点分别是1F 、2F ，在椭圆E 上有一动点A ，过A 、1F 作一个平行四边形，使顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示. (Ⅰ) 判断四边形ABCD 能否为菱形，并说明理由.(Ⅱ) 当四边形ABCD 的面积取到最大值时，判断四边形ABCD 的形状，并求出其最大值.21. （本小题满分12分）设函数()()()12ln 0f x k x x k =--＞．（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值；（2）设函数()1x g x xe -=（其中e 为自然对数的底数），若对任意给定的()0,s e ∈，均存在两个不同的()21,1,2i t e i e ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，使得()()i f t g s =成立，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线）为参数，：40(sin rcos x 1<<⎩⎨⎧==r r y C θθθ,曲线，为参数：)(sin 222cos 222x 2θθθ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y C 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线）20（πααθ<<=与曲线C 1交于N 点，与曲线C 2交于O,P 两点，且|PN|最大值为22.（1）将曲线C 1与曲线C 2化成极坐标方程，并求r 的值；（2）射线4παθ+=与曲线C 1交于Q 点，与曲线C 2交于O,M 两点，求四边形MPNQ 面积的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数f(x)=|x-a|，a<0.（1）若a= -2，求不等式f(x)+f(2x)>2的解集；（2）若不等式f(x)+f(2x)<21的解集非空，求a 的取值范围． 4.5高三校一模（理）答案选择题 DACDB ABCAA BA 填空题：13.-5315. 1)-(e π 16. 445π 17.解：（Ⅰ）数列{}n a 满足12n n S a +=，则1122()n n n n S a S S ++==-，即132n n S S +=，132n n S S +∴=，即数列{}n S 为以1为首项，以32为公比的等比数列，所以13()2n n S +=*()n N ∈.（Ⅱ）在数列{}n b 中，11(1)(1)13()2n n n n nb S ----==-⨯，{}n b 的前n 项和，||n T 24|1{1()39=-⨯+-+1312(1)[()]}|33()2n n ---+-++= 24|1()39+-++1312(1)[()]|33()2n n ----++ .而当2n ≥时，221|1()33-≤+-342[()]93++-++ 11(1)||13()2n n ---≤+247()|399-+=，即17||39n T ≤≤. 18．解：（1）由22⨯列联表可得()()()()()()222100262030240.6490.70856445050n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯-----2分没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关------------------4分（2）由题意得所抽取的5位女性中，“A组”3人，“B组”2人。

陕西省太原市2017-2018学年高三上学期第一次段考数学试卷 Word版含解析

陕西省太原市2017-2018学年高三上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知集合M={x||x|＜2}，N={x|﹣1≤x≤3}，M∪N=（）A．{﹣1，2} B．2．（3分）函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（1，3）∪（3，+∞）D．（1，2）∪（2，+∞）3．（3分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3+a5=8，则a7=（）A．7B．8C．13 D．154．（3分）已知实数a，b满足a＜b，则下列结论正确的是（）A．B．2a＞2b C．l na＜lnb D．a3＜b35．（3分）函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（1，e）C．（e，3）D．（e，+∞）6．（3分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1a4=8，a2+a3=6，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．2n B．2n﹣1C．2n﹣1 D． 2n﹣1﹣17．（3分）函数y=（x2﹣8）e x的单调递减区间是（）A．（﹣4，2）B．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）8．（3分）设曲线y=在点（﹣2，f（2））处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a=（）A．B．C．﹣2 D．29．（3分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S20＞0，S21＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．11．（3分）已知函数f（x）满足f（x+1）=，且当x∈（0，1]时，f（x）=x，g（x）=m（x+3），若方程f（x）=g（x）在区间（﹣1，1]上有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（）A．B．C．D．12．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＜0，且f（2）=，则不等式xf（x）＜﹣1的解集为（）A．（）∪（）B．（）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）13．（3分）已知p：x＜1或x＞3，q：a＜x＜a+1，若¬q是¬p的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为．14．（3分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=+1，则a2014=．15．（3分）已知函数f（x）=，若f=2，则实数a=．三、解答题（共5小题，满分0分）16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在区间⊆D，使得f（x）满足：（1）f（x）在上是单调函数；（2）f（x）在上的值域是，则称区间是函数f（x）的“理想区间”，给出下列命题：①函数f（x）=log3x不存在“理想区间”；②函数f（x）=2x存在“理想区间”；③函数f（x）=x2﹣3（x≥0）不存在“理想区间”；④函数f（x）=（x≥0）存在“理想区间”．其中真命题的是（填上所有真命题的序号）17．已知集合A={x|x2﹣3x≤0}，函数y=log2（x+1）（x∈A）的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若x∈A∩B，求函数y=2x+x的值域．18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=xe x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且b1=a2，b2=a5，b3=a14．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足++…+=S n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=ax+﹣lnx+1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性（2）当x∈（0，1）时，若不等式f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．陕西省太原市2015届高三上学期第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知集合M={x||x|＜2}，N={x|﹣1≤x≤3}，M∪N=（）A．{﹣1，2} B．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求解绝对值的不等式化简集合M，然后直接利用并集运算求解．解答：解：∵M={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|﹣1≤x≤3}，则M∪N=（﹣2，3]．故选：D．点评：本题考查了并集及其运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．2．（3分）函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（1，3）∪（3，+∞）D．（1，2）∪（2，+∞）考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件求函数的定义域即可．解答：解：要使函数f（x）有意义，则log2（x﹣1）≠0，即，∴∴1＜x＜2或x＞2，即函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）．故选：D．点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．3．（3分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3+a5=8，则a7=（）A．7B．8C．13 D．15考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差数列的性质结合已知得答案．解答：解：∵a3+a5=a1+a7=8，又a1=1，∴a7=7．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．4．（3分）已知实数a，b满足a＜b，则下列结论正确的是（）A．B．2a＞2b C．l na＜lnb D．a3＜b3考点：不等式的基本性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：若a，b同号，可判断A，考虑指数函数的单调性，即可判断B，考虑对数函数，即可判断C，考虑幂函数的单调性，即可判断D．解答：解：A中，若a，b同号不成立，故A错；B中，y=2x递增，故B错；C中，a，b小于0，则无意义，故C错；D中x3递增，故D正确．故选D．点评：本题考查不等式的性质，考查函数的单调性及运用，属于基础题．5．（3分）函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（1，e）C．（e，3）D．（e，+∞）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，函数f（x）=lnx在（0，+∞）上连续，计算f（e），f（3）即可．解答：解：函数f（x）=lnx在（0，+∞）上连续，且f（e）=10，f（3）=ln3﹣1＞0，故选C．点评：本题考查了零点的判定定理，属于基础题．6．（3分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1a4=8，a2+a3=6，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．2n B．2n﹣1C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣1考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的定义和等比数列的前n项和公式计算即可解答：解：a1a4=8，a2a3=8，又a2+a3=6，∴a2=2，a3=4，∴q=2．∴a1=1，∴S n==2n﹣1故选C点评：本题主要考查了等比数列的定义和等比等比数列的前n项和公式7．（3分）函数y=（x2﹣8）e x的单调递减区间是（）A．（﹣4，2）B．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：求出y′=（x2+2x﹣8）e x=（x+4）（x﹣2）e x，解出不等式（x+4）（x﹣2）e x＜0即可．解答：解：∴﹣4＜x＜2∴数y=（x2﹣8）e x的单调递减区间：（﹣4，2）故选：A点评：本题考查了导数的运用，判断单调性，属于中档题．8．（3分）设曲线y=在点（﹣2，f（2））处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a=（）A．B．C．﹣2 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的切线，根据直线垂直与直线斜率之间的关系即可得到结论．解答：解：函数的导数为，则y′|x=﹣2=2，∵在点（﹣2，f（2））处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴﹣a=，则a=故选B点评：本题主要考查导数的几何意义，根据直线垂直之间的关系是解决本题的关键．9．（3分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的定义域排除C，再利用x=﹣1，排除A，再根据x趋向于正穷时，函数的值趋向于0，故排除D，问题得以解决．解答：解：因为函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故排除C．当x=﹣1时，y=﹣2，故排除A，当x趋向于正穷时，函数的值趋向于0，故排除D，故选：B点评：本题主要考查了指数函数和幂函数的图象和性质，选特殊的值时关键，属于基础题．10．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S20＞0，S21＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和求和公式易得a10+a11＞0且a11＜0，可得n≤10时，S10最大，而a10最小，故最大．解答：解：由题意显然公差d＜0，∵S20==10（a1+a20）＞0，∴a1+a20＞0，∴a10+a11＞0；同理由S21＜0可得a1+a21＜0，∴a11＜0，结合a10+a11＞0可得a10＞0，∴n≤10时，S10最大，而a10最小，故最大．故选：C点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．11．（3分）已知函数f（x）满足f（x+1）=，且当x∈（0，1]时，f（x）=x，g（x）=m（x+3），若方程f（x）=g（x）在区间（﹣1，1]上有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（）A．B．C．D．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：化简当﹣1＜x＜0时，f（x）=，从而作出f（x）与g（x）的图象，从而解得．解答：解：∵f（x+1）=，且当x∈（0，1]时，f（x）=x，∴当﹣1＜x＜0时，f（x）=，故f（x）的图象如实曲线，g（x）的图象过（﹣3，0），斜率为m，如虚线．依题意，可知m∈．故选A．点评：本题考查函数解析式的求法及数形结合的思想，属于难题．12．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＜0，且f（2）=，则不等式xf（x）＜﹣1的解集为（）A．（）∪（）B．（）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）＜0，且f（2）=得条件作出函数f（x）的草图，讨论求不等式xf（x）＜﹣1的解集．解答：解：由题意作草图如下，f（x）在R上递减；当x＞0时，f（x）＜，且其交点是（2，），当x＜0时，f（x）＞，其交点是（），所以解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选C．点评：本题考查了学生的作图能力及导数的应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）13．（3分）已知p：x＜1或x＞3，q：a＜x＜a+1，若¬q是¬p的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为（﹣∞，0]∪∪=2，则实数a=16或2或．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分数函数的性质求解．解答：解：当log2f（a）=2时，f（a）=4．当log2a=4，则a=16，当，则a=2；当时，f（a）=1．当log2a=﹣1，则a=，当，则无解．故a=16或2或…故答案为：16或2或．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．三、解答题（共5小题，满分0分）16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在区间⊆D，使得f（x）满足：（1）f（x）在上是单调函数；（2）f（x）在上的值域是，则称区间是函数f（x）的“理想区间”，给出下列命题：①函数f（x）=log3x不存在“理想区间”；②函数f（x）=2x存在“理想区间”；③函数f（x）=x2﹣3（x≥0）不存在“理想区间”；④函数f（x）=（x≥0）存在“理想区间”．其中真命题的是①②③（填上所有真命题的序号）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用新定义、函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：①函数f（x）=log3x递增，且f（x）=log3x过原点的切线斜率为，∵，∴log3x=2x无实根，∴不存在“理想区间”，故该命题为真；②函数f（x）=2x递增，且f（x）=2x过原点的切线斜率为，∵＜2.8×0.7=1.96＜2，∴2x=2x有两个不等根，故此函数存在“理想区间”，故该命题为真；③函数f（x）=x2﹣3（x≥0）递增，当x2﹣3=2x，即x2﹣2x﹣3=0时，求得x=3或x=1，在x≥0上有一个根，∴此函数不存在“理想区间”，故该命题为真；④函数f（x）==，在，B={y|y=log2（x+1），0≤x≤3}=，∴A∩B=；（2）∵y=2x+x递增，x∈，∴当x=0时，y min=1，当x=2时，．∴y∈，故值域为．点评：本题考查了交集及其运算，考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=xe x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在R上的偶函数可得f（x）=f（﹣x），从而求表达式．（2利用导数求函数的单调区间．解答：解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，∴f（x）=xe﹣x，又为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=xe﹣x．则f（x）=；（2）当x＞0时，f′（x）=e﹣x﹣xe﹣x=（1﹣x）e﹣x，∴（0，1）时f′（x）＞0，f（x）递增，（1，+∞）时f′（x）＜0，f（x）递减；由于偶函数，据对称性，（﹣∞，﹣1）时f′（x）＞0，f（x）递增，（﹣1，0）时f′（x）＜0，f（x）递减．点评：本题考查了奇偶函数的解析式的求法，以及函数的单调区间的求法，属于基础题．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且b1=a2，b2=a5，b3=a14．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足++…+=S n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由等比数列的性质结合b1=a2，b2=a5，b3=a14列式求得等差数列的公差，然后求出等比数列的公比，分别代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由++…+=S n得到c n=a n•b n．代入等差数列和等比数列的通项公式后利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）由{b n}是等比数列，得，即，整理得：．∵a1=1，公差d＞0，∴d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．b1=a2=3，b2=a5=9，∴等比数列{b n}的公比q=3．∴；（2）由++…+=S n，得++…+（n≥2）．两式作差得：．∴c n=a n•b n（n≥2）．又，∴c1=a1•b1．∴c n=a n•b n．∴T n=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n．．两式作差得：=3+2×．∴．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．20．已知函数f（x）=ax+﹣lnx+1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性（2）当x∈（0，1）时，若不等式f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f′（x）=．根据a的值进行分解讨论．（2）分类得出f（x）max＜1，根据（1）中得出当a时，只需f（1）≤1；②当a≥1时，③当＜a＜1都不符合恒成立，总结出a的取值范围．解答：解：（1）f′（x）=．当a=0时f′（x）=，∴f（x）在（0，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；当a≠0时，f′（x）=当a＜0时，＜0，∴f（x）在（0，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；当0＜a＜，＞1∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增；当a=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当时，0＜＜1，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，当a≥1时，＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，（2）当x∈（0，1）时，若不等式f（x）＜1恒成立，∵通过（1）可知，①，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴只需f（1）≤1，即a+a﹣1﹣ln1+1≤1，a，②当a≥1时，f（x）在（0，1）上单调递减，不可能恒成立，③当＜a＜1时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，f（x）max=1﹣a﹣ln，如果a→1时f（x）max=1﹣a﹣ln＞0∴不符合题意，综上：当x∈（0，1）时，若不等式f（x）＜1恒成立，实数a的取值范围：a．点评：运用导数判断单调性，关键是怎样分类讨论，把不等式恒成立问题转化为函数最值的比较，思维量大，属于难题．。

山西省太原市2017届高三数学一模试卷Word版含解斩

山西省太原市2017届高三一模试卷理科数学一、填空题（每空5分，共20分）1．已知函数f （x ）=x 2﹣m 是定义在区间[﹣3﹣m ，m 2﹣m]上的奇函数，则f （m ）= ．2．已知变量x 、y 满足条件，求z=2x+y 的最大值．3．已知双曲线﹣=1与﹣=1有相同的离心率，则m= ．4．已知点P 在单位圆x 2+y 2=1上运动，P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，则d 1+d 2的最小值是．二、选择题（每空5分，共60分）5．集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|x ＞a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣1）6．若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，]C ．[，+∞）D ．（﹣∞，）7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=f （2﹣x ），且f （﹣1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f A ．1B ．0C ．﹣2D ．28．已知log 7[log 3（log 2x ）]=0，那么x 等于（）A ．B ．C ．D ．9．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A ． +πB ． +πC ． +πD ．1+π10．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD=2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．11．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺12．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A ．B ．C ．D ．13．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A ．﹣B ．C ．D ．﹣14．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3=，S 3=，则公比q=（）A ．B ．C ．1或﹣D ．1或15．已知抛物线C 1：y=x 2（p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（）A． B． C．D．16．函数y=f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y=f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y=f（x）的递减区间C．函数y=f（x）在x=0处取得极大值D．函数y=f（x）在x=5处取得极小值三、简答题（本题分为必考题和选考题，共70分）17．已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形．（1）求证：MN ∥平面PAD ．（2）若PA=AD=2a ，MN 与PA 所成的角为30°．求MN 的长．20．已知两定点F 1（﹣，0），F 2（，0），满足条件|PF 2|﹣|PF 1|=2的点P 的轨迹是曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设过点（0，﹣1）的直线与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB|=6，求直线AB 的方程．21．已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xlna （a ＞0，a ≠1）．（Ⅰ）当a ＞1时，求证：函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）﹣t|﹣1有三个零点，求t 的值；（Ⅲ）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1，试求a 的取值范围．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ=﹣2．（Ⅰ）求C 1和C 2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l ：y=x 和曲线C 1交于M ，N 两点，求弦MN 中点的极坐标．[选修4-1：几何证明题选讲]23．如图（1）所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图（2）所示，量得三角形纸片的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）所示的形状．最后将图（3）中的△ABF 绕直线AF 翻转180°得到△AB1F ，AB1交DE 于点H ，如图（4）所示，请你帮小明证明：AH=DH ．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．2017年山西省重点中学协作体高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（每空5分，共20分）1．已知函数f（x）=x2﹣m是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的奇函数，则f（m）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m2﹣m=3+m，求出m的值，代入条件检验可得结论．【解答】解：由已知必有m2﹣m=3+m，即m2﹣2m﹣3=0，∴m=3，或m=﹣1；当m=3时，函数即f（x）=x﹣1，而x∈[﹣6，6]，∴f（x）在x=0处无意义，故舍去．当m=﹣1时，函数即f（x）=x3，此时x∈[﹣2，2]，∴f（m）=f（﹣1）=（﹣1）3=﹣1．综上可得，f（m）=﹣1，故答案为﹣1．2．已知变量x、y满足条件，求z=2x+y的最大值 3 ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=2x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线l：2x+y=0把直线向上平移可得过点A（2，﹣1）时2x+y最大当x=2，y=﹣1时，z=2x+y取最大值 3，故答案为 3．3．已知双曲线﹣=1与﹣=1有相同的离心率，则m= 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线离心率公式变形可得e 2=1+，对于题目所给的两个双曲线可得：e 12=1+=3和e 22=1+，两者离心率相等，可得1+=3，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于双曲线﹣=1，其离心率e=，则e 2===1+，对于双曲线﹣=1，其离心率为e 1，则e 12=1+=3，对于双曲线﹣=1，其离心率为e 2，则e 22=1+，而两个双曲线有相同的离心率，则有1+=3，解可得m=6；故答案为：6．4．已知点P 在单位圆x 2+y 2=1上运动，P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，则d 1+d 2的最小值是 5﹣ ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P （cosu ，sinu ），求出P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，即可求出d 1+d 2的最小值．【解答】解：设点P （cosu ，sinu ），P 到直线3x ﹣4y ﹣l0=0的距离为d 1=|3cosu ﹣4sinu ﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu ），d 2=3﹣cosu ，∴d 1+d 2=（10﹣3cosu+4sinu ）+3﹣cosu=5+（4sinu ﹣8cosu ）=5+sin （u﹣t ），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．二、选择题（每空5分，共60分）5．集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，N={x|x ＞a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1] D ．（﹣∞，﹣1）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解一元二次不等式可得集合M ，进而根据集合包含的定义，可构造关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围．【解答】解：∵集合M={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}=（﹣1，3） N={x|x ＞a}，若N={x|x ＞a}，则﹣1≥a 即a ≤﹣1即实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1] 故选C6．若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，]C ．[，+∞）D ．（﹣∞，）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R 上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，只需y′=3x 2+2x+m ≥0恒成立，即△=4﹣12m ≤0，∴m ≥．故选C ．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=f （2﹣x ），且f （﹣1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f A ．1B ．0C ．﹣2D ．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题通过赋值法对f （2﹣x ）=f （x ）中的x 进行赋值为2+x ，可得﹣f （x ）=f （2+x ），可得到函数f （x ）的周期为4，根据奇函数的性质得到f （0）=0，再通过赋值法得到f （1），f （2），f （3），f （4）的值，即可求解．【解答】解：∵f （2﹣x ）=f （x ），∴f[2﹣（2+x ）]=f （2+x ），即f （﹣x ）=f （2+x ），即﹣f （x ）=f （2+x ），∴f （x+4）=f （4+x ），故函数f （x ）的周期为4．∵定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）﹣f （x ）=0，且f （﹣1）=2，∴f （0）=0，f （1）=﹣f （﹣1）=﹣2，f （2）=f （0）=0，f （3）=f （﹣1）=2，f （4）=f （0）=0，∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f+f （2）+f （3）+f （4）]+f+f （1）=0+（﹣2）=﹣2，故选：C ．8．已知log 7[log 3（log 2x ）]=0，那么x 等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】对数的运算性质．【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x 的值，求出值．【解答】解：由条件知，log 3（log 2x ）=1， ∴log 2x=3， ∴x=8，∴x =故选：D ．9．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A ． +πB ． +πC ． +πD ．1+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为： +π，故选：C10．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD=2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为（）【考点】直线与平面所成的角．【分析】取BB 1中点为N ，连接FN ，取FN 中点为M ，连接A 1M ，A 1F ，易得∠MA 1N 为直线EF 与平面ABB 1A 1所成角，解△MA 1N 即可求出直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值．【解答】解：取BB 1中点为N ，连接FN ，取FN 中点为M ，连接A 1M ，A 1F 易得EF ∥A 1M ，EF=A 1M ∵A 1F 是EF 在面A 1ABB 1上的投影∴∠MA 1N 为所求的角令AB=1，在△MA 1N 中，A 1N=，所以A 1M=，则cos ∠MA 1N=故选A11．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d ，由等差数列的前n 项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a 1，a 2，a 3，…，a n ，其公差为d ，则a 1=5，S 30=390，∴=390，∴d=．故选：B ．12．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：设两道题分别为A ，B 题，所以抽取情况共有：AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB ，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种；故所求事件的概率为．故选：C ．13．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A ．﹣B ．C ．D ．﹣【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105° =cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105° =cos （15°+105°） =cos120°=﹣．故选：A ．14．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3=，S 3=，则公比q=（）A ．B ．C ．1或﹣D ．1或【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据题意和等比数列的通项公式列出方程组，化简方程组并求出q 的值．【解答】解：因为a 3=，S 3=，所以，两式相比得2q 2﹣q ﹣1=0，解得q=1或，故选：C ．15．已知抛物线C 1：y=x 2（p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x 2（p ＞0）在x 取直线与抛物线交点M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p 的关系，把M 点的坐标代入直线方程即可求得p 的值．【解答】解：由抛物线C 1：y=x 2（p ＞0）得x 2=2py （p ＞0），所以抛物线的焦点坐标为F （0，）．由﹣y 2=1得a=，b=1，c=2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M （），则C 1在点M 处的切线的斜率为．由题意可知=，得x 0=，代入M 点得M （，）把M 点代入①得：．解得p=．故选：D ．16．函数y=f （x ）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y=f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y=f（x）的递减区间C．函数y=f（x）在x=0处取得极大值D．函数y=f（x）在x=5处取得极小值【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断．【解答】解：由函数y=f（x）导函数的图象可知：当x＜﹣1及3＜x＜5时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜3及x＞5时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（3，5）；单调增区间为（﹣1，3），（5，+∞），f（x）在x=﹣1，5取得极小值，在x=3处取得极大值，故选项C错误；故选：C．三、简答题（本题分为必考题和选考题，共70分）17．已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【分析】（Ⅰ）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求的值；（Ⅱ）直接利用正弦函数的周期的求法，以及三角函数的单调性直接求函数f（x）的单调递减区间．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=2cos2x+sin2x…=1+cos2x+sin2x…=…所以…（Ⅱ）因为所以…又y=sinx的单调递减区间为，（k∈Z）…所以令…解得…所以函数f（x）的单调减区间为，（k∈Z）…18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图可知，“体育迷”有25人，可完成图表，进而可得得k2的近似值，比对表格可得结论．【解答】解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，故可得列联表如下：故可得k2=≈3.03＞2.706，故有90%以上的把握说明“体育迷“与性别有关．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．（1）求证：MN∥平面PAD．（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PD的中点E，连接EN、EA，推导出四边形ENMA为平行四边形，从而MN∥AE，由此能证明MN∥平面PAD．（2）推导出△PAD是等边三角形，MN=PE，由此能求出结果．【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接EN、EA，∵M，N分别是AB，PC的中点，ABCD是平行四边形，∴EN AM，∴四边形ENMA为平行四边形∴MN∥AE，∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．（2）∵E是PD中点，PA=AD=2a，∴AE是∠PAD的平分线，∵MN 与PA 所成的角为30°，MN ∥AE ，∴∠PAE=30°， ∴△PAD 是等边三角形，∴MN=PE==a ．20．已知两定点F 1（﹣，0），F 2（，0），满足条件|PF 2|﹣|PF 1|=2的点P 的轨迹是曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设过点（0，﹣1）的直线与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB|=6，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的应用．【分析】（1）根据条件|PF 2|﹣|PF 1|=2，利用双曲线的定义，可求曲线E 的方程；（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左支交于两点A ，B ，求出k 的范围，再利用|AB|=6，求出k 的值，从而可求直线AB 的方程．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1（﹣，0），F 2（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=，a=1，∴b==1，故曲线E 的方程为x 2﹣y 2=1（x ＜0）．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意建立方程组，消去y ，得（1﹣k 2）x 2+2kx﹣2=0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有，解得﹣＜k ＜﹣1．∵|AB|===2=，∴28k4﹣55k2+25=0，∴或，∵﹣＜k＜﹣1，∴，∴直线AB的方程为．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t ±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0．所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点．不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．∴t﹣1=fmin（x）=f（0）=1，∴t=2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max ﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．（Ⅰ）求C1和C2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l：y=x和曲线C1交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消调参数θ，即可得到普通方程，由极坐标方程即可直接得到普通方程；（Ⅱ）根据韦达定理，即可求出弦MN中点的坐标，再化为极坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=cos2θ+sin2θ=1，所以C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．因为x=ρcosθ，所以C2的普通方程为x=﹣2．（Ⅱ）由，得x2﹣3x+2=0，，弦MN中点的横坐标为，代入y=x得纵坐标为，弦MN中点的极坐标为：[选修4-1：几何证明题选讲]23．如图（1）所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图（2）所示，量得三角形纸片的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）所示的形状．最后将图（3）中的△ABF绕直线AF翻转180°得到△AB1F，AB1交DE于点H，如图（4）所示，请你帮小明证明：AH=DH．【考点】相似三角形的性质．【分析】证明△AHE≌△DHB1，即可证明结论．【解答】证明：△AHE与△DHB1中，∵∠FAB1=∠EDF=30°，∴FD=FA，EF=FB=FB1，∴FD﹣FB1=FA﹣FE，即AE=DB1，又∵∠AHE=∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS），∴AH=DH．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a=3．。

【山西省太原市】2017届高三模拟考试(一)数学(文)试卷-答案

山西省太原市 2017 届高三模拟(文科数学)试卷
答案
一、选择题
1-5：CADBD
6-10：CDDCA
11-12：BA
二、填空题
13. 1 14. x2 y2 1
4 15. 4
3 16. 2n1 2 n(n 1)
2 三、解答题
17.(1)∵ a 2b cosB ,由 a b 得 sinA 2sin B cos B sin 2B , sin A sinB
∴

2m(3a2 a2
4b2 ) 4b2

2m(3a2 4b2 ) 9a2 4b2

4m
,∴
3a2

4b2
,
∴
x1

3m,
y1

1 2
m
,代入椭圆方程得
m2

4 7
b2

b2
,符合题意,
∵ a2 b2 c2 ,∴ e c 1 . a2
21.解(1)由题意得
f
( x)
1/4
19.(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC BD ∵ BE 平面 ABCD ∴ BE AC ∴ AC 平面 BEFD ∴平面 ACF 平面 BEFD (2)设 AC 与 BD 的交点为 O , AB a(a 0) , 由(1)得 AC 平面 BEFD ∵ BE 平面 ABCD ∴ DF BD , ∵ DF / /BE ,∴ BE AC
2ac 由余弦定理得 cos B sin C ,
∵ 0 B,C π ,∴ C B 或 C B
2
2
①当 C π B 时,则 A π ,这与“ b c ”矛盾, A π ；

2017年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)

2017年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2） C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）2．（3分）已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）3．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．334．（3分）已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A． B． C．D．5．（3分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（3分）已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．9．（3分）已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P410．（3分）已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B 两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．1611．（3分）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]12．（3分）设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）已知，若，则实数t=．14．（3分）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．15．（3分）已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为．16．（3分）已知数列{a n}中，，则其前n项和S n=．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20．已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P 两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．四、解答题（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2017年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2） C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）【分析】求解对数型函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，是基础题．2．（3分）已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为a+bi 的形式，从而求得z对应的点的坐标．【解答】解：zi=2﹣i，∴z===﹣1﹣2i，∴复数z在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣2），故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33【分析】利用等差数列等差数列通项公式求出a1+5d=3．即a6=3，由此能求出S11的值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得a1+5d=3．∴a6=3，∴S11===11a6=33．故选：D．【点评】本题考查数列的第31项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（3分）已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A． B． C．D．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合同角的商数关系，以及特殊角的三角函数值，即可得到所求值．【解答】解：=（1，cosα），=（sinα，1），若，可得•=sinα+cosα=0，即有tanα==﹣1，由0＜α＜π，可得α=．故选：B．【点评】本题考查向量数量积的性质，主要是向量的垂直的条件：数量积为0，考查三角函数的求值和同角三角函数的商数关系，考查运算能力，属于基础题．5．（3分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势．【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值得变化趋势，属于基础题6．（3分）已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据圆心到直线l的距离d＞r，列出不等式求出k的取值范围，利用几何概型的概率计算即可．【解答】解：圆C：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为r=1；且圆心到直线l：y=k（x+2）的距离为d==，直线l与圆C相离时d＞r，∴＞1，解得k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，也考查了直线与圆相离的性质与应用问题，是基础题．7．（3分）执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据流程图所示的顺序知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件t的取值范围得分段函数的分类标准，由已知分类讨论即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈[0，4]，当m=0时，n∈[2，4]，n﹣m∈[2，4]，当n=4时，m∈[0，2]，n﹣m∈[2，4]，所以实数n﹣m的最大值为4．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，考查了数形结合思想和分类讨论思想，是基础题目．8．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【分析】由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，即可求出该几何体的表面积．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为2π•1•2+π•12+++1=，故选：D．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．9．（3分）已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．【解答】解：不等式组的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0+1=﹣1，故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；p2：A（﹣1，3）点，﹣2﹣3+2=﹣3，故∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0为真命题；p3：C（0，2）点，=﹣3，故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：C．【点评】本题考查线性规划的解得应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及目标函数的几何意义是解题的关键．10．（3分）已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B 两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】设出直线方程，求出A，B两点的纵坐标的差，利用△AOB的面积．求出直线的斜率，然后求解|AB|，【解答】解：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），由⇒可得y2﹣y﹣4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，|y A﹣y B|=△AOB的面积为，可得：|y A﹣y B|=，，解得k=|AB|=•，|y A﹣y B|=．故选：A．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键，属于中档题，11．（3分）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．【解答】解：f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∈Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则x A=，x B=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．12．（3分）设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．【分析】设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x0，y0）处的切线相同、f′（x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），即x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=由3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），即有b=a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令h（t）=﹣t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1+lnt），于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当2t（1+lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=，故b的最大值为．故选：A．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）已知，若，则实数t=﹣1．【分析】根据题意，由向量、的坐标，计算可得+与﹣的坐标，又由，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，即可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，，则+=（1+t，0），﹣=（1﹣t，﹣2），若，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，解可得t=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，关键是掌握向量平行的坐标表示方法．14．（3分）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x2﹣=m，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m，解可得m=﹣1，则其方程为：x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x2=1，故答案为：﹣x2=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．15．（3分）已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为π．【分析】证明△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1，即O 为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，可得球的体积．【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2又因为AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1∴O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，∴该三棱锥外接球的体积为π，故答案为：π．【点评】本题考查了三棱锥外接球的体积，关键是找到球心，求出半径，属于中档题．16．（3分）已知数列{a n}中，，则其前n项和S n=2n+2﹣4﹣．【分析】数列{a n}中，，可得：a2=0，n≥2时，a n=2a n﹣1+3n﹣4，作差可得a n+1﹣a n=2a n﹣2a n﹣1+3，化为a n+1﹣a n+3=2（a n﹣a n﹣1+3），利用等比数列的通项公式可得a n﹣a n﹣1+3，利用“累加求和”方法可得a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1．再利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，，∴a2=0，n≥2时，a n=2a n﹣1+3n﹣4，∴a n+1﹣a n=2a n﹣2a n﹣1+3，化为a n+1﹣a n+3=2（a n﹣a n﹣1+3），a2﹣a1+3=2．∴数列{a n﹣a n﹣1+3}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n﹣a n﹣1+3=2n，即a n﹣a n﹣1=2n﹣3．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1=﹣3（n﹣1）﹣1=2n+1﹣3n﹣2．∴S n=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．【点评】本题考查了数列递推关系、“累加求和”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．【分析】（1）由正弦定理和正弦函数的性质，即可证明A=2B成立；（2）由余弦定理和正弦、余弦函数的性质，化简求值即可．【解答】解：（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，由，得sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜A，B＜π，∴sinA=sin2B＞0，∴0＜2B＜π，∴A=2B或A+2B=π，若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠π；∴A=2B；（2）∵a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得cosB=sinC，∵0＜B，C＜π，∴或，①当时，则A=2B，且A+B+C=π，解得，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（1）得A=2B，且A+B+C=π，解得A=，B=，C=；综上，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理和正弦、余弦函数的应用问题，是基础题．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．【分析】（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，利用对立事件概率计算公式能求出甲乙两人采用不同分期付款方式的概率．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X 的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采用不同分期付款方式的概率：p=1﹣[P（A）•P（A）+P（B）•P（B）+P（C）•P（C）]=0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）=P（A）P（A）=0.35×0.35=0.1225，P（X=3）=P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5）=P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2×0.45=0.18，P（X=6）=P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴X的分布列为：E（X）=0.1225×2+0.315×3+0.3425×4+0.18×5+0.04×6=3.7．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．【分析】（1）推导出AC⊥BD，BE⊥AC，从而AC⊥平面BEFD，由此能证明平面ACF⊥平面BEFD．（2）设AC与BD的交点为O，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2．设OA=a，（a＞0），由题设得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0，），F（0，﹣，2），设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，取z=2，得=（），设是平面CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，∴=﹣+9=0，解得a=，∵BE⊥平面ABCD，∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，∴AB==2，∴tan．∴直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．20．已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=﹣3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的探究与求法，考查推理谁论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查转化思想、化归思想，是中档题．21．已知函数f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求导，当x=2时，代入f′（x），即可求得a=﹣1，求得点斜式方程，将（﹣4，2ln2）代入点斜式方程，即可求得f′（2），即可求得函数f（x）的单调区间；（2）由题意可知（2lnx+）＞m，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及零点性质，求得（2lnx+）最小值，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R），求导f′（x）=+a+，当x=2时，f′（2）=1+a+f′（2），∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），则切线方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），将（﹣4，2ln2）代入切线方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），则f′（2）=﹣，∴f′（x）=﹣1﹣=≤0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）由不等式恒成立，x＞0，等价于（2lnx+）＞m，设g（x）=（2lnx+），φ（x）=2lnx+，（x＞0）求导φ′（x）=﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，由φ（1）=0，则当0＜x＜1时，φ（x）＞0，g（x）＞0当x＞1时，φ（x）＜0，g（x）＞0，∴g（x）＞0，假设存在正数b，使得g（x）＞b＞0，若0＜b≤1，当x＞时，g（x）=+＜＜b，当b＞1时，＜x＜1时，g（x）=+＜＜b，∴不存在这样的正数b，使得g（x）＞b＞0，∴g（x）的值域为[0，+∞），∴m≤0，实数m的取值范围（﹣∞，0]．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，函数的零点定理，考查转化思想，属于中档题．四、解答题（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．【分析】（1）求出普通方程，再求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，即可求|OA|2+|OB|2的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，利用f（x）﹣f（x+m）=|x ﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，，可得或，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）=|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．【点评】本题考查绝对值不等式的运用，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评(期中)数学试卷Word版含答案

数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}1,0,1,|20M N x x x =-=-≤，则M N ⋂= （） A ．{}1,2A - B ．[]1,2- C ．{}0,1 D ．[]0,1 2. 函数()1lg 12y x x =++-的定义域是（） A ．()1,A -+∞ B ．()()1,22,-⋃+∞ C ．()1,2- D ．()2,+∞ 3. 设函数()(),f x g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x -是偶函数 C ．()()f x g x 是奇函数 D ．()()f x g x 是偶函数 4. 已知等比数列{}n a 中，公比3571,642q a a a ==,则4a =（） A ．1 B ．2 C. 4 D ．85. 设函数()313f x x x m =-+的极大值为1，则函数()f x 的极小值为（） A ．13- B ． 1- C.13D ．16. 函数xe y x=的单调减区间是（）A ．(],1-∞B ．(]1,+∞ C. (]0,1 D ．(),0-∞和(]0,1 7. 在公差3d =的等差数列{}n a 中，242a a +=-，则数列{}n a 的前10项和为（） A ．127 B ．125 C.89 D ．70 8. 函数ln y x x =的图象大致为（）A ．B ． C. D ．9. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-, 则不等式()0f x <的解集为（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C.()1,1- D ．()()1,01,-⋃+∞10. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3249,21S a a ==，数列{}n b 满足()12121...12n n n b b b n N a a a *+++=-∈，若110n b <，则n 的最小值为（） A ．6 B ．7 C.8 D ．911. 已知函数()()1222,0log ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()0f f m <⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围为（） A ． (]()13,1,12,2⎛⎤---+∞ ⎥⎝⎦ B ．(]()21,21,1,log 32⎛⎤-∞--- ⎥⎝⎦C.(]()1,10,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D ．(](]()2,31,01,log 3-∞--12. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若方程()2123f x x x +=+-的零点分别为12,,...,n x x x ，则12,...,n x x x ++=（）A ．nB ．n - C.2n - D ．3n -第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知集合{}{}1,2,3,4,1,2A B ==，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为 __________. 14. 设曲线1y x=在点()1,1处的切线与曲线xy e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23122n S n n n N *=-∈,数列{}n b 满足()23log 2n n a b n N *=-∈, 则数列{}n n a b 的前n 项和n T = _________.16. 已知函数()()237,22x f x g x x x x --==-+,若存在实数(),2a ∈-∞-，使得()()0f a g b +=成立，则实数b 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知集合{}{}|1216,|xA xB y y x A =<≤==∈.（1）求A B ⋂; （2）若()21log ,f x x x A B x=-∈⋂求函数()f x 的最大值. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足(){}21,n n n S a n N b *=-∈是等差数列，且1143,b a b a ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()112n n n n c n N a b b *+=-∈,求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()(),204,12,02kx f x f x f x x x x ⎧-≤≤⎪+==-⎨⎪+<<⎩，且()()311f f =-. （1）求实数k 的值 ;（2）若函数()()()()22g x f x f x x =+--≤≤,求()g x 的值域. 20.（本小题满分12分）已知函数()()21ln 112f x x x mx m x =+-++. （1）若()()'g x f x =,讨论()g x 的单调性;（2）若()f x 在1x =处取得极小值，求实数m 的取值范围 . 选修4-4：坐标系与参数方程一、选择题：（本大题共2小题，每题5分，满分10分） 1. 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 ( )A.1B.32. 在平面直角坐标系中，若直线y x =与直线1cos ,(sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩是参数，0θπ≤<)垂直,则θ= A.6πB.4πC.23π D.34π 二、填空题3. 在平面直角坐标系中，曲线cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩是参数)与曲线cos 3(sin3x t t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数)的交点的直角坐标为_________.4. 在极坐标系中，曲线1cos ρθ=+与cos 1ρθ=的交点到极点的距离为_________.三、解答题5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为(sin x aa y a⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数) ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin cos ρθθ=+.（1）求曲线12,C C 的直角坐标方程;（2）已知点,P Q 分别是线12,C C 的动点，求PQ 的最小值. 选修4-5：不等式选讲一、选择题：（本大题共2小题，每题5分，满分10分）1. 不等式231x +<的解集为（）A.()2,1--B.()(),21,-∞-⋃-+∞C.()1,2D.()(),12,-∞⋃+∞2. 关于x 的不等式12x x m -++≥在R 上恒成立，则实数m 的取值范围为（） A.()1,+∞ B.(],1-∞ C.()3,+∞ D.(],3-∞二、填空题3. 不等式21x x <-的解集为 _________.4. 若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题5. 已知()211f x x x =+--. （1）画出函数()f x 的图象; （2）解不等式()1f x >.山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评（期中）数学试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. CBCDA 6-10. DCBAC 11-12. BB 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 3 14. ()0,1 15. ()110352n n ++- 16. ()1,3- 三、解答题17.解：（1）{}041216,222,04,|04xxx A x x <≤∴<≤<≤∴=<≤,(](]{}(]0,4,0,2,|02.0,2x y x B x x A B ∈∴=∈=<≤∴=.当1n =时，111121,1S a a a ==-∴=，所以n a 是以1为首项，2为公比的等差数列，所以12n n a -=，11431,4,n b a b a b n ====∴=.（2）()1111221122211n n n n n n c a b b n n n n --+⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭， 111111111112221 (22121223121112)n n n n T n n n n ---⎛⎫⎛⎫∴=--+-++-=---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭- 19.解：（1）由题意可得()()()()111212,31412f f f f -=+-==-+=-=，所以可得2,411kk ==---. （2）由()4,2012,02x f x x x x -⎧-≤≤⎪=-⎨⎪+<<⎩得()44,20,02112,022,20x x f x x x x x x x --⎧⎧-<-<<<⎪⎪-==--+⎨⎨⎪⎪-+<-<-+-<<⎩⎩， ()()()42,02142,2018,2238,0x x x x x g x f x f x x x x ⎧++<<⎪+⎪-⎪-+-<<⎪∴=+-=-⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩或，当02x <<时，113x <+<，所以()44211111g x x x x x =++=+++≥++在()214x +=即1x =处取得最小值，所以()g x 在()0,1处单调递减，在[)1,2上单调递增，当0x →时，()04lim 261x g x x x →⎛⎫==++= ⎪+⎝⎭，当2x →时，()2416lim 213x g x x x →⎛⎫=++= ⎪+⎝⎭，所以()g x 在()0,2上的值域为[)5,6.当20x -<<时，()()4113,1151x g x x x<-<∴=+-+≥-；当()214x -=，即1x =-时取得最小值；当2x →-时，()2416lim 213x g x x x →-⎛⎫=-+= ⎪-⎝⎭；当0x →时，()()04lim 26,1x g x x g x x →⎛⎫==-+=∴ ⎪-⎝⎭在()2,0-上的值域为[)5,6.综上所述，()g x 的值域为[){}85,683⎧⎫⎨⎬⎩⎭.20.解：（1） ()()()()()11'1ln 10,'mxg x f x x mx m x g x m x x+==++-+>=+=. ①0m =时，当0x >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,+∞上为增函数；②0m >时，当0x >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,+∞上为增函数；③0m <时，令 ()'0g x =，得1x m=-，所以当10,x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()'0g x >；当1,x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，综上所述，0m ≥时，()g x 在()0,+∞上为增函数；0m <时，()g x 在10,m ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）()()'ln 1f x x m x =+-.当0m ≥时，()'f x 单调递增，恒满足()'10f =，且在1x =处单调递增，当0m <时，()'f x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故11m ->即10m -<<.综上所述，m 取值范围为()1,-+∞.选修4-4：坐标系与参数方程一、选择题（本大题共2小题，每题5分，满分10分） 1-2. BD 二、填空题3. 11,22⎛- ⎝4. 三、解答题5.解：（1）2212:1,:403x C y C x y +=+-=.（2）设)min ,sin ,Pa a d ==.选修4-5：不等式选讲一、选择题（本大题共2小题，每题5分，满分10分） 1-2.AD 二、填空题3.1x >4. (],3-∞- 三、解答题5.解：（1）当x ≥ 时，()()()2113f x x x x =+--=+;当11x -<<时，()()()21131f x x x x =+--=+；当x ≥ 时，()()()2113f x x x x =-+--=--，所以()3,131,113,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩.(2)根据图象可得()1f x =时，4x =-或1-或23-或0，所以()1f x =的解集为 ()()2,41,0,3⎛⎫-∞-⋃--⋃+∞ ⎪⎝⎭.。

2017届山西省太原市高三数学(理)一模试题答案

2017 届山西省太原市高三数学（理）一模试题答案一、选择题（共12 小题，每题 3 分，满分 36 分）1．已知会合 A={ x| y=lg（ x+1） } ， B={ x|| x| ＜2} ，则 A∩ B=（）A．（﹣ 2，0）B．（0，2） C．（﹣ 1，2）D．（﹣ 2，﹣ 1）【解答】解：由 x+1＞0，得 x＞﹣ 1∴ A=（﹣ 1， +∞），B={ x|| x| ＜ 2} =（﹣ 2，2）∴ A∩ B=（﹣ 1， 2）．应选： C2．已知 zi=2﹣ i，则复数 z 在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣ 1，﹣ 2）B．（﹣ 1， 2） C．（ 1，﹣ 2）D．（1，2）【解答】解： zi=2﹣ i，∴ z===﹣1﹣2i，∴复数 z 在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣ 2），应选： A．3．已知 S n是等差数列 { a n } 的前 n 项和， 2（ a1+a3+a5）+3（a8+a10） =36，则 S11=（）A．66 B．55 C．44D．33【解答】解：∵ S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和， 2（ a1 +a3+a5） +3（a8+a10）=36，∴2（ a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得 a1+5d=3．∴ a6=3，∴ S11=6．==11a =33应选： D．4．已知=（ 1， cos α）， =（sin α，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．【解答】解：=（ 1， cosα）， =（ sin α，1），若，可得? =sin α+cosα=0，即有 tan α==﹣1，由 0＜α＜π，可得α= ．应选： B．5．函数的图象大概为（）A．B．C．D．【解答】解： f（﹣ x）==﹣=﹣ f（ x），∴函数 f（x）为奇函数，则图象对于原点对称，故排A， B，当 x=时，f（）==应选： D6．已知圆 C：x2+y2=1，直线 l：y=k（x+2），在 [ ﹣1，1] 上随机选用一个数k，则事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆 C：x2+y2=1 的圆心为（ 0， 0），半径为 r=1；且圆心到直线 l：y=k（ x+2）的距离为d==，直线 l 与圆 C 相离时 d＞r ，∴＞1，解得 k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．应选： C．7．履行如图框图，已知输出的s∈[ 0， 4] ，若输入的 t∈ [ m， n] ，则实数 n﹣ m 的最大值为（A．1B．2C．3D．4【解答】解：模拟履行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈0，4，[]当 m=0 时， n∈[ 2，4] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，当 n=4 时， m∈[ 0，2] ， n﹣m ∈[ 2， 4] ，因此实数 n﹣m 的最大值为 4．应选： D．8．某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为21=，2π?1?2 π?1++++应选 D．9．已知 D=，给出以下四个命题：P1： ? （x，y）∈ D， x+y+1≥0；P2： ? （x，y）∈ D， 2x﹣y+2≤0；P3： ? （x，y）∈ D，≤﹣4；P4： ? （x，y）∈ D， x2+y2≤ 2．此中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【解答】解：不等式组的可行域如图，p1： A（﹣ 2，0）点，﹣ 2+0+1=﹣1，故 ? （x，y）∈ D，x+y≥ 0 为假命题；p2： A（﹣ 1，3）点，﹣ 2﹣3+2=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，2x﹣y+2≤0 为真命题；p3： C（ 0， 2）点，=﹣3，故 ? （x，y）∈ D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣ 1， 1）点， x2+y2=2故 ? （x，y）∈ D，x2+y2≤2 为真命题．可得选项 p2，p4正确．应选： C．10．已知抛物线 y2=4x 的焦点为点 F，过焦点 F 的直线交该抛物线于A、B 两点，O 为坐标原点，若△ AOB的面积为，则| AB| =（）A．6B．8C．12D．16【解答】解：抛物线 y2=4x 焦点为 F（ 1，0），设过焦点 F 的直线为： y=k（x﹣1），由? 可得 y2﹣y﹣ 4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，| y A﹣y B| =△ AOB的面积为，可得：| y A﹣y B| =，，解得 k=| AB| =?， | y A﹣y B| =．应选： A．11．已知函数 f（x）=sin ωx﹣cos ωx（ω＞ 0），若方程 f （x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．（，] D．（，]【解答】解： f（x） =2sin（ωx﹣），作出 f （x）的函数图象以下图：令 2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣2kπ，或ωx﹣ =2kπ，++∴ x=+，或 x=+k Z，， ?设直线 y=﹣1 与 y=f（ x）在（ 0，+∞）上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B，则 x A=，x B=，∵方程 f（x）=﹣1 在（ 0，π）上有且只有四个实数根，∴ x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．应选 B．12．设函数 f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程同样，则实数 b 的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设 y=f（x）与 y=g（ x）（x＞0）在公共点 P（x0，y0）处的切线同样、f （′x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意 f（x0） =g（x0），f ′（x0）=g′（x0），即 x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=由 3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），即有 b= a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令 h（t） =﹣ t2﹣t2 lnt（ t＞0），则 h′（t） =2t（ 1+lnt ），于是当 2t（1+lnt ）＞ 0，即 0＜t＜时， h′（ t）＞ 0；当 2t（1+lnt）＜ 0，即 t ＞时， h′（t ）＜ 0．故 h（t）在（ 0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是 h（t ）在（ 0， +∞）的最大值为h（）=，故 b 的最大值为．应选 A．二、填空题（共 4 小题，每题 3 分，满分 12 分）13．已知，若，则实数t=﹣1．【解答】解：依据题意，，则 + =（1+t ，0），﹣=（1﹣t ，﹣ 2），若，则有（ 1+t）×（﹣ 2）=（1﹣t ）× 0=0，解可得 t=﹣1；故答案为：﹣ 1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1．【解答】解：依据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则能够设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有 1﹣=m，解可得 m=﹣ 1，则其方程为： x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣ x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥 A﹣BCD中， BC⊥CD， AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体π ．【解答】解： BC⊥CD， BC=1， CD=，∴ DB=2又因 AB=AD=，∴△ ABD是直角三角形．取 DB 中点 O， OA=OB=OC=OD=1∴ O 三棱外接球的球心，外接的半径R=1，∴ 三棱外接球的体π，故答案：π．16．已知数列 { a n} 中，，其前n和S n=2n+2 4．【解答】解：∵数列 { a n } 中，，∴a2=0，n≥2 ， a n=2a n﹣1 +3n 4，∴a n+1 a n=2a n 2a n﹣1+3，化 a n+1 a n+3=2（a n a n﹣1+3），a2 a1+3=2．∴数列 { a n a n﹣1 +3} 是等比数列，首 2，公比 2．∴a n a n﹣1+3=2n，即 a n a n﹣1 =2n 3．∴a n=（ a n a n﹣1）+（a n﹣1 a n﹣2）+⋯+（ a2 a1）+a1=2n 3+2n﹣1 3+⋯+22 3 1= 3（n 1） 1=2n+13n 2．∴ S n=3×2n=2n+2﹣4﹣．故答案为： 2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知 a，b，c 分别是△ ABC的内角 A， B，C 所对的边， a=2bcosB， b≠ c．（1）证明： A=2B；（2）若 a2+c2=b2+2acsinC，求 A．【解答】解：（1）证明：△ ABC中， a=2bcosB，由，得 sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜ A， B＜π，∴ sinA=sin2B＞ 0，∴ 0＜ 2B＜π，∴A=2B或 A+2B=π，若 A+2B=π，则 B=C，b=c 这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠ π；∴A=2B；（2）∵ a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得 cosB=sinC，∵ 0＜ B， C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（ 1）得 A=2B，∴，∴．18．某著名品牌汽车深受花费者喜欢，但价钱昂贵．某汽车经销商推出 A、B、C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期 100 位采纳上述分期付款的客户进行统计剖析，获取以下的柱状图．已知从 A、 B、 C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车 1 俩所获取的收益分别是 1 万元， 2 万元， 3 万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采纳上述分期付款方式各购置此品牌汽车一辆．以这100 位客户所采纳的分期付款方式的频次取代 1 位客户采纳相应分期付款方式的概率．（ 1）求甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率；（ 2）记 X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，求 X 的散布列与希望．散布列．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35， P（ B） ==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采纳不一样分期付款方式的概率：p=1﹣ [ P（A）?P（A）+P（ B） ?P（B）+P（C）?P（ C） ] =0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获取的收益，则 X 的可能取值为 2，3，4，5，6，P（X=2） =P（A）P（A）=0.35× 0.35=0.1225，P（X=3） =P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（ A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5） =P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2× 0.45=0.18，P（X=6） =P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴ X 的散布列为：X23456P0.12250.3150.34250.180.04E（X）=0.1225×2 0.315×3 0.3425× 4 0.18× 5 0.04× 6=3.7．++++19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， BE⊥平面 ABCD，DF∥BE，且 DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面 ACF⊥平面 BEFD（2）若二面角 A﹣EF﹣ C 是二面角，求直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值．标系，利用向量法能求出直线AE与平面 ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴ AC⊥平面 BEFD，∵AC? 平面 ACF，∴平面 ACF⊥平面 BEFD．解：（ 2）设 AC 与 BD的交点为 O，由（ 1）得 AC⊥BD，分别以 OA，OB 为 x 轴， y 轴，成立空间直角坐标系，∵BE⊥平面 ABCD，∴ BE⊥BD，∵DF∥BE，∴ DF⊥BD，222∴ BD=EF﹣（ DF﹣BE） =8，∴ BD=2 ．设 OA=a，（ a＞ 0），由题设得 A（a，0，0），C（﹣ a， 0， 0），E（0，），F（0，﹣，2），设 m=（x， y， z）是平面 AEF的法向量，则，取 z=2，得=（），设是平面 CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角 A﹣EF﹣ C 是直二面角，∴=﹣ +9=0，解得 a= ，∵BE⊥平面 ABCD，∴∠ BAE是直线 AE与平面 ABCD所成的角，∴ AB==2，∴ tan．∴直线 AE与平面 ABCD所成角的正切值为．20．已知椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C订交于A、P两点，与 x 轴、 y 轴分别订交于点 N 和 M ，且 PM=MN，点 Q 是点 P 对于 x 轴的对称点， QM 的延伸线交椭圆于点 B，过点 A、B 分别作 x 轴的垂涎，垂足分别为 A1、B1（1）求椭圆 C 的方程；（2）能否存在直线 l，使得点 N 均分线段 A1B1？若存在，求求出直线 l 的方程，若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）∵椭圆 C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个极点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得 a2，2，=4 b =3∴椭圆 C 的方程为．（ 2）假定存在这样的直线l：y=kx+m，∴ M（0，m ），N（﹣，0），∵ PM=MN，∴ P（，2m），Q（），∴直线 QM 的方程为 y=﹣3kx+m，设 A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设 B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴ x2+ =，∴2﹣，x =∵点 N 均分线段 A1 1，B ，∴∴﹣=﹣，∴ k=，∴ P（± 2m，2m），∴，解得m=，∵ | m| =＜b=，∴△＞0，切合题意，∴直线 l 的方程为 y=．21．已知函数 f（x）=2lnx+ax﹣（a∈ R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（ 1）议论函数 f （x）的单一性（ 2）若不等式恒成立，务实数m的取值范围．【解答】解：（1）由（f x）=2lnx ax﹣（ a∈R），求导 f（′x）= a，++ +当 x=2 时， f ′（ 2） =1+a+f ′（2），∴ a=﹣1，设切点为（ 2，2ln2+2a﹣2f ′（2）），则切线方程y﹣（ 2ln2+2a﹣2f ′（2）） =f ′（2）（ x﹣2），将（﹣ 4，2ln2）代入切线方程， 2ln2﹣2ln2﹣2a+2f （′2））=﹣6f （′ 2），则 f （′2）=﹣，∴ f （′ x）= ﹣ 1﹣ =≤ 0，∴ f（x）在（ 0， +∞）单一递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx）＞ m，+令φ x）=2lnx，（ x＞ 0）求导φ′（x）= ﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，（+∴ φ（ x）在（ 0，+∞）单一递减，由φ（1）=0，则当 0＜x＜1 时，φ（x）＞ 0，当 x＞1 时，φ（ x）＜ 0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数 m 的取值范围（﹣∞， 0] ．四、解答题（共 1 小题，满分 10 分）22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（，此中φ为参数），曲线，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，射线 l：θ=α（ρ≥0）与曲线 C12，C 分别交于点 A，B（均异于原点 O）（ 1）求曲线 C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求OA2OB 2的取值范围．||+||【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线 C1的极坐标方程为，∵ x2+y2﹣ 2y=0，∴曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin；θ2）由（ 1）得，OB222α（ρ||==4sin，∴∵，∴ 1＜ 1+sin2α＜，∴，2∴| OA| 2+| OB| 2的取值范围为（ 2，5）．五、解答题（共 1 小题，满分 0 分）23．已知函数（1）若不等式 f （x）﹣ f（ x+m）≤ 1 恒成立，务实数 m 的最大值；（2）当 a＜时，函数 g（x） =f（x）+| 2x﹣ 1| 有零点，务实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣ f（x+m ）=| x﹣a| ﹣ | x+m﹣ a| ≤| m| ，∴| m| ≤1，∴﹣ 1≤m≤1，∴实数 m 的最大值为 1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数 a 的取值范围是．。

太原市2017年-2018年第一学期高三年级阶段性测评数学试题

2017-2018高三数学期中考试总体分析1.难度综述:期中考试总体难度不大,和往年保持—致,相较于期末考试和下学期的三次模拟考试较简单,只有在毎个题型的最后一两道题设置了难点,前面题目均属于常规题2.考察内容主要考察内容在函数、导数、数列和选修部分3.题目难度分析基础题:选择1-7,填空13-14,大题17-19、选修部分中档题:选择8-10,填空15,难题:选择11-12,填空16,大题20题,涉及到导数含参分类讨论,根据形式构造原函数并综合应用奇偶性和单调性,难度较大。

4.易错题聚焦:其中易错题有:选择9(容易忘记考虑临界点的大小)大题18(错位相减会做但结果易算错),极坐标系与参数系3(直线方程不是标准式,容易直接代入求解),极坐标系与参数方程4(直线方程写出容易忽略范围),以上题如果岀错说明做题不够细致,这些题一定是平时做过的,出错则说明对平时的易错点不够警惕5.成绩综述100分以下说明函数基础、数列、选修基础薄弱,需要在这三章的基础题型上下功夫提升100-115分之间说明基础知识原理掌握,但灵活应用度不够,需要做函数、数列、选修部分的中档偏难一些的题目提升综合应用水平115-130分之间说明可以做一些偏难的题,但水平不稳定,选择墳填空大题的各道压轴题有时能做对有时做不对,需要集中做压轴水平的题目使解难题的水平稳定下来。

130分以上说明综合函数导数部分综合应用水平稳定,学习力强,在后续几章的轮复习中持续关注各章节的难题,形成解难题的思维框架。

（旭日整理）太原市2017-2018学年第一学期高三年级阶段性测评数学试题及解析（）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置)1.已知集合{}268A x y x x ==-+-,集合{}2log ,B y y x x A ==∈,则RA B =A.[1,2]B.(1,2]C.[2,4]D.(2,4] 【答案】D 【解析】()226806802(4)0[2,4]x x x x x x x -+-≥∴-+≤∴--≤∴∈∴[2,4]A =[]222log ,[2,4]log 2,log 4y x x y =∈∴∈即[]1,2y ∈∴[]1,2B =∴()()(][2,4],12,2,4RAB =-∞+∞=⎡⎤⎣⎦2.下列选项中,相等的一组函数是A. y =1 , y=0x B.y=x+1,y=2x x x+ C. ()22,y x y x ==D.y=x-1,y=t-1【答案】D【解析】相等的函数的条件是定义域和对应法则均相等A,B,C 定义域不一样 3.设等差数列|a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72,则a 5= A.6 B.8C.9 D.18 【答案】B【解析】∵S 9=9 a 5=72∴a 5=84函数()321313f x x x x =+--在[0,2]上的最小值为 A. 83- B. 83C.1D.-1【答案】A【解析】()223(3)(1)f x x x x x '=+-=+-导函数根轴图和函数趋势图如右图. ∴()()18min 113133f x f ==+--=- 5已知函数f(x)是偶函数,且对任意x ∈R 都有f(x+3)=-f(x),若当x ∈35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时,()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则f(31)=A. 14-B.4C.-4D. 14【答案】A【解析】∵ f(x+3)=-f(x) ∴f(x)的周期T=6，∴f(31)= f(1+6×5)= f(1)∵f(x)是偶函数∴f(1)= f(-1)=- f(-1+3)=- f(2)=21124⎛⎫-=- ⎪⎝⎭6、设函数f(x)=g(x)+x 2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A. 14-B.4C.2D. 12- 【答案】B【解析】∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1∴()12g '= ∵()()2f x g x x ''=+∴()()1124f g ''=+=7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还,“其大意为:“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为做一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第5天走了 A.48里B.24里C.12里D.6里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q=的等比数列，由S 6=378，得S 6=，解得：a 1=192，∴，此人第5天走了12里．8.函数f(x)=1cos x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象的一部分可能是【答案】C【解析】∵ f(x)=1cos x x ⎛⎫-⎪⎝⎭∴f(-x)=()11cos cos x x x x -=∴f(x)=- f(-x)∴f(x)奇函数，图像关于原点对称排除AB ，0x +→，f(x)<0 排除D. 9,已知函数()()213,2log (1),2a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩对任意的实数12x x ≠都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,则实数a 的取值范围是A.(0,1)B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 21,72⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,17⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦∴()f x R 上减函数∴()2102101,722123log (21)a a a a a a -<⎧⎪⎡⎫<<⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪-+≥-⎩10.在数列{}n a 中,121,2a a ==,若2122n n n a a a ++=-+则a 16等于 A.224B.225 C.226D.227 【答案】C【解析】∵2122n n n a a a ++=-+∴()()2112n n n n a a a a +++-=-+ ∴{}1n n a a +-是以211a a -=为首项，2为公差的等差数列 ∴112(1)21n n a a n n +-=+-=-∴()()()()1621321615112151a a a 1512262a a a a a +⨯-=-+-++-+=⨯+=11.设函数f(x)为R 上的可导函数,对任意的实数x,有f(x)=2018x 2-f(-x),且x ∈(0,+∞)时,()f x '-2018x>0则关于实数m 的不等式f(m+1)-f(-m)≥2018m+1009的解集为 A. [)3,+∞ B 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.[1，2] D 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】 ∵f(x)+ f(-x)=2018x 2，∴()f x ()()22100910090x f x x -+---=构造函数()()g x f x =-1009x 2()()2018g x f x x ''∴=-，()()0g x g x +-=∴()g x 是奇函数 ∵x ∈(0,+∞)时()f x '-2018x>0∴()g x 在(0,+∞)上单调递增 ∵()g x 是奇函数 ∴()g x ()g x 在R 上单调递增∵f(m+1)-f(-m)≥2018m+1009，()()21009f x g x x =+∴()()()2211009110092018m 1009g m m g m m ⎡⎤+++--+≥+⎣⎦∴()()1g m g m +≥-∴112m m m +≥-∴≥-12.函数f(x)=(kx+4)lnx-x(x>1),若f(x)>0的解集为(s,t),且(s,t)中只有一个整数,则实数k 的取值范围是 A 1142,ln 2ln 33⎛⎫--⎪⎝⎭B 1142,ln 2ln 33⎛⎤--⎥⎝⎦C 141,1ln 332ln 2⎛⎤-- ⎥⎝⎦D.141,1ln 332ln 2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】令f （x ）＞0，得：kx+4＞，令g （x ）=，则g′（x ）=，令g′（x ）＞0，解得：x ＞e ，令g′（x ）＜0，解得：1＜x ＜e ，故g （x ）在（1，e ）递增，在（e ，+∞）递减，画出函数草图，如图示：结合图象，解得：﹣2＜k ≤﹣，二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.设命题p:,2000,x R x x ∃∈>则命题:P ⌝__________ 【解析】2:,P x R x x ⌝∀∈≤14.已知集合(){}2220A x x a x a =-++≥,{}B x b x c =<<,若AUB=R,A ∩B=(-1,1],则a+b+c=_________【解析】()(){}20A x x x a =--≥ ① 2a >则(][),2,A a =-∞+∞可知不能满足AUB=R,A ∩B=(-1,1] ② 2a <则(][),2,A a=-∞+∞∵A ∩B=(-1,1],AUB=R 则b=-1,c=2,a=1 ∴a+b+c=2 15.已知{}n a 是等比数列,a 1=4,a 4=12,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=_________ 【解析】∵{}n a 是等比数列 ∴33411112482a a q q q =∴==∴=∴212a a q ==∴()()12211111n n n n n a a a q a q aq --+==∴22311n n n a a a q --=∴211n n n n a a q a a +-=∴{}1n n a a +是以12a a =8为首项，14为公比的等比数列 ∴a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=1814321113414n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 16.设函数f(x)=1,1log 11,1ax x x =⎧⎨-+≠⎩,a>0且a ≠1,若函数g(x)=[f(x)]2+bf(x)+c有三个零点x 1,x 2,x 3,则x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=________【解析】分拆函数()2()t f x g x y t bt c =⎧⎨==++⎩画出函数f （x ）图像如右图，图像关于x=1对称由题意，只有当t=f （x ）=1时，它有三个根． ∵f(0)=1∴f （2）=1∴g(x)的三个零点分别是0，1，2．故则x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=0+2+0=2．三、解答题(本大题共4小题,共40分,解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设U=R,{}22520A x x x =-+≤1,{}20B x x m =+< (I)当m=-4时,求AUB,UA(Ⅱ)若(UA)∩B=B,求实数m 的取值范围【解析】解不等式22520x x -+≤得122x ≤≤∴1,22A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∴UA=()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭(I)当m=-4时, 解不等式240x -<得22x -<<即B=（-2,2） ∴AUB=(]2,2-U A=()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭(Ⅱ)∵(UA)∩B=B ∴UB A ⊆①B=∅，此时m≥0（图像不存在x 轴下方部分） ②B ≠∅，此时m<0,则20x m x +<⇒<<U 00122m m B A <⎧<⎧⎪⊆⇒⎨⎨-≥-⎪⎩⎪⎩或解得104m -≤<或40m -≤<即40m -≤< 综上所述[)4,m ∈-+∞ 18.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,S n =n 2+n(I)求{}n a 的通项公式(Ⅱ)若{}n b 为等比数列,且b 1=a 4,b 2=a 6,求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .【解析】(I)2111,112n a S ===+=时()()22n 12,112n n n a S S n n n n n -⎡⎤≥=-=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦时 ∴n 2a n =(Ⅱ)14268,12b a b a ====∵{}n b 为等比数列 ∴2132b q b == ∴1382n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴1283n n n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴121n 2n 1222T 1230833321222T 0 238333n nn n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴1121n 2213311222212T 1123833338313n n n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-++++=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()122121233383383n n nn n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ∴n T =()()-3-132329338383nn n n n ⎡⎤+⎛⎫-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦19.(本小题满分10分)某工厂生产某种产品,每日的销售额f(x)(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数()1835,06814,6,x x f x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 每日的成本g(x)(单位:万元)与日产量x 满足下图所示的函数关系,已知每日的利润Q(x)=f(x)-g(x).(I)求Q(x)的解析式;(Ⅱ)当日产量为多少吨时,每日的利润达到最大,并求出最大值. 【解析】(I)由图像可知g （x ）=x+3∴Q(x)=f(x)-g(x)=1822,06811,6,x x x x x ⎧++<<⎪-⎨⎪-≥⎩ （Ⅱ）当x ≥6时，Q （x ）=11﹣x 为单调递减函数，故当x=6时，Q （x ）max =5，当0＜x ＜6时，Q(x)=2x++2=2（x ﹣8）++18≤6，当且仅当2（x ﹣8）=（0＜x ＜6），即x=5时，Q(x)max =6，综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元． 20.(本小题满分10分) 已知函数f(x)=1ln ()ax ax a R x--+∈ (I)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)是否存在a ∈R,使得函数f(x)存在三个零点;若存在,请求解a 的取值范围;若不存在,请说明理由.选修4-4极坐标与参数方程一、选择题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的请将其字母代码填入下表相应位置)1.极坐标方程ρcos θ=2sin2θ表示的曲线为A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆【答案】C【解析】cos 2sin24sin cos ρθθθθ==当cos θ≠0时，222=4sin =4sin 40x y y ρθρρθ⇒⇒+-=表示一个圆当cos θ=0时，322ππθθ==或表示直线2.圆5cos ρθθ=-的圆心极坐标是A.(-5,、23π-)B.(5,53π)C.(5,23π-)D.(-5,53π) 【答案】B【解析】2255cos 2522x y ρθθ⎛⎛⎫=-⇒-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭圆心坐标为5,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭25,tan 52ρθ-=====∵θ为四象限角∴53πθ= 二、填空题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分)3.直线122112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为__________【解析】直线消去t 可得x+y-1=0. 圆x 2+y 2=4的圆心（0,0），半径r=2圆心到直线距离为d ==截得的弦长为==4.与参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)等价的普通方程是__________【解析】221sin 2,1sin 2x y x x y θθ⎧=+⎡⇒=∈⎨⎣=+⎩三、解答题(本大题共1小题,满分10分,解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)5.(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=1,以极点为原点,极轴为x 正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为11222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) (I)写出l 与曲线C 的普通方程;(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C ′,设曲线C ′上任一点为M(m,n)求的最小值. 【解析】（1）直线l 的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x ﹣1）代入下式得根据ρ2=x 2+y 2，进行化简得C ：x 2+y 2=1（2）∵代入C 得∴设椭圆的参数方程为参数）则则的最小值为﹣4．。

太原2017年-2018年第一学期高三年级阶段性测评期中

太原市2017-2018学年第一学期高三年级阶段性测评（期中）数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置)1.已知集合{}268A x y x x ==-+-,集合{}2log ,B y y x x A ==∈,则RA B =A.[1,2]B.(1,2]C.[2,4]D.(2,4] 【答案】D 【解析】()226806802(4)0[2,4]x x x x x x x -+-≥∴-+≤∴--≤∴∈∴[2,4]A =[]222log ,[2,4]log 2,log 4y x x y =∈∴∈即[]1,2y ∈∴[]1,2B =∴()()(][2,4],12,2,4RAB =-∞+∞=⎡⎤⎣⎦2.下列选项中,相等的一组函数是A. y =1 , y=0x B.y=x+1,y=2x x x+ C. ()22,y x y x ==D.y=x-1,y=t-1【答案】D【解析】相等的函数的条件是定义域和对应法则均相等A,B,C 定义域不一样 3.设等差数列|a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72,则a 5= A.6 B.8 C.9 D.18 【答案】B【解析】∵S 9=9 a 5=72∴a 5=84函数()321313f x x x x =+--在[0,2]上的最小值为 A. 83- B. 83 C.1 D.-1【答案】A【解析】()223(3)(1)f x x x x x '=+-=+- 导函数根轴图和函数趋势图如右图. ∴()()18min 113133f x f ==+--=- 5已知函数f(x)是偶函数,且对任意x ∈R 都有f(x+3)=-f(x),若当x ∈35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时, ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则f(31)= A. 14-B.4C.-4D. 14【答案】A【解析】∵ f(x+3)=-f(x) ∴f(x)的周期T=6，∴f(31)= f(1+6×5)= f(1)∵f(x)是偶函数∴f(1)= f(-1)=- f(-1+3)=- f(2)=21124⎛⎫-=- ⎪⎝⎭6、设函数f(x)=g(x)+x 2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A. 14-B.4C.2D. 12- 【答案】B【解析】∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1∴()12g '= ∵()()2f x g x x ''=+∴()()1124f g ''=+=7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还,“其大意为:“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为做一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第5天走了A.48里B.24里C.12里D.6里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q=的等比数列，由S 6=378，得S 6=，解得：a 1=192，∴，此人第5天走了12里．8.函数f(x)= 1cos x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象的一部分可能是【答案】C【解析】∵ f(x)= 1cos x x ⎛⎫-⎪⎝⎭∴f(-x)= ()11cos cos x x x x -=∴f(x)=- f(-x)∴f(x)奇函数，图像关于原点对称排除AB ，0x +→，f(x)<0 排除D.9,已知函数()()213,2log (1),2aa x a x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩对任意的实数12x x ≠都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,则实数a 的取值范围是A.(0,1)B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 21,72⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 2,17⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦∴()f x R 上减函数∴()2102101,722123log (21)a a a a a a -<⎧⎪⎡⎫<<⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪-+≥-⎩10.在数列{}n a 中, 121,2a a ==,若2122n n n a a a ++=-+则a 16等于 A.224 B.225 C.226 D.227 【答案】C【解析】∵2122n n n a a a ++=-+∴()()2112n n n n a a a a +++-=-+ ∴{}1n n a a +-是以211a a -=为首项，2为公差的等差数列 ∴112(1)21n n a a n n +-=+-=- ∴()()()()1621321615112151a a a 1512262a a a a a +⨯-=-+-++-+=⨯+=11.设函数f(x)为R 上的可导函数,对任意的实数x,有f(x)=2018x 2-f(-x),且x ∈(0,+∞)时, ()f x '-2018x>0则关于实数m 的不等式f(m+1)-f(-m)≥2018m+1009的解集为 A. [)3,+∞ B 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.[1，2] D 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】∵f(x)+ f(-x)=2018x 2，∴()f x ()()22100910090x f x x -+---=构造函数()()g x f x =-1009x 2()()2018g x f x x ''∴=-，()()0g x g x +-=∴()g x 是奇函数 ∵x ∈(0,+∞)时()f x '-2018x>0∴()g x 在(0,+∞)上单调递增 ∵()g x 是奇函数∴()g x ()g x 在R 上单调递增∵f(m+1)-f(-m)≥2018m+1009，()()21009f x g x x =+∴()()()2211009110092018m 1009g m m g m m ⎡⎤+++--+≥+⎣⎦∴()()1g m g m +≥-∴112m m m +≥-∴≥-12.函数f(x)=(kx+4)lnx-x(x>1),若f(x)>0的解集为(s,t),且(s,t)中只有一个整数,则实数k 的取值范围是 A 1142,ln 2ln 33⎛⎫--⎪⎝⎭ B 1142,ln 2ln 33⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C 141,1ln 332ln 2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D. 141,1ln 332ln 2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】令f （x ）＞0，得：kx+4＞，令g （x ）=，则g ′（x ）=，令g ′（x ）＞0，解得：x ＞e ，令g ′（x ）＜0，解得：1＜x ＜e ，故g （x ）在（1，e ）递增，在（e ，+∞）递减，画出函数草图，如图示：结合图象，解得：﹣2＜k ≤﹣，二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.设命题p:, 2000,x R x x ∃∈>则命题:P ⌝__________【解析】2:,P x R x x ⌝∀∈≤14.已知集合(){}2220A x x a x a =-++≥,{}B x b x c =<<,若AUB=R,A ∩B=(-1,1],则a+b+c=_________【解析】()(){}20A x x x a =--≥ ① 2a >则(][),2,A a =-∞+∞可知不能满足AUB=R,A ∩B=(-1,1] ② 2a <则(][),2,A a =-∞+∞∵A ∩B=(-1,1],AUB=R 则b=-1,c=2,a=1 ∴a+b+c=2 15.已知{}n a 是等比数列,a 1=4,a 4=12,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=_________ 【解析】∵{}n a 是等比数列∴33411112482a a q q q =∴==∴=∴212a a q ==∴()()12211111n n n n n a a a q a q aq --+==∴22311n n n a a a q --=∴211n n n n a a q a a +-=∴{}1n n a a +是以12a a =8为首项，14为公比的等比数列 ∴a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1= 1814321113414n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-16.设函数f(x)=1,1log 11,1ax x x =⎧⎨-+≠⎩,a>0且a ≠1,若函数g(x)=[f(x)]2+bf(x)+c有三个零点x 1,x 2,x 3,则x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=________【解析】分拆函数()2()t f x g x y t bt c =⎧⎨==++⎩画出函数f （x ）图像如右图，图像关于x=1对称由题意，只有当t=f （x ）=1时，它有三个根． ∵f(0)=1∴f （2）=1∴g(x)的三个零点分别是0，1，2．故则x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=0+2+0=2．三、解答题(本大题共4小题,共40分,解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设U=R,{}22520A x x x =-+≤1, {}20B x x m =+< (I)当m=-4时,求AUB, UA(Ⅱ)若(UA)∩B=B,求实数m 的取值范围【解析】解不等式22520x x -+≤得122x ≤≤∴1,22A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∴U A=()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭(I)当m=-4时, 解不等式240x -<得22x -<<即B=（-2,2） ∴AUB=(]2,2-U A=()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭(Ⅱ)∵(UA)∩B=B ∴UB A ⊆①B=∅，此时m ≥0（图像不存在x 轴下方部分） ②B ≠∅，此时m<0,则20x m x +<⇒<U 00122m m B A <⎧<⎧⎪⊆⇒⎨⎨-≤≥-⎪⎩⎪⎩或解得104m -≤<或40m -≤<即40m -≤< 综上所述[)4,m ∈-+∞已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,S n =n 2+n (I)求{}n a 的通项公式(Ⅱ)若{}n b 为等比数列,且b 1=a 4,b 2=a 6,求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n . 【解析】(I) 2111,112n a S ===+=时()()22n 12,112n n n a S S n n n n n -⎡⎤≥=-=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦时 ∴n 2a n =(Ⅱ) 14268,12b a b a ====∵{}n b 为等比数列∴2132b q b == ∴1382n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴1283n n n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭∴121n 2n 1222T 1230833321222T 0 238333n nn n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴1121n 2213311222212T 1123833338313n n n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-++++=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()122121233383383n nnn n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴n T =()()-3-132329338383n n n n n ⎡⎤+⎛⎫-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦某工厂生产某种产品,每日的销售额f(x)(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数()1835,06814,6,x x f x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 每日的成本g(x)(单位:万元)与日产量x 满足下图所示的函数关系,已知每日的利润Q(x)=f(x)-g(x). (I)求Q(x)的解析式;(Ⅱ)当日产量为多少吨时,每日的利润达到最大,并求出最大值. 【解析】(I)由图像可知g （x ）=x+3∴Q(x)=f(x)-g(x)=1822,06811,6,x x x x x ⎧++<<⎪-⎨⎪-≥⎩ （Ⅱ）当x ≥6时，Q （x ）=11﹣x 为单调递减函数，故当x=6时，Q （x ）max =5，当0＜x ＜6时，Q(x)=2x++2=2（x ﹣8）++18≤6，当且仅当2（x ﹣8）=（0＜x ＜6），即x=5时，Q(x)max =6，综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元． 20.(本小题满分10分) 已知函数f(x)= 1ln ()ax ax a R x--+∈ (I)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)是否存在a ∈R,使得函数f(x)存在三个零点;若存在,请求解a 的取值范围;若不存在,请说明理由.选修4-4极坐标与参数方程一、选择题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的请将其字母代码填入下表相应位置) 1.极坐标方程ρcos θ=2sin2θ表示的曲线为A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆【答案】C【解析】cos 2sin24sin cos ρθθθθ==当cos θ≠0时，222=4sin =4sin 40x y y ρθρρθ⇒⇒+-=表示一个圆当cos θ=0时，322ππθθ==或表示直线 2.圆5cos ρθθ=-的圆心极坐标是A.(-5,、23π-)B.(5,53π)C.(5,23π-)D.(-5,53π) 【答案】B【解析】2255cos 2522x y ρθθ⎛⎛⎫=-⇒-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭圆心坐标为5,22⎛- ⎝⎭25,tan 52ρθ-===== ∵θ为四象限角∴53πθ= 二、填空题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分)3.直线122112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为__________【解析】直线消去t 可得x+y-1=0. 圆x 2+y 2=4的圆心（0,0），半径r=2圆心到直线距离为d ==截得的弦长为==4.与参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)等价的普通方程是__________【解析】221sin 2,1sin 2x y x x y θθ⎧=+⎡⇒=∈⎨⎣=+⎩三、解答题(本大题共1小题,满分10分,解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)5.(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=1,以极点为原点,极轴为x 正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为 11232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数) (I)写出l 与曲线C 的普通方程;(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ′,设曲线C ′上任一点为M(m,n)求m+23n 的最小值. 【解析】（1）直线l 的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x ﹣1）代入下式得根据ρ2=x 2+y 2，进行化简得C ：x 2+y 2=1（2）∵代入C 得∴设椭圆的参数方程为参数）则则3的最小值为﹣4．。

【数学】山西省2017年高考数学一模试卷理科Word版含解析

【关键字】数学2017年山西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设单数z满足iz=1+2i，则z的共轭单数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．已知实数集R，集合，则M∩（∁RN）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5] C．[﹣1，5）D．（0，8）3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C 的渐近线于A，B和M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C：+=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．C．﹣7 D．78．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．C．2 D．312．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞的否定为．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{an}满足，，n∈N*，等差数列{bn}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求bn；（2）记cn=a2n﹣1b2n﹣1+a2nb2n，求cn；（3）求数列{anbn}前2n项的和S2n．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．19．在三棱柱ABC﹣A1B1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A∥平面BC1D；（2）若A=A，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1的高．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．2017年山西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设复数z满足iz=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣iiz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知实数集R，集合，则M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5]C．[﹣1，5）D．（0，8）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合M与N中不等式变形后，分别求出解集确定出M与N，求出M与N补集的并集即可．【解答】解：M={x|0＜x＜27}，N={x|x＜﹣1或x＞5}，∁R N={x|﹣1≤x≤5}，∴M∪（∁R N）={x|0＜x≤5}，故选B．【点评】此题考查了交集及其运算，交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的单调性即可判断．【解答】解：由题意可得函数f（x）在R上为单调递增函数，∵f（2﹣x）≥f（x），∴2﹣x≥x，解得x≤1，故选：A【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，属于基础题．4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB 与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得=，即可求出渐近线方程．【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则=，∴=4，∴=，∴C的渐近线方程为y=±x，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为×+×+×=，其中比赛进行了3局的概率为×+×=，∴所求概率为=，故选B．【点评】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C： +=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即可得出结论．【解答】解：由于椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即加法与减法互为逆运算，∴猜想双曲线对应的点E的轨迹方程为，故选A．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，正确类比是关键．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【考点】二项式系数的性质．【分析】化（﹣+1）7=[1+（﹣）]7，利用展开式通项公式T r，求出（+1﹣）r展开式中x3项的系数即可．【解答】解：（﹣+1）7=[1+（﹣）]7的展开式通项公式为：T r=（﹣）r，+1对于（﹣）r，通项公式为：==（﹣2）m，T m+1令=3，得r=6+3m；根据0≤m≤r≤7，r、m为自然数，求得m=0，r=6；∴（﹣+1）7展开式中x3项的系数为（﹣2）0=7．故选：D．【点评】本题考查了二项式展开式中通项公式的灵活应用问题，是基础题．8．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将直线方程代入椭圆方程，由△=0，求得a2+b2=9，由题意的离心率公式，求得=，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意可知：，整理得：（a2+b2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2=0，则△=0，则36a2﹣4（a2+b2）（9a2﹣a2b2）=0，整理得：a2+b2=9，①由题意的离心率e===，则=，②由①②，解得：a2=5，b2=4，∴椭圆C的方程：，故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数的图象求出T，利用周期公式求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合φ的范围，求出φ得到函数的解析式，进而可求g（x）解析式，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：由图象可知T=4π，从而ω=，将（，0），（0，﹣）在函数图象上，，|φ|＜，可得：φ=﹣，A=3，f（x）=3sin（﹣），可得：g（x）=3sin[（x+）﹣]=3cos．由x∈，可得：∈[，]，可得：3cos∈[﹣3，]．故选：C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，属于基础题．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P﹣BDC外接球半径R=，由此能示出该球的表面积．【解答】解：由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD=，O1D=1，及OB=OD，得OB=，∴外接球半径为R=，∴该球的表面积S=4πR2=4=7π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用．11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】程序框图．【分析】根据本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c 表示其百位数；验证题目中的命题是否正确即可．【解答】解：本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c 表示其百位数；对于①，“水仙花数”是三位数，即100≤m=i≤999，∴①正确；对于②，152是“水仙花数”，由13+53+23≠152，∴②不正确；对于③，407是“水仙花数”，即407=43+03+73，∴③正确；综上，正确的命题有2个．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是分析出程序的含义，是基础题．12．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关【考点】正弦函数的图象．【分析】函数f（x）零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，利用导数研究两个函数的单调性与交点个数，即可求出答案．【解答】解：函数f（x）=xcosx﹣sinx﹣sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）的零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，∵y1′=﹣xsinx，∴y1=xcosx﹣sinx在…，（﹣5π，﹣4π），（﹣3π，﹣2π），（﹣π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上单调递减；在…，（﹣4π，﹣3π），（﹣2π，﹣π），（π，2π），（3π，4π），…上单调递增；如图中实线所示；y2′=a，由y1=xcosx﹣sinx的图象可得：a＞0时，y2=sinx的图象，如图中虚线所示；则函数f（x）共有2k﹣1个零点；由函数图象的对称性可得，当a＜0时，函数f（x）零点个数仍为2k﹣1个．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点与方程根的应用问题，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤1【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用余弦定理可得BC，运用勾股定理逆定理，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，再由共线向量和向量的投影可得向量在上的投影为||cos＜，＞，计算可得．【解答】解：在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA=4+1﹣2×2×1×=3，即有BC=，由AB2=AC2+BC2，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，D为AB的中点，可得=，即有向量在上的投影为||cos＜，＞=1（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查解三角形的余弦定理和勾股定理的运用，考查向量的投影的概念和求法，考查运算能力，属于中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为3．【考点】余弦定理．【分析】由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：sinAcosB=sinAsinB，由sinA≠0，可得tanB=，结合B∈（0，π）可求B，利用余弦定理，基本不等式可求12≥ac，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由sin（A+B）=sinC，及sinC=（sinA+cosA）sinB，可得：sinAcosB=sinAsinB，由于sinA≠0，可得：tanB=，结合B∈（0，π），可得：B=，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得：12=a2+c2﹣ac≥ac，=acsinB=ac≤3，可得：S△ABC=bh=h≤3，又由S△ABC可得：h≤3，即AC边上的高的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，分别计算体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，其直观图如图所示：四棱柱的底面面积为2，高为2，故体积为4；四棱锥的底面面积为2，高为，故体积为：，故组合体的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n}满足，，n∈N*，等差数列{b n}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求b n；（2）记c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n，求c n；（3）求数列{a n b n}前2n项的和S2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用二倍角公式化简a n，可得a n=．求出数列{b n}的首项和公差，则通项公式可求；（2）直接把{a n}、{b n}的通项公式代入求解；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（1）由=2+1+cosnπ=3+cosnπ=．于是，，b2=a2=4，∴等差数列{b n}的公差为3，则b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n=2[3（2n﹣1）﹣2]+4[3×2n﹣2]=36n﹣18；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，则S2n=a1b1+a2b2+…+a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n==．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，X的可能取值为6，24，54，0，分别求出相应的概率，从而能求出甲得分的期望；Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P（Y=i）=，i=1，2，3，…，12．由此能求出乙得分的期望．（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54），由此能求出结果．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，则事件A包含3个基本事件，推导出B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，由此进行分类讨论经，能求出k的所有值．【解答】解：（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，则X的可能取值为6，24，54，0，当X=6时，向上的点数为1，P（X=6）=，当X=24时，向上的点数为4，P（X=24）=，当X=54时，向上的点数为9，P（X=54）=，当X=0时，向上的点数为42，52，…，122，有种情况，P（X=0）=，∴X的分布列为：X624540P∴甲得分的期望为E（X）==7．Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P（Y=i）=，i=1，2，3， (12)∴Y的分布列为：Y1 2 3456789101112 P∴乙得分的期望为E（Y）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）=．（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54）==．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，则事件A包含3个基本事件，（1点，4点，9点），记n（AB），n（B）分别表示事件AB，B包含的基本事件个数，由P（AB）=P（A）P（B）及古典概率模型，得：=，∴n（B）=4n（AB），①∴B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，当k=4时，n（B）=4，AB={1，4}，n（AB）=2，不符合①，当k=8时，n（B）=8，AB={1，4}，n（AB）=2，符合①，当k=12时，n（B）=12，AB={1，4，9}，n（AB）=3，符合①，故k的所有值为8或12．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，考查满足条件的整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意古典概率模型的合理运用．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A1C∥平面BC1D；（2）若A1A=A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结B1C交BC1于点E，连结DE．DE∥A1C，得A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．则A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．求出面BC1D的法向量，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B1C交BC1于点E，连结DE．则E是B1C的中点，又D为A1B1，所以DE∥A1C1，且DE⊂面BC1D，A1C⊄BC1D，∴A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．∴A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．∵AC=BC=2，∠ACB=120°，则B（﹣2，，0），C（﹣1，0，0），C1（﹣2，0，a），D（﹣，，a），，．设为面BC1D的法向量，，取y=﹣a，则，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【点评】本题考查了空间线面平行，向量法求空间角，空间想象能力、计算能力，属于中档题．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q的坐标；（2）先通过特例求出定点，再证明一般性结论．【解答】（1）解：设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q（，）；（2）证明：设直线方程为y﹣t=k（x+1）（k≠0），代入抛物线方程整理得ky2﹣4y+4t+4k=0，△=0，可得k2+kt﹣1=0．特别地，t=0，k=±1，这时切点为A（1，2），B（1，﹣2），AB过定点F（1，0）．一般地，k1+k2=t，k1k2=﹣1，切点为A（，），B（，），∴=（﹣1，），=（﹣1，），∴（﹣1）﹣=﹣1））=0，∴∥，∴AB过点F（1，0），综上所述，直线AB过点F（1，0）．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数g（x）的导数，根据g′（x）≤0，分离参数a，求出a 的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，令y=ax2+x+1，通过讨论a的范围，令x0=，根据函数的单调性得到b≤﹣ax0﹣lnx0，a=﹣，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵g（x）=f（x）+=lnx+ax++b，x＞0，g′（x）=+a﹣，x＞0，∵g（x）为减函数，∴g′（x）≤0，即a≤﹣=﹣，∴a≤﹣；（2）证明：f′（x）=++a=，（x＞0），令y=ax2+x+1，a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，不满足f（x）≤0恒成立，当a＜0时，△=1﹣4a＞0，由ax2+x+1=0，得x=＞0或x=＜0，设x0=，函数f（x）在（0，x0）上递增，在（x0，+∞）递减，又f（x）≤0恒成立，故f（x0）≤0，即lnx0+ax0﹣+b≤0，由上式得b≤﹣ax0﹣lnx0，由a+x0+1=0得a=﹣，∴a+b≤﹣ax0﹣lnx0﹣=﹣lnx0+﹣+1，令t=，t＞0，h（t）=lnt+t﹣t2+1，h′（t）=﹣，0＜t＜1时，h′（t）＞0，函数h（t）在（0，1）递增，t≥1时，h′（t）≤0，函数h（t）在（1，+∞）递减，h（t）≤h（1）=1，故a+b≤1，即a≤1﹣b．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）方程化为普通方程，即可讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，两曲线均关于x，y轴、原点对称，四边形也关于x，y轴、原点对称，即可求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），普通方程为+=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0），直角坐标方程为x2+y2=r2，r=a或b时，两曲线有两个公共点；b＜r＜a时，两曲线有四个公共点；0＜r＜b或r＞a时，两曲线无公共点；（2）两曲线均关于x，y轴、原点对称，∴四边形也关于x，y轴、原点对称，设四边形位于第一象限的点为（acosθ，bsinθ），则四边形的面积为S=4acosθbsinθ=2absin2θ≤2ab，当且仅当sin2θ=1，即θ=45°时，等号成立．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查三角函数知识的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017山西一模）已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，若m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，进而变形可得或，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由x∈[2，3]，将原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①，分m≤﹣2与m＞﹣2两种情况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，等价于或，解可得x≥，故原不等式的解集为{x|x≥}；（2）当x∈[2，3]时，原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①当m≤﹣2时，m+2≤0，①式恒成立；当m＞﹣2时，即m+2＞0时，①式等价于x﹣m≥或x﹣m≤﹣，化简可得：x2﹣2≥m（x+1）或x2+2≤m（x+1），②又由x∈[2，3]，则有x+1＞0且x﹣1＞0，则②可以变形为m≤或m≥；又由=x﹣﹣1，=x﹣1++2；又由x∈[2，3]，则（）min=，（）max=6；则有m≤或m≥6；故m的取值范围是{m|m≤或m≥6}．【点评】本题考查绝对值不等式的运用以及解法，关键是熟练掌握绝对值三角不等式．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。