第4讲：函数图像以及利用图像解题学生

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第4讲正余弦函数图像及其性质(知识点串讲)解析版

第4讲正余弦函数图像及其性质（沪教版2020必修二）【知识网格】知识梳理一1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π)0,(π )1,23(-π )0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知：（1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ；正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ，即1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。

（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ；（6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。

（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2 注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ （6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ；当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。

第四讲函数函数y=Asin(wx+)的图像及三角函数模型的简单应用-高考状元之路

第四节函数)sin(ϕω+=x A y 的图像及三角函数模型的简单应用1．函数)sin(ϕω+=x A y 的有关概念2．用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图用五点画)sin(ϕω+=x A y 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．3．函数x y sin =的图像经变换得到)sin(ϕω+=x A y 的图像的步骤如下4．三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，课前热身1．函数)32(π-=x ms y 在区间],2[ππ-上的简图是图中的( )2．要得到函数x y 2sin 3=的图像，可将函数]42cos(3=-=πx y 的图像 ( )A ．沿x 轴向左平移⋅8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度3．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图像如图则（）4,2.πϕπω==A 6,3.πϕπω==B 4,4.πϕπω==c 45,2.πϕπω==D4．若函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA m x A y 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为,2π直线3π=x 是其图像的一条对称轴，则它的解析式是 ( ))64sin(4π+=⋅x y A 2)32sin(2++=⋅πx y B2)34sin(2++=⋅πx y C 2)64sin(2++=⋅πx y D5．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为),421sin(10π-=t s),,0[+∞∈t 则弹簧振动的周期为，频率为，振幅为____，相位是____，初相是．课堂设计题型一函数)sin(ϕω+=x A y 的图像【例1】已知函数⋅+=)32sin(2πx y(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明)32sin(2π+=x y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的变换而得到．题型二由图像求三角函数的解析式及对称元素【例2】已知函数++=)sin()(ϕωx A x f )2||,0,0(πϕω<>>A b 的图像的一部分如图所示．(1)求)(x f 的表达式；(2)试写出)(x f 图像的对称轴方程； (3)求)(x f 图像的对称中心，题型三函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质的综合问题【例3】已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示．(1)求函数)(x f 的解析式； (2)令),67()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由，技法巧点1．图像变换的一般规律(1)平稳变换：①沿x 轴平移时，由)(x f y =变为)(ϕ+=x f y 时，“左加右减”即,0>ϕ左移；,0<ϕ右移， ②沿y 轴平移：由)(x f y =变为k x f y +=)(时，“上加下减”即,0>k 上移；,0<k 下移． (2)伸缩变换：①由x 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x f y ω=时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的||1ω倍②沿y 轴伸缩：由)(x f y =变为)(x Af y =时，点的横坐标不变，横坐标变为原来的｜A ｜倍． 2．确定b x A y ++=)sin(ϕω的解析式的步骤 (1)求A ，b ．确定函数的最大值M 和最小值m ，则⋅+=-=2,2mM b m M A(2)求w 确定函数的周期T ，则,2Tπω= 由图像可观察出4432T T T T 、、、等． (3)求鼽常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入1.)sin(++=ϕωx A y （此时，A ，w ，b 已知）或代入图像与直线b y =的交点求解．此法适用于ϕ的范围已知的情况． ②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点”中的第一零点)0,(ωϕ-作为突破口．具体如下：失误防范1．由函数)(sin R x x y ∈=的图像经过变换得到函数=y )sin(ϕω+x A 的图像，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把z 前面的系数提取出来．2．函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法，函数=y )0,0)(sin(>>+ωϕωA x A 的单调区间的确定，基本思想是把φω+x 看做一个整体，在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性，随堂反馈1．已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图像不可能是 ( )2．使奇函数)2(3)2sin().(θθ+∞++=x s x x f 在]0,4[π-上为减函数的护的值为 ( )3.π-A 6.π-B 65.πc 32.πD 3．若函数,,sin )2cos 1()(2R x x x x f ∈+=则)(x f 是（）A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数4．电流I(A)随时间)(s t 变化的函数)sin(ϕω+=t A I )20,0,0(πϕω<<>>A 的图像如图所示，则当s t 1001=时，电流是( )A A 5.- AB 5. AC 35. AD 10.5．若),0(1)sin()(πϕωϕω<>++=x A x f 对任意实数t ，都有),3()3(ππ+-=+t f t f 记,1)cos()(-+=ϕωx A x g 则=)3(πg课后作业一、选择题1．已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则( )6,1.πϕω==A 6,1.πϕω-==B 6,2.πϕω==c 6,2.πϕω-==D2．已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的图像与1-=y 的图像的相邻两交点间的距离为π ，要得到)(x f y =的图像，只需把x y 2cos =的图像 ( )A ．向右平移⋅12π个单位 B ．向右平移⋅125π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移125π个单位3．将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( ) x y A 2cos 2=⋅ x y B 2sin 2=⋅ )42sin(1π++=⋅x y C x y D 2cos =⋅4．关于函数),42sin()(π-=x x f 有下列命题：①其表达式可写成)42cos()(π+=x x f ；②直线8π-=x是)(x f 图像的一条对称轴；③)(x f 的图像可由x x g 2sin )(=的图像向右平移4π个单位得到；④存在∈α),,0(π使)3()(α+=+x f a x f 恒成立，其中真命题为( )A ．②③ B．①② C ．②④ D．③④ 5．已知函数)20,0()sin()(πϕωϕω<<>++=h x A x f 的图像如图所示，则=)(x f ( )2)42sin(4.++πx A 2)42sin(4.+--πx B 4)42(2.++πx ms C 4)42sin(2.++-πx D6.函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，且其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图像 ( ) A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点125π=x 对称C ．关于点)0,125(π对称 D ．关于点12π=x 对称二、填空题7．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=为常数，）0,0>>ωA 的部分图像如图所示，则)0(f 的值是8．已知函数),0)(sin()(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像如图所示，则=)(x f 9．若将函数)3sin(2ϕ+=x y 的图像向右平移4π个单位后得到的图像关于点)0,3(π对称，则｜ϕ｜的最小值是三、解答题 10．已知函数+=ϕsin 2sin 21)(x x f )2sin(21cos 2ϕπϕ+-∞x s ),0(πϕ<<⋅其图像过点⋅)21,6(π (1)求ϕ的值；(2)将函数)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的,21纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值.11．已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中,0,0>>ωA )20πϕ<<的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为,2π且图像上一个最低点为⋅-)2,32(πM (1)求)(x f 的解析式； (2)当]2,12[ππ∈x 时，求)(x f 的值域．12．已知函数)0(1)cos (sin cos 2)(>+-=ωωωωx x x x f的最小正周期为π. (1)求函数)(x f 图像的对称轴方程和单调递减区间； (2)若函数，)4()()(x f x f x g --=π求函数)(x g 在区间]43,8[ππ上的最小值和最大值.。

函数及其图像函数及其图像重点难点妙招的方法

函数及其图像重点难点妙招的方法函数的表示法是高中数学的重要内容，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础。

函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，使学生更好地体会、领悟与理解数学思想方法（如数形结合、化归等）。

同时，数学是人类文化的一部分，函数的多种表示是丰富多彩的社会实际的要求，体现了人们观察世界的一种立场、观点和方法。

下面将从5个方面来阐述对这节内容的理解和设计。

一、教材分析教材从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法。

在本节中，教材仍以引进函数概念时所用的三个问题为背景，引入函数的表示方法，体现知识情境呈现的一致性。

解析法表示函数关系时，函数关系简明、清楚，便于用解析式来研究函数性质，体现了透过现象看本质的哲学思想。

列表法简洁明了，动态的变量采用静态的数据表示，“输入值”与“输出值”一目了然，体现出“动与静”的辩证关系。

图象法能直观形象地表示出函数值随着自变量的变化而变化的趋势，表示出数学的美学意义和数形结合的数学思想。

在教学中除了书中的例子外，还应引导学生多举社会生活或其他学科中的例子，如银行里的利息表、列车时刻表、公共汽车上的票价表、邮资、出租车费，股市走向图等等，拉近与学生的距离，使学生感受到函数就在身边，感到亲切、自然，加深对函数表示法的理解。

教材还通过例子介绍了分段函数的特点及应用，要注意让学生尝试用数学表达式去表达实际问题。

二、教学目标①明确函数的三种表示方法，在了解函数三种表示方法各自优点、特征的基础上，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。

②通过具体实际，了解简单的分段函数，并能进行简单的应用，培养学生将实际问题抽象转化成数学问题，再去求解数学问题的能力。

③渗透数形结合思想方法，重视知识的形成发展过程，培养学生观察、分析、归纳、总结、表达能力与辩证唯物主义观点，进一步激发学生学习数学的兴趣。

三、学情分析与重、难点学生在初中已经接触过函数的三种表示方法，但是对于各自的优点和不足，以及根据不同的实际情境来选择恰当的表示函数方法等方面，认识还不够深入、具体、清晰，有些地方甚至有错误认识，如用图像法时盲目地连点连线，以为函数都是可以写出解析式的等等。

高中数学图像及应用教案

高中数学图像及应用教案
一、教材内容：函数及其应用
二、教学目标：
1. 了解函数的概念及性质；
2. 掌握函数的图像绘制方法；
3. 学习函数在现实生活中的应用。

三、教学重点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数图像的绘制方法；
3. 函数在日常生活中的应用。

四、教学难点：
1. 函数的图像在坐标系中的表示；
2. 函数在实际问题中的应用。

五、教学流程：
1. 引入：通过展示一些图像，引导学生了解函数的概念。

2. 知识点讲解：讲解函数的定义和性质，介绍函数在坐标系中的表示方法。

3. 图像绘制：教授函数图像的绘制方法，让学生在纸上练习绘制。

4. 应用实例：通过实际问题，演示函数在生活中的应用，帮助学生理解函数的实际意义。

5. 课堂练习：让学生自己动手计算绘制一些函数的图像，并解决相关问题。

6. 总结：总结本节课的重点知识，强化学生对函数概念的理解。

六、教学资源：
1. 笔记本、白板、彩色笔；
2. 图形计算器、函数绘图软件。

七、课后作业：
1. 复习本节课的内容，巩固函数的概念；
2. 练习绘制更多函数的图像，并分析函数的性质；
3. 思考函数在日常生活中的应用场景。

以上是一份高中数学图像及应用教案范本，可根据实际教学情况进行调整和补充。

希望对您有所帮助。

函数图像ppt课件

03
描点法
根据函数表达式，在坐标系中逐个描出对应的点(x, y)，然后用平滑的曲线将这些点连接起来。
计算法
利用数学软件或计算器，输入函数表达式，自动生成函数图像。
表格法
根据函数表达式和已知数据，制作表格，然后在坐标系中根据表格数据绘制出函数图像。
函数图像的观察与分析
观察图像形状
通过观察函数的图像，可以初步判断函数的类型（如一次函数、二次函数、三角函数等）
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
复合函数的图像
复合函数的定义与性质
总结词
理解复合函数的定义与性质是绘制和分析其图像的基础。
VS
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成的函数。它具有一些特殊的性质，如复合函数的导数、极限等。了解这些性质有助于更好地绘制和分析复合函数的图像。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
二次函数的图像
二次函数的定义与性质
总结词
二次函数的定义、性质和表达式
二次函数的定义
二次函数是指形式为 y=ax^2+bx+c（其中a、 b、c为常数，且a≠0）的函数。
二次函数的性质
二次函数具有开口方向、顶点、对称轴等性质，这些性质决定了函数图像的形状和位置。
复合函数图像的绘制
总结词
掌握绘制复合函数图像的方法是理解其性质和应用的必要手段。
详细描述
绘制复合函数图像需要使用数学软件或绘图工具，如Matlab、GeoGebra等。在绘制过程中，需要注意函数的定义域、值域以及函数的单调性、奇偶性等性质。

人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(学生版)

三角函数的图像与性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法．2、理解并掌握余弦函数、正切函数一、三角函数的图像：1．正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象，-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = cos x ()3、正切函数x y tan =的图象：我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)二、三角函数的性质:sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域值域最值周期性奇偶性单调性对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心对称轴函数性质类型一、三角函数的图像：例1. 作出函数x y 2cos 1-=的图象练习：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=611,6)6cos(πππx x y ，类型二、三角函数的性质：例2. 求下列函数的周期（1）x y 21sin = （2）)63sin(2π-=x y练习：求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π) 4︒ y=tan3x例:4. 比较下列各组数的大小。

2024《函数的图象》说课稿范文

2024《函数的图象》说课稿范文明年我将要讲授的内容是《函数的图象》，下面我将从以下几个方面进行阐述。

一、说教材1、《函数的图象》是人教版高中数学选修1教材中的一部分。

它是在学生已经学习了函数基本概念和函数图像的基础上进行教学的，是高中数学领域中的重要知识点，而且函数的图象在实际问题中有着广泛的应用。

2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解函数图象的基本特征，掌握函数图象与函数关系的变化规律。

②能力目标：在函数图象的绘制和分析中，培养学生观察、推理和问题解决的能力。

③情感目标：在函数图象的学习中，让学生体会数学在实际问题中的应用和意义。

3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解函数图象的基本特征，掌握函数图象与函数关系的变化规律。

难点是：能够准确地绘制函数的图象，能够通过观察函数图象来推断函数关系的性质。

二、说教法学法根据学生的特点和教学目标，我将采用探究式教学法和问题解决法。

通过引导学生自主探索和思考，培养学生解决问题的能力。

学法是：自主学习法，合作学习法。

三、说教学准备在教学过程中，我将使用多媒体辅助教学，以图像和实例的形式呈现教学素材。

同时，准备了足够的绘图工具和实例问题，以便学生进行练习和探究。

四、说教学过程新课标要求教学活动是师生互动的过程，为了落实这一要求，我设计了如下教学环节。

环节一、谈话引入，导入新课。

课堂伊始，我会通过展示几张函数图象的问题给学生，让学生观察和分析这些图象的特点。

我会适时追问：你们从这些图象中能得到什么信息？这里运用了什么知识？让学生感知函数图象是函数关系的可视化表达方式。

由此引入今天的课题：函数的图象。

设计意图：以问题引入的方式，既激发了学生的好奇心，又调动了学生主动思考的欲望。

环节二、检验课前自学成果。

在课前我会布置一道问题让学生自主学习。

问题是：如何根据函数的表达式绘制函数的图象？我会在课堂上让学生交流和讨论他们的学习成果。

函数图像的详解教案

函数图像的详解教案教案标题：函数图像的详解教学目标：1. 理解函数图像的基本概念和特点；2. 掌握绘制函数图像的方法；3. 能够分析函数图像的性质和变化规律。

教学重点：1. 函数图像的基本概念和特点；2. 函数图像的绘制方法。

教学难点：1. 函数图像的性质和变化规律的分析。

教学准备：1. 教师：投影仪、计算器、白板、彩色粉笔；2. 学生：笔记本、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，复习函数的定义和性质；2. 引导学生思考：函数图像与函数之间的关系是什么？二、讲解函数图像的基本概念和特点（10分钟）1. 定义函数图像：函数图像是由函数的自变量和因变量之间的对应关系所确定的点的集合；2. 解释函数图像的特点：连续性、单调性、奇偶性等。

三、讲解函数图像的绘制方法（15分钟）1. 介绍绘制函数图像的步骤：确定定义域和值域、找出关键点、绘制曲线；2. 示范绘制简单函数图像的方法，并解释每一步的操作。

四、练习与讨论（15分钟）1. 学生使用计算器或手工计算，绘制给定函数图像；2. 学生分组讨论各自绘制的函数图像的特点和变化规律。

五、总结与拓展（10分钟）1. 教师总结函数图像的基本概念、特点和绘制方法；2. 引导学生思考：如何利用函数图像分析函数的性质和变化规律？六、课堂作业（5分钟）1. 要求学生完成课堂练习中未完成的部分；2. 布置下节课预习内容。

教学反思：本节课通过引入函数图像的概念，讲解了函数图像的基本特点和绘制方法，并通过练习和讨论加深了学生对函数图像的理解和应用能力。

在教学过程中，教师可以根据学生的实际情况进行适当调整，确保教学内容的有效传达和学生的参与程度。

函数图像与应用题解法

函数图像与应用题解法函数图像是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们直观地理解和分析函数的性质。

在本文中，我们将探讨函数图像的意义以及如何应用函数图像进行问题解答的方法。

函数图像是指将函数的输入值和输出值绘制成一条曲线或者点的集合。

通过观察函数图像，我们可以获得关于函数的很多有用信息。

例如，函数图像的斜率可以告诉我们函数的变化趋势，曲线的凹凸性可以告诉我们函数的曲率，和交点的位置可以提供函数的零点等等。

因此，函数图像是分析函数性质的一个重要工具。

在应用题中，函数图像的使用尤为重要。

当我们遇到一个与函数有关的实际问题时，我们可以通过绘制函数图像来帮助我们更好地理解和解决问题。

例如，假设我们遇到一个求解方程的问题，我们可以通过函数图像的绘制来找到方程的解。

首先，我们可以将方程转化为函数的形式，然后绘制函数图像。

通过观察函数图像的交点和曲线的特征，我们可以找到方程的解。

另外，函数图像还可以帮助我们分析函数的最大值和最小值。

当我们需要求解一个函数的极值问题时，我们可以观察函数图像的走势，并找到函数的最大值和最小值所对应的输入值。

此外，函数图像还可以帮助我们分析函数的周期性。

当我们遇到一个周期性问题时，我们可以通过绘制函数图像来确定函数的周期和周期内的特征。

通过应用题解决方法中使用函数图像，我们可以更直观地理解问题，并且能够更清楚地看到问题的关键点。

这样，我们就能够更快速地找到问题的解决方法，并且可以更准确地回答问题。

在具体的问题解答过程中，我们需要注意一些细节。

首先，我们需要选择合适的函数绘制工具，如图形计算器或者数学软件。

这些工具可以帮助我们绘制函数图像，并提供一些附加的功能，如求解函数的零点、最大值和最小值等等。

其次，我们需要注意函数图像的缩放和坐标轴的设置。

合适的缩放和坐标轴设置可以让我们更清晰地观察函数图像，并帮助我们更好地分析问题。

总之，函数图像是解决数学问题的重要工具。

我们可以通过函数图像来直观地理解和分析问题，并且可以更快速地找到问题的解决方法。

数学函数与图像题解题技巧及应用

数学函数与图像题解题技巧及应用数学函数是数学中的重要概念之一，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。

函数的图像是函数的可视化表示，通过观察函数的图像可以帮助我们理解函数的性质和解决各种数学问题。

本文将介绍一些解题技巧和应用，帮助读者更好地理解数学函数与图像。

一、函数的基本概念与性质在开始讨论函数的图像之前，我们首先需要了解函数的基本概念与性质。

函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号表示，例如f(x)或y=f(x)。

其中，x被称为自变量，y被称为因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

函数的图像是函数在坐标系中的可视化表示。

通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的性质，例如函数的增减性、奇偶性、周期性等。

函数的图像通常由一系列点组成，这些点的坐标满足函数的定义。

为了更好地绘制函数的图像，我们可以使用函数的性质和一些解题技巧。

二、函数的图像绘制技巧1. 确定函数的定义域和值域。

函数的定义域和值域决定了函数图像的范围。

通过分析函数的定义，我们可以确定函数的定义域和值域。

例如，对于函数y=x^2，它的定义域是所有实数，值域是非负实数。

2. 确定函数的特殊点。

函数的特殊点包括零点、极值点、拐点等。

通过求解函数的导数，我们可以确定函数的特殊点。

特殊点对应的函数值可以帮助我们绘制函数的图像。

3. 利用对称性。

某些函数具有对称性，例如偶函数和奇函数。

对于偶函数，它的图像关于y轴对称；对于奇函数，它的图像关于原点对称。

通过利用对称性，我们可以绘制函数的一部分图像，然后通过对称性得到整个图像。

4. 利用函数的性质。

函数的性质可以帮助我们绘制函数的图像。

例如，对于增减性函数，我们可以根据函数的增减性来绘制函数的图像；对于周期函数，我们可以根据函数的周期性来绘制函数的图像。

三、函数图像的应用函数图像在数学中有广泛的应用。

下面将介绍一些常见的应用情况。

教案数学高中函数图像

教案数学高中函数图像
教学重点和难点：函数的图像概念和性质；绘制一元二次函数、绝对值函数、指数函数、对数函数的图像。

教学准备：黑板、彩色粉笔、教材、教学PPT。

教学过程：
一、导入
教师通过引导学生回顾函数的概念和性质，引出本节课的主题——函数的图像。

二、讲解
1. 函数的图像概念和性质：函数的图像是由函数的自变量和因变量按照一定规律对应所得到的图形。

图像的性质包括对称性、增减性、奇偶性等。

2. 绘制一元二次函数的图像：通过讲解一元二次函数的一般式和顶点式，并结合实例进行绘图。

3. 绘制绝对值函数、指数函数、对数函数的图像：讲解这些特殊函数的性质和图像特点，引导学生绘制图像。

三、练习
老师布置练习题，让学生通过计算和绘图来加深对函数图像的理解和掌握。

四、拓展
引导学生思考如何利用函数图像解决实际问题，例如通过函数图像分析函数的性质、求解方程等。

五、总结
总结本节课的重点内容，强调函数图像的重要性和应用价值。

六、作业
布置作业：练习册上的相关题目，让学生巩固和深化所学内容。

教学反思
通过本节课的教学，学生能够掌握函数图像的基本原理和方法，并能够独立绘制一些常见函数的图像。

同时，通过练习和实例分析，学生能够运用函数图像解决实际问题，提高了他们的数学建模能力。

第4讲三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用

第20讲三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用知识梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要把ωx ＋φ看成一个整体，要找五个特征点，如表格所示.x ____ ____ ____ ____ ____ ωx ＋φ 0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 02．图象变换(1)y ＝sin x ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．例已知2()3sin cos sin f x x x x =-，把()f x 的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g x g x αα-=+成立，则()()44g g ππα++= _____________3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中各个量的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)____________________4．三角函数模型的简单应用对具有周期变化规律的实际问题用三角函数模型进行表示，根据三角函数的图象和性质得到实际问题的结论．■ 链接教材1．[教材改编] 把函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．[教材改编] 将某函数的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π4)的图像，则原函数的解析式是________．3．[教材改编] 已知简谐运动y ＝2sin(π3x ＋φ)|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．■ 易错问题4．正弦型函数的最小正周期若函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，则ω＝________． 5．自变量的系数为负值的函数单调性函数y ＝sin(π4－2x )的单调递增区间是________．6．函数图像变换的先后次序把y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数____________的图像；把y ＝sin x 的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π4个单位长度，得到函数____________的图像． ■ 通性通法图3-19-17．由图像求函数解析式已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图3-19-1所示，则函数的解析式是________________________________________________________________________．8．利用换元法研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质函数f (x )＝sin(4x ＋π4)的对称轴方程为________．► 探究点一函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (1)使用五点法作出函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，10π3内的图像，并说明如何由函数y ＝sin x 的图像经过变换得到函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图像．(2)[2017·郑州二模] 将函数f (x )＝cos x －3sin x (x ∈R )的图像向左平移a (a >0)个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则a 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 (3)将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x f y cos )(⋅=的图象，则)(x f 的表达式可以是( )A ．x x f sin 2)(-=B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += (4)[2015·湖南卷] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6变式题 (1)使用五点法作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4在区间[－1，7]内的图像，并说明由y ＝sin x 的图像得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4的图像的变换过程．(2)[2017·太原模拟] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为________．(3)设函数f (x )＝2＋2 6sin x cos x －2 2sin 2x (x ∈R )，对f (x )的图象作如下变换：先将f (x )的图象向右平移π12个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝________．(4)函数)cos 3(sin sin 21)(x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是( ) A ．)22sin(2)(π-=x x g B ．x x g 2cos 2)(= C ．)322cos(2)(π+=x x g D ．)2sin(2)(π+=x x g► 探究点二函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式的求法例2 (1)[2017·哈尔滨模拟] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω>0，0＜φ＜π)的图象的两个相邻零点为⎝⎛⎭⎫－π6，0和⎝⎛⎭⎫π2，0，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为______________________．(2)函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．)48sin(4π-π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C ．)48sin(4π+π=x y D ．)48sin(4π+π-=x y(3)[2017·宜昌高三质检] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的部分图象如图3－19－1所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2，0)．若∠PRQ ＝2π3，则y ＝f (x )的最大值及φ的值分别是( )A ．23，π6 B.3，π3 C.3，π6 D ．23，π3图3－19－1 题4图 (4)已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑___ (5)已知点3,,,,,444M A N A P A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是函数 ()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的图象上相邻的三个最值点，MNP ∆是正三角形，且x π=-是函数()f x 的一个零点，若函数()f x 的导函数为()'f x ，则函数()()()23'h x f x f x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.3,32ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3,32ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦6π 512π1-1变式题 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图3-19-2所示，则此函数的解析式为( )图3-19-2 图3-19-3A ．y ＝3sin(π4x ＋π4)B ．y ＝3sin(π4x ＋3π4)C ．y ＝3sin(π2x ＋π4)D ．y ＝3sin(π2x ＋3π4)(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图3-19-3所示，为了得到g (x )＝3sin 2x 的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移2π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度题3图题4图(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图像如图3所示，则f (x )的表达式是f (x )＝( )A.52sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B.52sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 C.32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D.32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋1 (4)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．(5)已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移11π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移11π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度(6)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34(7)如图，函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0,0πϕω≤>>A ）与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足)2,2(),0,1(-M P 为线段QR 的中点，则=A ()题7图题6图A. 32B.337 C.338D. 34► 探究点三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用例3 (1)函数)0,2)(2sin()(>≤+=A x A x f πφφ部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则( ) A ．)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B ．)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C ．)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D ．)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 (2)已知函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（0A >，0ω>，02πϕ<<）的最大值为3，2ab xy O()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 (1)(2)(3)(2016)f f f f ++++…的值为( )A ．2468B ．3501C ．4032D ．5739(3)设函数()Asin(),f x x x R ωϕ=+∈(其中0,0A ω>>)在(,)62ππ上既无最大值，也无最小值，且()(0)()26f f f ππ-==，则下列结论成立的是( )A ．若12()()()f x f x f x ≤≤对x R ∀∈恒成立，则21min x x π-=；B ．)(x f y =的图象关于点2(,0)3π-中心对称； C ．函数()f x 的单增区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π. (4)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为_______(5)已知函数x x x x y 22sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰有两个点的纵坐标为1，则实数m 的取值范围是．(6)(G196) 若函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是_________________．(7)(G198)若函数x x f ωtan )(=的图像在线段)100(0π≤≤=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(8)已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0sin x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调函数，求ω和ϕ的值．(9)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.①求函数f (x )的最小正周期；②若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．变式题 (1)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f fππ<，则下列结论正确的是( )A ．11()112f π=-B ．7()()105f f ππ>C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈(2)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中A 、C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为___________．(3)已知函数()2sin()1(0,||)f x x ωϕωϕπ=--><的一个零点是,3x π=直线6x π=-函数图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调增区间是( ) A. [3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B. 5[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C. 2[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D. [2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ (4)已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．(5)已知函数()()cos2sin R f x x a x a =+∈在()0n π，内恰有2017个零点，则正整数n 的值为．(6)存在实数ϕ，使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数sin()y x kπϕ=+图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是．(7)已知函数()x a x a x f cos 123sin 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将()x f 图像向右平移3π个单位长度得到函数()x g 的图像，若对任意R x ∈，都有()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πg x g 成立，则a 的值为．(8)(G198) 若函数24tan 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=πωx x f 的图像在线段)100(2π≤≤-=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(9)(G199) 若函数x y ωsin =在区间]2,0[上恰好出现100次最大值和99次最小值，求正数ω的取值范围．(10)已知函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6与函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像的对称轴相同，求实数a 的值．(11)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (0<ω<1，a ∈R)，f (x )的图像向左平移π4个单位后得到函数g (x )，若g (x )的图像关于y 轴对称，解答以下问题：①求ω的值．②如果f (x )在区间⎣⎡⎦⎤34π，54π上的最小值为3，求a 的值．(12)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x . ①求函数f (x )的最小正周期及图像的对称轴方程；②设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域．(13)已知函数()4sin cos 2424f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3124x g x -=+，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1ni i i y x =-=∑ ．► 探究点四三角函数模型的简单应用例4 湄洲湾港被誉为“世界不多，中国少有”的天然良港．港口各泊位每天的水深(水面与洋底的距离)f (x )(单位：m)与时间x (单位：h)的函数关系近似地满足f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋B (A ，B >0，0≤φ<2π)．在通常情况下，港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务，而当货船的吨位超过泊位的额定吨位时，货船需在涨潮时驶入航道，靠近码头卸货，在落潮时返回海洋．该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务，货船将于凌晨0点在该泊位开始卸货．已知该泊位当天水深的最小值为12 m ，水深的最大值为20 m ，并在凌晨3点达到最大水深．(1)求该泊位当天的水深f (x )的解析式．(2)已知该货船的吃水深度(船底与水面的距离)为12.5 m ，安全条例规定，当船底与洋底距离不足1.5 m 时，货船必须停止卸货，并将船驶向较深的水域．据测算，一个装卸小队可使货船吃水深度以每小时0.1 m 的速度减少．①如果只安排一个装卸小队进行卸货，那么该船在什么时间必须停止卸货，并将船驶向较深的水域(精确到小时)?②如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，问能否连续不间断地完成卸货任务？说明你的理由．变试题1．如图3－20－4，为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；图3－20－4(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？2．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t时03691215182124y米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝A sin ωx＋b的图像．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；(2)一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?(3)[2017·广州模拟] 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.课时作业(二十A) 第20讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟分值：100分)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．12C ．－12D ．12．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图K191所示，则ω＝( )图K191A ．5B ．4C ．3D ．2 3．[2017·青岛质检] 函数y ＝2sin 2x 的图像的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝34π D ．x ＝π4．[2017·内蒙古通辽模拟] 将函数y ＝sin(x ＋π6) (x ∈R )图像上所有点的横坐标向左平行移动π6个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则得到的图像的解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(x 2＋π3)C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x25．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________．6．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是________．7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值为( )A ．α＝π6，β＝－π12B ．α＝π6，β＝π12C ．α＝π3，β＝－π6D ．α＝π3，β＝π68．将函数y ＝f (x )sin x 的图像向右平移π4个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图像，则f (x )＝( )A ．2sin xB ．sin xC ．2cos xD ．cos x9．[2017·赣州四校联考] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋2π3)＋sin(ωx －2π3) (ω＞0)的最小正周期为π，则( )A ．f (x )在区间(0，π4)上单调递增B ．f (x )在区间(0，π4)上单调递减C ．f (x )在区间(0，π2)上单调递增D ．f (x )在区间(0，π2)上单调递减10．图K192是函数y ＝sin(ωx ＋φ)，0<φ<π2的图像的一部分，A ，B 分别是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )图K192 图K193A ．12πB ．19π2＋1C ．19π2－1D ．13π2－111．[2017·郑州二检] 已知直线x ＝5π12和点(π6，0)恰好是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像的相邻的对称轴和对称中心，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝2sin(2x －π6)B ．f (x )＝2sin(2x －π3)C ．f (x )＝2sin(4x ＋π3)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π6)12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图K193所示，则φ＝________．13．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________(填序号)．①y ＝4sin4(x ＋π6)；②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2；③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2；④y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.14．(10分)[2017·温州二模] 如图K194所示，点P (0，A2)是函数y ＝A sin(2π3x ＋φ) (其中A >0，φ∈[0，π))的图像与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．图K19415．(13分)[2017·湛江二模] 设函数f (x )＝2sin(ωx －π4) (ω>0)，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．16．(12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．课时作业(二十B) 第20讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟分值：100分)1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π2．[2016·太原五中月考] 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图像如图K191所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，图K191则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )3．要得到函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的图像，只需将函数y ＝2sin 2x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度4．函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间是________．5．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间[π3，2π3]上的最小值为________．6．一观览车的主架示意图如图K192所示，其中O 为巨轮的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12 min 转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t min ，该吊舱距离地面的高度为h (t )(单位：m)，则h (t )＝( )图K192A ．30sin(π12t －π2)＋30B ．30sin(π6t －π2)＋30C ．30sin(π6t －π2)＋32D ．30sin(π6t －π2)7．[2017·福州三中月考] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图像关于点(－π3，0)中心对称B ．图像关于直线x ＝－π6对称C ．在区间(－5π12，－π6)上单调递增D ．在区间(－π6，π3)上单调递减8．[2017·九江三模] 将函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图像，若函数y ＝f (x )在区间[－π6，π3]上单调递增，则m 的最小值为( )A.π3B.π4C.π6D.π129．[2017·泰安二模] 将函数f (x )＝sin x cos x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图像，则g (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π2，k π](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K193所示，则得到y ＝f (x )的图像需将y ＝cos 2x 的图像( )图K193 图K194A ．向右平移π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度11．[2017·北京朝阳区二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K194所示，则φ＝________．12．[2017·大庆二模] 将函数y ＝14sin x ＋34cos x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．将函数f (x )＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )在区间[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为________．14．(10分)[2017·茂名二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π6)(A >0，ω>0)的部分图像如图K195所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈[－π2，0]，f (3α＋π)＝1013，f (3β＋5π2)＝65，求sin(α－β)的值．图K19515．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图像如图K196所示，P 是图像的最高点，Q 为图像与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移2个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，当x ∈(－1，2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．图K19616．(12分)如图K197所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形区域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要面向市政府大楼．设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数． (2)若R ＝45 m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01 m 2)．图K19717．若函数()sin()(0,0)22f x A x A ππωφωφ=+>>-<<，的部分图象如图所示，,B C分别是图象的最低点和最高点，其中164||2+=πBC .(1)求函数)(x f 的解析式；(2)在锐角ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A 、、的对边，若3)(=A f ,2=a ,求ABC∆周长的取值范围．18．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中70,2312f f ππ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列结论：①最小正周期为π；②()01f =；③函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数； ④12141113f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤()403f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 其中正确结论的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2yxCBA O3π-125π 第17题19．已知函数()()2.5cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 两点之间的距离为13，且()30f =，若将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t 的最小值为（）A.7B.8C.9D.1020. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ； ○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数. 其中所有正确的结论序号是______.21．已知函数()2sin 2f x x =，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像. （Ⅰ）求函数()y g x =的解析式（Ⅱ）若对任何实数x ，不等式()2()mg x m g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围. （Ⅲ）若区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22.若函数1)62sin(2)(-++=m x x f π)(R m ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则m x x -+21的取值范围是（）.A )13,13(+-ππ .B )13,3[+ππ .C )132,132(+-ππ .D )132,32[+ππ第20讲例题 4知识聚焦1．－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω3．A T ＝2πωf ＝1T ＝ω2π ωx ＋φ φ正本清源1．y ＝2sin x [解析] 根据函数图像变换法则可得．2．y ＝sin x ＋3π4 [解析] 将函数y ＝sin x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得到函数y＝sin x ＋π2＋π4，即y ＝sin x ＋3π4的图像．3.π6[解析] ∵函数图像经过点(0，1)，∴将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，∴sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．±2 [解析]2π|ω|＝π，解得ω＝±2. 5．k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z [解析] sin π4－2x ＝－sin2x －π4，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，故所求的单调递增区间为k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .6．y ＝sin 12x ＋π4 y ＝sin 12x ＋π8 [解析] y ＝sin x →y ＝sin x ＋π4→y ＝sin 12x ＋π4；y ＝sin x →y ＝sin 12x →y ＝sin 12x ＋π4＝sin 12x ＋π8.7．f (x )＝2sin2x ＋π3 [解析] 易知A ＝2，2πω＝2×π3＋π6，∴ω＝2.又函数f (x )的图像过点π3，0，∴2×π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3.∵|φ|<π2，∴φ＝π3.故所求函数的解析式为f (x )＝2sin2x ＋π3.8．x ＝k π4＋π16，k ∈Z [解析] 令4x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π4＋π16，k ∈Z .例1 (1)略 (2) B 函数f (x )＝cos x －3sin x ＝2×12cos x －32sin x ＝2cos x ＋π3，将函数f (x )的图像向左平移a 个单位长度得到函数y ＝2cos x ＋a ＋π3的图像，又该图像关于原点对称，所以a ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得a ＝k π＋π6(k ∈Z )．又a >0，所以a min ＝π6.(3)A (4) D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.变试题 (1)略 (2)π4(3)2 2sin x (4)A例2 (1) y ＝2sin （32x ＋π4） (2)D (3)A (4) B 解析：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()s i n (2)6f x x π=+．故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=，201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑(5)D 变试题 (1)A (2)B (3)C (4)3 (5)D (6)D (7)C例3 (1)B (2)C (3)B (4)9 解析：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减(5)⎪⎭⎫⎢⎣⎡67,2ππ (6)2197π (7) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,209 (8)解：()x f 是偶函数，∴y 轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， ∴(),1sin ±==ϕx f 又πϕ≤≤0 ，∴2πϕ=．由()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，∴,043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，即043c o s 243s i n ==⎪⎭⎫⎝⎛+⋅ωπππω，又0>ω，∴,2,1,0,243=+=k k ππωπ．∴() ,2,1,0,1232=+=k k ω 当0=k 时，32=ω， ()x x x f 32cos 232sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是减函数；当1=k 时，2=ω，()x x x f 2cos 22sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是减函数；当2≥k 时， 103ω≥，()x x x f ωπωcos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调函数．综上所述，32=ω或2=ω，2πϕ=． (9)①ω＝56. 最小正周期是6π5 ②[－1－2，2－2]．变试题 (1)D(2)【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω，0，设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω ＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝⎛⎭⎫ω⎝⎛⎭⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2. 所以该点在△ABC 内的概率P ＝S△ABCS ＝π22＝π4. (3)B (4)1 (5)1345 (6)⎥⎦⎤ ⎝⎛3,23 (7)2 (8) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4021,4019 (9) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4399,4397ππ (10)a ＝－33. (11)①ω＝13. ②a ＝1＋32. (12)解：（Ⅰ） πϕπω=+⋅3①23127πϕπω=+⋅② 解得2=ω，3πϕ=. （Ⅱ）)32sin()(π+=x x f ，)32sin(2sin π++-=x x kx x x x x 2cos 232sin 213sin2cos 3cos2sin 2sin +-=++-=ππ)32sin(π--=x ，因为]2,12[ππ∈x 时，]32,6[32πππ-∈-x ，由方程恰有唯一实根，结合图象可知 2123≤<-k 或1-=k ． (13) 5例4 解：(1)因为泊位的最小水深为12 m ，最大水深为20 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝12，A ＋B ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝16，所以f (x )＝4sin(πx6＋φ)＋16.又当x ＝3时，f (x )取到最大值20，所以f (3)＝4sin （π2＋φ)＋16＝20，又0≤φ<2π，所以φ＝0，f (x )＝4sin πx6＋16，x ∈[0，24]．(2)设货船的吃水深度以每小时a m 的速度下降，令g (x )＝f (x )－(12.5－ax )－1.5，则g (x )＝4sin πx6＋ax ＋2.要使货船能在泊位正常卸货，只需g (x )≥0.①只安排一个装卸小队进行卸货时，a ＝0.1，g (x )＝4sin πx6＋0.1x ＋2.当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.1x ＋2>0. 又g (8)＝4sin8π6＋0.8＋2＝－2 3＋2.8<0，所以该船必须在上午7点停止卸货，并将船驶向较深的水域． ②若安排三个装卸小队进行卸货，则能按要求完成卸货的任务．此时a ＝0.3，g (x )＝4sin πx6＋0.3x ＋2.因为泊位的水深f (x )＝4sin πx6＋16在当天上午9：00时第一次达到水深的最小值，所以要使卸货任务能连续不间断地完成，只需当x ∈[0，9]时能正常卸货．当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.3x ＋2>0.当x ∈[7，9]时，因为4sin πx6≥－4，0.3x ＋2≥0.3×7＋2＝4.1，两式相加得g (x )≥0.1，所以当∈[7，9]时，g (x )>0成立．综上，对任意的x >0，g (x )>0恒成立，即安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，能按要求完成卸货任务．变试题 1.解：(1)以圆心O 为原点，水平方向为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1得π30t －π2＝π2，∴t ＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s.2．解：(1)由已知数据，易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，所以y ＝3sinπ6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5 m ，所以3sin π6t ＋10≥11.5，所以sin π6t ≥12，解得2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．在同一天内，取k ＝0或k ＝1，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.所以该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时． 3.[答案] 20.5课时作业(二十A)1．C [解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数f (x )的最小值为－12.2．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.3．D [解析] y ＝2sin 2x ＝－cos 2x ＋1，由2x ＝k π(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，所以x ＝π是其一条对称轴．4．B [解析] 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin x ＋π3的图像；将所得图像的横坐标扩大为原来的2倍，得y ＝sin 12x ＋π3的图像．5.5π6 [解析] 函数可化为y ＝2sin x －π3，由x ∈[0，2π)得x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，5π3，∴当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数取得最大值2. 6．5 [解析] 函数y ＝sin π2x 的最小正周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现2个波峰，则t ≥54T ＝5.7．D [解析] 由函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，得2×π12＋α＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴α＝π3＋2k π(k ∈Z )．由f (x －β)＝sin(2x －2β＋α)为奇函数，得－2β＋α＝k π(k ∈Z )．令k ＝0，得α＝π3，β＝π6.8．C [解析] 与函数y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图像关于x 轴对称的为函数y ＝－cos 2x的图像，将其向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝－cos 2x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图像，所以有y ＝f (x )sin x ＝2sin x cos x ，所以f (x )＝2cos x .9．B [解析] f (x )＝sin ωx ＋23π＋sin ωx －23π＝－sin ωx ，又其最小正周期为π，所以ω＝2，故f (x )＝－sin 2x ，易知其在区间0，π4上单调递减．10．C [解析] 由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴B 2π3，－1.∵A π6，1，B 2π3，－1，∴OA →·OB →＝π29－1.11．B [解析] 据题意可知14T ＝512π－π6＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2πT＝2.又f (x )的图像过点π6，0，所以有2sin2×π6＋φ＝0，得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，可知B 满足． 12.9π10 [解析] 由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.13．④ [解析] 因为函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，m －A ＝0，解得A ＝m ＝2.又最小正周期T ＝2πω＝π2，所以ω＝4.又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin4×π3＋φ＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6.14．解：(1)∵函数图像经过点P 0，A 2，∴sin φ＝12.又∵φ∈[0，π)，且点P 在增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin 2π3x ＋π6，令y ＝0，得sin 2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝－14＋32k (k ∈Z )， ∴Q －14，0，R 54，0.又∵P 0，A2，∴PQ →＝－14，－A 2，PR →＝54，－A 2.∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，∴A ＝52.15．解：(1)由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4，可知π4为函数f (x )的最小正周期的14，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知ω＝2ππ＝2，又函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点π12，3和点2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 课时作业(二十B)1．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，由题意知49＋14T ≤1，即1974×2πω≤1，∴ω≥197π2.2．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，根据已知可得x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A＝－1，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．3．C [解析] 函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度得到的．故选C.4．3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z ) [解析] 由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，所以函数y ＝12sin π4－2x3的单调递减区间为3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z )．5．－22 [解析] g (x )＝sin3x －π3＋π4＝sin3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22. 6．B [解析] 由题意可设h (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋l (A >0，ω>0)，则2πω＝12，所以ω＝π6.易知初相φ＝－π2，振幅A ＝30，又OM ＝32，AM ＝BP ＝2，故h (t )＝30sin π6t －π2＋30.7．C [解析] y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋π6＝sin2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得g (x )的图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6＋k π2，0(k ∈Z )，故A 不正确；当x ＝－π6时，g －π6＝sin 0＝0，所以g (x )的图像不关于直线x ＝－π6对称，故B 不正确；当－5π12≤x ≤－π6时，－π2≤2x ＋π3≤0，所以函数g (x )在区间－5π12，－π6上单调递增，故C 正确；当－π6≤x ≤π3时，0≤2x ＋π3≤π，函数g (x )在此区间上先增后减，故D 不正确．故选C.8．C [解析] 根据已知，得f (x )＝sin2(x －m )＋π6＝sin2x －2m ＋π6，由2k π－π2≤2x －2m ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋m －π3≤x ≤k π＋m ＋π6(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )的单调递增区间是k π＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，根据题意，得－π6，π3⊆kπ＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，所以k π＋m －π3≤－π6且k π＋m ＋π6≥π3(k ∈Z )，解得m ≤－k π＋π6且m ≥－k π＋π6(k ∈Z )，故m ＝－k π＋π6(k ∈Z )．由于m >0，取k ＝0，得m的最小值为π6.9．A [解析] f (x )＝12sin 2x ，将其图像向左平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝12sin 2x＋π4＝12cos 2x 的图像，由2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，解得k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间是k π－π2，k π(k ∈Z )．10．A [解析] 7π12－π3＝π4＝14×2πω，解得ω＝2.由sin2×π3＋φ＝1，－π2<φ<π2，得φ＝－π6，即f (x )＝sin2x －π6，又y ＝cos 2x ＝sin2x ＋π2，且sin2x －π6＝sin2x －π3＋π2，故只要把y ＝cos 2x 的图像向右平移π3个单位长度即可得到f (x )的图像．11.π3 [解析] 由图像得14×2πω＝π3－π12＝π4，得ω＝2.再由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，|φ|<π2，得φ＝π3.12.π6 [解析] 把y ＝12sin x ＋π3的图像向左平移m 个单位长度后得到函数y ＝12sin(x ＋m )＋π3＝12sin x ＋m ＋π3的图像，由题意得m ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，取k ＝0，得m 的最小值为π6.13．2 [解析] 函数g (x )的解析式为g (x )＝2sin ωx ＋π3ω－π3＝2sin ωx ，易知函数g (x )的一个单调递增区间是－π2ω，π2ω.又函数y ＝g (x )在区间0，π4上为增函数，则0，π4⊆－π2ω，π2ω，所以π2ω≥π4，得ω≤2.所以ω的最大值为2. 14．解：(1)由图像可知A ＝2，∵34T ＝11π2－π＝92π，∴T ＝6π＝2πω，∴ω＝13， ∴f (x )＝2sin 13x ＋π6.(2)∵f (3α＋π)＝2sin α＋π2＝2cos α＝1013，∴cos α＝513.又∵f 3β＋5π2＝2sin(β＋π)＝－2sin β＝65，∴sin β＝－35.∵α，β∈－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝1－5132＝－1213，cos β＝1－sin 2β＝1－－352＝45，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－1213×45－513×－35＝－3365.15．解：(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋（5）2－（13）22×4×5＝55，所以P (1，2)，由此可得A ＝2，最小正周期T ＝4×(4－1)＝12，则2πω＝12，得ω＝π6.将(1，2)代入y ＝2sin π6x ＋φ，得sin π6＋φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin π6x ＋π3.(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π6（x －2）＋π3＝2sin π6x ，所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋2 3sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x＋3sin π3x ＝1＋2sin π3x －π6.当x ∈(－1，2)时，π3x －π6∈－π2，π2，所以sin π3x －π6∈(－1，1)，即1＋2sin π3x －π6∈(－1，3)．故函数h (x )的值域为(－1，3)．16．解：(1)由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与AD ，BC 的交点分别为E ，F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ，易知△OAE 为等腰直角三角形，OE ＝AE ＝12BC ＝R sin θ，则AB ＝EF ＝OF －OE ＝R cos θ－R sin θ，所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ)＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin2θ＋π4－R 2，θ∈0，π4.(2)因为θ∈0，π4，所以2θ＋π4∈π4，3π4.所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值，S max ＝(2－1)R 2＝(2－1)×452＝(2－1)×2025≈838.78(m 2)．故当θ＝π8时，矩形ABCD 的面积S 有最大值，其最大值约为838.78 m 2.。

第04讲函数的图象(解析版)

第04讲函数的图象【知识点总结】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）. 2.图像的变换（1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的；④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；（2）对称变换①()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的②()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数. 三、函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）函数2ln ()1||x f x x =+的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【详解】当0x >时2ln ()1x f x x=+，则()222222212ln 2ln 2(1ln )x x x x x f x x x x ⋅---'===．当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 在区间(0,e)上单调递增，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在区间(e,)+∞上单调递减，排除A ，B ．又2ln e 2(e)110lel ef =+=+>，排除D ．故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）已知()21πsin 42f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】 ∵()221π1sin cos 424f x x x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， ∴()1sin 2f x x x '=- 易知()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 和D ，由ππ106122f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ，所以A 正确.故选：A.例3．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x hr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H Hπππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例4．（2022·全国·模拟预测）函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．3()cos f x x x =-B ．1()sin f x x x =+C ．21()cos f x x x =- D ．1()sin f x x x=-【答案】D 【详解】由图知0x ≠，排除A 选项；当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，排除B ；又C 选项中2211()cos()cos ()()f x x x f x x x -=--=-=-，其图象关于y 轴对称，不符合. 故选：D.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()1xxa f x a x=>的大致图象是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】按x 的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论．【详解】由题意,0,0x x a x y a x ⎧>=⎨-<⎩，∵1a >，∴只有C 符合．故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；【详解】解：因为()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以定义域为R ，且()()()221sin 1sin 11x xf x x x f x e e -⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时，222210111e e e--=<++，sin 20>，所以()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ；故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ，故选：A4．（2022·江苏·高三专题练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案.【详解】由函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，所以当1x >时，()0f x '<；1x =时，()0f x '=；1x <时，()0f x '>；所以当0x <时，()0y xf x '=->，当01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x = 时，()0y xf x '=-=，当1x >时，()0y xf x '=->，可得选项B 符合题意. 故选：B ．5．（2022·全国·高三专题练习）函数()ln ,0ln(),0x x e x x f x e x x -⎧>=⎨-<⎩在[)(]2,00,2-上的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】通过函数的奇偶性可排除A ，B ；通过计算(2)f 的值可排除C ，进而可得结果．【详解】由题可知函数()f x 的定义域关于原点对称，且当0x >时，0x -<，[]()()ln ()ln ()x x f x ex e x f x ---=⋅--=⋅=，当0x <时，0x ->，()ln()()x f x e x f x --=⋅-=，故()f x 为偶函数，排除A ，B ；而222(2)ln 232e f e e =>>，排除C ．故选：D ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x +12x -，x ∈（2，8），当x ＝m 时，f （x ）有最小值为n ．则在平面直角坐标系中，函数1()log mg x x n =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由均值不等式易知m ＝3，n ＝4，则函数13()log |4|g x x =+，判断函数g （x ）的单调性，结合选项即可得解．【详解】∵函数1()2224,(2,8)2f x x x x =-++≥=∈-，当且仅当122x x -=-，即m＝3时取等号， ∴m ＝3，n ＝4，则函数13()log |4|g x x =+的图象在（﹣4，+∞）上单调递减，在（﹣∞，﹣4）上单调递增，观察选项可知，选项A 符合．故选：A ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()||3e x x xf =的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】先求解()f x 的定义域并判断奇偶性，然后根据()1f 的值以及()f x 在()0,∞+上的单调性选择合适图象. 【详解】()e3xf x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()e 3xf x x-=-，则()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ；()e113f =<，故排除A ； ∵()e3xf x x =，当0x >时，可得()()21e 3xx f x x -'=，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故排除D. 故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）函数y 3）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法）【详解】由题意，设3()f x =3()()f x f x -==-，所以函数的奇函数，故排除C;当01x <<时，()410,0x f x -<∴<，当1x >时，()41,0x f x >∴>，排除BD ,故选:A.9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则下列图象错误的是（）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y f x =的图象：D ．()y f x =-的图象：【答案】C 【分析】作出函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案. 【详解】先作出()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤的图象，如图所示，所以A 正确；对于B ，()1y f x =-的图象()f x 是由的图象向右平移一个单位得到，故B 正确；对于C ，当0x >时，()y f x =的图象与()f x 的图象相同，且函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，()y f x =-的图象与()f x 的图象关于y 轴对称而得到，故D 正确. 故选：C .10．（2022·全国·高三专题练习（文））下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y 表示离开家的距离，t 表示所用时间. A ．④①② B ．③①②C ．②①④D ．③②①【答案】A 【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像. 【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x hr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A12．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >【答案】A 【分析】由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图像可知函数是减函数，则101a<<，从而可求出a 的范围，由0(0)1f <<可求出b 的取值范围【详解】由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为由图像可知函数是减函数，所以101a<<，所以1a >，因为0(0)1f <<，所以001b a a <<=，所以0b <，故选：A13．（2022·浙江·高三专题练习）函数2()x xe ef x ax bx c-+=++的图象如图所示，则（）A ．0,0,0a b c <=<B ．0,0,0a b c <<=C ．0,0,0a b c >=>D ．0,0,0a b c >=<【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可求出0b =，再由函数图象不连续即可知分母等于零有解，即可排除AC. 【详解】解：由图象可知，函数的偶函数，即()()f x f x -=，即22x x x xe e e e ax bx c ax bx c--++=+++-，则0b =，B 不正确；由图象可知，20ax bx c ++=有解，即0ac <，故AC 不正确，故选:D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B 【分析】令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断. 【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m=，由图象知1l 0n x mn =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可. 【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．16．（2022·江苏·高三专题练习）为调整某学校路段的车流量问题，对该学校路段115时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是（）A ．9时前车流量在逐渐上升B ．车流量的高峰期在9时左右C ．车流量的第二高峰期为12时D ．9时开始车流量逐渐下降【答案】D 【分析】根据图象得出车流量的增减性与最值，由此可得出结论. 【详解】由折线图知，9时前车流量在逐渐增加，选项A 正确；车流量的高峰期在9时左右，选项B 正确；12时是车流量的第二高峰期，选项C 正确；12时左右车流量又有些回升，所以9时开始车流量逐渐下降错误，选项D 错误．故选：D ．17．（2022·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 18．（2022·全国·高三专题练习）函数(1)lg ||()|1|x x g x x +=+的图象向右平移1个单位长度得到函数()f x 的图象，则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数图象的变换，求得函数lg |1|()||x x f x x -=，根据当0x <时，得到()0f x <，可排除A 、B ；当01x <<时，得到()0f x <，可排除C ，进而求解. 【详解】由题意，可得lg |1|()(1)||x x f x g x x -=-=，其定义域为(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞，当0x <时，11x -+>，函数lg |1|lg(1)()||x x x x f x x x--+===-lg(1)0x --+<，故排除A 、B 选项；当01x <<时，011x <-+<，故函数lg |1|()||x x f x x -==lg(1)lg(1)0x x x x-+=-+<，故排除C 选项；当x 1>时，函数lg |1|lg(1)()lg(1)||x x x x f x x x x--===-，该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到，选项D 符合. 故选：D .19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的解析式可能是（）A ．()()44||x xf x x -=+ B ．()2()44log ||x xf x x -=-C ．()2()44log ||x xf x x -=+D ．()12()44log ||x xf x x -=+【答案】C 【分析】()(44)||x x f x x -=+， f (1)≠0，A 不正确；2()(44)log ||x x f x x -=-是奇函数，不满足题意，B 不正确；12()(44)log ||x x f x x -=+，当x ∈(0，1)时，()0f x >，不满足题意，D 不正确.【详解】由函数f (x )的图像知函数f (x )是偶函数，且当x=1时，f (1)=0. ()(44)||x x f x x -=+是偶函数，但是f (1)≠0，A 不正确； 2()(44)log ||x x f x x -=-是奇函数，不满足题意，B 不正确；12()(44)log ||x x f x x -=+是偶函数，f (1)=0，但当x ∈(0，1)时，()0f x >，不满足题意，D不正确. 故选：C.20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的解析式可能是（）A ．f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）|x |B ．f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）log 2|x |C ．f （x ）＝（4x +4﹣x ）|x |D ．f （x ）＝（4x +4﹣x ）log 2|x |【答案】D 【分析】根据题意，用排除法分析：利用函数的奇偶性可排除A 、B ，由区间（0，1）上，函数值的符号排除C ，即可得答案．【详解】根据题意，用排除法分析：对于A ，f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）|x |，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝（4﹣x ﹣4x ）|x |＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，不符合题意；对于B ，f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）log 2|x |，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（4﹣x ﹣4x ）log 2|x |＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，不符合题意；对于C ，f （x ）＝（4x +4﹣x ）|x |，在区间（0，1）上，f （x ）＞0，不符合题意；对于D ， f （﹣x ）＝（4x +4﹣x ）log 2|x |＝f （x ）为偶函数，且在区间（0，1）上，f （x ）<0，符合题意故选：D21．（2022·全国·高三专题练习）已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（）A ．()()sin x xf x e e -=+ B ．()()sin x xf x e e -=- C ．()()cos x xf x e e -=-D ．()()cos x xf x e e -=+【答案】D 【分析】根据特殊值排除A 、C ，再判断函数的奇偶性即可排除B ；【详解】解：对于A ：()()sin x x f x e e -=+，()()000sin sin 20f e e =+=>，故A 错误；对于B ：()()sin x xf x e e -=-，则()()()()sin sin x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，故()()sin x x f x e e -=-为奇函数，故B 错误；对于C ：()()cos x x f x e e -=-，则()()000cos cos01f e e =-==，故C 错误；对于D ：()()cos x x f x e e -=+，()()000cos cos 20f e e =+=<，且()()()cos x xf x e e f x --=+=，即()()cos x xf x e e -=+为偶函数，满足条件；故选：D22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．()sin ln f x x x =⋅B ．()sin ln f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()sin ln f x x x =⋅【答案】A 【分析】由图象对称性确定奇偶性，再由函数值的正负排除错误选项，得出正确结论．【详解】图象关于原点对称，为奇函数，选项BCD 中定义域都是{|0}x x >，不合，排除，选项A 是奇函数．故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象选择函数解析式，可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.23．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的大致图象如下，下列选项中e 为自然对数的底数，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．x x eB ．1x x e +C ．2x x e e --D ．x xx x e e e e--+-【答案】D 【分析】分析各选项中函数的奇偶性，结合特殊值法可得出合适的选项. 【详解】由图可知，函数()f x 为奇函数. 对于A 选项，函数()x x f x e =的定义域为R，()()x xx xf x f x e e ---=≠-=-，函数()xxf x e =不是奇函数，排除A 选项；对于B 选项，函数()1x x f x e +=的定义域为R，()()11x xx x f x f x e e --+-=≠-=-，函数()1xx f x e +=不是奇函数，排除B 选项；对于C 选项，由0x x e e --≠可得0x ≠，即函数()2x x e ef x -=-的定义域为{}0x x ≠， ()()2x x f x f x e e --==--，函数()2x x e e f x -=-为奇函数，()22221f e e-=<-， C 选项不满足要求；对于D 选项，由0xxe e --≠可得0x ≠，即函数x x x xe ef xe e的定义域为{}0x x ≠，()()x xx x e e f x f x e e --+-==--，函数x x x xe ef xe e为奇函数，当0x >时，()1x xx x e e f x e e--+=>-，满足题意.故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.二、多选题24．（2022·全国·高三专题练习）函数()||()af x x a R x=+∈的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【分析】根据题意，分0a =、0a >以及0a <三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．【详解】解：根据题意，当0a =时，()||f x x =，(0)x ≠，其图象与选项A 对应，当0a >时，,0(),0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，在区间(0,)+∞上，()a f x x x =+，其图象在第一象限先减后增，在区间(,0)-∞上，()f x 为减函数，其图象与选项B 对应，当0a <时，,0(),0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，在区间(0,)+∞上，()f x 为增函数，在区间(,0)-∞上，()[()]a af x x x x x-=-+=-+-，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项D 对应，故选：ABD ．25．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.26．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器项部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD 【分析】根据几何体的形状判断每增加一个高度需要的水是越多那么增加的比较平缓，每增加一个高度需要的水越少，那么增加的比较快，比较图象判断选项. 【详解】对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此A 不正确；对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平稳，所以B 正确；对于第三幅图，开始是下面窄，上面宽，增加同一个高度需要的水越多，因此趋势愈加平稳，过了一半以后，越往上面越窄，增加同一个高度需要的水越少，因此趋势越快，所以C 正确；对于第四幅图，开始下面宽，上面窄，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越少，因此趋势越快，过了一半以后，越往上面越宽，增加同一个高度，需要的水水越多，因此趋势越平稳，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查根据实际问题判断函数的图象，重点考查理解能力，属于中档题型. 27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的局部图象如图所示，则下列选项中不可能是函数f（x）解析式的是（）A．y＝x2cos x B．y＝x cos x C．y＝x2sin x D．y＝x sin x【答案】ABCD【分析】根据图象判断函数为奇函数，且当x＞0，f（x）＞0，利用排除法进行判断即可．【详解】由图象知函数为奇函数，则排除A，D，两个函数为偶函数，当x＞0时，f（x）＞0，排除B，C，故ABCD都不成立，故选：ABCD．三、填空题28．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点，则a的值为________.【答案】1 2【分析】在同一平面直角坐标系内，作出函数图象，找出符合题意的临界条件，求出a的值，【详解】在同一平面直角坐标系内，作出函数y=2a与y=|x-a|-1的大致图象，如图所示.由题意，可知2a=-1，则a=1 2 -.故答案为：1 2 -【点睛】本题考查函数的图象，考查学生数形结合思想，属于基础题.。

初中所有函数及其图像教案

初中所有函数及其图像教案教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的性质。

2. 学会绘制常见函数的图像。

3. 能够运用函数图像解决实际问题。

教学内容：1. 函数的概念与性质2. 常见函数的图像3. 函数图像的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念：给出函数的定义，举例说明函数的概念。

2. 引导学生思考函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

二、探究常见函数的图像（15分钟）1. 正比例函数：引导学生观察正比例函数的图像，分析其特点。

2. 反比例函数：引导学生观察反比例函数的图像，分析其特点。

3. 二次函数：引导学生观察二次函数的图像，分析其特点。

4. 三角函数：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点。

三、函数图像的应用（15分钟）1. 图像变换：引导学生学习函数图像的平移、缩放等变换方法。

2. 实际问题：给出实际问题，引导学生运用函数图像解决问题。

四、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学内容。

2. 教师批改练习题，及时反馈学生的学习情况。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学内容，巩固知识点。

2. 教师引导学生反思学习过程，提高学生的学习效果。

教学评价：1. 学生能够理解函数的概念，掌握函数的性质。

2. 学生能够绘制常见函数的图像，并理解其特点。

3. 学生能够运用函数图像解决实际问题。

教学资源：1. 函数图像展示软件。

2. 练习题。

教学建议：1. 注重引导学生主动探究，培养学生的动手能力。

2. 注重理论联系实际，提高学生的应用能力。

3. 注重学生之间的合作与交流，培养学生的团队精神。

以上是关于初中所有函数及其图像的教案，希望对您有所帮助。

函数的图像的教案

函数的图像教案一、教学目标1. 了解什么是函数的图像。

2. 学习如何绘制函数的图像。

3. 掌握函数图像在数轴上的显示。

4. 理解函数图像与函数的关系。

二、教学准备1. 黑板、白板或投影仪2. 教学笔、粉笔或白板笔3. 教学用纸、尺子和画笔4. 函数图像的练习题三、教学步骤1. 引入函数图像的概念（5分钟）教师可以通过例子来引入函数图像的概念。

例如，让学生想象一个简单的函数，比如y = x，然后通过替换x的值来绘制对应的点。

这样学生就可以理解函数图像是由多个点构成的。

2. 解释如何绘制函数图像（10分钟）教师可以从绘制简单函数图像开始，如y = x、y = x^2等。

解释每个点的坐标表示函数的值。

教师可以使用数轴来帮助学生理解函数图像在数轴上的显示。

3. 学生实践绘制函数图像（20分钟）让学生用纸和铅笔练习绘制函数图像。

教师可以在黑板上展示一个函数，然后让学生在纸上模仿绘制。

教师要定期检查学生的进展，并提供指导和帮助。

4. 讨论函数图像与函数的关系（10分钟）教师可以与学生讨论函数图像与函数的关系。

例如，学生可以观察到函数图像的形状如何随着函数的不同而变化。

教师可以向学生提供一些函数曲线的例子，并让学生观察它们的特点和规律。

5. 练习题和作业（15分钟）教师可以提供一些练习题，让学生在课堂上完成。

这些练习题可以包括绘制函数图像、写出函数图像的方程等。

教师可以选取一些具有挑战性的问题，以鼓励学生思考和探索。

6. 总结与反馈（10分钟）教师可以对课堂内容进行总结，并回顾学生所学的知识和技能。

同时，教师可以向学生征求反馈，了解课堂教学的效果和学生的进展。

四、教学评估教师可以通过学生的练习题和作业来评估学生对函数图像的理解和掌握程度。

此外，教师也可以通过课堂表现和参与度来评估学生对相关概念的理解和运用能力。

五、拓展延伸教师可以引导学生进一步学习函数图像的概念和绘制技巧。

学生可以自主选择更复杂的函数，如三次函数、指数函数等，并学习如何绘制它们的图像。

2021学年高一寒假讲义第4讲三角函数图像和性质学生

第四讲三角函数图像和性质[玩前必备]1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质π2．用“五点法”作图，就是令ωx ＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3．三角函数图象变换4[常用结论]（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．[玩转典例]题型一三角函数的5大性质例1 (安老师原创)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值； (3)写出函数f (x )的单调递增区间． (4)写出函数f (x )的对称轴和对称中心.(5)函数f (x )向右平移t 个单位为偶函数，求t 的最小正值。

[玩转跟踪]1．（2020·山东高三下学期开学）函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π2．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴3.（2019·呼和浩特开来中学）已知函数21()2cos 2f x x x =-+. (1)求2()3f π的值及f (x )的对称轴； (2)将()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间.题型二三角函数模型中“ω”范围的求法探究例2 (2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，83 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，83D.⎣⎡⎦⎤38，2例3 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的一条对称轴x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1例4 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． [玩转跟踪]1．(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B ．16C.14D.132.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，则ω的值为( ) A.23 B ．23或2C.13D ．1或133.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则 ω的最小值为________．题型三三角函数的图像和图像变换例5 （2017山东）设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．[玩转跟踪]1．(2014·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) ()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-03ω<<()06f π=ω()y f x =4π()y g x =()g x 3[,]44ππ-A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 2.【2017课标1，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（） A 12x π=对称 B ．图象关于y 轴对称 C ．最小正周期为π D ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称题型四由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例6 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝ .(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为．[玩转跟踪]1．(四川，6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π32.(2020·石家庄质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2 C.7π6D.7π12题型五三角函数大题例7 已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．[玩转跟踪]1．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.2．(山东，18)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．[玩转练习]1．(2020·永州模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象大致是( )2．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12 B.π3 C.13π6D.7π63．将曲线y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2向右平移π6个单位长度后得到曲线y ＝f (x )，若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则φ＝( ) A.π3 B ．π6C ．－π3D ．－π64．(2020·郑州市第一次质量预测)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25.(多选)已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝2C ．ω＝π3D ．ω＝3π6．(多选)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是减函数 D ．由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________．8．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是________． 9．(2020·安徽合肥一中等六校教育研究会联考)将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________. 10．(一题两空)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，且f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．。

第四讲二次函数的图象和性质

模块三函数第四讲二次函数的图象和性质知识梳理夯实基础知识点1：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点2：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a 顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba 时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征a>0开口向上aa<0开口向下b=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧bab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧c=0经过原点c>0与y轴正半轴相交cc<0与y轴负半轴相交b2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4acb2–4ac<0与x轴没有交点知识点3：抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．:2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．知识点4：二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标． 3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．知识点5：二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．直击中考胜券在握1．（2021·甘肃兰州中考）二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．1x =-B ．2x =-C ．1x =D ．2x =【答案】A 【分析】将二次函数222=++y x x 写成顶点式，进而可得对称轴．【详解】解：Q 222=++y x x 2(1)1=++x ．\二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是1x =-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．2．（2021·西藏中考）将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（）A ．y ＝x 2﹣8x ＋22B ．y ＝x 2﹣8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋10D ．y ＝x 2＋4x ＋2【答案】D 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y ＝（x ﹣1＋3）2＋2，即y ＝（x ＋2）2＋2；再向下平移4个单位为：y ＝（x ＋2）2＋2﹣4，即y ＝（x ＋2）2﹣2＝x 2＋4x ＋2．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2021·广西河池中考）二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，下列说法中，错误的是（）A ．对称轴是直线12x =B ．当12x -<<时，0y <C ．a c b +=D ．a b c+>-【答案】D 【分析】由与x 轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A ；结合函数图象判断选项B ；令x =-1,判断选项C ；令x =1,判断选项D ,即可解答．解：A 、对称轴为：直线12122x -+== ，故选项A 正确，不符合题意；B 、由函数图象知，当-1<x <2时，函数图象在x 轴的下方，∴当-1<x <2时，y <0，故选项B 正确，不符合题意；C 、由图可知：当x =-1时，y =a -b +c =0，∴a +c =b ，故选项C 正确，不符合题意；D 、由图可知：当x =1时，y =a +b +c <0∴a +b <-c ，故选项D 错误，不符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(),10B -两点，则下列说法正确的是（）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a ＞0，A 错误；∵解析式为2(2)y a x k =++，故对称轴为直线x =-2，D 正确∵(),10B -∴A 点坐标为（-3，0），故B 错误；由图可知当2x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 错误；故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．5．（2021·广东广州·中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．5【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，∴50930c a b c a b c =-ìï-+=íï++=î，解方程组得553103c a b ìï=-ïï=íïï=-ïî，∴抛物线解析式为2353051y x x -=-，当2x =时，103542553y =´´-=--．故选择A ．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．6．（2021·绍兴中考）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数22(4)6y x =-+的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数22(4)6y x =-+中，a =2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．7．（2021·贵州黔东南中考）如图，抛物线()210:+=+L y ax bx c a ¹与x 轴只有一个公共点A （1，0），与y轴交于点B （0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线2L ，则图中两个阴影部分的面积和为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】连接AB ，OM ，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM 面积求解即可．【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M ，连接AB ，OM ．由题意可知，AM =OB ，∵()(),1,0,20A B ∴OA =1，OB =AM =2，∵抛物线是轴对称图形，∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM 的面积，∵//AM OB ，AM OB =，∴四边形ABOM 为平行四边形，∴212ABOM S OB OA =·=´=四边形．故选：B ．【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．8．（2021·江苏徐州中考）在平面直角坐标系中，将二次函数2y x =的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =--【答案】B 【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵2y x =的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数2y x =的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为()221y x =++，故选B 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．9．（2021·山东淄博中考）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m ===V V V ，则m 的值是（）A ．1B ．32C ．2D ．4【答案】C 【分析】由题意易得点123,,P P P 的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．【详解】解：假设点A 在点B 的左侧，∵二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点，∴令0y =时，则有20286x x =-+，解得：121,3x x ==，∴()()1,0,3,0A B ，∴312AB =-=，∵图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m ===V V V ，∴点123,,P P P 的纵坐标的绝对值相等，如图所示：∵()22286222y x x x =-+=--，∴点()12,2P -，∴112222ABP m S ==´´=V ；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表：x …-10123…y…3-1m3…以下结论正确的是（）A ．抛物线2y ax bx c =++的开口向下B ．当3x <时，y 随x 增大而增大C ．方程20ax bx c ++=的根为0和2D ．当0y >时，x 的取值范围是02x <<【答案】C 【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．【详解】解：将(1,3),(0,0),(3,3)-代入抛物线的解析式得；309333a b c c a b -+=ìï=íï++=î，解得：1,2,0a b c ==-=，所以抛物线的解析式为：222(2)(1)1y x x x x x =-=-=--，A 、0a >Q ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B 、抛物线的对称轴为直线1x =，在13x <<时，y 随x 增大而增大，故选项错误，不符合题意；C 、方程20ax bx c ++=的根为0和2，故选项正确，符合题意；D 、当0y >时，x 的取值范围是0x <或2x >，故选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．11．（2021·四川雅安中考）定义：{}()min ,()a ab a b b a b £ì=í>î，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令(),y min a b =,当2123x x x +£-++时，即220x x --£时，1y x =+，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w £时，12x -££，∴1y x =+（12x -££），∵y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w >时，2x >或1x <-，∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-），∵2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1，∴当2x >时，y 随x 的增大而减小，∵当x =2时，2y x 2x 3=-++=3，∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大，∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0；∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3．故选C ．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．12．（2021·湖北天门中考）若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-【答案】A【分析】设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)x x ，且21x x >，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为2x =”建立方程可求出12,x x 的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点P 的坐标，然后根据关于x 轴的对称点的坐标变换规律即可得．【详解】解：设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)x x ，且21x x >，由题意得：2112422x x x x -=ìïí+=ïî，解得1204x x =ìí=î，则抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(0,0),(4,0)，将点(0,0),(4,0)代入2y x bx c =++得：01640c b c =ìí++=î，解得40b c =-ìí=î，则抛物线的解析式为224(2)4y x x x =-=--，顶点P 的坐标为(2,4)-，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是(2,4)，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于x 轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13．（2021·贵州铜仁中考）已知直线2y kx =+过一、二、三象限，则直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】C【分析】先由直线2y kx =+过一、二、三象限，求出0k ＞，通过判断方程2232x x kx -+=+实数解的个数可判断直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+交点的个数．【详解】解：∵直线2y kx =+过一、二、三象限，∴0k ＞．由题意得：2232x x kx -+=+，即()2210x k x -++=，∵△()222440k k k éù=-+-=+ëû＞，∴此方程有两个不相等的实数解．∴直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为2个．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．14．（2021·四川广元中考）将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（）A ．214-或3-B ．134-或3-C ．214或3-D ．134或3-【答案】A【分析】由二次函数解析式2y x 2x 3=-++，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线y x b =+表示的图像可看做是直线y x =的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y x =经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x =经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线y x b =+与函数2y x 2x 3=-++关于x 轴对称的函数223y x x =--图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．【详解】解：由2y x 2x 3=-++知，当0y =时，即2230x x -++=解得：121,3x x =-=()()1,0,3,0A B \-作函数y x =的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：03b=+3b \=-平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x -££时，只有一个交点当13x -££的函数图像由2y x 2x 3=-++的图像关于x 轴对称得到\当13x -££时对应的解析式为223y x x =--即{223y x by x x =+=--，整理得：2330x x b ---=()()234132140b b \D =--´´--=+=214b \=-综上所述3b =-或214-故答案是：A ．15．（2021·四川眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．16．（2021·广西贺州中考）如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +³-+的解集是（）A ．3x £-或1³x B ．1x £-或3x ³C ．31x -££D ．13x -££【答案】D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．y kx m =+Q 与y kx m =-+关于y 轴对称抛物线2y ax c =+的对称轴为y 轴，因此抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+的交点和与直线y kx m =-+的交点也关于y 轴对称设y kx m =-+与2y ax c =+交点为A B ¢¢、，则A ¢2(1,)y -，B ¢1(3,)y Q 2ax c kx m+³-+即在点A B ¢¢、之间的函数图像满足题意2ax c kx m \+³-+的解集为：13x -££故选D ．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解y kx m =+与y kx m =-+关于y 轴对称是解题的关键．17．（2021·内蒙古中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =-+¹的图象经过第一象限的点(1,)b -，则一次函数y bx ac =-的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据直角坐标系和象限的性质，得0b <；根据二次函数的性质，得0a c +=，从而得2y bx ac bx a =-=+，通过计算即可得到答案．【详解】∵点(1,)b -在第一象限∴0b ->∴0b <∵二次函数2(0)y ax bx c a =-+¹的图象经过第一象限的点(1,)b -∴b a b c-=-+∴0a c +=∴2y bx ac bx a =-=+当0x =时，2y a =，即y bx ac =-和y 轴交点为：()20,a当0y =时，2a x b =-，即y bx ac =-和x 轴交点为：2,0a b æö-ç÷èø∵20a >，20a b -> ∴一次函数y bx ac =-的图象不经过第三象限故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．18．（2021·安徽·中考真题）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）若抛物线经过点(1,)m -，则m =______；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．【答案】02【分析】（1）直接将点(1,)m -代入计算即可（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值【详解】解：（1）将(1,)m -代入2(1)y x a x a =+++得：110m a a =--+=故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为：2(1)+2y x a x a =+++由抛物线顶点坐标24-,24b ac b aa æö-ç÷èø得新抛物线顶点的纵坐标为：24(2)(1)4a a +-+2274a a -++=2(21)84a a --++=2(1)84a --+=∵2(1)0a -³∴当a =1时，()218a --+有最大值为8，∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是8=24故答案为：2【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法19．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx +23（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值4m 3，求m 的值．【答案】（1）y =―13(x ―2)2+3；（2）k 1=2,k 2=23,；（3）m =―或94.【解析】【分析】（1）把A 0, （2）联立两个函数的解析式，消去y, 得：―13(x ―2)2+3=kx +23,再利用根与系数的关系与x 21+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=10,可得关于k 的方程，解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当m ≤2, 2＜m ＜8, m ≥8, 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：（1）把Ay =a (x ―2)2+3中，∴4a +3=53,∴a =―13,∴ 抛物线的解析式为：y =―13(x ―2)2+3. （2）联立一次函数与抛物线的解析式得：y =kx +23y =―13(x ―2)2+3 ∴―13(x ―2)2+3=kx +23,整理得：x 2―(4―3k )x ―3=0, ∴x 1+x 2=4―3k,x 1x 2=―3,∵x 21+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=10,∴(4―3k )2―2×(―3)=(4―3k )2+12>0, ∵x 1+x 2=4-3k ，x 1•x 2=-3，∴x 12+x 22=（4-3k ）2+6=10，解得：k 1=2,k 2=23,∴k 1=2,k 2=23,（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m ＜2时，当x=m 时，y 有最大值，4m 3=-13（m-2）2+3，解得∴当m≥2时，当x=2时，y 有最大值，∴4m 3=3，∴m=94，综上所述，m 的值为或94．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.20．（2021·青海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x 轴上，点B在y轴上，C点的坐标为1，0，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+(b―1)x+c>2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点,当PQ=P点的坐标．【答案】（1）y=―x2―x+2；（2）―2<x<0；（3）P坐标有P1(―1,2)或P2(―1+或P3(―1――【解析】【分析】(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；(2)将不等式ax2+(b―1)x+c>2变形为ax2+bx+c>x+2,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；(3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出PD==1，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．【详解】解：(1)当y=0时，x+2=0，解得x=―2，当x=0时，y=0+2=2，则点A(―2,0)，点B(0,2)，把A(―2,0)，B(0,2)，C(1,0)，分别代入y=ax2+bx+c得4a ―2b +c =0a +b +c =0c =2解得：a =―1，b =―1，c =2，∴该抛物线的解析式为y =―x 2―x +2．(2)由不等式ax 2+(b ―1)x +c >2，得ax 2+bx +c >x +2，由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，则不等式ax 2+(b ―1)x +c >2的解集为―2<x <0；(3)如图，作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，在Rt △AOB 中，∵OA =OB =2，∴∠OAB =45°，∴∠PDQ =∠ADE =45°，在Rt △PDQ 中，∠DPQ =∠PDQ =45°，∴PQ =DQ =∴PD ==1，设点P (m,―m 2―m +2)，则点D (m,m +2)，当点P 在直线AB 上方时，PD =―m 2―m +2―(m +2)=―m 2―2m ，即―m 2―2m =1，解得m =―1，则―m 2―m +2=2，∴P 点的坐标为：P 1(―1,2)．当点P 在直线AB 下方时，PD =m +2―(―m 2―m +2)=m 2+2m ，即m2+2m=1解得m=―1±∴―m2―m+2=±∴P2(―1或P3(―1――，综上所述，符合条件的点P坐标有P1(―1,2)或P2(―1或P3(―1――．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．。

第4讲含有两个绝对值的不等式的解法(学生版)

第4讲含有两个绝对值不等式的解法【课型】新授课
【教学目标】
【预习清单】
【知识梳理】
一.去绝对值的原则：
a
二．画含有两个绝对值函数的图像：利用去掉转化成一个分段函数去画。

三．含有两个绝对值不等式的解法
1.|)
(x
f|>|)
(x
g|型不等式的解法：
2.|)
(x
f|＋|)
(x
g|≥)
(x
h型不等式的解法：
【引导清单】
考向一：含有两个绝对值函数图像的画法
【例1】已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求f(x))的值域．
考向二：含两个绝对值不等式解法
【例2】解下列不等式：
（1）|2x－1|－|x－2|＜0 （2）|2x－1|＜|x|＋1.
【训练清单】
【变式训练1】已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．
【变式训练2】已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈f(x)<|x|＋1；
【巩固清单】
1.解不等式：|x －2|＋|x ＋3|>7.
不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10
3．已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．
（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；
（2）分析()y f x =和()y g x =的最值情况
4.已知函数g (x )＝|x －1|＋2.解不等式|g (x )|<5；。

关于函数图像的教学教案

关于函数图像的教学教案一、教学目标1. 让学生了解函数图像的基本概念，理解函数图像与函数性质之间的关系。

2. 培养学生观察、分析函数图像的能力，提高学生解决问题的能力。

3. 帮助学生掌握绘制函数图像的基本方法，提高学生的动手操作能力。

二、教学内容1. 函数图像的基本概念2. 一次函数、二次函数、反比例函数的图像及其性质3. 函数图像的绘制方法4. 函数图像在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数图像的基本概念、函数图像与函数性质之间的关系、函数图像的绘制方法。

2. 难点：函数图像在实际问题中的应用。

四、教学方法与手段1. 采用讲授法、演示法、实践法、讨论法等教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段。

五、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，引导学生思考函数图像的意义和作用。

2. 讲解函数图像的基本概念，引导学生理解函数图像与函数性质之间的关系。

4. 教授函数图像的绘制方法，让学生动手实践，加深对函数图像的认识。

5. 结合实际问题，讲解函数图像在解决问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。

6. 课堂小结：回顾本节课所学内容，帮助学生巩固知识点。

7. 布置作业：设计具有针对性的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价内容：学生对函数图像的基本概念的理解、函数图像与函数性质之间关系的把握、函数图像绘制方法的掌握、以及在实际问题中应用函数图像的能力。

2. 评价方法：课堂问答、作业批改、测验考试、学生自我评价和同伴评价等。

3. 评价标准：能准确描述函数图像的基本特征，能够分析函数图像与函数性质的关系，能够正确绘制简单的函数图像，能够将函数图像应用于解决实际问题。

七、教学资源1. 教材：选用符合课程标准的教材，提供丰富的函数图像实例和问题。

2. 多媒体课件：制作含有动画和互动元素的课件，帮助学生更好地理解函数图像的概念和性质。

3. 实物模型：准备一些实物模型，如几何图形，帮助学生直观地理解函数图像。

函数的图像教案初中

函数的图像教案初中教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的图像特点。

2. 学会绘制简单的函数图像，并能分析图像的性质。

3. 能够运用函数图像解决实际问题。

教学重点：1. 函数图像的概念和特点。

2. 绘制函数图像的方法。

3. 函数图像在实际问题中的应用。

教学难点：1. 函数图像的绘制和分析。

2. 函数图像在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 函数图像的示例。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，引导学生回顾函数的定义。

2. 提问：函数有什么特点？函数与图像有什么关系？二、讲解函数图像的概念和特点（15分钟）1. 解释函数图像的含义，引导学生理解函数图像是由函数值在坐标系中对应的点组成的。

2. 讲解函数图像的特点，如直线、曲线、交点等。

3. 举例说明函数图像的性质，如单调性、奇偶性等。

三、演示函数图像的绘制方法（15分钟）1. 讲解函数图像的绘制方法，如描点法、绘制法等。

2. 示例演示绘制函数图像的过程，如绘制y=x^2的图像。

3. 引导学生动手绘制其他简单函数的图像，如y=2x+1等。

四、练习和分析函数图像（15分钟）1. 给学生发放函数图像的练习题，让学生独立绘制和分析函数图像。

2. 引导学生通过观察图像来判断函数的单调性、奇偶性等性质。

3. 讨论和解答学生的问题，帮助学生理解函数图像的性质。

五、应用函数图像解决实际问题（15分钟）1. 给学生发放实际问题的题目，如求函数的最大值、最小值等。

2. 引导学生运用函数图像来解决实际问题，如通过观察图像来确定函数的最大值。

3. 讨论和解答学生的问题，帮助学生掌握函数图像在实际问题中的应用。

六、总结和复习（5分钟）1. 总结本节课的内容，强调函数图像的概念和特点。

2. 提醒学生掌握函数图像的绘制方法和分析方法。

3. 鼓励学生在课后继续练习和探索函数图像的性质和应用。

教学反思：本节课通过讲解和演示函数图像的概念和特点，以及绘制方法，帮助学生理解和掌握函数图像的基本知识。