3-1 刚体的定轴转动

d 杨 角速度矢量 lim t 0 t dt 小
红
方向:
右手螺旋方向
8
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角 速度的正负来表示 . 角加速度
d dt

z
z


理 >0 <0 定轴转动的特点 学 院 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 小 红 3） 运动描述仅需一个坐标 .
刚体绕定轴作匀变速转动
0 t
2
x x0 v 0 t at
0 0t t
1 2
2
v v 2a( x x0 ) 2 02 2 ( 0 )
10
3 角量与线量的关系

理 学 院 杨 小 红
d dt d d 2
1 解 （1） 0 5π rad s , t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动
理 t 学 院 飞轮 30 s 内转过的角度
杨 小 红
0
05π π 2 rad s 30 6
2 2 0 (5 π ) 2 75π rad 2 2 ( π 6) 转过的圈数 N 2 π 37.5 r
r


3
例 一质量为 m、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r

圆环质量
dm 2π rdr
3
RR
O
r dr
理 学 圆环对轴的转动惯量 院 2 杨 小 红
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R
(C)（2）、（3）是正确的;
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
23
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置 . 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 理的转轴的转动惯量 学 2 院 J J md
O C
注意
第三章 刚体与流体
理 学 院 杨 小 红
1
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系. 二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定律. 三 理解角动量概念，掌握刚体绕定轴转动 的角动量定理及角动量守恒定律. 四 理解理想流体的概念，掌握流体连续性 方程，掌握伯努利方程及其应用。
14
三 力矩 转动定律 转动惯量
1 力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 且在转动平面内,
r
F 作用在刚体上点 P ,
为由点O 到力的作用点 P 的径
矢. 理 学 院 杨 小 红
F 对转轴 Z 的力矩
M
M r F
O
M Fr sin Fd
d
: 力臂
M
z
r
27
例2 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 m的物 B 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从 静止落下距离 y 时， 理 其速率是多少？（3） C 学 A mA mC 若滑轮与轴承间的摩 院 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 杨 M f 再求线加速度及 小 mB B 绳的张力. 红 28
o

o
vi Pm ri i )
参考方向
7
二
刚体绕定轴转动的角速度和角加速度 1 角速度和角加速度
角位置
约定
(t )
z
(t )
理 学 院
>0 沿顺时针方向转动 < 0
沿逆时针方向转动
x
参考平面
参考轴
百度文库
角位移 (t t ) (t )
d
C
m
O
杨 1 圆盘对P 轴 小 J P mR 2 mR 2 红 的转动惯量 2
P
R O m
24
理 学 院 杨 小 红
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
25
例1 如图, 有一半径为 R 质量为 的匀质圆盘 m 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之 间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一
RFT2 RFT1 J
PC
FT2
mB PB y
O
a R
29
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
22
例 关于力矩有以下几种说法: （1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等; 在上述说法中 理 学 院 杨 小 红
(A) 只有（2）是正确的; (B)（1）、（2）是正确的;
12
1 已知：0 5 π rad s , r 0.2m . 求：
（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；
π 1 解: 0 t (5 π 6) 4 π rad s 6
理 学 院 杨 小 红
（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速 度和法向加速度 . 解:
M M ij 0
17
二
转动定律
Fit (mi )at mi ri
z
O
M i ri Fit (mi )at ri
理 M i ( mi ) ri 学 Mi 院 M
Fit
at r
ri
mi
2

2 2

杨 小 红
转动惯量
(mi )ri (mi )ri 2 J mi ri
理 学 院 杨 小 红
2
一 刚体的平动与转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化 的物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
刚体的运动形式：平动、转动. 平动：若刚体中所有点 理 的运动轨迹都保持完全相同， 学 或者说刚体内任意两点间的 院 连线总是平行于它们的初始 杨 位置间的连线. 小 质点运动 红 刚体平动
A
理 学 院 FT1 杨 小 红
mA FN FT1 mA O x PA
FC
FT1
C
mC FT2
mB B
FT2
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
FT1 mA a
mB g FT2 mB a
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
16
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O 理 学 院
M ij M ji
F ji i F r ij
i
rj
j
M ji
d
杨 结论：刚体内各质点间的 小 红 作用力对转轴的合内力矩为零.
M J
转动定律
18
转动定律
M J
J mi ri
2
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动惯量物理意义：转动惯性的量度. 理 质量连续分布刚体的转动惯量 学 2 2 院 J m r r dm

i
i i
杨 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何 小 红形状及转轴的位置. 19
理 学 院 杨 小 红
刚体的一般运动 蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为 一个随质心的平动加上绕质心的转动
5
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
理 学 院 杨 小 红
6
二
刚体绕定轴转动的角速度和角加速度
刚体定轴转动的特征 1)、刚体上各质点都在垂直于固定转轴的平 面内作圆周运动。 2)、各质点作圆周运动的 理 半径在相同的时间内转过 学 的角度相同。 院 所以刚体中所有质点都 杨 具有相同的角位移、 小 角速度、角加速度。 红
v r 0.2 4 π 2.5 m s π 2 at r 0.2 ( ) 0.105 m s 6 2 2 2 an r 0.2 (4 π) 31.6 m s
2
13
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作 用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作
0
而
m π R
2
2
所以
1 2 J mR 2
21
例 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （Ａ）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布 和轴的位置无关． （Ｂ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与 轴的位置无关． 理 （Ｃ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴 学 院的位置． （Ｄ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质 杨量的空间分布无关． 小 红 （Ｃ）
3
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
理 学 院 杨 小 红
刚体的平面运动 .
4
平动和转动
刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速 度、及相似的轨迹。只要找到一点的运动规律， 刚体的平动规律便可以全知道。事实上，常常 利用质心的运动来了解物体平动规律。
用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力
的作用点的位置对物体的运动有影响吗？
理 学 院
F F
F F
Fi 0 , M i 0
圆盘静止不动
Fi 0 , M i 0
圆盘绕圆心转动 杨 小 红 力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
dt dt
2


a
an r
v ret
a t r a n r
2
et v a
t
2 a ret r en
11
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· -1， 因 min 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求:（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；
端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体 下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.
理 学 院 杨 小 红
m
R o
m
T
m
解：1） 分析受力
o R
2）选取坐标
m
T'
P y
注意：转动和平 动的坐标取向要一致.
26
3）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 约束条件 转动惯量
杨 2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
9
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
理 质点匀变速直线运动 学 v v 0 at 院 杨 小 红
1 2
2 2 0
注意

质量元: dm
讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒 垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 . O
l 2
O
r
dr
dr l 2 O´
O´
l
设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的 理 2 2 质量元 dm dr 学 dJ r dm r dr 院 l/2 2 1 2 转轴过中心垂直于棒 J 2 r dr ml 0 12 杨 l 2 1 2 小 转轴过端点垂直于棒 J r dr ml 20 红 0
mg T ma y T R J
a y R
T T
J m' R / 2
2
理 学 院 杨 小 红
m
R o
m
T
m
先文字计算求解， 后代入数据求值.
o R
a y 2mg (2m m' )
m
T'
P y 2mg [(2m m' ) R]
T m' mg /(2m m' )
F
*
d
P

15
讨论
1）若力 F 不在转动平面内，可把力分解为
平行于和垂直于转轴方向的两个分量
其中 Fz 对转轴的力矩为
零，故力对转轴的力矩 理 M z k r F 学 院 杨 小 红
F Fz F
z
k
O
Fz
r
F F
M z rF sin