大学物理 刚体的定轴转动

5.1.3 刚体的运动及描述
（只讨论定轴转动） 定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。
o
转轴
各质元均作圆周运动，其圆心 都在一条固定不动的直线（转 轴）上。各质元的线量一般不 同（因为半径不同）但角量 （角位移、角速度、角加速度） 都相同。
∴描述刚体整体的运动用角量最方便。
角位移:描写刚体位置变化的物理量。 刚体初始角坐标 末态角坐标
5.2.1力对转轴的力矩 (1) 力在转动平面内 Z Mz O r f d P
转动平面 力矩 M z r f
转动Βιβλιοθήκη Baidu面
任意方向的力对转轴 的力矩
M z rf sin
M z rf
方向：右手螺旋法则
取其在转动平面内的分力 f 2 产生力矩。
（3） 几个外力产生的合力矩 M M1 M 2 M n 如果是定轴转动:
d 加速转动 方向一致 减速转动 方向相反 dt 线速度与角速度的关系： v r

在刚体作匀变速转动（角加速度是 常量）时， 相应公式:
类似于 0 t 2 2 匀变速直线运动 0 2 ( 0 ) 0
例：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为： t 1 9 0 rad s 0 (1 e ), 式中 0 2 0s
求： ⑴t =6 · 0 s时的转速 ； ⑵角加速随时间变化的规律； ⑶启动后6 · 0 s 内转过的圈数。 解：⑴根据题意转速随时间的变化关系， 将t =6 · 0 s 代入，即 t 得： 1
式中J MR
1 2
2
且由角量与线量的关系，有：a =R ⑷ 解联立方程组⑴、⑵、⑶和⑷ ，可得：
m1 m2 a g 1 m1 m2 2 M
2m2 1 2M T1 m1 g 1 m1 m2 2 M
2m1 1 2M T2 m2 g 1 m1 m2 2 M
J (mi ri 2 )
i 1
n
国际单位制中转动惯量的单位为千克· 米2（kg· m2）
r—质元到转轴的距离
J r 2 dm
m
dm —质元的质量
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量 与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布
dm dl
其中、、分别 为质量的线密度、 面密度和体密度。

t
t0
L Mdt dL L L0
L0
Mdt dL
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿· 米· 秒 表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
角动量定理
J不变时， Mdt L J J 0
t t0
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
J 改变时
R 0
R
m 1 2 J mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与厚度l无关。所以，实心圆柱对其 轴的转动惯量也是mR2/2。
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴 的转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=dx A
L
X
J A r dm 0 x dx mL / 3
L J J 0 0
5.3 转动惯量的计算
与转动惯量有关的因素：
实质上与转动惯量有关的 •刚体的质量 只有前两个因素。形状即质量 •转轴的位置 分布，与转轴的位置结合决定 •刚体的形状(质量的分布) 转轴到每个质元的矢径。 单个质点的转动惯量
质点系的转动惯量
质量连续分布的 刚体的转动惯量
如果略去滑轮的运动 ，即T1=T2=T 、J=0 ，有：
m1 m2 a g m1 m2
2m1m2 T T1 T2 g m1 m2
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量 重力加速度g的简单装置。
5.2.2、刚体定轴转动的角动量 质点对点的角动量为：
ri
Z
m i
vi
质量为面分布
质量为体分布
dm ds
dm dV
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解:
J r dm
2
R dm R dm mR
2
2 2
L
A L/2
C
L/2
B
X
J C r 2 dm
x 2dx mL2 / 12
L 2 L 2
例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒 端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：
1 1 2 1 2 L 2 J A＝J C＋m mL mL mL 4 3 2 12
转轴
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6
刚体的运动的描述 刚体定轴转动 转动惯量的计算 转动定律应用 角动量守恒 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body） 任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。 （或任意两点之间的距离始终保持不变）
2
J J c md 2
5.3.2平行轴定理
推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动
惯量为J，则有：J＝JC＋md2。这个结论称为平行轴定理。 证明：如右图示，刚体的二轴分别为z 和 z’ 轴，
J z mi ri 2 mi ( xi2 yi2 )
i
y y m x y 2 x m x 2 y m y x
0
P

0
o
x
刚体的角位移
明确：
0
参考方向
角位移较大时是标量；
角位移很小时是矢量。
0
时是矢量。
刚体运动学中所用的角量关系如下：


角速度
r
角加速度 v d d 2 dt dt 2
d dt
角量方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。角速度 是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示 角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向。
m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。 力F 是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学 的联系---- ，从而求出 M或 F。 例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水 平桌面上转动，求摩擦力的力矩 解：杆上各质元均受摩擦力作用， 但各质元受的摩擦阻力矩不同。 l dm m x o 细杆的质量密度 m dx x l 质元质量 dm dx 质元受阻力矩 细杆受的阻力矩
Fi fi Δ mi ai
ri
fi
2、刚体定轴转动的转动定律
d ( J ) dL M J dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma 地位相当
L r p r mv
2
刚体上的一个质元△mi ,绕固 定轴做圆周运动角动量为：
Li ri mi vi ri mi
2 i
所以整个刚体绕此轴的角动量为：
i
L Li ( mi ri ) J
5.2.3、刚体定轴转动的角动量定理 d dL d ( J ) 转动定律 M J J M dt dt dt
dM 阻 dmgx
1 M 阻 mgl 2
1 2
l M 阻 dM 阻 0 gxdx gl2
由细杆质量
m l 有
第二类问题：已知 J 和力矩M ：求出运动情况a和 及F。 N 如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳 M R 的两端分别悬有质量为m1 和m2的物体， T2 且m1 ＞m2 。设定滑轮是一质量为M ，半 T a 1 P a 径为R的圆盘 。绳的质量略去不计 ，且绳 T1 与滑轮无相对滑动 。试求物体的加速度和 m1 T2 绳的张力 。如果略去滑轮的运动，将会得 m2 到什么结果？ 解：分别作出滑轮M、物体m1和m2的受 m2g 力图。 由于绳索质量不计，且长度不变， m1 g 故m1和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。 ⑴ 对m1 ： m1g –T1=m1a 应用牛顿第二定律 对m2 ： T2–m2g = m2a ⑵ 对M ：（T1–T2）R=J ⑶ 应用转动定律
t
6s
0
5 87圈 则 t =6 · 0 s 时电动机转过的圈数 N 2
s 36 9rad 0 [t e ]6 0 9[(6 2 0 05) (0 2)]
5.2 5.4
刚体的转动定律及应用
(2) 力在转动平面外 Z f f1 f2 O r P
2 2
2
O
R dm
I是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dm dV
2
2rdr l
3
Z
O
dJ r dm 2lr dr
J dJ
0 (1 e ) 0 95 0 8 6(rad s )
d 0 t t 2 e 4 5 e ( rad s ) ⑵角加速度随时间变化的规律为： dt
⑶ t =6 · 0 s 时转过的角度为
t

6s
0
dt 0 (1 e )dt
F1 F2
一对内力对转轴的合力矩为零. 由于刚体中的内力都是成对出现的.故整个刚体的合 内力矩为零.
M M1 M 2 0
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
设刚体中质元mi受外力Fi ,内力fi 作用
Fi 由牛顿定律 • mi 在自然坐标中,切向分量为: dvi Fit fit Δ mi ait 其中 ait ri dt 即 Fit fit Δ mi ri 则刚体转动定律为 2 变形有 Fit ri f it ri Δ mi ri M J 对所有质元求和: 2 F r f r ( m r it i it i i i ) 上式表明: 刚体绕定轴转动时,刚 这里 Fit ri M i M 外 体的角加速度与它所 fit ri 0 受的合外力矩成正比. 2 定义 J Δ mi ri 叫转动惯量
1 2 0 0 t t 2
但是 非匀变速转动时：
2

积分
求导

积分
求导

三、角量与线量的关系
线量 速度、加速度
v r at r v a n r r
2 2
角量
角速度、角加速度
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同； 各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成正比， 距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切 向加速度和法向加速度也越大。
F3 r F1 d F2
M M1 M 2 M n
是各分力产生的力矩的代数和. （4） 一对内力对转轴的力矩 由于成对内力大小相等,方向相反 则其力臂必相同.故力矩大小相等.
M1 F1 r1 sin 1 F1d M 2 F2 r2 sin 2 F2 d
r2
r1
i
mi x xc
' i i i '2 i i

2
' i
2
c
'2 i