2.2基本不等式(2)
学案2：2.2 第2课时 基本不等式的应用
2.2 第2课时 基本不等式的应用不等式与最大(小)值阅读教材，完成下列问题． x ，y 都为正数时，下面的命题成立(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最 值 ； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最 值 . 思考：(1) 函数y ＝x ＋1x 的最小值是2吗？(2)设a ＞0,2a ＋3a取得最小值时，a 的值是什么？初试身手1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．当x ＞0时，x ＋9x 的最小值为________．3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________．4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1．(1)已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．(2)设0<x≤2，则函数ƒ(x)＝x(8－2x)的最大值为________．类型2利用基本不等式解实际应用题【例2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；(4)写出正确答案．跟踪训练2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？[1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x 有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b 的最小值是什么？【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b 的最小值．母体探究1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a 与3b 的等比中项，求1a ＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a ＋b 的最小值．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．规律方法最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .课堂小结1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义． 当堂达标1．若x >0，y >0且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．812．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．3．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值．参考答案新知初探不等式与最大(小)值 阅读教材，完成下列问题．(1)大 s 24；(2)小思考：(1) [提示] 不是，只有当x ＞0时，才有x ＋1x ≥2，当x ＜0时，没有最小值．(2) [提示] 2a ＋3a≥22a ×3a ＝26，当且仅当2a ＝3a ，即a ＝62时，取得最小值．初试身手1．【答案】C【解析】A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ． 2．【答案】6【解析】因为x ＞0，所以x ＋9x ≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立． 3．【答案】14【解析】因为x ∈(0,1)，所以1－x ＞0， 故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝14，当x ＝1－x ， 即x ＝12时等号成立．4．【答案】8【解析】由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 【例1】【答案】(1)6 (2)116【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116. 规律方法在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1．【答案】(1)－2 (2)22 【解析】(1)依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0，故ƒ(x )＝x (8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x ) ＝12·2x ·(8－2x )≤12×82＝22， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x (8－2x )的最大值为2 2.【例－20) cm ，⎝⎛⎭⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y＝18 000x －20＋25， 所以广告牌的面积S ＝xy ＝ x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ， 整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0，所以S ≥2360 000x －20×25(x －20)＋18 500＝24 500. 当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140， 代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小． 法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0. 易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．规律方法在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案． 跟踪训练2．【答案】(1)5 8【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．(2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.[1．[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2， 当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，x x 2＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故x x 2＋1有最大值12.2．[提示] (1)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当b ＝2a 时等号成立； (2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ≥22＋3， 当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【例3】[解] (1)设f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．母体探究1．[解] (1)由3是3a 与3b 的等比中项，得3a ＋b ＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9. 当a ＝b ＝3时等号成立．2．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2(a ＋1)×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．当堂达标 1．【答案】A【解析】由2(x ＋y )＝36得x ＋y ＝18.所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立． 2．【答案】8【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v＝400v ＋16v400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时． 3．[解] f (x )＝xx ＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。
第二章 2.2基本不等式的应用 第2课时
第2课时 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数；(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； ②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足． 预习小测 自我检验1．已知0<x <12，则y ＝x (1－2x )的最大值为________．答案 18解析 y ＝x (1－2x )＝12·2x ·(1－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析 总运费与总存储费用之和 y ＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x ，即x ＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元． 答案 8解析 年平均利润y x ＝－x ＋18－25x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋18≤－225x·x ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x ＝5时取“＝”．4．已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________．答案 6解析 x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2，∵x －2>0，∴x －2＋4x －2＋2≥24＋2＝4＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.延伸探究 若将条件换为：x >0，y >0且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0， 得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．跟踪训练1 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1， ∴1x ＋4y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y.∵x >0，y >0，∴y x >0，4xy >0，∴y x ＋4xy≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x ＋4x y≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4x y，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ＝9.二、基本不等式在实际问题中的应用例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫2＋20Q 元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解 设该批产品的利润为y ， 由题意知y ＝⎝⎛⎭⎫2＋20Q ·Q －2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q －x ＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)，0≤x ≤3.∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)≤21－24＝17，当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克．消耗A 材料总重量为y 千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少． 解 由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1， 生产1 000千克该产品需要的时间是1 000x ，所以生产1 000千克该产品消耗的A 材料为y ＝1 000x (x 2＋9)＝1 000⎝⎛⎭⎫x ＋9x ≥1 000×29＝6 000， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，且1<3<10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6 000千克．基本不等式在实际问题中的应用典例 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x －360.∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y ＝x ＋ax (a >0)就是一个应用广泛的函数模型．1．设x >0，则3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x >0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤－23，则3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4答案 B解析 x 2－x ＋1x －1＝x (x －1)＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析 2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×12(a ＋2b ) ＝12⎝⎛⎭⎫4＋a b ＋4b a ≥12(4＋24)＝4. 当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝1，b ＝12时等号成立，∴2a ＋1b的最小值为4. 5．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是________ m 3. 答案 16解析 设车厢的长为b m ，高为a m. 由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2aa ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝⎛⎭⎫20－2t －18t ≤2⎝⎛⎭⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当t ＝3，即a ＝2，b ＝4时等号成立．1．知识清单： (1)已知x ，y 是正数．①若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． ②若x ·y ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 即：“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤．①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值． 3．常见误区：缺少等号成立的条件．1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy ，即x ＝4y ＝12时，等号成立．2．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案 C解析 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1， ∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×(2a ＋b ) ＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2ba ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba 时，即a ＝b ＝18等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s ， ∵b >a >0，则v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ， 又2ab a ＋b >2ab2b＝a ，故选A. 4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 由x 2＋3xy －1＝0，可得y ＝13⎝⎛⎭⎫1x －x . 又x >0，所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 B解析 依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋mn ≥3＋2＝5，当且仅当m ＝n＝12时取等号．故选B. 6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C (单位：mg·L －1)随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝20t t 2＋4，则经过_______ h 后池水中该药品的浓度达到最大．答案 2解析 C ＝20t t 2＋4＝20t ＋4t.因为t >0，所以t ＋4t ≥2t ·4t＝4 ⎝⎛⎭⎫当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立.所以C ＝20t ＋4t≤204＝5，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2时，C 取得最大值．7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40－x 22＝400，当且仅当x ＝20时，取等号，即当x ＝20 m 时，面积最大．8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)满足关系y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大． 答案 5解析 ∵y ＝－x 2＋12x －25，∴年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－2x ·25x＋12＝2， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立．9．已知x >0，y >0且2x ＋5y ＝20. (1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵2x ＋5y ＝20，x >0，y >0， ∴2x ＋5y ≥210xy ，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当x ＝5，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为10.(2)1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·120(2x ＋5y ) ＝120⎝⎛⎭⎫2＋5＋5y x ＋2x y ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120(7＋210)， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为120(7＋210)． 10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km /h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为⎝⎛⎭⎫3＋x 2360L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)解 设总费用为y 元．由题意，得y ＝76.4×100x ＋7.2×100x×⎝⎛⎭⎫3＋x 2360 ＝9 800x ＋2x (40≤x ≤100)． 因为y ＝9 800x＋2x ≥219 600＝280. 当且仅当9 800x＝2x ，即x ＝70时取等号． 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.11．设0<x <1，则4x ＋11－x的最小值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D.272答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0，4x ＋11－x ＝[x ＋(1－x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋11－x ＝4＋4(1－x )x ＋x 1－x＋1≥5＋24(1－x )x ·x 1－x＝5＋2×2＝9. 当且仅当4(1－x )x ＝x 1－x， 即x ＝23时，等号成立． ∴4x ＋11－x的最小值为9. 12．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( ) A ．－92 B.92 C.14D ．－4 答案 A解析 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92. 13．一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的序号是( )①(1,4)；②(6,8)；③(7,12)；④⎝⎛⎭⎫3，12. A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②③④答案 A解析 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .对于①(1,4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1，根据基本不等式满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意； 对于②(6,8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6，根据基本不等式不满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意； 对于③(7,12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意； 对于④⎝⎛⎭⎫3，12，则x ＋y ＝14，xy ＝3， 根据基本不等式不满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意． 综合，可作为数对(S ，l )的序号是①③.14．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 {m |m >－10}解析 ∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1， 又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2(x －1)·4x －1＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为{m |m >－10}．15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 解析 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23， 又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ， 当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时等号成立， 则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19. 16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ，由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m ) ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m≥0，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤－8＋29＝21，∴y max＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元。
基本不等式(第二课时)
2.2基本不等式（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题，通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2.会用基本不等式求解实际应用题．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.二、教学重难点1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)2.会用基本不等式求解实际应用题．(难点)三、教学过程1.复习回顾已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S2 4.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1.1问题探究，引发思考例：（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积时多少？追问（1）：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本问题中的两个问题属于那两类问题吗？【师生活动】学生思考后回答：属于。
第（1）题可以转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题。
第（2）题可以转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题。
追问（2）：第1课时中的例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：（I）如果正数x、y的积xy等于定值p，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.；（II）如果正数x、y的和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，和x＋y取得最大值S2 4怎样把本题转化为为基本不等式的数学模型求解？【师生活动】学生思考后回答：第（1）题可以转化为数学模型（I）求解，第（2）题可以转化为数学模型（II）求解。
2.2基本不等式(二)
例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3, 深为3m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
解：设水池底面一边的长度为x m， 的总造价为y元，根据题意，得
则水池的宽为1600
x
m
,水池
y 150 4800 120(23x 23 1600)
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面 积是多少?
例3 (1)用篱笆围成一个面积为100 m2的矩形菜园，问这 个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆长 是多少？
解： (1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱 笆的长为2(x+y) m.
小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的 关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用基本不等式求函数的最值，是值得重视的一种方 法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为 定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用 均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正 二定三取等。
解： 设矩形菜园的长为x m，宽为ym，则2 (x+y)=36，
其中x+y=18，矩形的面积为xy m. 2
由 xy x y 18 9, 22
可得xy 81,
当且仅当x y 9时，等号成立.
题后反思：通 过这道例题的 学习，你有什 么收获？
即菜园长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面 积为81 m2.
2.2 第2课时 基本不等式的综合应用(课件)
经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
跟踪训练6
x 元）
某商品进货价为每件 50 元，
经市场调查得知，
当销售单价 （
在区间 50,80
时，每天售出的件数 P
为每件多少元？
105
x 40
2
．若想每天获得的利润最大，销售价格应定
经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
解：设销售价格定为每件 x(50≤x≤80)元，每天获得利润为 y 元，则
2x
思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”
、
“二定”
、
“三相等”
，现在
1
1
x<0，
0 ，通过变形 y x
2 再利用基本不等式求最值。
2x
2 x
解：∵x<0，∴
通过变形，
∵
∴
当且仅当
，即
时，等号成立，取得最大值
。
经典例题
题型二
2x
2
解： y＝ 2
＝ 1.
x ＋1
x＋
x
∵x＞0，
1
1
∴x＋ ≥2 x· ＝2，
x
x
2
∴0＜y≤2＝1，
1
当且仅当 x＝x ，即 x＝1 时，等号成立．故 y 的最大值为 1.
经典例题
题型五
变形构造定值—常值代换法“1”的代换
1 1
,
例 5 已知a 0, b 0, a b 2, 求 的最小值。
＋ (x － 3) ＋ 3 ＝ － 3－x
x－3
x－3
2.2基本不等式教学设计（2）
2.2基本不等式《基本不等式》在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。
本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用.同时本IT 课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力.3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
数学学科素养1.数学抽象:基本不等式的形式以及推导过程:2.逻辑推理:基本不等式的证明;3.数学运算:利用基本不等式求最值:4.数据分析:利用基本不等式解决实际问题;5.数学建模:利用函数的思想和基本不等式解决实际问题.提升学生的逻辑推理能力.重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值:难点：基本不等式的推导以及证明过程.教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具，多媒体。
一、情景导入:在前而一打，己经学了重要不等式•那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进-步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本44-45页，思考并完成以下问题1. 重要不等式的内容是？2. 基本不等式的内容及注意事项？3 .常见的不等式推论？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商最，最竺选出代表回答问题•三、 新知探究1. 重要不等式—般的，Pa,bwR,有 a 1 2 3+ b 2>2ab (1) 己知 x>0, y>0, xy=10,求 z = 的最小值：、y(2) x>0,求 /(x) = ? + 3x 的最小值：(3) x<3,求/⑴=巳+”的最大值；当H 仅当a = b 时，等号成立.2 人2-般的，Pa,b w R,有—当且仅当a = b 等号成立.2. 基本不等式、遍《哗依>0.方>。
2.2 第2课时 基本不等式的实际应用
【例 2】 已知 x>0,y>0,且满足 + =1,求 x+2y 的最小值.
分析:从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件,但根据
已知变形,消去一个变量,可构造成能使用基本不等式的形式,
也可使用“1”的代换尝试解决.
解:∵x>0,y>0, + =1,
+
(x+2y)=10+
+
的最大值;
(2)已知 0<x< ,求 y= x(1-2x)的最大值;
(3)已知 x>0,求 y=
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
当且仅当 x=y= 时,取等号.
(2)因为 x,y 都是正数,且 x+y=15,
所以由基本不等式得 xy≤
当且仅当
+
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
x+2y
反思感悟
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最
2.2基本不等式
2
ab
AC = DC E DC BC
Rt△ACD∽Rt△DCB，
DC2 BC AC ab
几何意义：半径不小于弦长的一半
例1 若 x 0,求 y x 1 的最小值. x
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
我们把
ab 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b,CD=＿＿＿＿
简称为： 1、积定和最小，和定积最大；
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
利用基本不等式 a b ab求函数的最值时需要同时 满足以下三个条件：2
2.2基本不等式:
ab a b 2
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立. 适用范围： a,b∈R
2.2基本不等式：教学设计（2课时）
2.2 基本不等式：教学设计（ 2 课时）教学内容分析：相等关系和不等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，是构建方程、不等式的基础。
基本不等式是研究不等关系的一种重要形式，从数与运算的角度，是两个正数的“算术平均数”，是这两个正数的“几何平均数”。
因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算，从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“同圆中，弦长不大于直径”都是基本不等式的直观理解，基本不等式是正数的几何平均数不大于它们的算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广到个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。
新课标和旧课标要求对比：对于基本不等式的要求，新课标和旧课标都要求但要求不同，从探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，到掌握基本不等式，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.新课标相对于旧课标，其要求从探索并了解改为了理解，提高了要求，同时强调了结合具体实例解决最值问题，体现了不等式的应用性。
基本不等式的证明或推导方法很多，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式，从几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释，这些方法也是代数证明和推导的典型方法。
对于基本不等式的证明，旧课标要求较低，教学时也不必加深，在后续学习“选修2-2”中的推理与证明、“选修4-5”中的不等式选讲时得到加强；新课标中并没有安排推理与证明和不等式选讲的内容，而是对基本不等式这部分内容提高了要求。
基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值与最小值，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，因此，基本不等式内容的学习可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养。
新课标要求，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在求解实际问题的最值中的作用。
2.2基本不等式(共2课时)课件高一上学期数学人教A版
练一练
②
目
2 基本不等式的几何解释
录
02 新知2——基本不等式的几何解释
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上
一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦
DE,连接AD、BD、OD.
ab
1.何用a, b表示圆的半径OD?
OD=____2__
A
2.如何用a, b表示圆的弦CD?
解（1）由题意，得由x>0，且l－3x>0，
可得
x
的范围为
1 0<x<3l.
当且仅当 3x＝l－3x，即 x＝6l 时，等号成立， 此时 l－3x＝2l ，
因此当围成的长方形场地的长为2l ，宽为6l 时，这块长方形场地的面积最大， 这时的长为 l－3x＝2l ，最大面积为1l22.
课堂小结
1.重要不等式： 公式
所以x－2y>0，即x>2y.
例 2.(多选)下列条件可使 ba＋ab≥2成立的有（ AC）D
A.ab>0
B.ab<0
C.a>0，b>0
D.a<0，b<0
04 题型2－利用基本不等式证明
∴a1＋1 1b≤2 1 a1b，即a1＋2 1b≤ ab.
又∵a＋2 b2＝a2＋2a4b＋b2≤a2＋a2＋4 b2＋b2＝a2＋2 b2，
(a、b∈R)
使用公式:正定等
2.基本不等 式的公式
变形1
积为定值，和最小
变形2
使用公式: 一正二定三相等和为定值，积最大源自本课结束 课后要记得巩固哦!
CD=___a_b__
3.OD与CD的大小关系如何? 4.什么情况下OD与CD相等？
课件2：2.2 第2课时 基本不等式的应用
总结 已知x、y都是正数
若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，
和定积最大 积 xy 取得_最__大__值__s4_2_____
若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时， 积定和最小
x＋y 取得_最__小__值___2__p___
类型1：利用基本不等式求最值 例 1.(1)已知 x>0，求函数 y＝x2＋5xx＋4的最小值； (2)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值．
4．已知 x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求 x＋2y 的最小值． 解:x＞0，y＞0，8x＋1y＝1，
∴x＋2y＝(8x＋1y)(x＋2y)＝10＋xy＋1x6y≥10＋2 xy·16xy＝18， 当且仅当8xyx＝＋11yx6＝y，1，即yx＝＝312时，等号成立， 故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18.
课堂检测
1．下列函数中最小值为 4 的是( ) A．y＝x＋4x B．y＝sin x＋sin4 x(0＜x＜π) C．y＝3x＋4·3－x D．y＝lg x＋4logx10
【解析】A 不满足正数，B 取不到等号成立，D 不满足正数， C 正确． 【答案】C
2．若实数 a、b 满足 a＋b＝2，则 2a＋2b 的最小值为( )
图 3－3－3 (1)试用 x 表示 S； (2)当 x 取何值时，才能使得 S 最大？并求出 S 的最大值．
解:(1)由图形知，3a＋6＝x，∴a＝x－3 6. S＝(1 8x00－4)·a＋2a(1 8x00－6)＝a(5 4x00－16)＝x－3 6(5 4x00－16) ＝1 832－(10 x800＋136x)． 即 S＝1 832－(10 x800＋136x)(x>0)．
2.2基本不等式(第二课时)
a b 2 ab
2
ab
ab
2
一正，二定，三相等
（2）已知x、y都是正数，若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小
值 2p
．积定和最小
（3）已知x、y都是正数，若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大
s2
值4
．和定积最大
【探究一】
例 1（1）已知x
2,求x
x
4 的最小值 2
【反思小结】
配凑项
配凑系数
“1”的代换 等价变形
利用基本不等式解 决实际问题的步骤
转化化归 和或积为定值
利用基本不等式求最值 和积互化
审题
建模
求解
作答
22x y 16 x y 8
xy x y 4 xy 16，当且仅当x y 4等号成立 2
因此，当矩形菜园是边长为4m的正方形时，面积最大，最大面积是16m2
【探究二】
例3 我们学校要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为48m3，深为3m，如果池底每平方米的造价 为100元，池壁每平方米的造价为50元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为
z元，根据题意，z 100 48 5023x 23y 1600 300x y，
3 由容积为48m3，可得3xy 48, xy 16， z 1600 300 2 xy 4000 当且仅当x y 4时，等号成立，此时z取最小值4000 所以，将贮水池的池底设计成边长为4m的正方形时总造价最低，最低总造价是4000元
【当堂检测】
拓展提升 3.已知x 0，y 0，9x y xy，求x y的最小值
基本不等式(第2课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
学习目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
核心素养1. 通过实例，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养；2. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；3. 会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养。
重点：利用基本不等式求最值；利用基本不等式解决实际应用问题．难点：基本不等式的应用；基本不等式求最值．学生在上一节学习了基本不等式的定义及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，解决求最值过程中的易犯错误的处理方法，并求解了实际应用问题中的最值，所以学生学习本节内容还是比较有兴趣的，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。
根据上一节课的知识，我们了解了基本不等式与最值的关系，如下：已知x，y都是正数，则xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．2.若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．【想一想】下面这些结论是否正确？ (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( )(2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( )(3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2.( )（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题当且仅当a ＝2b ＝15时取等号．故当矩形的长为15 m ，宽为7.5 m 时，菜园的面积最大，最大面积为112.5 m 2．解：设底面的长为a ，宽为b ，则由题意得2ab ＝32，即ab ＝16．所以用纸面积为S ＝2ab ＋4a ＋4b ＝32＋4（a ＋b ）≥当且仅当a ＝b ＝4时取等号．即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．解：设矩形的长为a ，宽为b ，则由题意得2（a ＋b ）＝36，即a ＋b ＝18．因为旋转形成的圆柱的侧面积为： ，所以要求侧面积最大，即求ab 的最大值，由基本不等式得当且仅当a ＝b ＝9时取等号．故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．的能力，感悟其 中蕴含的数学思 想，增强学生的 应用意识。
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（2）涉及数学思想方法： 转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合 思想。
1. 两个不等式
(1)重要不等式:a, b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立 (2)基本不等式 : ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”
园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最
短的篱笆是多少？
A
D
解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=若1x0、0，y皆篱为笆正的数长，为2(x+y)m. B
y
x
C
x 则y ≥当xxyy的值是x常数y≥P时2 ，100 20,
2当且仅当x=y时， 2(x y)≥40 当且仅x+当y有x=最y小时值，_等_2_号__P成__立. 此时x=y=10.
ab a b 2
（2）
复习回顾：
利用基本不等式求最值问题：
如果a 0,b 0,那么a b 2 ab或ab (a b)2. 2
（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么
a+b有最_小___值__2___p_(当且仅当_a_=_b__时取“=”）.
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
ab有最_大___值__14__s_2 _(当且仅当__a_=_b__时取“=”）.
利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
例1.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最
短的篱笆是多少？
A
x
D
y
B
C
例1.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
y
则 2(若x x+、y)y=皆3为6 ,正x数+ ，y =18
B
x
C
矩形则菜当园x的+y面的积值为是x常y m数2S时，
当且x当xy仅y≤有且当x最仅x2=大当yy时值x1=，2_8y_时等_14_，9号_S_成_2 ；立得
xy ≤ 81 即x=y=9
因菜x此 园y≤，面这积x 个最2 矩大y 形， 的最S2 长大、面x宽积y都是≤为81419mSm22时，
2. 利用基本不等式2 求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=SFra bibliotekxy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
课后作业：习题2.2 P48T3、6.
练习1：P48T1、2.
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其 容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造 价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设 计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?
练习1：P48T3、4.
本节课你学到了什么？
1．课堂总结： （1）涉及知识点：
因最此短，，x解这最yx≥个短yx2矩的1y0形篱x0y，的笆可2长是得、4P0宽mxy .都1100为10m时，所用的篱笆
例1.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜
园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积
最大，最大面积是多少？
A
D
解：如图，设BC=x ，CD=y ，