2013-2014学年度小龙人中学九年级期末试卷(答案)

2013-2014学年度小龙人中学九年级质量评估测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（每小题3分，共24分） 1．二次根式()23-的值是（ ）A ．3- B ．3或3- C ．9 D ．3【答案】D试题分析：根据二次根式的性质：当0≥a 时，a a =2；当0<a 时，a a -=2；()332=-. 考点：二次根式的性质2．一元二次方程23x x 0-=的解是 ( )A ．x 0=B ．121x 0x 3==，C ．12x 0x 3==，D ．1x 3=【答案】B ．试题分析：将1x 033= ，，分别代入方程23x x 0-=，知1x 03= ，使方程成立，x 3=使方程不成立，所以方程23x x 0-=的解为121x 0x 3==，. 故选B ．考点：方程的解.3．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为 ( )．A ．48（1﹣x ）2=36B ．48（1+x ）2=36C ．36（1﹣x ）2=48D ．36（1+x ）2=48 【答案】D试题分析：一元二次方程应用中的增长率问题, 一月份的营业额为36万元, 二月份的营业额为36+x （1）万元, 三月份的营业额为236+x （1）万元,即236+x =48（1）.考点：一元二次方程的应用．4．如图，菱形ABOC 绕点O 顺时针旋转得到DFOE ，下列角中不是旋转角的为 ( )． A ．BOF ∠ B ．AOD ∠ C ．COE ∠ D ．COF ∠5．如图，在⊙O 中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．80° 【答案】D【解析】∵AB ∥CD ，∴∠ABC=∠C （两直线平行，内错角相等）， ∵∠BOD=2∠C(同弧所对的圆心角是圆周角的2倍)，∴∠BOD=80°.试题分析：明显可以看出∠BOD 和∠C 是同弧所对的圆心角和圆周角，只有求出∠C ，就可以求出∠BOD ，而题目条件有AB ∥CD ，∠ABC=∠C ，∠ABC 为已知角，故得解. 考点：1.平行线的性质；2.同弧所对圆周角和圆心角的关系.6．如图，⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为10，如果过点P 作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C ． 【解析】试题分析：⊙O 的半径为5，点P 到圆心O ，过点P 作弦，那么最长的弦是直径为10,最短的弦是过点P 与OP垂直, 弦长为不妨设过点P 的弦长为x ,则x 10≤≤那么长度为整数值的弦的条数为2+2+1=5条. 考点：圆中的弦长的取值范围.7．已知⊙O P 是直线y x 6=-+上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为( ) A.3 B.4 C.6D.1 【答案】B ．试题分析：由P 在直线y x 6=-+上，设()P m 6m -，， 连接OQ ，OP ，由PQ 为圆O 的切线，得到PQ ⊥OQ ，在Rt △OPQ 中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ 的最小值：∵P 在直线y x 6=-+上，∴设P 坐标为 CB = DB， 连接OQ ，OP ，由PQ 为圆O 的切线，得到PQ ⊥OQ ， 在Rt △OPQ 中，根据勾股定理得：OP 2=PQ 2+OQ 2，∵，∴()()22222PQ m 6m 22m 12m 342m 316=+--=-+=-+. 则当m=3时，2PQ 取得最小值16，∴切线长PQ 的最小值为4．故选B ．考点：1.一次函数综合题，2.直线上点的坐标与方程的关系；3. 勾股定理；4. 二次函数的最值. 8．已知圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的侧面积是底面积的（ ） A ．3倍 B ．2倍 C ．31 D ．21 【答案】A试题分析：设母线长为R ，底面半径为r ，则底面周长C=2πr ． 圆锥的侧面展开是扇形，母线是扇形的半径．∴扇形面积212036036032n R R R cRs πππ====∴2C 2r 3R ππ==，∴3R r =， ∴底面面积2S 9R π=底，∴S 扇：S 底=3，故选A ．考点：圆锥的计算． 【答案】D 试题分析：旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角，有图可知菱形ABOC 绕点O 顺时针旋转得到DFOE BOF ∠、AOD ∠ 、COE ∠都是旋转角，则COF ∠不是旋转角. 考点：图形旋转中旋转角．9．如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转至''A B C △的位置， 若15ACB ∠= ，120B ∠= ，则'A ∠的大小为________．【答案】45°. 【解析】试题分析：将ABC △绕点C 顺时针旋转至''A B C △的位置,ABC ≅△''A B C △若15ACB ∠= ，120B ∠= 则45A ∠= ,所以'==45A A ∠∠︒ 考点：图形旋转的性质.10．如图，等腰△ABC 的顶角∠A=40°，以AB 为直径的半圆 与BC 、AC 分别交于D 、E 两点，则∠EBC= °【答案】20. 【解析】试题分析：首先，根据等腰三角形是性质、三角形内角和定理求得∠ABC=∠C=70°；然后，由圆周角定理证得△ABE 是直角三角形；最后，由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EBC 的度数： ∵△ABC 的顶角∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°. ∴∠EBC=90°-∠C=90°-70°=20°.考点：1.等腰三角形的性质；2. 三角形内角和定理，3. 圆周角定理，4. 直角三角形两锐角的关系．11．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】10π- 【解析】试题分析：设AB 的中点是O ，连接OE ．2OAE AOE AE 11AD CD 448221S 241S 222S 22πππ⨯=⨯⨯==⨯==⨯⨯==- 扇形弓形，则，∴阴影部分的面积为8-（π-2）=10-π．考点：1．扇形面积的计算；2．正方形的性质.12．已知x 2+3x+5的值为9，则代数式3 x 2+9x-2的值为___________． 【答案】10 【解析】试题分析：.已知2x +3x+5的值为9，可得2x +3x=4，则223x +9x-2=3x +x -=34-2=10⨯（3）2 考点：代数式求值． 13．如图：P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PD 交⊙O 于点C ，且PC ＝OD ，如果∠P ＝24°，则∠DOB ＝ ．【答案】72° 【解析】试题分析：连接OC ，根据圆的基本性质可求得PC=OC=OD ，再结合三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解. 连接OC∵PC ＝OD ，OC=OD ， ∴PC=OC=OD∴∠P=∠COP=24°∴∠D=∠OCD=∠P+∠COP=48° ∴∠DOB ＝∠D+∠P=72°.考点：1.圆的基本性质；2.三角形外角的性质14．如图：一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD ，点P 沿直线AB 从右向左移动，当出现：点P 与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB 上会发出警报的点P 有 个．【答案】9 【解析】试题分析：根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB 上会发出警报的点P 的个数．当BC=BP 时，△BCP 为等腰三角形；当P 与B 重合时，△APC 为等腰三角形；当P 运动到AB 边的中点时，PD=PC ，此时△PCD 为等腰三角形； 当P 与A 重合时，△PBD 为等腰三角形； 当PA=AD 时，△PAD 为等腰三角形；当AP=AC 时，△APC 是等腰三角形，这时有2个； 当BD=BP 时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个； 综上，直线AB 上会发出警报的点P 有9个． 考点：1.正方形的性质；2.等腰三角形的判定15．现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b=a 2﹣3a+b ，如：3★5=32﹣3×3+5，若x ★2=6，则实数x 的值是 ． 【答案】1-或４试题分析：x ★2=6,则6232=+-x x ，解得1x =—1；2x =4. 考点：1、新型运算；2、一元二次方程的解法.16．如图，在平面直角坐标系中，点O 是原点，点B （0，点A 在第一象限且AB ⊥BO，点E 是线段AO 的中点，点M 在线段AB 上．若点B 和点E 关于直线OM 对称，且则点M 的坐标是 ( ， ) ． 【答案】（1【解析】试题分析：连接ME ，∵点B 和点E 关于直线OM 对称， ∴△OBM ≌△OEM∴∠MEO=∠MBO=90°即ME ⊥OA 又∵E 为OA 的中点， ∴OM=AM由SSS 可证△AEM ≌△OEM ，得∠A=∠MOE 设∠A=x ，则3x=90°，得x=30° 在Rt △OBM 中，OM=2BM ，2222BM OB OM 4BM +==,即22BM 3=）（解得BM=1 ∴M （1.考点：1、平面直角坐标系；2、三角形全等；3、勾股定理. 17．已知a 是方程012=--x x 的一个根，求31)(222+---a a a a 的值．【答案】33【解析】试题分析：一般的思路是将a 代入方程x 2-x-1=0，得到a 2-a-1=0，然后解出a ，再代入所求的式子中，但是这种方法对于此题太过繁琐，因为a 是无理数，可以考虑整体代换，由题目条件，a 是方程x 2-x-1=0的一个根，根据根的定义，将其代入方程，有a 2-a-1=0,而要求的式子中含有代数式a 2-a,将a 2-a 看成一个整体，则a 2-a=1代入要求的式子中，计算得到结果.试题解析：方法一：∵a 是方程x 2-x-1=0的一个根，∴将a 代入方程，有a 2-a-1=0， 用求根公式解之，得到2511+=a ，2512-=a ， 当2511+=a 时，3331311131)(222==+-=+---a a a a ， 当2512-=a 时，3331311131)(222==+-=+---a a a a ， ∴3331)(222=+---a a a a . 方法二：(整体代换)∵a 是方程x 2-x-1=0的一个根，∴将a 代入方程，有a 2-a-1=0，即a 2-a=1， 将a 2-a=1代入31)(222+---a a a a ，有3331311131)(222==+-=+---a a a a . 考点：1.求解一元二次方程；2.整体代换思想.18．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x 元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x 的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式； （3）当x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（220－10x ）；（2）2103202200w x x =-+-（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元． 【解析】试题分析：用含x 的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x）个，列出函数关系式(22010)(10)w x x =--，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知1014x ≤≤所以x=1４时，W 最大为320. 试题解析：（1）（220－10x ）；（2）)10)(10220(--=x x w 3分2200320102-+-=x x 5分 2200320102-+-=x x w360)16(102+--=x 6分∵抛物线2200320102-+-=x x w 的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，w 随x 的增大而增大.8分由题意可知1410≤≤x ， 9分 ∴当x=14时，w 最大为320.∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元. 考点：１．根据实际问题列函数关系式． ２．二次函数的性质．19．如图，在正方形网络中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1； （2）平移△ABC，使点A 移动到点A 2（0，2），画出平移后的△A 2B 2C 2并写出点B 2、C 2的坐标；（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称，写出其对称中心的坐标． 【答案】(1)详见解析；（2）B 2（0，-2），C 2（-2，-1），作图见解析；（3）H(1,-1). 试题分析：（1）画一个三角形关于原点对称的图形，只要画出三个顶点关于原点对称的对称点，然后连接这三个点即可，例如点A （-2,4），连接AO 并延长至点A 1，使得AO=A 1O ，点A 1就是点A 关于原点对称的对称点，点B ，点C 依次类推，可以得到B 1，点C 1，顺次连接点A 1，点B 1，点C 1，△A 1B 1C 1为所求；（2）将点A 移到点A 2（0，2），实际上是先向右移动2个单位长度，在向下移动两个单位长度，将三角形向右移到2个单位长度，在向下移动两个单位长度，可得到△A 2B 2C 2，从而可以得到点B ，点C 的 对应点点B 2（0，-2），点C 2（-2，-1）；（3）两个图形的对称中心是任意两组对应点连线的交点， 连接A 1 A 2，C 1C 2交于点H ，点H 就是△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2的对称中心，H （1，-1）. 试题解析： （1）如图：（2）△A 2B 2C 2如图，B 2（0，-2），点C 2（-2，-1）.（3）连接A 1 A 2，C 1C 2交于点H ，点H 就是△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的对称中心，从图中可以观察到点H 为格点，H （1，-1）.考点：1.一个图形关于原点中心对称的作图；2.平移的作图;3.中心对称图形的对称中心的作法. 20．如图，圆内接四边形ABDC ，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥BC 于E ．（1）求证：∠BCD =∠CBD ；（2）若BE=4，AC=6，求DE 的长．【答案】(1)详见解析；（2）2. 试题分析：（1）由题目条件OD ⊥BC 于E ，可知OD 平分弧BC （垂径定理），即弧BD=弧CD ，∠BCD 是弧BD 所对的圆周角，∠CBD 是弧CD 所对的圆周角，由圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等可以得到∠BCD =∠CBD;(2) 由题目条件OD ⊥BC 于E ，可知OD 平分弦BC （垂径定理），即BE= CE=4，所以BC=8，因为AB 是⊙O 的直径，所以∠C 为直角，在Rt △ACB 中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，在Rt △OEB 中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2. 试题解析：(1)∵OD ⊥BC 于E ， ∴OD 平分弧BC （垂径定理），即弧BD=弧CD ，又∵∠BCD 是弧BD 所对的圆周角，∠CBD 是弧CD 所对的圆周角， 由圆周角定理知∠BCD =∠CBD.(2) ∵OD ⊥BC 于E ，∴OD 平分弦BC （垂径定理），即BE= CE=4，BC=8， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C 为直角，在Rt △ACB 中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5， 在Rt △OEB 中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2. 考点：1.圆周角定理和垂径定理；2.垂径三角形三边的关系.21．如图，DE 为半圆的直径，O 为圆心，DE=10，延长DE 到A ，使得EA=1，直线AC 与半圆交于B 、C 两点，且 30=∠DAC ．（1）求弦BC 的长； （2）求AOC △的面积【答案】（1）弦的长为8．（2）AOC △6． 【解析】 试题分析：（1）过点O 作OM ⊥BC 于M.由垂径定理可得：BM=CM.由 30DAC ∠=，12OM OA =516OA OE EA =+=+=，得到3OM =，在Rt △COM 中，根据勾股定理得4CM =，从而可得28BC CM ==．（2）在Rt △AOM 中，222226327A M O A O M =-=-=.求得AM =.进一步求得4AM =+114)3622AOC S AC OM =⋅=⨯⨯= ． 试题解析：（1）过点O 作OM ⊥BC 于M.由垂径定理可得：BM=CM.∵30DAC ∠= , ∴12OM OA =. ∵直径DE=10， EA=1，∴=5OD OC OE ==. ∴516OA OE EA =+=+=.∴3OM =.在Rt △COM 中，222225316CM OC OM =-=-=. ∴4CM =.∴4BM =.∴+8BC BM CM ==.(2)在Rt △AOM 中，222226327AM OA OM =-=-=.∴AM =∴+4AC AM CM ==. ∵OM ⊥AC,∴114)3622AOC S AC OM =⋅=⨯⨯= . 考点：１．垂径定理 ２．勾股定理 ３．直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半．22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且10=AB ，点M 为线段AB 的中点．（1）如图1，线段OM 的长度为________________；（2）如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ACB ，当点C 在第一象限时，求直线OC 所对应的函数的解析式；（3）如图3，设点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，且10=DE，以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，请求出线段MG 长度的最大值，并直接写出此时直线MG 所对应的函数的解析式．【答案】（1）5 （2）直线OC 所对应的函数解析式为x y =（3）线段MG 取最大值10+55．此时直线MG 的解析式x y 251+-=试题分析：（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得线段OM 的长度为5.以AB 为斜边作等腰直角三角形ACB ，当点C 在第一象限时,过点C 分别作CP ⊥x 轴于P ，CQ ⊥y 轴于Q ．所以∠CQB=∠CPA=90°，又有∠QOP=90°，∠QCP=90°．∠BCA=90°，∠BCQ=∠ACP ．BC=AC ， 可证得△BCQ ≌△ACP ．从而得CQ=CP ．不妨设C 点的坐标为(a ，a)(其中0a ≠)．设直线OC 所对应的函数解析式为kx y =，a ka =，解得k=1，所以直线OC 所对应的函数解析式为y x =（3）取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM.因为∠AOB=90°，所以OM=152AB =．同理得ON=5．在正方形DGFE ，N 为DE 中点，DE=10，由勾股定理得NG===．在点M 与G 之间总有MG ≤MO+ON+NG 由于∠DNG 的大小为定值，只要12DON DNG ∠=∠,且M 、N 关于点O 中心对称时，M 、O 、N 、G 四点共线,此时等号成立.这时线段MG 取最大值10+55．此时直线MG 的解析式x y 251+-=试题解析：（1）5（2）如图1,过点C 分别作CP ⊥x 轴于P ，CQ ⊥y 轴于Q ． ∴∠CQB=∠CPA=90°，∵∠QOP=90°，∴∠QCP=90°． ∵∠BCA=90°，∴∠BCQ=∠ACP ．∵BC=AC ，∴△BCQ ≌△ACP ．∴CQ=CP ．∵点C 在第一象限,∴不妨设C 点的坐标为(a ，a)(其中0a ≠)． 设直线OC 所对应的函数解析式为kx y =，∴a ka =，解得k=1，∴直线OC 所对应的函数解析式为x y =． 4分图2 MB A O yx Cx y O AB 图1（3）取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM.∵∠AOB=90°，∴OM=152AB =． 同理ON=5．∵正方形DGFE ，N 为DE 中点，DE=10， ∴NG===． 在点M 与G 之间总有MG ≤MO+ON+NG(如图2)，由于∠DNG 的大小为定值，只要12DON DNG ∠=∠,且M 、N 关于点O 中心对称时，M 、O 、N 、G 四点共线,此时等号成立（如图3）.∴线段MG 取最大值10+55．此时直线MG 的解析式x y 251+-=考点：1.直角三角形斜边中线等于斜边一半,2.在直角坐标系中求点的坐标,3.待定系数法求一次函数解析式.23．如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD⊥CF；②当AB=4，时，求线段FG 的长．【答案】(1) BD=CF 成立,证明见解析；（2）①证明见解析；②FG=510.试题分析：(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等，直观上判 断BD=CF,而由题目条件，旋转过程中出现了两个三角形△BAD 和△CAF ，并且包含了要证明相等的两条线段BD 和CF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差夹角相等，在Rt△BAC 中，∠BAD+∠D AC=90°，∠CAF+∠D AC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF , BD=CF.（2）①要证明BD⊥CF，只要证明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG =∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt △BAC 中，∠ABC+∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG ，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF .②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，题目中没有和FG 直接相关的线段，而CG 从已知条件中又无法求出，所以需要作辅助线，连接FD ，交AC 于点N, 在正方形ADEF 中，, AN=1, CN=3, 由勾股定理CF=10，设FG=x ，CG=x -10，在Rt△F GD 中，∵FD=2，∴GD=24x -，∵在Rt△BCG 中，222BC BG CG =+，∴2222)24()104()10(=+-+-x x ，解之得FG=510. 试题解析：②解法一：如图，连接FD ，交AC 于点N, ∵在正方形ADEF 中，,∴AN=FN=12AE=1，FD=2, ∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC -AN=3，∴在Rt△FCN 中，10312222=+=+=CN FN CF ,∵△BAD≌△CAF（已证），∴BD=CF=10,设FG=x ，在Rt△F GD 中，∵FD=2，∴GD=24x -, ∵CF=10，∴CG=x -10,∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，∴BC === ∵在Rt△BCG 中，222BC BG CG =+,∴2222)24()104()10(=+-+-x x , 整理，得0610252=-+x x , 解之，得5101=x ，51032-=x （不合题意，故舍去） ∴FG=510. 解法二：如图，连接FD ，交AC 于点N ；连接CD,同解法一，可得：DG=24x -，CG=x -10， 易证△AC D≌△ABD （SAS ），可得CD=BD=10，在Rt△CGD 中，222CD DG CG =+,即2222)10()4()10(=-+-x x解之，得510=x ,故FG=510. 考点：1.三角形的全等；2.勾股定理；3.正方形的性质.24．将分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）随机抽取一张，求抽到偶数的概率；（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，恰好这个两位数能被3整除的概率是多少？【答案】（1）12；（2）13.【解析】 试题分析：（1）由共有标有数字1、2、3、4的四张卡片，抽到偶数的有2种情况，利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表或画树状图格，然后由图表求得所有等可能的结果与恰好这个两位数能被3整除的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 试题解析：（1）∵共有标有数字1、2、3、4的四张卡片，抽到偶数的有2种情况；∴P （抽一张是偶数）=2142=.（2）由题意可列表：∵由表格可知共有等可能的结果12种，其中组成的两位数能被3整除的结果有4种，∴P （两张卡片组成的两位数能被3整除）=41123=.考点：1.列表法或树状图法； 2.概率公式．25．如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （0，4），C （2，0），将矩形OABC绕点O 按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH （点E 与O 重合）.（1）若GH 交y 轴于点M ，则∠FOM ＝ ，OM= ； （2）矩形EFGH 沿y 轴向上平移t 个单位.①直线GH 与x 轴交于点D ，若AD ∥BO ，求t 的值；②若矩形EFHG 与矩形OABC 重叠部分的面积为S 个平方单位， 试求当0<t≤224-时，S 与t 之间的函数关系式.【答案】（1）450，（2）①2；②()((()221t 0t 22S 2t 22t 1t +t 6t 22<<⎧≤⎪⎪⎪=-≤⎨⎪⎪--≤⎪⎩.试题分析：（1）由旋转的性质，得∠AOF ＝1350，∴∠FOM ＝450，由旋转的性质，得∠OHM ＝450，OH=OC=2，∴OM=（2）①由矩形的性质和已知AD ∥BO ，可得四边形ABOD 是平行四边形，从而DO=AB=2，又由△DOI 是等腰直角三角形可得OI=OD=2，从而由平移的性质可求得t=IM=OM －OI=2；②首先确定当0<t≤2时，矩形EFGH 沿y 轴向上平移过程中关键点的位置，分0<t≤2，2<t≤<t≤2三种情况求出S 与t 之间的函数关系式.试题解析：（1）450；（2）①如图1，设直线HG 与y 轴交于点I ，∵四边形OABC 是矩形，∴AB ∥DO ，AB=OC. ∵C （2，0），∴AB=OC=2.又∵AD ∥BO ， ∴四边形ABOD 是平行四边形. ∴DO=AB=2. 由（1）易得，△DOI 是等腰直角三角形，∴OI=OD=2. ∴t=IM=OM －OI= 2.②如图2，过点F ，G 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为R ，T ，连接OC. 则由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR ＝450， ∴OR=RF=F（. 由旋转的性质和勾股定理，得OG= 设TG=MT=x ，则OT=OM ＋MT=. 在Rt △OTG中，由勾股定理，得()(222x +=，解得.∴G，－.∴用待定系数法求得直线FG的解析式为y=x -.时，y=2-.∴当t=2时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）.∴当0<t≤2时，几个关键点如图3，4，5所示：如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C；如图4，t=OE=OM=EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O；如图5，t=OE=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C.∴（Ⅰ）当0<t≤2时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为△OCS的面积（如图6）.此时，OE=OS= t，∴21S t2=.（Ⅱ）当2<t≤矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为直角梯形OEPC的面积（如图7）.此时OE= t，，OC=2.由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为y=x+t-.当x=2时，y=2+t-. ∴CP=2+t-. ∴()1S t2+t2=2t22=-⋅-.（Ⅲ）当2时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为五边形EQCUV的面积（如图8），它等于直角梯形EQCO的面积减去直角三角形VOU的的面积.此时，OE= t，，OC=2，CQ= 2+t-，OU=OV= t－∴()((22111S t2+t2t=t+t6222=-⋅----.综上所述，当0<t≤2时，S与t之间的函数关系式为()((()221t0t22S2t22t1t+t6t22<<⎧≤⎪⎪⎪=-≤⎨⎪⎪--≤⎪⎩.考点：1.旋转的性质；2.矩形的性质；3.勾股定理；4.平移的性质；5.平行四边形的判定和性质；6.等腰直角三角形的判定和性质；7.待定系数法；8.直线上点的坐标与方程的关系；9.分类思想的应用.。