浙江省2015学年高二上学期期末试卷(含答案)

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浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(B卷) 含解析

【详解】A选项：为等差数列，设公差为，所以，
，，
故，，
因为，所以，，成等差数列，A正确；
B选项，成等比数列，设公比为，
若，则，则，
故，故，，成等比数列，
若，则，，，
所以，
，
则，，
故，即，，成等比数列，
综上：若为等比数列，则，，为等比数列，B正确；
因为，消去得，
由韦达定理可得，
则，
所以两平行线间的最小距离为，
故抛物线方程为，
故选：C
7.已知椭圆：，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，据此类推：对任意的且，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，由此得到一个椭圆列：，，，，则椭圆的焦距等于（）
对于D，已知空间的三个不共面的单位向量，，，则向量不共面，所以可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数x，y，z，使得，故D正确.
故选：D.
3.过两点，的直线在轴上的截距为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距.
【详解】过两点，的直线的为，
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的基底与共面向量充要条件逐项判断即可.
【详解】解：对于A，当空间的三个不共面的单位向量，，作为空间直角坐标系的标准正交基底时，
向量，，平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为的正三角形，其外接圆半径满足，即，不是单位圆，故A不正确；
【分析】先设平面与平面的夹角为，因为，，

上学期期末考试高二英语试卷(含答案)

2013—2014学年上学期期末考试高二英语试卷一、听力（共20小题；每小题1分,满分20分）第一节、听下面5段材料。

从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

每段材料读一遍。

1。

How long is the bank open every day?A。

Five hours。

B. Eight hours. C。

Nine hours.2. What does the man mean?A. Nobody can help her with her reading。

B。

The new librarian can help to find a good dictionary。

C。

The librarian may be of some help to the woman.3。

What's the weather like now?A. It’s cloudy。

B。

It’s raining。

C。

It’s snowing。

4。

What do you think about the man’s English?A. Better and better. B。

Worse and worse。

C。

Faster and faster.5. What did the man like?A. Oranges.B. Apples。

C。

Pears.第二节、听下面5段材料。

从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

每段材料读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6。

Where are the two speakers？A。

In t he woman’s house。

B。

At the man’s office。

C。

In a bar。

7。

What does the man enjoy？A。

Black coffee。

B. Red wine. C. Milk with coffee。

听第7段材料，回答第8、9题。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试英语试卷含答案

杭州2023学年第一学期期末考试高二英语试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第一部分听力(略)第二部分阅读(共两节，满分50分)第一节(共15小题;每小题2.5分，满分37.5分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

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浙江省金华市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

金华2023学年高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.空间直角坐标系中，点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影，则OB =（）A.5B.25C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后直接用距离公式计算即可.【详解】由点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影可得()340B ，，，则5OB == .故选：A.2.椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12||||PF P F +的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令椭圆C 的右焦点F '，由已知条件可得四边形12PFP F '为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C 的右焦点F '，依题意，线段12PP 与FF '互相平分，于是得四边形12PFPF '为平行四边形，因此21||||P F PF '=，而椭圆C ：221169x y +=的长半轴长4a =，所以1211||||||||28PF P F PF PF a '+=+==.故选：D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A.8- B.8C.1或8- D.1-或8【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则因为313S a =，所以12313a a a a ++=，即220q q +-=，解得1q =或2q =-，所以3631a q a==或8-.故选：C.4.攒（cuán ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.B.C. D.6π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB =，23ACB π∠=，所以,36CAB AO π∠==，所以3cos6AO AC π===，所以圆锥的侧面积3S rl ππ==⨯=.故选：B5.已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】写出圆C 的圆心和半径，求出AC 距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r，所以AC ===≥所以点A 到圆C上点的最小距离为32222=.故选：C.6.直线12y xt =+与曲线y =相切，且与圆()2220x y r r +=>相切，则r =（）A.15B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】先由直线与曲线y =求出t ，再由直线与圆相切即可求出r【详解】设直线12yx t=+在曲线y=上的切点为(0x ，则()012f x '==，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则55r ==，故选：B7.在数列{}n a 中，11n n na na a +=+，若46n a =，11a =，则n 的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得1n n n a a +-=，利用累加法可得(1)12n n n a -=+，结合46n a =即可求出n 的值.【详解】由11n n na na a +=+，得1n n n a a +-=，所以21321121(2)n n a a a a a a n n --=-=-=-≥ ，，,，所以112(1)n a a n -=+++- ，又11a =，所以(1)1(2)2n n n a n -=+≥，又11a =满足，所以(1)12n n n a -=+由46n a =，解得10n =.故选：B8.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，2F P OP ⊥，OM PM ⊥，所以2F P b =，OP a =因为OA a =，所以PAO APO∠=∠又因为PO 平分APM ∠，所以2APM PAO ∠=∠，由90APM PAO ∠+∠=︒，得30PAO ∠=︒，所以260POM PAO ∠=∠=︒，即tan 60ba=︒=所以2e ==故选：B二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知点M 椭圆22:4936C x y +=上一点，椭圆C 的焦点是12,F F ，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C 的长轴长是9B.椭圆C 焦距是C.存在M 使得1290F MF ∠=D.三角形12MF F 的面积的最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】22224936194x y x y +=⇒+=，所以229,43,2,a b a b c ==⇒===，对于A ：因为3a =，所以长轴为26a =，A 错误；对于B ：因为c =，所以焦距为2c =B 正确；对于C ：当M 取到上顶点时此时12F MF ∠取到最大值，此时123MF MF a ===，122F F c ==所以(22212331cos 02339F MF +-∠==-<⨯⨯，所以此时12F MF ∠为钝角，所以存在M 使得1290F MF ∠= ，C 正确；对于D ：当M 取到上顶点时此时三角形12MF F 的面积取到最大值，此时122S c b =⨯⨯=D 正确，故选：BCD10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.100a =C.9S 是n S 中最小项D.216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：B C11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A.直线1DB 与平面AEF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.三棱锥D AEF -的体积为23D.点D 到平面AEF 的距离为43【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面AEF 的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B ；根据等体积法可求得三棱锥D AEF -的体积，可判断C ；利用空间距离的向量计算公式，可判断D .【详解】如图，以D 点为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,1),(2,0,2),(2,2,1)D B A E F A G ,对于A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,2,1)DB AE AF ==-=-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，可取(2,1,2)n =，而1(2,2,2)DB = ，与(2,1,2)n =不平行，故直线1DB 与平面AEF 不垂直，故A 错；对于B ，1(0,2,1)AG =- ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,()()10,2,12,1,20A G n ⋅=-⋅=,1A G 不在平面AEF 内,故直线1A G 与平面AEF 平行，故B 正确；对于C ，11122213323D AEF F DAE DAE V V S FC --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ,故C 正确；对于D ，(2,0,0)DA = ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,,故点D 到平面AEF 的距离为||23||n DA d n ⋅===，故D 正确，故选：BCD12.已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A.128y y =-B.AB的最小值为C.11AP BP +=D.AMP BMP∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】首先设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得2480y my --=，分别写出12y y +，12y y 式子，然后逐项验证，对于A 直接得出，对于B 利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C ，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D ，利用0AM BM k k +=即可验证.【详解】设直线l 的方程为2x my =+，则由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理，得2480y my --=，因为直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则所以124y y m +=，128y y =-，故A 正确.AB ===≥，m =0时等号成立，故B 正确.AP ==1，同理，可得BP y =2，则AP BP +=11===≠2，故C 不正确.()()()()AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++1221121212212222()()()()()()()y my y my my y y y x x x x +++++==++++12211212121244242222.()()()m mx x -+⨯==++122844022,即AMP BMP ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线l 的方程为2x my =+，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20x y ++=的倾斜角的是______．【答案】3π4【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线20x y ++=的斜率1-，设直线20x y ++=的倾斜角为α，则tan 1α=-，因为[0,π)α∈，所以3π4α=，故答案为：3π4.14.已知函数()()sin 20f x x xf '=-，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】3-【解析】【分析】先求函数()()sin 20f x x xf '=-的导数，利用赋值法求出(0)f '，即可得函数解析式，从而求得π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由于()()2cos 20f x x f ''=-，所以(0)2cos0(0)f f =-''，解得(0)1f '=，所以()sin 2f x x x =-，则()2cos21f x x '=-，所以π32f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故答案为：3-15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m 连环，用n a 表示解下()n n m ≤个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足：11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数n a =___________.（用含n 的式子表示）【答案】121n --【解析】【分析】根据通项公式得到243n n a a -=+，构造出等比数列，进而求出121n n a -=-.【详解】因为n 为偶数，当4n ≥时，()12221222143n n n n a a a a ---=-=+-=+，即()2141n n a a -+=+，又2121211a a =-=-=，所以{}1n a +是以212a +=为首项，4为公比的等比数列，故1121242n n n a -+=⨯=，所以121n n a -=-，故答案为：121n --16.已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，则P 点的轨迹Γ为圆_______，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC CD = ，则CD =______.【答案】①.()22516x y -+=②.【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =【详解】设(),P x y2=，整理得到221090x y x +-+=，即22(5)16x y -+=.因为AC CD = ，故C 为AD 的中点，过圆心()5,0作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD的中点，则32AM CD ==解得CD =故答案为：22(5)16x y -+=，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n -=⋅（2）()121n n S n =-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式可求n a .（2）利用错位相减法可求n S .【小问1详解】因为122(*)n n n a a n N +=+∈，111222n n n n a a ++∴-=∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=，12n n a n -∴=⋅.【小问2详解】0111·22·22n n S n -=+++⋅ ，2n S =()1112122n n n n -⋅++-⋅+⋅ ，12112222n n n S n -∴-=++++-⋅ ()121n n =-⋅-，()121n n S n ∴=-⋅+.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．【答案】（1）6（2）13【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出11,AB DC ,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面1B AD 和平面1ADC 的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，,1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- ,所以111111cos ,6AB DC AB DC AB DC <>== ，所以直线11AB DC ，所成角的余弦值为6；【小问2详解】设(,,)m x y z = 为平面1B AD 的一个法向量，111(,,0),(1,0,1)22AD AB == ,则⋅A =12+12=0 ·B 1 =+=0,∴+=0+=0，1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=-- 令则，，同理111(,,0),(0,1,1)22AD AC == ,则11100,220·0x y n AD x y y z n AC y z ⎧+=⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=+=⎩,可取平面1ADC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，则1cos ,3m n m n m n<>== ,由图可知二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为13.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点21,2M ⎛ ⎪⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB 的面积为23，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =±【解析】【分析】(1)将点M 、N 的坐标代入椭圆方程计算，求出a 、b 的值即可；(2)设l 的方程为：(0)y kx m k =+>，1122,,()()A x y B x y ，，根据直线与圆的位置关系可得2221m k =+，直线方程联立椭圆方程并消去y ，利用韦达定理表示出1212+、x x x x ，根据弦长公式求出AB ，进而列出关于k 的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N ．则221112a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a b ==，2212x C y ∴+=椭圆的方程为【小问2详解】设l 的方程为：(0)y kx m k =+>l 与圆2212x y +=相切22212m k =∴=+，设点1122,,()()A x y B x y ，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由，∴（1+22)2+4B +22−2=0，则Δ>01+2=−4B 1+2212=22−21+22，12223AOB S AB =⨯=，12AB x ∴==-，3，3=，2221m k =+又，425410k k ∴--=，21k =∴，0k > ，1k ∴=，故211m m =⇒=±，1l y x ∴=±的方程为20.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO =13BF FC =uu u r uu u r ，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7（2）存在，M 与S 重合【解析】【分析】（1）分别取AB ，BC 中点M ，N ，易证,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD 的一个法向量(,,)m x y z = ，再由cos ,m EF m EF m EF⋅<>=⋅ 求解；（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ，再求得平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，然后由0m n ⋅= 求解.【小问1详解】解：分别取AB ，BC 中点M ，N ，则OM ON ⊥，又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，1(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)，所以3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==- ，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，22)x z m ==-∴=- 令则cos ,7m EF m EF m EF⋅<>==⋅ ，,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余，直线EF 与平面SBC所成角的正弦值为7.【小问2详解】假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD，(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=- 设，1(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则，设平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z =，()30221312022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅=--+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩则，令1y =，则111(,1,2121z x n λλλλ--==∴=++ ，平面MEF ⊥平面SCD，22021m n λλ-∴⋅=-=+ ，0λ∴=，∴存在点,M MEF SCD ⊥使得平面平面，此时M 与S 重合.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.（1）证明：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3(1)log 1nn n n b a a =+--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得22024n T >的最小正整数n .【答案】（1）证明见解析，131n n a -=+（2）4【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系式化简出132n n a a -=-，再构造成()1311n n a a -=--即可证明为等比数列同时求出通项公式；（2）化简可得()(1)1n n n b a n =+--，再通过分组求和可得2n T ，判断2n T 的单调性即可求出22024n T >的最小正整数n .【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，()113122n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则()1311n n a a -=--，而110a -≠，所以数列{}1n a -构成以1为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】131n n a -=+，()()13(1)log 131(1)1n n n n n n b a a n -∴=+--=++--，{}n a 的前2n 项和22133122132n n n n --+=+-(){}(1)1nn --的前2n 项和()0123421n -+-+-+⋯+-()()()()01232221n n n⎡⎤=-++-++⋯+--+-=⎣⎦223132n n T n -∴=+2n T 单调递增且66313337320242T -=⨯+=<，883134329220242T -=⨯+=>所以使得22024n T >最小正整数n 为4.22.已知双曲线()2222:100x y a b a b Γ-=>>，过点P ，且Γ的渐近线方程为y =．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧．①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）①[)6+∞，；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得22,a b ，即可得解；（2）①易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k ，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，则0∆>，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据弦长公式可求得AB ，同理可求得2k 的范围及CD ，再根据12ACBD S AB CD =⋅整理即可得出答案；②设直线AD 的方程为y kx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，根据0∆>求得,t m 的关系，利用韦达定理求得5656,x x x x +，再利用弦长公式求得AD ，易求得,M N 的坐标，即可求出MN ，再根据M ，N 为线段AD 的三等分点，可得3AD MN =，结合AB CD ⊥，可得两个等量关系，从而可得出结论.【小问1详解】解：由题意有b a =b =①，将点P 代入双曲线方程得22361a b -=②，联立①②解得2213a b ⎧=⎨=⎩，故Γ的方程为2213y x -=；【小问2详解】解：①，易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()22330k x --=，直线1l 与双曲线Γ交于两点，故230k -≠且()21230k ∆=->，则23k <，则1212230,3x x x x k +==--，则AB ==，联立22113y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()2223130k x k --=，直线2l 与双曲线Γ交于两点，故2310k -≠且()2212310k k ∆=->，解得213k >，则23434230,31k x x x x k +==--，则CD =，根据对称性可知四边形ACBD 为菱形，其面积12ACBD S AB CD =⋅====2133k << ，∴22116243k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，，∴(]222221616341(1)2k k k k =∈+++，，∴(]22216301(1)k k -∈+，，[)6ACBD S ∴∈+∞，；②，假设满足题意的直线AD 存在，易知直线AD 斜率存在，设直线AD 的方程为y tx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2223230t x tmx m ----=，则()230t -≠且()()222244330t m m t ∆=++->，解得23≠t 且223t m <+，由韦达定理有56225622333km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，则AD ===，不妨设M 为直线AD 与渐近线y =的交点，联立y tx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛⎫∴，同理可得N点的坐标为⎛⎫，则MN ==，因为M ，N 为线段AD 的三等分点，3AD MN =，=，整理得22830t m +-=，①AB CD ⊥ ，AO DO ∴⊥，则0AO DO ⋅=，即56560x x y y +=，()()56565656x x y y x x tx m tx m +=+++()()()222225656223211033m tm t x x tm x x m t tm m t t --=++++=++=--，整理得223230t m -+-=,②联立①②得2913t =-，无解，故没有满足条件的直线AD ．。

浙江省杭州校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

杭州2023学年第一学期期末考试高二数学试卷（答案在最后）命题人：一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数z 满足4,4i z z z z +=-=-，则||z =（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】由条件求得z ，即可计算复数模.【详解】∵4z z +=，4i z z -=-，∴244i z =-，22i z =-，∴z ==故选：C.2.已知集合{}{ln(1)},e x M xy x N y y ==-==∣∣，则M N ⋂=（）A.(0,1)B.(,1)-∞ C.(1,)+∞ D.∅【答案】A 【解析】【分析】求函数ln(1)y x =-的定义域得出集合M ，求函数e x y =的值域得出集合N ，再求出M N ⋂即可.【详解】{ln(1)}{10}{1}M xy x x x x x ==-=->=<∣∣∣,{}{}e 0xN y y yy ===>∣∣,所以{01}(0,1)M N xx ⋂=<<=∣.故选：A.3.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D.丙次购买葡萄的平均价格无法比较【答案】A【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.【详解】设两次葡萄的单价分别为a 元/千克和b 元/千克，且a b ¹，则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为()362a b a b++=元/千克，小港两次均购买50元葡萄，平均价格为10025050aba b a b =++元．因为()()()()22420222a b ab a b a b ab a b a b a b +--+-==>+++，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．故选：A .4.已知直线3y kx =-与曲线ln y x =相切，则实数k 的值为（）A.eB.1eC.2e D.21e 【答案】C 【解析】【分析】首先设切点为()00,ln x x ，利用导数的几何意义得到01k x =，从而得到直线方程为03xy x =-，再将切点代入直线求解即可.【详解】设切点为()00,ln x x ，1y x'=，则01k x =，所以直线方程为03xy x =-.又因为()00,ln x x 在直线03xy x =-上，所以0ln 132x =-=-，解得20x e -=.所以221k e e-==.故选：C5.已知向量(2,4),(1,)a b t =-= ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量(0,1)j =- 上的投影向量为（）A.jB.j-C.2jD.2j-【答案】D【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j =- 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a 与b共线，则240t --=，所以2t =-，则(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j =- 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅-⋅=⋅=-，故选：D.6.已知数列{}n a 为等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，则“20S >”是“数列{}2n S 是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，若20S >，即2210()S a a =>+，则222222+21120()nn n n n S a a a a S q ++=+=+>-，即数列{}2n S 是单调递增数列；若数列{}2n S 是单调递增数列，则222222+21120()nn n n n S a a a a S q ++=+=+>-，所以2210()S a a =>+；所以“20S >”是“数列{}2n S 是单调递增数列”的充要条件.故选：C.7.在三棱锥-P ABC 中，2PA PB PC AC AB =====，且AC AB ⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.8πB.9πC.16πD.24π【答案】B【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.【详解】由题意可得，点P 在底面上的射影M 是CB 的中点，是三角形ABC 的外心，令球心为O ，因为2AC AB ==，且AC AB ⊥，所以MB MC MA ===，又因为PA PB PC ===2PM ==，在直角三角形OBM 中，222OB OM BM =+，即()2222R R =+-，解得32R =，则三棱锥外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=.故选：B8.设点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>上的点P 到y 轴的距离为d ．若||PA d +的最小值为1，则p =（）A.6B.4C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】结合抛物线的定义得到关于p 的方程，解出即可.【详解】抛物线22(0)y px p =>，则焦点(,0)2p F ，准线2p x =-，PA d +最小时，即2p PA d ++最小，根据抛物线的定义，||2pd PF +=，所以只需求||||PA PF +的最小值即可，当P 为线段AF 与抛物线交点时，||||PA PF +最小，且最小值为12p AF ==+，解得3p =.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列表述正确的是（）A.如果0,a b c d >>>，那么ac bd >B.如果0a b >>a b>C.如果0,0c a b d >>>>，那么11ac bd < D.如果a b ≥，那么2a bb a +≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据不等式的基本性质判断ABC ，利用作差法判断D 即可.【详解】A ：由,0c d b >>，得bc bd >，若0a b >>，0c >，得ac bc >，则ac bc bd >>，即ac bd >；若0a b >>，0c <，得ac bc <，则ac bd >不成立，故A 错误；B ：若0a b >>a b >B 正确；C ：由0a b >>，0c d >>，得0ac bd >>，则0abcd >，所以ac bdabcd abcd >，即11acbd<，故C 正确；D ：若a b ≥，则0,02222a b b a a b a bb a +-+--=≤-=≥，所以,22a b a bb a ++≤≥，即2a bb a +≤≤，故D 正确.故选：BCD10.已知双曲线C 的两个焦点分别为()()1222,0,2,0F F -，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为224x y -=，则条件p 可以是（）A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y x=±【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.【详解】设该双曲线标准方程为22221x y a b-=，则c =对于A 选项，若实轴长为4，则2a =，2224b c a ∴=-=，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a b =，又c =2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y x =±，则a b =，结合2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意，故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C ：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B F B D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.12.设定义在R 上的函数(),()f x g x 的导函数分别为(),()f xg x ''，若(2)(2)2,()(2)f x g x f x g x ''++-==+且(1)y g x =+为偶函数，则下列说法中正确的是（）A.(1)0g '= B.(2)(3)(4)0g g g ++=C.()g x '的图象关于3x =对称 D.函数()f x 为周期函数，且周期为4【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据(1)y g x =+为偶函数求出()g x 的表达式，然后给()g x 的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D ，根据()(2)f x g x ⅱ=+和(1)y g x =+为偶函数找到(),()f x g x 的关系，求出周期；B ：根据()g x 的性质，取特值求解；C ：根据已知推导出(6)()g x g x ''-=.【详解】A ：因为(1)y g x =+为偶函数，所以()()11g x g x -+=+，所以()()11g x g x ''--+=+，令0x =，则()()11g g ''-=，所以()10g '=，故A 正确；D ：因为()(2)f x g x ⅱ=+，所以()()2f x g x m =++，用x -代替原来的x 得()()2f x g m x =--+，①又(1)y g x =+为偶函数，所以()()11g x g x -+=+，用1x -代替原来的x 得：()()2g x g x -=，②由①②得()()f x x g m -=+，③又(2)(2)2f x g x ++-=，用2x --代替原来的x 得：()()24x x f g +-+=，④由③④联立得：()()24g m x g x +++=，⑤用4x +代替原来的x 得：()()248g x m x g ++++=，⑥⑥减去⑤得：()()8g x g x +=，故()g x 为周期函数，且周期为8，用x -代替原来的x 得：()()8g x g x -=-，⑦因为(2)(2)2f x g x ++-=，用2x +代替原来的x 得：()()42f x g x ++-=，⑧因为(2)(2)2f x g x ++-=，用6x -代替原来的x 得：()()482f x g x -+-=，⑨由⑦⑧⑨得：()()44f x f x -=+，用4x +代替原来的x 得：()()8f x f x =+，所以()f x 为周期函数，且周期为8，故D 错误；B ：因为常函数()()111f g ==为满足题意得一组解，但(2)(3)(4)30g g g ++=¹，故B 错误；C ：由(2)(2)2f x g x ++-=，则(2)(2)0f x g x ''+--=，即()(4)f x g x ''=-，又()(2)f x g x ⅱ=+，则(4)(2)g x g x ''-=+，即(6)()g x g x ''-=，故C 正确；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数可任意赋值（符合已知条件）得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性取特值代入求解.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.【答案】7.85【解析】【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大排列可得，6.9,7.6,7.8,7.9，8.1,8.3,8.5,8.8，9,9.2,9.4,9.5，又1225%3⨯=，所以样本数据的下四分位数为7.87.97.852+=，故答案为：7.85.14.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是_____．【答案】10【解析】【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，得211r =且2211n n r r +-=，则2{}n r 是以1为首项，1为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式计算即可求解.【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，则211r =，又每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，所以2211(1,2,,99)n n r r n +-== ，所以数列2{}n r 是以1为首项，1为公差的等差数列，1,2,,100n = ，所以2n r n =，所以2100100r =，由1000r >，解得10010r =.故答案为：1015.设椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为(),0F c ，点()3,0A c 在椭圆外，P 、Q 在椭圆上，且P是线段AQ 的中点.若直线PQ 、PF 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】取线段PQ 的中点M ，连接OM ，推导出//OM PF ，可得出12OM PQ PF PQ k k k k ==-，利用点差法可求得22b a的值，由此可求得椭圆Γ的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，点(),0E c -为椭圆Γ的左焦点，因为点()3,0A c 、(),0F c ，易知点F 为线段AE 的中点，又因为P 为AQ 的中点，所以，//PF QE ，取线段PQ 的中点M ，连接OM ，则2AP AF PMOF==，所以，//OM PF ，所以，OM PF k k =，故12OM PQ PF PQ k k k k ==-，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a -=--，所以，122221212222121212012202OM PQy y y y y y b k k x x x x x x a +---=⋅==-=-+---，所以，椭圆Γ的离心率为2222222121122c c a b b e a a a a -===--.故答案为：22.16.已知数列{}n a 满足1π(1)cos 3n n n a n a +=-+，若11a =，则2024a =_____．【答案】67512【解析】【分析】用累乘法，结合余弦函数的周期性求解.【详解】因为πcos 3n y =的最小正周期为2π6π3=，且2023=3376余1，由已知可得()()337320242202416751220231111111111111111=222222aa a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯-+⨯-⨯--⨯-⨯-+⨯+⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：67512.【点睛】关键点点睛：数列中带有三角函数且求数列中较大的某一项时，通常想到用周期函数的性质求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、csin A c A +=．（1）求角C ；（2）若ABC 的周长为20，面积为，求边c ．【答案】17.60︒18.7【解析】【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得40ab =，由余弦定理计算可得22240a b c +=+，结合22()(20)a b c +=-计算即可求解.【小问1详解】cos sin A c A +=，cos sin sin )C A C A B A C +==+，cos sin sin cos cos C A C A A C C A +=+，sin sin cos C A A C =，又0180A ︒<<，得sin 0A >，所以sin C C =，即sin tan cos CC C==，由0180C ︒<<，解得60C ︒=；【小问2详解】由（1），得1sin 2ABC S ab C === 40ab =，由余弦定理，得222cos cos 602a b c C ab ︒+-==，即2221280a b c +-=，得22240a b c +=+.又20a b c ++=，所以22()(20)a b c +=-，即222240040a ab b c c ++=-+，即22408040040c c c ++=-+，解得7c =.18.已知A 、B 是抛物线24y x =上异于顶点的两个动点，直线AB 与x 轴交于P ．（1）若OA OB ⊥，求P 的坐标；（2）若P 为抛物线的焦点，且弦AB 的长等于6，求OAB 的面积．【答案】（1）(4,0)；（2【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my t =+(0)t ≠，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t 的值，从而求出P 的坐标；（2）设直线AB 的方程为1x ny =+，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得2n 的值，再求出点O 到直线AB 的距离，从而求出OAB 的面积.【小问1详解】因为直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x my t =+，(0)t ≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由24x my t y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y my t --=，所以216160m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t =-，由OA OB ⊥，得12121222212)0((4)441616O y t x x B y y A O y y t t t -=+⋅=+=-=-= ，解得4t =，满足0∆>，所以直线AB 方程为4x my =+，令0y =得4x =，即P 的坐标(4,0).【小问2详解】由题意知抛物线的焦点为(1,0)，因为直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为1x ny =+，点3344(,),(,)A x y B x y ，由214x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ny --=，所以216160n ∆=+>，344y y n +=，344y y =-，所以2344(1)6AB y n =-==+=，解得212n =，点O 到直线AB 的距离为3d ==，所以116223OAB S AB d ==⨯⨯= ,故OAB 的面积为.19.设a 为实数，函数32()3,()ln f x x x a g x x x =-+=．（1）求()f x 的极值；（2）对于1221[1,3],,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值为a ，极小值为4a -（2）e 4a ≥+【解析】【分析】（1）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极大值和极小值；（2）分析可知()()12min max f x g x ≥，利用导数求得函数()f x 在[]1,3上的最小值，求出函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】函数()323f x x x a =-+的定义域为R ，()()23632f x x x x x '=-=-，令()0f x '=，可得0x =或2，列表如下：x(),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 递增极大值递减极小值递增故函数()f x 的极大值为()0f a =，极小值为()24f a =-.【小问2详解】对于[]11,3x ∀∈，21,e e x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥，则()()12min max f x g x ≥.由（1）可知，函数()f x 在[)1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增，故当[]1,3x ∈时，()()min 24f x f a ==-，因为()ln g x x x =，且1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()1ln 0g x x '=+≥在1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，故函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()()max e e g x g ==，由题意可得4e a -≥，故e 4a ≥+.20.设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，*q ∈N .令2log n q nn nb a +=，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，nS 为数列{}n b 的前n 项和.（1）若2134a a a =，2367S T +=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且99299log 99S T -=，求q .【答案】（1）342n n a -=（2）2【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质求得364T =，结合已知化简得()2113log 5log 20q q a a --=，解得11log 3q a =-或1log 2q a =，利用对数运算求得q ，即可求得通项公式；（2）利用等差数列的性质及对数运算得nn a q =或1n n a q +=，分类讨论建立方程求解即可.【小问1详解】因为2134a a a =，所以2224a a =，解得24a =，所以33123264T a a a a =⋅⋅==，又2121126log log 1q q S b b a a =+=++，所以2311266467log log 1q q S T a a +=++=+，整理化简得()2113log 5log 20q q a a --=，解得11log 3q a =-或1log 2q a =，所以131a q-=或21a q =，又214a a q ==，所以8q =或q =（舍去），所以112a =，所以13412n n n a a q--==.【小问2详解】因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即11112212log 1log log 2q q q a a a =+++，解得1log 1q a =或1log 2q a =，所以1a q =或21a q =，所以nn a q =或1n n a q+=，①当n n a q =时，21n n nb n n+==+，易知{}n b 是等差数列，所以()9999210051992S +==⨯，()2999950299222log log log 9950log T q q q qq ⨯=⋅==⨯ ，又99299log 99S T -=，所以251999950log 99q ⨯-⨯=，所以2log 1q =，解得2q =；②当1n n a q+=时，21n n nb n n +==+，易知{}n b 是等差数列，所以()999919950992S +==⨯，()231009951299222log log log 9951log T q q q qq ⨯=⋅==⨯ ，又99299log 99S T -=，所以25051log 1q -=，解得49*512N q =∉，舍去；综上，2q =.21.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，且BC BD BA ==，120CBA CBD ∠∠== ，点P 在线段AC 上，点Q 在线段CD 上.（1）求证：AD BC ⊥；（2）若AC ⊥平面BPQ ，求BPBQ的值；（3）在（2）的条件下，求平面ABD 与平面PBQ 所成角的余弦值.【答案】21.证明见解析22.32BP BQ =23.55【解析】【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】证明：过A 作AO ⊥直线BC 于O ，连接DO .由题知,,60BA BD BO BO ABO DBO ∠∠==== ，,90ABO DBO DOB AOB ∠∠∴≅∴== ，即BC DO ⊥，又,,,BC AO AO DO O AO DO ⊥⋂=⊂平面AOD ,BC ∴⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，BC AD ∴⊥，即AD BC⊥【小问2详解】方法一：平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，,AO BC AO ⊥⊂平面ABC AO ∴⊥平面BCD .以O 为原点，以OB 的长度为单位长度，以,,OD OC OA uuu r uuu r uu r的方向分别为x 轴，y 轴，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则)(()()3,0,0,3,0,1,0,0,3,0DA B C .AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.BA BC P =∴ 为AC中点，由题知)(3,0,0,3,CD AC =-=设()))0,2,03,0,23,0BQ BC CD λλλ=+=+-=-，()23230,3AC BQ λλ∴⋅=-=∴=，,0,0,33BQ BQ ⎛⎫∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又在ABC 中，2,120BC BA ABC ∠=== ，所以1,2BP BP BQ =∴=.方法二：AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.设2BA BC ==，由120ABC ∠= 知，1BP ∴=.平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面,,BCD BC AO BC AO =⊥⊂平面ABC ，AO ∴⊥平面BCD ，又BQ ⊂平面,BCD AO BQ ∴⊥，又,AC BQ AC AO A ⊥⋂=，BQ ∴⊥平面ABC BQ BC ∴⊥.2,30,2,332BP BC BCQ BQ BQ ∠==∴=⨯=∴= 【小问3详解】由（2）知，平面PBQ 的一个法向量为AC，设平面ABD 的一个法向量为()((),,.0,1,,n x y z AB DB ===，则0,0,n AB y n DB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令y =则()n =，cos ,5AC n AC n AC n⋅==，∴平面ABD 与平面PBQ所成角的余弦值为.22.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)A，焦距为(3,0)B 作直线l 与椭圆交于C 、D 两点，直线AC AD 、分别与直线3x =交于E 、F ．（1）求椭圆的标准方程；（2）记直线AC AD 、的斜率分别为21k k 、，证明21k k +是定值；（3）是否存在实数λ，使CDE CDF S S λ=△△恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=（2）证明见解析（3）存在；1λ=【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上和焦距列方程组解出即可；（2）设出CD 两点坐标，表示出斜率21k k 、，并设出直线CD 方程与椭圆联立，消去y ，表示出韦达定理，代入21k k +的表达式中化简即可；（3）解方程组分别求出直线的交点,E F 坐标，再求出,E F 到直线CD 的距离，结合已知面积关系表示出两三角面积的方程，再利用212k k +=-代入化简即可.【小问1详解】因为椭圆过点(2,1)A，焦距为，所以222222411633a a bb a b ⎧⎧+==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎩，所以椭圆的标准方程为22163x y +=.【小问2详解】证明：设()()121122121211,,,,,22y y C x y D x y k k x x --==--，直线CD 的斜率一定存在，设为()3y k x =-，则()221633x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得到()222221121860k x k k +-+-=，()()()2222Δ124211860k k k =-+->，2212122212186,2121k k x x x x k k -+==++，()()()()()1212121212121212222222222313122251242412842118624842144212k k k x k x x x k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k +----=+--⎡⎤-++-++⎣⎦=-++-+++=--+++-+=+=-，故21k k +是定值.【小问3详解】设存在实数λ，使CDE CDF S S λ=△△恒成立，由()()11123,13y k x E k x ⎧-=-⇒+⎨=⎩，()()22123,13y k x F k x ⎧-=-⇒+⎨=⎩，设E 到直线CD 的距离为2d ，F 到直线CD 的距离为1d ，则12d d ==因为CDE CDF S S λ=△△，所以211122CD d CD d λ⨯=⨯⨯，②把①代入②并化简可得2111k k λ+=+，由上问可知112222k k k k +=-⇒=--，代入上式可得1111k k λ+=+，所以1λ=.【点睛】关键点点睛：①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解；②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式；。

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2014-2015学年高二上学期期末联考历史试题 Word版含答案

浙江省杭州地区（含周边）重点中学2014-2015学年高二上学期期末联考历史试题考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟；2．答题前，在答题卷指定区域内填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共50分）本卷共25小题，每小题2分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合要求的。

1.历史学的基本要素是：史料、史料解释、历史叙述和历史评价。

下面这段文字中属于史料解释的是：荀子提出①“天行有常”，即②认为自然界有其自身发展规律；又说③“制天命而用之”，④主张在掌握自然界客观规律的前提下改造自然，为人类服务。

⑤这种带有唯物色彩的见解，为当时各家所不及，也为后世留下了珍贵的思想遗产。

A.①③B.②④C.②④⑤D.①③④2．右图是黄庭坚书写的《戒石铭》：尔俸尔禄，民膏民脂，下民易虐，上天难欺。

这十六字戒言源出于五代后蜀皇帝孟昶曾撰《戒谕辞》，宋太祖赵匡胤总结前朝兴衰得失教训，认真研选，从中挑出核心内容四句十六字，颁于州县，刻碑为戒，从此世代沿袭，天下皆知。

关于上述材料说法错误的是A.倡导儒家民本学说B.书写的字体为楷书C.宋太祖目的是维护封建君主统治D.宣扬君权神授理论3.（公元65年）冬十月，日有食之。

……于是在位者皆上封事，直言得失。

帝览章，深自引咎，乃以所上颁示百官，诏曰：“群僚所言，皆朕之过……永览前戒，悚然兢惧。

”关于上述材料解读正确的是A.汉朝统治者认为“君权神授”B.汉朝统治者尊奉“天人感应”C.汉朝统治者吸取道家“无为而治”的思想，采取与民休息的政策D.汉朝统治者所尊崇的儒术糅合了道家、法家和阴阳五行家的一些思想4.文物是历史研究的重要对象，结合右《甘肃天水放马滩西汉墓纸质地图》分析，对该文物理解正确的是A.有助于了解“蔡侯纸”的基本信息B.说明汉代时期纸已成为最主要书写材料C.其制作精美，表明该时期造纸术已相当成熟D.西汉时期中国就已经发明了书写用纸5.2008年，“奇迹天工——中国古代发明创造文物展”在中国科技新馆展出，把“丝绸、青铜、造纸印刷、瓷器”定义为我国古代的新四大发明。

浙江省台州市2023-2024学年高二上学期1月期末质量评估数学试题含答案

台州市2023学年第一学期高二年级期末质量评估试题数学2024.01（答案在最后）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线21y x =-的斜率等于（）A.1-B.1C.2D.2-【答案】C 【解析】【分析】由斜截式判定直线斜率即可.【详解】由直线的斜截式y kx b =+可知21y x =-的斜率为2k =.故选：C2.若双曲线()2221012x y m m -=>的离心率为2，则实数m =（）A.2B.C.4D.16【答案】A 【解析】【分析】根据离心率表示出方程22124m m +=，计算即可求解.【详解】由题意得,22222124c m e a m+===,解得24m =.又0m >，则2m =.故选:A.3.若空间向量()()1,0,1,2,1,2a b == ，则a 与b的夹角的余弦值为（）A.23B.3C.3D.13-【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解.【详解】由题意，得cos,3a ba ba b⋅==.故选:C.4.已知等差数列{}()*na n∈N的前n项和为nS.若541353S a a==，，则其公差d为（）A.2- B.1- C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式，通项公式列式计算求解.【详解】由()155355352a aS a+===，所以37a=，又413a a=，1112733a da d a+=⎧∴⎨+=⎩，解得132ad=⎧⎨=⎩.故选：D.5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D-中，记1AB a AD b AD c===uu u r uuu r uur r rur,,，则1D C=（）A.a b c+-r r rB.a b c-++C.a b c-++D.a b c--+【答案】A【解析】【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：111D C D D DC DC AD AD a b c=+=+-=+-uuur uuu r uuu r uuu r uuu r ruu ru r r.故选：A.6.人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列{}()*1N n a n a m m ∈=，（为正整数），1231.nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩，为偶数，，为奇数若51a =，则m 所有可能的取值的和为（）A.16B.18C.20D.41【答案】B 【解析】【分析】由已知数列的递推式倒推得到m 的值.【详解】若51a =，则由递推关系只能有42a =，34a =，有28a =或21a =，当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，所以m 所有可能的取值为16或2，16218+=.故选：B7.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,,A B 两点在抛物线C 上，并满足3AF FB = ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为M ，若1FM =，则p =（）A.12B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】分过F 的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，求出112p x =+，2123p x =-，从而得到方程，求出答案.【详解】由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当过F 的直线斜率不存在时，AF FB =，不合要求，舍去，当过F 的直线斜率存在时，设为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立2:2C y px =得，()222222204k p k x k p p x -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2124p x x =，因为3AF FB = ，所以12322p p x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又1FM =，故112p x -=，解得112p x =+，故2312p x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2123p x =-，故2112234p p p ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1p =.故选：B8.在空间四边形ABCD 中，AB BC BC CD CD DA DA AB ⋅=⋅=⋅=⋅，则下列结论中不一定正确．．．．．的是（）A.()AB BC CD DA+=-+ B.2222AB BC CD DA +=+C.ABD DCA ≅ D.AC BD ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用向量线性运算判断A ；利用空间向量数量积的应用判断B ；利用给定等式结合垂直关系的向量表示推理判断CD.【详解】依题意，()AB BC AC CA CD DA +==-=-+，A 正确；显然22()()AB BC CD DA +=+ ，即222222AB BC AB BC CD DA CD DA ++⋅=++⋅ ，因此2222AB BC CD DA +=+ ，B 正确；由()BC CD BD DB DA AB +==-=-+ ，同理得2222BC CD DA AB +=+ ，于是||||,||||AD BC AB CD == ，由AB BC BC CD ⋅=⋅，得()0BC AB DC ⋅+= ，由CD DA DA AB ⋅=⋅，得()0DA AB DC ⋅+= ，取BD 中点O ，连接CO 并延长至E ，使OE CO =，连接,,BE DE AE ，取AE 中点F ，连接,BF DF ，显然四边形BCDE 为平行四边形，则||||||,||||||AD BC DE AB CD BE ====，//,//BC DE CD BE ，于是2AB DC AB EB FB +=+=，即有0,0BC FB DA FB ⋅=⋅=，则,BC BF AD BF ⊥⊥，DE BF ⊥，而,,AD DE D AD DE =⊂ 平面ADE ，则BF ⊥平面ADE ，又DF ⊂平面ADE ，因此BF DF ⊥，2BD OF AC ==，而,AB CD AD =为公共边，所以ABD △≌DCB △，C 正确；显然线段,BC CD 不一定相等，而BF ==，DF =，即直角三角形BFD 的两条直角边不一定相等，FO 与BD 不一定垂直，又//FO AC ，所以,AC BD 不一定垂直，D 错误.故选：D【点睛】结论点睛：首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列{}n a 和{}()*N n b n ∈是等比数列，则下列结论中正确的是（）A.{}2na 是等比数列B.{}n n a b +一定不是等差数列C.{}n n a b ⋅是等比数列D.{}n n a b +一定不是等比数列【答案】AC 【解析】【分析】AC 可利用等比数列的定义进行判断，CD 选项，可举出反例.【详解】A 选项，设数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=，故2212n na q a +=，所以{}2n a 是等比数列，A 正确；BD 选项，设1,2n n a b ==，满足数列{}n a 和{}()*Nn b n ∈是等比数列，所以123n n a b +=+=，故此时{}n n a b +是等差数列，也是等比数列，BD 错误；C 选项，设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公比为1q ，则111n n n na b qq a b ++⋅=⋅，故{}n n a b ⋅是等比数列，C 正确；故选：AC10.已知4a >-且0a ≠，曲线22:14x y C a a+=+，则下列结论中正确的是（）A.当0a >时，曲线C 是椭圆B.当40a -<<时，曲线C 是双曲线C.当0a >时，曲线C 的焦点坐标为()()0,20,2-，D.当40a -<<时，曲线C 的焦点坐标为()()2,0,2,0-【答案】ABD 【解析】【分析】对于AC ，若0a >，则40a a +>>，从而可判断；对于B ，若40a -<<，则40a +>，a<0，从而可判断；对于D ，40a -<<时，曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，求出焦点坐标即可判断.【详解】对于A ，若0a >，则40a a +>>，故曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若40a -<<，则40a +>，a<0，故曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，故B 正确；对于C ，0a >时，由A 可得曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故C 错误；对于D ，40a -<<时，由B 可得曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，曲线22:14x y C a a +=+，可化为曲线22:14x y C a a-=+-，双曲线C2=，故焦点坐标为()()2020-，，，，故D 正确.故选:ABD.11.如图，在四面体ABCD 中，E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点，EGFH ，相交于点M ，则下列结论中正确的是（）A.//AC 平面EFGHB.AC BD⊥C.()14AM AB AC AD =++D.若S T ，分别为AC BD ，的中点，则M 为ST 的中点【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断A ；对于B ，将AC 与BD 的位置关系转化为EF 与FG 的关系进行判断；根据空间向量的线性运算即可判断C ；通过分析得到2AS AT AM +=，即可判断D.【详解】对于A ，因为,E F 分别是,AB BC 的中点，所以//EF AC .又因为EF ⊂平面EFGH ，AC ⊄平面EFGH ，所以//AC 平面EFGH ，故A 正确；由A 可得，//EF AC ，因为,F G 分别是,BC CD 的中点，所以//FG BD .由题中条件得不到EF 与FG 垂直，所以也得不到AC 与BD 垂直，故B 错误；对于C ，()11112222AM AE EM AB EG AB EF FG =+=+=++11112222AB AC BD ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()111244AB AC AD AB =++- ()14AB AC AD =++,故C 正确；对于D ，因为T 是BD 的中点，所以()12AT AB AD =+.又因为S 是AC 的中点，所以12AS AC =，所以()122AT AS AB AC AD AM +=++=,所以M 为ST 的中点，故D 正确.故选:ACD.12.已知()()(){}()()(){}2222,21,0,21,0S x y x y m y x y x y m y =-+-=≥⋃-++=≥，()1,|,2T x y y x P S T ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭ ，则下列结论中正确的是（）A.当12m =时，(){}33,0202022S x y y ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋂==-+ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，B.当2m =时，P 有2个元素C.若P 有2个元素，则1122m -<<+D.当012m <<-时，P 有4个元素【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，画出S 表示的部分图形，求出与x 轴的交点坐标，得到A 正确；B 选项，得到此时S 为()()22221x y -+-=，由圆心()2,2到12y x =的距离小于半径得到有两个交点，求出答案；C 选项，举出反例；D 选项，画出S 表示的部分图形，结合点到直线距离，数形结合得到答案.【详解】A 选项，12m =时，()22121,02x y y ⎛⎫-+-=≥ ⎪⎝⎭表示圆心为12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1的圆位于x 轴上方的部分（包括x 轴上的两点），由()2212012x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭得322=+x 或322x =-，故332,0,2,022A B ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22121,02x y y ⎛⎫-++=≥ ⎪⎝⎭表示圆心为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为1的圆位于x 轴上方的部分（包括x 轴上的两点），由()2212012x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，解得22=+x或22x =-，同理可得2,0,2,022A B ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故S表示的部分如图所示，(){},0x y y =表示x 轴，故(){},0202022S x y y ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋂==-+ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，，A 正确；B 选项，当2m =时，()()22221x y -+-=，由于圆心()2,2到x 轴的距离等于2，大于1，整个圆位于x 轴上方，()()22221x y -++=，由于圆心()2,2-到x 轴的距离等于2，大于1，整个圆位于x 轴下方，故S表示的部分如图所示，由于圆心()2,2到12y x =15=<，故直线12y x =与圆()()22221x y -+-=有两个交点，P 有2个元素，B 正确；C 选项，当0m =时，此时两圆圆心相同，半径相等，此时S 表示的部分如图所示，此时直线12y x =与S有两个交点，而102->，C 错误；D选项，当012m <<-时，()()2221x y m -+-=，由于圆心()2,m 到12y x =0,5⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()()2221x y m -++=，由于圆心()2,m -到12y x =的距离为,15⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，画出S表示的部分如图所示，此时直线12y x =分别与两圆交于两点，共4个交点，所以P 有4个元素，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：有关直线与圆的位置关系判断，可利用代数法或几何法进行求解，代数法即联立直线与圆的方程，根据根的判别式进行判断；几何法则使用点到直线距离，数形结合进行求解.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.点()1,2P 到直线3460x y +-=的距离为______．【答案】1【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.【详解】点()1,2P 到直线3460x y +-=的距离1d ==.故答案为：114.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上的点，若1260F PF ∠=︒，122PF PF =，则椭圆的离心率等于______.【答案】3【解析】【分析】根据椭圆定义求出1242,33a a PF PF ==，由余弦定理求出方程，求出离心率.【详解】由椭圆定义可得122PF PF a +=，又122PF PF =，故1242,33a a PF PF ==，由余弦定理得222222221212122121642044999cos 421622339a a a c c F P F P F F F PF a a a F P F P +--+-∠===⋅⋅⋅，故222204191629a c a -=，故2224016899a a c -=，解得3c a =，故离心率为3故答案为：315.已知数列()()()*121221n n n n n n +⎧⎫+⎪⎪∈⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和为n S .当1760n S >时，n 的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】将()()121221n n n n n +++++化为111221n n n n +-+++，利用裂项求和法求出n S ，再结合数列的单调性，求解不等式，即可得答案.【详解】由于()()112111221221n n n n n n n n n +++=-++++++，故111111111131122132166n n n n S n n n ++-+-++--==+++++ ，由1760n S >，可得1111732160n n +->++，即12120n n +++>，由于()1*21,n n n +++∈N 的值随n 的增大而增大，且3n =时，12120n n +++=，4n =时，1213720n n +++=>，故n 的最小值为：4，故答案为：416.已知抛物线21:4C x y =和22:8C x y =-.点P 在2C 上（点P 与原点不重合），过点P 作1C 的两条切线，切点分别为A B ，，直线AB 交2C 于C D ，两点，则ABCD 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设出直线AB 方程y kx b =+，分别与抛物线1C ，2C 联立，结合判别式，韦达定理及弦长公式即可求解.【详解】依题知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线:,(0)AB y kx b k =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，联立24=+⎧⎨=⎩y kx b x y，得2440x kx b --=，则216160k b ∆=+>，121244x x k x x b +=⎧⎨⋅=-⎩，设过A 点的切线方程为111()y y k x x -=-，则1112()4y y k x x x y-=-⎧⎨=⎩，得221111440-+-=x k x k x x ，由221111161640k k x x ∆=-+=，得112x k =，故过A 点的切线方程为111()2x y y x x -=-，即112x x y y =-，同理过B 点的切线方程为222x x y y =-，联立得1222x x x k y b+⎧==⎪⎨⎪=-⎩，则点(2,)p k b -，则2(2)8()k b =--，得22k b =，设3344(,),(,)C x y D x y ，联立28y kx b x y=+⎧⎨=-⎩，得2880x kx b ++=，264320k b ∆=->，343488x x k x x b +=-⎧⎨⋅=⎩，1234||||||||2x x AB CD x x -==-.故答案为：2.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知圆C 经过原点及点()(200A B ，，.（1）求圆C 的标准方程；（2）过原点的直线l 与圆C 相交于P Q ，两点，若2PQ =，求直线l 的方程.【答案】（1）()(2214x y -+-=（2）0y =或y =【解析】【分析】（1）由OA OB ⊥，可知线段AB 的中点为圆心，线段AB 的长为圆C 的直径，得解；（2）分直线l 的斜率是否存在进行讨论，在存在时，利用勾股定理求出弦心距，求解直线方程.【小问1详解】设原点为O ，易知OA OB ⊥，线段AB的中点为圆心，圆心坐标为(.线段AB 的长为圆C 的直径，AB 4=，半径2r =.圆C 的标准方程为()(2214x y -+-=【小问2详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，令0x =，代入圆C 的标准方程，解得0y =或y =PQ =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，将其转化为一般式方程0kx y -=，圆心到直线的距离为d，则d ===得(()2231k k =+，化简得0k =或k =l 的方程为0y =或y =.18.已知数列{}()*N n a n ∈是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S .已知1233,2,a a a 成等差数列，326S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n b n a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）3n n T n =⋅.【解析】【分析】（1）应用等比数列的基本量运算及等差中项即可；（2）应用错位相减法即可.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得：13234a a a +=，即211134a a q a q +=，10a ≠ ，得234q q +=，解得1q =或3q =.由于1q =不符合题意，因此3q =.由326S =得，12326a a a ++=，即1113262a a ==，.所以123n n a -=⋅.【小问2详解】由题意得，()1213n n b n -=+，则()()01221335373213213n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-++ ，则()()12313335373213213n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-++ ，则()()()()1012131323323332133221313n n n n nT n n ----=⨯+⨯+++-+=+-+- ，则()()12333121323n n n n T n n --=+--+=-⋅，3n n T n =⋅.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==.从①②这两个条件中任选一个解答该题.①直线AB 与平面1ACD 所成角的正弦值为23；②平面11ABB A 与平面1ACD 的夹角的余弦值为23.（1）求1AA 的长度；（2）E 是线段1BD （不含端点）上的一点，若平面11A C E ⊥平面ADE ，求1BE BD 的值.【答案】（1）12AA =；（2）116BE BD =.【解析】【分析】（1）以1BC BA BB ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面1ACD 的法向量，借助二面角或线面角的向量法求解即可;（2）设()()1,,2,1BE BD λλλλλ==≠ ，求出平面11A C E 的法向量与平面ADE 的法向量，利用法向量垂直，即可求出1BE BD 的值.【小问1详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，易知1BC BA BB ，，两两垂直，如图，以B 点为坐标原点，以1BC BA BB ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则()()()0,0,00,1,01,0,0B A C ，，，设1AA a =，则()()()111,1,1,1,01,0,D a AC AD a =-= ，，，设平面1ACD 的法向量()111,,n x y z =.1111100n AC x y n AD x az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，，取1111x a y a z ===-，，，则(),,1n a a =- .若选择条件①，()0,1,0AB =- ，设直线AB 与平面1ACD 所成角为θ，则2sin cos ,3n AB θ=== ，解得2a =，或2a =-（舍去），即12AA =.若选择条件②，易知平面11ABB A 的法向量为()1,0,0m = ，设平面11ABB A 与平面1ACD 的夹角为α，则2cos ·3m n m n α⋅=== ，解得2a =，或2a =-（舍去），即12AA =.【小问2详解】由题（1）得:()()()()()1111111,1,20,1,21,0,21,1,21,1,0D A C BD A C ==- ，，，，.设()()1,,2,1BE BD λλλλλ==≠ ，则()()1,,2,,1,22E A E λλλλλλ=-- .设平面11A C E 的法向量()222,,.s x y z =所以111s A C s A E ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即()()1122122201220s AC x y s A E x y z λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-+-=⎪⎩ ，，取222121,22x y z λλ-===-，则121,1,22s λλ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭,又()(),1,21,0,0AE AD λλλ=-= ，，设平面ADE 的法向量()333,,t x y z =.()33331200t AE x y z t AD x λλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，，令3321y z λλ=-=-，，则()0,2,1t λλ=-- . 平面11A C E ⊥平面0ADE s t ∴⋅=，，即()()12112220222λλλλλλ----+=-+=-，解得16λ=，所以116BE BD =.20.如图，圆C 的半径为4，A 是圆内一个定点且2CA P =，是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径CP 相交于点Q ，点P 在圆上运动.（1）求点Q 的轨迹；（2）当CP CA ⊥时，证明：直线l 与点Q 形成的轨迹相切.【答案】（1）Q 点的轨迹是以C A ，为焦点，长轴长等于4的椭圆（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可得答案；（2）以线段CA 的中点为坐标原点O ，以过点C A ，的直线为x 轴，以线段CA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy ，求出椭圆的标准方程，当CP CA ⊥时，P 点的坐标为()1,4-和()1,4--，求出直线l 的方程与椭圆方程联立利用判别式可得答案.【小问1详解】44CP QC QP QP QA QC QA =+==∴+= ，，，因为2QC QA CA +>=，所以Q 与两个定点C A ，的距离的和等于常数（大于CA ），由椭圆的定义得，Q 点的轨迹是以C A ，为焦点，长轴长等于4的椭圆；【小问2详解】以线段CA 的中点为坐标原点O ，以过点C A ，的直线为x 轴，以线段CA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy ，设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由椭圆的定义得：24a =，即222a c ==；，即1c =，则椭圆的标准方程为22143x y +=，当CP CA ⊥时，P 点的坐标为()1,4-和()1,4--.当P 点的坐标为()1,4-时，已知A 点的坐标为()1,0，线段PA 的中点坐标为()0,2，直线AP 的斜率为40211-=---，直线l 的方程122y x =+，联立方程22122143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2213421202x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，整理得2210x x ++=，可得Δ440=-=，所以直线l 与点Q 形成的轨迹只有1个交点，即直线l 与点Q 形成的轨迹相切.当P 点的坐标为()1,4--时，已知A 点的坐标为()1,0，线段PA 的中点坐标为()0,2-，直线AP 的斜率为40211--=--，直线l 的方程122y x =--，联立方程22122143y x x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2213421202x x ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭，整理得2210x x ++=，可得Δ440=-=，所以直线l 与点Q 形成的轨迹只有1个交点，即直线l 与点Q 形成的轨迹相切.综上，直线l 与点Q 形成的轨迹相切.21.某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为θ的笔直公路，其中2cos 7θ=.摩天轮近似为一个圆，其半径为35m ，圆心O 到地面的距离为40m ，其最高点为A A ，点正下方的地面B 点与公路的距离为70m .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）（1）如图所示，甲位于摩天轮的A 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？【答案】（1）1514（2）1424【解析】【分析】（1）设公路所在直线为l ，过B 点作l 的垂线，垂直为D ,由tan AB ADB AD ∠=得答案;（2）设甲位于圆O 上的R 点处,直线OF 垂直于OA 且交圆O 于F 点，射线OR 可以看成是射线OF 绕着O 点按逆时针方向旋转α角度得到.过R 点正下方的地面T 点向l 作垂线，垂足为S .tan RST ∠取得最大值时，RST ∠即为从乙看甲的最大仰角，tan RST ∠8sin 7727cos αα--=-⋅-,其中，8sin 77cos αα---表示点()cos ,sin αα和点87,7⎛⎫ ⎪⎝⎭构成的直线a 的斜率，根据直线与圆的位置关系即可求解.【小问1详解】如图所示，设公路所在直线为l ，过B 点作l 的垂线，垂直为D ，70BD =m.因为圆的半径为35m ，圆心O 到地面的距离为40m ，所以75AB =m.从甲看乙的最大俯角与ADB ∠相等，由题意得AB BD ⊥，则7515tan 7014AB ADB AD ∠===.【小问2详解】如图所示，设甲位于圆O 上的R 点处，直线OF 垂直于OA 且交圆O 于F 点，射线OR 可以看成是射线OF 绕着O 点按逆时针方向旋转α角度得到.过R 点正下方的地面T 点向l 作垂线，垂足为S .当tan RST ∠取得最大值时，RST ∠即为从乙看甲的最大仰角.题意得：35sin 40tan 27035cos 7RST αα+∠=-⨯88sin sin 777727cos 27cos αααα+--=⋅=-⋅--,其中，8sin 77cos αα---表示点()cos ,sin αα和点87,7⎛⎫- ⎪⎝⎭构成的直线a 的斜率，当直线a 的斜率取得最小值时，tan RST ∠取最大值.因为点()cos ,sin αα在单位圆221x y +=上，所以当直线a 与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.设过点87,7⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线方程为：()877y k x +=-，1=，解得1484k -±=，则直线a 的斜率最小值为1415184--，代入可得tan RST ∠取最大值是1415124+.【点睛】方法点睛：求()sin cos x a f x x b+=+的最值时，可转化为求点()cos ,sin x x 与(),b a --连线斜率的最值，设出过点(),b a --的直线方程，由点()cos ,sin x x 在单位圆上，根据直线与圆相切即可求解.22.已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的实轴长为，直线2x =交双曲线于A B ，两点，2AB =.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知点()2,3M ，过点(),0T t 的直线l 与双曲线交于P Q ，两点，且直线MP 与直线MQ 的斜率存在，分别记为12k k ，.问：是否存在实数t ，使得12k k +为定值？若存在，则求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y -=；（2）存在，1t =.【解析】【分析】（1）由已知得2a =，将2x =代入方程可解得b ，故可得双曲线C 的标准方程；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212123322y y k k x x --+=+--，再分直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在讨论可得答案.【小问1详解】由已知得2a =，故a =将2x =代入方程22212x y b-=，得y b =±，由2AB =得，22,1b b ==.因此双曲线的标准方程为2212x y -=.【小问2详解】设()()1122,,P x y Q x y ，，则12121233,22y y k k x x --==--，则1212123322y y k k x x --+=+--.①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()y k x t =-，则()11y k x t =-,()22y k x t =-,则()()1212123322k x t k x t k k x x ----+=+--()()()()()()122112323222k x t x k x t x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=--()()()1212121222341224kx x k t x x kt x x x x ⎡⎤-+++++⎣⎦=-++.联立方程()2212y k x t x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩可得()()22222124220k x k tx k t -+-+=，因为过点(),0T t 的直线l 与双曲线交于P Q ，两点，所以()()()222222120Δ4412220k k t k k t ⎧-≠⎪⎨=+-+>⎪⎩，即222212120k k t k ⎧≠⎪⎨⎪+->⎩.则222121222422,1212k t k t x x x x k k++=-=---.故22122222124244122882k t kt k k k k k t k t k +--++=-+-+()()()22212241122442k t k t k t t -+-+=-+-+.令()()()22212241122442k t k t k t t λ-+-+=-+-+，整理得()()()2212222411220t t k t k λλ⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦.要使得对任意的k 上式恒成立，则()()()21222204101220t t t λλ⎧-+-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得1,6t λ==,所以，当1t =时，21221212622k k k k -++==-+.②当直线l 的斜率不存在时，由①得，12k k +为定值的必要条件是1t =，即直线l 过定点()1,0，此时直线l 的方程为1x =，易知直线l 与双曲线没有交点，不符合题意的要求.综上所述，当1t =时，12k k +为定值6.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．。

浙江省舟山市2014～2015学年高二上学期期末检测生物试题 Word版含答案

舟山市2014～2015学年第一学期期末检测高二生物试题一、选择题（本题有35小题，1－20小题每题1分，21－35小题每题2分，共50分。

每小题只有一个选项符合题意，多选、错选、不选均不得分。

）1．下列化合物中含有的化学元素种类最少的是A．过氧化氢酶B．脱氧核糖C．叶绿素D．ATP2．英国医生塞达尼·任格在对离体蛙心进行实验时发现：用不含钙和钾的生理盐水灌注蛙心，收缩不能维持；用含少量钙和钾的生理盐水溶液灌注时，蛙心可持续跳动数小时。

实验说明钙盐和钾盐的作用是A．是细胞中某些复杂化合物的重要组成部分B．对维持细胞的生命活动有重要作用C．对维持细胞的形态有重要作用D．为蛙的持续心跳提供能量3．下图为细胞内部分结构的示意图（各结构放大比例不同）。

下列有关说法正确的是A．细胞器的组成成分中都含有磷脂B．结构①②⑤存在碱基的互补配对C．电子传递链在①的内膜上进行D．所有植物细胞都含有结构①②③④4．右图为质膜的亚显微结构模式图，①～③表示构成质膜的物质。

下列有关说法错误的是A．细胞的选择透性与②③无关B．由②参加的物质运输，不一定为主动转运C．不同物种的质膜不同，主要是①和②的不同D．丝瓜的花粉落到番茄花的柱头上不能萌发，可能是①在起作用5．下列关于实验的描述，正确的是A．已经发生质壁分离的洋葱表皮细胞转到更高浓度的蔗糖溶液中，则发生质壁分离复原B．将本尼迪特试剂加入到葡萄糖溶液中立即出现红黄色沉淀C．将肝脏研磨液煮沸冷却后，加入到过氧化氢溶液中立即出现大量气泡D．在蛋清稀释液中先加入双缩脲试剂A，再加入双缩脲试剂B6．右图为细胞亚显微结构示意图，下列有关说法错误的是A．此图细胞不可能是蓝细菌细胞B．根据此图有细胞壁、大液泡、叶绿体可判断为植物细胞C．若此图表示洋葱根尖分生区细胞，则不应有的结构是2、9D．此图若表示动物的肝细胞，则不应有的结构为1、2、57. 下列关于ATP、ADP的说法中错误的是A．ATP是生命活动的直接能量来源B．ATP的A代表腺苷，T代表三个，P代表磷酸基团C．动物细胞需氧呼吸过程中产生大量ATP的阶段需要氧气参与D．叶绿体中产生的ATP由叶绿体基质向类囊体膜运动8．下列有关酶的叙述正确的是A．酶都是在核糖体上以氨基酸为原料合成的B．酶通过形成酶-底物复合物来提高反应速率C．高温和低温均能破坏酶的结构使其失去活性D．人体内胃蛋白酶进入小肠后，在小肠中依然能消化蛋白质9．在光合作用过程中，不属于碳反应的是A．H2O中的氢传递给NADP+形成NADPH B．CO2与RuBP结合C．三碳酸接受ATP释放的能量D．三碳糖再生成RuBP10．有关癌细胞的特征及原因描述，错误的是A．细胞周期变短，因为分裂旺盛B．细胞中DNA含量都增加，因为细胞分裂需复制C．易扩散转移，因为粘连蛋白减少D．核糖体增多，因为分裂时合成蛋白质的需要11．右图为叶绿体结构示意图，下列叙述错误的是A．1具有选择透性B．吸收光能的色素分布在2上C．与光合作用有关的酶只分布在3中D．在3中完成把ATP中能量转移到淀粉等有机物中贮存起来的过程12．下列有关动物细胞有丝分裂的叙述，正确的是A．染色单体形成于分裂前期，消失于分裂后期B．分裂间期有DNA和中心体的复制C．分裂间期DNA含量和染色体数都加倍D．核膜在分裂前期解体，重新形成在分裂后期13．取生长健壮的洋葱根尖，制成临时装片，放在显微镜下观察。

浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2540B x x x =-+≥，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3 C.{}1,4 D.{}0,1,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{25401B x x x x x =-+≥=≤或}4x ≥，{}0,1,2,3,4A =，则{}0,1,4A B = .故选：D.2.已知()2i i z +=，i 为虚数单位，则z =（）A.15B.13C.D.53【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z 的值.【详解】因为()2i i z +=，则()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z -===+++-，故55z ==.故选：C.3.已知平面向量()2,0a =r ，()1,1b =- ，且()()//ma b a b -+，则m =（）A.1-B.0C.1D.132±【答案】A 【解析】【分析】首先求出ma b - 、a b + 的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为()2,0a =r，()1,1b =- ，所以()()()2,01,121,1ma b m m -=--=+- ，()()()2,01,11,1a b +=+-=，因为()()//ma b a b -+，所以()21111m +⨯=-⨯，解得1m =-.故选：A4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左，右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若双曲线左支上存在点P 使得2322PF c a =-，则离心率的取值范围为（）A.[)6,∞+ B.(]1,6C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的性质：双曲线左支上的点P 到右焦点2F 的距离：2PF a c ≥+可确定双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意：322c a a c -≥+⇒132c a ≥⇒6ce a=≥.故选：A5.已知22cos cos 1θθ-=，()0,πθ∈，则sin θ=（）A.0B.12C.2或0D.2【答案】D 【解析】【分析】由已知可得出1cosθ1-<<，解方程22cos cos 1θθ-=，可得出cos θ的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得sin θ的值.【详解】因为()0,πθ∈，则1cosθ1-<<，由已知可得22cos cos 10θθ--=，解得1cos 2θ=-，故sin 2θ===.故选：D.6.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时，1111ln 23x xγ++++=+ （*x ∈N ，常数0.557γ= ）．利用以上公式，可以估算111101102300++⋯+的值为（）A.ln30B.ln3C.ln3-D.ln 30-【答案】B 【解析】【分析】依题意可得1111ln 30023300γ++++=+ ，1111ln10023100γ++++=+ ，两式相减，根据对数的运算法则计算可得.【详解】依题意可得1111ln 30023300γ++++=+ ，1111ln10023100γ++++=+ ，两式相减可得111ln 300ln100ln 3101102300++⋯+=-=.故选：B7.已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“)os(1c 4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】依题意可得cos()cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=+<+，利用充分条件、必要条件的定义判断可得答案．【详解】π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cos 1β<<，0sin 1α<<，所以cos()cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=+<+，所以由)os(1c 4αβ-<不能推出1cos sin 4αβ+<，充分性不成立；反之，1cos sin 4αβ+<⇒)os(1c 4αβ-<成立，即必要性成立；π,0,2αβ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，则“)os(1c 4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的必要不充分条件．故选：B ．8.已知圆22:20C x x y -+=与直线():20l y mx mm =+>，过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A和B ，若线段AB 长度的最小值为，则实数m 的值为（）A.7B.7C.2D.7【答案】D 【解析】【分析】推导出PC 垂直平分AB ，分析可知，当PC 取最小值时，AB 取最小值，此时，PC l ⊥，利用点到直线的距离公式可得出关于m 的等式，解之即可.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1，如下图所示：由圆的几何性质可知AC PA ⊥，BC PB ⊥，因为PA PB =，AC BC =，PC PC =，所以，PAC PBC ≌，所以，APC BPC ∠=∠，则PC AB ⊥，设AB PC E = ，则E 为AB 的中点，由勾股定理可得PA ==由等面积法可得22PA ACAB AE PC⋅===所以，当PC 取最小值时，AB取最小值，由=，可得PC =所以，PC的最小值为，当PC 与直线l 垂直时，PC 取最小值，=0m >，解得7m =.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组数据：3，3，4，4，4，x ，5，5，6，6的平均数为4.7，则（）A.7x =B.这组数据的中位数为4C.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5D.这组数据的第70百分位数为5.5【答案】ACD 【解析】【分析】根据平均数求出x 值，再根据百分位的性质求出结果．【详解】由题意得()1334445566 4.710x +++++++++=，解得7x =，故A 正确；将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数454.52+=，故B 错误；若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为4.70.35+=，故C 正确；因为1070%7⨯=，所以这组数据的第70百分位数为(56)2 5.5+÷=，故D 正确．故选：ACD ．10.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5a =，6b =，7c =，下面说法正确的是（）A.sin :sin :sin 5:6:7A B C =B.cos :cos :cos 5:6:7A B C =C.ABC 是锐角三角形D.ABC 的最大内角是最小内角的2倍【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦定理可判断A 选项；利用余弦定理可判断BC 选项；利用二倍角的余弦公式可判断D 选项.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:6:7A B C a b c ==，A 对；对于B ，由余弦定理可得2223649255cos 22677b c a A bc +-+-===⨯⨯，22225493619cos 225735a c b B ac +-+-===⨯⨯，2222536491cos 22565a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以，cos :cos :cos 5:6:7A B C ≠，B 错；对于C ，因为a b c <<，则C 为最大角，又因为1cos 05C =>，则C 为锐角，故ABC 为锐角三角形，C 对；对于D ，由题意知，A 为最小角，则2251cos 22cos 121cos 749A A C ⎛⎫=-=⨯-=≠ ⎪⎝⎭，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()20,πA ∈，则2C A ≠，D 错.故选：AC.11.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，PD =，点E 是棱PB 上一点（不包括端点），F 是平面PCD 内一点，则（）A.一定不存在点E ，使//AE 平面PCDB.一定不存在点E ，使PB ⊥平面ACEC.以D 为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面PAD 的交线长为π3D.AE EF +的最小值165【答案】ACD 【解析】【分析】建立坐标系，利用空间向量判断A ，B ，把,PAB PCB 展开到同一平面内计算判断D ，求出球面与,PAD PAB 的交线，再借助对称计算判断C 即可.【详解】对于A ，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，因为,⊂DA DC 面ABCD ，所以,PD DA PD DC ⊥⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以DA DC ⊥，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()(2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,3A B C P ，设(()()2,2,32,2,3,0,1PE PB λλλλλλ==-=-∈，()(()2,2,32,0,322,2,233AE PE PA λλλλλλ=-=---=--，显然面PCD 的一个法向量为()2,0,0DA = ，而440DA AE λ⋅=-<，即,DA AE不垂直，所以AE与平面PCD 不平行，故A 正确；对于B ，又()(2,2,0,2,2,3AC PB =-=-，所以4400AC PB ⋅=-++=，即AC PB ⊥，若)44433320160AE PB λλλλ⋅=-+-=-= ，则()40,15λ=∈，所以存在点E ，使得AE PB ⊥，又,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面ACE ，所以PB ⊥平面ACE ，故B 错误；对于C ，由题意球面与Rt PAD △的交线如图中圆弧 IJ，而π2,3DJ DI DA PAD ===∠=，所以π6IDJ ∠=，所以圆弧 IJ的弧长为ππ263⨯=，故C 正确；对于D ，由于PD⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以PD AB ⊥，而AB AD ⊥，,,PD AD D PD AD =⊂ 面PAD ，所以AB ⊥面PAD ，又PA ⊂面PAD ，所以AB PA ⊥，同理CB PD ⊥，且4PA PC ===，把,PAB PCB 展开到同一平面内，要使AE EF +取得最小值，当且仅当点F 在PC 上，且AF PC ⊥，如图，因为2AB =，所以由勾股定理得PB ==所以sin 55BPA BPA ∠==∠=，而BPA BPC ∠=∠，所以4sin sin 22555APF BPA ∠=∠=⨯⨯=，所以()min416sin 455AE EF AF PA APF +==⋅∠=⨯=，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.12.已知函数()()e 11x x f x x x =->-，()()ln 11x g x x x x =->-的零点分别为1x 、2x ，则下列结论正确的是（）A.12ln x x =B.12111x x +=C.124x x +> D.12ex x <【答案】ABC 【解析】【分析】分析可知，函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，利用图象的对称性可判断A 选项；由1121e 1x x x x ==-化简可判断B 选项；由基本不等式可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于函数1x y x =-，可得()1x y x -=，可得()1x y y -=，则1y x y =-，所以，函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，由()()e 011x x f x x x =-=>-，得e 1x x x =-，由()()ln 011x g x x x x =-=>-，得ln 1x x x =-，作出函数e x y =、ln y x =、1xy x =-的图象如下图所示：由对称性可知，点()11,ex x 、()22,ln x x 关于直线y x =对称，对于A 选项，12ln x x =，12e xx =，A 对；对于B 选项，由1121e 1x x x x ==-，可得1221x x x x -=，所以，1221x x x x =+，故211212111x x x x x x ++==，B 对；对于C 选项，若121x x =>，由1221x x x x =+可得2112x x =，则122x x ==，这与12e xx =即2e 2=矛盾，所以，12x x ≠，()121212122111224x x x x x x x x x x ⎛⎫+=++=++>+ ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为11x >，12e e xx =>，由不等式的基本性质可得12>e x x ，D 错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解本题的关键分析出函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，以及同底数的指数函数和对数函数的对称性来得出等量关系，再利用不等式的基本性质求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过()1P +、()1Q +两点的直线的斜率为_______．【解析】【分析】利用两点间的斜率公式可得出直线PQ 的斜率.【详解】由已知可得())1131PQk -+==-14.在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =，4BC =，18AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为_______．【答案】80π【解析】【分析】将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABDC A B D C -，求出该直三棱柱的外接球的直径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】因为2AB =，AC =，4BC =，则222AB AC BC +=，则AB AC ⊥，将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABDC A B D C -，如下图所示：所以，直三棱柱111ABC A B C -的外接球直径为2R ===，因此，该直三棱柱的外接球的表面积为()224ππ280πR R =⨯=.故答案为：80π.15.已知函数()πsin sin (0)3f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为2⎣，则实数ω的取值范围是_______．【答案】12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先把函数化成()()sin f x A x ωϕ=+的形式，再根据函数在给定区间上的值域求ω的取值范围.【详解】因为()πsin sin 3f x x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin sin 33x x xωωω=++3sin ·cos ·22x x ωω=+π6x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又0πx ≤≤⇒ππππ666x ωω≤+≤+.因为()2f x ≤≤⇒1πsin 126x ω⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭⇒ππ5π266ωπ≤+≤⇒1233ω≤≤.故答案为：12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点，右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点P ，直线PF 与C 的一个交点为Q ，()20OA OP OF OA OP OF -+⋅+⋅= ，且5Q PF P =，则C 的离心率为________．【答案】45+【解析】【分析】先根据条件：()20OA OP OF OA OP OF -+⋅+⋅= ，可确定P 点坐标，再根据条件：5QP FP=可确定Q 点坐标，依据Q 在双曲线上可求出双曲线的离心率.【详解】如图：因为(),0A a ，(),0F c ，设00,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()20OA OP OF OA OP OF -+⋅+⋅= ⇒()()·OP OF OA a c a -=- ⇒()()00,·,0b x x c a a c a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以：()()0c a x a c a -=-⇒0x a =.所以P 点坐标为(),a b .，所以PA x ⊥轴.过P 作x 轴的垂线，过Q 作PA 轴的垂线，相交于E 点.则~PAF PEQ ，又5QP FP =，所以()(),5,Q Q a x b y a c b --=-，可得Q 点的坐标为()54,4c a b --，因为Q 在双曲线C 上，所以()()22225441c a b a b ---=⇒225e 40e 10--=⇒417e 5=或417e 5-=（舍去）.故答案为4175+.【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常见的方法有两种：（1）求出a ，c ，利用e ca=求出离心率；（2）根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b a c =-和e ca=，解方程可得e 的值.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数()()sin cos f x x x x =-∈R .（1）求函数π2y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期；（2）求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）2π（2）1【解析】【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，可得出函数π2y f x ⎛=+⎫⎪⎝⎭的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数π2y f x ⎛=+⎫ ⎪⎝⎭的最小正周期；（2）由π02x ≤≤求出π4x -的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【小问1详解】解：因为()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则πππ42in 4π2f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣+⎦+⎝⎭，故函数π2y f x ⎛=+⎫ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π.【小问2详解】解：当π02x ≤≤时，πππ444x -≤-≤，所以，函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()max ππ124f x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.18.如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，M ，N 分别为AC ，BC 上的两点12AN AC = ，13BM BC =，AM ，BN 相交于点P ．（1）求AM的值；（2）求证：AM PN ⊥．【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）用AB 、AC表示AM ，再根据数量积的定义及运算律计算可得；（2）用AB 、AC表示AM 、BN ，根据数量积的运算律求出AM BN ⋅ ，即可得证.【小问1详解】因为13BM BC = ，所以()11213333AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以222221441441116424163399999293AM AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+=⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AM 【小问2详解】因为12AN AC = ，所以12BN AN A BA B AC =+=-+ ，所以22211212141603323636AM BN AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AM BN ⊥，即AM BN ⊥，所以AM PN ⊥．19.树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．【答案】（1）补全频率分布直方图见解析；估计众数为75.（2）100（3）2 3【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，求出[)70,80组的频率，可补全频率分布直方图，由此估计本次知识竞赛成绩的众数；（2）由频率分布直方图求出成绩不低于88的频率，由此估计进入复赛的人数；（3）根据分层抽样求出各组抽取的人数，再用古典概型求出所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25个概率.【小问1详解】[)70,80组的频率为：()10.010.0150.0150.0250.005100.3-++++⨯=.所以补全频率分布直方图为：因为[)70,80组对应的小矩形最高，所以估计本次知识竞赛成绩的众数为7080752+=.【小问2详解】由频率分布直方图得分数不低于88分的频率为：90880.025100.005100.110-⨯⨯+⨯=.所以这1000名参赛同学中估计进入复赛的人数为：10000.1100⨯=.【小问3详解】从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取6人，因为第一、二、六组的频率之比为2:3:1，所以第一组抽取2626⨯=人，第二组抽取3636⨯=人，第六组抽取1616⨯=人.设这6人分别为：12123,,,,,a a b b b c ，从这6人中任选2人的抽法有：1211121312122232121312323,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a c a b a b a b a c b b b b b c b b b c b c基本事件总数15n =，所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25包含的基本事件有：12111213212223121323,,,,,,,,,,a a ab a b a b a b a b a b b b b b b b 基本事件个数个数10m =.所以所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率为102153m P n ===.20.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//EF AD ，22AE EF ==，120EAD ∠= ，平面ADFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：BD CF ⊥；（2）求平面ABE 与平面BDF 所成锐角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）104【解析】【分析】（1）连接AC 、AF ，推导出AF AD ⊥，利用面面垂直的性质可得出AB ⊥平面ADFE ，可得出AF AB ⊥，推导出AF ⊥平面ABCD ，可得出BD AF ⊥，利用正方形的性质可得出BD AC ⊥，可得出BD ⊥平面ACF ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面ABE 与平面BDF 所成锐角的余弦值.【小问1详解】证明：连接AC 、AF，因为四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，AB AD ⊥，因为1EF =，2AE =，120EAD ∠= ，//EF AD ，则60AEF ∠=o ，由余弦定理可得22212cos 601421232AF EF AE AE EF =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以，222AF EF AE +=，则AF EF ⊥，则AF AD ⊥，因为平面ADFE ⊥平面ABCD ，平面ADFE 平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，则AB ⊥平面ADFE ，因为AF ⊂平面ADFE ，则AF AB ⊥，因为AB AD A ⋂=，AB 、AD ⊂平面ABCD ，则AF ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，则BD AF ⊥，因为AF AC A = ，AF 、AC ⊂平面ACF ，则BD ⊥平面ACF ，因为CF ⊂平面ACF ，则BD CF ⊥.【小问2详解】解：因为AF ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AF 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0D、(F、(0,E -，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =r，()2,0,0AB =，(0,AE =- ，则11120m AB x m AE y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11z =，可得()m = ，设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z =r，()2,2,0DB =-，(0,DF =- ，则222222020n DB x y n DF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2y =)n = ，所以10cos ,4m nm n m n ⋅===⋅，因此平面ABE 与平面BDF 所成锐角的余弦值为104.21.如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，且满足PD =．当点P 在圆上运动时，M 的轨迹为Ω．（1）求曲线Ω的方程；（2）点()2,0A ，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交曲线Ω于点B ，交y 轴于点C ．已知G 为AB 的中点，是否存在定点Q ，对于任意()0k k ≠都有OG CQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）存在，()1,0Q 【解析】【分析】（1）设点()00,P x y 、(),M x y ，则()0,0D x，根据平面向量的坐标运算可得出00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入等式22004x y +=化简可得出曲线Ω的方程；（2）记10m k=≠，则直线l 的方程可化为2x my =+，将该直线方程与曲线Ω的方程联立，求出点B 的坐标，进而求出点G 的坐标，求出OG k 及点C 的坐标，根据CQ OG ⊥可求出直线CQ 的方程，即可得出直线CQ 所过定点的坐标，即为所求的点Q .【小问1详解】设点()00,P x y 、(),M x y ，则()0,0D x ，因为PD =，所以PD =，则())000,,y x x y -=--，则)000x x y -=-=⎪⎩，所以00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为点P 在圆224x y +=，则2204x y +=，所以2224x y +=，整理可得22142x y +=，因此曲线Ω的方程为22142x y +=.【小问2详解】存在定点()1,0Q 满足题意，理由如下：记10m k=≠，则直线l 的方程为2x my =+，联立222240x my x y y =+⎧⎪+=⎨⎪≠⎩，得()22240m y my ++=，解得242m y m =-+，则2222442222m m x m m -=-+=++，故点222424,22m m B m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以点2242,22m G m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则2OG m k =-，因为OG CQ ⊥，则12CQ OGk k m=-=，在直线2x my =+中，令0x =，可得2y m =-，即点20,C m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线CQ 的方程为()2221y x x m m m=-=-，所以存在定点()1,0Q ，使得CQ OG ⊥.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,n x x x D ∈ ，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,i n n =⋯∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”．（1）判断()[]()221,0,4g x x x x =-+∈是否为()[]()40,5f x x x =+∈的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由．（2）若()()2231,211,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨->⎩，为()222log 21x x f x +=+，的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；（3）函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.21,22, 1.22==-=-．若()[][),0,2h x ax ax x =-∈为()[)2,0,1x f x x x ∞=∈++的“2023重覆盖函数”请直接写出正实数a 的取值范围（无需解答过程）．【答案】（1）1n =（2）2|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭（3）40452023,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据新定义，结合单调性即可求解（2）先求出()f x 的值域，然后把问题转化为()y g x =与y k =有两个交点，然后对a 分类讨论即可求解；（3）先求出()f x 的值域，作出()g x 的图象，结合函数图象可求．【小问1详解】因为()22()211g x x x x =-+=-，[]0,4x ∈，()[]()40,5f x x x =+∈，则()[]4,9f x ∈，由定义可得，对任意[]00,5x ∈，恰好存在不同的实数1x ，2x []0,4n x ⋯⋯∈，使得i 0()()g x f x =，（其中1i =，2，n ⋯，*N n ∈），即[]20(1)44,9i x x -=+∈，可得[]3,4i x ∈，所以对于任意[]00,5x ∈，能找到一个i x ，使得20(1)4i x x -=+，()g x ∴是()f x 的“n 重覆盖函数”，且1n =；【小问2详解】可得22221()log log 12121x x x f x +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭的定义域为R ，即对任意0R x ∈，存在2个不同的实数1x ，[)22,x ∞∈-+，使得0()()i g x f x =（其中1,2i =），20x > ，则11211011122121x x x +>⇒<<⇒<+<++，∴210log 1121x ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，即()021()log 10,121i x g x ⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭，即对任意01k <<，()g x k =有2个实根，当1x >时，()1g x x k =-=已有一个根，故只需21x -≤≤时，()g x k =仅有1个根，当0a =时，()31g x x =-+，符合题意，当0a >时，(2)44617g a a -=-++=，则需满足()12310g a a =+-+≤，解得203a <≤，当a<0时，抛物线开口向下，(2)44617g a a -=-++=，(0)1g =，若仅有1个根，由a<0知3212a a -≤-，当[]2,0x ∈-时，()1g x ≥，所以()g x k =无解，则只需(1)3200g a a =-≤⎧⎨<⎩，解得a<0，综上，实数a 的取值范围是2|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；【小问3详解】因为()[)2,0,1x f x x x ∞=∈++，当0x =时()00f =，当0x >时()0f x >且()211112x f x x x x ==≤=++，当且仅当1x =时取等号，所以()102f x <≤，综上可得()102f x ≤≤，即00201()0,12x f x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则对于任意10,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()h x m =，[)0,2x ∈要有2023个根，1,0,121,,()[]232,,ax x a ax x h x ax ax a a ax x a a ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢=-=⎣⎭⎨⎪⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⋯⎩，作出函数的图象（部分），如图：要使()h x m =，[)0,2x ∈有2023个根，则4045202322a a<≤，又0a >，则4045202342a <≤，故正实数a 的取值范围40452023,42⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解定义，将其转化为方程的根的问题，第三问关键是数形结合.。

浙江省湖州市2014-2015学年高二上学期期末考试样卷数学文试题 Word版含答案

湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学卷（文）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、直线10x y -+=的倾斜角是（）A ．30B ．60C ．45D ．1352、已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是（） A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥3、双曲线222211x y m m -=+（0m >）的渐近线与圆()2221x y +-=相切，则实数m 的值为（）A B ．2C ．12D ．24、P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的一个点，F 为该椭圆的左焦点，O 为坐标原点，且F ∆PO 为正三角形．则该椭圆离心率为（）A ．4-B ．2C 1D 5、一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内不同于O 的一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，若CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆6、在正四棱锥CD P -AB 中，2PA =AB ，M 是C B 的中点，G 是D ∆PA 的重心，则在平面D PA 中经过点G 且与直线PM 垂直的直线条数有（）A ．0条B ．1条C ．3条D ．无数条 7、已知二面角l αβ--的大小为60，点B ，D 在棱l 上，αA ∈，C β∈，l AB ⊥，C l B ⊥，C 1AB =B =，D 2B =，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A B C ．4 D 8、已知抛物线C :24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且F 2F M =N ，则直线l 的斜率为（）A ．B ．±C ．D ．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）9、在正方体1111CD C D AB -A B 中，棱1AA 与其余棱所在直线构成的异面直线共有对；棱1AA 与各面对角线所在的直线构成的异面直线共有对；面对角线1AB 与其余面对角线所在直线构成的异面直线共有对．10、右图中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ，该几何体的外接球半径为 cm ．11、若直线0x y +=和直线0x a y -=互相垂直，则a = ；若直线()20a a x y ++=和直线210x y ++=互相平行，则a = ．12、P 点在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆()2211x y ++=和()2211x y -+=上运动，则Q R P +P 的最大值为，最小值为．13、直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB = ．14、如图，正方体1C A 的棱长为1，连结1C A ，交平面1D A B 于H ，有以下四个命题：①1C A ⊥平面1D A B ，②H 是1D ∆A B 的垂心，③AH =，④直线AH 和1BB 所成的角为45．则上述命题中，是真命题的有．（填命题序号）15、已知F 为双曲线C :221916x y -=的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若Q P 的长等于虚轴长的2倍，点()5,0A 在线段Q P 上，则QF ∆P 的周长为．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分15分）已知:p 方程22146x y k k +=--表示双曲线，:q 点()2,1M 是椭圆2215x y k +=内一点，若p q ∧为真命题，求实数k 的取值范围．17、（本小题满分15分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面是正方形，D ∆PA 是正三角形，平面D PA ⊥底面CD AB ，点M ，N 分别是C P ，AB 的中点． ()I 求证：//MN 平面D PA ；()II 求直线PB 与底面CD AB 所成角的正切值．18、（本小题满分15分）在直角坐标系x y O 中，以()1,0M -为圆心的圆与直线30x -=相切．()I 求圆M 的方程；()II 如果圆M 上存在不同两点关于直线10mx y ++=对称，求m 的值； ()III 若对圆M 上的任意动点(),x y P ，求2x y +的取值范围．19、（本小题满分15分）如图，DC ⊥平面C AB ，C 90∠BA =，C 1A =，C 2B =，CD 3=，点E 在D B 上，且3D BE =E ． ()I 求证：C AE ⊥B ； ()II 求二面角C B -AE -的余弦值．20、（本小题满分14分）给定椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>），称圆2222x y a b +=+为椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的短轴长为2()I 求椭圆C 的方程；()II 若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与其“伴随圆”交于C ，D 两点，当CD =时，求∆AOB 面积的最大值．湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学卷（文）参考答案一、选分．) 9、4，6，510、4，11、1，1或2-12、6, 213、814、①②③15、44三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．解：由p得：()()460k k-⋅-<，∴46k<<…………6分由q得：2221155kk⎧+<⎪⎨⎪≠⎩，∴5k>…………12分又p q∧为真命题，则56k<<，所以k的取值范围是()5,6…………15分17．19．。

浙江省湖州市2014-2015学年高二上学期期末考试样卷历史试题 Word版含答案

2014学年第一学期期末考试样卷高二历史试题卷考生须知：1．全卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题），共26小题，满分为100分。

2．本卷采用闭卷形式，考试时间为90分钟。

3．本卷答案必须做在答卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上，做在试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题）本大题共24小题，每小题2分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1．《万历十五年》中提到：“一个人成为官员后，如果认识到他的成功和几代祖先息息相关，他就不能对他家庭中其他成员的福利完全漠视。

何况这种关心和帮助也不完全是无偿的支付，因为没有人能够预测自己的子孙在今后不受他们的提携。

”这种社会现象的历史渊源是A ．宗法制 B. 分封制C. 君主专制D. 中央集权制度2.为统一岭南地区，秦开凿灵渠以补充兵员和军需物资。

该水利工程的位置位于图中的A.①B.②C.③D.③3．史学家钱穆在《中国历代政治得失》中认为：“汉代的选举，是由封建贵族中开放政权的一条路；唐代的公开竞选，是由门第特殊阶级中开放政权的一条路。

”由此表明汉唐时期的选官制度①已初步具备民主政治的因素 ②实现了选官制度的重大变革③扩大了统治阶级的政治基础 ④促成了社会对公平公正的追求A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④4．下列各项能够体现中国古代王朝对地方的有效驾驭和控制的有①秦朝实行郡县制 ②汉武帝时形成由亲信近臣构成的“中朝” ③元朝设置了十个行中书省 ④清朝对边疆地区“大事集权、小事放权”A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④5．近代中国遭受了列强的多次侵略，清政府签订了一系列不平等条约。

阅读下表。

① ③②④可以得出的正确认识是A.到20世纪初,列强经济的侵略方式转变为资本输出为主B.第二次工业革命后，西方资本主义国家加紧对外掠夺C.众多不平等条约使中华民族危机空前严重,人民负担加重D.由于率先完成工业革命，英国首先打开了中国的大门6．1895年英商在上海开设了外商在沪的第一家纱厂——怡和纱厂。

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2014-2015学年高二上学期期末联考英语试题 Word版含答案

浙江省杭州地区（含周边）重点中学2014-2015学年高二上学期期末联考英语试题考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。

第Ｉ卷选择题（共95分）第一部分听力理解（本题共两节，满分20分）第一节（共5小题，每小题1分，共5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What are the speakers doing?A. Working.B. Jogging.C. Having a drink.2. What made the man so worried?A. The exam.B. The paper.C. His teacher.3. How long will the man stay in France?A. Five weeks.B. Three days.C. Two days.4. What was wrong with Jack?A. He had a fever.B. He was in hospital.C. He was late for work.5. Why was the man late for work?A. He was in an accident.B. His car was being repaired.C. He couldn't get his car going.第二节（共15小题，每小题1分，共15分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

浙江省2023-2024学年高二上学期语文期中试卷(含答案)

浙江省2023-2024学年高二上学期语文期中试卷姓名：__________ 班级：__________考号：__________阅读下面的文字，完成问题。

材料一：在许多文明的历史中，早期记忆与当代记忆之间出现了“浮动缺口”，在艺术史上表现为经典艺术史因排除民间艺术而形成的历史书写缺口。

在中国艺术发展进程中也可以看到这种文化记忆缺口的存在。

先秦的诗乐舞等艺术虽有雅郑之分，但都具有仪式性、民间性的群落文化性质。

体现精英文化创造性的经典艺术从汉代开始发展，经历唐宋元诸朝代的繁荣，在明代达到经典化的高峰。

明代中期文学批评中乃至唐宋派等诸流派的繁荣与纷争，都是以秦汉唐宋的艺术经典为标准和指归而展开的，民间文艺似乎在精英文化的发展繁荣中没落了。

然而就在这种经典艺术观达到繁荣顶峰的明代后期，个人和民间艺术趣味却又以推崇“性灵”的方式出现，形成了“复古派”与“性灵派”之争。

这种论争呈现出中国艺术发展史中的“浮动缺口”现象--民间艺术在经典艺术及其观念发展的过程中消隐了，而在性灵派的艺术主张和趣味中又浮现了出来。

复古派的代表人物之一李梦阳在晚年也看到了这个“缺口”的历史意义，他惊叹“今真诗乃在民间”，意味着一直被文人视为粗鄙不文的民间艺术并非已经消亡，在经典繁荣的“今”日以其“真”而仍然具有生命力。

历史缺口的发现意味着不同于经典的另外一种艺术史--作为“天地自然之音”的民间艺术史的显现。

近代学者王国维在研究中国艺术思想史的同时注意到了经典艺术和民间艺术两类不同文化传统的美学特征。

他在《人间词话》中研究的是“词”这类经典的文人创作，在元曲研究中则深入探讨了具有典型民间艺术特征的元杂剧。

可以说，他的研究视野沟通了中国艺术史的“缺口”。

他在谈到元杂剧时，毫不客气地批评“关目之拙劣，所不问也；思想之卑陋，所不讳也；人物之矛盾，所不顾也”，显然视之为稚拙朴陋的民间作品；然而同时又誉其为“一代之绝作”“中国最自然之文学”。

浙江省温州市十校联合体2014-2015学年高二上学期期末质量检测物理试题 Word版含答案

一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合答案要求，选对的得3分，选错或不选的得0分，每小题3分，共30分。

）1. 物理学家通过艰苦的实验来探究自然的物理规律，为人类的科学做出了巨大贡献，值得我们尊敬。

下列描述中符合物理学史实的是( )A ．奥斯特发现了电流的磁效应并提出了分子电流假说B ．洛伦兹通过实验测定了磁场对电流的作用力C ．库仑总结出了真空中的两静止点电荷间相互作用的规律D ．法拉第发现了电磁感应现象并总结出了判断感应电流方向的规律2．将一电荷量为+Q 的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图所示，金属球表面的电势处处相等，a 、b 为电场中的两点，则（） A ．a 点的电势比b 点的低 B ．a 点的电场强度比b 点的小C ．带负电的电荷q 在a 点的电势能比在b 点的小D ．带正电的电荷q 从a 点移到b 点的过程中，电场力做负功3．某同学用多用电表的欧姆挡的“×10Ω”挡测量一个电阻的阻值，发现表的指针偏转角度很小，如图所示，为了准确测定该电阻的阻值，正确的做法是（） A ．应把选择开关换到“×100Ω”挡，重新进行欧姆调零后再测量B ．应把选择开关换到“×100Ω”挡，不用再进行欧姆调零就直接测量C ．应把选择开关换到“×1Ω”挡，重新进行欧姆调零后再测量D ．应把选择开关换到“×1Ω”挡，不用再进行欧姆调零就直接测量4．在如图甲所示的电路中，电源电动势为3.0V ，内阻不计．．．．，L 1、L 2、L 3为3个相同规格的小灯泡，这种小灯泡的伏安特性曲线如图乙所示，当开关S 闭合后（） A ．通过L 1的电流为L 2的电流2倍 B ．L 2的电阻为7.5ΩC ．L 1消耗的电功率为0.30WD ．L 1的电阻为15Ω5. 如图所示，一正方形线圈的匝数为n ，边长为a ，线圈平面与匀强磁+Qab场垂直，且有一半面积处在磁场中，在Δt 时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B 均匀地增大到2B ，在此过程中线圈中产生的感应电动势为( )A. t Ba ∆2B. t nBa ∆2C. t Ba ∆22D. tnBa ∆226. 如图所示，MN 为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场(图中未面出)，且B 上：B 下＝1：2，一带电粒子从紧贴铝板上表面的P 点垂直于铝板向上射出，从Q 点穿越铝板后到达PQ 的中点O ，已知粒子穿越铝板时，速度方向和电荷量不变，不计重力，则穿越前和穿越后粒子的动能之比为( )A ．4：1 B.2：1 C ．2：2 D. 22：17. 如图所示，厚薄均匀的矩形金属薄片边长为ab ＝10cm ，bc ＝5cm ，当将C 与D 接入电压恒为U 的电路时，电流强度为2A ，若将A 与B 接入电压恒为U 的电路中，则电流为（）A ．0.5AB ．1AC ．2AD ．4A8．如图所示，质子（H 11）和氘核（H 21）同时从静止开始，经同一加速电场加速后，垂直射入同一偏转电场中，偏转后打在同一荧光屏幕上，不计重力，则它们( ) A ．在偏转电场中运动的加速度相同B ．能到达屏幕上同一点C ．从出发到屏幕的运动时间相同D ．到达屏幕时的速度相同9. 图甲中的A 是一边长为L 的正方形导线框，其电阻为R ，现维持线框以恒定的速度v 沿x 轴运动，并穿过图中所示的匀强磁场区域。

浙江省杭州市萧山区第二高级中学等三校2014-2015学年高二上学期期末联考物理试题 Word版含答案

图甲 1 2 3 42014-2015学年第一学期期末考试题卷年级：高二学科：物理满分：100 分考试时间：90 分钟审核人：考生须知：1、本卷共6页；2、本卷答案必须做在答案卷上，做在试卷上无效；3、答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目。

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，有选错或不答的得0分．）1、如图甲，手提电脑散热底座一般设置有四个卡位用来调节角度。

某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1调至卡位4（如图乙），电脑始终处于静止状态，则A 、电脑受到的支持力变小B 、电脑受到的摩擦力变大C 、散热底座对电脑作用力的合力不变D 、电脑受到的支持力与摩擦力的大小之和等于其重力 2、我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年以7020m 深度创下世界最新纪录，预示着它可以征服全球99.8％的海底世界。

假设在某次实验时，深潜器内的显示屏上显示出了从水面开始下潜到最后返回水面10min 内全过程的深度曲线（a ）和速度图像（b ），则有A ．（a ）图中h 3代表本次最大深度，应为360mB ．全过程中最大加速度是0.025m/s 2C．潜水员感到超重发生在0-1min 和8-10min 的时间段内D ．3-4min 时间段内深潜器正在上浮3、如图所示，在探究摩擦力的实验中，用轻质弹簧测力计水平拉一质量为m=0.2Kg 的放在水平桌面上的小木块，小木块的运动状态与弹簧测力计的读数如下表所示(每次实验时，2 ）A ．木块受到的最大摩擦力为0.7NB ．木块受到最大静摩擦力可能为0.6NC ．在这五次实验中，木块受到的摩擦力大小只有两次是相同的D ．小木块与水平桌面间的动摩擦因数为0.304、2012年9月，中国具有了自己的第一艘航母“辽宁号”。

航空母舰是大规模战争中的重要武器，灵活起降的飞机是它主要的攻击力之一。

2014-2015学年上学期高中期末考试卷(高二理科生物)(含答案)

2014-2015学年上学期期末考试高二生物（理科）试卷说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

考试结束后，将答题卡交回。

满分100分，考试时间120分钟。

第一卷（选择题，共60分）一、选择题(本题包括40小题，每题1.5分，共60分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意)1．下列有关组成生物体化学元素和化合物的叙述，正确的是 ( )A．磷是脂肪、ATP、DNA等不可缺少的成分 B．酶和核酸都是含有氮的生物大分子C．肌肉细胞中含量最多的化合物是蛋白质 D．纤维素是植物细胞的主要储能物质2．下面关于蛋白质的叙述中，正确的是（）A.蛋白质是酶,其基本组成单位是氨基酸B.每种蛋白质都是由20种氨基酸组成的C.蛋白质是肽链以一定方式形成具有复杂空间结构的高分子化合物D.各种蛋白质都含有C、H、O、N、P等元素3.右图是细胞亚显微结构模式图。

下列相关叙述，正确的是（）A．②是内质网，是细胞内蛋白质合成和加工以及脂质合成的“车间”B．③是中心体，细胞分裂间期中心体发出纺锤丝，形成纺锤体C．④是核糖体，无生物膜结构，其合成与核仁有关。

D．⑤是核孔，是DNA进出细胞核的通道4.将三种洋葱鳞片叶表皮放在相同浓度的蔗糖溶液中，一段时间后制成临时装片放在显微镜下观察到下图所示的不同状态的细胞图像。

这3个细胞原来细胞液浓度的高低关系是（）A.甲＞乙＞丙 B．甲＜乙＜丙C．乙＞甲＞丙 D．甲＝乙＝丙5对于下列各结构在生物中的叙述，不正确的是（）①叶绿体②染色体③核膜④核糖体⑤细胞壁⑥拟核A．①～⑤在绿藻体内都存在 B．大肠杆菌和蓝藻共有的是④⑤⑥C．除①②③外其他都在乳酸菌的体内存在D．菠菜和发菜体内都含有①③④⑤6.如图所示：甲图中①②表示目镜，③④表示物镜，⑤⑥表示物镜与载玻片之间的距离，乙和丙分别表示不同物镜下观察到的图像。

下面描述正确的是 ( )A．①比②的放大倍数大，③比④的放大倍数小B．把视野里的标本从图中的乙转为丙时，应选用③，同时提升镜筒C．从图中的乙转为丙，正确调节顺序：转动转换器→调节光圈→移动标本→转动细准焦螺旋D．若使物像放大倍数最大，甲图中的组合一般是②③⑤7．下列关于人体细胞结构和功能的叙述，错误的是（）A、唾液腺细胞和胰腺细胞中高尔基体数量较多B、在mRNA合成的同时就会有多个核糖体结合到mRNA上C、核孔是生物大分子可以选择性地进出的通道D、吸收和转运营养物质时，小肠绒毛上皮细胞内线粒体集中分布在细胞两端8.下列关于细胞膜的流动性和选择透过性的叙述，不正确的是( )A.流动性的基础是组成细胞膜的磷脂分子和蛋白质分子大多是可以运动的B.选择透过性的基础是细胞膜上的载体蛋白和磷脂分子具有特异性C.细胞的胞吞和胞吐体现了细胞膜的流动性D.钾离子通过主动运输的形式进入细胞，体现了细胞膜的选择透过性9.如图所示为细胞膜的亚显微结构，其中a和b为物质的两种运输方式，下列对细胞膜结构和功能的叙述不正确的是 ( )A.如果图中所示为肝细胞膜，则尿素的运输方向是Ⅱ→ⅠB.细胞间的识别、免疫、细胞的癌变与②有密切的关系C.大多数②可以运动D.b过程不需要能量，a过程能体现膜的选择透过性这一生理特性10. 对光合作用过程中物质转变途径的叙述，错误的是（）A．碳原子：CO2→C3化合物→（CH2O） B．氧原子：H2O→O2C．氢原子：H2O→ATP→（CH2O） D．氧原子：CO2→C3化合物→（CH2O）11. 下图为不同条件下酶促反应的速率变化曲线，相关叙述错误的是（）A．在c点增加酶的浓度，反应速率将加快B．Ⅱ比Ⅰ反应速率慢的原因是温度低使酶活性降低C．bc段影响反应速率的主要限制因子是底物浓度D．在a点增加底物浓度，反应速率将加快12.下图表示比较过氧化氢在不同条件下的分解实验。

浙江省杭州学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

2023-2024学年浙江省杭州高二（上）期末数学试卷（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.在等比数列{}n a 中，24a =，32a =，则5a 的值为（）A.2-B.0C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式求解.【详解】∵{}n a 为等比数列，∴公比3212a q a ==，∴218a a q==，∴445111822a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故选：C .2.过点（2，－3）、斜率为12-的直线在y 轴上的截距为（）A.2B.－2C.4D.－4【答案】B 【解析】【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令0x =，可得答案.【详解】由题意得直线方程为()1322y x +=--，令x =0，解得y ＝－2．故选：B ．3.某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人．现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A.45种 B.56种C.90种D.120种【答案】A 【解析】【分析】利用间接的方法，先求出8人中选3人总共有多少种，再分别求出都是女生和都是男生的有多少种，即可求解.【详解】解：8人中选3人共有：3887656321C ⨯⨯==⨯⨯种，其中都是男生的有：3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种，都是女生的有：333211321C ⨯⨯==⨯⨯，故既有男生又有女生，则不同的选法共有：5610145--=.故选：A .4.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()21ln =+'f x f x x ，则()2f '=（）A.0 B.1- C.e- D.e【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导后，将1x =代入先求出()1f '，然后求出()2f '即可.【详解】由()()21ln =+'f x f x x ，求导可得，()()1211f x f x'=⋅+'，取1x =得到()12(1)1f f ''=+，解得()11f '=-，此时()21f x x=-+'，则()20f '=.故选：A5.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足1122BP BA BC BD =-+，则||BP的值为（）A.32B.2C.1024D.94【答案】A 【解析】【分析】根据题意建立合适空间直角坐标系，根据向量关系求解出BP的坐标，则||BP 可求.【详解】记正方形的对角线交于O 点，连接,AO CO ，所以AO BD ⊥，因为二面角为直二面角，且CO BD ⊥，平面CBD ⋂平面ABD BD =，所以CO ⊥平面ABD ，建立空间直角坐标系如下图所示：所以,0,0,0,,0,0,0,,0,,02222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(),,0,0,,,0,2222BA BC BD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1122BP BA BC BD =-+，所以22,44BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以32BP =，故选：A.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5711125,26,n n na S a ab a +=-+==，则数列{}n b （）A.有最大项，无最小项B.有最小项，无最大项C.既无最大项，又无最小项D.既有最大项，又有最小项【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的首项1a ,公差d 列方程,可得1a 和d ,进而可得{}n a ,{}n b 通项,进而根据{}n b 的单调性,即可得最值.【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由571125,26,S a a =-+=得1115102511216263a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩,故()1131314n a n n =-+-=-11=13-14n n n a b a n +=+当5,n n N ≥∈时,{}n b 单调递减,故5671b b b >>>>L ,且52b =当15,n n N ≤<∈时,{}n b 单调递减,故12341b b b b >>>>,且14101112b b ==故{}n b 有最大值为2,最小值为12故选:D7.已知点(),a b 是圆2248160x y x y +---=上任意一点，0a ≠，则（）A.b 的最大值是4B.b a的最小值是34C.22a b +的最小值是2-D.直线1y x =-与圆相交【答案】B 【解析】【分析】利用三角换元求最值，将圆心到直线的距离和圆的半径比较可得到直线和圆的位置关系.【详解】对于A ，圆的方程可化为()()22244x y -+-=，设22cos 42sin a b θθ=+⎧⎨=+⎩，02πθ≤<且πθ≠，当π2θ=时，sin 1θ=，b 的最大值是6，则A 错误；对于B ，2222s 42sin 2sin 22cos 1co in 2cos 2sin cos 22222cos 2s b a θθθθθθθθθ++=++=++=2tan tan 122θθ=++213tan 224θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当1tan22θ=-时，b a的最小值是34，则B 正确；对于C ，()()222222cos 42sin a b θθ+=+++()()82sin cos 2424θθθϕ=++=-+，其中cos ,sin ,55ϕϕ==当()cos 1θϕ-=-时，22a b +的最小值是24-，则C 错误；对于D ，圆心到直线1y x =-的距离为3222d r ==>=，所以直线和圆相离，则D 错误；故选：B.8.定义方程()()f x f x '=的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21xg x xe =+，()ln 2h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.c b a>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得1ln02a =<，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得,bc 的范围，从而确定它们的大小．【详解】()2(1)x g x x e '=+，由()()g x g x '=得21x e =，1ln2x =，即1ln 02a =<，1()h x x '=，由()()h x h x '=得1ln 2x x =+，1ln 20x x-+=，令1()ln 2H x x x =-+，0x >，211()0H x x x '=+>恒成立，所以()H x 在(0,)+∞递增，又11(ln 022H =<，(1)10H =>，所以()H x 在1(,1)2上存在唯一零点，所以1(,1)2b ∈，2()3x x ϕ'=，则()()x x ϕϕ'=得2331x x =-，即32310x x --=，令32()31p x x x =--，2()363(2)p x x x x x '=-=-，0x <或2x >时，()0p x '>，02x <<时，()0p x '<，所以()p x 在(,0)-∞和(2,)+∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，而(0)10p =-<，(2)50p =-<，(4)150p =>，所以()p x 在(2,)+∞上有唯一零点，所以2>c ．综上a b c <<．故选：B ．【点睛】本题考查导数新定义，用导数研究方程的根，解题关键是理解新定义，对方程根的研究，通过引入新函数，利用导数确定函数的单调性，结合零点存在定理得出根（零点）的范围，从而比较大小．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，则（）A.椭圆C 的离心率为2B.椭圆C 的离心率为12C.12PF F 的周长为6 D.12F PF ∠可以是直角【答案】AD 【解析】【分析】求出离心率，判断AB ；利用椭圆定义求出周长判断C ；判断∠F 1PF 2是否可以是直角判断D.【详解】由椭圆C ：2214x y +=得2,1,a b c ===，则椭圆C 的离心率为32c a =，A 正确，B 错误，12PF F 的周长为224a c +=+，C 错误；因为b c <，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点，所以12F PF ∠可以是直角，D 正确.故选：AD .10.已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.f x （）在1x =处的切线方程为22y x =-B.f x （）的单调递减区间为e +∞（，）C.f x （）的极大值为1eD.方程1f x （）=-有两个不同的解【答案】BC 【解析】【分析】根据导数的几何意义求解切线方程；根据导数求解函数的单调区间，从而求出极值；求出函数f x （）零点即可求出()f x 与1y =-交点的个数，从而判断出方程1f x （）=-的解.【详解】对于选项A ，()ln xf x x=的定义域为+∞（0，），()10f =，∵()21ln xf x x-'=，∴()11f '=，由导数的几何意义可知f x （）在1x =处的切线方程的斜率为1k =，∴f x （）在1x =处的切线方程为1y x =-，则A 错误；对于选项B ，令()0f x '<得e x <，∴f x （）的单调递减区间为e +∞（，），则B 正确；对于选项C ，令()0f x ¢>得0<e x <，∴f x （）的单调递增区间为e （0，），∵f x （）在e （0，）上单调递增，在e +∞（，）上单调递减，∴f x （）在e x =处取得极大值，()1e ef =，则C 正确；对于选项D ，∵()10f =，∴()f x 在()0,e 上存在一个零点，∵当e x >时，()0f x >，∴()f x 在()e,+∞上没有零点，∴()f x 与1y =-只有一个交点，∴方程1f x （）=-只有一个解，则D 错误；故选：BC .11.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为1,,AB BC CC 的中点，点P 是正方形11DCC D 面内（包含边界）动点，则（）A.1D C 与EF 所成角为30B.平面EFG 截正方体所得截面的面积为C.1//AD 平面EFGD.若APD FPC ∠∠=，则三棱锥P BCD -的体积最大值是【答案】BCD【解析】【分析】A 选项，如图建立以A 为原点的空间直角坐标系，利用空间向量可判断选项；做出截面求得截面面积可判断B ；利用线线平行可得线面平行判断C ，求得P 的轨迹方程可求得三棱锥P BCD -的体积最大值判断D.【详解】以A 为坐标原点，以1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,0)E ，(6,0,0)B ，(6,3,0)F ，(6,6,0)C ，1(0,6,6)D ，(6,6,3)G ，1(6,0,6)B ，∴1D C(6,0,6)=-，11B D (6,6,0)=-，(3,3,0),(3,6,3)EF EG == ，对A 选项，111cos ,||D C EF D C EF D C EF ⋅<>=⋅12==，则直线1D C 与EF 所成角为60 ，故A 错误；对B 选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取11C D 的中点11,N A D 的中点H ，1AA 的中点K ，连接,,,GN NH HK KE ，延长EF NG ，一定与CD 交于一点M ，所以,,,E F G N 四点共面，同理可证,,,E F K H 四点共面，则过点,,E F G 作正方体的截面，截面为正六边形EFGNHK，边长为则正六边形EFGNHK的面积为16622EFG S =⨯⨯= ，故B 正确.由正方体1111ABCD A B C D -，可得1AD 1//BC ，∵,F G 分别为1,BC CC 的中点，∴//FG 1BC ，∴1//,FG AD FG ⊂ 平面1,EFG AD ⊂/平面EFG ，∴1//AD 平面EFG ，故C 正确；如图，AD ⊥面11CDD C ，又PD ⊂面11CDD C ，故AD DP ⊥，同理FC CP ⊥，63tan ,tan ,AD FC APD FPC DP DP CP CP∠==∠== 又63,,2DP APD FPC DP CP CP∠=∠∴==，根据题意可得(0,6,0),(6,6,0)D C ，设(,6,)P x z ，又222,4DP DP CP CP=∴=，∴22224(6)x z x z+=-+，整理得22(8)16x z -+=，∴在正方形11CDD C 面内(包括边界)，P 是以(8,6,0)Q 为圆心，半径4r =的圆上的点，令6x =，可得||y =，∴当P 为圆Q 与线段1CC 的交点时，P 到底面ABCD 的距离最大，最大距离为，∴三棱锥P BCD -的体积最大值是11166332BCD S ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，故D 正确.故选:BCD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法研究点线面的位置关系及数量计算.12.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB 上取两个点C 、D ，使得14AC DB AB ==，以CD 为边在线段AB 的上方做一个正方形，然后擦掉CD ，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF 作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n ，各图中的线段长度和为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.数列{}n a 是等比数列B.10767256a =C.3n a <恒成立D.存在正数m ，使得n S m <恒成立【答案】BC 【解析】【分析】由题意写出数列前三项，类比归纳出数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，结合数列的相关概念，可得答案.【详解】由题意可知，121322111,2,222a a a a a ==+⨯=+⨯，以此类推可得，1122n n n a a +=+⨯，则122n n n a a +-=，所以当2n ≥时，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- (1)121211222121131222212n n n ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++⋯+=+=--，经检验，当1n =时，1121312n a a -=-==，故2132n n a -=-，所以数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；所以108176732256a =-=，故B 正确；因为21332n n a -=-<恒成立，故C 正确；因为122121123341212n n n n S a a a n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++=-=-+- ，根据一次函数与指数函数的单调性，所以数列{}n S 无最大值，因此不存在正数m ，使得n S m <，故D 错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()cos e x f x x =-，则函数()f x 在点()()0,0f 处切线方程为_________．【答案】0x y +=【解析】【分析】求导，求出斜率，写出切线方程.【详解】由已知()sin e x f x x =-'-，则()01f '=-，又()00f =，所以切线方程为y x =-，即0x y +=.故答案为：0x y +=.14.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于AB 两点，且min 6AB =，则p 的值为______．【答案】3【解析】【分析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l 与抛物线方程，表示出AB ，求其最值即可.【详解】已知,02P F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则2222022p x my y pmy p y px⎧=+⎪⇒--=⎨⎪=⎩，∵Δ0>，所以122y y pm +=，212y y p =-，∴()212212AB y y p m p =-==+ ，当且仅当m =0时，取“”=.263p p ∴=⇒=.故答案为：3.15.对于数列{}n a ，定义{}n a 的“优值”为11222n n n a a a H n-+++= ．若{}n a 的“优值”2n n H =，则n a =________．【答案】1n +##1n+【解析】【分析】根据优值利用作差法可求{}n a 的通项.【详解】因为{}n a 的“优值”2nn H =，故112222n n n a a a n -+++= ，所以112222n n n a a a n -+++=⨯ ，故()211212212n n n a a a n ---+++=- ，故当2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⨯--=+，则1n a n =+，而121a =，故12a =，符合，故1n a n =+.故答案为：1n +.16.一个五位数abcde 满足a b <,b c d >>,d e <,且a d >,b e >(如37201､45412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有______个五位数符合“正弦规律”.【答案】2892【解析】【分析】将情况分为五个数中没有数相同；五个数中有两个数相同；五个数中有三个数相同三种情况，分别计算得到答案.【详解】根据意义知，五位数中，b 最大，d 最小.当五个数中没有数相同时：选五个数，最大数赋值给b ，最小数赋值给d ，剩余三个全排列，共有531031512C A ⨯=个；当五个数中有两个数相同时：选四个数，最大数赋值给b ，最小数赋值给d ，剩余两个数赋值给ace ，共有42210321260C C A ⨯⨯=个；当五个数中有三个数相同时：选三个数，最大数赋值给b ，最小数赋值给d ，剩余的一个数赋值给ace ，共有310120C =个；故共有151212*********++=故答案为：2892【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，分类讨论是解题的关键.四、解答题（本答题共6小题，满分70分）17.已知函数()2e a x f x x -＝，0x >，0a >．（1）当1a =时，讨论函数()f x 在区间(]0,2上的单调性．（2）设()g a 是函数()f x 的最大值．求出()g a 的表达式并比较()1g 与()2g 的大小．【答案】17.在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减18.()42e a a g a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12g g <.【解析】【分析】（1）利用导数求解函数()f x 的单调区间；（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间，得到()f x 的最大值()g a ，通过构造函数根据单调性比较()1g 与()2g 的大小.【小问1详解】当1a =时()2ex f x x -=，则()()2e 12x f x x -'=-，令()0f x '>得12x <，令()0f x '<得12x >，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；【小问2详解】()()12e 2a x f x x a x --=-'，令()0f x '>得2x a <，令()0f x '<得2x a >，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()f x 的最大值()422e a a g a f a a -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()444421ln e 12e e 2e g -===⋅，()222211ln e 2e e 2e g -===⋅，构造函数()ln x h x x =，()1ln x h x x-'=，令()0h x '>得0e x <<，令()0h x '<得e x >，∴()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，∴()()24e e h h >，即2424ln e ln e e e>，∴24241ln e 1lne 2e 2e⋅>⋅，∴()()12g g <.18.动圆M 满足：①圆心的横坐标大于0；②与直线y x =-相切；③与直线y x =相交，且直线被圆截得的弦长为4．（1）求证：动圆圆心M 在曲线()2,0xy x =>上．（2）设A 是曲线2xy =上任一点，曲线在A 处的切线交x 轴于P ，交y 轴于Q ．求证：PA AQ =．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知结合直线与圆相切的性质即可求解；（2）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求切线方程，然后结合两点间的距离公式即可求解.【小问1详解】设(),,0M x y x >，半径为r ，由题意可得r =，22||42x y r -=+，化简可得2xy =，即动圆圆心M 在曲线()2,0xy x =>上；【小问2详解】设(),A m n ，0m >，由题意得222,mn y x '==-，所以曲线在A 处的切线方程为()22y n x m m -=--，即222y x n m m =-++，令0x =得22y n n m =+=，即()0,2Q n ，令0y =得222m n x m m =+=，即()2,0P m ，所以||AP ==，||AQ ==，所以PA AQ =.19.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠= ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ．（2）点M 是线段EF 的中点，求平面MAB 与平面EAD 所成夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）21919【解析】【分析】（1）先证明BC AC ⊥，再利用面面垂直的性质定理得结论；（2）利用,,CA CB CF 两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角.【小问1详解】因为在梯形ABCD 中，AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠= ，如图：过C 作CF AD ∥交AB 于G ，可得2AB =，则2222cos 603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅=o ，所以222AB AC BC =+，得BC AC ⊥，又平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ；【小问2详解】因为四边形ACFE 为矩形所以AC CF ⊥，又平面ACFE ⊥平面ABCD ，又平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，CF ⊂平面ACFE ，所以CF ⊥平面ABCD ，则,,CA CB CF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则)())1,0,1,0,,0,1,,,,0222A B M E D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1,0,1,,0,0,1,,,0222AM AB EA AD ⎛⎫⎛⎫=-==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面MAB 的法向量为()111,,n x y z =，则1111020n AM x z n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，取12x =可得(2,n = ，设平面EAD 的法向量为()222,,m x y z = ，则222031022m EA z m AD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取22x =可得()2,m =- ，所以,cos,19n mn mn m===-.所以平面MAB与平面EAD所成夹角的余弦值为19.20.已知数列{}n a满足12a=，()111nnn aan+++=．（1）证明：211n n n na a a a+++-=-对任意的Nn*∈成立．（2）记2n anb=，求数列{}n b的前n项和n T．（3）证明：1223111116n na a a a a a-+++<．【答案】（1）证明见解析（2）()4817n-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）将条件变形，可得构造数列1nan n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列，据此可求出数列{}n a的通项公式，根据其为等差数列可得结论；（2）利用等比数列求和公式计算即可；（3）利用裂项相消法可求和并证明不等式.【小问1详解】由()111nnn aan+++=得()111n nna n a+=++，即()1111111n n na a an n n n n n n+=+=+-+++，即11111n n a a n n n n++=+++，故数列1n a n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列，所以1113n a na n +=+=，整理得31n a n =-，即数列{}n a 为等差数列，所以211n n n n a a a a +++-=-；【小问2详解】由（1）得318221n n n b -==⨯，故数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列，所以()()418481187n n n T -==--；【小问3详解】由（1）()()111111,2343133431n n n a a n n n n -⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，所以1223111111111111113255834313231n n a a a a a a n n n -⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭因为1031n >-，所以1223111116n n a a a a a a -+++< .21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求C 的方程．（2）记1F 和2F 分别是椭圆C 的左、右焦点．设D 是椭圆C 上一个动点且纵坐标不为0．直线1DF 交椭圆C 于点A （异于D ），直线2DF 交椭圆C 于点B （异于D ）．若AB 的中点为M ，求三角形12F F M 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=（2）8【解析】【分析】（1）根据焦距和椭圆所过点可构造方程求得结果；（2）设直线1:1DF x ty =-，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可整理得到02015425M y y x =-，结合三角形面积公式和基本不等式可求得最值.【小问1详解】椭圆C 的焦距22c =，1c ∴=；椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，221914a b∴+=，又22221a b c b =+=+，234b ∴=-（舍）或23b =，24a ∴=，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】由（1）知：()11,0F -，()21,0F ，设()()000,0D x y y ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可设直线1:1DF x ty =-，其中001x t y +=，2200143x y +=，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2243690t y ty +--=，()()22Δ4843148330t t =+-=+>，()()()()0000000122222200000066616164343112331143x y x y x y t y y t y x x x x y +++∴+====+++-++⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭()0002125y x x +=+；同理可得：()000202125y x y y x -+=-；()()()()()200000001020122000425212122525425y x y x y x y y y y y y y x x x -+-∴+++=++=+=+--，()20001202200225152425425M y x y y y y y x x -+∴==-=--，1200012222000001515451452716242516271693F F M M y y y S F F y y x y y y ∴=⋅====-++--8≤=（当且仅当002716y y =，即04y =±时取等号），12F F M ∴面积的最大值为8.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值的求解问题，解题关键是能够将三角形面积表示为关于某一变量的函数，从而利用函数最值的求法或基本不等式求得结果.22.已知函数()3,0f x x ax a =->．（1）当1a =时，求出函数在点()()1,1f 处的切线方程．（2）如图所示，函数()f x 图像上一点A 处的切线与函数图像交于点B ，过A 的切线AD （D 为切点）与B 处的切线交于点C ．问：三角形ABC 是否可能是等边三角形？若是，求此时a 的值；若不是，说明理由．【答案】（1）220x y --=（2）能，15a =【解析】【分析】（1）求导，求出斜率，进而可得切线方程；（2）设点()3,A s s as -，求出过点A 的切线方程，与3y x ax =-联立求出点B 的坐标，进而可求出过点B 的切线方程，然后求出过点D 的切线方程，与过点B 的切线方程联立求出点C 坐标，进而可根据AB AC BC ==列方程求出a 的值.【小问1详解】当a ＝1时，()3f x x x =-，则()231f x x '=-，所以()12f '=，又()10f =，所以函数在点（1，f （1））处的切线方程为()21y x =-，即220x y --=；【小问2详解】设点()3,A s s as -，又()23f x x a '=-，所以()23f s s a '=-，过点A 的切线方程为()()()323y s as s ax s --=--，整理得()2332y s a x s =--，联立()23332y s a x s y x ax ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得23332s x s x -=，变形得()()220x s x s -+=，()3,0f x x ax a =->所以点()32,82B s s as --+，又()2212f s s a '-=-，所以过点B 的切线方程为()()()3282122y s as s ax s --+=-+，整理得()231216y s a x s =-+，设点()3,D t t at -，又()23f t t a '=-，过点D 的切线方程为()()()323y t at t a x t --=--，整理得()2332y t a x t =--，将点()3,A s s as -代入得()32332s as t a s t -=--，整理得32332s t s t =-，变形得()()220s t s t -+=，得s t =或2s t=-所以点3,282s s as D ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即过点D 的切线方程为23344s s y a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，联立()23233441216s s y a x y s a x s ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-+⎪⎩，解得3774,555x s y as s =-=-即点3774,555C s as s ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，假设三角形ABC 是等边三角形，则AB AC BC ==，所以()()22322322223312912393555129123363555555s s s as s s s s as s as ⎧⎛⎫⎛⎫⎪+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩①②，由②解得4291s a -=，代入①得15a =，所以当15a =时，三角形ABC 是等边三角形.【点睛】方法点睛：在知道切点的情况下，可直接求出切线方程，若不知道切点，可设出切点，然后列方程求解.。

浙江省部分地区2023-2024学年高二上学期语文期末试卷汇编：语言文字运用Ⅰ

语言文字运用Ⅰ浙江省台州市2023-2024学年第一学期高二年级期末质量评估语文试题(一) 语言文字运用Ⅰ (本题共3 小题, 11分)阅读下面的文字，完成18～20题。

兰科是古老的大家族，达尔文曾说“兰花是我这辈子遇见的最好玩的东西”。

温润的太平洋季风和印度洋季风的吹拂下，植被茂密、流水潺潺的森林幽谷之间，是①，多种多样的兰花在此繁衍生息。

有一种烟火柏拉索兰，看到过它的人总会发出“这是兰花? ”的惊讶感叹。

它非常瘦长，但能开出绚丽的大花。

叶子为圆柱形，像铅笔一样笔直下垂，且非常薄。

花色一般为白色，其独特之处在于流苏般的唇瓣和长而锥形的尖端，也呈下垂状。

它喜温暖和阳光充足的环境，夏季开花，夜间会散发出浓烈的麝香肥皂味道。

这股强烈的味道并不是为了吸引人们循香觅踪，②。

据说，这股气味可以弥漫到附近500 米的空间。

为了传宗接代，烟火柏拉索兰可谓使尽了浑身解数。

兰花的芳香虽然并不是为了人类而传播，但诗人们却常被兰花的芬芳深深陶醉。

“兰为王者香，芬馥清风里。

”“幽兰香风远，蕙草流芳根。

”孔子说“芝兰生于深林，不以无人而不芳”，兰花在林下静静生长，吐露芬芳，不管是否有欣赏者，这都是一株兰草面对成长的态度、信念和行动。

18.请在文中空缺处补写恰当的语句，使整段文字语意完整连贯，内容贴切，逻辑严密，每处不超过 12个字。

(4分)①②19.文中画横线的部分有三处表述不当，请进行修改，使语言表达准确流畅。

可增删少量词语，但不得改变原意。

(3 分)20.文中画波浪线的句子如改成：“不管是否有欣赏者，兰花都在林下静静生长，吐露芬芳，这是一株兰草面对成长的态度、信念和行动。

”语义基本相同，但原句表达效果更好，为什么? (4分)浙江省杭州市萧山区等5地2023-2024学年高二上学期期末学业水平测试语文试题阅读下面的文字，完成17-19题。

夜幕落下，华灯初上，结束白天的工作后来到学校，舞动水袖唱昆曲、踮起脚尖跳芭蕾……如今，“夜校热”已然成为一种文化现象。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。