数学建模数学建模之雨中行走问题模型

数学建模

雨

中

行

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数学建模之雨中行走问题模型

摘要：

考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；

若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。 ① 当

α

sin r v <时,淋在背上的雨量为

[]v vh rh pwD -αsin ,雨水总量

()[]v

v r h dr pwD C -+=ααsin cos .

② 当α

sin r v

=时,此时0

2

=C .雨水总量α

cos v

pwDdr

C

=

,如0

30

=α

,升

24.0=C

这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨. ③ 当α

sin r v

>时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度αsin r .此时将不断地赶上

雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量()v r v pwDh C α

sin 2

-=

关键词：

淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度

1.问题的重述

人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.问题的分析.

由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。，

一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以 最大速度跑的话，估计总的淋雨量；

二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为 ，如图1，建立总淋雨量与速度v 及参数a,b,c,d,u,w,θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算=0，=0

90时的总淋雨量；

θθθ

三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w , α之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；

四、以总淋雨量为纵轴，对（三）作图，并解释结果的实际意义；

五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。

3.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

1. 设雨滴下落的速度为u（米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为w（厘米/时）,且u,w为常量.

2. 设雨中行走的速度为v（米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为d（米）.

3. 设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为θ

4. 视人体为一个长方体,其身高为a（米）,身宽为b（米）,厚度为c（米）

3.2符号说明

a:代表人颈部以下的高度

b:人身体的宽度

c:人身体的厚度

d:起跑点到终点的距离

m

v :跑步的最大速度

u :雨的速度

w :降雨量 v

:跑步速度

θ

:雨线方向与人体夹角

S:人的全身面积

t= d/m v :雨中行走的时间

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向

首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响。雨将淋遍全身，淋雨的面积s=2ab+2ac+bc=2.22

m ， 淋雨的时间t=d/m v =200s, 降雨量w=2cm/h=4

10

-/18(m/s),

所以总的淋雨量Q=stw

≈

2.4L 。

（2）雨从迎面吹来

雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为 。如图1。建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ， 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少。计算θ =0，θ =30时的总降雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s ，降雨量w=2cm/h 。因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前部。分两部分计算淋雨量.

顶部的淋雨量1Q = bcdw cos θ/v ；雨速水平分量usin θ，风向与v 相反。合速度usin θ+v ，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w （ usin θ+v ）/u ，迎面淋雨量2Q =abdw （ usin θ+v ）/uv ，所以总淋雨量

12cos (sin )bdw cu a u v Q Q Q u v

θθ++=+=⋅

v=m v 时Q 最小。0θ=时，Q=1.2L ；θ=0

30，Q ≈1.6L 。

(3)考虑降雨方向的模型（雨从背面吹来）

雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a ，如图2。建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ， 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少。

计算 =30的总淋雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s ，降雨量w=2cm/h ，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和背部。分两部分计算淋雨量。

顶部的淋雨量1Q =bcdw cos θ/v ；雨速水平分量usin θ，风向与v 相反。合速度

sin u a v -，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w （ usin θ-v ）/u ，迎面淋雨量

2Q =abdw （ usin θ

-v ）/uv ，所以总淋雨量：

cos (sin )(cos sin ),sin cos (sin )(cos sin ),sin bdw cu a u a v bdw u a a a av

v u a u v u v Q bdw cu a v u a bdw u a a a av v u a u

v u v +-+-⎧⋅=⋅≤⎪⎪=⎨

+--+⎪⋅=⋅>⎪⎩

若cos sin c a

a a -<0,即tana>c/a ，则v=usina 时Q 最小，否则，v=m

v 时Q 最小，

当0

30a =，tan a >0.2/1.5，v=2m/s ，Q ≈0.24L 最小，可与v=m v ，Q ≈0.93L 相比。