信息光学(第二版)06-二维线性系统分析2-傅里叶变换定理、

§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp( j 2fx)dx g ( )h( x )d



交换积分顺序:
h( x ) exp( j 2fx) dx d g ( )
系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存 在而改变
系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变
利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的 输入函数分解为简单的 “基元”函数的 线性组合，则输出就是这些“基元”函 数响应的线性组合。
光学系统可看成二维线性系统
常用 “基元”函数有d 函数、复指数函数等等。
§1-1 线性系统

g ( ) H ( f ) exp( j 2f )d


应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp( j 2f )d


右
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
利用卷积定理的例子
{tri(x)} = {tri(x)} = = 2.{rect(x)*rect(x)} {rect(x)} • {rect(x)}
§1-1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = {f(x, y)}


f (x ,h )
{d ( x x , y h )}dxdh
叠 加 积 分



f (x ,h )h( x, y;x ,h )dxdh
(x-x, y- h)的响应h(x, y; x,h)
7. 8.
{circ(r )}
1 2
2

2
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2 )

作业
0-16: 已知复函数 g(x,y) 的傅里叶变换式为 G(fx,fy), 证明： (1) F -1F g(x,y)}= g(x,y) (3) F g*(x,y)}= G*(-fx,-fy) 0-17: 若F { g(x,y) }= G(fx,fy)，F { h(x,y) }= H(fx,fy), 求证 (1) F g*(x,y) h(x,y)}= G(fx,fy) ★ H(fx,fy) （2）F g(x,y) ★ h(x,y)}= G*(fx,fy) H(fx,fy) 0-18：求下列函数的傅里叶变换 (2) F F g(x,y)} = g(-x,-y)

-1
f
0 1
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
自相关与功率谱的关系: 6. 相关定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g(x,y)☆ g(x,y)}= |G(fx,fy)|2
反过来有:
|g(x,y)|2}= G(fx,fy) ☆G(fx,fy)
注意: 不可与两个函数乘积的F.T.相混淆!
§1-2 傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶变换的计算方法
1. 用定义直接计算: rect(x), circ(r) , ... 2. 用广义傅里叶变换的定义计算并求极限: 1... 3. 用傅里叶变换的性质间接导出: • F.T.的积分定理
留作习题自证.
g(-x,-y)
§1-2 二维傅里叶变换 Fourier Transform
五、 可分离变量函数的变换
通常g(x,y) 是可分离变量的函数, 即两个独立一 元函数的乘积: g(x,y)= g1(x) g2(y)
按二维F.T.的定义:
G( f x, f y ) g ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy
§1-1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)


f (x ,h)d ( x x , y h)dxdh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于(x, h)的d 函 数的权重因子是 f (x, h).
2、脉冲响应和叠加积分
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) =
{d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; x,h) =
{d (x-x, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义:
1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合
2
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
则称该系统为线性系统。
如果g1(x, y) =
§1-1
输入 { }
线性系统
输出
线性系统具有叠加性质
f1(x, y)
输入 { }
g1(x, y)
输出
f2(x, y)
g2(x, y)
输入
{ }
输出
线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于 单个激励所产生的响应的线性组合。
§1-1
线性系统
线性系统具有叠加性质 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
作为练习自己证明。提示:利用卷积定理、相关定义 和共轭函数的F.T.
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
在函数 g 的各连续点上,
1g(x,y)}= -1 -1
7. F.T.积分定理
g(x,y)}= g(x,y)
-1g(x,y)}=
g(x,y)}=
{1} = d (fx,fy)
1
x
0
F.T.
1
f
0
{rect(x)} = sinc(fx)
1 1
x
-1/2 1/2
F.T.
1 0
f
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶变换和傅里叶逆变换
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy f ( x, y) F ( f x , f y ) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dfx df y
交换积分顺序,先对x求积分:





源自文库
G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2 ( f f ' ) x]dx


利用复指函数的F.T.


G( f )G * ( f ' )d ( f f ' )dfdf '
利用d 函数的筛选性质
只要知道各个脉冲响应函数, 系统的输出即为脉冲 响应函数的线性组合. 问题是如何求对任意点的脉 冲d
§1-1 线性系统
脉冲响应函数h(x, y ; x, h )的求法:
对一般系统而言, 脉冲响应函数的形式可能是点 点不同的
例如, 设
{d(x)}= h (x)=1 {d(x-1)}= h (x;1)= exp(-j2x)
G( f )G * ( f )df


思考题:
sin 2 ( x) 利用Parseval 定理求积分: dx 2 ( x)

§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
x-a (1) rect b
x y (2) tri tri a b
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §1-1 线性系统 1、线性系统的定义
用算符表示系统
输入 输出
g(x, y) =
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明



g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2

G ( f ) exp( j 2fx)df G * ( f ' ) exp( j 2f ' x)df ' dx
定义:
{f(x, y)}
{ f(x, y)
} g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) = {f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = {a1 f1 (x, y)} + {a2 f2 (x, y) } = a1 {f1 (x, y)} + a2 {f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
exp[j2(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理

4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),

g ( x, y)
2
dxdy G( f x , f y ) dfx df y


重要性质：
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
fy fx 1 g (ax, by) G a , b ab
g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2(fxa+fyb)] g(x,y) exp[j2(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb)
• F.T.的卷积定理
§1-2 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
1. {1}=d (fx,fy); 1 与d 函数互为F.T. {d (fx,fy)}=1
梳状函数的F.T.仍为梳状函数 (阅读P9 – 10)
2 2.
comb( x) comb(f )
x 1 comb( ) comb( f )
F.T.
sinc2(f
)
1 rect(x) 1/2 0 1/2 x
1 rect(x)
*
1 1 0
1/2 0 1/2 x
x
tri(x)
1
F.T.
sinc2(x) 1
0 -1 1 x
F.T.
= sinc(f) • sinc(f) = sinc2(f)
sinc(f) 1 0 -1 1
sinc(f) 1
6.
1 cos (2f 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 sin(2f 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
{tri(x)} = sinc2(f )
利用欧拉 公式和 5 的结果


g1 ( x) exp( j 2 f x x)dx g 2 ( y) exp( j 2 f y y)dy



= G1(fx) G2(fy) 其傅里叶变换也是可分离变量的函数 将二维函数的F.T. 化为二个独立坐标上的一维函数的 F.T.的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
§1-2 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2fxa) {exp(j2fax)}= d (fx-fa)