第4章 最优资产组合

rp w1r1＋w2 r2
＝w w 2w1w2 12
2 p 2 1 2 1 2 2 2 2
＝ w w 2w1w2 1 2 12
2 1 2 1 2 2 2 2
由于w1＋w2 1，则 rp ( w1 ) w1r1＋(1 w1 )r2
2 p ( w1 )＝ w12 12 (1 w1 ) 2 2 2w1 (1 w1 ) 1 2 12
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根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立

2 x y
E{[( x y ) E ( x y )] }
2
E{[( x E ( x)) ( y E ( y ))]2 } E[( x E ( x)) 2 ] E[( y E ( y )) 2 ] 2 E{[ x E ( x)][ y E ( y )]} 2 xy
由此就构成了资产在给定条件下的可行集！
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注意到两种资产的相关系数为1≥ρ 12≥－1 因此，分别在ρ 12＝1和ρ 12＝－1时，可以得到资产 组合的可行集的顶部边界和底部边界。 其他所有的可能情况，在这两个边界之中。
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4.2.2 两种完全正相关资产的可行集
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
完整的资产投资组合 E r (1 w)r p wE r f 的期望收益率=无风 险资产收益率+风险 资产的比例×风险资 产的风险溢价
r p rf w E r E r f
风险溢价

无风险资产收益率
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
假设存在一组资产组合,它由一个风险资产和一个无风险资
产组成。两种资产的收益率分别为15%, 7%。风险资产的 标准差为22%. (1)请画出资本配置线
6-17
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
6-18
两种风险资产构成的组合的风险与收益
假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和一个公司 债券，且投资到股票上的财富比例为w，则投资组合的期望收 益和标准差为：
6-13
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合

完整资产投资组合的风险是风险资产的比例乘以
其风险:
p w

夏普比率
p rf E r r E r f


p
E r
r

f
6-14
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
E
r r
p
f

r E r f

通过在无风险资产和风险资产之间合理分配 投资基金，有可能建立一个完整的资产组合。

假设分配给风险资产P的比例为w 分配给无风险资产 F的比例是(1-w）

6-11
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合

期望收益 投资比例 方差 标准差
无风险资 产 风险资产
1-w
rf
0
0
w
E(r)
Байду номын сангаас

2 r
r
6-12
2 x 2 y
由于相关系数1 xy 1, 则
2 x2 y＝ x2 y 2 x y xy （ x y )2
组合的风险变小
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4.2 资产组合理论

基本假设 （1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差） 来评价资产组合（Portfolio） （2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资 者是理性的。 （3）投资者的投资为单一投资期，多期投资 是单期投资的不断重复。 （4）投资者希望持有有效资产组合。
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同理可证 2 当w1 时, 1 2
p ( w1 ) (1 w1 ) 2 w1 1，则
r1 r2 r1 r2 rp ( p ) p 2 r2 1 2 1 2 命题成立，证毕。
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收益 Erp
(r1 , 1 )
(r2 , 2 )
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风险σp
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情形二， 此时，两个资产的收益率 是完全负相关的，类似可以得到：
2
S ,B 1
w S (1 w) B
2 P
S E r B E r B B , 当w ( S B ) E r 时 S B S B p E r S E r B B E r B , 当w ( S B ) E r 时 S B S B

完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直 线，其截距相同，斜率异号。
4.2.3 两种完全负相关资产的可行集

两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，则有
2 p ( w1 )= w12 12 (1 w1 ) 2 2 －2 w1 (1 w1 ) 1 2
| w1 1 (1 w1 ) 2 | rp ( w1 ) w1r1＋(1 w1 )r2
2
将平方项展开得到
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E[ w1 (r1 E (r1 )) w2 (r2 E (r2 )) ... wn (rn E (rn ))] w E (ri E (ri ))
i 1 n 2 i 2 n n i 1 j 1,i j
2
证明：
2 当w1 时 1 2 p ( w1 ) w1 1 (1 w1 ) 2，则可以
得到w1 f ( p )，从而 p＋ 2 p＋ 2 rp ( p ) r1＋(1 )r2 1 2 1 2
r1 r2 r1 r2 p 2 r2 1 2 1 2
2 当w1 时 , p 0 1 2 2 当w1 时， p ( w1 )=w1 1 (1 w1 ) 2 1 2 2 当w1 时， p ( w1 )=(1 w1 ) 2 w1 1 1 2
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命题6.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条 直线，其截距相同，斜率异号。
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命题6.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直 线。 证明：由资产组合的计算公式可得
p ( w1 ) w1 1 (1 w1 ) 2
w1 ( p－ 2 ) /( 1 2 ) rp ( p ) w1r1 (1 w1 )r2

完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。
两种资产完全正相关，即ρ12 ＝1，则有
p ( w1 )＝w1 1 (1 w1 ) 2
rp ( w1 ) w1r1＋(1 w1 )r2 当w1＝1时， p＝ 1，rp r1 当w1＝0时， p＝ 2，rp r2 所以，其可行集连接两点 （r1， 1）和（r2， 2）的直线。
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组合的收益 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的 收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为
Erp E （ wi ri）＝ w （ i Eri）
i 1 i 1
n
n
其中 wi 1
i 1
n
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组合的方差
2 p ＝Wi 2 i2 i 1 n n

n
wi w j E{(ri E (ri )) (rj E (rj ))}
w
i 1 n 2 2 i i
n
i 1 j 1,i j

n
wi w j ij
wi w j ij
i , j 1
ii
2 i 2 2 i
E (ri E (ri )) , E{(ri E (ri )) ( rj E (rj )) ij i j


p
在“期望收益-标准差”
平面中对应着一条直线，穿过无风险资产 rf 和风
险资产r，我们称这条直线为资本配置线
（Capital Allocation Line）
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所
增加的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因 此，我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率
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两种证券完全负相关的图示
收益rp
(r1 , 1 )
r1 r2 2 r2 1 2
(r2 , 2 )
组合的风险－收益 二维表示
收益rp
.
风险σp
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情形一， S , B 1 此时，两个资产的收益率 是完全正相关的，我们容易得到：
w S (1 w) B
2 P
2
p w S (1 w) B , 如果0 w 1
S E r B E r p B E r ( P B ) E r S B
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4.2.1 组合的可行集和有效集

可行集与有效集
可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的 期望收益和方差。 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平下 的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最 小风险的组合。每一个组合代表一个点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界 （ Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的 连线）。