高考数学：1.9.4直线、平面平行的判定及性质

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高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质

∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等，所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，

备战高考数学复习考点知识与题型讲解53---空间直线、平面的平行

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第53讲空间直线、平面的平行考向预测核心素养直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想．直观想象、逻辑推理一、知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎬⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎬⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b[提醒] 三种平行关系的转化常用结论1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2．平行关系有关的性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(3)同一条直线与两个平行平面所成角相等．二、教材衍化1．(人A必修第二册P143习题8.5T1(1)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D.因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．2．(人A必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.3.(人A必修第二册P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.( )(2)若直线l在平面α外，则l∥α.( )(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.( )(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l平行于平面α内的无数条直线．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏1．(线面平行的概念理解不清致误)已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M 且与直线a，b都平行的平面( )A．有且只有一个 B.有两个C．没有或只有一个 D.有无数个解析：选C.过点M作直线a′∥a，过点M作直线b′∥b，则直线a′，b′确定平面α.当a，b都不在由a′，b′确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面有且只有一个；当a⊂α或b⊂α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在．2.(多选)(判断平行关系条件不明致误)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是( )A．OM∥PDB.OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD.OM∥平面PBA解析：选ABC.对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故正确；对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故正确；对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故正确；对于D，由于M∈平面PAB，故错误．故选ABC.3．(线面平行性质不清致误)在三棱柱ABCA′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC 交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．解析：在三棱柱ABCA′B′C′中，A′B′∥AB，AB⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，所以A′B′∥平面ABC.又A′B′⊂平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，所以A′B′∥a.答案：平行4.(面面平行性质不清致误)如图，平面α∥平面β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________．解析：由结论知PC PA ＝CD AB ，所以AB ＝PA ×CD PC ＝5×12＝52.答案：52考点一线面平行的判定与性质(多维探究)复习指导：以立体几何的定义和基本事实为出发点，认识和理解空间中直线与平面平行的有关性质与判定定理．角度1 直线与平面平行的判定如图所示，正方形ABCD 与正方形ABEF 所在的平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP ＝DQ ，求证：PQ ∥平面BCE .【证明】方法一：如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ，因为正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，所以AE ＝BD ，又AP ＝DQ ，所以PE ＝QB ，又PM ∥AB ∥QN ，所以PM AB ＝PE AE ＝QB BD ＝QN DC ，所以PM AB ＝QNDC，又AB 綉DC ，所以PM 綉QN ，所以四边形PMNQ 为平行四边形，所以PQ∥MN，又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，所以PQ∥平面BCE.方法二：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，则PM∥平面BCE，因为PM∥BE，所以APPE＝AMMB，又AE＝BD，AP＝DQ，所以PE＝BQ，所以APPE＝DQBQ，所以AMMB＝DQQB，所以MQ∥AD，又AD∥BC，所以MQ∥BC，所以MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，所以平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，所以PQ∥平面BCE.证明线面平行有两种常用方法一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．角度2 直线与平面平行的性质四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以AP∥OM.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，所以PA∥平面BMD.又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．|跟踪训练|如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m ∥AM ，所以l ∥m .考点二面面平行的判定与性质(思维发散)复习指导：以立体几何的定义和基本事实为出发点，认识和理解空间中平面与平面平行的有关性质与判定定理．如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG . 【证明】 (1)因为G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，所以GH ∥B 1C 1，又B 1C 1∥BC ，所以GH ∥BC ，所以B ，C ，H ，G 四点共面． (2)在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，所以EF ∥平面BCHG .又因为G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，AB ＝A 1B 1，所以A 1G 綉EB ，所以四边形A 1EBG 是平行四边形，所以A 1E ∥GB .因为A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，所以A 1E ∥平面BCHG . 又因为A 1E ∩EF ＝E ，所以平面EFA 1∥平面BCHG .1．在本例条件下，若D 为BC 1的中点，求证：HD ∥平面A 1B 1BA . 证明：如图所示，连接HD ，A 1B ，BC 1，因为D 为BC 1的中点，H 为A 1C 1的中点，所以HD ∥A 1B ，又HD ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ，所以HD ∥平面A 1B 1BA .2．在本例条件下，若D 1，D 分别为B 1C 1，BC 的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D . 证明：如图所示，连接A 1C 交AC 1于点M ，因为四边形A 1ACC 1是平行四边形，所以M 是A 1C 的中点，连接MD ，因为D 为BC 的中点，所以A 1B ∥DM .因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，DM ⊄平面A 1BD 1，所以DM ∥平面A 1BD 1.又由三棱柱的性质知，D 1C 1綉BD ，所以四边形BDC 1D 1为平行四边形，所以DC 1∥BD 1.又DC 1⊄平面A 1BD 1，BD 1⊂平面A 1BD 1，所以DC 1∥平面A 1BD 1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.|跟踪训练|(多选)(2022·菏泽市东明一中月考)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为( )A．20 B.16C.12D.4解析：选AD.因为过P点的两条直线AC，BD确定的平面分别交α于A，B，交β于C，D，且平面α∥平面β，所以可得AB∥CD，分两种情况：当点P在两平行平面之外时，PAPC＝ABCD，则CD＝20；当点P在两平行平面之间时，得PC＝AC－AP＝3，APPC＝ABCD，则CD＝4.故选AD.考点三平行关系中的探索性问题(综合研析)复习指导：能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．如图，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点． (1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．【解】(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1. 所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1. 因为A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD，又因为A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即ADDC＝1.解决探索性问题的方法(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”．|跟踪训练|如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为对角线BD ，CD 1上的点，且CQ QD 1＝BP PD ＝23. (1)求证：PQ ∥平面A 1D 1DA ； (2)若R 是AB 上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA ？请给出证明．解：(1)证明：连接CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，如图，因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ，故△PBC ∽△PDM ，所以CP PM ＝BP PD ＝23，又因为CQ QD 1＝BP PD ＝23，所以CQ QD 1＝CP PM ＝23，所以PQ ∥MD 1.又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ，故PQ ∥平面A 1D 1DA .(2)当AR AB 的值为35时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA .如图，证明如下：因为AR AB ＝35，即BR RA ＝23，故BR RA ＝BP PD . 所以PR ∥DA .又DA ⊂平面A 1D 1DA ，PR ⊄平面A 1D 1DA ，所以PR ∥平面A 1D 1DA ，又PQ ∩PR ＝P ，PQ ∥平面A 1D 1DA . 所以平面PQR ∥平面A 1D 1DA .[A 基础达标]1．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，则b ∥α解析：选D.A 中，a ，b 可以在同一平面内；B 中，a 与α内的直线也可能异面；C 中，两平面可相交；D 中，由直线与平面平行的判定定理知b ∥α，正确．2．(2022·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面 B.平行 C ．相交D.以上均有可能解析：选B.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.3.如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( ) A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：选B.由题意得，因为MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥PA.4．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )A．0条 B.1条C．2条 D.1条或2条解析：选C.如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.因为EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.又因为EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．5．(多选)(2022·济南质检)下列四个命题中正确的是( )A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行解析：选BC.A.如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；B.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C正确；D.过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条直线平行，故D错误．6．在下面给出的条件中，若条件足够推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：(1)条件：a∥b，b∥c，c⊂α，________，结论：a∥α；(2)条件：α∩β＝b，a∥b，a⊂β，________，结论：a∥α.解析：(1)因为a∥b，b∥c，c⊂α，所以由直线与平面平行的判定定理得，当a⊄α时，a∥α.(2)因为α∩β＝b，a∥b，a⊂β，则由直线与平面平行的判定定理得a∥α.答案：(1)a⊄α(2)OK7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝12AC＝ 2.答案： 28．(2022·西北师大附中高三模拟)设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．(填序号)解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．答案：①或③9.在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．解：(1)如图所示，过点P作B′C′的平行线，交A′B′，C′D′于点E，F，连接BE，CF.(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因为BC∥平面A′B′C′D′，又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，又因为EF⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.10.(2022·银川长庆高级中学模拟)如图，在四棱锥SABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC＝SA＝12BC＝2，点E，G分别在线段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，F为棱BC上一点，且CF＝1.证明：平面SCD∥平面EFG.证明：因为点E，G分别在线段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，故EG∥SD，又EG⊄平面SCD，SD⊂平面SCD，故EG∥平面SCD；因为∠ADC＝∠BCD＝90°，故AD∥BC，因为GD＝FC＝1，故四边形GDCF为平行四边形，故GF∥CD；又GF⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故GF∥平面SCD，因为GF⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面SCD∥平面EFG.[B 综合应用]11．(2022·重庆联考)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且DEEB＝DFFD1＝12，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则CGCC1＝( ) A.12B.13C.23D .14 解析：选B.如图所示，延长AE 交CD 于H ，连接FH ，则△DEH ∽△BEA ，所以DH AB ＝DE EB ＝12.因为平面AEF ∥平面BD 1G ，平面AEF ∩平面CDD 1C 1＝FH ，平面BD 1G ∩平面CDD 1C 1＝D 1G ，所以FH ∥D 1G .又四边形CDD 1C 1是平行四边形，所以△DFH ∽△C 1GD 1，所以DF C 1G ＝DH C 1D 1，因为DH C 1D 1＝DH AB ＝12，所以DF C 1G ＝12，因为DF FD 1＝12，所以FD 1＝C 1G ，DF ＝CG ，所以CG CC 1＝13，故选B. 12．(多选)如图，在透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜程度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图(3)所示时，AE ·AH 为定值解析：选AD.根据棱柱的特征并结合题中图形易知A 正确．由题图可知水面EFGH 的边EF 的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B 错误．因为A 1C 1∥AC ，AC ⊂平面ABCD ，A 1C 1⊄平面ABCD ，所以A 1C 1∥平面ABCD ，当平面EFGH 不平行于平面ABCD 时，A 1C 1不平行于水面所在平面，故C 错误．当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH BFG 的体积V 为定值，又V ＝S △AEH ·AB ，高AB 不变，所以S △AEH 也不变，即AE ·AH 为定值，故D 正确．13．在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝23AC＝2，FM＝EN＝13PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：814．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，PO∩PA＝P，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故当Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点[C 素养提升]15.如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD 的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，ED与AF相交于点H，则GH＝________．解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD.又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝3，GH＝12PE＝32.答案：13 216.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.(1)证明：平面ABF∥平面DCE；(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，21 / 21 所以DE ∥AF ，因为DE ⊂平面DCE ，AF ⊄平面DCE ，所以AF ∥平面DCE ，因为四边形ABCD 是正方形，AB ∥CD ，AB ⊄平面DCE ，CD ⊂平面DCE ，所以AB ∥平面DCE ，因为AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面DCE .(2)假设存在一点G ，过G 作MG ∥BF 交EC 于点M ，连接BG ，BM ，FG ，BD ，如图，由V ABCDEF ＝V B ADEF ＋V B CDE ＝13×3×（1＋3）×32＋13×3×3×32＝212，设EG ＝t ，则V GFBME ＝V B EFG ＋V B EGM ＝212×38＝6316. 过点C 作BF 的平行线CN 交ED 于点N ，则△ABF ≌△DCN ，所以DN ＝1，因为MG ∥BF ，所以MG ∥CN .所以△EGM ∽△ENC .设M 到ED 的距离为h ，则h 3＝EM EC ＝EG EN ＝t 3－1，即h ＝32t ，则S △EGM ＝12×t ×32t ＝34t 2， V GFBME ＝V B EFG ＋V B EGM ＝13×3×12×3×t ＋13×3×34t 2＝6316，即4t 2＋8t －21＝0，解得t ＝32或t ＝－72(舍)，则存在点G ，当EG ＝32时，即G 为ED 的中点，此时满足条件．。

(浙江专用)2020版高考数学直线、平面平行的判定与性质讲义(含解析)

§ 8.4 直线、平面平行的判定与性质基础知识自主学习----------------------------------------------------------- 回加■眦利, 训—「知识梳理1 .线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理:1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理.，基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面. (X )(2)平行于同一条直线的两个平面平行. (X )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (x )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( V )(5)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a// a .( x )⑹若 a //。

，直线all a，贝U a//。

.( X )题组二教材改编2.［P58练习T3］平面a //平面。

的一个充分条件是( )A.存在一条直线a, a// a , a//。

B.存在一条直线a, a? a , all(3C.存在两条平行直线a, b, a?也，b? (3 , a//。

，b// aD.存在两条异面直线a, b, a? a , b? (3 , a//。

，b// a答案D解析若 a n 3 = l , a // l , a? a , a?。

，则a // a , a // 3 ,故排除A.若a n 3 = l , a? a , a // l ,则a//。

，故排除 B.若 a n 3 = l，a?济，all l , b?。

高中数学-直线平面平行的性质及判定

一、空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π=二、空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 hS S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=三、直线、平面平行的判定与性质1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。

(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.【例1】如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE12A 1B 1.同理QF 12AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1.222r rl S ππ+=2、平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a ⊂β，b ⊂β，a∩b＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义． (4)平面与平面的平行也具有传递性.【例2】如右图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各棱长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、A 1C 1、A 1B 1的中点，求证：平面A 1EF ∥平面BCGH .思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A 1EF 内的两条相交直线分别与平面BCGH 平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明．证明：△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC .又∵EF ⊄ 平面BCGH ，BC ⊂平面BCGH ， ∴EF ∥平面BCGH .又∵G 、F 分别为A 1C 1，AC 的中点，∴A 1G FC .∴四边形A 1FCG 为平行四边形． ∴A 1F ∥GC .又∵A 1F ⊄平面BCGH ，CG ⊂平面BCGH ， ∴A 1F ∥平面BCGH . 又∵A 1F ∩EF ＝F ，∴平面A 1EF ∥平面BCGH .3、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

第03讲直线、平面平行的判定与性质(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)

所成角为45°．
求证：1 //平面1 ；
【解析】连接、1 1 ，由, 分别为, 的中点，则//，
又 ⊄平面1 1 ， ⊂平面1 1 ，故//平面1 1 ，
1
正四棱台 − 1 1 1 1 中，1 1 //且1 1 = 2 = ，
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
题型突破·考法探究
题型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条
不同的直线．若⋂ = , ⋂ = , ⋂ = , //,则下列说法正确的是（
中点，是棱PA上一点，且 = 3．
求证：//平面MCD；
【解析】取PA的中点S，连接SM，SD，SC，
因为为PB的中点，
所以//，又//，
所以//，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故//，
又 ⊂平面, ⊂平面MCD，因此��//平面MCD；
若点为的中点，证明：//平面；
【解析】连接PC，交DE于，连接MN
∵ 为矩形
∴ 为的中点
在△ 中，M，N分别为PA，PC的中点
∴ //，
因为 ⊂平面, ⊂平面，
所以//平面．
题型突破·考法探究
题型三：线面平行构造之平行四边形法
∵ 为△ 1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，
∵ 为梯形1 1 中位线，//1 ，
又1 ⊂平面1 ， ⊄平面1 ，
∴ //平面1 ，

高考数学一轮复习考点知识专题讲解52---直线、平面平行的判定与性质

高考数学一轮复习考点知识专题讲解直线、平面平行的判定与性质考点要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行错误!⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行错误!⇒a∥b2．面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行错误!⇒β∥α性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行错误!⇒a∥b常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)教材改编题1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是()A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是()A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α答案D解析若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.证明(1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点，又∵F 是PD 的中点， ∴OF ∥PB ，又∵OF ⊂平面ACF ，PB ⊄平面ACF ， ∴PB ∥平面ACF .(2)取PA 的中点G ，连接GF ，BG . ∵F 是PD 的中点， ∴GF 是△PAD 的中位线， ∴GF 綉12AD ，∵底面ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点， ∴BE 綉12AD ，∴GF 綉BE ，∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF ∥BG ，又∵EF ⊄平面PAB ，BG ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.教师备选如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面EFA 1， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .延伸探究在本例中，若将条件“E ，F ，G 分别是AB ，AC ，A 1B 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC的值．解如图，连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB ＝1.又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD，所以DC AD＝1，即ADDC＝1.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G 分别为B 1C 1，A 1B 1，AB 的中点．(1)求证：平面A 1C 1G ∥平面BEF ；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．跟踪训练2如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.题型三平行关系的综合应用例4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．(1)求证：BD1∥平面AEC；(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，请说明理由．(1)证明如图，连接BD交AC于O，连接EO.因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，对角线AC，BD交于O点，所以O为BD的中点，又因为E为DD1的中点，所以在△DBD1中，OE是△DBD1的中位线，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.(2)解当CC1上的点F为中点时，即满足平面AEC∥平面BFD1.连接BF，D1F，因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF綉ED1，所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F∥EC，又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，所以D1F∥平面AEC.由(1)知BD1∥平面AEC，又因为BD1∩D1F＝D1，BD1，D1F⊂平面BFD1，所以平面AEC∥平面BFD1.教师备选如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.思维升华证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．跟踪训练3如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．(1)证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD . 又∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，又∵AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH . (2)解设EF ＝x (0<x <4)，由(1)知EF ∥AB ， ∴CF CB ＝EF AB ＝x 4，与(1)同理可得CD ∥FG ， ∴FG CD ＝BF BC，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4， ∴FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长L ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又∵0<x <4， ∴8<L <12，故四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．课时精练1．(2022·宁波模拟)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列能判断l∥α的是()A．l∥β，α∥βB．l与平面α内无数条直线平行C．l⊂β，α∥βD．l⊥β，α⊥β答案C解析对于A，l可能在α内，故不能判断l∥α，故A不正确；对于B，l可能在α内，故不能判断l∥α，故B不正确；对于C，因为l⊂β，α∥β，由面面平行的定义得l∥α，故C正确；对于D，l可能在α内，故不能判断l∥α，故D不正确．3．(2022·成都模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则()A．MF∥EB B．A1B1∥NEC．四边形MNEF为平行四边形 D．四边形MNEF为梯形答案D解析由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB，1∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．4．(2022·杭州模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S∶S△ABC等于()△A′B′C′A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案D解析A项，由正方体性质可知AB∥NQ，NQ⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，AB∥平面MNQ，排除；B，C项，由正方体性质可知AB∥MQ，MQ⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，AB∥平面MNQ，排除；D项，由正方体性质易知，直线AB与平面MNQ不平行，满足题意．6．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值．A．①② B．①④C．②③ D．③④答案B解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知①正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知②错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A 1C 1⊄平面ABCD ，所以A 1C 1∥平面ABCD ，当平面EFGH 不平行于平面ABCD 时，A 1C 1不平行于水面所在平面，故③错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH －BFG 的体积V 为定值，又V ＝S △AEH ·AB ，高AB 不变，所以S △AEH 也不变，即AE ·AH 为定值，故④正确．7．考查①②两个命题，①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为__________．答案l ⊄α解析①由线面平行的判定定理知l ⊄α；②由线面平行的判定定理知l ⊄α.8.如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件______，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合) 解析连接HN ，FH ，FN (图略)，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H . 证明如图．(1)取B 1B 的中点M ，连接HM ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形， ∴HD 1∥MC 1. 又MC 1∥BF ， ∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接OE ，OD 1，则OE 綉12DC .又D 1G 綉12DC ，∴OE綉D1G.∴四边形OEGD1是平行四边形，∴EG∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，由题意易证B1D1∥BD.又B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.证明(1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝12 AD，所以BC∥AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．又因为F是PC的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，FH ，OH ⊂平面OHF ，所以平面OHF ∥平面PAD . 又因为GH ⊂平面OHF ，所以GH ∥平面PAD .11．(2022·福州检测)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，P ，Q 分别为棱AB ，C 1D 1，D 1A 1，D 1D ，C 1C 的中点，则下列叙述中正确的是()A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案B解析过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．12.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝1，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案2 2解析因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面PQNM＝PQ，平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝MN，所以MN∥PQ，又因为MN∥AC，所以PQ∥AC.又因为AP＝1，所以PDAD＝DQCD＝PQAC＝23，所以PQ＝23AC＝23×32＝2 2.13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案Q为CC1的中点解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .14．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．答案8解析如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.15．(2022·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面AMN ，则PA 1的长度范围为()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32答案B解析取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 的中点O ，连接A 1O ，如图所示，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ，∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ，AM ，MN ⊂平面AMN ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面AMN ， ∴点P 的轨迹是线段EF ， ∵A 1E ＝A 1F ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，EF ＝1212＋12＝22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值A 1O ，A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，当P 与E (或F )重合时，PA 1的长度取最大值A 1E 或A 1F ，A 1E ＝A 1F ＝52.∴PA 1的长度范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52.16．(2022·郑州模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC ＝BC ，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，△ABC 的面积为8，四棱锥P －ABFE 的体积为4.(1)若平面PEF ∩平面PAB ＝l ，求证：EF ∥l ； (2)求三棱锥P －ABC 的表面积． (1)证明∵E ，F 分别是AC ，BC 的中点， ∴EF ∥AB ，∵AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .又平面PEF ∩平面PAB ＝l ，EF ⊂平面PEF ， ∴EF ∥l .(2)解∵AC ，BC ，PC 两两垂直，AC ∩BC ＝C ，AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥平面ABC ，即PC 是四棱锥P －ABFE 的高． ∵S △ABC ＝8，AC ＝BC ，AC ⊥BC ， ∴AC ＝BC ＝4.∵E ，F 分别是AC ，BC 的中点，V P －ABFE ＝4， ∴13×34×12AC ×BC ×PC ＝4，即PC ＝2. ∴PA ＝42＋22＝25，PB ＝42＋22＝25，AB ＝42＋42＝4 2.∴△PAB的面积为12×42×(25)2－⎝⎛⎭⎪⎫4222＝4 6.∴三棱锥P－ABC的表面积S＝2×12×4×2＋8＋46＝16＋4 6.。

直线、平面平行的判定与性质-高考数学复习

所以 AM∥OE. 又因为 OE⊂平面 BDE，AM⊄平面 BDE，所以 AM∥平面 BDE.
(2)l∥m，证明如下：由(1)知 AM∥平面 BDE，又 AM⊂平面 ADM，平面 ADM∩平面 BDE＝l，所以 l∥AM， AM∥平面 BDE，又 AM⊂平面 ABM，平面 ABM∩平面 BDE＝m，所以 m∥AM，所以 l∥m.
第三节直线、平面平行的判定与性质
1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题.
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言判定平面外一条直线与_此__平__面__内___的一
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
一个平面内的两条_相__交__直__线___与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”)
符号语言
因为_a_∥__β_，__b_∥__β_，___ __a_∩__b_＝__P__，__a_⊂_α_，____ _b_⊂_α_，所以α∥β
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一) 直线与平面平行的判定与性质考法 1 直线与平面平行的判定 [例 1] 如图，正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在的平面
相交于 AB，在 AE，BD 上各有一点 P，Q，且 AP＝DQ.求证： PQ∥平面 BCE.
[证明] 如图所示，作 PM∥AB 交 BE 于 M，作 QN∥ AB 交 BC 于 N，连接 MN.∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴A+E＝BD.又 A4PDQ，∴PE＝QB.∵PM∥ AB∥QN，∴PAMB＝APEE＝QBDB＝QDNC，∴PAMB＝QDNC，又 AB＝DC， ∴PM 綊 QN，∴四边形 PMNQ 为平行四边形，∴PQ∥MN.又 MN⊂平面 BCE，

高考数学考点归纳之直线、平面平行的判定与性质

高考数学考点归纳之直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ，又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ，则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ，所以四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积．解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。

2020年高考数学(文科)一轮复习第41讲直线平面平行的判定与性质

听课手册第41讲直线平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定一条直线与一个平面 ,则称这条直线与这个平面平行a ∩α=⌀⇒a ∥α证明直线与平面平行平面外平行,则该直线与此平面平行a ⊄α,b ⊂α,且a ∥b ⇒a ∥α性质一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线a ∥α,a ⊂β,α∩β=b ⇒a ∥b 证明直线与直线平行2.平面与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定一个平面内的两条与另一个平面平行,则这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥β,b ∥β⇒α∥β证明平面与平面平行如果一个平面内有两条分别平行于另一个平面内的两条 ,那么这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥a',b ∥b',a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=P'⇒α∥β垂直于的两个平面平行a ⊥α,a ⊥β⇒α∥β(续表)类别语言表述图形表示符号表示应用性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线必于另一个平面α∥β,a ⊂α⇒a ∥β证明直线与平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的平行α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b ⇒a ∥b 证明直线与直线平行常用结论1.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.3.三种平行关系的转化:线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.题组一常识题1.[教材改编]已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线有条.2.[教材改编]如图7-41-1,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .图7-41-1图7-41-23.[教材改编]如图7-41-2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为.4.[教材改编]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是.(填序号)图7-41-3①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.5.[教材改编]图7-41-3是一个长方体被一个平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.题组二常错题◆索引:对空间平行关系的相互转化条件理解不够,忽略线面平行、面面平行的条件.6.设m,l表示两条直线,α表示平面,若m⊂α,则“l∥α”是“l∥m”的条件.7.(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a与α的关系是.(2)已知两条直线a,b和两个平面α,β,若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α与β的关系是.(3)若平面α∥平面β,直线a∥α,则a与β的关系是.8.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线有条.9.下列条件中,能判断两个平面平行的是.(填序号)①一个平面内的一条直线平行于另一个平面;②一个平面内的两条直线平行于另一个平面;③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.探究点一平行关系的基本问题例1(1)[2018·厦门质检]如图7-41-4,图7-41-4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,G分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论正确的是()A.MN∥AGB.MN∥BD1C.MN∥平面BB1D1DD.MN∥平面BDG(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α[总结反思]解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)举反例否定结论.变式题(1)[2018·泉州质检]已知两条直线a,b,两个平面α,β,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件图7-41-5C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)如图7-41-5所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与直线MN平行的是.探究点二线面平行的判定与性质例2[2018·吉林延边州模拟]如图7-41-6所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,DC=6,AD=8,BC=10,∠PAD=45°,E为PA的中点.图7-41-6(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求三棱锥E-PBC的体积.[总结反思](1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α),使用这个定理的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;②利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β),即若两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.变式题如图7-41-7,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知侧棱与底面垂直,∠CAB=90°,且AC=1,AB=2,E为BB1的中点,M为AC上一点,AM=2AC.3,求AA1的长;(1)若三棱锥A1-C1ME的体积为√26(2)证明:CB1∥平面A1EM.图7-41-7探究点三面面平行的判定与性质例3[2018·烟台一模]如图7-41-8①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,BA=BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图7-41-8②所示,E,F分别为PC,CD的中点,求证:平面OEF∥平面PAD.图7-41-8[总结反思]证明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β);(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).变式题[2018·新乡一模]如图7-41-9,几何体ABC-A1DC1是由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得的,AB=4,A1D=1,AA1⊥平面ABC,M为AB的中点,E为棱AA1上一点,且EM∥平面BC1D.若N在棱BC上,且BN=2NC,证明:EN∥平面BC1D.图7-41-9完成课时作业(四十一)。

高考数学大一轮复习.3直线平面平行的判定与性质课件

判定垂直于同一条直线的两个平面平行
定理
符号语言
a
b

a b P

a

b

⇒α∥β
l ⇒α∥β

l 2Leabharlann 判定平行于同一个平面的两个平面平
定理行
3
⇒α∥γ

性质
如果两个平面平行,那么在一个平面
定理
内的所有直线都平行于另一个平面
点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明
(1)连接B1D1.
∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,
1
2
∴EF∥B1D1且EF= B1D1.
又易证在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1是矩形,∴BD B1D1.
那么PM∥平面BCE,
∵PM∥BE,∴ = ,
AP
PE
AM
MB
又AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,又MQ⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴MQ∥平面BCE,又PM∩
MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
1.利用定义,证明直线a与平面α没有公共点,一般结合反证法来证
明,这
时“平行〞的否认应是“在平面内〞或“相交〞两种,只有排除这
两种
位置关系后才能得出“直线a与平面α平行〞这一结论.

高考数学知识点直线、平面平行的判定与性质

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积. 解答
思维升华
判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
典例 (12分)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面 ABCD 为直角梯形，其中 AD∥BC ， ∠BAD ＝ 90° ， SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝ 2 .
3 (1)求四棱锥S－ABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明.
§5.4 直线、平面平行的判定与性质
内容索引
基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业
基础知识自主学习
知识梳理
1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与判定定理此平面平行(简记为“线线平行 ⇒线面平行”)
图形语言
符号语言
∵ l∥a ， a⊂α ，，α ∴l∥α
2. 在本例条件下，若 D1 ， D 分别为 B1C1 ， BC 的中点，求证：平面 A1BD1∥平面AC1D. 证明
思维升华
证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.

2023年高考数学一轮复习：直线平面平行的判定及其性质

第三节　直线、平面平行的判定及其性质2023年高考数学总复习内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件___________________________________________________结论a∥αb∥α_____________a∩α=∅a⊂α,b⊄α,a∥b a∥αa∥α,a⊂β,α∩β=ba∩α=∅a∥b2.平面与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件_____________________________________________________________________α∥β,a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥αα∩β=∅a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( )(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线. ( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )(4)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面. ( )(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( )(6)平行于同一条直线的两个平面平行.( )提示:(1) ×.若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α或a⊂α.(2)×. 一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的直线可能平行,也可能是异面直线.(3)×.如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(4)×.若平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.(5)√.这两条直线没有公共点.(6)×.平行于同一条直线的两个平面平行或相交.【易错点索引】序号易错警示典题索引1证明线面平行时忽略该直线不在平面内致误考点一、T3考点二、T22利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的平面考点二、T13证明面面平行时忽略两直线相交致误考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修2 P58 练习T3改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.。

【三维设计】高考数学第七章第四节直线、平面平行的判定及性质课件新人教A版

理行
符号语言
α∥β
α∩γ＝a β∩γ＝b
⇒a∥b
1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行
的是
()
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析：由面面平行的定义可知选D. 答案： D
第四
第七
节
章
直线、
平面
立
平行
体几
的判
何
定及
性质
抓基础明考向提能力
教你一招我来演练
[备考方向要明了] 考什么
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.
怎么考
1.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点． 2.着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多
(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥ 平面SAB.(8分)
取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近点A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，
则EF綊23AD，BC綊23AD，
∴BC綊EF.
∴CE∥BF. 又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB， ∴CE∥平面SAB.(12分)
答案： C
2．(2012·金华模拟)已知m、n、l1、l2表示直线，α、β
表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2
＝M，则α∥β的一个充分条件是
()
A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2
B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2
解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.

高考数学一轮复习 74 直线、平面平行的判定及其性质课

直线a在平面α内时，在α内存在与a平行的直线，B正确．
• 答案：B
• 2．(2014年泉州质检)对于直线m，n和平面α，若n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
• A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
• C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
• 解析：当m∥n时，m⊂α或m∥α，当m∥α时，m与n 可能平行也可能为异面直线．
• (2)证法一取AB的中点N，连接DM，DN，MN. • 因为M是AE的中点，所以MN∥BE. • 又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC， • 所以MN∥平面BEC. • 又因为△ABD为正三角形， • 所以∠BDN＝30°， • 又CB＝CD，∠BCD＝120°， • 因此∠CBD＝30°，所以∠BDN＝∠CBD，所以
第四节直线、平面平行的判定及其性质
• 最新考纲展示 • 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和
理解空间中线面平行的有关性质和判定定理． 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间平行关系的简单命题．
• 一、直线与平面平行的判定
• 1．定义：直线与平面没_有__公_共__点_______，则称直线平行于
• 答案：D
• 二、面面平行的判定与性质 • 3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) • A．存在一条直线a，a∥α，a∥β • B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β • C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，
b∥α • D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，
b∥α
• 解析：对于选项A，当α，β两平面相交，直线a平行于交线时，满足要求，故A不对；对于B，两平面α，β相交，当a在平面α内且a平行于交线时，满足要求，但α 与β不平行；对于C，同样在α与β相交，且a，b分别在 α，β内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因为a，b异面，故在β内一定有一条直线a′与a平行且与b 相交，同样，在α内也一定有一条直线b′与b平行且与a 相交，由面面平行判定的推论可知其正确．

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习47---直线、平面平行的判定与性质

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第47讲直线、平面平行的判定与性质考点知识：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．知识梳理1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b的交线与该直线平行2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2．三种平行关系的转化诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误．(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误．(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误．2．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案 D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．4．(2021·太原质检)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案 D解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；故选D.5．(2022·长春调研)已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．6．(2021·衡水中学检测)如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．则CE与平面PAB的关系是________．答案平行解析取PA的中点F，连接EF，BF，∵E 是PD 中点，知EF 綉12AD ，又∠BAD ＝∠ABC ＝90°，BC ＝12AD ，∴BC 綉12AD ，从而BC 綉EF ，则四边形BCEF 为平行四边形，故CE ∥AF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE ∥平面PAB .考点一与线、面平行相关命题的判定1．(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面答案 B解析若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当α内无数条直线互相平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A ，C ，D 中条件均不是α∥β的充要条件．根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B 中条件是α∥β的充要条件． 2．(2021·西安质检)设a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．若a∥α，a∥β，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b答案 D解析A不正确：a∥b或a与b相交或异面；B不正确，a∥b或a与b是异面直线；C不正确，α∥β或平面α与β相交．D正确，根据面面平行的性质，可得a∥b.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是________(填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析如图，因为AB綉C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形．故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC＝D，1故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．感悟升华直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．考点二直线与平面平行的判定与性质角度1 直线与平面平行的判定【例1】(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．(1)证明如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1綉DC，可得B1C綉A1D，故ME綉ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.感悟升华 1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线．2．利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．【训练1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.证明如图，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又M是PC的中点，所以AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，所以PA∥GH.因为GH⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.角度2 线面平行的性质定理的应用【例2】(2021·河南、江西五岳联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝12AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点．(1)若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点；(2)求点C到平面PBD的距离．(1)证明因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM，因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．(2)解因为PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝12AD＝2，所以PB＝PA2＋AB2＝22，PD＝PA2＋AD2＝25，BD＝BA2＋AD2＝25，所以S △DPB ＝12PB ·DP 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PB 2＝6.设点C 到平面PBD 的距离为d ，由V C －PBD ＝V P －BCD ，得13S △DPB ·d ＝13S △BCD ·PA ＝13×12×BC ×AB ×PA ，则6d ＝12×2×2×2，解得d ＝23.感悟升华在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．【训练2】如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ；(2)若平面ADM ∩平面BDE ＝l ，平面ABM ∩平面BDE ＝m ，试分析l 与m 的位置关系，并证明你的结论．(1)证明如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接OE .因为O ，M 分别为AC ，EF 的中点，四边形ACEF 是矩形，所以四边形AOEM 是平行四边形，所以AM ∥OE .又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考点三面面平行的判定与性质【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A 1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质及D ，D 1分别为BC ，B 1C 1的中点知，D 1C 1綉BD ， ∴四边形BDC 1D 1为平行四边形，∴DC 1∥BD 1. 又DC 1⊄平面A 1BD 1，BD 1⊂平面A 1BD 1， ∴DC 1∥平面A 1BD 1，又DC 1∩DM ＝D ，DC 1，DM ⊂平面AC 1D ，因此平面A 1BD 1∥平面AC 1D .【迁移2】在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC的值．解连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1. 由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD， ∴DC AD ＝1，即ADDC＝1. 感悟升华 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．【训练3】(2021·成都五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA ＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．(1)证明：平面BMN∥平面PCD；(2)若AD＝6，求三棱锥P－BMN的体积．(1)证明连接BD，如图所示．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．∵M为AD的中点，∴BM⊥AD.∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD.又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD.∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD. 又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD.又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD.(2)解在(1)中已证BM⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴BM⊥平面PAD.又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3 3.∵PA＝PD，PA⊥PD，AD＝6，∴PA＝PD＝32AD＝32，∵M，N分别为AD，PA的中点，∴S△PMN＝14S△PAD＝14×12×(32)2＝94.∴三棱锥P－BMN的体积V＝V B－PMN＝13S△PMN·BM＝13×94×33＝934.A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )A．平行 B．相交C．AC在此平面内 D．平行或相交答案 A解析把这三条线段放在正方体内可得如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，∵EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG，故选A.3．(2021·重庆联考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且DEEB＝DFFD1＝12，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则CGCC1＝( )A.12B．13C．23D．14答案 B解析如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，则△DEH∽△BEA，所以DHAB＝DEEB＝12.因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.又四边形CDD1C1是平行四边形，所以△DFH∽△C1GD1，所以DFC1G＝DHC1D1，因为DHC1D1＝DHAB＝12，所以DFC1G＝12，因为DFFD1＝12，所以FD1＝C1G，DF＝CG，所以CGCC1＝13，故选B.4. (2021·兰州诊断)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能答案 B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.5．(2021·河南名校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BB1，DD1，A1B1的中点，则下列说法错误的是( )A．B1D∥平面A1FC1 B．CE∥平面A1FC1C．GE∥平面A1FC1 D．AE∥平面A1FC1答案 C解析作出图形如图所示，观察可知，B1D∥FO，CE∥A1F，AE∥C1F，又FO⊂平面A1FC1，A 1F⊂平面A1FC1，C1F⊂平面A1FC1，B1D⊄平面A1FC1，CE⊄平面A1FC1，AE⊄平面A1FC1，所以选项A，B，D正确；因为GE∥A1B，所以GE与平面A1FC1相交，所以选项C错误，故选C.6．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( ) A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条答案 C解析如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．二、填空题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.答案 2解析根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF ∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2. 8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．9.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.三、解答题10．(2021·绵阳诊断)如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2.(1)证明：EF∥平面PCD；(2)求三棱锥F－PCD的体积．(1)证明取PC的中点G，连接DG，FG.∵四边形ABCD为正方形，且DE綉12BC，FG∥BC，且FG＝12BC，∴DE∥FG且DE＝FG，∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)解∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于E到平面PCD的距离，∴V F－PCD＝V E－PCD＝12VA－PCD＝12VP－ACD.∵PA⊥平面ABCD，∴V P－ACD＝13×S△ACD×PA＝13×12×22×2＝43.∴V F－PCD＝12VP－ACD＝23.11.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点．连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.B级能力提升12.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A. 2 B．98C． 3 D．62答案 B解析如图1，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EF∥B1D1∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE，又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线．图1 图2所以平面AMN∥平面BDFE，即平面BDFE为平面α，BD＝2，EF＝12B1D1＝22，得四边形BDFE为等腰梯形，DF＝BE＝5 2，在等腰梯形BDFE如图2中，过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴其高FG＝DF2－DG2＝54－18＝324，故所得截面的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2×324＝98.13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO . 答案 Q 为CC 1的中点解析如图所示，设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，PA ⊂平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .14．(2021·西安调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，E ，F 分别是BC ，A 1C 1的中点，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA 1＝2AB .(1)求证：EF ∥平面ABB 1A 1； (2)求点C 到平面AEF 的距离．(1)证明如图，取AB 的中点D ，连接DE ，A 1D . 因为E 是BC 的中点，所以DE ∥AC ，且DE ＝12AC .由三棱柱的性质知AC ∥A 1C 1. 因为F 是A 1C 1的中点，所以A 1F ∥AC ，且A 1F ＝12AC ，所以A 1F ∥DE ，且A 1F ＝DE ，所以四边形DEFA 1是平行四边形．所以EF ∥DA 1.又因为EF ⊄平面ABB 1A 1，DA 1⊂平面ABB 1A 1，所以EF ∥平面ABB 1A 1.(2)解由题可得V F －ACE ＝13×AA 1×S △ACE ＝13×4×12×34×22＝233.在△AEF 中，易求得AE ＝3，AF ＝17，EF ＝17， AE 边上的高为17－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝652，所以S △AEF ＝12×652×3＝1954.设点C 到平面AEF 的距离为h ，则V C－AEF＝13×h×S△AEF＝233，解得h＝865 65.。

2021高考数学(理)大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第4节直线、平面平行的判定与性质

跟踪训练3:如图所示,P是△ABC所在平面外的一点,点A′, B′,C′分别是△PBC,△PCA,△PAB的重心. (1)求证:平面ABC∥平面A′B′C′;
(1)证明:分别连接 PA′,PB′,PC′并延长交 BC,AC,AB 于点 D,E,F,连接 DE,EF,DF.
因为点 A′,C′分别是△PBC,△PAB 的重心,所以 PA′= 2 PD,PC′= 2 PF,
第4节直线、平面平行的判定与性质
[考纲展示]
1.以立体几何的定义、公理和定理 2.能运用公理、定理和已获得的结
为出发点,认识和理解空间中线面论证明一些有关空间图形的平行关
平行的有关性质与判定定理.
系的简单命题.
知识梳理自测考点深度剖析核心素养提升
知识梳理自测
知识梳理
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
多维探究
[例1] 如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD, SD=CD,AB=AD,CD=2AD,M是BC中点,N是SA的中点. 求证:MN∥平面SDC.
证明:法一如图,取SB的中点T,连接NT,MT. 在△SAB中,SN=NA,ST=TB,所以NT∥AB, 又AB∥CD,所以NT∥CD. 在△SBC中,BM=MC,BT=TS,所以MT∥SC. 又因为NT∩MT=T,SC∩CD=C,所以平面MNT∥平面SDC, 又因为MN⊂平面MNT,所以MN∥平面SDC.
解析:因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.
2.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中
(
)A
(A)不一定存在与a平行的直线