直线、平面平行的判定及其性质_教案
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直线与平面平行的判定和性质
一、教学目标
(一)本节知识点
1、知识与技能(1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理;(2)
进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力;2、过程与方法学生
通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行的判定定理。3、情感、
态度与价值观(1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性;(2)让
学生了解空间与平面互相转换的数学思想。直线与平面的位置关系,直线与
平面平行的判定定理,直线与平面平行的性质定理。
(二)课时安排
在学习了前面关于平面、空间直线等立体几何中的基础概念之后接触到
的立体几何中的又一研究重点直线与平面的位置关系,所以本节内容处于一
个承上启下的位置。安排用二个课时来完成。
(三)本堂课教学目标
1.教学知识目标
进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系。理解并掌握直线与平面平
行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。
2.能力训练:掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”
证得“线线平行”的数学证明思想。进一步培养学生的观察能力、空间想象
力和类比、转化能力,提高学生的逻辑推理能力。
3.德育渗透:培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――
理论――再实践”的科学研究方法。
(四)教学重点、难点
重点:直线与平面平行的判定和性质定理及应用。
难点:灵活的运用数学证明思想。
(五)教学方法:启发式、引导式、找错教学。多注重观察和分析,理
论联系实际。
(六)教具:模型、多媒体设备
二、教学过程
(一)内容回顾
师:在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系,有几种?可将图形给
以什么作为划分的标准?出引导作答
生:三种,以直线与平面的公共点个数为划分标准,分别是
直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的点都在这个平面内)
直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交
(二)新授内容
1.如何判定直线与平面平行
师:请同学回忆,我们昨天是受用了什么方法证明直线与平面平行?有直线在平面外能不能说明直线与平面平行?
①生:借助定义,用反证法说明直线与平面没有公共点(证明直线在平面外不能说明直线与平面平行)
②直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
已知:a ⊄α,b ⊂α,且a ∥b
从学
生的直观感
求证:a ∥α
觉入手
如:怎样
师:你们会采用什么方法证明定理?生:
放置
跳高竿,使
证明:∵ a ∥b ∴经过a,b 确定一个平面β
竿子和
地面平行
∵a ⊄α,b ⊂α∴α与β是两个不同的平面。
以此启
发学生如
∵b ⊂α,且b ⊂β∴α∩β=b
何保
证直线与平
假设a 与α有公共点P ,则P ∈α∩β=b, 面平行 点P 是a 、b 的公共点这与a ∥b 矛盾,∴a ∥α
例1:求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面。
已知:如图空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点。求证:EF ∥平面BCD
证明:连结BD AE =EB
⇒EF ∥BD
AF =FD EF ⊄平面BCD ⇒EF
BD ⊂平面BCD
评析:要证EF ∥平面BCD ,关键是在平面BCD 中找到和EF 平行的直线,
将证明线面平行的问题转化为证明直线的平行
2.直线和平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相
交,那么这条直线和交线平行。
已知:a ∥α,a ⊂β,α∩β=b 求证:a ∥b
证明:α∩β=b ⇒b ⊂a a ⊂β a ∥α
⇒ a ∩b=φ ⇒a ∥b b ⊂β
评析:证明用到了“同一平面的两直线没有公共点,则它们平行”
例2、如图,平面α、β、γ两两相交,a 、b 、c 为三条交线,且a ∥b ,那么a 与c 、b 与c 有什么关系?为什么?
师:猜a 与c 什么关系?生:平行
师:已知a ∥b 能得出什么结论,怎样又可征得a ∥c 解:依题可知:α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β=C
借助多媒
体将
∵a ⊂α,b ⊄α,且a ∥b ∴b ∥α
图形
多角度展
又∵b ⊂ β, α∩ β=C ∴b ∥c
示,
便于观察
又∵a ∥b, ∴a ∥c
师:b ∥α,过b 且与α相交的平面有多少个?这些交线的位置关系如何?
多媒体
展示过
生:有无数条交线,且它们相互平行。 程
注: ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行”
βγ
直管公房服务承包合同
②过b且与α相交的平面有无数个,这些平面与α的交线也有无数条,
且这些交线都互相平行
3.练习
①能保证直线a与平面α平行的条件是(A)
A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥b
C. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c
D. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC=BD
②下列命题正确的是( D F )
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行
C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行
D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α
③若两直线a与b相交,且a平行于平面α,则b与α的位置关系是平
行或相交
④如图,空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是一矩形。
(1)求证:CD∥平面EFGH;
(2)求异面直线AB、CD所成的角
证明:⑴依题:
矩形EFGH⇒GH∥EF
EF⊂面ACD⇒GH∥面ACD GH⊄面ACD GH⊂面BCD
面BCD∩面ACD=CD
⇒GH∥CD
GH⊂面EFGH
CD∥GH,且面BCD∩面EFGH=GH⇒CD⊄面EFGH
⇒CD∥平面EFGH
⑵如⑴可证CD∥GH
同理可证AB∥GF⇒∠HGF即为异面直线AB与CD所成的角且
矩形EFGH⇒∠HGF=90°
∠HGF=90°
4.思考补充