【数学】湖北省仙桃中学2019届高三8月考试试题

湖北省仙桃中学2019届高三8月考试数学试题一、选择题1.“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 3.设α、β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．52 C ．73 D ．535.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )6.已知A ，B 为抛物线24y x =上异于原点的两个点，O 为坐标原点，直线AB 斜率为2，则ABO ∆重心的纵坐标为（ ） A ．2 B ．43 C ．23D ．1 7.抛物线24x y =的焦点坐标是 （ ）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(1,0)8.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 78B. 89C.67D. 19.若不等式23a x x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－1,3) B ．[－1,3] C ．(1.3) D ．[1,3] 10.函数()2log log 2x y x x =+的值域是（ ）A ．(－∞, －1]B ．[3,+∞)C ．[－1,3]D ．(－∞,－1]∪[3,+∞)11.函数y =x +cos x 的图象大致是（ ）A B C D12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则函数()()2log g x f x x =-的零点个数是A ．2B ．4C ．6D ．8 二、解答题13.已知52,0=+>b a ab ，则1112+++b a 的最小值为 ． 14.球的内接圆柱的底面积为4π，侧面积为12π，则该球的表面积为 ． 15.若抛物线22(0)x py p =>在点（1,2）处的切线也与圆222220x y x y a +-++-=相切，则实数a 的值为________________.16.()f x 是定义在R 上的周期为3奇函数，当0<x <1时，()4x f x =，则7()(6)2f f -+=________. 三。

解答题17.已知命题p ：方程22167x y m m +=+-表示双曲线，命题q ：x R ∃∈，22210mx mx m ++-≤.（Ⅰ）若命题q 为真，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若p q ∨为真，q ⌝为真，求实数m 的取值范围.18. “共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认同”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（Ⅲ）若此样本中的A城市和B城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B城市的概率是多少？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN ∥平面PAB ； （2）求三棱锥P ﹣ABM 的体积．20.抛物线)0(22>=p px y 上的点P 到点)0,2(pF 的距离与到直线0=x 的距离之差为1，过点)0,(p M 的直线l 交抛物线于B A ,两点. （1）求抛物线的方程；（2）若ABO ∆的面积为34，求直线l 的方程.21.已知函数()3221f x x bx x =++-，b ∈R . （1）设()()21f xg x x +=，若函数()g x 在()0,+∞上没有零点，求实数b 的取值范围；（2）若对[]1,2x ∀∈，均[]1,2t ∃∈，使得()e ln 42t t f x x --≤-，求实数b 的取值范围.四、选做题22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=sin 3cos 4y x (φ为参数)，以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)分别写出曲线C 1的普通方程及曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 为曲线C 1上的一动点，点N 为曲线C 2上的一动点，求|MN |的最小值.23.已知函数()21f x x a x =---． (Ⅰ)当时2a =，求()30f x +≥的解集；(Ⅱ)当[1,3]x ∈时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围．【参考答案】1.A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于； 由倾斜角大于得，或，即或， 所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.2.C3.A【解析】面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 因为直线l ⊂α，且l ⊥β 所以由判断定理得α⊥β． 所以直线l ⊂α，且l ⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l ⊂α则直线l ⊥β，或直线l ∥β，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内．所以“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故答案为充分不必要．4.A5.D6.C7.B8.B【解析】由题意可知 =,故选B.9.B 10.D 11.B111112233489S =++++⨯⨯⨯⨯11111111811223348999-+-+-++-=-=13.98【解析】，当且仅当时取等号14.25π 15.【解析】∵抛物线过点（1,2）可得 ∴抛物线可化为，从而由知切线斜率为K =4，∴切线方程为 又∵圆的方程可化为且圆与抛物线也相切.16.2-17.解：（Ⅰ）∵命题q 为真，当0m >时，2(2)4(21)0m m m ∆=--≥，∴01m ≤≤，故01m <≤； 当0m =时，10-≤，符合题意；当0m <时，22210mx mx m ++-≤恒成立. 综上，1m ≤.（Ⅱ）若p 为真，则(7)(6)0m m +-<，即76m -<<. ∵若p q ∨为真，q ⌝为真，∴p 真q 假， ∴167m m >⎧⎨-<<⎩，解得17m <<.18. 解：（Ⅰ）城市评分的平均值小于城市评分的平均值；城市评分的方差大于城市评分的方差；91722(0)x py p =>14p =22y x =4y x '=24(1)420y x x y -=---=即22(1)(1)(0)x y a a -++=>917a ==A B A B所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（Ⅲ）设事件：恰有一人认可；事件：来自城市的人认可； 事件包含的基本事件数为， 事件包含的基本事件数为，则所求的条件概率.19.（1）证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴M N ∥PA ．又∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB ．在Rt △ACD 中，∠CAD =60°，CN =AN ，∴∠ACN =60°． 又∵∠BAC =60°，∴CN ∥AB ．∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CN ∥平面PAB ． 又∵CN ∩MN =N ，∴平面CMN ∥平面PAB ． （2）解：由（1）知，平面CMN ∥平面PAB ，∴点M 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离． 由已知，AB =1，∠ABC =90°，∠BAC =60°，∴，∴三棱锥P ﹣ABM 的体积：． 2240(5101015) 2.667 3.84120201525K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯M N B M 5101510200⨯+⨯=MN 1510150⨯=()1503()()2004P N M P N M P M ===20.解：（1）设()00,P x y ， 由定义知02p PF x =+，所以，0012p x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以，2p =，所以，抛物线方程为24y x =； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由（1）知()2,0M ；若直线l 的斜率不存在，则方程为2x =，此时AB =ABO ∆的面积为满足，所以直线l 的斜率存在；设直线l 的方程为()2y k x =-，带入抛物线方程得：()22224140k x k x k -++=()222161160k k ∆=+->所以，12244x x k+=+，124x x =，所以AB =，点O 到直线l 的距离为d =，=1k =±.所以，直线l 的方程为2y x =-或2y x =--.21.解：（1）∵()2g x x b b x=++≥（0x >），∴()min g x b =， ∴()g x 在()0,+∞上没零点()min 220g x b ⇔=+>22b ⇔>-，∴()b ∈-+∞.（2）∵()e ln 42t t f x x --≤-32e ln 3t t x bx ⇔-≤++， 设()e ln h t t t =-，[]1,2t ∈， ∵()1e 0h t t'=-≥对[]1,2t ∈恒成立， ∴()h t 在[]1,2t ∈上单调递增，∴()()1e h t h ≥=，∴32e 3x bx ≤++对[]1,2x ∈恒成立， ∴23e b x x -⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对[]1,2x ∈恒成立. 设()23e m x x x -⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[]1,2x ∈， ∵()362e 1m x x -'=-+≤52e 0-<，∴()m x 在[]1,2x ∈递减， ∴()()1e 4m x M ≤=-，∴e 4b ≥-，即[)e 4,b ∈-+∞.22. 解：（1）由题意可知曲线C 1的普通方程； 曲线C 2的直角坐标方程（2）因为曲线C 2是以A （1,0）为圆心，半径为1的圆，所以|MN |≥|MA |-1；又=≥，从而可知|MN |的最小值为-1. 23. 解：(Ⅰ) 当时，由，可得，①或②或③解①得；解②得；解③得． 综上所述，不等式的解集为． （Ⅱ）若当时，成立，即． 故，即， 对时成立． ．221169x y +=22(1)1x y -+=MA ==772a =()3f x ≥-2213x x ---≥-1,22213x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-≥-⎩12,22213x x x ⎧≤<⎪⎨⎪--+≥-⎩2,2213x x x ≥⎧⎨--+≥-⎩142x -≤<122x ≤<2x ={}42x x -≤≤[]1,3x ∈()3f x ≤32122x a x x -≤+-=+2222x x a x --≤-≤+322x a x --≤-≤+∴232x a x --≤≤+[]1,3x ∈[3,5]a ∴∈-。