【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理课件 理 湘教版

(2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cos B＝ 2，则角 A 的大小为 ________．
解析
(1)∵asin Asin B＋bcos2A＝ 2a，由正弦定理可得
b sin2Asin B＋sin Bcos2A＝ 2sin A，∴sin B＝ 2sin A，即a＝ 2. (2)由题可知，sin B＋cos B＝ 2，所以
解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为 只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出 内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然 后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过 程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
【训练2】 (1)(2012· 上海)在△ABC中，若sin2A＋
热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，除了考查利 用正、余弦定理、面积公式求三角形的边、角、面积 之外，常常在解答题中考查解三角形与三角函数、平 面向量、数列、不等式等知识交汇，难度中等．
【真题探究】► (2012· 陕西)在△ABC 中，角 A，B，C 所 对边的长分别为 a，b，c，若 a2＋b2＝2c2，则 cos C 的 最小值为
1 (2)△ABC 的面积 S＝ bcsin A＝ 3，故 bc＝4. 2 而 a2＝b2＋c2－2bccos A，故 b2＋c2＝8.解得 b＝c＝2.
1 在解决三角形问题中，面积公式 S＝ absin C 2 1 1 ＝ bcsin A＝ acsin B 最常用， 因为公式中既有边又有角， 2 2 容易和正弦定理、余弦定理联系起来．
答案
A
3．(2013· 奉节模拟)在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，
则△ABC的形状是 A．等边三角形 C．直角三角形
解析Leabharlann ( B．等腰三角形 D．等腰直角三角形
)．
a2＋c2－b2 由正、余弦定理得 2· · a＝c，整理得 a 2ac
＝b，故△ABC 为等腰三角形．
答案
B
π 4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，∠A＝ ，则∠C 的大 3 小为________．
(2)利用正弦定理和三角形内角和定理求解．
解析
(1)根据余弦定理代入 b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－ b＝4.
1 － b)· 4，解得
4 12 (2)由已知条件可得 sin A＝ ，sin B＝ ，而 sin C＝sin(A 5 13 56 b ＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ ， 根据正弦定理 ＝ 65 sin B c 14 得 c＝ . sin C 5
答案 (1)4 14 (2) 5
(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理 时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决 问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
【训练 1】 (1)(2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对 b 2 的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos A＝ 2a，则a＝ ( )． A．2 3 B．2 2 C. 3 D. 2
答案
C
2．(2012· 天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别 是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(
7 A. 25 7 B．－ 25 7 C．± 25 24 D. 25
)．
解析
因为 8b＝5c，则由 C＝2B 得 sin C＝sin 2B＝ sin C c 4 2sin Bcos B，由正弦定理得 cos B＝ ＝ ＝ ，所 2sin B 2b 5 42 7 2 －1＝ ，故选 以 cos C＝cos 2B＝2cos B－1＝2× 5 25 择 A.
第6讲 正弦定理和余弦定理
【2014年高考会这样考】
1．考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的 和或积、角的大小或三角函数值等综合考查．
2．考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问
题．
考点梳理
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理 余弦定理
内容
a b c a2＝b2＋c2－2bccos A， ＝ ＝ sin A sin B sin C 2 2 2 b ＝a ＋c －2accos B， ＝2R(R 为△ABC 外 c2＝a2＋b2－2abcos C 接圆半径)
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， b2＋c2－a2 c＝2Rsin C； cos A＝ ； 2bc a b sin sin 常见 (2)sin A＝2R， B＝2R， a2＋c2－b2 cos B＝ ； c 2ac 变形 C＝ ； 2R a2＋b2－c2 cos C＝ (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶ 2ab sin C
sin2B<sin2C，则△ABC的形状是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
(2)在△ABC
(
)．
π π 中，acos2－A＝bcos2－B，则△ABC
的形状为________．
解析 (1)由 sin2A＋sin2B<sin2C，得 a2＋b2<c2，所以 cos C a2＋b2－c2 ＝ <0，所以∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角 2ab 形． π π (2)由 acos2－A＝bcos2－B，得：asin A＝bsin B，由正 弦定理，得 a2＝b2，∴a＝b，故△ABC 为等腰三角形．
考点自测
1．(2012· 湖北改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝ ( A．60°
解析
)．
B．90°
C．120°
D．150°
由已知可得 a2＋b2－c2＝－ab，根据余弦定理得：
a2＋b2－c2 1 cos C＝ ＝－ .故 C＝120° . 2ab 2
解析
a b c c ∵ ＝ ＝ ＝2R＝8，∴sin C＝ ， sin A sin B sin C 8
1 1 1 ∴S△ABC＝ absin C＝ abc＝ ×16 2＝ 2. 2 16 16
答案
2
考向一
利用正、余弦定理解三角形
【例 1】►(1)(2012· 北京)在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7，cos 1 B＝－ ，则 b＝________. 4 (2)(2012· 重庆)设△ABC 的内角 A， C 的对边分别为 a， B， 3 5 b，c，且 cos A＝ ，cos B＝ ，b＝3，则 c＝________. 5 13 [审题视点] (1)利用余弦定理．
解析
3 在△ABC 中，由正弦定理，得 ＝ ， π sin∠B sin 3
3
1 π sin∠B＝ .∵a>b，∴∠A>∠B，∴∠B＝ ， 2 6 π π π ∴∠C＝π－ － ＝ . 3 6 2 π 答案 2
5．(2013· 郑州调研)已知圆的半径为 4，a，b，c 为该圆的内接 三角形的三边， abc＝16 2， 若 则三角形的面积为________．
解 (1)由 acos C＋ 3asin C－b－c＝0，及正弦定理得 sin Acos C＋ 3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为 B＝π－A－C， 所以 3sin Asin C－cos A· C－sin C＝0. sin π 1 由于 sin C≠0，所以 sinA－ 6 ＝ . 2 π π 5π π 又 0<A<π，所以－ <A－ < ，故 A＝ . 6 6 6 3
解的 个数 无解
a＝bsin bsin A＜a A ＜b
一解 两解
a≥b 一解
a＞b 一解
a≤b 无解
3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S＝ ah(h 表示边 a 上的高)． 2 1 1 1 absin C acsin B 2 (2)S＝ bcsin A＝__________＝__________. 2 2
π 2sinB＋ 4 ＝
2，所
π a b 2 2 以 B＝ ，根据正弦定理可知 ＝ ，可得 ＝ ， 4 sin A sin B sin A π sin 4 1 π 所以 sin A＝ ，又 a＜b，故 A＝ . 2 6
答案
(1)D
π (2) 6
考向二
判断三角形形状
【例2】►(2013·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小； (2)若 sin B＋sin C＝ 3，试判断△ABC 的形状．
[审题视点] (1)由正弦定理进行角化边，再用余弦定理求 cos A； (2)利用三角形内角和定理用角B表示角C，求角B，从而确 定三角形的形状．
解 (1)由 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，得 2a2＝(2b －c)b＋(2c－b)c，即 bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a2 1 ∴cos A＝ ＝ ，∴A＝60° . 2bc 2 (2)∵A＋B＋C＝180° ，∴B＋C＝180° －60° ＝120° . 由 sin B＋sin C＝ 3，得 sin B＋sin(120° －B)＝ 3， ∴sin B＋sin 120° B－cos 120° B＝ 3. cos sin 3 3 ∴ sin B＋ cos B＝ 3，即 sin(B＋30° )＝1. 2 2 ∵0° <B<120° ，∴30° <B＋30° <150° . ∴B＋30° ＝90° ，B＝60° . ∴A＝B＝C＝60° ，△ABC 为等边三角形．
答案
(1)A
(2)等腰三角形
考向三
与三角形面积有关的问题
【例 3】►(2012· 新课标全国)已知 a，b，c 分别为△ABC 三 个内角 A，B，C 的对边，acos C＋ 3asin C－b－c＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b，c.
[审题视点] (1)由正弦定理进行边化角； (2)由余弦定理和面积公式建立关于b，c的方程组，求b， c.
解决 的问 题 (1)已知两角和任一边，求 其他两边和一角；(2)已知 两边和其中一边的对角， 求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个 角；(2)已知两边和它们 的夹角，求第三边和其 他两角
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 图形 A为钝角或直角
关系 a＜b sin A 式
【训练 3】 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， cos A－2cos C 2c－a b，c，已知 ＝ b . cos B sin C (1)求 的值； sin A 1 (2)若 cos B＝ ，b＝2，求△ABC 的面积 S. 4 2c－a 2sin C－sin A 解 (1)由正弦定理，则 b ＝ ， sin B cos A－2cos C 2sin C－sin A 所以 ＝ ， cos B sin B 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 因为 A＋B＋C＝π，所以 sin C＝2sin A. sin C 因此 ＝2. sin A
sin C (2)由 ＝2，得 c＝2a. sin A 1 由余弦定理 b ＝a ＋c －2accos B 及 cos B＝ ，b＝2，得 4
2 2 2
1 4＝a ＋4a －4a × .解得 a＝1，从而 c＝2. 4
2 2 2
1 15 因为 cos B＝ ，且 0<B<π，所以 sin B＝ ， 4 4 1 1 15 15 因此 S＝ acsin B＝ ×1×2× ＝ . 2 2 4 4
1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为△ABC 内切圆半径)． 2
【助学· 微博】 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也
较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a
＞b⇔sin A＞sin B. 两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施 边、角转换．