16-3波的能量 波的强度
电磁波衰减
[吸收系数]absorption coefficient 又称“衰减系数”当电磁波进入岩石中时，由于涡流的热能损耗，将使电磁波的强度随进入距离的增加而衰减，这种现象又称为岩石对电磁波的吸收作用。
吸收或衰减系数β的大小和电磁波角频率ω、岩石导电率σ、岩石导磁率μ、岩石介电系数ε有关，1)1(2222-+=δωσμεωβ。
在导体中则简化为：2ωμσβ=。
第十六章机械波和电磁波振动状态的传播就是波动,简称波.激发波动的振动系统称为波源16-1机械波的产生和传播1. 机械波产生的条件(1)要有作机械振动的物体,亦即波源.(2)要有能够传播这种振动的介质波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。
波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。
◆质点的振动方向和波的传播方向相互垂直,这种波称为横波.◆质点的振动方向和波的传播方向相互平行,这种波称为纵波.2.波阵面和波射线●在波动过程中,振动相位相同的点连成的面称为波阵面（wave surface）●波面中最前面的那个波面称为波前（wave front）波面波线●波的传播方向称为波线（waveline）或波射线平面波球面波3. 波的传播速度由媒质的性质决定与波源情况无关●液体和气体中纵波传播速度B－介质体变弹性模量ρ－介质密度●在固体G－介质切变模量中Y－介质杨氏模量4.波长和频率●一个完整波的长度,称为波长.●波传过一个波长的时间,叫作波的周期●周期的倒数称为频率.振动曲线波形曲线图形研究对象某质点位移随时间变化规律某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律物理意义由振动曲线可知周期T. 振幅A 初相φ0某时刻方向参看下一时刻由波形曲线可知该时刻各质点位移,波长λ，振幅A只有t=0 时刻波形才能提供初相某质点方向参看前一质点特征对确定质点曲线形状一定曲线形状随t 向前平移16-2 平面简谐波波动方程●前进中的波动,称为行波.●描述介质中各质点的位移随时间变化的数学函数式称为行波的波动表式(或波动方程)设坐标原点的振动为：O 点运动传到p点需用时相位落后所以p点的运动方程：1.平面简谐波的波动表式定义k 为角波数又因此下述表达式等价：为波的相位●波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”，所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
波的能量
第4节 波的能量一、 波的能量密度 绳上横波 质量线密度μ )(cos[),(ω-=cx t A t x y x m ∆=∆μ， ])(sin[ϕωω+--=∂∂=cx t A t y V ])([sin 21212222ϕωω+-∆=∆=cx t A m mV E k 伸长量x l ∆-∆=]1)(1[)()(222-∂∂+∆=∆-∆+∆xy x x y x 小振幅条件下，xy ∂∂（波形曲线切线斜率）及其平方很小 +∂∂+=∂∂+22/12)(211])(1[xy x y x l ∆-∆≈21()02y x x∂∆≈∂，则 T T T =≈21 ≈∆-∆=T x l E P )(xT xy ∆∂∂2)(21 ])(sin[ϕωω+-=∂∂cx t A c x y ，2c T μ= ])([sin 2122222ϕωωμ+-∆=c x t A cx c E P =])([sin 21222ϕωω+-∆cx t A m =E k E +P E =])([sin 222ϕωω+-∆cx t A m 结论：（1）k E 、P E 都是时间的周期函数，且k E =P E（2）E 是时间的周期函数平衡位置→最大位移处，能量↓最大位移处→平衡位置，能量↑（3）能量的传播速度也是c无限大各向同性均匀媒质也成立V m ∆=∆ρ ∆ =E k E +P E =])([sin 222ϕωωρ+-∆cx t A V 能量密度：V E w ∆==])([sin 222ϕωρω+-cx t A平均能量密度220211A wdt T w T ρω==⎰ 二、 能流密度（波的强度）：单位时间内通过与波的传播方向c相垂直的单位面积的平均能量c A c w I 2221ρω==c A c wI 2221ρω==，2A I ∝ 三、 平面和球面谐波的振幅1、 平面谐波 S I S I 21=cS A cS A 2222122121ρωρω= 21A A = ])(c o s [),(ϕω+-=cx t A t x y ， 2、 球面谐波2211S I S I =2222221212421421r c A r c A πρωπρω=2211r A r A =，2112r r A A =，r A 1∝，I ∝])(cos[)(),(ϕωξ+-=cr t r A t r m r 10=，0A ，r r A r A )(00=，rA r A 0)(= ])(cos[),(0ϕωξ+-=cr t r A t r第5节 惠更斯原理一、 惠更斯原理（1690年）“媒质中波动传到的各点都可以看作发射子波的波源，在其后任意时刻这些子波的包络面（公切面）就是新的波阵面”例t 1r t t ∆+ t c ∆t c r r ∆+=12二、 波的绕射（衍射）当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向会发生变化，并且能够绕过障碍物的边缘继续向前传播：波的绕射波的传播方向第6节 波的干涉一、 波的独立传播原理和迭加原理当几列波在媒质中相遇时，每一列波的振幅、频率、波长、 振动方向及传播方向不因其它波的存在而受影响，或者说 每一列波都保持其独立的传播特性——波的独立传播原理 当几列波在媒质中相遇时，媒质质点的振动位移等于每列波 单独引起位移的矢量和——波的迭加原理二、 波的干涉1、 波的干涉现象，p146如果两列波在相遇区域迭加的结果使得某些点上振动始终加强 某些点上振动始终减弱，形成稳定的干涉花样：波的干涉现象2、 相干条件同振向、同频率、位相差恒定——相干条件相干波，相干波源3、 定量分析)c o s (11010ϕω+=t A y )c o s (22020ϕω+=t A y 1S])(c o s[1111ϕω+-=cr t A y ])(c o s [2222ϕω+-=cr t A y 2S 21y y y +==])(cos[111ϕω+-c r t A +])(cos[222ϕω+-c r t A ϕ∆++=c o s 2212221A A A A Aϕ∆++=c o s 22121I I I I I ，（2A I ∝） -+-=∆])([22ϕωϕc r t ])([11ϕω+-cr t =)(1212r r c ---ωϕϕ=)(21212r r ---λπϕϕ =∆ϕ)(21212r r ---λπϕϕ：两列波在P 点的相位差 δ=-12r r ：波程差=∆ϕπk 2±， 2,1,0=k ，21A A A +=最大，21212I I I I I ++=，干涉加强=∆ϕπ)12(+±k ， 2,1,0=k ，21A A A -=最小，21212I I I I I -+=，干涉相消如果21ϕϕ=，=∆ϕ)(212r r --λπ 干涉加强条件=∆ϕπλπk r r 2)(212±=-- λδk r r ±=-=12， 2,1,0=k干涉相消条件=∆ϕπλπ)12()(212+±=--k r r λλδ)21(2)12(12+±=+±=-=k k r r , 2,1,0=k 4、 （1）干涉加强或相消是指合振幅或波的强度最大或最小 而不是合位移最大或最小（2）位相差恒定要求两个波源在观察时间内持续振动（3）ϕ∆由两部分组成（4）干涉后，波的能量重新分布例：A ，B 两个相干波源，等振幅 x P 20-x同频率=ν100Hz ，初相差π相距20m,波速s m c /200= A 20m B 求：A ，B 连线上因干涉而静止的点解：=∆ϕ)(21212r r ---λπϕϕ =2(20)()x x c πνπλν---=)220(x --ππ=π)12(+k k x +=10 , 10,2,1,0±±±= k20,,1,0 =x m例：声波干涉仪 EC 每移动8cm ，声音减弱一次 x 求：声波的频率（空气中声速s m c /340=）解：21ϕϕ=λλ)21(2)12(12+=+=-k k r r （1） λ)211(212++=-+k r x r （2） νλc x ==2，Hz x c 212508.023402=⨯==ν。
3波的能量与能流、声压与声强
例：一球面波源的功率为 100W，则距波源 10m 处， ， 是多少？ 波的平均能流密度 I 是多少？
解：
P P I= = 2 S 4πr 100 = 2 4π × 10 1 = （W •m−2 ） 4π
dengyonghe1@
四.声压、声强与声强级 声压、
1.声波的频率范围
声波频率 超声波频率 20 ~ 20000Hz > 20000Hz 次声波频率 < 20Hz
dengyonghe1@163来自com三.能流、能流密度 能流、
1.平均能流 单位时间内垂直通过介质中某一面积的能 量。 在介质中取体积
V体 V体
u
u
S
波速方向垂直于面积S 波速方向垂直于面积 长为 u ，则能流为
P = wV 体 = w uS
单位：焦耳 秒 单位：焦耳/秒，瓦，J•s-1，W
与功率相同
dengyonghe1@
P = wuS
1 2 2 = ρA ω uS 2
2.平均能流密度----波强I 平均能流密度----波强I ----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积 上的平均能量。 上的平均能量。
1 P 2 2 I= = wu = ρA ω u 2 S
单位：J•s−1•m−2 ， W •m−2 单位：
A s2 = A s1
dengyonghe1@
I∝A
2
2 1 2 2
（1）对于平面波： ）对于平面波：
s1 = s2
∴ A1 = A2 ; I1 = I 2
I1 r2 A1 r2 ∴ = ; = I 2 r1 A2 r1 A1 r2 I1 r ∴ = ; = A2 r1 I 2 r
2 2 2 1
波的能量
u S u
1 2 度（波的强度）:通过与波线垂直的单位 面积上的平均能流。
1 2 2 I w u uA 2
单位：W/m2
二、波的衰减
机械波在介质中传播时，其强度和振幅将随传播 距离的增大而减小，这种现象称为波的衰减。
1、衰减原因：
1 x 2 2 2 Ek E p VA sin t 2 u
该体积元的总机械能:
x E Ek E p VA sin t u
2 2 2
介质中单位体积的波动能量:
§5.3 波的能量
一、波的能量和强度
波的传播过程是能量的传播过程。 1、波的能量
x 设有一平面简谐波 y A cos t u 在任意 x 处取体积元 Δ V ，
体积元质量为
Δm
m V
V
可以证明，在时刻 t ，该体积元的动能和势能为
① 扩散衰减； ② 散射衰减； ③ 介质对波的吸收。 2、吸收衰减的规律
设平面波沿 x 轴正方向传播。
dx
u
通过 dx 薄层时，其强度 衰减了 dI ，实验表明
I0
I I dI
x
dI Idx
o
x
— 介质的吸收系数，与介质的性质和波的频率有关。
解这一微分方程，并利用边界条件： x=0, I=I0 得
I I 0e
∵ ∴ I ∝ A2
x
A A0 e
x 2
E x 2 2 2 w A sin t V u
能量密度在一个周期内的平均值:
1 T 2 x 1 ∵ 0 sin t u dt 2 T
机械波(程)
F ky
由胡克定律：
k
F ky
x
协强
S k x Y y S x 扬氏模量
协变
f
YS k x
弹性势能：
1 1 y 2 W p k y YV 2 2 x Wk
利用了： u
2
Y
二 能流密度 波的强度
u
ds
udt
能流密度：单位时间通过垂直波线单位 截面积的能量。
y
x
2 y l 2 y 0 2 2 x F t
u
F
lபைடு நூலகம்
§16-3 波的能量 波的强度
一简谐波的能量密度 弹性棒(截面积 为S)传播纵波:
x
y
y y
y A cos(t kx)
长度为△x的介 质元振动速度为:
y v A sin(t kx ) t
波的叠加-1
波的叠加
二 波的干涉
两个点波源①频率相同②振动方向相同③位 相差恒定。
s1 s2
P 点：
r1 r2
p
y10 A10 cos(t 1 ) y20 A20 cos(t 2 )
y1 A1 cos( t 1 kr1 ) y2 A2 cos( t 2 kr2 )
加强条件； 2k
1 2
r2 r1 k
(2k 1)
2
削弱条件； (2k 1)
k 0,1,2,
例1. 已知两点波源s1和s2相距3λ 4，振幅相等且 s1位相超前 s2 π 2.求两波源连线外侧合成波 的强度. p s1 s2 x
f (t0 t x ) t0+△t时刻波形 u
普通物理目录(程守洙第五版)
大学普通物理（第五版）目录（程守洙）第一篇力学第一章质点的运动§1.1质点参考系运动方程§1.2位移速度加速度§1.3圆周运动及其描述§1.4曲线运动方程的矢量形式§1.5运动描述的相对性伽利略坐标变换第二章牛顿运动定律第二章牛顿运动定律§2.1牛顿第一定律和第三定律§2.2常见力和基本力§2.3牛顿第二定律及其微分形式§2.4牛顿运动定律应用举例§2.5牛顿第二定律积分形式之一：动量定理§2.6牛顿第二定律积分形式之二：动能定理§2.7非惯性系惯性力阅读材料A 混沌和自组织现象第三章运动的守恒定律第三章运动的守恒定律§3.1保守力成对力作功势能§3.2功能原理§3.3机械能守恒定律能量守恒定律§3.4质心质心运动定理动量守恒定律火箭飞行§3.5碰撞§3.6质点的角动量和角动量守恒定律§3.7质点在有心力场中的运动§3.8对称性和守恒定律阅读材料B 宇宙的膨胀第四章刚体的转动第四章刚体的运动§4.1刚体的平动、转动和定轴转动§4.2刚体的角动量转动动能转动惯量§4.3 力矩刚体定轴转动定律§4.4定轴转动的动能定理§4.5刚体的自由度刚体的平面平行运动§4.6定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律§4.7进动第五章相对论基础第五章相对论基础§5.1伽利略相对性原理经典力学的时空观§5.2狭义相对论基本原理洛伦兹坐标变换式§5.3相对论速度变换公式§5.4狭义相对论时空观§5.5狭义相对论动力学基础§5.6广义相对论简介阅读材料C 超新星爆发和光速不变性第六章气体动理论第二篇热学第六章气体动理论§6.1 状态过程理想气体§6.2分子热运动和统计规律§6.3气体动理论的压强公式§6.4理想气体的温度公式§6.5能量均分定理理想气体的内能§6.6麦克斯韦速率分布律§6.7玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度的分布§6.8分子的平均碰撞次数及平均自由程§6.9气体内的迁移现象§6.10真实气体范德瓦耳斯方程§6.11物态和相变阅读材料D 非常温和非常压第七章热力学基础第七章热学基础§7.1热力学第一定律§7.2热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用§7.3绝热过程多方过程§7.4焦耳－汤姆孙实验真实气体的内能§7.5循环过程卡诺循环§7.6热力学第二定律§7.7可逆过程与不可逆过程卡诺定理§7.8熵§7.9熵增加原理热力学第二定律的统计意义阅读材料E 熵与能源第三篇电场和磁场第八章真空中的静电场§8-1 电荷库仑定律§8-2 电场电场强度§8-3 高斯定理§8-4 静电场的环路定理电势§8-5 等势面电场强度与电势梯度的关系§8-6 带电粒子在静电场中的运动阅读材料F电子的发现和电子电荷量的测定第九章导体和电介质中的静电场§9-1 静电场中的导体§9-2 空腔导体内外的静电场§9-3 电容器的电容§9-4 电介质及其极化§9-5 电介质中的静电场§9-6 有电介质时的高斯定理电位移§9-7 电场的边值关系§9-8 电荷间的相互作用能静电场的能量§9-9 铁电体压电体永电体阅读材料G静电现象的应用第十章恒定电流和恒定电场§10-1 电流密度电流连续性方程§10-2 恒定电流和恒定电场电动势§10-3 欧姆定律焦耳一楞次定律§10-4 一段含源电路的欧姆定律。
横波和纵波横波质元的振动方向与波动的传播方向垂直纵波
§16-2 平面简谐波 波动方程
简谐波：谐振动在弹性媒质中的 传播所构成的波
----波源和媒质中各质元 作同频率的谐振动
波动方程：描述波动沿波线传 播的解析表达式
一.平面简谐波的波动方程
设波源在原点O作谐振动
y 0 (t) A c ot s y
u
P
Ox
x
原点的振动状态传输到
x 处的 P点需时间 x / u
r1 P r2
y 1 A 1 co t s 2r 1 ( 1 )S 2 y 2 A 2 co t 2 sr 2 (2 )
P点的合振动为
yy1y2Acost ()
其中
A A 1 2A 2 22A 1A 2co 2 s1 (2r2 r1)
tgA A11cso in s1 1(( 2 2rr1 1)) A A2 2csion s22(( 22rr22))
y B 2 2c co2 o 2s(t(t s0 .0 [1 5 )) 0 ] 100
以B点y为坐2标c原o点2s的(t[波动x)方程为 ]
vB
d yB dt
4su in21 (t00)
100
vB
4
max
§16-3 波的能量 波的强度
媒质质点振动 波传播
媒质弹性形变
一.波的能量
动能
势能
9 23
x=9m时，其振动方程
y(t)610 2cost ()m
96
yt(=x 3)s时，6 波1 形 方2 0c 程 o2 s (x)m
波峰处有 cos2(3 x)118
3 18
2 x2k
3 18
得 x (1 2 3k )6k 0 , 1 , 2
----各波峰的位置坐标
波的能量与强度
波的能量与强度波是一种在空间中传播的物理现象，具有一定的能量和强度。
波的能量与强度是我们研究波动现象的重要指标，它们在多个学科领域中具有广泛的应用。
本文将探讨波的能量与强度的概念、计算方法以及相关的实际应用。
一、波的能量波的能量是指波传播过程中所携带的能量。
根据波的性质和媒介不同，波的能量可以有不同的形式，例如：机械波的能量主要由波动介质的运动能量组成，电磁波的能量则是由电场和磁场的能量共同构成。
波的能量与波的振幅密切相关。
以机械波为例，机械波的传播需要介质的参与，介质中的微观粒子以一定频率和振幅进行振动，从而传递能量。
波的振幅越大，介质微观粒子的振动范围越大，所携带的能量也越大。
波的能量与波速和波长有关。
波的速度指的是波的传播速度，而波长则是波的周期性重复的最短距离。
波的能量与波速和波长正相关，即波速越大、波长越小，波的能量也越大。
二、波的强度波的强度是指波通过单位面积传播或到达某一点的能量。
强度反映了波的能流密度，即单位时间内通过单位面积的能量。
波的强度与波的能量和传播面积有关。
对于机械波，强度与波的能量和波的传播面积呈正比。
以电磁波为例，波的强度与波的能量和电磁波的传播面积呈正比，而与传播距离无关。
三、波的能量和强度的计算波的能量和强度的计算可以根据波动方程和相关参数进行推导。
对于机械波，能量密度（单位体积的能量）可以表示为能量与体积的比值。
波的强度可以表示为能量密度与波速的乘积。
具体计算公式如下：能量密度= (1/2) * ρ * v^2 * A^2其中，ρ是介质的密度，v是波速，A是波的振幅。
波的强度 I = 能量密度 * v对于电磁波，能量密度可以表示为能量与电磁波的传播体积的比值。
波的强度可以表示为能量密度与光速的乘积。
具体计算公式如下：能量密度= (1/2) * ε₀ * E^2波的强度 I = 能量密度 * c其中，ε₀是真空中的电介质常数，E是电场的振幅，c是光速。
四、波的能量与强度的应用1. 医学领域中的超声波技术利用声波的能量和强度，可以检测和治疗疾病。
波强度公式
波强度公式波强度公式是描述波的能量大小的公式，也称为波的强度公式。
这个公式在物理学和工程领域非常重要，因为它可以帮助我们测量波的强度，了解波的能量如何传输和转换。
本文将详细介绍波强度公式的定义、计算方法、实际应用和相关领域的研究。
一、波强度公式的定义在物理学中，波强度是一个量化波传播的能量的物理量。
它是描述波能量的流动方向的矢量场，可以用来衡量波的传播能力。
如果一个波的能量密度在一个单位时间内从波源传输到一个特定区域，波强度就表示该区域单位面积的能量流量。
也就是说，波强度公式是波的能量流速的量化计算。
二、波强度公式的计算在物理学和工程领域中，波强度通常用以下公式来计算：I = P / A其中，I表示波的强度，P表示波的功率，A是波的面积。
这个公式表示了波能传递的强度与波源的功率和传播面积之间的关系。
功率是指单位时间内传递的能量，因此波强度是波能量在单位时间内传递的速度以及传递地区的大小的比率。
因此，当我们知道波的功率以及传递区域的大小时，就可以用上述公式计算波的强度。
这样的计算可以帮助了解波能量如何转移和分布，进而更好地决定如何使用波的能量。
三、波强度公式的应用波强度公式在物理学和工程领域中具有广泛的应用。
它可以帮助我们测量和分析不同类型的波的能量，比如声波，电磁波等。
以下是其具体应用：1.声波系统在声学领域中，波强度公式可以计算声波传输的方向和波源的实际功率。
这可以帮助设计和调整声学系统，如扬声器、放大器等。
2.电磁波系统在电磁学中，波强度公式可以计算电磁波的能量传输速度和波源的实际功率。
这可以帮助设计和优化电磁波的传输系统，如卫星通信、无线电通信等。
3.光学系统在光学领域中，波强度公式可用于计算电磁波的光强度和波源的实际功率，这对于设计光学仪器和系统，如光学仪器、光纤等，具有重要的意义。
4.机械波系统在物理学中，波强度公式可用于测量机械波的能量传递方向和波源的实际功率。
这对于机械波仿真、与机电设备的交互，就有重要的意义。
横波和纵波横波质元的振动方向与波动的传播方向垂直纵波
----平面波波动方程的微分形式
上式反映一切平面波的共同特 征
服从该式的任何物理量或系 统，一定是以u速度沿x方向 传播的平面波
波线上任一点的振动速度v是 t 的函数。而波的传播速度u(即相 速)，与 t 无关
[例1]由麦克斯韦方程组说明真空 中电磁波为平面波。
解：在真空中有
D
E
0
B
BH0D
y 2cos[2 (t x ) ]
B Ax
10
令x=-0.05m，得到B点的振动方程
yB
2cos[2 (t 2 cos(2t
0.05
10) ] )
100
以B点y为坐2标co原s[点2的(t波动x )方程为 ]
vB
d yB dt
4
u sin(
100
2t
100
)
vB max 4
§16-3 波的能量 波的强度
3 18
得 x (12 36k) k 0,1,2
----各波峰的位置坐标
[例3]下图为一平面余弦横波 t=0时的波 形，此波形以u=0.08米/秒的速度沿x轴 正向传播。求： a,b两点的振动方向；
0点的振动方程； 波动方程
解： 由波形传播过程 a向下, b向上
知y m
0.2 a b
u
0.4
2 9 2 y( x, t) 6102 cos[ (t x ) ] m
9 23
x=9m时，其振动方程
y(t) 6102 cos( t ) m
96
t =3s时，波形方程
y( x) 6102 cos(2 x) m
波峰处有
cos( 2
3 x)
18 1
3 18
课件：波的能量(大学物理)
介质质元从最大位移位置向平衡位置运动时，从后方 吸纳能量，动能和势能都逐渐增大，到达平衡位置时，动 能和势能均最大，所具有的能量也最大。
介质质元从平衡位置向最大位移处运动时，动能和势 能都逐渐减小，向前方输送能量，达到最大位移处时，动 能和势能都等于零，介质质元所具有的能量也最小。
如此不断循环，能量将随着波的传播而向前流动。
物理波的能量
=
3
cos
4πt
(2)以距a点5m处的b点为坐标原 点写出波动方程。
b.
u .a 5m
x
解：(1)以a点为原点在x轴上任取一点P，坐标为x
ya = 3 cos 4πt y =3 cos 4πt +
x
20
(2)以b点为坐标原点
wk
wp
2 A2
sin
2 [ (t
x )] u
平均能量密度（对时间平均)
w 1 T A2 2 sin 2[(t x)]dt
T0
u
w
=
1 2
ρAω2
2
三、波的强度
能流P :单位时间内垂直通过某一截面的 P = w S u 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值
(t+
d u
)
π
2
]
y
=
A cos[ω
(
t
+
d u
x u
)
π
2
]
例6、波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。
{ 写出波动方程。
t= 0 (o点)
得：
y 0
=
2
=
A
2
v0
＞0 0=
π
3
2
o
y(m)
4 5
p
u
x (m)
{ t =0
(p点)
2π
=
y 0
=
0
v0＜ 0
p
0
d
λ
得：
平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。 P = S w u 波的强度 I（能流密度）:
大学物理3.4 平面简谐波 波的能量和强度
体 变 V
p
第8章 机械振动
V p K V
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
可以证明声波在空气中的速度
u
证：
p
RT
= Cp/Cv , 摩尔质量
由于声振动的频率较高(20~20000Hz)，可 以将空气的疏密过程看成绝热过程，把空气当 作理想气体。
pV = C
例 一平面简谐波以400m/s的波速在均匀介质中沿一直线 从A点向B点方向传播。已知直线上质点A的振动周期为 0.01s，振幅A=0.01m。设以质点A的振动经过平衡位置向 正方向运动时作为计时起点，求 （1）以距A点2m处的B点为坐标原点写出波动式；（2） B点和距A点1m的C点间的振动相位差。
y 0 解 （1）由 y A0 0, vA0 π t 可得 A0 2 A点的振动表达式为 2π π y A A cos( t + A0 ) 0.01cos(200πt )m T 2
A
x B
2 y x 1 + x
线元Δx的形变势能近似等于在形 变过程中（弦静止）张力F做的功：
F
F
1 2 2 2 y 1 y E p F x 1 + x F x x 2 x
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
讨论
(1)当 x 给定时：若x=x1, 波动式成为x1 处质元的振动式.
初相：
结论：随着x值的增大，即在传播方向上，各质点的 位相依次落后。这是波动的一个基本特征。
第8章 机械振动
3.4 平面简谐波
波的能量和强度
波的能量和强度
波的能量和强度在水中投入石子，形成了同心圆状的涟漪，说明机械波的波动过程是能量、振动状态、波形传播的过程。
这节课我们来讨论波的能量和强度。
抖动一根弹性绳子，就观察到了一列绳波，假设无衰减，振动状态以波速u在密度为ρ的弹性介质中传播。
我们可以把一根静止的弹性绳子看作由很多个体积相等的质元组成，没有波动传播时，每个体积元都是一个长方体，设每个体积元dv，它们的质量是dm，质量dm等于密度ρ与体积元之积，它的波形上取任意坐标x处取体积元，根据振动方程，可求出振动速度的表达式，带入动能E K表达式得到下面的公式。
在波动过程中，每个体积元都有一定的振动速度，因而具有振动动能。
同时由于体积元产生形变，它们还具有弹性势能。
可以证明：且弹性势能E p与相对形变的平方成正比。
在波形图中，平衡位置b、d处相对变形最大，势能也最大，在波峰a 及波谷c处相对变形最小，势能也最小，这与动能具有相同的变化规律。
理论推导证明，某一体积元的弹性势能表达式与动能完全一样。
体积元的总机械能为动能和势能之和，用下式表示，因为正弦函数最大取值为1，总机械能幅值为密度ρ，体积dv,振幅的平方、角频率平方之积。
需要注意：1.波动过程中，体元中的动能与势能“同相”——同时达到最大，同时达到最小。
体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大;体积元的位移最大时，三者均为零。
2.体元中的能量是随时间变化的（非弧立系统）正弦函数的最大值是1，机械能的幅值为ρdV A2ω2，体积元的机械能在零和幅值之间周期性的变化。
质元的能量不守恒，从平衡位置向最大位移移动时，体积元能量从最大变为最小，向后面体积元输出能量；从最大位移向平衡位置移动时，体积元能量从最小变为最大，从前面体积元获得能量。
波动过程是各个体积元不断重复这个过程，因此波动是能量传播的过程。
2、能量密度就是单位体积中的能量，用w表示，用下面的式子计算。
3、平均能量密度一个周期内能量密度的平均值，用w平均表示，因为正弦函数的平方的平均值等于1/2，所以平均能量密度为能量密度幅值的一半.二、波的强度波的传播伴有能量的传播，需要引入能流、波的强度等概念。
波的幅度和能量的关系
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
信号处理：通过调整波的幅度和能 量实现信号的放大、滤波等处理
信号检测：通过检测波的幅度和能 量实现对信号的检测和识别
在环境保护领域的应用
监测环境污染：通 过监测波动幅度， 了解环境污染程度
控制噪音污染：利 用波动幅度和能量 关系，降低噪音污 染
节能减排：通过优 化波动幅度，提高 能源利用效率，减 少排放
论的正确性。
4
波动幅度和能量的 实际应用价值
在能源领域的应用
太阳能：利用 太阳光的波动 幅度产生电能
风能：利用风 力的波动幅度
产生电能
水能：利用水 流的波动幅度
产生电能
地热能：利用 地热资源的波 动幅度产生电
能
在通信领域的应用
信号传输：利用波的幅度和能量进 行信息传输
信号编码：利用波的幅度和能量进 行数字信号的编码和解码
创新应用：未来可能会 出现更多利用波动幅度 和能量的产品，如声波 医疗设备、超声波环保 设备等，这些都可以提 高我们的生活质量。
利用波动幅度和能量的关系改善环境状况
波动幅度和能量的关系：波动幅度越大，能量越大
改善环境状况的方法：利用波动幅度和能量的关系，通过控制波动幅度来改变能量
具体应用：在环保领域，可以通过控制声波、电磁波等波动幅度，降低噪音污染、电 磁辐射等环境问题 展望未来：随着科技的发展，波动幅度和能量的关系将在更多领域得到应用，为人类 创造更加美好的生活环境
小
2
波动幅度与能量在 不同领域的应用
物理学中的波的幅度和能量
光的强度：光的强度与波 的幅度成正比，光的能量 与波的幅度的平方成正比
声波的强度：声波的强度 与波的幅度成正比，声波 的能量与波的幅度的平方
波的能量
w
A2
2
sin2 t
x u
平均能量密度: 能量密度在一个周期内的 平均值.
w 1
T
T 0
A2
2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2
2
3. 能流密度
为了描述波动过程中能量的传播情况， 引入能流密度的概念.
单位时间内通过垂直于波动传播方向上单 位面积的平均能量，叫做波的平均能流密度, 也称之为波的强度.
LI
I lg
I0
贝尔（B）
LI
10 lg I I0
分贝（ dB ）
几种声音近似的声强、声强级和响度
声源
引起痛觉的声音 摇滚音乐会
交通繁忙的街道 通常的谈话 耳语
树叶的沙沙声 引起听觉的最弱声音
声强W/m2
1 10-1 10-5 10-6 10-10 10-11 10-12
声强级dB
120 110 70 60 20 10 0
声强：声波的能流密度. I 1 A2 2u
2
能够引起人们听觉的声强范围：
1012 W m2 ~ 1W m2
声强级：人们规定声强 I0 1012W m2（即相
当于频率为 1000 Hz 的声波能引起听觉的最弱的声
强）为测定声强的标准. 如某声波的声强为 I ， 则比
值 I I0 的对数，叫做相应于 I 的声强级 LI .
超声波可以用来弄碎肾石, 消毒食物，因为高速的 振动会令细菌难以抵抗. 超声波亦可以用来清除眼镜或 饰物的污垢.
3. 超声电子学 利用超声元件代替电子元件制作在 107 ~ 109 Hz 内的延迟线, 振荡器, 谐振器, 带通滤波器等仪器, 可广 泛用于电视、通讯、雷达等方面.
普通物理学考研复习笔记
第八章真空中的静电场§8-1 电荷库仑定律真空中的介电常数§8-2 电场电场强度(分立)(连续)大前提：对点电荷而言↑(提问：为什么试探电荷要求q足够小呢？答：因为q会影响到源电荷的分布，从而影响到的大小)附：1.电偶极子(其中为电偶极矩，为电偶极子的臂(负→正))(考察点p在电偶极子的臂的延长线上)2. 均匀带电圆环在轴线上的场强(其中a为半径，b为距圆心的距离)§8-3 高斯定理对于高斯定理(因为局部电荷有正有负，局部电通量也有正有负)§8-4 静电场的环路定理电势(分立)(连续)附：电偶极子(普适式)补充：电偶极子(普适式)环路定理：§8-5 等势面电场强度与电势梯度的关系(“—”表示方向指向电势降落的方向)§8-6 带电粒子在静电场中的运动(即导体表面单位面积所受到的力在数值上与导体表面处电场的能量密度相等，力的方向与导体带电的符号无关，总是在外法线方向，是一种张力)电偶极子受到的力偶矩(在不均匀电场中也可近似套用)电偶极子在外电场中的势能(注意：是有一个负号的)相关记忆：个电偶极子的相互作用能第九章导体和电介质中的静电场§9-1 静电场中的导体导体表面的场强(注意：不是(无限大平面的场强))孤立带电导体电荷分布特点是静电平衡条件的三个表述：§9-2 空腔导体内外的静电场静电屏蔽的实质：导体外(内)表面上的感应电荷抵消了外(内)部带电体在腔内(外)空间激发的电场。
§9-3 电容器的电容孤立导体球的电容常见形状电容：平行板电容器球形电容器(当＞＞时，变为孤立导体；当、都很大，d=-很小时，变为平行板电容器)圆柱形电容器§9-4 电介质及其极化无极分子→感应电矩(电子位移极化为主)有极分子→介质的极化(取向极化为主)高频时，都以电子位移极化为主电极化强度(它是反映介质特征的宏观量)各向同性电介质(统计物理和固体物理建立了与的关系)极化电荷→是不是很像高斯定理？(即为电荷面密度)(即为电荷体密度)§9-5 电介质中的静电场(、分别表示自由电荷与极化电荷所激发的场强)绝对介电常数§9-6 有电介质时的高斯定理 电位移电位移(指自由电荷)、、三矢量之间的关系§9-8 电荷间的相互作用能 静电场的能量点电荷间的相互作用能(互能)，又称电势能(其中表示在给定的点电荷系中，除第个点电荷之外的所有其他点电荷在第个点电荷所在处激发的电势)电荷连续分布时的静电能(互能+固有能)静电场的能量( 说明1：真空中与介质中电势能都是将的自由电荷由无穷远处移至该位置所做功，区别在于不同。
电磁波衰减
[吸收系数]absorption coefficient 又称“衰减系数”当电磁波进入岩石中时，由于涡流的热能损耗，将使电磁波的强度随进入距离的增加而衰减，这种现象又称为岩石对电磁波的吸收作用。
吸收或衰减系数β的大小和电磁波角频率ω、岩石导电率σ、岩石导磁率μ、岩石介电系数ε有关，1)1(2222-+=δωσμεωβ。
在导体中则简化为：2ωμσβ=。
第十六章机械波和电磁波振动状态的传播就是波动,简称波.激发波动的振动系统称为波源16-1机械波的产生和传播1. 机械波产生的条件(1)要有作机械振动的物体,亦即波源.(2)要有能够传播这种振动的介质波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。
波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。
◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互垂直,这种波称为横波.◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互平行,这种波称为纵波.2.波阵面和波射线● 在波动过程中,振动相位相同的点连成的面称为波阵面（wave surface）● 波面中最前面的那个波面称为波前（wave front）● 波的传播方向称为波线（wave line）或波射线波面波线平面波球面波3. 波的传播速度由媒质的性质决定与波源情况无关● 液体和气体中纵波传播速度B－介质体变弹性模量ρ－介质密度●在固体中G－介质切变模量Y－介质杨氏模量4.波长和频率● 一个完整波的长度,称为波长.● 波传过一个波长的时间,叫作波的周期● 周期的倒数称为频率.振动曲线波形曲线图形研究对象某质点位移随时间变化规律某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律物理意义由振动曲线可知周期T. 振幅A 初相φ0某时刻方向参看下一时刻由波形曲线可知该时刻各质点位移,波长λ，振幅 A只有 t=0 时刻波形才能提供初相某质点方向参看前一质点特征对确定质点曲线形状一定曲线形状随 t 向前平移16-2 平面简谐波波动方程● 前进中的波动,称为行波.● 描述介质中各质点的位移随时间变化的数学函数式称为行波的波动表式(或波动方程)设坐标原点的振动为：O 点运动传到 p 点需用时相位落后所以 p点的运动方程：1.平面简谐波的波动表式定义 k 为角波数又因此下述表达式等价：为波的相位● 波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”，所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
波的强度概念
波的强度概念波的强度是描述波传输能量的量度，表示波的能量传递速率。
在物理学中，波可以是机械波（如声波、水波等）或电磁波（如光波、无线电波等）。
波的强度与波的振幅和频率有关，我将在以下几个方面详细探讨波的强度的概念。
首先，波的强度与波的振幅有关。
振幅是波的最大位移，即波峰与波谷之间的距离。
在机械波中，振幅表示介质的最大变形程度；在电磁波中，振幅则表示电场或磁场的最大变化幅度。
波的强度正比于振幅的平方，也就是说，如果振幅增加，波的强度也会增加。
其次，波的强度还与波的频率有关。
频率是指在单位时间内波的周期数，即波的振动次数。
波的强度与频率呈正比关系，即频率越高，波的强度也越大。
这是因为频率的增加意味着波峰和波谷之间的距离减小，波的振动更加频繁，能量传递速率也增加。
此外，波的强度还与波的波长有关。
波长是指在一个周期内波传播的距离，即波峰到波峰之间的距离或波谷到波谷之间的距离。
波的强度与波长呈反比关系，也就是说，波长越短，波的强度越大。
这是因为波长的减小意味着波的周期减小，波的振动更加频繁，能量传递速率增加。
此外，波的强度还与波的传播介质有关。
不同的介质对波的传播具有不同的特性，如空气中的声波传播速度比水中的声波传播速度更快。
波的介质对波的传播速度和能量传递速率都有影响，不同的介质中波的强度可能会有所不同。
最后，波的强度还与波的幅度的平方成正比。
波的振幅是描述波的能量大小的物理量，波的强度正比于振幅的平方。
这是因为波的传输能量与振幅的平方成正比，即波的强度与振幅的平方成正比。
总结起来，波的强度是描述波传输能量的量度，与波的振幅、频率、波长和传播介质有关。
波的强度与振幅的平方成正比，与频率和波长呈正反比关系，受到介质对波传播的影响。
波的强度是理解波的能量传递和行为的重要概念，对于研究波动现象和应用于实际生活中的波动现象具有重要意义。
波强度公式
波强度公式
波强度公式是描述波的能量传递的一种数学公式。
它可以用来计算波的能量密度和传播速度，是研究波动现象的重要工具。
波强度公式的基本形式为I=P/A，其中I表示波的强度，P表示波的功率，A表示波的传播面积。
这个公式告诉我们，波的强度与波的功率成正比，与波的传播面积成反比。
也就是说，波的强度越大，波的功率越大，波的传播面积越小。
波的强度是一个重要的物理量，它可以用来描述波的能量传递的强弱。
在实际应用中，我们经常需要计算波的强度，以便更好地理解和控制波动现象。
例如，在声学领域中，我们可以用波强度公式来计算声波的强度，以便更好地研究声音的传播和噪声控制。
波强度公式还可以用来研究波的传播速度。
根据波强度公式，波的传播速度与波的强度成正比，与波的传播面积成反比。
因此，如果我们知道波的强度和传播面积，就可以计算出波的传播速度。
这对于研究波的传播特性和优化波的传播效率非常重要。
波强度公式是研究波动现象的重要工具，它可以用来计算波的能量密度和传播速度，描述波的强度和传播特性。
在实际应用中，我们可以利用波强度公式来更好地理解和控制波动现象，为科学研究和工程应用提供有力支持。
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{
1 1 2 2 2 2 2αx I = uρA ω = uρA ω e 0 2 2 1 I0 = uρA2ω2 0 2
2αx
I = I0e
式中的I 分别为x=0 和x=x 处的波的强度。 处的波的强度。 式中的 0 和I 分别为
x u u
最后得： 最后得：
1 2 ω2 2 x W p = pu (V ) A2 2 sin ω t 2 u u 1 t x 2 2 2 = ρ ( V ) A ω sin ω 2 u
若考虑平面余弦弹性横波, 若考虑平面余弦弹性横波,只要把上述计算中的 y x 分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量G 和 f 分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量 代替 杨氏模量Y，可得到同样的结果。 杨氏模量 ，可得到同样的结果。
y
y + y
x
O
a'
b'
x
位于x 处的体积元ab 位于 处的体积元 的动能为
1 1 2 Wk = ( m)v = ρ ( V )v 2 2 2
波动能量的推导
y t x = Aω sin ω 体积元ab 体积元 的振速 v = t u 1 t x 2 2 2 Wk = ρ (V ) A ω sin ω 2 u y 体积元ab 体积元 的胁变 x
r u
S1
An
S2
A
A+ d A
O
x
x +d x
X
若波不被介质吸收，对于平面简谐波，S1 和S2 处振 若波不被介质吸收，对于平面简谐波， 幅相同。若介质吸收机械波的能量， 幅相同。若介质吸收机械波的能量，则波线上不同点处 振幅是不相同的。上图的dA 。 振幅是不相同的。上图的 < 0。
波的吸收
d A = αAd x, α ---介质的吸收系数。 介质的吸收系数。 介质的吸收系数
波的吸收
例题16-6 空气中声波的吸收系数为 α 1=2×10-11v2m-1 ， 钢 例题 × 式中v 代表声波频率的数值。 × 中的吸收系数为α2=4×10-7vm-1，式中 代表声波频率的数值。 的超声波透过多少厚度的空气或钢后， 问5MHz的超声波透过多少厚度的空气或钢后， 其声强减为 的超声波透过多少厚度的空气或钢后 原来的1%？ 原来的 ？
2 2 2
体积元的总机械能W 体积元的总机械能
波的能量密度 w：介质中单位体积的波动能量。 波的能量密度 介质中单位体积的波动能量。
W t x 2 2 2 w= = ρA ω sin ω V u
通常取能量密度在一个周期内的平均值
w = ρA2ω 2 2
w
2. 波动能量的推导
a
b
O
x x + x
3. 波的强度
在介质中垂直于波速方向取一面积S 能流 在介质中垂直于波速方向取一面积 ，在单位时 间内通过S 的能量。 间内通过 的能量。
dW wSu dt P= = = wSu dt dt 2 2 2 = uSρA ω sin ω(t x u)
r u
平均能流密度或 平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流， 来表示， 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
A 1 A2
S
S
r u
1 2 2 1 2 2 P = wuS = ρA ω uS P = w2uS = ρA2ω uS 1 1 1 2 2 2 若 P = P ，有 A = A 。 1 2 1 2
波的强度
对于球面波， 对于球面波， 1 = 4πr2 S2 = 4πr22，介质不吸收能量 S 1， 时，通过两个球面的总能流相等
§16-3 波的能量 波的强度 16弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 弹性波传播到介质中的某处， 在波的传播过程中，能量从波源向外传播。 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为 其质量为m(m=ρV )。 考虑棒中的体积 其质量为 当波动传播到该体积元时，将具有动能W 当波动传播到该体积元时 ， 将具有动能 k和弹性势 能Wp。
I = ρuA2ω 2 2，所以 解 因
A= 1
ω
2I 1 2 × 120 × 107 = m 3 3 5 pu 2π × 5 × 10 1 × 10 × 1.5 × 10
= 1.27 × 10 5 m
可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。 可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。
4.波的吸收 4.波的吸收
钢的厚度为
1 x2 = ln 100 m = 1.15 m 4
可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。 可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。
解 据题意，空气和钢的吸收系数分别为 据题意，
α1=2×10-11×(5×106)2m-1=500m-1 α2=4×10-7×(5×106)2m-1=2m-1
或下式， 把α1、α2 分别代入 I=I0e-2α x 或下式，
x = (1 2α )1n( I 0 I )
波的吸收
据题意有 I 0 I = 100 ， 得空气的厚度
据杨氏模量定义和胡克定律, 据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为
体积元弹性势能 2 1 1 YS 1 y 2 2 W p = k (y ) = (y ) = YS x 2 2 X 2 x
y f = YS = k y x
波动能量的推导
由V=Sx,u = ,
Y ρ ，结合波动表达式 y ω t x = A sin ω
1 x1 = 1 n 100 m = 0.0046 m 1000
钢的厚度为
1 x2 = ln 100 m = 1.15 m 4
可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。 可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。
波的吸收
据题意有 I 0 I = 100 ， 得空气的厚度
1 x1 = 1 n 100 m = 0.0046 m 1000
1 2 2 1 2 2 2 2 ρA ω u4πr = ρA2ω u4πr2 1 1 2 2 A A2 = r2 r 1 1
球面波表达式： 球面波表达式：
a ξ = cosω (t r u) r
式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。 式中 为波在离原点单位距离处振幅的数值。
波的强度
例题16-5 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度 用聚焦超声波的方式， 例题 的大振幅超声波。设波源作简谐振动， 达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为 500kHz，液体的密度为1g/cm3，声速为1500m/s，求这时液体 ，液体的密度为 声速为 ， 质点振动的振幅。 质点振动的振幅。
1 平均能流： 平均能流： P = wSu = uSρA2ω2 2
2 2 2
u
I = wu = ρuω A 2 = zω A 2
2
波的强度
介质的特性阻抗 z = ρu 。 I 的单位：瓦特 米2 (W.m-2) 的单位：瓦特/米 平面余弦行波振幅不变的意义: 平面余弦行波振幅不变的意义:
y = Acosω (t x u)
t x 平面简谐波 y ( x, t ) = A cos ω u
可以证明
1 2 2 t x 2 Wk = W p = ρA ω (V ) sin ω 2 u
波的能量
t x W = Wk + W p = ρA ω ( V ) sin ω u 对单个谐振子 Wk ≠ W p 在波的传播过程中， 在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和 放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比， 放出能量 ， 其值是时间的函数 。 与振动情形相比 ， 波 动传播能量，振动系统并不传播能量。 动传播能量，振动系统并不传播能量。