2011年中考数学真题分类汇编：直线与圆的位置关系

2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第33章直线与圆的位置关系一、选择题1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现A．3次B．5次C．6次D．7次【答案】B2. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A.13B.5C. 3D.2【答案】B3. （2011浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( )A．3 B．4 C．2 D．【答案】C4. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A ．点(0，3)B ．点(2，3)C ．点(5，1)D ．点(6，1)【答案】C5. （2011浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A ．点（0，3）B ．点（2，3）C ．点（5，1）D ．点(6，1) 【答案】C6. （2011山东日照，11，4分）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为ba ab 的是（ ）【答案】C7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．67.5°【答案】D8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，A第13题图CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是 A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】C9. （2011台湾全区，33）如图(十五)，AB 为圆O 的直径，在圆O 上取异于A 、B 的一点C ，并连接BC 、AC ．若想在AB 上取一点P ，使得P 与直线BC 的距离等于AP 长，判断下列四个作法何者正确？A ．作AC 的中垂线，交AB 于P 点 B ．作∠ACB 的角平分线，交AB 于P 点C ．作∠ABC 的角平分线，交AC 于D 点，过D 作直线BC 的并行线，交AB 于P 点 D ．过A 作圆O 的切线，交直线BC 于D 点，作∠ADC 的角平分线，交AB 于P 点 【答案】Ｄ10．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O 的面积为29cm π，若点0到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是C(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定 【答案】CABDOC12. (2011重庆綦江，7，4分) 如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P ＝60°，OA ＝3，那么∠AOB 所对弧的长度为（ ）A ．6лB ．5лC ．3лD ．2л【答案】：D13. （2011湖北黄冈，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）[来源:学,科,网Z,X,X,K] A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°【答案】D14. （2011山东东营，12，3分）如图，直线3y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O 。

若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 5【答案】B15. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（ ）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离A第13题图【答案】C16. （2011山东枣庄，7，3分）如图，P A 是O ⊙的切线，切点为A ，PA,∠APO =30°，）A .1BC .2D .4【答案】C 二、填空题1. （2011广东东莞，9，4分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点，连结BC.若∠A ＝40°，则∠C ＝ °[来源:]【答案】0252. （2011四川南充市，13，3分）如图，PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点， AC 是⊙O 的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度.【答案】503. （2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得B C 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .A【答案】当08a <≤时，r a =；当22118 4.08,;41616a r a r r a r a >=+<≤==+时，或当当.4. (2011浙江绍兴，16，5分) 如图，相距2cm 的两个点,A B 在在线l 上，它们分别以2 cm/s 和1 cm/s 的速度在l 上同时向右平移，当点,A B 分别平移到点11,A B 的位置时，半径为1 cm 的1A 与半径为1B B 的B 相切，则点A 平移到点1A 的所用时间为 s.lA【答案】33或5. （2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.【答案】16. （2011江苏宿迁,17,3分）如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC ．若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为 ▲．【答案】327. （2011山东济宁，13，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是．【答案】相交8. （2011广东汕头，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝°【答案】0259. （2011山东威海，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为cm.（精确到0.1cm）图①（第17题）图②[来源:学+科+网Z+X+X+K]【答案】24.510．（2011四川宜宾,11,3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．（第11题图）C第13题【答案】20°11. （2010湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ，大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ，且AB ∥CD ，AB=4，设 CD 、 CE 的长分别为x 、y ，线 段ED 的长为z ，则z （x+y ）= .【答案】8π12. （2011广东省，9，4分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点，连结BC.若∠A ＝40°，则∠C ＝ °[来源:学*科*网]【答案】025 三、解答题1. （2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ，且AD =3，cos ∠BCD= . （1）求证：CD ∥BF ； （2）求⊙O 的半径； （3）求弦CD 的长.的切线 ∴AB ⊥BFAB 是直径 ∴∠ADB =90° ∠BAD cos ∠BCD =43AC B∴cos ∠BAD =43=ABAD又∵AD =3 ∴AB =4 ∴⊙O 的半径为2（3）∵cos ∠DAE =43=ADAE AD =3∴AE =49∴ED =47349322=⎪⎭⎫⎝⎛-∴CD =2ED =3722. （2011浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．【答案】（1）∵BC 是直径，∴∠BDC =90°，∴∠ABC +∠DCB=90°，∵∠ACD =∠ABC ， ∴∠ACD +∠DCB=90°，∴BC ⊥CA ，∴CA 是圆的切线． (2)在Rt △AEC 中，tan ∠AEC=53，∴53A C E C =,35E C A C =;在Rt △ABC 中，tan ∠ABC=23，∴23A CB C=,32B C A C =; ∵BC -EC=BE ，BE =6，∴33625AC AC -=,解得AC =203,A（第22题）BC∴BC=3201023⨯=．即圆的直径为10.3. （2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作C D P A ⊥，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.【答案】（1）证明：连接OC ， ……………………………………1分 因为点C 在⊙O 上，OA =OC ，所以.O C A O AC ∠=∠ 因为C D P A ⊥，所以90CDA ∠= ，有90CAD DCA ∠+∠= .因为AC 平分∠PAE ，所以.D A C C A O ∠=∠……………3分 所以90.DCO DCA ACO DCA CAO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠= ……4分 又因为点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，所以CD 为⊙O 的切线. ………………5分 （2）解:过O 作O F AB ⊥，垂足为F ，所以90OCD CDA OFD ∠=∠=∠= ， 所以四边形OC DF 为矩形，所以,.OC FD OF CD == ……………………………7分 因为DC +DA =6，设A D x =,则6.O F C D x ==-因为⊙O 的直径为10，所以5D F O C ==，所以5A F x =-. 在R t AO F △中，由勾股定理知222.AF OF OA +=即()()225625.x x -+-=化简得211180x x -+=，解得2x =或x=9. ………………9分 由AD D F <，知05x <<，故2x =. ………10分 从而AD =2，52 3.A F =-= …………………11分因为O F AB ⊥，由垂径定理知F 为AB 的中点，所以2 6.A B A F ==…………12分4. （2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM 切⊙O 于点M ,直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，弦AC ∥PM , 连接OM 、BC . 求证：（1）△ABC ∽△POM ;(2)2OA 2=OP ·BC .【答案】证明：（1）∵直线PM 切⊙O 于点M ，∴∠PMO=90°………………1分∵弦AB 是直径，∴∠ACB=90°………………2分∴∠ACB=∠PMO ………………3分∵AC ∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分∴△ABC ∽△POM ………………5分 (2) ∵ △ABC ∽△POM, ∴A B B C P O O M=………………6分又AB=2OA,OA=OM, ∴2O A B C P OO A=………………7分∴2OA 2=OP ·BC ………………8分 5. （2011山东菏泽，18，10分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，(1)求证：△ABE ∽△ADB ；(2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：(1)证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠D ，又∵∠BAE =∠EAB ，∴△ABE ∽△ADB ，(2) ∵△ABE ∽△ADB ，∴AB AE ADAB=，（第22题图）PMO CBA∴AB 2=AD ·AE =(AE ＋ED )·AE =(2＋4)×2=12∴AB =(3) 直线FA 与⊙O 相切，理由如下： 连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，∴BD ==BF =BO =12BD =∵AB =，∴BF =BO =AB ，可证∠OAF =90°，∴直线FA 与⊙O 相切．6. （2011山东日照，21，9分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C为切点，AD ⊥CD 于点D ． 求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；（2）AC 2＝AB ·AD ．【答案】证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°，即∠ACD +∠ACO =90°．…① ∵OC=OA ，∴∠ACO =∠CAO ， ∴∠AOC =180°-2∠ACO ，即21∠AOC +∠ACO =90°. ② 由①，②，得：∠ACD -21∠AOC =0，即∠AOC =2∠ACD ；（2）如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°． 在Rt △ACD 与△Rt ACD 中， ∵∠AOC =2∠B ，∴∠B =∠ACD ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴ACAD ABAC =，即AC 2=AB ·AD ．7. （2011浙江温州，20，8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．已知OA ＝3，AE ＝2， (1)求CD 的长； (2)求BF 的长．【答案】解：(1)连结OC ，在Rt △OCE中，C E ==．∵CD ⊥AB ，∴3CD CE ==(2) ∵BF 是⊙O 的切线， ∴FB ⊥AB ， ∴CE ∥FB ， ∴△ACE ∽△AFB ， ∴C E AE BFAB=，26B F=，∴BF =8. （2011浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．[来源:学_科_网]（第22题）BC【答案】（1）∵BC 是直径，∴∠BDC =90°，∴∠ABC +∠DCB=90°，∵∠ACD =∠ABC ， ∴∠ACD +∠DCB=90°，∴BC ⊥CA ，∴CA 是圆的切线． (2)在Rt △AEC 中，tan ∠AEC=53，∴53A C E C =,35E C A C =;在Rt △ABC 中，tan ∠ABC=23，∴23A CB C=,32B C A C =; ∵BC -EC=BE ，BE =6，∴33625AC AC -=,解得AC =203,∴BC=3201023⨯=．即圆的直径为10.9. （2011广东株洲，22，8分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD=∠C ． （1）求证：OD ⊥AC ； （2）若AE=8，3tan 4A =，求OD 的长．【答案】（1）证明：∵BC 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径 ∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°， 又∵∠AOD=∠C ， ∴∠AOD+∠A=90°， ∴∠ADO=90°， ∴OD ⊥AC.（2）解：∵OD ⊥AE ，O 为圆心， ∴D 为AE 中点 ， ∴1AD =AE=42， 又3tan 4A = ，∴ OD=3.10．（2011山东济宁，20，7分）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF ，（1）求证：OD ∥BE ；（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由．【答案】（1）证明：连接OE ，∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO=∠EDO ，∠DAO=∠DEO =90°， ∴∠AOD=∠EOD=12∠AOE ，∵∠ABE=12∠AOE ，∴∠AOD=∠ABE ，∴OD ∥BE （2）OF =12CD ，理由：连接OC ，∵BC 、CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCB=∠OCE∵AM ∥BN ，∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得∠ADO=∠EDO ， ∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF=12CD ．11. （2011山东聊城，23，8分）如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，点C 是OA 的中第20题B第20题点，CD ⊥OA 交半圆于点D ，点E 是 BD的中点，连接OD 、AE ，过点D 作D P ∥AE 交BA 的延长线于点P ，（1）求∠AOD 的度数；（2）求证：P D 是半圆O 的切线；【答案】（1）∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝21OA ＝21OD ，∵CD ⊥OA ，∴∠OCD ＝90°，在Rt △OCD 中，cos ∠COD ＝21 ODOC ，∴∠COD ＝60°，即∠AOD ＝60°，（2）证明：连接OC ，点E 是BD 弧的中点，DE 弧＝BE 弧，∴∠BOE ＝∠DOE ＝21∠DOB＝21 (180°－∠COD )＝60°，∵OA ＝OE ，∴∠EAO ＝∠AEO ，又∠EAO ＋∠AEO ＝∠EOB＝60°，∴∠EAO ＝30°，∵P D ∥AE ，∴∠P ＝∠EAO ＝30°，由（1）知∠AOD ＝60°，∴∠P DO ＝180°－(∠P ＋∠P OD )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴P D 是圆O 的切线12. （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB 是半圆O 的直径，AB =2.射线AM 、BN 为半圆的切线.在AM 上取一点D ，连接BD 交半圆于点C ，连接AC .过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F .过D 点做半圆的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点Q .（1）求证：△ABC ∽ΔOFB ；（2）当ΔABD 与△BFO 的面积相等时，求BQ 的长；（3）求证：当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点.【解】（1）证明：∵AB 为直径， ∴∠ACB =90°，即AC ⊥BC .又∵OE ⊥BC ，∴OE //AC ，∴∠BAC =∠FOB .∵BN 是半圆的切线，故∠BCA =∠OBF =90°.∴△ACB ∽△OBF .（2）由△ACB ∽△OBF ，得∠OFB =∠DBA ，∠DAB =∠OBF =90°， ∴△ABD ∽△BFO ，当△ABD 与△BFO 的面积相等时，△ABD ≌△BFO . ∴AD =BO=12AB =1.∵DA ⊥AB ，∴DA 为⊙O 的切线. 连接OP ，∵DP 是半圆O 的切线， ∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1， ∴四边形ADPO 为正方形.∴DP//AB ，∴四边形DABQ 为矩形. ∴BQ =AD =1.（3）由（2）知，△ABD ∽△BFO ， ∴B F A B O BA D=，∴2B F A D=.∵DPQ 是半圆O 的切线，∴AD =DP ，QB =QP .过点Q 作AM 的垂线QK ，垂足为K ，在Rt △DQK 中，222D Q Q K D K =+， ∴()()2222AD BQ AD BQ +=-+，∴1B Q A D=，∴BF =2BQ ，∴Q 为BF 的中点.13. （2011四川广安，29，10分）如图8所示．P 是⊙O 外一点．PA 是⊙O 的切线．A 是切点．B 是⊙O 上一点．且PA =PB ，连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线PA 相交于点Q ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）求证： AQ ·PQ = OQ ·BQ ； （3）设∠AOQ =α．若cos α=45．OQ = 15．求AB 的长【答案】（1）证明：如图，连结OP∵PA=PB ，AO=BO ，PO=PO∴△APO ≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB 是⊙O 的切线 （2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90° ∴△QPB ∽∆QOA∴PQ BQ O QAQ = 即AQ ·PQ = OQ ·BQ（3）解：cos α=AO OQ=45∴AO =12[来源:]∵△QPB ∽∆QOA ∠BPQ=∠AOQ=α ∴tan ∠BPQ=B Q P B=34∴PB =36∵12AB ·PO = OB ·BP ∴AB14. （2011江苏淮安，25，10分）如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？(2)连接CD ，若CD=5，求AB 的长._ P_ B图8_ P_ B图8A【答案】(1)答：直线BD 与⊙O 相切.理由如下： 如图，连接OD ，∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°， 即OD ⊥BD， ∴直线BD 与⊙O 相切.(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°， ∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°， 又∵OC=OD ，∴△DOB 是等边三角形， ∴OA=OD=CD=5.又∵∠B=30°，∠ODB=30°， ∴OB=2OD=10.∴AB=OA+OB=5+10=15.[来源:学科网][来源:学。