初中数学与三角形有关的计算和证明专题训练,中考数学与三角形有关的计算和证明经典例题及答案解析

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中考数学相似三角形分类专练证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(解析版)

同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴ 或，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；
∵∠A=∠D，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为，∴D一定成立，
故选D．
【考点知悉】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
17．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 _______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍,
故选B.
【考点知悉】
本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
10．D
【思路点拨】
根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可.
30．如图，，，，，则 ________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝ .设OP＝x，△CPF的面积为y.
∴ ，

全等三角形复习专题

全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。

全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。

如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。

二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。

3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。

4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。

5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。

如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。

四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。

2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。

3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。

4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。

5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。

全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。

动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。

将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。

【精编版】中考数学专题训练——解直角三角形

中考专题训练——解直角三角形1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长．3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．（1）求sin A的值；（2）求EF的长．4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求∠EBD的正弦值；（2）求AD的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠ACB的值．13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．（1）求△ABC面积；（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．参考答案与试题解析1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．【分析】根据已知可得OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC＝2，利用锐角三角函数的定义求出∠OBC＝60°，然后在Rt△BAC中，利用含30度角的直角三角形求出AC＝4，再利用平角定义求出∠1＝30°，从而可得AC∥x轴，即可解答．【解答】解：如图：∵点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），∴OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，BC＝＝＝2，∴cos∠OBC＝＝，∴∠OBC＝60°，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝4，∵∠1＝180°﹣∠OBC﹣∠ABC＝30°，∴∠A＝∠1＝30°，∴AC∥x轴，∴点A的坐标为（4，）．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长．【分析】（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，利用勾股定理可求解AB，BD 的长，通过解直角三角形可求解AM的长，再由勾股定理可求解DM的长，利用解直角三角形可求解；（2）过F作FN⊥BD于N，通过△DCF≌△DNF可得DN＝3，CF＝NF，BN＝2，再由勾股定理可求解CF，DF的长，证明△DCF∽△DGB列比例式可求解．【解答】解：（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∴AB＝，∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝3，∴BD＝，∵∠C＝∠AMD＝90°，∴cos∠A＝，即，解得AM＝，∴DM＝，∴sin∠ABD＝；（2）过F作FN⊥BD于N，∵DG平分∠BDC，∠C＝90°，∴∠CDF＝∠BDF，∠C＝∠DNF＝90°，在△DCF和△DNF中，∴△DCF≌△DNF（AAS），∴DC＝DN＝3，CF＝NF，∴BN＝BD﹣DN＝5﹣3＝2，在Rt△BFN中，BN2+FN2＝BF2，即22+CF2＝（4﹣CF）2，解得CF＝，∴DF＝，∵BG⊥DG，∴∠C＝∠BGD＝90°，∴△DCF∽△DGB，∴，即，解得BG＝．3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．（1）求sin A的值；（2）求EF的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF，再求出∠A的正弦；（2）过点E作EG⊥BD，在直角三角形ABF中先求出∠ABF的正弦，再利用角平分线的性质说明EF与EG、∠ABF与∠FBC的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．【解答】解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝AC＝5．在Rt△ABF中，BF＝＝12．∴sin A＝＝．（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，∴EF＝EG．在Rt△ABF中，∵sin∠ABF＝＝，在Rt△EBG中，∵sin∠EBC＝sin∠ABF＝＝＝，∴13EF＝5×12+5EF．∴8EF＝60．∴EF＝．4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝BD＝BC，从而可得∠B＝∠DAB，进而可得∠ADE＝∠BAD，即可解答；（2）过点E作EF⊥CD垂足为F，设DE与AC交于点G，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝CD＝BC，再利用（1）的结论可得∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，从而可得DG是AC的垂直平分线，进而可得ED＝EC，然后利用等腰三角形的性质可证cos∠ECD＝＝＝，即可解答．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB；（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G，∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，∴DG是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵EA＝ED，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵EF⊥CD，∴CF＝CD，∴∠ECD＝∠B，∵cos B＝，∴cos∠ECD＝，在Rt△EFC中，cos∠ECD＝＝＝，∴CE＝2CD，∴CD＝2AD．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【分析】（1）由tan B＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴设AC＝3x、BC＝4x，∵BD＝2，∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，∵∠ADC＝45°，∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，解得：x＝2，则AC＝6、BC＝8，∴AB＝＝10；（2）作DE⊥AB于点E，由tan B＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），∴DE＝3a＝，∵AD＝＝6，∴sin∠BAD＝＝．6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．由等腰三角形三线合一的性质得出BH＝BC ＝2．在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH＝＝，根据三角形内角和定理求出∠BAH＝∠D＝90°﹣∠B，则sin∠D＝sin∠BAH＝；（2）过点C作CM⊥DE于点M．解直角△BED，求出BD＝＝9，则CD＝BD ﹣BC＝5．再解直角△MCD，求出CM＝，即点C到DE的距离为．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．∵AB＝AC，BC＝4，∴BH＝BC＝2．∵在△ABH中，∠BHA＝90°，AB＝6，∴sin∠BAH＝＝＝，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BED＝90°，BE＝3，∴∠BED＝∠BHA，又∵∠B＝∠B，∴∠BAH＝∠D，∴sin∠D＝sin∠BAH＝，即∠D的正弦值为；（2）过点C作CM⊥DE于点M．∵在△BED中，∠BED＝90°，sin∠D＝，BE＝3，∴BD＝＝9，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5．∵在△MCD中，∠CMD＝90°，sin∠D＝＝，∴CM＝CD＝，即点C到DE的距离为．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE；（2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°．在Rt△BED中，∵cos∠ABC＝，∴BE＝cos45°•3＝•3＝3．（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．∴∠EDB＝45°．∴BE＝DE＝3．∵sin∠DAB＝＝，∴AD＝5．∴AE＝＝4．∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．∴S△ABD＝AB•DE＝．∵AD是BC边上的中线，∴S△ADC＝S△ABD＝．8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．【分析】（1）延长CD，BA，它们相交于点E，得到直角三角形BCE，利用tan B＝，设CE＝4k，则BC＝3k，利用勾股定理求得BE；在Rt△BCE中，用正弦，余弦的定义，结论可求；（2）利用DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，得到∠ADE＝∠CBE，在Rt△ADE中求得线段DE，利用tan B＝，求得线段BC，在Rt△BCD中，用勾股定理，BD可求．【解答】解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，∵DC⊥BC于点C，∴∠BCE＝90°．∵tan B＝，tan B＝，∴．设CE＝4k，则BC＝3k．∴BE＝．∴cos B＝．sin B＝．（2）如下图：∵DA⊥BA于点A，∴∠E+∠ADE＝90°．∵DC⊥BC于点C，∴∠E+∠CBE＝90°．∴∠ADE＝∠CBE．∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．∵cos∠ADE＝，∴．∵AD＝3，∴DE＝5．∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，∴．∴BC＝9．∴BD＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求∠EBD的正弦值；（2）求AD的长．【分析】（1）通过已知条件推出∠EBD＝∠ABC，即可通过求∠ABC的正弦值求出∠EBD 的正弦值；（2）过点C作CF⊥AB于点F，利用cos∠CAF＝cos∠CAB求出AF的长，结合等腰三角形性质即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，∴∠EBD＝∠ABC，∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，∴AF＝1，又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，∴AD＝2AF＝2．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝，∴＝，∴AB＝10，∴BC＝＝8，又∵D为AB中点，∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，∴，∴CE＝；（2）作EF⊥AB交AB于F，由（1）知CE＝，则BE＝8﹣＝，DE＝＝，设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，解得x＝，∴EF2＝（）2﹣（）2＝，EF＝，∴sin∠BDE＝＝．11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．【分析】（1）过D作DF⊥AB于F，求出DF和BD即可得答案；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，先求BE，再用相似三角形性质得到答案．【解答】解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，∴∠BAC＝30°，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝，∴BD＝＝，Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC＝，Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，∴△BCD∽△AHD，∴，∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，∴，解得AH＝，HD＝，∵∠AEB＝∠BAC＝30°，∴HE＝＝，∴BE＝BD+DH+HE＝，∵EG∥AC，∴∠BDC＝∠BEG，而∠CBD＝∠GBE，∴△CBD∽△GBE，∴，即，∴EG＝．方法二：过E作EG⊥BC于G，∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，∴△ABD∽△ABE，∴＝，即，∴BE＝，∵DC⊥BC，EG⊥BG，∴DC∥BG，∴，即＝，∴EG＝，∴点E到直线BC的距离为．12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠ACB的值．【分析】（1）根据sin B＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD；（2）再利用三角函数，求出tan∠ACB的值即可．【解答】解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝，∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴tan∠ACB＝＝．13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．【分析】（1）由三角函数定义求出CD＝5，由勾股定理得出AD＝12，AE：ED＝7：5，求出ED＝5，由三角函数定义即可得出答案；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，求出BD＝BC﹣CD＝3，由平行线分线段成比例定理得，＝，得出AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，∵AE：ED＝7：5，∴ED＝5，∴tan∠DCE＝＝1；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴，＝，∴AF＝FG，设BG＝3x，则FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，∴＝．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．【分析】（1）在直角三角形ABD中，利用边角间关系和勾股定理先求出AB、BD，再求出CD的长；（2）在直角三角形ADC中，利用斜边的中线与斜边的关系，说明∠C与∠EDC的关系，求出∠C的正弦值即得结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC．∴sin B＝＝．∵AD＝12，∴AB＝＝＝15．在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，∴AC＝13．∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C．∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．【解答】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3．∵AB＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DE⊥AB，∴在Rt△DEB中，．∴在Rt△ACB中，，∴（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．∴在Rt△AHE中，，AH＝AE•cos45°＝，∴，∴EH＝AH＝，∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，即∠ACE的余切值是．16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．（1）求△ABC面积；（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH＝BH＝x，根据tan C的值，表示出HC，由BC＝6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tan C的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠B＝45°，设AH＝x，则BH＝x，在Rt△AHC中，tan C＝＝，∴HC＝2x，∵BC＝6，∴x+2x＝6，解得：x＝2，∴AH＝2，∴S△ABC＝•BC•AH＝6；（2）由（1）得AH＝2，CH＝4，在Rt△AHC中，AC＝＝2，∵DE垂直平分AC，∴CD＝AC＝，∵ED⊥AC，∴在Rt△EDC中，tan C＝＝，∴DE＝．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝60°即可．【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，∵tan58°＝，∴BC＝，在Rt△P AC中，∠P AC＝26.6°，∵tan26.6°＝，∴AC＝，∵AB＝AC﹣BC，∴﹣＝22，解得PC≈16（cm），∴S△P AB＝22×16＝176cm2；（2）如图3，点P即为所求．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，可以求得AB的长，然后根据点D为AB的中点，可以得到DC的长，再根据点G是△ABC中点的交点，可以得到CG＝CD，从而可以求得CG的长；（2）作EF⊥AB于点G，然后根据题意，可以求得EF和AF的长，从而可以得到tan∠BAE的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，∴，∵D是斜边AB上的中点，∴，又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心，∴；（2）∵点E是BC边上的中点，∴，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵在Rt△BEF中，cos B＝，BF＝BE•cos B＝，∴，∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，∴tan∠BAE＝．19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD＝DT即可解决问题．（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB．②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD，∴＝．（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．【分析】（1）先判断出∠ABD＝∠BAD，进而得出△ABN≌△BAH，即可得出BN＝AH，代换即可得出结论；（2）设出EF＝a，先利用勾股定理求出FC，证明△ABD∽△AFE，得出比例式求出CF 即可建立方程，求出a，利用勾股定理即可求出CE；（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，证明△ABD∽△GCA，列比例式结合平行线分线段成比例定理可得结论．【解答】（1）证明：如图1，过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC，∴BN＝BC，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，在△ABN和△BAH中，，∴△ABN≌△BAH（AAS），∴BN＝AH，∴BC＝AH，∴BC＝2AH；（2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°，∴∠ABD＝∠AFE＝150°，∴△ABD∽△AFE，∴，即，∴＝，设EF＝a，则AF＝a，∵EF＝CE＝a，∠C＝30°，∴CF＝a，∴6﹣a＝a，∴a＝，∴CE＝EF＝；（3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，∵tan∠ABC＝＝，∴＝，∴BP＝CP＝4m，BC＝8m，∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°，∴△ABD∽△GCA，∴，即＝，∴CG＝5m2，∵AG∥CE，∴，∴，∴m＝，∴BC＝8m＝．故答案为：．。

专练06 三角形中有关角的计算与证明-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练06三角形中有关角的计算与证明1.已知△ABC ，点P 为其内部一点，连结PA 、PB 、PC ，在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点.（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；________命题； ②任意的三角形都存在等角点；________命题.（2）如图 ①，点P 是△ABC 的等角点，若∠BAC=∠PBC ，探究图 ①中∠BPC ，∠ABC ，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在△ABC 中，∠BAC<∠ABC<∠ACB ，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，直接写出△ABC 三个内角的度数.【答案】（1） ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：1、真，2、假.（2）解：如图①，∵△ABC 中， ∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP ， ∠BAC=∠PBC ，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP =∠ABC+∠ACP. （3）∵P 为三角形内角平分线的交点， ∵∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∵P 为△ABC 的等角点，∴∠PBC=∠A，∴∠ABC=2∠PBC=2∠A，∴∠BCP=∠ABC=2∠A，∴∠ACB=2∠BCP=4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=180°7，∴该三角形的三个内角的度数分别为：180°7，360°7，720°7.故答案为：180°7，360°7，720°7.2.将一块直角三角板XYZ放置在AABC上，使得该三角板的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C.（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=________度，∠ABX+∠ACX=________度.（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A的关系.【答案】（1）在三角形ABC中，∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°∵∠YXZ=90°∴∠XBC+∠XCB=90°∴∠ABX+∠ACX=135°-90°=45°（2）解：不变化，∠ABX+∠ACX =90°-∠A，理由如下∵∠x =90°,∴∠XBC+∠XCB =90°∵∠A+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A3.如图（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ 1（∠B+∠D）；2（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE.②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由.（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；②如图，连接DE，若AC⊥DE，又∵AD＝AE，∴AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝26°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°.②如图2，此时∠ADB＝26°，③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°.④如图4，此时∠ADB＝26°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°5.如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．图1 图2（1）如图1，当∠ABC=90°时，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB．（2）如图2，当∠ABC=60°时，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB．【答案】（1）解：将△APB沿点B顺时针旋转90°，得到△BCP′，连接PP′，可得∠P′BP=90°，且BP=BP′=4，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′=4√2，在△PP′C中，PC2=62=36，P′C2+P′P2=22+(4√2)2=4+32=36，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠BP′C=45°+90°=135°，又∵旋转，∴∠APB=∠BP′C=135°（2）解：将△APB沿点B顺时针旋转60°得到△BCP′，连接PP′，可得：BP′=BP=4，∠PBP′=60°∴△PBP′为等边三角形，∴∠BP′P=60°，PP′=4，在△PP′C中，PP′2+P′C2=42+32=25，CP2=52=25，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°6.如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．（1）求证：ΔACD≌ΔBCE；（2）求证：CH 平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．【答案】（1）证明；∵∠ACB=∠DCE＝40°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）证明；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，{∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM=CN，∴CH平分∠AHE（3）解；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°-40°＝140°，∠AHE=70º∴∠CHE= 127.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” △AOB与△COD中，∠EAO=∠C，∠D=2∠B，求证：∠EAB=∠B；（2）性质应用：①如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；②如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠BOD=∠A．若∠ECD比∠DBE大20∘，求∠BDO的度数；（3）拓展提高：如图5，已知BE，CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，求∠P的度数（用α表示∠P）．【答案】（1）证明：据题意，得∠BAO+∠B=∠C+∠D，∴∠BAO−∠C=∠D−∠B，∵∠EAO=∠C，∠D=2∠B，∴∠BAE=∠B（2）解：①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D=∠FGD+∠GFD+∠D=180°；故答案为：180°；②由题意得∠ECD−∠DBE=20°，由（1）得∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC，∴∠BDO−∠OEC=20°，∵∠BOD=∠A，∴∠A+∠DOE=180°，故∠ADO+∠AEO=180°，∵∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180°，∴∠BDO=∠AEO，∴∠BDO+∠CEO=180°，∵∠BDO−∠OEC=20°，∴∠BDO=100°；（3）解：∠P=180∘−α4，理由如下：∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠BDP=∠CDP，∠BEP=∠CEP，由（1）得∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P①，∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE②，由①−②得∠DBE−∠P=∠P−∠DCE，∴∠P=12(∠DBE+∠DCE)，即∠P=14(∠ABC+∠ACB)，∴∠P=14(180°−∠A)=180°−α48.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明.【答案】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形.∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形.∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∠AFB是△ADF的外角.∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°.∴∠AFB=90°.如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°.∴∠AFB=60°.故答案为：120°，90°，60°；（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.∴∠CAE=∠CDB.∴∠DFA=∠ACD.∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.故答案为：180°﹣α；（3）解：∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，则△ACE≌△DCB（SAS）.则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.9.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=AQAB(如图1所示)（1）当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD= 32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PQC=∠D=45°，∵PQPC =AQAB，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°，∴PC=BC·sin45°=3√22（2）解：如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP 是矩形， ∴PF=BE ，又∵∠BAD=90°， ∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ， ∴BEEP =BAAD =232=43，设BE=4k ，则PE=3k ， ∴PF=BE=4k ，∵BQ=x ，AQ=AB-BQ=2-x ，∴S △APQ =12AQ·PE=12（2-x ）·3k ，S △PBC =12BC·PF=12×3×4k=6k ， ∵S △APQS △PBC=y ，∴12（2−x ）·3k 6k =y ，∴y=2−x 4（0≤x ≤78）；（3）解：∵Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ，∴BEEP =BAAD ∴PFEP =BAAD ， ∵PCPQ =BAAD ， ∴PFEP =PCPQ ， ∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ， ∴∠FPC=∠EPQ ，∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°。

八年级三角形的证明题

八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。

求证：AD⊥BC。

- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。

- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。

- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。

- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。

- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。

2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。

- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。

- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。

- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。

- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。

3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。

求∠A的度数。

- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。

- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。

- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。

- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。

- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。

- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。

中考数学专题训练——专题五三角形的全等(无答案)

专题五全等三角形1、（ 2019?重庆）在△ABC 中，∠ ABM=45°，AM ⊥ BM ，垂足为M ，点 C 是 BM 延伸线上一点，连结AC ．（1）如图 1，若 AB=3 √2，BC=5 ，求 AC 的长；（2）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点， MD=MC ，点 E 是△ ABC 外一点， EC=AC ，连结ED 并延伸交BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：∠ BDF=∠ CEF．2、（ 2019 重庆）在△ ABC 中，∠ B=45°，∠ C=30°，点 D 是 BC 上一点，连结 AD ，过点 A 作 AG⊥ AD ，在 AG 上取点 F，连结 DF ．延伸 DA 至 E，使 AE=AF ，连结 EG，DG，且GE=DF ．证明： BD 1 CG23、（ 2019 南开三模）如图，已知等腰Rt?ABC ，∠ ACB=90 °， CA=CB，以 BC 为边向外作等边 ?CBD ，连结 AD ，过点 C 作∠ ACB 的角均分线与AD 交于点 E，连结 BE。

（1）若 AE=2，求 CE 的长度（2）以 AB 为边向下作 ?AFB ，∠ AFB=60 °，连结 FE ，求证： FA FB3FE4、（ 2019 一中二模） Rt ABC 中，BAC90 ，以 AC 为边向外作ACD ，为BC上一点，连结AF。

如图 2，若AB AC，F延长DC交AF延伸线于H点，且AHD90 ,BCH CAD ，连结BD交AF于M点。

求证：CD 2MH 。

练习：1、（ 2019八中一模）如图，在菱形ABCD 中，BAD60 ，M为对角线BD延伸线上一点，连结AM 和CM， E 为CM上一点，且知足CB CE ，连结BE，交 CD于点F。

证明： AM CF DM。

2、（ 2019 育才三模）已知等腰 Rt? ABC 与等腰 Rt?CDE ，∠ACB =∠ DCE =90°.把 Rt?ABC 绕点 C 旋转 .当 Rt? ABC旋转到如图 2 所示的地点时，过点 C 作 BD 的垂线交 BD 于点 F ，交 AE 于点 G，求证： BD =2CG.3、（ 2019 巴蜀一模）如图，在等腰直角三角形ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90 °，点 D 为 AC上一点，连结 BD ，过 C 点作 BD 的垂线交 BD 的延伸线于点E，连结 AE，过点 A 作 AF ⊥ AE 交 BD 于点 F，连结 CF 。

中考数学解直角三角形练习

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、熟知300、450、600角的三角函数值3、会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析：因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53；不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

(完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总

2015年 05月 03日初中数学三角形证明组卷．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（）2 ．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）4．（ 2014?丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（）C 12D53．（ 2014 秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中， AD 是它的角平分线， A B=8cm ，AC=6cm ，C 16 ： 9D 9： 163：4WORD格式可编辑A 70°B 80°C 40°D 30°度数为（）6．（2014? 山西模拟）如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AOD ，若∠ AOC=3°5 ，则∠BOD7 ．（2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 BC 边于8．（2014 秋? 腾冲县校级期末）如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（）5．（ 2014? 南充）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点，CD=AD ， AB=BD ，则∠ B 的C 40D 45A 145°B 110C 70°D 35°60°的角的个数是（C4D5等于（）D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于9．（2014春? 栖霞市期末）在 Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，则 BC 等于（10 ．（ 2014秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°B3 C6D 不能确定B 7.6cm 11.4cmD 11.2cm11 ．（2013秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，A 3.8cm若 PE=6，则 PF 的长为（12 ．（ 2013秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（）16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ，C 15cmD 16cm13．（2013秋? 西城区期末）如图，∠BAC=13°0 等于（）14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用条件是（），若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠ PAQ80°D 105°HL ”判定 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的B ．∠A=∠A ′， AB=A ′B ′ D ．∠B=∠B ′， BC=B ′C ′15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， M N 是线段 AB 的垂直平分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（）A BC > PC+APB BC <PC+APC BC=PC+APD BC ≥ PC+APCE=BD，那么∠ EDF等于（）不一定成立的是（）B ． 90°﹣ ∠AC ． 180°﹣∠AD45°∠A17．（ 2014 秋 ? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论A ． △ABD ≌△ ACDC ． AD 是△ ABC 的角平分线B ． AD 是△ ABC 的高线D ．△ABC 是等边三角18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（A ．点 P 在∠ABC 的平分线上 C ．点 P 在边 AB 的垂直平分线上 B ．点 P 在∠ ACB 的平分线上 D ．点 P 在边 BC 的垂直平分线上19．（ 2013? 河西区二模）如图，在∠ECF 的两边上有点 B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°， C 25° D 30°A 90°﹣∠A20 ．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ， PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②MO=N ，O ③OP ⊥MN ，④MD=N ．D 其中正确的有（）．解答题（共 10 小题）21 ．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知 ON 是∠AOB 的平分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．1）如果∠ AOC α= ，∠ BOC β= ，请用含有 α，的式子表示∠ NOC ．那么∠ MON 的度数是多少？A 1 个2）如果∠ BOC=9°0 ， OM 平分∠ AOC ，22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、 D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点 F ．（1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C ， BD 平分∠ ABC ，DE ⊥AB（ E 在 AB 之间），DF ⊥BC ，已知 BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC 的周长．24 ．（ 2014 秋? 大石桥市期末）如图，点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点，且 AB=AC=C ，DAD=BD ，求∠BAC 的度数．EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC的大小（用含α 的式子表示）；分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28 ．（2013秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E30．（2011? 龙岩质检）如图，AD是△ ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△ AEF 是等腰三角形．2015年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（）考线段垂直平分线的性质．点：分先根据勾股定理求出 AE=13，再由 DE 是线段 AB 的垂直平分线，得出BE=AE=13．析：解解：∵∠ C=90°，答：∴A E=，∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴BE=AE=1；3 故选： A ．点本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出 AE 是解题的关评：键．2．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）考等腰三角形的判定；三角形内角和定理．C 12D5点：专证明题．题：分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，析：解解：共有 5 个．答：（1）∵ AB=AC ∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角平分线∴∠ EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°，AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB= （180°﹣36°）=72°，又BD是∠ ABC的角平分线，∴∠ ABD= ∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD是等腰三角形．故选：A．点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，评：题．3．（2014秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中，AD是它的角平分线，考角平分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：C 16 ：9 D 9：16即可得出答案．属于中档AB=8cm，AC=6cm，则S △ABD：S△ACD=（）3：4分首先过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由 AD 是它的角平分线，根据角平分线的性质，析：即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为 12，可求得 DE 与 DF 的长，又由 AC=6，则可求得△ ACD 的面积．解解：过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E 、F ⋯（ 1 分）答： ∵AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=D ，F ⋯（ 3 分） ∴S △ABD= ? DE? AB=12， ∴DE=DF=⋯3 （ 5 分）∴S △ADC= ? DF? AC= ×3×6=9⋯（ 6 分）∴S △ABD ： S △ACD =12： 9=4： 3．点此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性评：质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（ 2014? 丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（）考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，可得 AE=BE ，继而求得∠ ABE 的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°，∴∠ ABC=∠C==70°，∵线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，A 70°B 80°C 40D 30°故选 A ．∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014? 南充）如图，在△ ABC 中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2∠ CAD=∠2 B=2∠C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=A，D∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36° 故选：B．点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出评：∠BAD=2∠CAD=∠2 B=2∠C 关系．6．（2014? 山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=3°5 ，则∠BOD 等于（）A 145°B 110C 70°D 35°考角平分线的定义．点：分首先根据角平分线定义可得∠ AOD=∠2 AOC=7°0 ，再根据邻补角的性质可得∠ BOD 析：的度数．解解：∵射线 OC 平分∠ DOA ．答： ∴∠ AOD=∠2 AOC ，∵∠ COA=3°5 ， ∴∠ DOA=7°0 ，∴∠ BOD=18°0 ﹣70°=110°，故选： B ．点此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．评：7．（ 2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数是（）考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠ B=30°， ∠ BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ ACB=90°， AB=10， AC=5，∴∠ B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60° ∵DE 垂直平分 BC ，∴∠ BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=9°0 ﹣30°=60°． ∴∠BDE 对顶角 =60°，∴图中等于 60°的角的个数是 4．故选 C ．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014 秋? 腾冲县校级期末）如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（）BC 边于C4 D5考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ABC的中线，∴AD=C，D∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+A）D ﹣（BC+BD+C）D=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春? 栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点 D 到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（考点：角平分线的性质．分析：由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠B 的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠ CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠ CAB，∴DC=DE=3.，8 ∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.．4 故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB 的距离DE即为CD长，是解题的关键．B3 C6 D 不能确定B 7.6cm 11.4cm D 11.2cmA 3.8cm10．（2014 秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．计算题．由已知， O 到三角形三边距离相等，得 O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．解解：由已知， O 到三角形三边距离相等，所以 O 是内心，答：即三条角平分线交点，AO ， BO ，CO 都是角平分线，所以有∠ CBO ∠= ABO= ∠ABC ，∠ BCO ∠= ACO= ∠ACB ， ∠ABC+∠ACB=18﹣0 40=140 ∠OBC ∠+ OCB=70 ∠BOC=18﹣0 70=110° 故选 A ．点此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识评：点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013 秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠ POF=∠POE ，然后利用 AAS 定理求证△ POE ≌△ POF ，即可求出 PF 的长．考点专题分）4解答：解：∵ OC 平分∠ AOB ，∴∠ POF=∠POE ， ∵PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PFO=∠PEO ， PO 为公共边，∴△ POE ≌△ POF ， ∴PF=PE=6．故选 C ．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△ POE ≌△ POF ．12．（2013 秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（）考线段垂直平分线的性质．点：分要求△ ABC 的周长，先有 AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，根据线段垂直平分线析：的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+A 等D 于△ ACD 的周长，答案可得．解解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，答： ∴AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ ABC 的周长是 12+2=14cm ．故选 B点此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端评：点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋? 西城区期末）如图，∠BAC=13°0 ，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠PAQ 等于（）考点：线段垂直平分线的性质．点：分析：根据线段垂直平分线性质得出 BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B=∠BAP ，∠C=∠QAC ，求出 ∠B+∠C ，即可求出∠ BAP+∠QAC ，即可求出答案．C 15cmD 16cmC 80°D 105°A 13cmB 14cm A 50° B 75解解：∵ MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，答： ∴BP=AP ， CQ=AQ ，∴∠B=∠PAB ，∠C=∠QAC ，∵∠ BAC=13°0 ， ∴∠B+∠C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠CAQ=5°0 ， ∴∠PAQ=∠BAC ﹣（∠ PAB+∠QAC ）=130°﹣50°=80°，故选： C ．点本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注评：意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用“ HL ”判定AB=A ′B ′ ． BC=B ′C ′考直角三角形全等的判定．点：分根据直角三角形全等的判定方法（ HL ）即可直接得出答案．析：解解：∵在 Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′中，答：如果 AC=A ′C ′， AB=A ′B ′，那么 BC 一定等于 B ′C ′，Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′一定全等，故选 C ．点此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基评：础题．15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图，在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（考点：线段垂直平分线的性Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的MN 是线段 AB 的垂直平分线，）C 在 MN 外，且与 A 点C BC=PC+APD BC ≥ PC+APC AC=A ′ C ′，D ∠ B=∠B ′，B BC < PC+AP分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB ，结合图形知 BC=PB+P ，C通过等量代换得到答案．解答：解：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB ．∵BC=PC+B ，P ∴BC=PC+A ．P 故选 C ．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ， CE=BD ，那么∠ EDF 等于（）考点：等腰三角形的性质．分析：由 AB=AC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由 BF=CD ， BD=CE ，利用 SAS 得到三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出解答：解：∵ AB=AC ， ∴∠B=∠C °，在△BDF 和△CED 中，，∴△ BDF ≌△CED （ SAS ）， ∴∠ BFD=∠CDE ，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠ B=180°﹣ 则∠ EDF=180°﹣（∠ FDB+∠EDC ）=90°﹣ ∠A ．故选 B ．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．90° ﹣ ∠A∠A ，=90°BC 180°﹣∠A17．（2014 秋? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论B AD 是△ ABC 的．高线D △ ABC 是等边．三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A 、在△ ABD 和△ ACD 中，，所以△ ABD ≌△ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确； C 、由条件可知 AD 为△ ABC 的角平分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=B ，C 所以△ ABC 不一定是等边三角形，所以 D 不正确；故选 D ．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由线段 BC 的垂直平分线上． PC=PB 即可得出 P 在解答：解：∵ PB=PC ，∴P 在线段 BC 的垂直平分线上，．DC AD 是△ ABC的．角平分线A 点 P 在∠ ABC ．的平分线上C 点 P 在边AB ．的垂直平分 B 点 P 在∠ ACB ．的平分线上D 点 P 在边BC ．的垂直平不一定成立的是（故选 D ．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（ 2013? 河西区二模）如图，在∠ECF 的两边上有点考等腰三角形的性质．点：分根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ ECF 的度数．析：解解：∵ BC=BD=D ，A 答： ∴∠ C=∠BDC ，∠ ABD=∠BAD ， ∵∠ABD=∠C+∠BDC ，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选： C ．点考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运评：用．20．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②M O=NO ，③OP ⊥MN ，④MD=N ．D其中正确考角平分线的性质．点：B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°，C 25°D 30°的有（）A 1 个分由已知很易得到△ OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，进而得△ OM≌P △ ONP，析：△PMD≌△PND，可得MD=N，D ∠ ODN∠= ODM=9°O，答案可得．解解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA 于M，PN⊥OB 于N答：连接MN交OP于点D，∴∠ MOP∠= NOP，∠OMP∠= ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=N，POM=O，N 又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=N，D∠ ODN∠= ODM=9°O，∴OP⊥MN∴① PM=P，N ②MO=N，O③OP⊥MN，④MD=ND 都正确．故选D．点本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△ OM≌D △OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，请用含有α，β 的式子表示∠ NOC．（2）如果∠ BOC=9°0 ，OM平分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；（2）先利用角平分线求出∠ AOM= ∠AOC，∠ AON= ∠AOB，即可得出解答：解：（1）∵∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠ AOB的平分线，∴∠AON= （α﹣β），∠NOCα= ﹣（α﹣β）= （α +β）；（2）∵OM平分∠ AOC，ON平分∠ AOB，∴∠AOM= ∠AOC ，∠AON= ∠AOB ， ∴∠MON ∠= AOM ﹣∠AON= (∠AOC ﹣∠AOB )点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点F ．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（ 1）先根据 E 是∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA 得出△ODE ≌△OCE ，可得出 OD=OC ， DE=CE ， OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出 OE 是 CD 的垂直平分线；（ 2）先根据 E 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 可得出∠ AOE=∠BOE=3°0 ，由直角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答：解：（ 1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， ∴DE=C ，EOE=O ，E∴Rt △ODE ≌Rt △OCE ， ∴OD=O ，C∴△DOC 是等腰三角形， ∵OE 是∠AOB 的平分线， ∴OE 是 CD 的垂直平分线； ( 2)∵ OE 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 ， ∴∠ AOE=∠BOE=3°0 ， ∵EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，∴OE=2D ，E ∠ ODF=∠OED=6°0 ， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF ， ∴OE=4E ．F= ∠BOC= × 90° =45°EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，DE⊥AB （ E 在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ ABD=∠CBD，即可求得∠ CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=C，D∵BD平分∠ ABC，∴DE=D，F∴△ DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=．12点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋? 大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=C，DAD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠ CAD=∠CDA=∠2 DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠ BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD ∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠ DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠ DBA=36°∴∠ BAC=3∠DBA=10°8 ．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC 的大小（用含α 的式子表示）；（2）以点 B 为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠ BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC 的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠ BCD=∠BDC，再求出∠ CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣ ×30°=75°，由题意得：BC=BD=B，E由BC=BD得∠ BDC=∠C=75°，∴∠CBD=18°0 ﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=7°5 ﹣30°=45°，由BD=BE得故∠BDE的度数是67.5 °．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．考等腰三角形的判定．点：分由条件可得出DE=DF，可证明△ BDE≌△ CDF，可得出∠ B=∠C，再由等腰三角形的析：判定可得出结论．解证明：（1）∵AD平分∠ BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，答：∴DE=D，F在Rt △BDE和Rt △CDF中，，，∴Rt △BDE≌Rt △CDF（HF），∴∠ B=∠C；（2）由（1）可得∠ B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质评：得出DE=DF是解题的关键．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ ABC，根据三角形内角和定理求出∠ A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ ABD，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF 是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=6°7 ﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ ABC 和∠ ABD的度数，题目比较好．28．（2013 秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=A，E DE=EC，得到∠ B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠ C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，根据∠ DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，求得∠C 即可．解答：解：∵ AB=AD=A，E DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E考等腰三角形的性质．点：专证明题．题：分由 DE ∥BC ， BF 平分∠ ABC ， CF 平分∠ ACB 可知， DB=DF ， CE=EF ．便可得出结论．析：解证明：∵ BF 平分∠ ABC （已知）， CF 平分∠ ACB （已知），答： ∴∠ ABF=∠CBF ，∠ ACF=∠FCB ；又∵ DE 平行 BC （已知）∴∠ DFB=∠FBC （两直线平行，内错角相等），∠ EFC=∠FCB （两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠E CF （等量代换）∴DF=DB ， EF=EC （等角对等边）∴DE=BD+C ．E点此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利评：用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ，连考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠ BAD=∠CAD ；然后根据已知条件“ DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ”得到∠ DEA=∠DFA=90°；再加上公共边 AD=AD ，从而证明，△ADE ≌△ ADF ；最后根据全等三角形的对应边相等证明△ AEF 的两边相等，所解答：证明：∵ AD 是△ ABC 的平分线，∴∠ BAD=∠CAD ，（ 3 分）又∵DE ， DF 分别垂直 AB 、AC 于 E ，F∴∠ DEA=∠ DFA=90°（ 6 分）又∵ AD=AD ，∴△ ADE ≌△ ADF ．（8分） ∴AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形（ 10分）30．（ 2011? 龙岩质检）如图， AD 是△ ABC 的平分线，点本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判定定理ASA判定△ ADE≌△ADF．。

2021年广西百色中考数学专题训练：专题4 三角形、四边形的证明与计算

专题四三角形、四边形的证明与计算【题型一】三角形的证明与计算【例1】(2020·上海中考)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上， BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H .(1)求证：△BEC ∽△BCH ；(2)如果BE 2＝AB ·AE ，求证：AG ＝DF .【解析】(1)想办法证明∠H ＝∠BCE 即可解决问题；(2)利用相似三角形的判定和性质结合已知条件解决问题即可．【针对训练】1．已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2. (1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)求证：∠M ＝∠N .题型二四边形的证明与计算【例2】(2020·云南中考)如图，四边形ABCD 是菱形，点H 为对角线AC 的中点，点E 在AB 的延长线上，CE ⊥AB ，垂足为点E ，点F 在AD 的延长线上，CF ⊥AD ，垂足为点F ，(1)若∠BAD ＝60°，求证：四边形CEHF 是菱形；(2)若CE ＝4，△ACE 的面积为16，求菱形ABCD 的面积．【解析】(1)根据菱形的性质得到∠EAC ＝∠F AC ＝30°，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，根据直角三角形的性质得到EH ＝FH ＝12AC ，于是得到结论；(2)根据三角形的面积公式得到AE 的长，根据勾股定理得到AC ＝CE 2＋AE 2 ，连接BD ，则BD ⊥AC ，AH ＝12AC ，根据相似三角形的性质得到BD ＝2BH ，由菱形的面积公式即可得到结果．【针对训练】2．(2020·重庆中考A 卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为点E ，F .AC 平分∠DAE .(1)若∠AOE ＝50°，求∠ACB 的度数； (2)求证：AE ＝CF .3．(2020·乐山中考)如图，点E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF ⊥DE 于点F ，AB ＝3，AD ＝2，CE ＝1.求DF 的长度．题型三三角形、四边形的几何探究【例3】(2020·湘潭中考)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心． (1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积；(2)性质探究：如图(二)，已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA ，S △OBCS △ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由；(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M . ①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若S △CME ＝1，求正方形ABCD 的面积．【解析】(1)连接DE ，利用相似三角形证明OD AO ＝12，运用勾股定理求出AD 的长，运用三角形面积公式求解；(2)根据(1)的解题思路可求解；(3)①连接BD 交AC 于点O ，可知点O 为BD 的中点，点E 为CD 的中点，从而可以得到点M 是△BCD 的重心，即可得到EM 和BE 的关系，再根据勾股定理求出BE 的长；②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可求得正方形ABCD 的面积．【针对训练】4．(2020·德州中考)问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是__________； (2)AD 的取值范围是____________；方法运用：(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE ＝EF ，求证：BF ＝AC ；(4)如图3，在矩形ABCD 中，AB BC ＝12 ，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt △BEF ，且EF BE ＝12，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG ＝CG .图1图2图3【专题过关】1．(2020·苏州中考)问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，点P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求证：AB ＋CD ＝BC ；问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，点P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求AB ＋CDBC的值．图①图②2．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，DF ＝BE ，且DF ∥BE ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G .(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若tan ∠CAB ＝25，∠CBG ＝45°，BC ＝42 ，则▱ABCD 的面积是__________．3．如图，在▱ABCD 中，过点A 作AE ⊥DC ，垂足为点E ，连接BE ，点F 为BE 上一点，且∠AFE ＝∠D . (1)求证：△ABF ∽△BEC ；(2)若AD ＝5，AB ＝8，sin D ＝45，求AF 的长．4．(2020·成都中考)在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．(1)如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；(2)如图2，当AB ＝5，且AF ·FD ＝10时，求BC 的长；(3)如图3，延长EF ，与∠ABF 的平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN ＋FD 时，求ABBC的值．5．(2020·玉林中考)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝22AB . (1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)若点H 是边AB 上一点(点H 与点A ，B 不重合)，连接DH ，将线段DH 绕点H 顺时针旋转90°，得到线段HE ，过点E 分别作BC 及AB 延长线的垂线，垂足分别为点F ，G .设四边形BGEF 的面积为s 1，以HB ，BC 为邻边的矩形的面积为s 2，且s 1＝s 2.当AB ＝2时，求AH 的长．6．(2020·贵港中考)已知：在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝23 ，点P 是BC 边上的一个动点，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点P 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF .(1)如图1，当点P 与点C 重合时，则线段EB ＝________，EF ＝________；(2)如图2，当点P 与点B ，C 均不重合时，取EF 的中点O ，连接并延长PO 与GF 的延长线交于点M ，连接PF ，ME ，MA .①求证：四边形MEPF 是平行四边形；②当tan ∠MAD ＝13时，求四边形 MEPF 的面积．,)).7．(2020·武汉中考)问题背景如图1，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，AD BD ＝3 ，求DFCF的值；拓展创新如图3，D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝23 ，直接写出AD 的长．8．(2020·扬州中考)如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∠BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD ，OD 交于点E ，F .(1)求证：OC ∥AD ；(2)如图2，若DE ＝DF ，求AEAF的值；(3)当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DEDF的值．图1图2. 答案专题四三角形、四边形的证明与计算【题型一】三角形的证明与计算【例1】(2020·上海中考)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上， BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H .(1)求证：△BEC ∽△BCH ；(2)如果BE 2＝AB ·AE ，求证：AG ＝DF .【解析】(1)想办法证明∠H ＝∠BCE 即可解决问题；(2)利用相似三角形的判定和性质结合已知条件解决问题即可．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，CD ∥AB . ∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE (SAS ). ∴∠DCF ＝∠BCE .∵CD ∥BH ，∴∠H ＝∠DCF . ∴∠BCE ＝∠H . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△BEC ∽△BCH ；(2)∵BE 2＝AB ·AE ，∴BE AB ＝AEBE.∵AG ∥BC ，∴△AEG ∽△BEC . ∴AE BE ＝AG BC .∴BE AB ＝AG BC . ∵DF ＝BE ，BC ＝AB ，∴BE ＝AG ＝DF ，即AG ＝DF . 【针对训练】1．已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2. (1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)求证：∠M ＝∠N .证明：(1)在△ABD 和△ACE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )；(2)∵∠1＝∠2，∴∠BAN ＝∠CAM . 由(1)知△ABD ≌△ACE ，∴∠B ＝∠C . 又∵AB ＝AC ，∴△ABN ≌△ACM (ASA ). ∴∠M ＝∠N .题型二四边形的证明与计算【例2】(2020·云南中考)如图，四边形ABCD 是菱形，点H 为对角线AC 的中点，点E 在AB 的延长线上，CE ⊥AB ，垂足为点E ，点F 在AD 的延长线上，CF ⊥AD ，垂足为点F ，(1)若∠BAD ＝60°，求证：四边形CEHF 是菱形；(2)若CE ＝4，△ACE 的面积为16，求菱形ABCD 的面积．【解析】(1)根据菱形的性质得到∠EAC ＝∠F AC ＝30°，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，根据直角三角形的性质得到EH ＝FH ＝12AC ，于是得到结论；(2)根据三角形的面积公式得到AE 的长，根据勾股定理得到AC ＝CE 2＋AE 2 ，连接BD ，则BD ⊥AC ，AH ＝12AC ，根据相似三角形的性质得到BD ＝2BH ，由菱形的面积公式即可得到结果．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠EAC ＝∠F AC ＝30°.又∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ＝12AC .∵点H 为对角线AC 的中点，∴EH ＝FH ＝12AC .∴CE ＝CF ＝EH ＝FH .∴四边形CEHF 是菱形；(2)解：∵CE ⊥AB ，CE ＝4，△ACE 的面积为16， ∴AE ＝8.∴AC ＝CE 2＋AE 2 ＝45 .连接BD ，则BD ⊥AC ，BD 过点H ，AH ＝12AC ＝25 .∵∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∠BAH ＝∠CAE ，∴△ABH ∽△ACE .∴BH CE ＝AH AE ，即BH 4 ＝258.∴BH ＝5 .∴BD ＝2BH ＝25 .∴S 菱形ABCD ＝12 AC ·BD ＝12×25 ×45 ＝20.【针对训练】2．(2020·重庆中考A 卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为点E ，F .AC 平分∠DAE .(1)若∠AOE ＝50°，求∠ACB 的度数； (2)求证：AE ＝CF .(1)解：∵AE ⊥BD ， ∴∠AEO ＝90°. ∵∠AOE ＝50°， ∴∠EAO ＝40°.∵AC 平分∠DAE ，∴∠DAC ＝∠EAO ＝40°. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC . ∴∠ACB ＝∠DAC ＝40°；(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC .∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°. ∵∠AOE ＝∠COF ， ∴△AEO ≌△CFO (AAS ). ∴AE ＝CF .3．(2020·乐山中考)如图，点E 是矩形ABCD 的边CB 上的一点，AF ⊥DE 于点F ，AB ＝3，AD ＝2，CE ＝1.求DF 的长度．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ＝AB ＝3，∠ADC ＝∠C ＝90°. ∵CE ＝1，∴DE ＝DC 2＋CE 2 ＝32＋12 ＝10 . ∵AF ⊥DE ，∴∠AFD ＝90°＝∠C . ∴∠ADF ＋∠DAF ＝90°. 又∵∠ADF ＋∠EDC ＝90°，∴∠EDC ＝∠DAF .∴△EDC ∽△DAF . ∴DE AD ＝EC DF ，即102 ＝1DF. ∴DF ＝105.题型三三角形、四边形的几何探究【例3】(2020·湘潭中考)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积；(2)性质探究：如图(二)，已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA ，S △OBCS △ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由；(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M . ①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若S △CME ＝1，求正方形ABCD 的面积．【解析】(1)连接DE ，利用相似三角形证明OD AO ＝12，运用勾股定理求出AD 的长，运用三角形面积公式求解；(2)根据(1)的解题思路可求解；(3)①连接BD 交AC 于点O ，可知点O 为BD 的中点，点E 为CD 的中点，从而可以得到点M 是△BCD 的重心，即可得到EM 和BE 的关系，再根据勾股定理求出BE 的长；②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可求得正方形ABCD 的面积．【解答】解：(1)图(一)中，连接DE . ∵点O 为△ABC 的重心，∴点D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点． ∴DE 为△ABC 的中位线．∴DE ∥AB ，DE ＝12AB .∴△ODE ∽△OAB .∴OD OA ＝DE AB ＝12.∵在等边三角形ABC 中，AB ＝2，BD ＝1，AD ⊥BC ，∠ABD ＝60°，∴AD ＝3 ，OD ＝33.∴S △OBC ＝12 BC ·OD ＝12 ×2×33 ＝33 ，S △ABC ＝12 BC ·AD ＝12 ×2×3 ＝3 ；(2)OD OA ，S △OBC S △ABC都为定值．由(1)同理可得，OD OA ＝12；由此得点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比为1∶3，则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比．∴S △OBC S △ABC ＝13； (3)①图(三)中，连接BD 交AC 于点O .∵点O 为BD 的中点，点E 为CD 的中点， ∴点M 是△BCD 的重心．由(2)可得EM BE ＝13.∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ＝2.∴BE ＝BC 2＋CE 2 ＝25 .∴EM ＝235 ；②∵S △CME ＝1，且EM BM ＝12，∴S △BMC ＝2，S △CME S △AMB ＝⎝⎛⎭⎫EM BM 2 ＝14 .∴S △AMB ＝4.∴S △ABC ＝S △BMC ＋S △ABM ＝2＋4＝6. 又∵S △ADC ＝S △ABC ，∴正方形ABCD 的面积为2S △ABC ＝12. 【针对训练】4．(2020·德州中考)问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是__________； (2)AD 的取值范围是____________；方法运用：(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE ＝EF ，求证：BF ＝AC ；(4)如图3，在矩形ABCD 中，AB BC ＝12 ，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt △BEF ，且EF BE ＝12，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG ＝CG .图1图2图3解：(1)SAS ；(2)1＜AD ＜5；(3)证明：图2中，延长AD 至点H ，使DH ＝DA ，连接BH .∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝BD . 又∵∠ADC ＝∠HDB ，∴△ADC ≌△HDB (SAS ). ∴∠CAD ＝∠H ，AC ＝BH . ∵AE ＝EF ，∴∠EAF ＝∠AFE .∵∠BFH ＝∠AFE ，∴∠H ＝∠BFH . ∴BF ＝BH . ∴BF ＝AC ；(4)证明：图3中，延长CG 至点N ，使NG ＝CG ，连接EN ，CE ，FN . ∵点G 是DF 的中点，∴GF ＝GD . 又∵∠NGF ＝∠CGD ， ∴△NGF ≌△CGD (SAS ).∴NF ＝CD ，∠NFG ＝∠CDG . ∵AB BC ＝CD BC ＝12 ，EF BE ＝12， ∴tan ∠DBC ＝tan ∠EBF ＝12.∴∠EBF ＝∠DBC .∴∠EBC ＝2∠DBC .∵∠EBF ＋∠EFB ＝90°，∠DBC ＋∠BDC ＝90°，∴∠EFB ＝∠BDC ＝∠NFG ，∠EBF ＋∠EFB ＋∠DBC ＋∠BDC ＝180°. ∴2∠DBC ＋∠EFB ＋∠NFG ＝180°. 又∵∠NFG ＋∠EFB ＋∠EFN ＝180°， ∴∠EFN ＝2∠DBC .∴∠EBC ＝∠EFN . ∵CD BC ＝12 ＝EF BE ，且CD ＝NF ，∴BE EF ＝BC NF . ∴△BEC ∽△FEN .∴∠BEC ＝∠FEN . ∴∠BEF ＝∠NEC ＝90°.又∵CG ＝NG ，∴EG ＝12NC .∴EG ＝GC【专题过关】1．(2020·苏州中考)问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，点P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求证：AB ＋CD ＝BC ；问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，点P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求AB ＋CDBC的值．图① 图②问题1：证明：∵∠B ＝∠APD ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°，∠APB ＋∠CPD ＝90°.∴∠BAP ＝∠CPD . 在△ABP 和△PCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠C ，∠BAP ＝∠CPD ，AP ＝PD ，∴△ABP ≌△PCD (AAS ). ∴AB ＝PC ，BP ＝CD .∴AB ＋CD ＝PC ＋BP ＝BC ；问题2：解：图②中，分别过点A ，D 作BC 的垂线，垂足为点E ，F . 由问题1可得，AE ＋DF ＝EF .在Rt △ABE 和Rt △DFC 中，∠B ＝∠C ＝45°， ∴AE ＝BE ，DF ＝CF ，AB ＝2 AE ，CD ＝2 DF . ∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝2(AE ＋DF )， AB ＋CD ＝2 (AE ＋DF ). ∴AB ＋CD BC ＝2（AE ＋DF ）2（AE ＋DF ）＝22 .2．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，DF ＝BE ，且DF ∥BE ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G .(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若tan ∠CAB ＝25，∠CBG ＝45°，BC ＝42 ，则▱ABCD 的面积是__________．(1)证明：∵AE ＝CF ， ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE . ∵DF ∥BE ，∴∠DF A ＝∠BEC .又∵DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE (SAS ). ∴AD ＝CB ，∠DAF ＝∠BCE .∴AD ∥CB . ∴四边形ABCD 是平行四边形； (2)243．如图，在▱ABCD 中，过点A 作AE ⊥DC ，垂足为点E ，连接BE ，点F 为BE 上一点，且∠AFE ＝∠D . (1)求证：△ABF ∽△BEC ；(2)若AD ＝5，AB ＝8，sin D ＝45，求AF 的长．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC .∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC .∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠D ，∴∠C ＝∠AFB .∴△ABF ∽△BEC ；(2)解：∵AE ⊥DC ，AB ∥DC ，∴∠AED ＝∠BAE ＝90°.在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin D ＝5×45＝4. 在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得BE ＝AE 2＋AB 2 ＝42＋82 ＝45 .∵BC ＝AD ＝5，△ABF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AB BE ，即AF 5 ＝845. ∴AF ＝25 ．4．(2020·成都中考)在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．(1)如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数；(2)如图2，当AB ＝5，且AF ·FD ＝10时，求BC 的长；(3)如图3，延长EF ，与∠ABF 的平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN ＋FD 时，求AB BC的值．解：(1)由题意，得∠A ＝90°，AD ∥BC .由折叠可知BF ＝BC ＝2BA ，∠CBE ＝12∠CBF .∴∠AFB ＝30°.∴∠FBC ＝∠AFB ＝30°. ∴∠CBE ＝15°；(2)由题意，得∠A ＝∠D ＝90°，∠AFB ＋∠DFE ＝90°，∠DEF ＋∠DFE ＝90°.∴∠AFB ＝∠DEF .∴△F AB ∽△EDF .∴AF DE ＝AB DF .∴DE ＝AF ·DF AB ＝105＝2. ∴EF ＝CE ＝CD －DE ＝3.由勾股定理，得FD ＝EF 2－DE 2 ＝5 .∴AF ＝10FD＝25 . ∴BC ＝AD ＝AF ＋DF ＝35 ；(3)过点N 作NG ⊥BF 于点G ，则∠NGF ＝∠A ＝90°.又∵∠NFG ＝∠BF A ，∴△NFG ∽△BF A .∴GN AB ＝FG F A ＝NF BF. ∵NF ＝AN ＋FD ，即NF ＝12 AD ＝12 BC ＝12 BF ，∴GN AB ＝FG F A ＝NF BF ＝12. 又∵BM 平分∠ABF ，NG ⊥BF ，∠A ＝90°，∴AN ＝GN ＝12AB .易得BG ＝AB . ∴FG F A ＝BF －BG AN ＋NF ＝BC －AB 12AB ＋12BC ＝12 . ∴AB BC ＝35. 5．(2020·玉林中考)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝22AB . (1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)若点H 是边AB 上一点(点H 与点A ，B 不重合)，连接DH ，将线段DH 绕点H 顺时针旋转90°，得到线段HE ，过点E 分别作BC 及AB 延长线的垂线，垂足分别为点F ，G .设四边形BGEF 的面积为s 1，以HB ，BC 为邻边的矩形的面积为s 2，且s 1＝s 2.当AB ＝2时，求AH 的长．(1)证明：∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴AC ＝BD .∴四边形ABCD 是矩形．∵OA ＝OB ＝22AB ， ∴OA 2＋OB 2＝AB 2.∴∠AOB ＝90°，即AC ⊥BD .∴四边形ABCD 是正方形；(2)解：∵EF ⊥BC ，EG ⊥AG ，∴∠G ＝∠EFB ＝∠FBG ＝90°.∴四边形BGEF 是矩形．∵将线段DH 绕点H 顺时针旋转90°，得到线段HE ，∴∠DHE ＝90°，DH ＝HE .∴∠ADH ＋∠AHD ＝∠AHD ＋∠GHE ＝90°.∴∠ADH ＝∠GHE .又∵∠DAH ＝∠G ＝90°，∴△ADH ≌△GHE (AAS ).∴AD ＝GH ，AH ＝GE .∵AB ＝AD ，∴AB ＝GH .∴AB －BH ＝GH －BH ，即AH ＝BG .∴BG ＝GE .∴矩形BGEF 是正方形．设AH ＝x ，则BG ＝EG ＝x ，BH ＝2－x .∵s 1＝s 2，∴x 2＝2(2－x ).解得x 1＝5 －1，x 2＝－5 －1(舍去).∴AH ＝5 －1.6．(2020·贵港中考)已知：在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝23 ，点P 是BC 边上的一个动点，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点P 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF .(1)如图1，当点P 与点C 重合时，则线段EB ＝________，EF ＝________；(2)如图2，当点P 与点B ，C 均不重合时，取EF 的中点O ，连接并延长PO 与GF 的延长线交于点M ，连接PF ，ME ，MA .①求证：四边形MEPF 是平行四边形；②当tan ∠MAD ＝13时，求四边形 MEPF 的面积． ,))(1)2；4；(2)①证明：在矩形ABCD 中，CD ∥AB .∴折叠后MG ∥PE .∴∠MFO ＝∠PEO .∵点O 是EF 的中点，∴OF ＝OE .又∵∠FOM ＝∠EOP ，∴△FOM ≌△EOP (ASA ).∴MF ＝PE .∴四边形MEPF 是平行四边形；②解：连接P A ，交EF 于点H ，则EF ⊥P A 且PH ＝AH .由折叠性质得AE ＝EP .又由①知PO ＝MO ，∴MA ∥EF .∴MA ⊥P A .∵DA ⊥AB ，∴∠MAD ＝∠BAP .∴tan ∠MAD ＝tan ∠BAP ＝13 ＝PB AB. ∵AB ＝6，∴PB ＝2.在Rt △PEB 中，设AE ＝PE ＝x ，则BE ＝6－x .由勾股定理，得22＋(6－x )2＝x 2.解得x ＝103. 又∵PG ⊥MG ，且PG ＝AD ＝23 ，∴S 四边形MEPF ＝PE ·PG ＝103 ×23 ＝2033.7．(2020·武汉中考)问题背景如图1，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，AD BD ＝3 ，求DF CF的值；拓展创新如图3，D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝23 ，直接写出AD 的长．问题背景证明：∵△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE，∠BAC ＝∠DAE . ∴AB AC ＝AD AE，∠BAD ＝∠CAE . ∴△ABD ∽△ACE ；尝试应用解：连接EC .由已知可得△ABC ∽△ADE .由(1)知，△ABD ∽△ACE .∴AE EC ＝AD BD＝3 ，∠ADE ＝∠B ＝∠ACE . ∵∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ∽△ECF .∴DF CF ＝AD EC. 在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴AD AE ＝3 .∴AD EC ＝AD AE ·AE CE＝3 ×3 ＝3. ∴DF CF＝3. 拓展创新 AD ＝5 ．8．(2020·扬州中考)如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∠BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD ，OD 交于点E ，F .(1)求证：OC ∥AD ；(2)如图2，若DE ＝DF ，求AE AF的值； (3)当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DE DF 的值．图1 图2(1)证明：∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∵OC 平分∠BOD ，∴∠DOC ＝∠BOC .又∵∠DOC ＋∠BOC ＝∠OAD ＋∠ODA ，∴∠ODA ＝∠DOC .∴OC ∥AD ；(2)解：如图①，过点E 作EM ∥FD 交AD 的延长线于点M .设∠DAC ＝α.由(1)知OC ∥AD ，∴∠ACO ＝∠DAC ＝α.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝α.∴∠OAD ＝2α.∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ＝2α.∵DE ＝DF ，∴∠DFE ＝∠DEF ＝3α.∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠ADB ＝90°.∴∠DAE ＋∠AED ＝90°，即4α＝90°.∴∠ADF ＝2α＝45°.∵EM ∥DF ，∴∠M ＝∠ADF ＝45°，△AME ∽△ADF .∴EM ＝2 DE ＝2 DF .∴AE AF ＝EM DF＝2 ；图①图②(3)解：如图②，∵OC 平分∠BOD ，∴∠BOC ＝∠DOC .∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△BOC ≌△DOC (SAS ).∴BC ＝DC .设BC ＝CD ＝x ，CG ＝m ，则OG ＝2－m .∵OD ＝OB ，∠DOG ＝∠BOG ，∴OG ⊥BD ，GB ＝GD . ∴BG 2＝OB 2－OG 2＝BC 2－CG 2，即22－(2－m )2＝x 2－m 2.解得m ＝14 x 2.∴OG ＝2－14x 2. 又∵OA ＝OB ，∴AD ＝2OG ＝4－12x 2. ∴四边形ABCD 的周长为2BC ＋AD ＋AB ＝2x ＋4－12 x 2＋4＝－12 x 2＋2x ＋8＝－12(x －2)2＋10.∵－12 ＜0，∴当x ＝2时，四边形ABCD 的周长取最大值10. ∴CD ＝BC ＝2.∴△COD ，△BCO 均为等边三角形．∴∠DOC ＝∠BOC ＝60°. ∵OC ∥AD ，∴∠ADF ＝∠DOC ＝60°，∠DAO ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ＝30°. ∴∠DAF ＝30°.∴∠AFD ＝90°. ∴DE DA ＝33 ，DF ＝12 DA .∴DE DF ＝233 .。

2020年中考数学二轮复习题型六：《几何图形的证明及计算》专题训练及答案解析

题型六几何图形的证明及计算类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB ＝MN.(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；第1题图2.如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．第2题图3.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC 边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.(1)求证：CF＝BG；(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG ＝33，BG＝6，求AC的长．图①图②第3题图4.如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE.(1)求证：∠CAE＝∠CBD；(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF的面积．第4题图5.如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.(1)求证：△OBC≌△ODC；(2)求证：∠DOE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．第5题图6.已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC.(1)求证：BE＝AD；(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．第6题图类型二与相似三角形有关的证明及计算1.如图①，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．第1题图2.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，连接DE、CE.(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE∥AD；(3)若AD＝5，AB＝7，求ACAF的值．第2题图3.如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B.(1)求证：DE·CD＝DF·BE；(2)如图②，若D为BC中点，连接EF，A D.①求证：DE平分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及AEAB的值．第3题图4.如图①，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB 延长线上，且BE＝CD，EP∥AC交直线CD的延长线于点P，交直线AB的延长线于点F，∠ADP＝∠AC B.(1)图①中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；(2)若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB ＝2时，求线段PE的长．第4题图5.如图①，△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交AB于D，E，F分别是AC，BC边上的两点，EF交CD于H.(1)若∠EFC＝∠A，求证：CE·CD＝CH·BC；(2)如图②，若BH平分∠ABC，CE＝CF，BF＝3，AE ＝2，求EF的长；(3)如图③，若CE≠CF，∠CEF＝∠B，∠ACB＝60°，CH＝5，CE＝4 3 ，求ACBC的值．第5题图类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE交AC于点F.(1)若BD＝6，求CF的长；(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．第1题图2.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、P 分别为AC、AB的中点，连接BD、CP，CP交BD于点E，点F在AB上且∠ACF＝∠CB D.(1)求证：CF＝BE；(2)如图②，过点A作AG⊥AB交BD的延长线于点G.①若CF＝6，求DG的长；②设CF交BD于点H，求HECH的值．第2题图3.如图①，已知D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF，点M、N分别是AE、DE上的点，AN⊥FM于点G.(1)若∠BAC＝90°，求证：△ABC为等腰直角三角形；(2)如图②，若∠BAC≠90°，AF＝2DF.①求证：FMAN＝EMDN；②求AN∶FM的值．图①图②第3题图4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．(1)如图①，连接AI并延长交BC于点D，若AB＝AC＝3，BC＝2，求ID的长；(2)如图②，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N.①若MN⊥AI，求证：MI2＝BM·CN；②如图③，AI的延长线交BC于点D，若∠BAC＝60°，AI＝4，求1AM＋AN1的值．第4题图5.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点C 恰好在直线l上，过A、B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E.(1)求证：DE＝AD＋BE；(2)如图②，在△ABC中，当AC＝kBC，其他条件不变，猜想DE与AD、BE的关系，并证明你的结论；(3)如图③，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝12，∠ACB ＝90°，点D是AC的中点，点E在BC上，过点E作EF⊥DE 交AB于点F，若恰好EF＝2DE，求CE的长．图①图②图③第5题图6.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D 为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；42，CE＝2CF，求DN的长．②若AB＝参考答案类型一与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＋∠ACM＝90°，∵AC⊥BD，∴∠MBE＋∠ACM＝90°，∴∠BAN＝∠CAM＝∠MBE，∵MB＝MN，∴∠MNB＝∠MBN，∵∠MNB＝∠ABN＋∠BAN，∠MBN＝∠MBE＋∠NBE，∴∠ABN＋∠BAN＝∠MBE＋∠NBE，∴∠ABN＝∠NBE，即BN平分∠ABE；(2)解：连接DN，∵点M为BC中点，MB＝MN，∴MB＝MN＝12BC，∵四边形DNBC为平行四边形，∴BN＝CD，BN∥CD，∴∠DBN＝∠BDC，由(1)知∠ABN＝∠DBN，∴∠ABN＝∠BDC，∵AB＝BD＝1，∴△ABN≌△BDC，∴AN ＝BC ，∴AM ＝AN ＋MN ＝32BC ，由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°，∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(32BC )2＋(12BC )2＝1，解得BC ＝105.第1题解图2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD ，∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ，∴∠BAD ＝2∠EDC ，∵∠ABF ＝2∠EDC ，∴∠BAD ＝∠ABF ，∴△ABF 是等腰三角形；(2)解：AN ＝12BM .证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ， ∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点，∴AN ＝12BH ， ∵(1)中已证明∠BAD ＝∠ABF ，且∠DAC ＝∠CBG ， ∴∠CAB ＝∠CBA ，∴CA ＝CB又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∠BAC ＝∠BCA ＝60°，∴∠BAH ＝∠BCM ，∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴AC ＝GM ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM， ∴△BAH ≌△BCM (SAS)，∴BH ＝BM ，∴AN ＝12BM .第2题解图3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°，∵CG 平分∠ACB ，∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°，∴∠A ＝∠BCG ，在△BCG 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCG AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBE， ∴△BCG ≌△CAF (ASA)，∴CF ＝BG ；(2)证明：∵PC ∥AG ，∴∠PCA ＝∠CAG ，∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ，∴△ACG ≌△BCG (SAS )，∴∠CAG ＝∠CBE ，∵∠PCG ＝∠PCA ＋∠ACG ＝∠CAG ＋45°＝∠CBE ＋45°，∠PGC ＝∠GCB ＋∠CBE ＝∠CBE ＋45°， ∴∠PCG ＝∠PGC ，∴PC ＝PG ，∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ，∴PB ＝CP ＋CF ；(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ，∵S △AEG ＝12AG ·EM ＝33，由(2)得：△ACG ≌△BCG ，∴BG ＝AG ＝6，∴ 12×6×EM ＝33，解得EM ＝3，设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °，∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °，∵∠ACH ＝45°，∴2x ＋x ＝45，解得x ＝15，∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°，在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝23，AM ＝（23）2－（3）2＝3，∴M 是AG 的中点，∴AE ＝EG ＝23，第3题解图∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋23，在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°，∴CE ＝12BE ＝3＋3， ∴AC ＝AE ＋EC ＝23＋3＋3＝33＋3.4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD， ∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ；(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点， ∴CF ＝BF ，∴∠BCF ＝∠CBF ，由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠BCF ＝∠CAE ，∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°， ∴∠AMC ＝90°，∴AE ⊥CF ；(3)解：∵AC ＝2 2 ，∴BC ＝AC ＝2 2 ，∵CE ＝1，∴CD ＝CE ＝1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ， ∵点F 是BD 中点， ∴CF ＝DF ＝12BD ＝32，同理：EG ＝12AE ＝32，如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点，∴FH ＝12CD ＝12， ∴S △CEF ＝12CE ·FH ＝12×1×12＝14，由(2)知，AE ⊥CF ，∴S △CEF ＝12CF ·ME ＝12×32ME ＝34ME ， ∴ 34ME ＝14， ∴ME ＝13， ∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝76， ∴S △CFG ＝12CF ·GM ＝12×32×76＝78. 5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，第4题解图在△OBC 和△ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC∠BCO ＝∠DCOCO ＝CO，∴△OBC ≌△ODC (SAS)；(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ；(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△BCO 和△DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△BCO ≌△DCO (SAS)，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°.6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴BE ＝AD ；(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，在△BEC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC，∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴∠CBE ＝∠CAD ，在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AD ；②解：如解图，连接MC ，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠BCE ＝∠ACD ，又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ，∴△BEC ≌△ADC ，∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ，∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点，∴BM ＝AN ，在△BMC 和△ANC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝AN ∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC， ∴△BMC ≌△ANC (SAS)，∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ，∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ，∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°，∴△MCN 是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°.第6题解图类型二与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQP＝90°＝∠ABC.在△AQP与△ABC中，∵∠AQP＝∠ABC，∠QAP＝∠BAC，∴△AQP∽△ABC；(2)解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得AC＝5.①当点P在线段AB上时，如题图①所示．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，由(1)可知，△AQP∽△ABC，∴P AAC＝PQBC，即3－PB5＝BP4，解得PB＝4 3，∴AP＝AB－PB＝3－43＝53；②当点P在线段AB的延长线上时，如题图②所示．∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ.∴∠BQP＝∠P，∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，∴AP＝2AB＝2×3＝6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为53或6.2. (1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，∴AC2＝AB·AD;(2)证明：∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝12AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴AD∥CE；(3)解：∵CE∥AD，∴∠DAF＝∠ECF，又∵∠DF A＝∠EFC，∴△AFD∽△CFE，∴ADCE＝AFCF，∵CE＝12AB，∴CE＝12×7＝72，∵AD＝5，∴5 72＝AF CF，∴CFAF＝710，∴AF＋CFAF＝1＋CFAF＝1710，即ACAF＝1710.3. (1)证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴△CFD∽△BDE，∴DEDF＝BECD，即DE·CD＝DF·BE；(2)①证明：由(1)证得△BDE∽△CFD，∴BECD＝DEDF，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴BEBD＝DEDF，∵∠B＝∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF；②解：∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF＝∠DEF，由(2)知，∠BED＝∠DEF，∵∠AEF＋∠DEF＋∠BED＝180°，∴∠AEF＝60°，∵AE＝AF，∴∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，又∵∠BED＝∠AEF＝60°，∴△BED是等边三角形，∴BE＝DE，∵AE＝DE，∴AE＝BE＝12AB，∴AEAB＝12.4.解：(1)AC＝BF.证明如下：∵∠ADP＝∠ACD＋∠A，∠ACB＝∠ACD＋∠BCD，∠ADP＝∠ACB，∴∠BCD＝∠A，又∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴CDAC＝BCBA，①∵FE∥AC，∴∠CAB＝∠EFB，又∵∠ABC＝∠FBE，∴△ABC∽△FBE，∴BCBA＝BEBF，②由①②可得CDAC＝BEBF，∵BE＝CD，∴BF＝AC；(2)∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°＝∠ADP，∴∠BCD＝60°，∠ACD＝60°－30°＝30°，∵PE∥AC，∴∠E＝∠ACB＝30°，∠CPE＝∠ACD＝30°，∴CP＝CE，∵BE＝CD，∴BE－CE＝CD－CP，∴BC＝DP，∵∠ABC＝90°，∠D＝30°，∴BC＝12CD，∴DP＝12CD，即P为CD的中点，又∵PF∥AC，∴F是AD的中点，∴FP是△ADC的中位线，∴FP＝12AC，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝12AC，∴FP＝AB＝2，∵DP＝CP＝BC，CP＝CE，∴BC＝CE，即C为BE的中点，又∵EF∥AC，∴A为FB的中点，∴AC是△BEF的中位线，∴EF＝2AC＝4AB＝8，∴PE＝EF－FP＝8－2＝6.5. (1)证明：∵∠EFC＋∠FEC＋∠ECF＝180°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，又∵∠EFC＝∠A，∠ECF＝∠ACB，∴∠CEF＝∠B，∵∠ECH＝∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴ECBC＝CHCD，∴CE·CD＝CH·BC；(2)解：如解图①，连接AH.∵BH、CH分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AH是∠BAC的平分线，∴∠BHC＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠BAC)＝90°＋12∠BAC＝90°＋∠HAE，∵CE＝CF，∠HCE＝∠HCF，∴CH⊥EF，HF＝HE，∴∠CHF＝90°，∵∠BHC＝∠BHF＋∠CHF＝∠BHF＋90°，∴∠HAE＝∠BHF，∵CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF，∴∠AEH＝∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AEHF＝EHFB，∴FH·EH＝6，∴HE＝HF＝6，∴EF＝26；第5题解图①(3)解：如解图②，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N.设HF＝x，FN＝y.∵∠HCM＝∠HCN＝30°，HC＝5，∴HM＝HN＝5 2，CM＝CN＝53 2，∵CE＝4 3 ，∴EM＝332，∴EH＝EM2＋HM2＝13 ，∵S△HCF∶S△HCE＝FH∶EH＝FC∶EC，∴x∶13＝(y＋532)∶43，又∵x2＝y2＋(52) 2，解得y＝5314或332，∵当y＝332时，CF＝CN＋NF＝43，又∵CE≠CF，∴y≠332，即FN＝5314，∴CF＝203 7，∵∠CEF＝∠B，∠ECF＝∠ACB，∴△ECF∽△BCA，∴ECBC＝CFAC，∴AC BC＝CFEC＝203743＝57.第5题解图②类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠FCD＝60°，∵∠BAD＝180°－60°－∠ADB，∠FDC＝180°－∠ADE －∠ADB＝180°－60°－∠ADB，∴∠BAD＝∠FDC，∴△ABD∽△DCF，∴ABDC＝BDCF，∴CF＝DC·BDAB＝（8－6）×68＝32；(2)△ADE是等边三角形．证明：若D点是BC边中点，则AD⊥BC，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°，又∵l∥AB，∴∠DCE＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°，即∠CDE ＝∠CED ，∴CE ＝CD .在△ACD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC， ∴△ACD ≌△ACE (SAS)，∴AD ＝AE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形；(3)(2)中结论仍然成立．证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ，∴△GDC 是等边三角形，∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∵∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠GDC ，∴∠ADG ＝∠EDC ，又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠AGD ＝∠DCE ，在△ADG 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADG ＝∠EDC DG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE， ∴△ADG ≌△EDC (ASA)，∴AD ＝DE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°， ∴∠A ＝∠BCE ，在△ACF 和△CBE 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCE AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD， ∴△ACF ≌△CBE (ASA)，∴CF ＝BE ；(2)解：①由(1)得CF ＝BE ，∴BE ＝CF ＝6，∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点， ∴CP ⊥AB ，∵AG ⊥AB ，第1题解图∴CE∥AG，∴∠GAD＝∠ECD，又∵∠ADG＝∠CDE，∴△ADG∽△CDE，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，即相似比k＝1，∴△ADG≌△CDE，∴DG＝DE＝12GE，∵CE∥AG且P为AB中点，∴GE＝BE＝6，∴DG＝3；②设EP＝a，由(2)①得EP∥AG，∴AG＝2a，又由上题得△ADG≌△CDE，∴CE＝AG＝2a，∴CP＝CE＋EP＝3a，∵等腰直角△ABC中CP⊥AB，∴BP＝CP＝3a，由题得∠ACP＝∠CBP＝45°，∵∠ACF＝∠CBD，∴∠ACP－∠ACF＝∠CBP－∠CBD，即∠HCE＝∠PBE ，∵∠CEH ＝∠PEB ，∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ，∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°，∴△CHE 是直角三角形，∴△CHE ∽△BPE ，∴HE CH ＝PE BP ＝a3a ＝13.3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD BE ＝CF，∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)，∴∠B ＝∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形；(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ， ∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∵BE ＝CF ，∴AE ＝AF ，∴AD ⊥EF ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°， ∴∠EMF ＝∠DNA ，又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°， ∴∠AEO ＝∠NDA ，∴△FME ∽△AND ， ∴FM AN ＝EM DN；第3题解图②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ，由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ， ∵DF ⊥AC ， ∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ，∴OF ＝255k ，EF ＝455k ，∴AD EF ＝54，又∵△FME ∽△AND ，∴ANFM ＝ADEF ＝54，即AN ∶FM ＝5∶4.4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ， ∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ，在△BEI 和△BDI 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBI ＝∠DBI ，∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2，在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2，∴22＋x 2＝(22－x )2 ，∴x ＝22，∴ID ＝22；第4题解图(2)①证明：如解图②，连接BI、CI.∵I是内心，∴∠MAI＝∠NAI，∵AI⊥MN，∴∠AIM＝∠AIN＝90°，又∵AI＝AI，∴△AMI≌△ANI(ASA)，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠BMI＝∠CNI，设∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β，∴∠NIC＝90°－α－β，∵∠ABC＝180°－2α－2β，∴∠MBI＝90°－α－β，∴∠MBI＝∠NIC，∴△BMI∽△INC，∴BMNI＝MINC，∴NI·MI＝BM·CN，∵NI＝MI，∴MI2＝BM·CN；②解：如解图③，过点N作NG∥AD交MA的延长线于G.∵NG∥AD，∴∠ANG＝∠DAN，∠AGN＝∠BAD，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAN＝30°，∴∠ANG＝∠AGN＝30°，∴AN＝AG，NG＝3AN，∵AI∥NG，∴∠MIA＝∠MNG，∠MAI＝∠MGN，∴△AMI∽△GMN，∴AMMG＝AING，∴AMAM＋AN＝43AN，∴AM＋ANAM＝3AN4，∴1AM＋1AN＝34.第4题解图③5. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ， ∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB ∠DAC ＝∠ECB AC ＝CB， ∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ；(2)解：DE ＝kBE ＋1kAD . 证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ，∴ADCE＝DCBE＝ACBC＝k，∴DC＝kBE，CE＝1k AD，∴DE＝DC＋CE＝kBE＋1k AD；(3)解：如解图，过点F作FG⊥BC于点G，∵AC＝4，D是AC的中点，∴CD＝2，∵EF＝2DE，易证△DCE∽△EGF，FG＝2CE，EG＝2DC ＝4，设CE＝x，则BG＝BC－CG＝12－4－x＝8－x，∵FG⊥BC，AC⊥BC，∴∠ACB＝∠FGB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△FGB∽△ACB，∴FGAC＝BGBC，即2x4＝8－x12，解得x＝8 7，即CE的长为8 7.第5题解图6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ∠DCE ＝∠DCF CD ＝CD， ∴△DCE ≌△DCF (SAS)；(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CF CD，即CD 2＝CE ·CF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ， ∴(12AB )2＝CE ·CF ， ∴AB 2＝4CE ·CF ；②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ，由①得AB2＝4CE·CF，∵AB＝42，CE＝2CF，∴CE＝4，CF＝2，∵DG⊥BC于G，由题得∠B＝45°，BD＝12AB＝2 2∴△DGB是等腰直角三角形，∴BG＝DG＝22·sin45°＝2，∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴DG∥AC即DG∥CE，∴∠ECN＝∠DGN又∵∠ENC＝∠DNG∴△CEN∽△GDN，∴CEDG＝CNNG＝42＝2，又∵D点为AB中点，DG∥AC，∴CG＝BG＝2，∴NG＝13CG＝23，在Rt△DGN中，DN＝DG2＋NG2＝22＋（23）2＝2103.第6题解图。

八年级数学与三角形有关的计算与证明专题分类练习

八年级数学与三角形有关的计算与证明专题分类练习题组(一)证明角相等类型1利用内、外角和进行简单证明1．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)在Rt△AFC中，∠CFE＝90°－∠CAF，在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.类型2运用全等进行证明2．已知：如图，A，E，B三点在一条直线上，B，D，C三点在一条直线上，且AB＝BC，BD＝BE，AD交CE于F点，连接BF.求证：(1)∠A＝∠C；(2)BF平分∠ABC.证明：(1)在△ABD 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBE ，BD ＝BE ，∴△ABD ≌△CBE(SAS)． ∴∠A ＝∠C.(2)∵AB ＝BC ，BE ＝BD ， ∴AE ＝CD.又∵∠A ＝∠C ，∠AFE ＝∠CFD ， ∴△AFE ≌△CFD(AAS)． ∴EF ＝DF.又∵BE ＝BD ，BF ＝BF ， ∴△BFE ≌△BFD(SSS)． ∴∠FBE ＝∠FBD. ∴BF 平分∠ABC.3．如图，△ACB 和△ECD 都是等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE.(1)求证：AD ＝BE ； (2)求∠AEB 的度数．解：(1)证明：∵△ACB 和△ECD 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)． ∴AD ＝BE.(2)在等边△ECD 中，∠CDE ＝∠CED ＝60°， ∴∠ADC ＝120°. ∵△ACD ≌△BCE ， ∴∠BEC ＝∠ADC ＝120°.∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝120°－60°＝60°.4．如图，点D 在CB 的延长线上，DB ＝CB ，点E 在AB 上，连接DE ，DE ＝AC ，求证：∠A ＝∠DEB.证明：延长EB 到点F ，使得BF ＝BE ，连接CF. ∵BE ＝BF ，∠DBE ＝∠CBF ，BD ＝BC ， ∴△BDE ≌△BCF(SAS)． ∴DE ＝CF ＝AC ，∠DEB ＝∠F. ∴∠F ＝∠A.∴∠A＝∠DEB.类型3运用等腰三角形(或线段垂直平分线)的性质进行证明与计算5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，DE⊥AB.(1)求证：∠BAC＝2∠BDE；(2)若AC＝4，DE＝3，求△ABC的面积．解：(1)证明：∵AB＝AC，D为边BC的中点，∴∠DAC＝∠DAB，AD⊥BC.∵DE⊥AB，∴∠BDE＋∠B＝∠DAB＋∠B＝90°.∴∠BDE＝∠DAB＝∠DAC.∴∠BAC＝2∠BDE.(2)∵AB＝AC＝4，DE＝3，∴S△ABD＝6.∵CD＝BD，∴S△ACD＝6.∴S△ABC＝12.6．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC.(1)求证：∠BAD＝2∠MAN；(2)连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ABC的度数．解：(1)证明：连接AC.在△ABC中，∵AN⊥BC，N为BC中点，∴AN 平分∠BAC ，即∠BAN ＝∠CAN. 同理：∠CAM ＝∠DAM.∴∠BAD ＝∠BAN ＋∠CAN ＋∠CAM ＋∠DAM ＝2(∠CAN ＋∠CAM)＝2∠MAN. (2)∵∠BAD ＝2∠MAN ，∠MAN ＝70°， ∴∠BAD ＝140°.∵AN ⊥BC ，N 为BC 中点，∴AB ＝AC. ∵AM ⊥CD ，M 为CD 中点，∴AC ＝AD. ∴AB ＝AD.∴∠ABD ＝∠ADC ＝180°－∠BAD 2＝20°.∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC ＝60°. 题组(二) 证明线段之间的位置关系类型1 证明线段平行思路：先证明角相等，然后利用平行线的判定证明两直线平行7．如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，且FB ＝CE ，∠A ＝∠D ，∠ACB ＝∠DFE ，求证：(1)△ACB ≌△DFE ； (2)AB ∥DE.证明：(1)∵FB ＝CE ，∴BF ＋FC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF.在△ACB 和△DFE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，∠ACB ＝∠DFE ，BC ＝EF ，∴△ACB ≌△DFE(AAS)． (2)∵△ACB ≌△DFE ， ∴∠B ＝∠E. ∴AB ∥DE. 类型2 证明线段垂直思路一：证明角为90°8．如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有BF ＝AC ，FD ＝CD.求证：BE ⊥AC.证明：∵AD 为△ABC 的高， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 在Rt △BDF 和Rt △ADC 中，⎩⎨⎧BF ＝AC ，FD ＝CD ，∴Rt △BDF ≌Rt △ADC(HL)． ∴∠1＝∠2.∵∠1＋∠BFD ＝90°，∠BFD ＝∠AFE ， ∴∠2＋∠AFE ＝90°. ∴∠BEA ＝90°. ∴BE ⊥AC.思路二：等腰三角形三线合一9．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AD ⊥EF.证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴AD 平分∠BAC. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF.在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF(HL)． ∴AE ＝AF.又∵AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥EF.10．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，△ABD 和△BCE 是等边三角形，连接CD ，CE.求证：BD ⊥CE.证明：∵△ABD 和△BCE 是等边三角形， ∴CB ＝EB ，∠CBE ＝∠ABD ＝60°. 又∵∠ABC ＝90°，∴∠CBD ＝∠ABC ＋∠ABD ＝150°，∠EBD ＝360°－∠CBE －∠CBD ＝150°. ∴∠CBD ＝∠EBD.在△CBD 和△EBD 中，⎩⎨⎧CB ＝EB ，∠CBD ＝∠EBD ，BD ＝BD ，∴△CBD≌△EBD(SAS)．∴CD＝ED，∠CDB＝∠EDB，即△CDE是等腰三角形，BD是等腰△CDE顶角的平分线．∴BD⊥CE.题组(三)证明线段之间的数量关系类型1证明线段相等思路一：利用全等三角形的性质证明线段相等11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD.求证：(1)AD＝CF；(2)点F为BD的中点．证明：(1)∵E为AC边的中点，∴AE＝CE.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CF平分∠ACB，∴∠BAC＝∠ECF＝45°.∵AD⊥AB，∴∠DAE＝∠FCE＝45°.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AD＝CF.(2)∵AC＝CB，∠DAC＝∠FCB＝45°，AD＝CF，∴△ACD≌△CBF(SAS)．∴CD＝BF，∠ACD＝∠CBF.∵∠DCF＝∠ACD＋∠ECF＝∠ACD＋45°，∠DFC＝∠CBF＋∠BCF＝∠CBF＋45°，∴∠DCF ＝∠DFC. ∴DC ＝DF.∴BF ＝DF ，即点F 为BD 的中点．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 边上的一点，过点D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，BC ＝BD ，连接CD 交BE 于点F.(1)求证：CE ＝DE ；(2)若点D 为AB 的中点，求∠AED 的度数．解：(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°， ∴△BCE 与△BDE 都是直角三角形．在Rt △BCE 和Rt △BDE 中，⎩⎨⎧BE ＝BE ，BC ＝BD ， ∴Rt △BCE ≌Rt △BDE(HL)．∴CE ＝DE. (2)∵DE ⊥AB ， ∴∠ADE ＝∠BDE ＝90°.∵点D 为AB 的中点，∴AD ＝BD. 又∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△BDE(SAS)． ∴∠AED ＝∠DEB.∵Rt △BCE ≌Rt △BDE ，∴∠CEB ＝∠DEB. ∴∠AED ＝∠DEB ＝∠CEB. ∵∠AED ＋∠DEB ＋∠CEB ＝180°， ∴∠AED ＝60°.思路二：利用等腰(边)三角形的性质与判定证明线段相等13．如图，已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．证明：连接BD ，∵△ABC 是等边三角形，且D 是AC 的中点， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°，∠ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E. ∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ， ∴∠E ＝30°.∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴M 是BE 的中点．思路三：利用线段的垂直平分线的性质与判定证明线段相等14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，求证：BM ＝MN ＝NC.证明：连接AN ，AM ，∵ME 垂直平分AB ，NF 垂直平分AC ， ∴BM ＝AM ，CN ＝AN. ∴∠MAB ＝∠B ， ∠CAN ＝∠C.∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B＝∠C＝30°.∴∠AMN＝∠ANM＝60°.∴△AMN是等边三角形．∴AM＝AN＝MN.∴BM＝MN＝NC.思路四：利用角平分线的性质与判定证明线段相等15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，FG⊥BC于点G，求证：AE＝FG.证明：∵CF平分∠ACB，FA⊥AC，FG⊥BC，∴FG＝FA.∵∠AFC＋∠ACF＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，且∠ACF＝∠ECD，∴∠AFC＝∠DEC.又∵∠AEF＝∠DEC，∴∠AFC＝∠AEF.∴AE＝FA.∴AE＝FG.16．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线MN交于点M，过点M作MD⊥AB，ME⊥BC，垂足分别为D，E.求证：AD＝CE.证明：连接MA，MC.∵点M在∠ABC的平分线上，且MD⊥AB，ME⊥BC，∴MD＝ME.∵点M在线段AC的垂直平分线上，∴MA ＝MC.在Rt △MAD 和Rt △MCE 中，⎩⎨⎧MD ＝ME ，MA ＝MC ，∴Rt △MAD ≌Rt △MCE(HL)．∴AD ＝CE.类型2 证明线段的和差关系17．如图，已知AD ∥BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分∠DAB ，∠CBA ，BE 交AD 的延长线于点F.求证：(1)△ABE ≌△AFE ；(2)AD ＋BC ＝AB.证明：(1)∵AE ，BE 分别平分∠DAB ，∠CBA ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∠ABE ＝∠CBE.∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠CBE.∴∠ABE ＝∠F.在△ABE 和△AFE 中，⎩⎨⎧∠ABE ＝∠F ，∠BAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE(AAS)．(2)∵△ABE ≌△AFE ，∴BE ＝FE ，AB ＝AF.在△BCE 和△FDE 中，⎩⎨⎧∠EBC ＝∠F ，BE ＝FE ，∠BEC ＝∠FED ，∴△BCE ≌△FDE(ASA)．∴BC ＝FD.∴AD ＋BC ＝AD ＋DF ＝AF ＝AB.18．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．解：BC ＝BE ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF.∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO.又∵OB ＝OB ，∴△EBO ≌△FBO(SAS)．∴∠EOB ＝∠FOB.∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝120°－60°＝60°.∴∠FOC ＝∠DOC.∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO.又∵OC ＝OC ，∴△DCO ≌△FCO(ASA)．∴CD ＝CF.∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD.类型3 证明线段的倍分关系19．如图，△ABC 为等边三角形，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，且AD ＝CE ，AE 与BD 相交于点P.(1)求∠BPE 的度数；(2)若BF ⊥AE 于点F ，试判断BP 与PF 的数量关系，并说明理由．解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAD ＝∠C ＝60°.在△BAD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝CA ，∠BAD ＝∠C ，AD ＝CE ，∴△BAD ≌△ACE(SAS)．∴∠CAE ＝∠ABD.∴∠BPE ＝∠ABD ＋∠BAP ＝∠BAP ＋∠CAE ＝∠BAC ＝60°.(2)结论：BP ＝2PF.∵BF ⊥AE ，∴∠BFP ＝90°.在Rt △BPF 中，∠PBF ＝90°－60°＝30°，∴PF＝12BP.∴BP＝2PF.。

初中数学44道经典的三角形证明题汇总(两篇)

引言：三角形是数学中重要的几何形状之一，而三角形的证明题也是数学学习中的重要内容。

本文总结了初中阶段数学中44道经典的三角形证明题，帮助学生更深入地理解三角形的性质和定理，同时提高解题能力和逻辑思维能力。

概述：本文分为五个大点介绍了这44道经典的三角形证明题。

每个大点下面包含了59个小点详细阐述。

这些证明题涵盖了三角形的等边、等腰、直角、等腰直角以及一般三角形的性质和定理。

正文内容：一、等边三角形的证明题1.证明等边三角形三条边相等。

2.证明等边三角形三个内角都是60度。

3.证明等边三角形任意一角的正弦值都是√3/2。

4.证明等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。

5.证明等边三角形的内切圆半径等于边长的二分之一。

二、等腰三角形的证明题1.证明等腰三角形的两个底角相等。

2.证明等腰三角形的顶角是其它两个角的一半。

3.证明等腰三角形的中线等于底边的一半。

4.证明等腰三角形的高等于底边的一半。

5.证明等腰三角形的内切圆半径等于底边的一半。

三、直角三角形的证明题1.证明直角三角形的两个锐角的和等于90度。

2.证明直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边长。

3.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之和的一半。

4.证明直角三角形的两个锐角的正弦值之和等于1。

5.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之差的一倍。

四、等腰直角三角形的证明题1.证明等腰直角三角形的两个锐角相等。

2.证明等腰直角三角形的斜边等于直角边的平方根。

3.证明等腰直角三角形的面积等于直角边的平方除以2。

4.证明等腰直角三角形对角线相等。

5.证明等腰直角三角形的两条直角边互相垂直。

五、一般三角形的证明题1.证明三角形内部三条角的和等于180度。

2.证明三角形外角等于不相邻的内角之和。

3.证明三角形三边之和大于第三边。

4.证明三角形两边之比的正弦值等于对应两个角的正弦值之比。

5.证明三角形中位线之和等于第三条边的一半。

总结：通过这44道经典的三角形证明题的学习，学生能够更深入地理解三角形的性质和定理。